Cálculo Diferencial e Integral - Longitud de una curva. Prof. Farith J. Briceño N.

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1 Cálculo Diferencil e Integrl - Longitud de un curv. Prof. Frith J. Briceño N. Objetivos cubrir Longitud de un curv. Áre de un superficie de revolución. Ejercicios Código : MAT-CDI. resueltos Ejemplo : Determine l longitud de l gráfic de l ecución y = x en el intervlo, ]. Solución : Tenemos que l longitud de un curv de l form y = f x en un intervlo, b], viene dd por b + f x] dx sí, puesto que f x = x tenemos hcemos el cmbio trigonométrico / / + x] dx = + x dx x = tn t, dx = sec t dt = dx = sec t dt de quí, si x =, entonces tn t = = t = si x =, entonces tn t = = t = l integrl nos qued como sec t > en el intervlo / + x dx = + tn t sec t dt = sec t sec t dt = sec t sec t dt,, ], entonces l integrl qued sec t sec t dt, pr clculr est integrl, integrmos por prtes u = sec t dv = sec t dt Al derivr Al integrr dt = sec t tn t dt v = tn t y se tiene sí con lo que, entonces, sec t sec t dt = sec t sec t dt = sec t tn t sec t sec t dt = sec t tn t dt = = sec t tn t sec t tn t sec t sec t dt sec t tn t + ln sec t + tn t sec t sec t dt = sec t tn t + ln sec t + tn t, sec tn sec tn + sec t dt + sec t dt ln sec + tn ln sec + tn y obtenemos sec t sec t dt = + ln + ln = + ln +

2 luego / + x dx = sec t sec t dt = Finlmente, l longitud de l curv f x = x en el intervlo, ] es + ln + + ln + Ejemplo : Determine l longitud de l gráfic de l ecución f x = x t + dt en, ]. Solución :Tenemos que l longitud de un curv de l form y = f x en un intervlo, b] viene dd por x sí, puesto que f x = t + dt = x + tenemos b + f x] dx + x + ] dx = + x dx. Hcemos el cmbio de vrible de quí, u = + x; u du = dx si x =, entonces u = + = u = si x =, entonces u = + = u = entonces, u + x dx = u du = = x Luego, l longitud de l curv dd por f x = t + dt en, ] es 6. = 6 Ejemplo : Determine l longitud de l gráfic de l curv r dd en form prmétric por ls ecuciones x t = sen t r t = y t = cos t en el intervlo, ]. como entonces Solución : Tenemos que l longitud de un curv de l form r t = x t, y t en un intervlo, b] viene dd por b x t] + y t] dt, x t = cos t y y t = sen t, cos t] + sen t] dt = 6 cos t + sen t dt = Luego, l longitud de l curv dd en form prmétric por r t = sen t, cos t en, ] es 6 dt =.

3 Ejemplo : Determine l longitud de l gráfic de l curv r dd en form prmétric por ls ecuciones x t = t sen t r t = y t = cos t en, ]. Solución : Tenemos que l longitud de un curv de l form r t = x t, y t en un intervlo, b] viene dd por b x t] + y t] dt, como x t = cos t y y t = sen t, entonces Desrrollndo el rgumento de l ríz cudrd cos t + sen t dt x t] + y t] = cos t] + sen t] = cos t + cos t + sen t = cos t + cos t + sen t = cos t = cos t es conocido que de quí, por lo tnto, entonces, hcemos el cmbio de vrible sen = cos cos t = cos = sen = cos t t = sen x t ] + y t ] = sen t t sen dt = t sen dt = t sen dt, u = t ; du = dt = du = dt de quí, si t =, entonces u = = u = si t =, entonces u = = u = con lo que, sen u du = sen u du = cos u = cos cos = Luego, l longitud de l curv dd en form prmétric por r t = t sen t, cos t en, ] es Ejemplo : Encuentre el áre de l superficie de revolución generd l girr l curv dd por y = x + en el intervlo, ] lrededor del eje x Solución : Tenemos que el áre de l superficie de un curv de l form y = f x con x b cundo se hce girr lrededor del eje x, viene dd por b S = f x + f x] dx,

4 como f x =, se tiene x + ] S = x + + x + + dx = x + + dx = x + dx x + x + x + x + + = x + dx = x + 9 dx x + hcemos el cmbio de vrible de quí, u = x + 9; du = dx = du = dx si x =, entonces u = + 9 = u = con lo que, Luego si x =, entonces u = + 9 = u = du S = u = u/ = / / = 7 6 S = Ejemplo 6 : Encuentre el áre de l superficie de revolución generd l girr l curv dd por y = ln x en el intervlo, ] lrededor del eje y Solución : Tenemos que el áre de l superficie de un curv de l form y = f x con x b cundo se hce girr lrededor del eje y, viene dd por b S = x + f x] dx, como f x =, se tiene x Si hcemos el cmbio trigonométrico obtenemos x + dx = ] S = x + dx = x + x x dx = x + dx x = tn t; dx = sec t dt sec t dt = sec t tn t + ln sec t + tn t + C = x x + + ln x + + x + C. Por lo tnto, Luego x + dx = x x + + ln x + + x = + + ln ln + + = + ln + ln + = + ln + + S = + ln + + Ejemplo 7 : Encuentre el áre de l superficie de revolución generd l girr l curv prmétric dd por r t = t, t en, ] lrededor del eje x. Solución : Tenemos que el áre de l superficie de un curv dd en form prmétric hce girr lrededor del eje x, viene dd por b S = y t x t] + y t] dt, r t = x t, y t con t b cundo se

5 como entonces x t = t y y t = t, S = t t] + t] dt = t t + t dt = t 8t dt = t = t dt + t dt t dt = ] + + = ] + = 7 Luego S = 7 Ejercicios. Determine l longitud de l gráfic de l ecución y = e x en el intervlo, ].. Determine l longitud de l gráfic de l ecución dd en el intervlo indicdo. y = x,, ]. y = x / +, desde, hst,. y = x +,, ]. y = x /,, 8]. y = x u du, x 6. y = x +,, ] 7. y = x /6 6 sen u cos u du, 6 x 8. x = y / + y /,, 9] 9. x = y /,, 8]. Determine l longitud de l gráfic de l curv r dd en form prmétric por ls ecuciones x t = cos t r t = y t = sen t en el intervlo, ].. Determine l longitud de l gráfic de l curv r dd en form prmétric por ls ecuciones r t = x t, y t = t +, t en el intervlo, ].. Determine l longitud de l gráfic de l curv r dd en form prmétric por ls ecuciones x t = t r t = y t = t + en el intervlo, ]. 6. Considere l región limitd por y = x y y = x. Determine l longitud del borde de l región. 7. Considere l región limitd por y = x y y = x. Determine l longitud del borde de l región. 8. Considere l región limitd por y = x y y = x. Determine l longitud del borde de l región.

6 9. Encuentre el áre de l superficie de revolución generd l girr l curv dd lrededor del eje x. y = 6x, x. y = x, x. y = x, x 7. x = t, y = t, t. Clcule el áre de l superficie de revolución generd l girr l curv dd lrededor del eje y. y = x +, x 8. y = x, x. Se gener un esfer de rdio r l girr l gráfic de y = r x lrededor del eje x. Comprobr que el áre de l superficie de l esfer es r.. Se obtiene l form de un bombill ornmentl l girr l gráfic de y = x/ x /, x lrededor del eje x, donde x e y se miden en pies. Clculr el áre de l superficie de l bombill.. e ln + e ++ ;.. ;.. Respuests: Ejercicios 8 7 ;.. ;.. 6 ; ln + ;.7. ;.8..67; ;. ;. ; +. + ln + ; ; 9.. ; ;. r;. + + ln + ; 7. + ln + ; ; ; ; 8 9 ; 8 ; + ln + + ;. Purcell, E. - Vrberg, D: Cálculo con Geometrí Anlític. Noven Edición. Prentice Hll.. Stewrt, J.: Cálculo. Grupo Editoril Iberomericno. Bibliogrfí Cálculo Diferencil e Integrl - Longitud de un curv. Últim ctulizcón: Enero Prof. Frith Briceño e-mil : frith 6

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