6.1. Integral de Riemann de una función.

Transcripción

1 Tem 6 L integrl definid 6.. Integrl de Riemnn de un función. En un principio (Euler), el cálculo integrl se definí como l operción invers l diferencición, sin embrgo, en l primer mitd del siglo XIX se empezó ver l necesidd de definir l integrl de un función directmente, retomndo l viej ide del áre. Los primeros trbjos en este sentido son debidos Cuchy. L ide er utilizr el concepto de límite pr definir l integrl como el límite de un sum de rectángulos y después probr l relción con l derivd, es decir, el teorem fundmentl de cálculo. Cuchy desrrolló ests ides sólo pr funciones continus. Puesto que no tods ls funciones ibn ser integrbles, prej l necesidd de extender l integrl, surge l necesidd de estblecer criterios pr sber que funciones son susceptibles de dmitir un integrl extendiendo l definición de Cuchy. Un pso decisivo en este cmino lo dio Riemnn, que mplió l definición de integrl pr funciones no necesrimente continus, estbleciendo un criterio de integrbilidd. Es lo que hoy conocemos como l integrl de Riemnn, que exponemos continución. Definición 6... Se [, b] R. Un prtición P del intervlo [, b] es un conjunto { = x, x,..., x n = b} [, b] tl que = x < x < < x n = b. Se llm diámetro 75

2 Curso 4/5 Mtemátics (Grdo en Químic) de l prtición máx{x i x i ; i =,..., n}. Dds dos prticiones P, P de un mismo intervlo, se dice que P es más fin que P si P P. Not 6... Llmremos P[, b] l conjunto de ls prticiones de [, b]. Si P, Q P[, b] l prtición R = P Q P[, b] es más fin que P y que Q. Definición Se f : [, b] R cotd y P = {x, x,..., x n } P[, b], y sen m i = ínf{f(x), x [x i, x i ]}, M i = sup{f(x), x [x i, x i ]}. Se llm sum inferior de Riemnn de f respecto de P n L(f, P ) = m i (x i x i ). Se llm sum superior de Riemnn de f respecto de P n U(f, P ) = M i (x i x i ). i= i= Exponemos hor uns propieddes de ls sums superior e inferior que nos permitirán definir l integrl superior e inferior de Riemnn, y por consiguiente, l integrl. Proposición Se f : [, b] R cotd y P, Q P[, b], se verific:. L(f, P ) U(f, P ).. Si Q es más fin que P entonces, L(f, P ) L(f, Q) y U(f, P ) U(f, Q). 3. L(f, P ) U(f, Q). Not El conjunto de ls sums inferiores de Riemnn {L(f, P ) : P P[, b]} está cotdo superiormente, siendo un cot superior culquier U(f, P ). Análogmente, el conjunto de ls sums superiores de Riemnn {U(f, P ) : P P[, b]} está cotdo inferiormente, siendo un cot inferior culquier L(f, P ). 76

3 Grupos A y D Curso 4/5 Definición Llmmos integrl inferior de f en [, b] f(x) dx = sup{l(f, P ) : P P[, b]}. Llmmos integrl superior de f en [, b] f(x) dx = ínf{u(f, P ) : P P[, b]}. Es clro que f(x) dx f(x) dx. Definición Se dice que f es integrble Riemnn en [, b] ( lo que se denot por f R[, b] ), si f(x) dx = f(x) dx. Al vlor común se le llm integrl de Riemnn de f en [, b], y se escribe f(x) dx = f(x) dx = f(x) dx. 6.. Funciones integrbles Comenzmos l sección con lgún ejemplo de funciones que sen integrbles y que no lo sen, como los siguientes: Ejemplos 6... Se f un función constnte, f(x) = k, x [, b]. Entonces f R[, b] y demás, k dx = k(b ). si x Q Se f : [, ] R dd por f(x) = si x / Q. En este cso, f no es integrble Riemnn en [, ]. 77

4 Curso 4/5 Mtemátics (Grdo en Químic) El siguiente resultdo es un importnte crcterizción de l integrbilidd Riemnn y tiene l ventj de que en su enuncido no se necesit el vlor de l integrl. Teorem 6... Se f : [, b] R cotd, entonces, f R[, b] si y sólo si pr todo ε >, existe un prtición P P[, b] tl que U(f, P ) L(f, P ) < ε. Teorem Si f : [, b] R es monóton, entonces, f R[, b]. Teorem Si f : [, b] R es continu, entonces, f R[, b]. Además, si P n es l prtición de [, b] resultnte de dividir el intervlo [, b] en n intervlos igules de mplitud b, se verific n y si z i [x i, x i ] se verific f(x) dx = lím n U(f, P n) = lím n L(f, P n) b f(x) dx = lím n n n f(z i ). i= Teorem Si f : [, b] R está cotd y es continu slvo en un número finito de puntos, entonces, f R[, b] Propieddes de ls funciones integrbles. Proposición Sen f, g : [, b] R con f, g R[, b] y sen α R, c (, b). Se verific ) f + g R[, b] y ) αf R[, b] y (f(x) + g(x)) dx = (αf(x)) dx = α 3) R[, b] = R[, c] R[c, b], y f R[, b], f(x) dx = f(x) dx + c f(x) dx. f(x) dx + c f(x) dx. g(x) dx. 78

5 Grupos A y D Curso 4/5 4) f g R[, b]. 5) f R[, b]. Pr que formlmente sen válids ests propieddes en los csos extremos, definimos: f(x) dx =. Si b >, f(x) dx = b f(x) dx. Proposición ) Si f en [, b], entonces ) Si f g en [, b], entonces 3) f(x) dx f(x) dx. f(x) dx f(x) dx. g(x) dx. Teorem (del vlor medio integrl). Se f : [, b] R cotd y f R[, b]. Si m = ínf f y M = sup f, entonces [,b] [,b] Además, si f es continu en [, b], m b f(x) dx M. c [, b] tl que f(c) = b f(x) dx. Teorem Se f R[, b] y g : f ([, b]) R continu. Entonces g f R[, b] Teorem fundmentl del Cálculo Integrl. En est sección bordmos este importnte teorem y su corolrio más conocido, l regl de Brrow, que nos permitirá evlur l integrl de un función cundo se conozc un de sus primitivs. 79

6 Curso 4/5 Mtemátics (Grdo en Químic) Teorem Se f R[, b]. L función F : [, b] R definid como F (x) = es continu en [, b]. x f(t) dt, x [, b] Teorem 6.4. (Teorem fundmentl del Cálculo integrl). Se f R[, b]. Si f es continu en c [, b], entonces F (x) = F (c) = f(c). x f(t) dt, (x [, b]) es derivble en c y demás, Corolrio En ls condiciones del teorem nterior, si f es continu en [, b], entonces F (x) es derivble en (, b), con F (x) = f(x), x (, b), por lo que F (x) es un primitiv de f(x). Corolrio (Regl de Brrow). Si f : [, b] R es continu en [, b] y G(x) es un primitiv de f(x) en [, b], entonces f(x) dx = G(b) G() Integrción por sustitución y por prtes Teorem 6.5. (Integrción por prtes). Sen f, g : [, b] R derivbles tles que f, g R[, b]. Entonces, f(x)g (x) dx = f(b)g(b) f()g() f (x)g(x) dx. Teorem 6.5. (Integrción por sustitución). Se g : [, b] R derivble con g R[, b], y se f continu en g ([, b]). Entonces, f(x)g (x) dx = g(b) g() f(t)dt. 8

7 Grupos A y D Curso 4/ Integrles impropis Se debe Cuchy l primer extensión de l integrl pr funciones definids en un intervlo no cotdo y pr funciones no cotds en los extremos del intervlo, es lo que conocemos en l ctulidd como vlor principl de Cuchy. L definición de integrl impropi se debe Riemnn Integrción en intervlos no compctos. Definición Se f : [, + ) R con f R[, b] pr todo b >. Se llm integrl impropi de primer especie de f en [, + ) l límite lím b + f(x) dx. Si existe el límite y es finito, se dice que l integrl impropi es convergente; en cso contrrio se dice que l integrl impropi diverge. Si es convergente se escribe: f(x) dx = lím b + f(x)dx. Nots ) Si f tiene primitiv F en [, + ), entonces f(x) dx = lím [F (b) F ()] = b + [ ] lím F (b) b + F (). ) Si f : (, b] R con f R[, b] pr todo < b, se define nálogmente: f(x) dx = lím f(x)dx. Definición Se f : [, b) R con f R[, c] pr todo c (, b). Se llm integrl impropi de segund especie de f en [, b) l límite lím c b c f(x) dx. Si existe el límite y es finito, se dice que l integrl impropi es convergente, y su vlor se denot por f(x) dx. En cso contrrio se dice que l integrl impropi diverge. Análogmente se procede si f está definid en (, b]. No se exige en est definición que f se cotd. De ser sí, signándole f un vlor en b, comprobrímos que es integrble en [, b], que existe l integrl impropi y que tienen el mismo vlor. 8

8 Curso 4/5 Mtemátics (Grdo en Químic) Teorem Se I lgún intervlo de l form [, + ), (, b], [, b), (, b] y f, g : I R tles que f(x) dx, g(x) dx convergen, entonces tmbién convergen (f(x) + I I I g(x)) dx, αg(x) dx, α R y se verific: I I (f(x) + g(x)) dx = I f(x) dx + g(x) dx, I I αg(x) dx = α g(x) dx. I Definición Se f : R R con f R[, b],, b R, ( < b). Decimos que en ese cso, f(x) dx converge si existe un R tl que f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx e f(x) dx. f(x) dx convergen; Puede probrse que en l definición nterior el vlor de es irrelevnte. Definición Se f : R R con f R[, ], R. Se llm vlor principl de Cuchy de f(x) dx l límite lím + f(x) dx. Not Evidentemente no coinciden en generl el vlor principl de Cuchy con l integrl impropi en todo R (tomr por ejemplo f(x) = x), pero si entonces existe el vlor principl de Cuchy y mbos coinciden. f(x) dx converge, Definición Se f : (, + ) R con (, + ). Se dice que c f(x) dx convergen, en cuyo cso, lím f(x) = y x + f(x) dx es convergente si existe un c > tl que f(x) dx = c f(x) dx + c f(x) dx f R[b, c] [b, c] c f(x) dx e A ests integrles se les llm integrles mixts de primer y de segund especie. Es clro que pueden drse definiciones nálogs pr otros tipos de intervlos. 8

9 Grupos A y D Curso 4/ Criterios de convergenci Los resultdos que vmos exponer son válidos tnto pr integrles impropis de primer especie como de segund especie, por lo que los enunciremos sólo pr ls de primer especie. Teorem Se l función f : [, + ) R con f(x), x [, + ) y f R[, b], b R, (b > ). Entonces que f(x)dx M, b. f(x) dx converge si y sólo si existe M > tl Teorem 6.6. (Criterio de comprción). Sen ls funciones f, g : [, + ) R, tles que f(x) g(x) x [, + ) con f, g R[, b], b >. Se verific: Si Si g(x) dx converge, entonces f(x) dx diverge, entonces f(x) dx f(x) dx converge y es g(x) dx. g(x) dx diverge. Teorem 6.6. (Criterio de comprción por pso l límite). Sen ls funciones f, g : [, + ) R, tles que f(x), g(x) > x [, + ) con f, g R[, b], b > y f(x) lím = λ. Se verific: x + g(x) Si < λ < +, ls integrles crácter. Si λ =, l convergenci Si λ = +, l convergenci f(x) dx e g(x) dx implic l convergenci de f(x) dx implic l convergenci de g(x) dx tienen el mismo f(x) dx. g(x) dx. Estos criterios de comprción necesitn del conocimiento del crácter de lgun integrl impropi que sirv de test. Hbitulmente utilizremos ls integrles: dx ( > ) que converge si α >. xα 83

10 Curso 4/5 Mtemátics (Grdo en Químic) dx ( > ) que converge si α <. xα Teorem ) Se f : [, + ) R integrble Riemnn en [, b], b. Se verific: Si existe p > tl que converge. Si existe p tl que diverge. lím x + xp f(x) = λ con λ < +, entonces lím x + xp f(x) = λ con < λ +, entonces ) Se f : (, b] R integrble Riemnn en [, b], (, b). Se verific: Si existe p < tl que converge. Si existe p tl que diverge. lím xp f(x) = λ con λ < +, entonces x + lím xp f(x) = λ con < λ +, entonces x + f(x) dx f(x) dx f(x) dx f(x) dx Teorem (Criterio integrl pr series). Se f : [, + ) R un función decreciente con f(x) >, y { n } un sucesión de términos positivos tl que n = f(n), n N. Bjo ests condiciones, l serie crácter. + n= n y l integrl impropi f(x) dx tienen el mismo Convergenci bsolut. Cundo el signo del integrndo no es constnte, es más complicdo estudir l convergenci de l integrl impropi. Por nlogí con series numérics, estudimos l convergenci bsolut y condicionl de ests integrles. Definición Se f : [, + ) R. Se dice que l integrl f(x)dx es bsolutmente convergente si f(x) dx es convergente. 84

11 Grupos A y D Curso 4/5 Definición Si f(x)dx es convergente pero dice que l integrl impropi es condicionlmente convergente. f(x) dx es divergente, se Análogmente se definen los conceptos nteriores pr ls integrles impropis de segund especie. f(x)dx es con- Teorem Si vergente. f(x)dx converge bsolutmente, entonces Not El recíproco del teorem nterior no es cierto, pues se puede probr que x p sen x dx converge si p >. Pero es bsolutmente convergente si p > y l convergenci es condicionl pr < p, y que en este cso, l integrl diverge. x p sen x dx Ls funciones Gmm y Bet. Definición Se llm función gmm de Euler l función Γ : (, + ) R dd por Γ(x) = e t t x dt. Not Est definición tiene sentido, pues si considermos l integrl impropi e x x p dx = e x x p dx + tenemos que, plicndo los criterios de convergenci nteriores, e x x p dx y Por tnto, e x x p dx converge p R e x x p dt converge p >. e x x p dx converge p >. 85

12 Curso 4/5 Mtemátics (Grdo en Químic) Proposición ) Γ() =. ) x >, Γ(x + ) = xγ(x). 3) n N, Γ(n) = (n )!. Definición Se llm función bet de Euler l plicción B : (, + ) (, + ) R dd por B(x, y) = t x ( t) y dt. Vemos que est definición tiene sentido probndo el siguiente: Teorem Si x, y >, l integrl impropi t x ( t) y dt es convergente. Proposición Se verific: B(x, y) = B(y, x). B(x, y) = Γ(x)Γ(y) Γ(x + y). Como plicción direct de est últim iguldd, y teniendo presente que e x dx = ( ) + Γ, podemos deducir el vlor de l integrl de Guss e x dx = π, tn importnte, entre otrs coss, pr el Cálculo de Probbiliddes. 86

13 Grupos A y D Curso 4/ Aplicciones de l integrl Áre de figurs plns. Definición Se f : [, b] R continu y f(x) x [, b]. El áre del recinto {(x, y) R : x b, y f(x)} viene dd por l integrl: A = f(x) dx. Est definición se puede extender otros recintos plnos. Definición Si l función fuese negtiv, el áre del recinto {(x, y) R : x b, f(x) y } serí: A = f(x)dx Si l función no tiene signo constnte, el áre serí l sum de ls áres prciles de los recintos donde se conserv el signo. Si se trt del áre del recinto delimitdo por dos curvs {(x, y) R : x b, f(x) y g(x)}, el áre será: A = [g(x) f(x)] dx Longitud de rcos de curv. Se define l longitud del rco de curv y = f(x) entre los puntos A(, f()) y B(b, f(b)) como l = + (f (x)) dx. 87

14 Curso 4/5 Mtemátics (Grdo en Químic) Volúmenes. Definición Se un conjunto C R 3 con C [, b] R. Asimismo, se A(x) el áre de l región pln {(y, z) R : (x, y, z) C}. Si A(x) R[, b], entonces el volumen del sólido C es: V = A(x) dx. El ppel que jueg en l definición el eje OX puede desempeñrlo otro eje culquier, considerndo entonces secciones del sólido perpendiculres dicho eje. L definición nterior expres el principio de Cvlieri de cálculo de volúmenes. Como plicción de est fórmul, clculmos los volúmenes de cuerpos de revolución. Definición Se f : [, b] R cotd. Consideremos el conjunto de R 3 ddo por C = {(x, y, z) R 3 : x [, b], y + z (f(x)) }. Si (f(x)) R[, b], el volumen de C es: V = π (f(x)) dx. Not Análogmente, si f(x) dmite invers en [, b] y es c = f (), y d = f (b), el volumen del cuerpo generdo l girr l región {(x, y) R : c y d, x f (y)} lrededor del eje de ordends es: V = π d c (f (y)) dy. R Nos proponemos hor definir el volumen del sólido generdo l girr el recinto {(x, y) : x b, y f(x)} lrededor del eje de ordends. Aproximndo dicho volumen por cilindros concéntricos, llegmos l siguiente definición: Definición En ls condiciones de l nterior definición, el volumen del cuerpo generdo l girr l región {(x, y) R : x b, y f(x)} 88

15 Grupos A y D Curso 4/5 lrededor del eje de ordends es: V = π x f(x) dx Áre de superficies de revolución. Se trt, en est seción, de encontrr l superficie lterl del sólido C = {(x, y, z) R 3 : x [, b], y +z (f(x)) }, generdo l girr lrededor del eje de bsciss l región {(x, y) R : x b, y f(x)}. El rzonmiento que nos llev definir el áre será l proximción por superficies de troncos de cono. Definición Si f : [, b] R es continu y derivble, y f (x) integrble en [, b], el áre lterl del sólido C = {(x, y, z) R 3 : x [, b], y + z (f(x)) } viene dd por l integrl S = π f(x) + (f (x)) dx Aplicciones físics. Son muchs ls plicciones de l integrl l cmpo físico, de entre ells destcmos ls siguientes: Momentos estático El momento estático respecto de los ejes de bsciss y de ordends de un curv x = x(s), y = y(s) donde el prámetro s es l longitud del rco es: M x = L y(s) ds, M y = L x(s) ds, 89

16 Curso 4/5 Mtemátics (Grdo en Químic) con L l longitud totl del rco. Los respectivos momentos estáticos de un figur pln (x, y) R b, y f(x), son: M x = f(x) f(x) dx, M y = x f(x) dx. con x Momentos de inerci El momento de inerci respecto un eje l de un sistem de n puntos mteriles de n mss m, m,..., m n es I l = m i d i. Cundo l distribución de l ms se continu, i= I l = h (x)m (x) dx donde m(x) es l ms y h(x) l distnci l eje OX, con y b los puntos extremos del cuerpo en cuestión. Centro de grvedd Ls coordends (x, y) del centro de grvedd de un rco de curv pln y = f(x) ( x b) son: x = L x + (f (x)) dx, donde L es l longitud del rco de curv. y = L f(x) + (f (x)) dx, Ls coordends (x, y) del centro de grvedd de un región pln {(x, y) R : x b, y f(x)} son: x = S donde S es el áre de l figur. xf(x) dx, y = S (f(x)) dx, Trbjo Si un fuerz vrible F = F (x) ctú en l dirección del eje de bsciss, el trbjo efectudo por l mism desde x hst x viene ddo por W = x x F (x) dx. 9

17 Grupos A y D Curso 4/ Ejercicios resueltos.- ) Hllr el áre de l elipse x + y b =. SOLUCIÓN: L gráfic de l curv es l siguiente: L prte superior es l función f(x) = b x, luego por simetrí, el áre pedid será 4 veces l generd por est función entre x = y x =. b x = sen t x = t = π/ A = 4 x dx = = 4 b π/ cos t dt = dx = cos t x = t = π/ ( cos(t) = 4b dt = b t sen(t) ) π/ = b (π/ ) = πb. b) Hllr el volumen del elipsoide generdo l girr l elipse del prtdo nterior lrededor del eje de bsciss. SOLUCIÓN: El cuerpo engendrdo es el siguiente: Por simetrí, el volumen es el doble del generdo por l función f(x) nterior, entre x = y x =. V OX = π 4 3 πb. b ( x ) dx = π b ) ( x x3 = π b 3 (3 3 /3) = 9

18 Curso 4/5 Mtemátics (Grdo en Químic) b) Hllr el volumen del elipsoide generdo l girr l elipse del prtdo nterior lrededor del eje de ordends. SOLUCIÓN: El cuerpo engendrdo es el siguiente: Por simetrí, el volumen es el doble del generdo por l función f (y) nterior, entre y = e y = b, donde f (y) = b b y. ) b V OY = π b (b x ) dx = π (b b x x π b. = π b (b3 b 3 /3) =.- Hllr el volumen y l superficie del sólido que se gener l girr el stroide lrededor del eje de bsciss. x 3 + y 3 = 3, ( > ) SOLUCIÓN: L gráfic de l curv y el sólido que gener son lo siguientes: L prte de l curv que está en el primer cudrnte es f(x) = ( /3 x /3 ) 3/. Clculemos, en primer lugr el volumen lrededor del eje OX (dd, de nuevo, l simetrí de l curv, coincide con el volumen l girr lrededor del eje OY). 9

19 Grupos A y D Curso 4/5 Por simetrí, el volumen es el doble del que gener l curv f(x) nterior entre x = y x =, por tnto: V OX = π f(x) dx = π ( /3 x /3 ) 3 dx = = π ( 3 4/3 x /3 + 3 /3 x 4/3 x )dx = ) = π ( 4/3 x5/3 x7/3 x 3 + 3/3 5/3 7/3 x3 = 3 = π ( ) 3 = 3 5 π3. Clculemos hor l superficie exterior. Por simetrí, est superficie lterl es el doble de l que gener l curv f(x) nterior entre x = y x =. Pero como pr resolver est superficie se necesit + f (x), vmos relizr este cálculo prte. f (x) = 3 (/3 x /3 ) ( / 3 x /3) = (/3 x /3 ) / f (x) = /3 x /3 = x /3 x /3 ( x )/3. Por tnto, + f (x) = (/x) /3. Así pues, S = π ( /3 x /3 ) 3/ (/x) /3 dx = 4π /3 ( 3 ) ( /3 x /3 ) 3/ ( 3 x /3) dx = ( ) Pero est función es impropi en x =, luego: ( ) = 6π /3 lím ( /3 x /3 ) 3/ ( b + 3 x /3) dx = 6π /3 ( /3 x /3 ) 5/ lím b b + 5/ b = [ ( 5 π/3 lím 5/3 b 5/3)] = b + 5 π. = 3.- Clculr l longitud del stroide del ejercicio nterior. SOLUCIÓN: Recordemos que l curv stroide es l siguiente: Por lo tnto, por simetrí, l longitud es 4 veces l que gener l curv en el primer cudrnte: x /3 +y /3 = /3 f(x) = ( /3 x /3 ) 3/. Pr l fórmul de l longitud, se necesit clculr + f (x), pero esto y se clculó ntes, resultndo ser + f (x) = /3 x /3. Pero est función es impropi en x =, luego: L = 4 /3 x /3 = 4 /3 lím x /3 dx = 4 /3 x /3 lím b + b b + /3 dx = b = 6 /3 lím b /3 ) = 6. b +(/3 93

20 Curso 4/5 Mtemátics (Grdo en Químic) 4.- Dd l curv de ecución y =, se pide: 4x x ) Áre de l región del plno limitd por l curv nterior y ls verticles x =, x =. SOLUCIÓN: L gráfic de l curv (y del áre clculr) es l siguiente: Por tnto, A = dx. Como el interior de l ríz es un polinomio 4x x de o grdo con coeficiente en x, pr resolver l integrl, hy que completr cudrdos: 4x x = (x b) = b + bx x, de donde b = y = b = 4. Así que l integrl que d el áre será: A = dx = dx = 4x x 4 (x ) / ( x ) dx = ( ) x = rc sen = rc sen() rc sen( /) = ( π/6) = π/6 b) Volumen del cuerpo engendrdo l girr l región nterior lrededor del eje de bsciss. SOLUCIÓN: El cuerpo generdo es el siguiente: 94

21 Grupos A y D Curso 4/5 Entonces: V OX = π f(x) dx = π dx = π 4x x Descompongmos el integrndo en frcciones simples: = A + B = A(x 4)+Bx. x(x 4) x x 4 x(x 4) Igulndo los numerdores y dndo vlores x se obtiene: x = = 4A A = /4. dx = ( ). x(x 4) x = 4 = 4B B = /4. ( ) = π ( 4 x ) dx = π ( ) ln x x 4 4 x 4 = π ( ln(/3)) = 4 π ln 3. 4 c) Idem. lrededor del eje de ordends. SOLUCIÓN: El cuerpo generdo es el siguiente: 95

22 Curso 4/5 Mtemátics (Grdo en Químic) Entonces: V OY = π [ ] x x dx = π 4x x dx = x = sen t x = t = π/6 4 (x ) dx = cos tdt x = t = [ ] 4 cos t cos t dt = Si π/6 < t < + sen t = π π/6 sen t) dt = = 4π(t cos t) π/6 = 4π ( ( ) Entonces cos t ( π 6 3 )) = 4π ( + π/6 = π 3 ( 3 ) 3 + π 6. = 5.- Clculr l longitud del rco de curv y = x x, x [, ]. SOLUCIÓN: L gráfic de l curv es l siguiente: Como l fórmul de l longitud incluye + f (x), vmos clculrlo prte. f ( x) = x 3/ f (x) = 3 x/ = 3 x + f (x) = + 9x. Por tnto: L = + 9x dx = 9 = 7 (9 9 ). 9(+9x) / dx = 9 ( + 9x) 3/ 3/ = ( 9 3/ 3/) = Clculr el áre de l superficie engendrd l girr lrededor del eje de bsciss el rco de curv y = x 3 entre x = y x =. SOLUCIÓN: El sólido generdo es el siguiente: Pr clculr l superficie lterl, se requiere + f (x). Clculémoslo prte: f (x) = 3x + f (x) = + 9x 4. Luego S = π x 3 + 9x 4 dx = π 36x 3 (+9x 4 ) / dx = π ( + 9x 4 ) 3/ / = π 7 (3/ 3/ ) = π 7 ( ). = 96

23 Grupos A y D Curso 4/5 7.- Dd l curv 4y = x (4 x ), se pide: ) Determinr el áre que encierr. SOLUCIÓN: L gráfic de est curv es l siguiente: El áre es, pues, 4 veces el áre que encierr l prte de curv que está en el primer cudrnte, es decir, l de ecución y = x 4 x. Así pues: A = 4 x 4 x dx = ( x)(4 x ) / dx = (4 x ) 3/ 3/ = 6 3. b) Hllr el volumen del cuerpo generdo l girr lrededor del eje de bsciss. SOLUCIÓN: El volumen pedido, será el doble del que gener l curv en el primer cudrnte. Por tnto: 4 x (4 x ) dx = π ) (4 x3 3 x5 = 5 V OX = π (4x x 4 )dx = π 3π 5. c) Hllr el volumen del cuerpo generdo l girr lrededor del eje de ordends. SOLUCIÓN: El volumen pedido, será el doble del que gener l curv en el primer cudrnte. Por tnto: 97

24 Curso 4/5 Mtemátics (Grdo en Químic) 8.- ) Clcul V OY = π π = π = 4π x x 4 x dx = π π 4 sen t cos t cos t dt = 8π ( t sen(4t) 4 x 4 x dx. ) π = π. [ ] x 4 x x = sen t x = t = dx = = dx = cos tdt x = t = π π sen (t) dt = 8π cos(4t) SOLUCIÓN: El denomindor del integrndo se nul en x =, luego se trt de un integrl impropi. x dx = lím 4 x b = (4 x ) / lím b / b) Hll y f(x) pr que se verifique x dx = 4 x b lím b ( ) = lím 4 b =. b x ( x)(4 x ) / dx = tf(t)dt = sen x x cos x x +. SOLUCIÓN: Si derivmos l ecución integrl respecto de x, se obtiene que: xf(x) = cos x (cos x x sen x) x = x(sen x ), luego f(x) = sen x. Por otro ldo, prticulrizndo l ecución integrl pr x =, se obtiene que: = sen sen +, luego =. dt = 6.9. Ejercicios propuestos.- Se f(x) = si x / Q, f(x) = x si x Q. Demostrr que f no es integrble Riemnn en el intervlo [, ]. Clculr ls integrles superior e inferior..- Se f(x) = 3x, g(x) = x. Usndo l condición necesri y suficiente de integrbilidd Riemnn, probr f, g R([, ]) clculndo el vlor de cd integrl. 3.- Dr l derivd de f en los siguientes csos: ) f(x) = c) f(x) = rctn x x x cos tdt. b) f(x) = x+ log t t dt x >. d) f(x) = x t sen tdt. x tdt t dt. 98

25 Grupos A y D Curso 4/5 e) f(x) = x x sen(log t)dt. f) f(x) = x 3 x x e t dt. 4.- Se f : R R un función continu tl que f(). x (+x) f(t)dt = x x R. Hllr 5.- Hllr el áre de ls siguientes figurs: ) y = x, y = x + sen x en [, π]. b) y 9x, x + y 36. c) x + y 9, (x 3) + y 9. d) y = x y = (x ) ( > ) 6.- Hll > tl que l curv y = cos x, x [, π ] quede dividid en dos prtes con igul áre por l curv y = sen x. 7.- Hllr ls longitudes de los rcos de curv: ) y = e x en [, ]. b) y = log(cos x), x < π. 8.- Hllr el volumen del cuerpo engendrdo l girr lrededor del eje OX ls curvs siguientes, entre los límites que se indicn: ) y b x =, x =, x = (, b > ). b) x + (y R) = R, R x R (R > ). 9.- Hllr el volumen del cuerpo engendrdo l girr lrededor del eje OY ls curvs siguientes, entre los límites que se indicn: ) y = x, < y <. b) y = R x, < y < R (R > ). 99

26 Curso 4/5 Mtemátics (Grdo en Químic).- Hllr el áre de ls superficies engendrds l girr ls curvs siguientes lrededor del eje OX, entre los límites que se indicn: ) y = px, < x < (p > ). b) x + (y R) = R, R x R (R > )..- ) Hll el áre de l región del plno limitd por l curv y = tn x, el eje de ordends y l rect y =. b) Hllr el volumen del sólido engendrdo l girr l región nterior lrededor del eje de bsciss..- Se l figur limitd por l curv y = e x, el eje de bsciss y ls rects x =, x =. Hllr el volumen del cuerpo engendrdo por dich figur l girr lrededor del EJE DE ORDENADAS. 3.- Clculr el áre de l región del plno limitd por ls curvs: y = x e x, y = x x y l rect x =. 4.- Dd l prábol y = 4x, se pide: ) Hll m pr que el áre de l figur limitd por l prábol y l rect y = mx, se 3. b) Hll l longitud del rco de prábol delimitdo por los puntos A(, ) B(4, 4). 5.- ) Clculr log ex dx. b) Se f : R R derivble tl que f(x) sen xdx = f(x) cos x + 3x cos xdx. Hllr f(x) sbiendo que f() = c) Clculr el áre del sector circulr determindo por l circunferenci x +y = 5 y los rdios trzdos desde los puntos A(3, 4), B(4, 3) l origen.

27 Grupos A y D Curso 4/5 6.- ) Hllr el áre de l región de plno limitd por l curvs y = e x, y = e x, y l verticl x =. b) Clculr el volumen del cuerpo de revolución engendrdo por l rotción de l región nterior lrededor del eje de ordends. c) Resolver l integrl dx x 4 + x. 7.- Dd l función y = log x se pide: ) Áre del recinto limitdo por l curv, el eje de bsciss y ls rects x = e, x = e. b) Volumen del cuerpo de revolución engendrdo l girr l región nterior lrededor del eje de bsciss. c) Longitud del rco de curv comprendido entre los puntos A(, ) y B(, log ). 8.- ) Si f : R R es continu y verific x e b) Clculr sen(log x) dx f(t)dt = f(x) + cos x, clcul f() y f () c) Dd l curv de ecución y = x x 4, se pide: c) Hllr el áre que determin. c) Hllr el volumen del cuerpo que se gener l girr lrededor del eje de bsciss. c3) Idem. lrededor del eje de ordends. 9.- Se l región del plno limitd por l curv y = 3 + sen x y ls rects y = 3, x = π. Hllr el volumen del cuerpo que se gener l girr dich región lrededor del eje de bsciss. Idem lrededor del eje de ordends..- Se consider l circunferenci x + y = 6. Se pide: ) Áre de l región dd por x + y 6, y. b) Longitud del rco de circunferenci comprendido entre los puntos A( 3, ) y B(, ).

28 Curso 4/5 Mtemátics (Grdo en Químic).- Dd l curv de ecución y = log ( x ), se pide: ) Áre de l región de plno comprendid entre l curv, el eje de bsciss y l rect x =. b) Longitud del rco de curv comprendido entre los puntos (, ) y (, log ) Volumen del cuerpo de revolución engendrdo l girr l circunferenci x + y = 4 lrededor de l rect y = Se consider l porción de círculo de centro (, ) y rdio que está fuer del círculo de centro (, ) y rdio. Se pide: ) Áre de dich región del plno. b) Volumen del cuerpo de revolución que se engendr l girr l región nterior lrededor del eje OX. c) Idem lrededor del eje OY. 4.- Clculr el áre de l región de plno dd por x + y 4, y 3x. Clculr el volumen del cuerpo engendrdo l girr dich región lrededor del eje ) de bsciss, b) de ordends. 5.- Clculr el áre de l región del plno limitd por l curv f(x) = log x x rects y =, x =, x = b (b > ). y ls 6.- Estudir l convergenci de ls siguientes integrles impropis, y clculr el vlor de ls convergentes: ) e x dx, ) dx, ) xα dx, ) xα x log xdx, ) dx x x, ) e x sen xdx, ) dx x dx, ) dx e x + e x.

29 Grupos A y D Curso 4/5 ) dx 6, ) 4 x dx dx, b) (4 x) log xdx, ) xe x dx b) x log xdx, b) dx + 4x, b) xe x dx, b) x 3 e x dx. 7.- Hllr el áre entre l curv y = x x y sus síntots. 8.- ) Hllr el áres de l región de plno limitd por l curv yx =, y ls rects x = e y = b) Clculr el volumen engendrdo por l región nterior l girr lrededor del eje de bsciss. 3

30 Curso 4/5 Mtemátics (Grdo en Químic) 4