Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería. Tema 9: Cálculo integral de funciones de varias variables Curso

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1 Fundmentos Mtemáticos de l Ingenierí. (Tem 9) Hoj Escuel Técnic Superior de Ingenierí Civil e Industril (Esp. en Hidrologí) Fundmentos Mtemáticos de l Ingenierí. Tem 9: Cálculo integrl de funciones de vris vribles Curso 6-7 Integrles dobles. Integrles iterds áre en el plno.. Integrles iterds En el tem nterior se mostró cómo clculr l derivd prcil de un función de vris vribles, derivndo respecto cd un de ls vribles considerndo ls demás como constntes. Pues bien, utilizndo un proceso similr podemos integrr funciones de vris vribles. Por ejemplo si prtimos de l derivd prcil f x (x, ) x, podemos integrr respecto x, considerndo constnte, pr obtener l función de prtid f(x, ). Esto es f(x, ) f x (x, ) dx x dx x dx x + C() L constnte de integrción ps ser un función de, que culquier expresión que sólo depend de, drí cero l ser derivd respecto x. En cunto ls integrles definids, se puede plicr el teorem fundmentl del cálculo (considerndo como constnte). x dx [ x ] () () De form nálog se puede integrr respecto, considerndo x como constnte. Ambos procedimientos se expresn como sigue h () h () g (x) g (x) f x (x, ) dx [f(x, )] h () h () f(h (), ) f(h (), ) f (x, ) d [f(x, )] g (x) g (x) f(x, g (x)) f(x, g (x)) Ejemplos: Evlur x Evlur x (x + ) d. x (x + ) d x d+ [ x [ x ] (x + ) d dx. ] (x + ) d dx x d [ x + ] x ( x x + x (x x ) dx [ x x x ] ( ) ) ) ( x + x x

2 Fundmentos Mtemáticos de l Ingenierí. (Tem 9) Hoj L integrl del último ejemplo es un integrl iterd. Ls integrles iterds se escriben normlmente b g (x) g (x) f(x, ) d dx d h () c h () f(x, ) dx d Los límites interiores de integrción pueden ser funciones de l vrible extern, pero los límites exteriores de integrción deben ser constntes. Los límites de integrción de un integrl iterd determinn l región de integrción. En nuestro ejemplo {(x, ) / x ; x}. Ls propieddes de ls integrles definids pueden plicrse en el cálculo de integrles iterds... Áre de un región pln Consideremos l región pln cotd por x b g (x) g (x). El áre de está dd por l integrl definid esto es b [g (x) g (x)] dx, l cul puede ser reescrit como l integrl iterd b g(x) g (x) d dx,. Si está definid por x b g (x) g (x), donde g g son continus en [, b], entonces el áre de está dd por A b g (x) g (x) d dx. Si está definid por h () x h () c d, donde h h son continus en [c, d], entonces el áre de está dd por A d h () c h () dx d Not: En cso de que los cutro límites de integrción sen constntes, l región es un rectángulo. Ejemplos: Utilizr un integrl iterd pr hllr el áre de l región limitd por ls gráfics de f(x) sen x g(x) cos x, entre x π x 5π. Áre 5π π sen x cos x d dx 5π π [] sen x cos x dx 5π π (sen x cos x) dx [ cos x sen x] 5π π Describir l región cu áre está representd por l integrl dx d. Después hllr otr integrl iterd que utilice el orden d dx pr representr l mism áre mostrr que mbs integrles dn el mismo vlor. Los límites de integrción nos indicn que x, lo que muestr que l región es l que se encuentr delimitd por el rco de l curv x que une los puntos (, ) (, ) el eje OX. El vlor del áre es ] dx d [x] d ( ) d [ 6 u.. Pr cmbir el orden de integrción d dx, hemos de describir l región de form que x se muev entre constntes (integrl extern) l entre funciones (integrl intern). Si tenemos en cuent que el rco de curv que delimit nuestr región une los puntos (, ) (, ), es obvio que x. En cunto l, ddo que por debjo es el eje OX quien cot l región por rrib lo hce l curv x, obtenemos

3 Fundmentos Mtemáticos de l Ingenierí. (Tem 9) Hoj x. Por lo tnto el áre de l región puede hllrse tmbién medinte l integrl Es fácil comprobr que el vlor de est integrl coincide con l nterior x d dx. Integrles dobles volúmenes x [] dx x dx [ x ] 6 u.. x d dx. Considérese un función continu f tl que f(x, ) pr todo (x, ) en un región del plno x. Nos plntemos clculr el volumen de l región sólid comprendid entre l superficie dd por z f(x, ) el plno x. Pr comenzr subdividimos l región en rectángulos, quedndo lgunos rectángulos incompletos en el borde de. Los rectángulos (completos) que se encuentrn contenidos en, formn un prtición interior, cu norm está definid como l longitud de l digonl más lrg de los n rectángulos que l constituen. Después se elige un punto (x i, i ) en cd rectángulo se construe el prism rectngulr de ltur f(x i, i ). Si denotmos por A i l áre del rectángulo i-ésimo, el volumen del correspondiente prism será f(x i, i ) A i, el volumen de l región sólid se puede proximr por l sum de iemnn de los volúmenes n de los n prisms f(x i, i ) A i. Est proximción se puede mejorr subdividiendo en rectángulos cd i vez más pequeños, lo que sugiere que se podrí obtener el volumen excto tomndo un límite. Es decir, n Volumen lim f(x i, i ) A i i El uso del límite de un sum de iemnn pr definir un volumen es un cso prticulr del uso del límite pr definir un integrl doble. Definición.- Si f está definid en un región cerrd cotd del plno x, entonces l integrl doble de f sobre está dd por n f(x, ) da lim f(x i, i ) A i i siempre que el límite exist, en cuo cso f es integrble sobre. Not: Si f es integrble en un región pln f(x, ) pr todo (x, ), entonces el volumen de l región sólid que se encuentr sobre bjo l gráfic de f se define como V f(x, ) da Teorem Sen f g continus en un región cerrd cotd del plno, se c un constnte.. cf(x, ) da c f(x, ) da... [f(x, ) ± g(x, )] da f(x, ) da, si f(x, ) f(x, ) da f(x, ) da ± g(x, ) da g(x, ) da, si f(x, ) g(x, ) 5. f(x, ) da f(x, ) da + f(x, ) da, donde es l unión de dos subregiones que no se superponen.

4 Fundmentos Mtemáticos de l Ingenierí. (Tem 9) Hoj.. Evlución de integrles dobles Normlmente, el procedimiento pr evlur un integrl doble ps por reescribirl como un integrl iterd. El teorem siguiente, conocido como teorem de Fubini, pone de mnifiesto est cuestión. Teorem Se f continu en un región pln.. Si está definid por x b g (x) g (x), donde g g son continus en [, b], entonces b g(x) f(x, ) da f(x, ) d dx. Si está definid por c d h () x h (), donde h h son continus en [c, d], entonces d h () f(x, ) da f(x, ) dx d Ejemplos: Evlur c g (x) h () ( x ) da, donde l región viene dd por los puntos que verificn x,. Por l descripción de, podemos utilizr culquier orden de integrción. ( x ) [ da ( x ) ] d dx Hllr el volumen de l región sólid cotd por el prboloide z x el plno x. Hciendo z, se comprueb que el borde de l región sobre el plno x es l elipse x +, luego nuestr región de integrción l constituen los puntos sobre l elipse en el interior de ést qued descrit por x x x, Por lo tnto el volumen pedido es V x x ( x ) d dx efectundo el cmbio de vrible x sen θ π π 6 cos θ dθ 8 [( x ) π ] x x ( ) + cos(θ) dθ π u.v. dx ( x ) dx Hllr el volumen de l región sólid cotd por l superficie f(x, ) e x los plnos z,, x x. L bse de l región sólid en el plno x está delimitd por ls rects, x e x, puede describirse de ls dos mners siguientes, socids los dos ordenes de integrción posible, x. Est descripción nos llevrí l siguiente cálculo V e x dx d el cul no es trivil que e x no posee un función elementl como primitiv.

5 Fundmentos Mtemáticos de l Ingenierí. (Tem 9) Hoj 5 x, x. En este cso el volumen serí V x e x d dx e x [] x dx xe x dx e e Hllr el volumen de l región sólid cotd superiormente por el prboloide z x e inferiormente por el plno z. Igulndo los vlores de z obtenemos l intersección de ls dos superficies u.v. x x + x + ( ) Est intersección respresent un curv que se encuentr sobre el cilindro circulr recto, cu proección sobre el plno x es precismente l circunferenci x +( ). El volumen pedido será l diferenci entre el volumen del sólido bjo el prboloide en l región pln x + ( ), menos el del sólido bjo el plno en l mism región. Es decir V ( x ) dx d ] [( )x x d ( ) dx d ( ) d 8 ( x ) dx d [ ( ) ] d efectundo el cmbio de vrible sen θ plicndo dos veces l fórmul cos x + cos(x).. Cmbio de vribles: coordends polres En un integrl simple obtener b V π u.v. f(x) dx se puede efectur un cmbio de vrible x g(u), con lo que dx g (u) du, b f(x) dx d c f[g(u)] g (u) du donde g(c) b g(d). Nótese que el proceso de cmbio de vrible introduce en el integrndo un fctor dicionl, g (u). Esto tmbién ocurre en el cso de integrles dobles f(x, ) da f[g(u, v), h(u, v)] du dv S donde el cmbio de vribles x g(u, v) e h(u, v) introduce un fctor llmdo jcobino. Definición.- Si x g(u, v) e h(u, v), entonces el jcobino de x e con respecto de u v, denotdo por (u, v), es Ejemplo: (u, v)

6 Fundmentos Mtemáticos de l Ingenierí. (Tem 9) Hoj 6 Hllr el jcobino pr el cmbio de vribles que nos llev de ls coordends crtesins ls polres. Es decir x r cos θ e r sen θ (r, θ) r r θ θ cos θ sen θ r sen θ r cos θ r cos θ + r sen θ r Teorem (Cmbio de vribles) Sen S ls regiones en los plnos x uv que están relcionds por ls ecuciones x g(u, v) e h(u, v) de mner que cd punto en es l imgen de un único punto en S. Si f es continu en, g h tienen derivds prciles continus en S, es distinto de cero en S, entonces (u, v) f(x, ) dx d f[g(u, v), h(u, v)] (u, v) du dv Ejemplos: Cmbio de vrible pr simplificr un región Se l región limitd o cotd por ls rects evlur l integrl doble S x, x, x +, x + x da. Si efectumos el cmbio de vribles x u x + v, conseguiremos que ls rects oblicus que delimitn nuestr región de integrción se conviertn en rects prlels los ejes u v en el plno uv, u, u, v v. Despejndo x e en l igulddes nteriores obtenemos lo cul implic que el jcobino es por lo tnto x da S x (u + v) (u v) (u, v) [ ] (u + v) (u v) (u, v) du dv 9 (u uv v ) du dv 6 9 Cmbio de vrible coordends polres Se l región nulr comprendid entre los círculos x + x + 5. Evlur l integrl (x + )da.

7 Fundmentos Mtemáticos de l Ingenierí. (Tem 9) Hoj 7 Efectundo el cmbio de vribles x r cos θ, r sen θ, l región viene descrit como los puntos (r, θ) tles que r 5, θ π. El correspondiente jcobino será (r, θ) r θ cos θ r sen θ sen θ r cos θ r cos θ + r sen θ r r θ Además x r cos θ e r sen θ. Por lo tnto. Problems de l sección (x + )da. Evlur ls siguientes integrles iterds π 5 (r cos θ + rsen θ) r dr dθ 6π ) (x + ) d dx b) π sen x ( + cos x) d dx c) x x d dx sol : sol : sol : d) (x + ) dx d e) dx d f) π sen θ θ r dr dθ sol : sol : sol : π + 8. Hllr el áre de l región que se encuentr bjo l prábol x x, sobre el eje OX sobre l rect x + 6. sol: 5 u... Idem pr l región limitd por ls rects x, x + 5,. sol: 5 u... Determinr l región cu áre viene dd por l integrl iterd. Después cmbir el orden de integrción mostrr que mbos órdenes dn l mism áre. ) : rectángulo sol : dx d 5. Evlur l integrl iterd integrción. sol: e e. d dx b) dx d c) : semicírculo superior sol : x d dx π e x x d dx + x d dx : triángulo isósceles sol : dx d d dx. Nótese que hbrá que efectur un cmbio en el orden de

8 Fundmentos Mtemáticos de l Ingenierí. (Tem 9) Hoj 8 6. En los siguientes ejercicios dr un integrl pr cd orden de integrción utilizr el orden más conveniente pr evlur l integrl en l región cotd delimitd por ls igulddes indicds. x + da + x da x + da ) sol : ln x x x ( ) 5 b) sol : x x ln 7 c) x + 5 x x sol : 5 7. Dr, en cd cso, un integrl doble pr hllr el volumen del sólido limitdo o cotdo por l gráfics de ls ecuciones que se indicn. () z x, z, x, x, primer octnte. sol: 8. (b) z x, z, x, x,,. sol:. (c) z x +, x +, primer octnte. sol: Evlur ls siguientes integrles iterds (nótese que es ncesrio cmbir el orden de integrción). ) e x dx d b) ln e x ln d dx c) rccos sen x + sen x dx d d) x cos d dx sol : e sol : 9 sol : [ ] sol : [sen + cos ] 9. Utilizr coordends polres pr escribir evlur l integrl doble f(x, ) x + ) : x +, x, f(x, ) da. ( f(x, ) rctg x) b) : x +, x +, x sol : 6 sol : π 6. Utilizr un integrl doble en coordends polres pr hllr el volumen del sólido limitdo o cotdo por ls gráfics de ls ecuciones ) z x, x +, primer octnte b) z x +, z, x + 5 sol : 8 sol : 5π