CÁLCULO INTEGRAL. Definición: Sean a y b dos números reales a < b. Una partición del intervalo [a,b] es un conjunto finito de puntos de,

Transcripción

1 Deprtmento de Mtemátics I.E.S. Vlle del Jerte (Plsenci) CÁLCULO INTEGRAL 2.- INTEGRAL DEFINIDA. Definición: Sen y dos números reles <. Un prtición del intervlo [, es P,,..., tles que un conjunto finito de puntos de, n. Un prtición P,,..., 0, 1 2 0, 1 2 n determin en [, los suintervlos [ 0, 1 ], [ 1, 2 ], [ 0, 1 ],., [ n-1, n ] los cules se dicen que formn un sudivisión del intervlo [,. n Sums de Riemnn: Se f(un función continu en el intervlo [, y P,,..., de [,. un prtición 0, 1 2 Por ser f( un función continu plicndo el teorem de Weierstrss f( lcnz en cd suintervlo un máimo y un mínimo. Sen m 1, m 2,., m n los vlores mínimos y M 1, M 2,., M n los vlores máimos en los suintervlos [ 0, 1 ], [ 1, 2 ], [ 0, 1 ],., [ n-1, n ]. Nos plntemos cómo evlur el áre suycente que eiste jo l gráfic de l función en el intervlo ddo: n Considermos i = i - i-1 i=1,2, n (con estos vlores estmos midiendo l distnci que y entre dos elementos consecutivos de l prtición) y los rectángulos de se i y ltur m i : I.E.S. Vlle del Jerte Plsenci (Cáceres) 1

2 Deprtmento de Mtemátics I.E.S. Vlle del Jerte (Plsenci) El áre de cd uno de los rectángulos es i m i i= 1,..n ; sumndo ls áres de todos ellos otenemos un vlor proimdo del áre que querímos clculr. s 1 =m m n n Es evidente que s 1 A siendo A el áre que queremos clculr. De igul form podemos proimr el vlor del áre A considerndo los rectángulos de se i y ltur M i. En este cso: y l sum es S 1 =M M n n. Es evidente que A S 1. Luego s1 A S1. I.E.S. Vlle del Jerte Plsenci (Cáceres) 2

3 Deprtmento de Mtemátics I.E.S. Vlle del Jerte (Plsenci) Si considermos or un prtición más fin que l nterior; es decir, formd por los puntos de P y ñdiendo lgunos intermedios; otendremos dos vlores s 2 y S 2 que proimn A de tl form que: s1 s2 A S2 S1 de modo que l proimción es mejor. Este proceso continumos repitiéndolo y sí, medid que umentn el número de rectángulos, ls sums s i y S i se proimn más l áre A. Si cemos el límite cundo i : Líms A LímS i i i i Definición: Llmremos integrl definid de Riemnn l vlor de estos límites y lo denotremos: Propieddes: 1) d = A d d. 2) Si 0 en [,, entonces d 0. 3) d 0. I.E.S. Vlle del Jerte Plsenci (Cáceres) 3

4 Deprtmento de Mtemátics I.E.S. Vlle del Jerte (Plsenci) 4) Si g( [,, entonces d g ( d. 5) d d. 6) g( d 7) k d =k d. 8) Si c [,, entonces d g ( d. d = c d + d. c Teorem del Vlor Medio del Cálculo Integrl: Se f( un función continu en [,, entonces eiste [, tl que f ( )( ). d = Demostrción: Por ser f(continu en [, plicndo el teorem de Weierstrss lcnz un máimo M y un mínimo m. Considermos ls áres de los rectángulos de se (-) y l ltur M y m, respectivmente s=(-)m y S=(-)M Semos que s=(-)m d (-)M=S 1 dividiendo por (-) m d M (*) 1 si llmmos = d que es un número rel tendremos que d ( ) Como es un vlor entre M y m por (*) y l función f( es continu plicndo el teorem de Drou [, tl que f ( ) y por tnto d = f ( )( ). cqd I.E.S. Vlle del Jerte Plsenci (Cáceres) 4

5 Deprtmento de Mtemátics I.E.S. Vlle del Jerte (Plsenci) Geométricmente este teorem signific que el áre de l región limitd por l curv, el eje orizontl y ls rects = y = es igul l áre de un rectángulo de se (-) y l ltur un vlor comprendido entre m y M. Definición: Se f( un función continu en [,. Llmremos función integrl : F: [, R dt Est función está definid porque f( es continu en [, luego tmién lo es [,] [, y podemos lr de F(= dt Teorem Fundmentl del Cálculo Integrl: Si f( es continu en [, entonces su función integrl socid F(= derivle en [, y se verific F (=f( [,. Demostrción: Tenemos que demostrr que F( es derivle y que su derivd coincide con f(. F( ) F( Por definición de derivd tenemos que ver si eiste Lím F ( 0 F( ) F( dt - dt = dt. dt es Como f( es continu en [, tmién lo es en [,+], por lo tnto plicndo el teorem del vlor medio del cálculo integrl eiste [,+] tl que dt = f ( )( f ( ) Luego F( ) F( F( ) F( ( y f ( ) f ) 0 I.E.S. Vlle del Jerte Plsenci (Cáceres) 5

6 Deprtmento de Mtemátics I.E.S. Vlle del Jerte (Plsenci) F( ) F( 0 0 entonces [,+] se convierte en el punto y [,+], luego Tomndo límites cundo 0 Pero si 0 F ( Lím lím f ( ) 0 por tnto lím f ( ) ( porque f( es continu) y F (=f(. cqd 0 Regl de Brrow Si f( es continu en [, y G( es un primitiv de f( en [,, entonces: Demostrción: dt =G()-G() Considermos l función integrl socid f( en [,: F ( dt por el teorem nterior semos que es un primitiv de f(; demás por ipótesis G( tmién es primitiv de f(, luego F( = G( + k Pr = F( ) dt 0 G( ) k k G( ) Por tnto F( dt G( k G( G( ) Y en prticulr pr = F( ) dt G( ) G( ) Cálculo de Áres cqd Hemos visto que l integrl definid d represent el vlor del áre de l región pln que determin l función f(, ls rects =, = y el eje de sciss. Así pues: 1) Si f( es continu en [, y positiv, el áre vendrá dd por A = d I.E.S. Vlle del Jerte Plsenci (Cáceres) 6

7 Deprtmento de Mtemátics I.E.S. Vlle del Jerte (Plsenci) 2) Si f( es continu en [, y negtiv, el áre vendrá dd por A = - d 3) Si f( no tiene signo constnte en [,, es decir, el eje X cort l recinto cuy áre se dese clculr, se descompone dico recinto en vris regiones, uns situds por encim del eje X y otrs por dejo, y se clculn independientemente dics áres c Áre = B +A + C = ( d d d f d c 4) Sen f( y g( dos funciones continus en [,c] que se cortn en los puntos A, B y C. Pr clculr el áre encerrd por ests dos funciones y que cer el cálculo por intervlos independientes, determinndo en cules de ellos l función f( qued por encim de l función g( y vicevers. d El áre vendrá dd por I.E.S. Vlle del Jerte Plsenci (Cáceres) 7