Aplicaciones de la integral.

Transcripción

1 Tem 1 Aplicciones de l integrl. 1.1 Áres de superficies plns Funciones dds de form explícit. A l vist del estudio de l integrl definid relizdo en el Tem 1, prece rzonble l siguiente definición: Definición 1.1 Se f : [, b] IR un función continu y positiv, y consideremos l región R del plno cuy fronter viene dd por ls rects x =, x = b, el eje de bciss y l gráfic de f (fig 1.1). Entonces el áre de l región R está definid por f(x)dx. En efecto, en su momento hemos comentdo como ls sums inferiores y sums superiores nos ofrecen proximciones por defecto y por exceso del áre encerrdo por l curv y = f(x). Si l función es integrble, el inferior de ls cots superiores y el superior de ls cots inferiores coinciden, luego ese vlor debe de ser el vlor del áre. y = f(x) R Fig b Ejemplo 1. Clculr el áre de l región limitd por l curv f(x) = x 3 + 1, los ejes coordendos y l rect x = 3. L función es positiv en todo IR. En prticulr, lo es en el dominio de integrción y, por tnto, el vlor del áre que buscmos vendrá ddo por 3 f(x)dx. En nuestro cso, como F (x) = x3 9 + x es un primitiv de f en [, 3], bst plicr l regl de Brrow pr obtener que ( ) ( )] 3 x x dx = 9 + x = (3 + 3) ( + ) = 6, nos ofrece el áre del recinto R de l figur. Integrl de un vrible. 139

2 1.1 Áres de superficies plns. f(x)= x R Cundo l función f : [, b] IR que limit R, es continu y negtiv, es decir, f(x), pr todo x [, b], se tiene que x=3 f(x)dx, por lo que este vlor no represent el áre de R como mgnitud de medid positiv. Sin embrgo, es clro que el áre de l región R coincide con el áre de l región R determind por l función f (fig 1.), por lo que, teniendo en R R y = f(x) b y = f(x) Fig. 1.. cuent ls propieddes de l integrl, puede drse l siguiente definición. Definición 1.3 Se f : [, b] IR un función continu y negtiv. Consideremos l región R del plno cuy fronter viene dd por ls rects x =, x = b, el eje de bciss y l gráfic de f. Entonces el áre de l región R está definid por f(x)dx = f(x)dx. Observción 1.4 Es clro entonces que pr clculr el áre de regiones plns debe nlizrse el signo de l función en el intervlo de integrción. De no hcerlo sí, l prte negtiv de l función restrá el áre que encierr del áre encerrdo por l prte positiv. Contrejemplo.- Hllr el áre encerrdo por l función f(x) = sen x, en el intervlo [, π]. El vlor sen xdx = cos x el áre encerrd por l curv. ] π = ( cos(π)) ( cos ) =, es clro que no represent R 1 π R π Ahor bien, teniendo en cuent que l función sen x es positiv en [, π] y negtiv en [π, π], el vlor rel del áre encerrdo será por tnto A(R 1 ) + A(R ) = sen xdx + π ] π ] π sen xdx = cos x + cos x = + = 4. π Integrl de un vrible. 14

3 1.1 Áres de superficies plns. Ejemplo 1.5 Hllr el áre determind por l curv f(x) = (x 1)(x ), ls rects x =, x = 5 y el eje de bciss. f(x) es menor o igul cero en [1, ] y positiv en el resto. Luego f(x) =(x 1)(x ) R 1 R R f(x)dx + f(x)dx Como F (x) = x3 3 3x + x es un primitiv de f(x) en [, 5 ], f(x)dx. (G(1) G()) (G() G(1)) + (G( ) G()) = 6 = 7 6. En ls definiciones nteriores puede considerrse, que el áre clculdo est encerrdo por l función y = f(x) y l función y =, cundo l f es positiv, y por l función y = y l función y = f(x), cundo l f es negtiv. En mbos csos, se tiene que f(x)dx dx = (f(x) )dx y dx f(x)dx = ( f(x))dx, es decir, que el áre encerrdo por mbs funciones es l integrl de l función myor menos l integrl de l función menor. En generl, se tiene entonces que Si f, g : [, b] IR son funciones continus, con f(x) g(x) pr todo x [, b]. Entonces, si R es l región del plno cuy fronter viene dd por ls rects x =, x = b, el eje de bciss y ls gráfics de f y g, el áre de R se obtiene como f(x)dx g(x)dx = ( ) f(x) g(x) dx. En efecto, si ls funciones verificn que g(x) f(x), es clro que el áre encerrdo por f y g es el áre encerrdo por f menos el áre encerrdo por g (fig. 1.3), es decir, A(R f g ) = A(R f ) A(R g ) = f(x)dx g(x)dx. Si lgun de ells tom vlores negtivos, el áre entre mbs, R, es el mismo que si le summos cd función un constnte C que ls hg positivs y, por tnto, el áre R es el áre R encerrdo por f + C menos el áre encerrdo por g + C (fig. 1.3), es decir, A(R f g ) = A(R f+c ) A(R g+c ) = Observciones 1.6 = f(x)dx + Cdx (f(x) + C)dx g(x)dx Cdx = (g(x) + C)dx f(x)dx g(x)dx. Integrl de un vrible. 141

4 1.1 Áres de superficies plns. y = f(x)+c R y = g(x)+c y = f(x) R y = g(x) b Fig Ls definiciones son mplibles pr = y/ó b = + cundo teng sentido, es decir, cundo ls integrles impropis correspondientes sen convergentes. De form nálog, si l región está limitd por funciones x = f(y), x = g(y) y ls rects y = c e y = d, siendo g(y) f(y) pr todo y [c, d], el áre de l región puede encontrrse medinte l fórmul d ( ) f(y) g(y) dy. c Ejemplo.- Clculr el áre de l región cotd comprendid entre ls prábols de ecuciones y + 8x = 16 e y 4x = x=f(y) x=g(y) R 4 Ls prábols pueden escribirse como x = g(y) = 16 y 8 y x = f(y) = y Los puntos de corte de mbs prábols son ls soluciones de l ecución 16 y 8 = y 48 4 = y = ± 4. Como en el intervlo [ 4, 4] es f(y) g(y), se tiene que y 8 4 dy 4 y 48 ( ) ( )] 4 dy = 4 4 y dy = 4y y3 4 = Integrl de un vrible. 14

5 1.1 Áres de superficies plns Funciones dds de form prmétric. Estudiremos hor el cso en que l curv y = f(x) en [, b] viene dd por ls ecuciones prmétrics. x = ϕ(t) y = ψ(t). Si f es positiv (si f es negtiv o cmbi de signo se escribirá lo correspondiente), el áre encerrdo por f es Como x = ϕ(t) e y = ψ(t) tenemos que f(x)dx. y = f(x) = f(ϕ(t)) = ψ(t) y dx = ϕ (t)dt, luego usndo este cmbio de vrible en l integrl, se tiene que f(x)dx = t t 1 f(ϕ(t))ϕ (t)dt = t t 1 ψ(t)ϕ (t)dt, donde ϕ(t 1 ) = y ϕ(t ) = b. En consecuenci, puede clculrse el áre encerrdo por l curv dd en prmétrics usndo ests ecuciones, nturlmente teniendo en cuent el signo de y = ψ(t). Observción: Los extremos de integrción t 1 y t precen l efectur el cmbio de vrible, y están socidos respectivmente y b, con b, por lo que puede ser tnto t 1 t como t 1 t según el cso (de hecho y respectivmente, según que el signo de x = ϕ (t) se positivo o negtivo en el intervlo). x = cos t Ejemplo 1.7 Hllr el áre encerrdo por l curv, con t [, π]. y = sen t El áre pedid, es el áre del círculo de rdio 1. Cundo y, hciendo el cmbio x = cos t, pr el cuál dx = sen tdt con 1 = cos y 1 = cos π, tenemos que A(R + ) = 1 1 y(x)dx = π sen t( sen t)dt = sen tdt = 1 cos t dt = π Cundo y, con el mismo cmbio se obtiene 1 = cos π y 1 = cos π, de donde A(R ) = 1 1 y(x)dx = π sen t( sen t)dt = π sen tdt = t sen t 4 Observción 1.8 El ejemplo nterior subry el comentrio hecho en l observción previ sobre los extremos de integrción. Si, directmente, decimos que el vlor de A(R + ) es sen t( sen t)dt estmos cometiendo un error, pues est integrl se obtiene de y el vlor clculdo no es el del áre, sino sen t( sen t)dt = sen t( sen t)dt = y(x)dx 1 y(x)dx = y(x)dx = A(R + ). 1 Téngse presente, que si bien en este cso es clro que bst con cmbir el signo pr obtener el vlor buscdo, en generl, pueden precer vrios términos en el cálculo del áre de form que el resultdo finl no hg sospechr el error cometido. ] π π = π Integrl de un vrible. 143

6 1.1 Áres de superficies plns Funciones dds de form polr. Por último estudiremos el cso de curvs dds en coordends polres. Consideremos un curv dd en coordends polres por l ecución r = f(θ) donde f es continu y se S el sector comprendido entre los ángulos θ =, θ = y l gráfic de l función. Con un desrrollo nálogo l relizdo en l construcción de l integrl definid pr funciones dds explícitmente, podemos definir sums superiores e inferiores y l integrbilidd, trvés de prticiones del intervlo ngulr [, ] considerndo ls áres de los correspondientes sectores circulres (el áre de un sector circulr de rdio r y ángulo θ viene ddo por θ r ), como puede observrse en l figur 1.4. r =f(θ) Fig L expresión del áre medinte un integrl en función del ángulo, se obtiene de form más intuitiv si considermos ls sums de Riemmn socids este proceso de integrción, es decir, dd un prtición de [, ], P = = θ, θ 1,..., θ n 1, θ n = }, y culquier elección de E, tenemos que n S(f, P n, E) = (f(e i )) θ i luego, tomndo prticiones cd vez más fins (f(θ)) dθ. Hemos pues, introducido l siguiente definición: Definición 1.9 Se f: [, ] IR continu. El áre de l región S del plno limitd por l curv r = f(θ) y ls rects que formn un ángulo y un ángulo con el eje se bciss positivo, (fig. 1.5), viene dd por l integrl A(S) = 1 f (θ)dθ. 1.1 Si r = f(θ) y r = g(θ) son dos curvs dds en coordends polres, donde f, g : [, ] IR son continus con g(θ) f(θ), pr todo θ [, ] y S es el sector comprendido entre los ángulos θ 1 =, θ = y ls gráfics de ls funciones r = f(θ) y r = g(θ) (fig. 1.6), se tendrá que A(S) = 1 f (θ)dθ 1 g (θ)dθ = 1 ( ) f (θ) g (θ) dθ. Integrl de un vrible. 144

7 1.1 Áres de superficies plns. r =f(θ) S Fig r =f(θ) r =g(θ) S Fig Observción 1.1 Tmbién puede llegrse l fórmul 1.1 medinte rzonmientos geométricos y un cmbio de vrible sobre l integrl en coordends crtesins. Si observmos l figur 1.5 y supuesto por comodidd que pr cd vlor de x no existe más que un vlor de y, en coordends crtesins l función r = f(θ), se expres por y = f(θ) sen θ, con θ [, ], luego x [f() cos, f() cos ]. x = f(θ) cos θ Así mismo, l rect de ángulo tiene por expresión y = (tg )x, cundo x [, f() cos ], y l rect de ángulo, y = (tg )x, cundo x [, f() cos ]. Por tnto, el áre de S será el áre encerrdo por ls gráfics de ls funciones de x, es decir, A(S) = f() cos Clculndo directmente I 1 e I 3, se tiene que f() cos f() cos y dx + ydx y dx = I 1 + I I 3. f() cos f() cos I 1 = (tg )xdx = tg I 3 = f() cos ( )] x f() cos (tg )xdx = 1 f () sen cos. = tg f () cos = 1 f () sen cos, Pr clculr I, hcemos el cmbio de vrible x = f(θ) cos θ, pr el cuál se tiene que dx = (f (θ) cos θ f(θ) sen θ)dθ, luego f() cos A(S) = I 1 + f() cos = (I 1 I 3 ) ydx I 3 = (I 1 I 3 ) + f (θ) sen θdθ + f(θ)f (θ) sen θ cos θdθ f(θ) sen θ(f (θ) cos θ f(θ) sen θ)dθ Integrl de un vrible. 145

8 1. Volúmenes de cuerpos sólidos. } u = sen θ cos θ du = cos θ sen } θdθ = dv = f(θ)f (θ)dθ v = f (θ) = (I 1 I 3 ) = (I 1 I 3 ) = = 1 f (θ) sen θdθ 1 f (θ)dθ. f (θ) sen θdθ + 1 f (θ) sen θ cos θ f (θ) sen θdθ + (I 3 I 1 ) 1 ] 1 f (θ)dθ + f (θ) sen θdθ f (θ)(1 sen θ)dθ f (θ)(cos θ sen θ)dθ Ejemplo 1.11 Hllr el áre encerrd por l crdioide r = (1 + cos θ). El áre encerrd es el áre del sector S limitdo por l curv r = (1 + cos θ) cundo θ [, π]. Por tnto, A(S) = 1 = (1 + cos θ) dθ = ( θ + sen θ + θ + sen θ 4 )] π ( 1 + cos θ + ) 1 + cos θ dθ = 3π (π + π) =. r =(1+cos θ) 1. Volúmenes de cuerpos sólidos. Trtremos hor de clculr el volumen de un sólido S. Pr ello supongmos que est colocdo en los ejes coordendos de IR 3 y que los extremos del sólido en l dirección del eje de bciss se tomn en los vlores x = y x = b. Consideremos pr cd x [, b] que A(x) represent el áre de l intersección del cuerpo con un plno perpendiculr l eje de bciss (fig. 1.7). Entonces, pr cd prtición P = = x, x 1,..., x n = b} del intervlo [, b], sen m i = infa(x) : x 1 x x i 1 } y M i = supa(x) : x 1 x x i 1 }, el inferior y el superior de los vlores de ls áres A(x) de ls secciones del sólido entre x i 1 y x i. Definimos sum superior e inferior socids l sólido S y l prtición P en l form n U(A, P ) = M i x i y n L(A, P ) = m i x i, Integrl de un vrible. 146

9 1. Volúmenes de cuerpos sólidos. A(x 1 ) A(x ) S A(x 3 ) x=x 1 x=x x=x 3 Fig Secciones del sólido. b Fig Volúmenes por exceso y por defecto. donde cd término de ls sums represent el volumen de un cuerpo con áre de l bse m i ó M i y ltur x i x i 1 = x i. Por tnto, mbs sums corresponden volumenes que proximn por exceso y por defecto, respectivmente, l verddero volumen de S (fig 1.8). Considerndo tods ls prticiones de [, b] y rzonndo de form nálog como se hizo en el Tem, pr l construcción de l integrl de Riemnn, estmos en condiciones de dr l siguiente definición: Definición 1.1 Se S un sólido cotdo comprendido entre los plnos x = y x = b. Pr cd x [, b], se A(x) el áre de l sección que produce sobre S el plno perpendiculr l eje de bciss en el punto x. Si A(x) es continu en [, b] definimos el volumen de S como V (S) = A(x)dx. Not: Podemos dr definiciones nálogs si tommos secciones perpendiculres l eje y o l eje z. L definición es mplible pr = y/ó b = + cundo teng sentido. Ejemplo 1.13 Hllr el volumen del sólido S = (x, y, z) IR 3 : x, y, z ; x + y + z 1}. El sólido S es l prte del primer octnte limitd por el plno x + y + z = 1, es decir, el tetredro (pirámide de bse triángulr) cuys crs son los plnos coordendos y el plno x + y + z = 1. Ls secciones formds por plnos perpendiculres l eje x son triángulos y su áre, pr cd x, es A(x) = bse(x) ltur(x). Pr cd x de [, 1], l bse del triángulo es l coordend y de l rect intersección de x + y + z = 1 los plnos, luego bse(x) = y = 1 x. L ltur es l coordend z de l z = Integrl de un vrible. 147

10 1. Volúmenes de cuerpos sólidos. 1 z =1 x 1 A(x) 1 y =1 x rect intersección de los plnos A(x) = (1 x)(1 x) y V (S) = 1 A(x)dx = x + y + z = 1 y = Volúmenes de revolución. (1 x) dx = 1 (, luego ltur(x) = z = 1 x. Por tnto, )] 1 (1 x)3 3 = = 1 6 Un cso prticulr de grn importnci de l definición nterior es el de los sólidos de revolución. Supongmos dd un función f : [, b] IR y consideremos l región R de l figur 1.1. L rotción de ést lrededor del eje de bciss produce un sólido S pr el cul, cd sección es un círculo y por tnto, su áre será Por tnto se tendrá que A(x) = πf (x). V (S) = π f (x)dx. Ejemplo 1.14 Hllr el volumen de l esfer x + y + z 4. L esfer es clrmente un sólido de revolución. El circulo máximo, intersección de l esfer con el plno y =, tiene por ecución (en el plno xz ) x + x = 4, luego bst girr l superficie encerrd por l semicircunferenci superior, z = 4 x, pr obtener l esfer. Pr cd sección en x [, ], el áre es A(x) = π( 4 x ) = π(4 x ). Luego el volumen buscdo es ( )] V (S) = π (4 x )dx = π 4x x3 = π = 4 3 π3, como y sbímos. Observción: Si en el ejemplo nterior, girmos l superficie encerrd por tod l circunferenci x + z = 4, obtendremos como resultdo el doble del volumen de l esfer. Es clro, pues si girndo el semicírculo superior engendrmos tod l esfer, tmbién girndo el semicírculo inferior engendrmos l esfer; en consecuenci, el volumen obtenido es el volumen de dos esfers. Observciones 1.15 Integrl de un vrible. 148

11 1. Volúmenes de cuerpos sólidos. Análogmente, si tenemos un función x = f(y) y hcemos rotr su gráfic lrededor del eje de ordends, el volumen del sólido será d V (S) = π f (y)dy. c donde c y d son los extremos de vrición de y. En el cso más generl, los volúmenes de los cuerpos engendrdos por l rotción de un figur limitd por ls curvs continus y = f(x), y = g(x) (donde g(x) f(x) ó f(x) g(x) ) y por ls rects x = e x = b lrededor del eje de bciss es V (S) = π f (x)dx π g (x)dx = π ( ) f (x) g (x) dx. Not: Si sucede que g(x) f(x), l girr lrededor del eje de bciss l superficie comprendid entre ls gráfics, debe tenerse en cuent únicmente l superficie (por encim o por debjo del eje de giro) de myor rdio de giro, pues el volumen que engendr l girr l prte myor contiene l volumen engendrdo por l prte menor. Es decir, si g(x) f(x) se gir sólo l prte superior y si g(x) f(x) se gir l prte inferior. Lo que ocurre en este cso, es similr lo que se puntb l finl del ejemplo Curvs en prmétrics. x = ϕ(t) Si l función viene dd por sus ecuciones prmétrics, el volumen se obtiene y = ψ(t) relizndo el correspondiente cmbio de vrible x = ϕ(t), dx = ϕ (t)dt. donde ϕ(t 1 ) = y ϕ(t ) = b. t t V (S) = π y (x)dx = π ψ (t)d(ϕ(t)) = π ψ (t)ϕ (t)dt t 1 t 1 Ejemplo 1.16 Hllr el volumen interior de l esfer engendrd l girr lrededor del eje x = cos t de bciss l semicircunferenci y = sen t, con t [, π ]. Integrl de un vrible. 149

12 1.3 Longitudes de rcos. Hciendo el cmbio de vrible x = cos t, pr el cuál dx = 4 sen tdt, se tiene que V (S) = π y (x)dx = π π ( sen t) ( 4 sen t)dt = π = 4 π (sen t sen t cos t)dt = 4 π Curvs en polres. ( cos t 4 sen 3 tdt + cos3 t 6 )] π = 4 π 4 6 = 3 π 4 3. Si l curv viene dd en coordends polres r = f(θ), el volumen se obtiene girndo el sector limitdo por l curv y ls rects de ángulos y. Teniendo en cuent que en coordends crtesins, ls rects son y = (tg )x e y = (tg )x, y l función se decribe por y = f(θ) sen θ y x = f(θ) cos θ, se clcul el volumen de form nálog como se hizo pr el áre en l observción 1.1. Es decir, V (S) = π (tg ) x dx + π y (x)dx π (tg ) x dx = π 3 donde f() cos = y f() cos = b. f 3 (θ) sen θdθ, Ejemplo 1.17 Hllr el volumen interior de l esfer engendrd l girr l semicircunferenci r =, con θ [, π], lrededor del eje polr. En crtesins es y = f(θ) sen θ = sen θ y x = f(θ) cos θ = cos θ, luego teniendo en cuent ésto y hciendo el cmbio de vrible x = cos θ, pr el cuál dx = sen θdθ, se tiene que V (S) = π y (x)dx = π ( sen θ) ( sen θ)dθ = 3 π sen 3 θdθ = 3 π 4 π Longitudes de rcos. L integrl definid se puede usr tmbién pr encontrr l longitud de un curv. En este cso, construiremos un fórmul cundo l función viene dd por sus ecuciones prmétrics y, como csos prticulres de ést, obtendremos fórmuls pr ls expresiones en crtesins y polres Curv dd en prmétrics. Pr describir este proceso, llmremos P t = (ϕ(t), ψ(t)) l punto de l curv correspondiente cd t de [, ], Entonces, si P c y P d son dos puntos de l curv denotremos por P c P d l prte de l curv entre los puntos P c y P d y lo denominremos rco entre P c y P d. Su longitud l representmos por P c P d. Si tommos un prtición P = = t, t 1,..., t n = } del intervlo [, ] l rect quebrd, formd por los n segmentos rectilineos P ti 1 P ti, I P = P t P t1 P t1 P t P tn 1 P tn, es un proximción del rco P P y, por tnto, l longitud de I P es un proximción por defecto de l longitud del rco P P. Es decir, n n ( ) ( I P = P ti 1 P ti = ϕ(t i ) ϕ(t i 1) + ψ(t i ) ψ(t i 1 )) P P. 1. Integrl de un vrible. 15

13 1.3 Longitudes de rcos. P xi 1 P xn P x P xi b Fig Además, si Q es un prtición más fin que P se tiene que I P I Q, pues si c es un punto Pti 1 Pc de Q que no está en P, c [t i 1, t i ] pr lgún i y, por tnto, P ti 1 P ti P c + P ti (fig. 1.1). Entonces, tomndo prticiones cd vez más fins espermos que ocurr I P P. P Por el teorem del vlor medio de Lgrnge plicdo ls funciones ϕ(t) y ψ(t) en [t i 1, t i ], tenemos ϕ(t i ) ϕ(t i 1 ) = ϕ (e i )(t i t i 1 ) = ϕ (c i ) t i pr lgún c i (t i 1, t i ), y ψ(t i ) ψ(t i 1 ) = ψ (z i )(t i t i 1 ) = ψ (z i ) t i pr lgún z i (t i 1, t i ), de donde 1. ps ser I P = n (ϕ (c i ) t i ) + (ψ (z i ) t i ) = n (ϕ (c i )) + (ψ (z i )) t i. P ti P ti 1 P ti P c P ti P ti 1 P c P c P ti 1 Fig Por otr prte, como ϕ y ψ son continus en [, ], l función g(t) = (ϕ (t)) + (ψ (t)) es continu y, por tnto, integrble en [, ]. Es decir, existe (ϕ (t)) + (ψ (t)) dt. Si considermos ls sums de Riemnn socids est función, tenemos que n S(g, P, E) = (ϕ (e i )) + (ψ (e i )) tomndo prticiones t i más fins por lo que espermos que se verifique tmbién que n I P = (ϕ (c i )) + (ψ (z i )) tomndo prticiones t i más fins (ϕ (t)) + (ψ (t)) dt, (ϕ (t)) + (ψ (t)) dt. Integrl de un vrible. 151

14 1.3 Longitudes de rcos. Se estblece sí l siguiente definición: x = ϕ(t) Definición 1.18 Si un curv viene dd por sus ecuciones prmétrics, y = ψ(t), con t [, ], siendo ϕ(t) y ψ(t) derivbles con derivd continu, entonces l longitud de l curv viene dd por L = P P = (ϕ(t)) + (ψ(t)) dt. x = (t sen t) Ejemplo 1.19 Hllr l longitud de un rco de l cicloide y = (1 cos t). En un rco de l cicloide, t [, π], luego y = sen t y x = (1 cos t), luego L = = ((1 cos t)) + ( sen t) dt = sen t dt = 1.3. Curv dd en explícits. sen t dt = ( cos t (1 cos t)dt = )] π = 4. sen t dt Si en polres un curv tiene por ecución explícit y = f(x), donde f tiene derivd continu y está definid en [, b]. dich curv se expres en coordends prmétrics de l form x = t = ϕ(t) y = f(t) = ψ(t), con lo que ϕ (t) = 1 y ψ (t) = f (t), luego L = P b P b = 1 + (f (x)) dx. Ejemplo 1. Determinr l longitud del rco de l gráfic de f(x) = x 3 sobre el intervlo [, 4]. f es continu en [, 4] y f (x) = 3 x 1 es tmbién continu en [, 4], luego L = 4 ( x 1 ) dx = Curv dd en polres. ] 1 (4 + 9x) xdx = = Si en coordends polres un curv tiene por ecución r = f(θ), donde f tiene derivd continu y está definid entre los vlores extremos y del ángulo polr, dich curv se expres en coordends prmétrics de l form x = f(θ) cos θ = ϕ(θ) y = f(θ) sen θ = ψ(θ), con ϕ (θ) = f (θ) cos θ f(θ) sen θ ψ (θ) = f (θ) sen θ + f(θ) cos θ, luego L = (f (θ) cos θ f(θ) sen θ) + (f (θ) sen θ + f(θ) cos θ) dθ = (f (θ)) + (f(θ)) dθ. Integrl de un vrible. 15

15 1.4 Áre de un superficie de revolución. Ejemplo 1.1 Hllr l longitud totl de l curv r = sen 3 θ 3, con >. Como r = sen 3 θ 3 y el seno es periódico de periodo π, bst pr recorrer l curv con tomr un periodo (si tommos más se sobre escribe l curv), es decir θ 3 [, π], luego θ [, 6π]. Ahor bien, como r es siempre positivo l función no tiene sentido si sen 3 θ 3 < por lo que h de ser sen θ 3, es decir, θ [, 3π]. En consecuenci, tod l curv qued descrit l vrir θ de 3π. Entonces, como f(θ) = sen 3 θ 3 y f (θ) = sen θ 3 cos θ 3, se tiene que 3π L = = 3π ( sen 4 θ 3 cos θ 3 + sen 6 θ 3 dθ = 3π 1 cos θ 3 ) dθ = ( θ 3 sen θ 3 )] 3π sen 4 θ 3 dθ = 3π = 3π. sen θ 3 dθ 1.4 Áre de un superficie de revolución. El áre de un superficie engendrd por l rotción lrededor del eje de bciss del rco de curv f(x) entre x = y x = b, donde f dmite derivd continu, se expres por l fórmul S = π f(x) 1 + (f (x)) dx. Cundo l ecución de l curv se d de otr form, el áre de l superficie se obtiene prtir de l ecución nterior efectundo los correspondientes cmbios de vrible (comentdos en el cálculo de los volúmenes de revolución), obteniéndose: S = π ψ(x) (ϕ (t)) + (ψ (t)) dt, cundo x = ϕ(t), con t [, ]. Y y = ψ(t) cundo r = f(θ), con θ [, ]. S = π f(θ) sen θ (f(θ)) + (f (θ)) dθ, Ejemplo 1. Clculr el áre de l superficie esféric x + y + z = 4. L esfer es un superficie de revolución obtenid l girr el rco de curv y = 4 x en el intervlo [, ]. Luego S = π 4 x 1 + ( ) x dx = π dx = 16π. 4 x Integrl de un vrible. 153

16 1.5 Ejercicios. Ejemplo 1.3 Clculr el áre de l superficie esféric engendrd l girr lrededor del eje x = cos t OX l curv dd por, con t [, π]. y = sen t S = π sen t ( sen t) + ( cos t) dt = π 4 sen tdt = 16π. Ejemplo 1.4 Clculr el áre de l superficie esféric engendrd l girr lrededor del eje OX l curv en polres dd por r =, con θ [, π]. 1.5 Ejercicios. S = π sen θ + dθ = π 4 sen θdθ = 16π. 1.1 Comprobr que el áre encerrdo por l curv f(x) = px n, con x [, ] y n IN, es f() n Clculr el áre de l región del primer cudrnte limitd por ls curvs x + y = 3, y = 1 x y x = 1 y. 1.3 Clculr el áre de l región del semiplno x limitd por ls curvs f(x) = ex 1 g(x) = y l rect x = 1. (x +x+1) 1.4 Hllr el áre encerrdo por l elipse x + y b = Clculr el áre encerrd por l curv y = 1 x + rcsen x y el eje de bciss. 1.6 Hllr el áre contenid en el interior de l stroide x = cos 3 t, y = b sen 3 t. 1+e x, 1.7 Hllr el áre de l superficie comprendid entre el eje OX y un rco de l cicloide x = (t sen t), y = (1 cos t). 1.8 Hllr el áre encerrdo por l curv, en polres, r = cos θ. 1.9 Dds ls curvs en polres r = 3 cos θ y r = 1 + cos θ. Hllr el áre del recinto común mbs. 1.1 Hllr el áre de l figur comprendid entre l curv de Agnesi y = 3 bsciss. x + y el eje de 1.11 Hllr el áre que determinn ls gráfics de ls funciones f(x) = ch x y g(x) = sh x. Hllr el volumen que gener el áre limitd por ls funciones nteriores entre x = y x = 1 l girr lrededor del eje de bsciss. 1.1 L rect x = divide l círculo (x 1) + y 4 en dos prtes. Clculr el volumen del sólido generdo l girr lrededor de l rect x = l prte de myor áre. x Dd l curv y = 1 x, plnter medinte integrles dos forms distints de clculr el áre comprendid entre l curv, l rect x = 1 y el eje de bsciss. Hcer lo mismo pr el volumen del sólido que se obtiene l girr l superficie sobre l rect x = 1. Resolver ess integrles utilizndo ls ecuciones prmétrics de l curv: x = sen t, y = sen t tg t, con t [, π ). Integrl de un vrible. 154

17 1.5 Ejercicios Hllr el volumen del elipsoide x + y + z = 1. b c 1.15 Hllr el volumen del segmento del prboloide elíptico y plno x =. p + z q = x interceptdo por el 1.16 Hllr el volumen del cuerpo limitdo por el hiperboloide de un hoj x los plnos z = y z = h. + y z b c = 1 y 1.17 Hllr el volumen del cuerpo limitdo por los cilindros: x + z = e y + z = Hllr el volumen del cuerpo limitdo por ls superficies z = x y z = 1 y prtir del áre de ls secciones del cuerpo por plnos prlelos l plno z = Clculr el volumen de cd un de ls prtes en que qued dividido un cilindro circulr recto de rdio y de ltur 8 por un plno que, conteniendo un diámetro de un de ls bses, es tngente l otr bse. 1. Sobre ls cuerds de l stroide x /3 + y /3 = /3, prlels l eje OX, se hn construido unos cudrdos, cuyos ldos son igules ls longitudes de ls cuerds y los plnos en que se encuentrn son perpendiculres l plno XY. Hllr el volumen del cuerpo que formn estos cudrdos. 1.1 Un círculo deformble se desplz prlelmente l plno XZ de tl form, que uno de los puntos de su circunferenci descns sobre el eje OY y el centro recorre l elipse x + y = 1. Hllr el volumen del cuerpo engendrdo por el desplzmiento de dicho b círculo. 1. El plno de un triángulo móvil permnece perpendiculr l diámetro fijo de un círculo de rdio. L bse del triángulo es l cuerd correspondiente de dicho círculo, mientrs que su vértice resbl por un rect prlel l diámetro fijo que se encuentr un distnci h del plno del círculo. Hllr el volumen del cuerpo (llmdo conoide) engendrdo por el movimiento de este triángulo desde un extremo del diámetro hst el otro. 1.3 Se S el recinto del plno limitdo por l prábol y = 4 x y el eje de bsciss. Pr cd p > considermos los dos recintos en que l prábol y = px divide S, A(p) = (x, y) S : y px } y B(p) = (x, y) S : y px }. ) Hllr p pr que ls áres de A(p) y B(p) sen igules. b) Hllr p pr que l girr A(p) y B(P ) lrededor del eje de ordends obtengmos sólidos de igul volumen. 1.4 Hllr el perímetro de uno de los triángulos curvilíneos limitdo por el eje de bsciss y ls curvs y = ln cos x e y = ln sen x. 1.5 Hllr l longitud del rco de l curv x = (t sen t), y = (1 cos t). 1.6 Hllr l longitud de l primer espir de l espirl de Arquímedes r = θ. 1.7 Hllr el áre de l superficie del toro engendrdo por l rotción del círculo (x b) +y =, con b >, lrededor del eje OY. 1.8 Hllr el áre de l superficie engendrd l girr uno de los rcos de l cicloide x = (t sen t), y = (1 cos t) lrededor: ) del eje OX ; b) del eje OY ; c) de l tngente l cicloide en su punto superior. Integrl de un vrible. 155