Prof. María de los Ángeles Hernández Cifre

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1 Fundmentos Mtemáticos de l Biotecnologí DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Prof. Mrí de los Ángeles Hernández Cifre Prte 1: Cálculo diferencil e integrl Práctic n o 3: Cálculo diferencil en 2 vribles y cálculo integrl 1. Representción de superficies Pr representr superficies que están definids como el grfo de un función de dos vribles, Mxim dispone del comndo plot3d (podemos cceder trvés del menú Gráficos > Gráficos 3D) cuy sintxis básic es: plot3d ( f (x,y),[x,,b],[y,c,d]) donde f (x,y) es l función que se quiere representr, cundo x [,b], y [c,d]. Por ejemplo, plot3d(exp(-x^2-y^2),[x,-2,2],[y,-2,2]); produce l superficie de l derech. Gráfic de l función e x2 y 2 cundo (x,y) [ 2,2] [ 2,2]. Actividd 3.1: Reliz l representción gráfic de ls siguientes superficies: ) f (x,y) = sen(xy). b) g(x,y) = (x + y)2 x 2 + y c) h(x,y) = cos(xy) 1 + x 2 + y 2. d) i(x,y) = (x 2 + y 2 )e (x2 +y 2). 2. Cálculo de ls derivds prciles Pr clculr l derivd de un función (dependiente de un o vris vribles) debemos utilizr el comndo diff, cuy sintxis generl es: diff ( f,x,m,y,n,...) que signific: deriv l función f, respecto de l vrible x, m veces, respecto de l vrible y, n veces, y sí sucesivmente. Algunos ejemplos: (%i1) f(x,y):=%e^x*cos(y)$ diff(f(x,y),x); diff(f(x,y),y); Observ que pr escribir ls expresiones nteriores podemos usr el menú Análisis > Derivr. 1

2 Cundo trbjmos con vris vribles es conveniente que indiquemos, en cd cso, qué derivd estmos clculndo, pr fcilitr l lectur de los cálculos. Un form decud es l siguiente: (%i2) f(x,y):=%e^x*cos(y)$ print("fx(x,y)=",diff(f(x,y),x))$ print("fy(x,y)=",diff(f(x,y),y))$ Observ l utilizción del comndo print (finlizdo en $) pr dr formto l slid. Actividd 3.2: Clcule ls derivds prciles f x, f y, f xx, f yy y f xy en los siguientes csos: ) f (x,y) = e x cosy. b) f (x,y) = 9 x 2 y 2. Recordemos que pr definir un función que se l derivd de otr función debemos utilizr el comndo define. Por ejemplo, pr gurdr ls derivds de primer y segundo orden de un función f (x,y) debemos relizr lo siguiente: (%i3) define(fx(x,y),diff(f(x,y),x)); define(fy(x,y),diff(f(x,y),y)); define(fxx(x,y),diff(f(x,y),x,2)); define(fyy(x,y),diff(f(x,y),y,2)); define(fxy(x,y),diff(f(x,y),x,1,y,1)); Est estrtegi será muy útil cundo necesitemos relizr cálculos con l derivds de un función, como ocurre, por ejemplo, en el cálculo de los extremos locles. Actividd 3.3: Clcul ls derivds prciles de primer y segundo orden de l función f (x,y) = y x, y gurd cd un de ells en un función. 3. Cálculo de extremos locles en funciones de dos vribles Pr resolver est tre debemos plicr el lgoritmo teórico. Lo iremos desrrollndo pso pso con un ejemplo: cuáles son los extremos locles de l función f (x,y) = x 2 + y 2 + xy + x + y? Pso 1: En primer lugr, definimos l función f (x, y), clculmos ls derivds prciles y determinmos los puntos estcionrios: (%i4) f(x,y):=x^2+y^2+x*y+x+y$ define(fx(x,y),diff(f(x,y),x))$ define(fy(x,y),diff(f(x,y),y))$ solve([fx(x,y)=,fy(x,y)=],[x,y]); (%o4) [[x=-1/3,y=-1/3]] Observmos que hy un punto crítico en ( 1/3, 1/3). Pso 2: Ahor clculmos ls derivds segunds y el determinnte en el punto estcionrio: (%i5) define(fxx(x,y),diff(fx(x,y),x))$ define(fxy(x,y),diff(fx(x,y),y))$ define(fyy(x,y),diff(fy(x,y),y))$ Delt(x,y):=fxx(x,y)*fyy(x,y)-fxy(x,y)^2$ Delt(-1/3,-1/3); (%o5) 3 2

3 Pso 3: Finlmente estudimos el signo de l derivd segund f xx y del determinnte : como ( 3 1, 1 3 ) = 3 > y f xx( 1 3, 1 3 ) = 2 >, concluimos que f tiene un mínimo en ( 1/3, 1/3). Si queremos utomtizr todo el proceso, ls siguientes órdenes relizn de un vez los psos 2 y 3 descritos nteriormente: (%i6) :-1/3$ b:-1/3$ define(fxx(x,y),diff(fx(x,y),x))$ define(fxy(x,y),diff(fx(x,y),y))$ define(fyy(x,y),diff(fy(x,y),y))$ Delt(x,y):=fxx(x,y)*fyy(x,y)-fxy(x,y)^2$ if Delt(,b)> nd fxx(,b)> then print("l función tiene un mínimo en el punto ",[,b]) elseif Delt(,b)> nd fxx(,b)< then print("l función tiene un máximo en el punto ",[,b]) elseif Delt(,b)< then print("l función tiene un punto de sill en el punto ",[,b]) else print("el lgoritmo no funcion")$ Ests misms línes (cmbindo l función f (x,y) y el punto estcionrio (,b)) nos permitirán estudir los extremos locles de culquier función. A l hor de resolver l ecución de los puntos estcionrios (Pso 1) es posible que el comndo generl solve no proporcione ls soluciones, o que nos proporcione tmbién ls soluciones complejs. En ese cso, hy que probr con otros comndos y/o descrtr ls soluciones complejs. Por ejemplo: (%i7) f(x,y):=x^4+y^4-2*(x-y)$ define(fx(x,y),diff(f(x,y),x))$ define(fy(x,y),diff(f(x,y),y))$ relroots(fx(x,y)); relroots(fy(x,y)); Actividd 3.4: Estudi los extremos locles de ls siguientes funciones: ) f (x,y) = y 2 x 3. b) f (x,y) = x 4 + y 4 2(x y). 4. Integrción de funciones El comndo generl (válido tnto pr ls integrles indefinids como definids) es integrte, con l únic diferenci que en ls integrles definids tmbién hy que incluir entre los rgumentos los límites de integrción. L sintxis es l siguiente: integrte ( f (x), x) pr ls integrles indefinids integrte ( f (x), x,, b) pr ls integrles definids cos(2x + 1) dx ye y dy b x 2 dx integrte(cos(2*x+1),x) integrte(y*%e^y,y) integrte(x^2,x,,b) 3

4 Utilizndo wxmxim se pueden introducir los dtos usndo el menú Análisis > Integrr: Integrl indefinid Integrl definid En ls integrles pueden precer prámetros, cuyos vlores pueden influir en el resultdo. En estos csos, Mxim suele relizr ls pregunts necesris pr que el cálculo se correcto. Por ejemplo: (%i8) integrte(x^m,x); Is m equl to -1? no; (%o8) x^(m+1)/(m+1) Actividd 3.5: Clcul ls siguientes integrles: π ) x 2 e x dx b) xsen(x 2 )dx (%i9) integrte(x^m,x); Is m equl to -1? yes; (%o9) log(x) 4.1. Áre de l región comprendid entre dos curvs Si f y g son dos funciones, entonces el áre A de l región delimitd por ls dos funciones y ls rects x = y x = b viene dd por A = b f (x) g(x) dx. Pr relizr dich integrl con Mxim debemos trocer el intervlo [,b] en subintervlos donde f (x) g(x) o f (x) g(x), y que Mxim no clcul l integrl nterior. Consideremos este problem: cuál es el áre comprendid entre ls curvs f (x) = x 2 y g(x) = x 1/3, pr x [ 1,1]? En este cso, un representción gráfic yudrá: plot2d([x^2,x^(1/3)],[x,-2,2]) cuyo resultdo se muestr l derech. Entonces f (x) g(x) cundo x [ 1,], y f (x) g(x) cundo x [,1]. Por tnto, el áre será: (%i1) integrte(x^2-x^(1/3),x,-1,)+ integrte(x^(1/3)-x^2,x,,1) cuyo resultdo es 3/2. 4

5 Vemos hor el siguiente problem: cuál es el áre de l región cotd comprendid entre l curv y = 6x x 2 y el eje OX? Como ls ríces de l prábol nterior son x = y x = 6, entonces el áre pedid es (%i11) integrte(6*x-x^2,x,,6) cuyo resultdo es 36. Áres de recintos no cotdos: integrles impropis Ls integrles impropis precen cundo el intervlo de integrción no es finito (uno de los extremos es + o ), o cundo l función no es continu. En tl cso, escribimos l sintxis usul, pudiendo ser uno (o mbos) extremos de integrción infinito. Por ejemplo: (%i12) integrte(x^2*exp(-x),x,,inf); (%o12) 2 Not 1: Un integrl impropi no siempre existe. Cundo ocurre que l integrl impropi no puede clculrse, Mxim nos lo dvierte del siguiente modo: (%i13) integrte(1/x,x,,inf); defint: integrl is divergent. -- n error. To debug this try: debugmode(true); Ls integrles impropis permiten clculr áres de regiones no cotds. Por ejemplo: Actividd 3.6: ) Clcul ls siguientes integrles impropis: i) 2 x + (x 2 1) 4/5 dx ii) 2 cuál es el áre de l región S comprendid entre l curv f (x) = x 2 e x y el eje OX, pr x? En este cso, y como f (x), nos están pidiendo l integrl + x 2 e x dx, que y hemos clculdo en (%i12); el resultdo es 2. 1 x 2 1 dx iii) + 1 2π e 1 2 (x 2)2 dx b) Hll el áre de l región comprendid entre ls curvs y = 1 x 2 x e y = 1 x 3 cundo x 3. x 4.2. Longitud de un curv Pr el cálculo de l longitud de un curv hemos de recordr l expresión estudid en teorí: b y = f (x): L = 1 + f (x) 2 dx. En Mxim podemos diseñr un procedimiento generl pr clculr longitudes de funciones. Por ejemplo, cuál es l longitud de l curv f (x) = lnx entre = 3 y b = 8? Hcemos lo siguiente: 5

6 (%i14) f(x):=log(x)$ :sqrt(3)$ b:sqrt(8)$ define(fp(x),diff(f(x),x))$ define(l(x),sqrt(1+fp(x)^2))$ integrte(l(x),x,,b); Actividd 3.7: Clcul l longitud de l prábol y = x entre los vlores x = y x = Volumen de un sólido de revolución Pr el cálculo del volumen de un sólido de revolución, recordemos ls posibiliddes que tenemos: (1) Si el eje es horizontl (l rect y = ): V = π b f (x) 2 dx. d (2) Si el eje es verticl (l rect x = ): V = π g(y) 2 dy. c De nuevo, podemos diseñr en Mxim procedimientos generles pr este tipo de cálculos. Consideremos l función y = x 2, con x [,1]. Se A l región entre l curv y el eje OX y se B l región entre l curv y el eje OY. Cuál es el volumen V A del sólido de revolución obtenido l girr A lrededor del eje OX? Cul es el volumen V B del sólido obtenido l girr B lrededor del eje OY? Región A Los volúmenes V A y V B pueden clculrse del siguiente modo: V A = π y(x) 2 dx = π (x 2 ) 2 dx = π x 4 dx, V B = π Dichos cálculos pueden indicrse en Mxim como sigue: (%i15) f(x):=x^2$ g(y):=sqrt(y)$ :$ b:1$ c:f()$ d:f(b)$ VA:%pi*integrte(f(x)^2,x,,b); VB:%pi*integrte(g(y)^2,y,c,d); Los resultdos obtenidos son V A = π 5 y V B = π 2. Región B x(y) 2 dy = π ( y) 2 dy = π ydy Actividd 3.8: Clcul el volumen del sólido generdo l girr respecto del eje OY l región limitd por ls prábols y = x 2 y 8x = y 2. 6

7 4.4. Áre de un superficie de revolución Recordemos que pr el cálculo del áre de un superficie de revolución distinguiremos dos csos, igul que pr el cálculo de los volúmenes de revolución: que el eje de revolución se horizontl o que se verticl. (1) Cundo el eje de revolución es el eje OX Pr clculr el áre de un superficie de revolución (cuyo eje es el eje OX) se us l siguiente fórmul: b A = 2π f (x) 1 + f (x) 2 dx. Vemos con un ejemplo cómo puede clculrse en Mxim. Cuál es el áre de l superficie generd l girr lrededor del eje OX l curv y = x3 3 entre los puntos de bsciss x = 2 y x = 2? Como vemos, f (x) cundo x [ 2,] y f (x) cundo x [,2], de modo que debemos hcer dos integrles: (%i16) f(x):=x^3/3$ :-2$ b:2$ define(fp(x),diff(f(x),x))$ define(l(x),f(x)*sqrt(1+fp(x)^2))$ Are1:-2*%pi*integrte(L(x),x,,)$ Are2:2*%pi*integrte(L(x),x,,b)$ Are:Are1+Are2$ rtsimp(are) El último comndo rtsimp (ccediendo él trvés de Simplificr > Simplificr expresión) lo utilizmos pr simplificr el resultdo, obteniendo 2π 9 ((173/2 1). Tmbién podemos obtener un vlor numérico medinte numer, flot o bflot. Actividd 3.9: Clcul el áre de l superficie de revolución generd por l curv y = lnx desde x = 1 hst x = 5, l girr lrededor del eje y =. (2) Cundo el eje de revolución es el eje OY Pr clculr el áre lterl de un superficie de revolución (cuyo eje es el eje OY) usremos un fórmul similr: d A = 2π g(y) 1 + g (y) 2 dy. c Actividd 3.1: Clcul el áre de l superficie de revolución generd por l curv y = ln x desde x = 1 hst x = 5, l girr lrededor del eje x =. 7