Integración. 1. El cálculo de áreas, longitudes de arco y volúmenes.

Transcripción

1 Integrción El cálculo integrl es de grn importnci en muchs áres de estudio, como l economí, l biologí, l químic, l físic y l mtemátic en generl. Ls plicciones más conocids del cálculo integrl son en: 1. El cálculo de áres, longitudes de rco y volúmenes. 2. L solución de ecuciones diferenciles. Por lo que ls integrles y derivds son de grn utilidd pr resolver un grn número de problems en físic, y que éstos se modelizn en su myorí con ecuciones diferenciles. 3. El cálculo de probbiliddes pr vribles letoris continus. En este tem vmos considerr dos prtes. En l primer prte nos ocupremos del problem de clculr un primitiv o l integrl indefinid de un función. Es decir, dd un función f(), queremos determinr otr función F () tl que pr todo del dominio de f() se verifique que f() = F (). Por tnto, en l primer prte veremos l integrción como el proceso inverso de l derivción. En l segund prte se define el concepto de integrl de Riemnn, o integrl definid, de un función cotd en un intervlo finito [, b] IR. Este concepto surge de l necesidd de clculr áres de regiones plns limitds por línes curvs. Es decir, se plnte el problem de clculr el áre comprendid entre l curv dd 1

2 2 Integrción por un función positiv f(), por ls rects = y = b, con < b, y el eje de bsciss (vése figur 1). Figur 1: Los problems considerdos en mbs prtes están estrechmente relciondos como veremos medinte el teorem Fundmentl del Cálculo, que relcion l derivd y l integrl y fcilit el cálculo de l integrl definid. Prte I: Cálculo de primitivs 1. Función primitiv. Definición F () es un función primitiv de f() si F () = f() pr todo del dominio de f. OBSERVACIÓN: Ddo que dos funciones que se diferencin en un constnte tienen l mism derivd, se tiene que si F es un primitiv de f entonces F + C, pr todo C IR, tmbién es un primitiv de f.

3 Integrción 3 2. Función integrl indefinid. Definición Dd l función f, se llm función integrl indefinid de f l conjunto de tods sus funciones primitivs, y se escribe: f() d = F () + C donde C es un constnte rbitrri y F un primitiv culquier de f. 3. Integrles inmedits En l tbl 1 se presentn lguns integrles inmedits, obtenids considerndo l integrción como un proceso inverso de l derivción. Tbl 1: Tbl de integrles inmedits k d = k + C e g() g () d = e g() + C g() n g () d = g()n+1 n + 1 g() g () d = g() ln + C + C (n 1) g () d = ln g() + C g() cos g() g () d = sen g() + C sen g() g () d = cos g() + C sec 2 g() g () d= cosec 2 g() g () d = (1 + tg 2 g())g () d = (1 + cotg 2 g())g () d = = g () cos 2 d = tg g() + C g() = g () sen 2 d = cotg g() + C g()

4 4 Integrción Tbl de integrles inmedits (continución) g () d = rc sen g() + C 1 g() 2 g () 1 + g() 2 d = rc tg g() + C g () d = rc cos g() + C 1 g() 2 = rc sen g() + C g () 1 + g 2 d = rc cotg g() + C () = rc tg g() + C 4. Propieddes de l integrl Dds dos funciones f y g que dmiten primitiv y un constnte k IR, se verific: 1. (f() ± g()) d = f() d ± g() d 2. k f() d = k f() d 5. Técnics de integrción En est sección se presentn lguns técnics que permiten trnsformr integrles complicds en otrs más sencills Cmbio de vrible Supongmos que se quiere obtener un integrl del tipo f(g()) g () d, donde f es un función continu y g un función con derivd g continu. Entonces, hciendo t = g(), se tiene f(g()) g () d = f(t) dt

5 Integrción 5 Ejemplo Clculr d ln. Puesto que 1 es l derivd de ln, hciendo el cmbio t = ln, se tiene que dt = 1 d. Entonces, d ln = dt t = ln t + C = ln ln + C Integrción por prtes Si f y g son dos funciones derivbles se verific que f() g () d = f() g() f () g() d Normlmente se suele escribir l epresión nterior de l form siguiente: u dv = u v v du El objetivo es el de reducir l integrl inicil otr más sencill. Por tnto, se elige como u l función cuy derivd resulte ser un función más simple y de modo que sepmos obtener un primitiv pr dv. Ejemplo Clculr cos d. Eligiendo u = y dv = cos d, se tiene que du = d y v = sen. Aplicndo l fórmul de integrción por prtes se obtiene: cos d = sen sen d = sen + cos + C.

6 6 Integrción 6. Integrción de funciones rcionles Un función es rcionl si es el cociente de dos polinomios, es decir, f() = P () Q(). Su dominio es IR menos los puntos en los que se nule el denomindor. Ls funciones rcionles se pueden descomponer en frcciones simples. Supondremos que el grdo del numerdor es menor que el del denomindor. Si no fuese sí, se hce l división y se epres el numerdor (P ()) en función del denomindor (Q()), del cociente (C()) y del resto (R()), es decir, P () = Q() C() + R(). Dividiendo mbos miembros por Q() se obtiene: P () Q() = C() + R() Q() donde C(X) y R() son polinomios y el grdo de R() es menor que el grdo de Q(). Por tnto, l integrción de P () se reduce l integrción del polinomio C(), Q() que es inmedit, y l de R(), cuyo numerdor tiene grdo menor que el denomindor. Q() Así, supondremos que el grdo del numerdor de P () es menor que el grdo del Q() denomindor. Tmbién supondremos que el coeficiente del término de myor grdo de Q() es 1. Q(). Descomposición en frcciones simples: Sen 1, 2,..., n ls ríces de Cso 1: Ls ríces i son reles y distints. Entonces, P () Q() se puede descomponer de l form siguiente: P () Q() = A 1 + A A n 1 2 n

7 Integrción 7 y por tnto, P () Q() d = A 1 d + 1 A 2 d A n n d donde A i i d = A i ln i + C. Determinción de A i : P () Q() = P () ( 1 )( 2 )... ( n ) = A A A n n, multiplicndo mbos miembros de l iguldd por ( i ) se obtiene: P () ( 1 )... ( i 1 )( i+1 )... ( n ) = A 1 ( i ) A i 1( i ) i 1 + A i( i ) i + A i+1( i ) i A n( i ) n = A 1 ( i ) A i 1( i ) i 1 + A i + A i+1( i ) i A n( i ) n, y sustituyendo por i, se tiene que A i = Ejemplo: P ( i ) ( i 1 )... ( i i 1 )( i i+1 )... ( i n ) = d. ( 1)( 2) = A A 2 2, multiplicndo mbos miembros por ( 1), se obtiene: 2 = A 1 + A 2( 1) 2, y pr = 1 se tiene que A 1 = 1. De form nálog se obtiene A 2, es decir, multiplicndo mbos miembros por ( 2): 1 = A 1( 2) 1 + A 2, y pr = 2 se tiene que A 2 = 2.

8 8 Integrción Así, d = 1 1 d d = ln ln 2 + C. Cso 2: Ls ríces son reles pero lguns con multiplicidd myor que 1. Sen 1, 2,..., k ls ríces, con multiplicidd n 1, n 2,..., n k, respectivmente, siendo n 1 +n n k = n (grdo de Q()). Entonces, P () se puede descomponer Q() de l form siguiente: P () Q() = +. A 11 + A 12 1 ( 1 ) A 1n 1 ( 1 ) n 1 A 21 + A 22 2 ( 2 ) A 2n 2 ( 2 ) n 2 + A k1 + A k2 k ( k ) A kn k ( k ) n k y por tnto, P () Q() d = donde +. + A 11 d + 1 A 21 d + 2 A k1 d + k A 12 ( 1 ) 2 d A 22 ( 2 ) 2 d A k2 ( k ) 2 d A ij ( i ) h d = A ij h 1 + C, si h 1. (h 1)( i ) Los coeficientes A 11,..., A knk A 1n1 ( 1 ) n 1 d A 2n2 ( 2 ) n 2 d A knk ( k ) n k d se obtienen reduciendo común denomindor. El mínimo común múltiplo será Q(), e igulndo los numerdores se obtiene un sistem de n ecuciones con n incógnits. Ejemplo: = d. ( 1) 3 = A 1 + B ( 1) 2 + C ( 1) 3 =

9 Integrción 9 y ddo que los denomindores son igules, tmbién deben coincidir los numerdores. A( 1) 2 + B( 1) + C ( 1) 3 = A2 + ( 2A + B) + (A B + C) ( 1) 3, es decir, ( 1) 3 = A2 + ( 2A + B) + (A B + C) ( 1) 3, Por tnto, igulndo los coeficientes de términos del mismo grdo, se tiene: A = B 2A = 1 A B + C = y como consecuenci: A =, B = 1 y C = 1. Así, d = 1 ( 1) + 1 2( 1) 2 + C. 1 ( 1) 2 d + 1 ( 1) 3 d = 7. Integrción de funciones trigonométrics Ls integrles sen() cos(b) d, sen() sen(b) d y cos() cos(b) d se trnsformn en integrles inmedits medinte ls siguientes fórmuls: 2 sen sen y = cos ( y) cos ( + y) 2 cos cos y = cos ( y) + cos ( + y) 2 sen cos y = sen ( y) + sen ( + y) Ejemplo: sen 2 d.

10 1 Integrción Aplicndo l primer iguldd, se tiene que sen 2 d = 12 (1 cos (2)) d = 1 2 ( 2 1 sen (2)) + C. sen 2 = 2 1 (1 cos (2)), por tnto, 8. Ejercicios Clculr ls siguientes integrles indefinids: ( ) d = C d d 4 = C = ln C 2 e d = ( )e + C 12. ( ) d ln 3 + ln d = ln 3 + ln + C = 3 + ( 2 1) C e 2 d = 1 2 e2 + C 13. e cos d= e 2 (sen + cos )+C sen (3)cos (2) d d = 1 + ln C = cos(5) 1 cos 2 + C 15. cos 2 3 d = 2 + sen C 7. d 2 4 d = ln C ( ) 3 d 8. e e + d = e e + C = 1 2( ) 2 + C sen 2 2 cos 2 d = sen 2 = tg + ln cos + C + C d = 5 ln 2 3 ln 1 + C

11 Integrción 11 Prte II: Integrl Definid o integrl de Riemnn 1. Definiciones generles Prtición. Definición Ddo un intervlo [, b] IR, se llm prtición de [, b] un colección finit de puntos en el intervlo, P = {, 1,..., n }, tles que = < 1 <... < n = b. Tod prtición P del intervlo [, b] divide éste en n subintervlos [ i, i+1 ], i =, 1,..., n 1. Sum superior e inferior. Definición Se f : [, b] IR un función cotd, y se P = {, 1,..., n } un prtición de [, b]. ) Se define l sum inferior de f en [, b] con respecto l prtición P, y se denot por L(P, f), como: n L(P, f) = m i ( i i 1 ), donde m i = inf{f() : i 1 i } i=1 ) Se define l sum superior de f en [, b] con respecto l prtición P, y se denot por U(P, f), como: n U(P, f) = M i ( i i 1 ), donde M i = sup{f() : i 1 i } i=1 En l figur 2 se representn ls áres ls que hcen referenci l sum superior y l sum inferior de un función f() respecto de un determind prtición del intervlo [, b].

12 12 Integrción Figur 2: 2. Integrbilidd. Definición Se dice que l función f : [, b] IR cotd es integrble Riemnn (o simplemente integrble) en [, b] si sup{l(p, f) : P prtición de[, b]} = inf{u(p, f) : P prtición de[, b]} A este número se le denomin integrl definid o integrl de Riemnn de f() en [, b] y se denot por b f o b f() d. Nots: 1. Cundo = b o b < se utilizrá el convenio siguiente: f() d = y b f() d = f() d b 2. Si f es integrble y positiv en el intervlo [, b], b f() d es el áre de l región limitd por l función f(), el eje OX y ls rects = y = b. 3. Funciones integrbles Se f : [, b] IR un función cotd. Se verific: 1. Si f es monóton en [, b], entonces f es integrble en [, b].

13 Integrción Si f es continu en [, b], entonces f es integrble en [, b]. 3. Si f es continu en [, b] slvo en un conjunto finito, o incluso infinito numerble, de puntos de [, b], entonces f es integrble en [, b]. 4. Se c (, b), entonces f es integrble en [, b] si y sólo si es integrble en [, c] y en [c, b] y b f() d = c f() d + b c f() d 5. Si f : [, b] IR es integrble, entonces f tmbién es integrble y b b f() d d f() 6. Si f : [, b] IR es integrble, entonces, pr todo n IN, f n tmbién es integrble. 7. Si f, g : [, b] IR son integrbles, entonces fg es integrble en [, b]. 8. Si f : [, b] IR es integrble y f() δ > pr todo [, b], entonces 1 f es integrble en [, b]. 4. Propieddes básics de l integrl 1. Si f, g : [, b] IR son integrbles y λ IR, entonces: i) f + g es integrble y ii) λf es integrble y b b (f() + g()) d = λf() d = λ b b f() d. f() d + b g() d. 2. Si f, g : [, b] IR son funciones integrbles tles que f() g() pr todo [, b], se verific que b f() d b g() d

14 14 Integrción 5. Teorem Fundmentl del Cálculo y Regl de Brrow Teorem Fundmentl del Cálculo Se f : [, b] IR continu y se G : [, b] IR. Entonces son equivlentes i) G es continu en [, b], derivble en (, b) y G () = f() pr todo (, b). ii) G() G() = f(t) dt pr todo [, b]. Corolrio. Regl de Brrow Si f es un función continu en [, b] y G es continu en [, b], derivble en (, b) y tl que G () = f() pr todo (, b), entonces b f() d = G(b) G() El Teorem Fundmentl del Cálculo relcion los dos conceptos más importntes del Análisis, l derivción y l integrción. L regl de Brrow reduce el problem del cálculo del áre encontrr un función primitiv de f, pr lo que se usrán ls técnics vists en l Prte I. A continución se dn ls versiones pr l integrl definid de l integrción por prtes y de l técnic del cmbio de vrible. Integrción por prtes Si f, g : [, b] IR son dos funciones con derivd continu, entonces b f () g() d = f(b) g(b) f() g() b f() g () d

15 Integrción 15 Cmbio de vrible Se g un función con derivd g continu en [, b] y f : g([, b]) IR continu. Entonces, hciendo el cmbio t = g(), se tiene b f(g()) g () d = g(b) g() f(t) dt 6. Integrles impropis En est sección se trt de generlizr el concepto de integrl definid en IR csos en los que interviene el infinito, y se porque el intervlo de integrción se no cotdo, o porque l función integrr se no cotd. Integrl impropi. Definición L integrl siguientes: b f() d se dice que es impropi si ocurre l menos un de ls hipótesis i) El intervlo (, b) no está cotdo. ii) L función f no está cotd en el intervlo (, b) Integrles en intervlos no cotdos Integrl impropi de primer especie. Definición Se denominn integrles impropis de primer especie ls integrles de funciones cotds sobre intervlos de longitud infinit, es decir, integrles del tipo: b ) f() d b) f() d c) f() d

16 16 Integrción ) Se f() un función cotd e integrble en todo intervlo de l form [M, b], siendo b un vlor fijo y M un vlor culquier tl que M b. Se define l integrl impropi b b f() d como f() d = b lim f() d M M L integrl del primer miembro se dice que es convergente o divergente según que eist límite finito o infinito en el segundo miembro. Si no eiste dicho límite, se dice que no eiste l integrl. Figur 3: El áre de l zon sombred es finit si l integrl es convergente e infinit si es divergente (vése figur 3). b) Se f() un función cotd e integrble en todo intervlo de l form [, M], siendo un vlor fijo y M un vlor culquier tl que M. Se define l integrl impropi f() d como f() d = lim M M f() d L integrl del primer miembro se dice que es convergente o divergente según que eist límite finito o infinito en el segundo miembro. Si no eiste dicho límite, se dice que no eiste l integrl. El áre de l zon sombred es finit si l integrl es convergente e infinit si es divergente (vése figur 4).

17 Integrción 17 Figur 4: c) Se define f() d = c f() d + c f() d, siendo c un número rel rbitrrio. Entonces, teniendo en cuent ) y b), se tiene que f() d = c M2 lim f() d + lim f() d M 1 M 1 M 2 c L integrl del primer miembro se dice que es convergente si eisten y son finitos mbos límites, y se dice divergente si l menos uno de los dos límites es infinito. En otro cso, se dice que no eiste l integrl. El crácter de l integrl y su vlor no dependen del c elegido. Ejemplo L integrl e 3 d es un integrl impropi de primer especie y que l función f() = e 3 es cotd e integrble en todo intervlo de l form [, M]. Entonces, e 3 d = lim M M e 3 d = lim M [ ] e 3 M 3 e 3M 1 = lim M 3 = 1 3

18 18 Integrción 6.2. Integrles de funciones no cotds Integrl impropi de segund especie. Definición Se denomimn integrles impropis de segund especie ls integrles de funciones no cotds en ningún entorno de uno o vrios puntos de un intervlo finito [, b]. ) Cso de un solo punto de no cotción correspondiente l límite superior b. Se f() un función integrble en todo intervlo cerrdo contenido en [, b). Se define l integrl impropi b b f() d como f() d = lim ε + b ε f() d L integrl del primer miembro se dice que es convergente o divergente según que eist límite finito o infinito en el segundo miembro. Si no eiste dicho límite, se dice que no eiste l integrl. Figur 5: El áre de l zon sombred es finit si l integrl es convergente e infinit si es divergente (vése figur 5). b) Cso de un solo punto de no cotción correspondiente l límite inferior.

19 Integrción 19 Se f() un función integrble en todo intervlo cerrdo contenido en (, b]. Se define l integrl impropi b b f() d como b f() d = lim f() d ε + +ε L integrl del primer miembro se dice que es convergente o divergente según que eist límite finito o infinito en el segundo miembro. Si no eiste dicho límite, se dice que no eiste l integrl. Figur 6: El áre de l zon sombred es finit si l integrl es convergente e infinit si es divergente (vése figur 6). c) Cso de un solo punto c interior l intervlo [, b]. Se define b f() d = c = lim ε 1 + f() d + c ε1 b c f() d f() d + lim ε 2 + b c+ε 2 f() d L integrl del primer miembro se dice que es convergente si eisten y son finitos mbos límites, y se dice divergente si l menos uno de los dos límites es infinito. En otro cso, se dice que no eiste l integrl. Dd un función continu en un intervlo, slvo en un número finito de puntos, y no cotd en ningún entorno de dichos puntos, se usrá l propiedd

20 2 Integrción de ditividd respecto del intervlo de integrción pr descomponer l integrl en sum de ls que fuese necesrio, de modo que pr cd intervlo de integrción l función únicmente no esté cotd en uno de los etremos. Ejemplo L integrl 1 d es un integrl impropi de segund especie y que l función 1 2 f() = Entonces, es no cotd en el punto = 1 correspondiente l límite superior. 1 d 1 2 = lim ε + b ε d = lim sen]1 ε 1 2 ε +[rc = lim ε + (rc sen(1 ε) rc sen ) = π Integrl impropi de tercer especie. Definición Se denominn integrles impropis de tercer especie ls integrles sobre intervlos no cotdos de funciones no cotds en ningún entorno de uno o vrios puntos de un intervlo [, b]. El estudio de un integrl impropi de tercer especie se reduce, por l ditividd respecto l intervlo, estudir por seprdo un (o dos) integrles de primer especie y un (o vris) de segund especie. Si tods ls integrles de los sumndos son convergentes, l dd es convergente. Si lgun es divergente, l dd es divergente.

21 Integrción Aplicciones geométrics de l integrl En est sección veremos lguns plicciones de tipo geométrico del cálculo integrl, como el cálculo de áres, longitudes de rco y volúmenes, que se pueden trtr medinte integrles de funciones de un vrible Áre de un región pln Si f y g son funciones integrbles en [, b] y g() f() pr todo [, b], entonces el áre de l región pln limitd por ls curvs y = f(), y = g() y ls rects verticles = y = b (vése figur 7) es A = b (f() g()) d Figur 7: Observciones: 1. El intervlo (, b) puede ser infinito y en ese cso l definición es nálog, pero es preciso que l integrl impropi se convergente.

22 22 Integrción 2. Si f() y g() =, se obtiene el áre de l figur pln determind por f, ls rects verticles = y = b y el eje de bsciss (vése figur 8), que es A = b f() d Figur 8: 3. Supongmos que f() pr [, c] y f() pr [c, b], entonces podemos obtener el áre de l región pln encerrd por f, ls rects verticles = y = b y el eje de OX de l form siguiente (vése figur 9): A = c puesto que f() pr [c, b] y f() d b c Figur 9: b c f() d b f() d = f() d c

23 Integrción Longitud de un rco de curv Dd l curv y = f(), siendo f un función derivble y con derivd continu en [, b], l longitud del rco AB de dich curv viene dd por l = b 1 + (f ()) 2 d siendo A y B los puntos de coordends (, f()) y (b, f(b)) respectivmente (vése figur 1). Figur 1: 7.3. Volumen de un cuerpo de revolución Si se hce girr l curv y = f() lrededor del eje OX se gener un sólido de revolución cuyos cortes perpendiculres l eje OX tienen áre A() = π(f()) 2 (l ser circunferencis de rdio f() ) (vése figur 11); por tnto, V = b b π(f()) 2 d = π (f()) 2 d

24 24 Integrción Figur 11: 7.4. Áre de un superficie de revolución Se y = f() con f() > pr todo [, b] y f continu en [, b]. Entonces el áre de l superficie de revolución engendrd l girr l curv y = f() lrededor del eje OX entre los vlores de bsciss y b es b A = 2π f() 1 + (f ()) 2 d 8. Ejercicios 1. Clculr ls siguientes integrles definids: 1. 2 ( + 3 ) d = d 1 + = 2(1 ln 2) d = ln π/2 cos d = π π/4 cos 2 2 d = π 4 6. π 2 sen d = 2π

25 Integrción Clculr ls siguientes integrles impropis, cso de que sen convergentes: d 3 = 5. 1 ln d no es convergente 2. 1 d 3 = e d = d ( 1) 2 no es convergente 7. e d = d ( 1) 2 no es convergente 8. e 2 d no es convergente 3. Determinr el áre limitd por y = y el eje OX entre: ) = y = 1 b) = 1 y = 3 4. Clculr el áre limitd por y = ( 1) 2 y el eje OX entre = y = Obtener el áre limitd por l ond y = sen y el eje de bsciss en el intervlo [, 2π]. 6. Hllr el áre comprendid por ls curvs: ) y = 2 e y = 2 4 b) y = 2 y y + 2 = 7. Determinr l longitud del rco ) de l curv y = e + e 2 y 2 = 1. comprendido entre los puntos de bsciss 1 = 1 b) de l curv y = 2 + rc sen comprendido entre los puntos de bsciss 1 = y 2 = Hllr el volumen engendrdo por l rotción lrededor del eje OX de l superficie limitd por dicho eje, l curv y = 3 y l rect = 1.

26 26 Integrción 9. Clculr el volumen del sólido engendrdo por l rotción, lrededor del eje OX, de l figur limitd por l curv y = e + e 2, el eje OX y ls rects = y = ln Obtener el áre de l superficie generd por l rotción, lrededor del eje OX, de l curv y = 3 entre los puntos = 1 y = Hllr el áre de l superficie que se obtiene l girr, en torno l eje OX, l curv y = 4 entre ls bsciss y 1.