CAPÍTULO. La integral. 1.3 Cálculo aproximado del área de una región plana bajo una curva

Transcripción

1 CAPÍTULO 1 L integrl 1.3 Cálculo proimdo del áre de un región pln jo un curv etommos en est sección el prolem del cálculo de áres, introduciendo lguns simplificciones notciones que nos permitirán resolverlo. Supongmos que se dese clculr el áre de un región del plno cotd por un curv continu como l mostrd en l siguiente figur: Bsdos en ls propieddes del áre enuncids nteriormente, vemos que se puede sudividir l región en vris suregiones como sigue: 3 1 4, por trtrse de regiones que no se trslpn, tenemos entonces: 1. cnek.zc.um.m: 13/ 1/ 017 A./ A. 1 / C A. / C A. 3 / C A. 4 /: 1

2 Cálculo integrl Si rotmos lguns de ls suregiones de l figur nterior demás introducimos ejes coordendos, vemos que hrá que clculr ls áres de ls siguientes regiones pr encontrr A./: f./ f 1./ 1 f 4./ 3 f 3./ 4 L oservción importnte hor es que ests cutro regiones tienen lgo en común: 1. Tods ells se ven como un región limitd rri por un curv, jo por el eje horizontl los ldos (en el cso de 4 ) por rects verticles.. Suponemos que ls curvs que cotn por rri cd un de ests regiones representn l gráfic de un función continu i f i./ con i 1; ; 3; Por l form como se hn situdo en el plno crtesino ests funciones cumplen que f i./ 0. Por lo nterior, vemos que el cálculo de A. 1 /; A. /; A. 3 / o A. 4 / se reduce resolver el prolem siguiente: Clculr el áre de un región cotd rri por un función continu f./ 0, jo por el eje, sí como los ldos por ls rects verticles &. f./ Csos prticulres 1. El cálculo del áre que se pide en este prolem serí mu fácil si l función f./ fuese constnte (pues entonces l región serí un rectángulo) o linel (porque entonces l región serí un trpecio). En estos csos:

3 1.3 Cálculo proimdo del áre de un región pln jo un curv 3 c A C B c f./ f./ f./ c, sí que el áre es A./. / c, es decir, se ltur. f./ ACB ) f./ ACB & f./ ACB, sí que el áre es A./. /f./ C 1. /Œf./ f./ 1. /Œf./ C f./:. Un cso más en el que se puede clculr A./ con reltiv fcilidd es cundo l función f./ es linel por trmos, es decir, cundo h un conjunto finito de puntos 0 < 1 < < : : : < n de modo tl que en cd suintervlo Œ i 1 ; i l función f./ es constnte o linel. En tles csos, clculr el áre A./ se reduce clculr el áre correspondiente cd suintervlo como en el cso nterior sumr dichs áres. Ejemplo Se l función f./ definid como sigue: 1; si 0 1I f./ ; si 1 < 3I 9 ; si 3 < 4:5: Clculr el áre jo l gráfic de f./, sore el eje en el intervlo Œ0; 4:5. f./ 1 3 4:5 H Aquí 0 0 < 1 1 < 3 < 3 4:5,, por ser f./ un función linel por trmos, usndo

4 4 Cálculo integrl los resultdos del cso 1. nterior, tenemos: A./ / C Trmo Œ 0 ; 1 C 1. 1 /Œf. 1 / C f. / C Trmo Œ 1 ; C 1. 3 /Œf. / C f. 3 / Trmo Œ ; / C 1.3 1/Œ1 C 3 C 1.4:5 3/Œ3 C 0 1 C 4 C 1.1:5/.3/ 5 C 1.4:5/ 5 C :5 7:5: 3. Es posile resolver csos en los que l función no es continu, pero es constnte por trmos. A ests funciones se les llm comúnmente funciones esclonds. En generl, un función esclond tiene l form siguiente: pr un conjunto finito de puntos 0 < 1 < < : : : < n, en donde f./ c i pr i 1 < < i, con i 1; ; : : :; n, & c i 0. Ejemplo 1.3. Clculr el áre jo l gráfic de dich función sore el eje. f./ c 3 :: : c c n c : : : n 1 0 n H Con los dtos disponiles se puede clculr el áre como sigue, de cuerdo con ls oservciones previs: A./ c / C c. 1 / C c 3. 3 / C : : : C c n. n n 1 / c 1 1 C c C c 3 3 C : : : C c n n ; donde hemos denotdo i i i 1. Volvmos l cso generl del cálculo del áre A./ de l región limitd por l gráfic de un función continu f./ 0, el eje, l rects &. f./

5 1.3 Cálculo proimdo del áre de un región pln jo un curv 5 Pr un función f dd de mner ritrri es imposile, con ls herrmients de que disponemos, dr el vlor ecto del áre A./. Sin emrgo es posile hcer lgo respecto l prolem. Procederemos de l siguiente mner: 1. elcionremos nuestro prolem con otro similr, pero más fácil de resolver.. Generremos un procedimiento o criterio que nos permit otener proimciones o estimciones pr A./. 3. Cd proimción será compñd de un estimción del error cometido. 4. Aplicremos el nuevo procedimiento o criterio pr otener, cd vez, proimciones mejores compñds de errores cd vez más pequeños. Primer proimción. f./ M m Como el intervlo Œ; es cerrdo cotdo, l función f./ es continu, est dee lcnzr sus vlores mínimo máimo en ese intervlo, denotémoslos por m M respectivmente. Entonces el rectángulo menor con se Œ; ltur m qued comprendido totlmente dentro de l región, est su vez comprendid en el rectángulo mor con l mism se ltur M. Entonces ls áres cumplen ls desigulddes: es decir, A.rectángulo menor/ A./ A.rectángulo mor/; m. / A./ M. /: Tenemos que dmitir que est primer proimción puede que no se mu uen, sí que deemos uscr lgun mner de mejorrl. Segund proimción. Si hcemos un sudivisión del intervlo originl Œ; repetimos l proimción que cmos de hcer en cd uno de los suintervlos, otendremos l sumr ls proimciones sí relizds, un desiguldd mejord. Por ejemplo, en l siguiente figur hemos prtido el intervlo originl de l figur nterior en tres suintervlos l introducir 0 < 1 < < 3. f./ M m 1 0 3

6 6 Cálculo integrl En cd suintervlo h un vlor mínimo otro máimo de l función. Podemos denotr con m 1 ; M 1 (respectivmente) pr el primer suintervlo Œ 0 ; 1 ; con m ; M (respectivmente) pr el segundo suintervlo Œ 1 ; ; con m 3 ; M 3 (respectivmente) pr el tercer suintervlo Œ ; 3. Si denotmos con 1 ; & 3 ls porciones de contenids en el primero, segundo tercer suintervlo, respectivmente, tendremos que, l igul que ntes, m / A. 1 / M /I m. 1 / A. / M. 1 /I m 3. 3 / A. 3 / M 3. 3 /: e est form l sumr ls nteriores desigulddes result: m / C m. 1 / C m 3. 3 / A./ M / C M. 1 / C M 3. 3 /; que A. 1 / C A. / C A. 3 / A./. Est últim desiguldd es mejor que l que tenímos ntes, pues l sum de ls áres de los rectángulos inferiores umentó en ls áres de los rectángulos somredos mientrs que l sum de ls áres de los rectángulos superiores disminuó en ls áres de los rectángulos somredos de mner que el vlor rel del áre A./ se encuentr hor entre dos números más cercnos uno del otro. El procedimiento de umentr el número de suintervlos puede repetirse voluntd, podemos sí sudividir el rectángulo en 5; 10; 100 o suintervlos mientrs más suintervlos h deemos otener mejores proimciones. L siguiente figur muestr cómo se verí un proimción l prtir el intervlo Œ; de l figur originl en 10 suintervlos: f./ Se puede oservr que l sum de áres de los rectángulos inferiores (respectivmente superiores) nos d un mejor proimción l vlor de A./, pues los inferiores csi llenn l region, los superiores curen con mu poco espcio de más. L diferenci entre los superiores los inferiores es mucho menor que l principio, es de esperrse que medid que umente el número n de

7 1.3 Cálculo proimdo del áre de un región pln jo un curv 7 suintervlos, o que n! 1, l sum de ls áres de rectángulos superiores e inferiores tiendn ser igules; pero como A./ está comprendid entre ests dos sums, se esper que su vlor se igul l vlor común de los límites. Ejemplo Estimr el áre dejo de l gráfic de f./ 4 error menor o igul 0:5 uniddes cudrds., sore el eje, entre 0 &, con un H El áre estimr es l que se muestr somred en l siguiente figur, en l que se puede precir que el máimo de l función en el intervlo Œ0; es M f.0/ 4, el mínimo es m f./ e est form, l primer proimción que tenemos es 0. 0/ A./ 4. 0/; es decir, 0 A./ 8. L diferenci entre los dos etremos de ests desigulddes es tn grnde que result evidente que el error de proimción no es menor o igul 0:5 uniddes cudrds. Si hcemos un segundo intento tomndo cutro suintervlos de igul longitud podemos entonces tomr 0 0; 1 0:5; 1; 3 1:5 & 4 : Como puede oservrse directmente [o tmién tomndo l derivd f 0./ < 0 en el intervlo.0; /], l función f./ es decreciente sí que en cd suintervlo su máimo es el vlor de f./ en el etremo izquierdo su mínimo el vlor de f./ en el etremo derecho, por lo que dichos máimos mínimos son como se muestr en l siguiente tl: Intervlo Etremos Vlor mínimo m i Vlor máimo M i 1 Œ0; 0:5 m 1 f.0:5/ 3:75 M 1 f.0/ 4 Œ0:5; 1 m f.1/ 3 M f.0:5/ 3:75 3 Œ1; 1:5 m 3 f.1:5/ 1:75 M 3 f.1/ 3 4 Œ1:5; m 4 f./ 0 M 4 f.1:5/ 1:75 L siguiente figur muestr los rectángulos que proimn el áre A./ por dejo por encim, continución están los cálculos de l sum de áres de los rectángulos inferiores superiores:

8 8 Cálculo integrl :5 1:0 1:5 :0 Sum de áres de los rectángulos inferiores (sum inferior): 3:75.0:5 0/ C 3.1 0:5/ C 1:75.1:5 1/ C 0. 1:5/ 0:5.3:75 C 3 C 1:75 C 0/ Sum de áres de los rectángulos superiores (sum superior): Por lo nterior: 0:5.8:5/ 4:5 : 4.0:5 0/ C 3:75.1 0:5/ C 3.1:5 1/ C 1:75. 1:5/ 0:5.4 C 3:75 C 3 C 1:75/ 4:5 A./ 6:5: 0:5.1:5/ 6:5 : Con est segund proimción l diferenci entre ls sums inferior superior disminuó uniddes cudrds, si diérmos como proimción de A./, digmos A./ 4:5 C 6:5 10:5 5:5 uniddes cudrds.u / ; el error cometido serí menor o igul un unidd cudrd, mejorndo l proimción nterior pero ún no suficiente :5 El siguiente intento de mejorr l proimción lo hremos con 8 suintervlos de igul longitud: l elección de este número de suintervlos es ritrri se hce simplemente por fcilidd. L siguiente tl muestr los vlores de los i ; m i, M i. 5:5 6:5 Intervlo Etremos m i M i 1 Œ0; 0:5 m 1 f.0:5/ 3:9375 M 1 f.0/ 4 Œ0:5; 0:5 m f.0:5/ 3:75 M f.0:5/ 3: Œ0:5; 0:75 m 3 f.0:75/ 3:4375 M 3 f.0:5/ 3:75 4 Œ0:75; 1 m 4 f.1/ 3 M 4 f.0:75/ 3: Œ1; 1:5 m 5 f.1:5/ :4375 M 5 f.1/ 3 6 Œ1:5; 1:5 m 6 f.1:5/ 1:75 M 6 f.1:5/ : Œ1:5; 1:75 m 7 f.1:75/ 0:9375 M 7 f.1:5/ 1:75 8 Œ1:75; m 8 f./ 0 M 8 f.1:75/ 0:9375 sum 19:5 SUMA 3:5

9 1.3 Cálculo proimdo del áre de un región pln jo un curv 9 Ls áres inferior A./ superior A./ se clculn multiplicndo ls sums que precen en el renglón inferior por el vlor 0:5, que es el ncho de cd suintervlo Œ i 1 ; i pr i 1; ; : : :; 8, sí otenemos: Sum inferior: A./ m 1 C m C : : : C m 8.m 1 C m C : : : C m 8 /.sum/ 19:5.0:5/ 4:815: Sum superior: A./ M 1 C M C : : : C M 8.M 1 C M C : : : C M 8 /.SUMA/ 3:5.0:5/ 5:815: :00 0:5 0:50 0:75 1:00 1:5 1:50 1:75 :00 Así con est proimción hemos otenido: A./ 4:815 A./ 5:815 A./: Como A./ se encuentr entre 4:815 5:815, podrímos decir que A./ con un error menor o igul 0:5 u. A./ C A./ 5:315 uniddes l cudrdo (u /, 0:5 0:5 4:815 5:315 5:815 Aunque no conocemos en este momento el vlor de A./ sí semos que se encuentr dentro del intervlo Œ4:815; 5:815 que su distnci l vlor proimdo 5:315, que es el punto medio del intervlo, dee ser menor o igul que l mitd del ncho del intervlo, sí: error 1 Œ5:815 4:815 0:5 u :

10 10 Cálculo integrl Este ejemplo muestr que, dd un función continu f./ 0 en un intervlo Œ;, siempre podemos estimr el vlor del áre jo l curv f./, sore el eje entre ls rects,. L proimción se puede mejorr introduciendo cd vez más puntos i pr hcer que l prtición del intervlo originl en suintervlos se cd vez más fin (lo cul implic que hrá un mor número de suintervlos). No tenemos ún un criterio preciso que nos dig en cuántos suintervlos deemos prtir el intervlo originl pr otener un proimción con un error menor que un vlor ddo de ntemno, solmente semos que prtiendo el intervlo originl en un mor número de suintervlos se tendrán estimciones cd vez más preciss. En ls secciones que siguen veremos cómo psr de ls proimciones l vlor ecto de A./. Ejercicios Cálculo proimdo del áre. Soluciones en l págin Estime el áre jo l gráfic de f./ p, sore el eje pr los siguientes intervlos usndo prticiones de ; 4 8 suintervlos.. En el intervlo Œ0; 4;. En el intervlo Œ0; 1; c. En el intervlo Œ1; 4. Se pueden usr ls proimciones otenids en los dos últimos incisos pr mejorr l proimción en el primer inciso? Eplique.. Aproimr el áre A./ dejo de l gráfic de l función f./ sen en el intervlo Œ=;, clculndo A./ A./. Use un prtición de 8 suintevlos proporcione el vlor del error que se comete. 3. Pr l función g./ tn, encontrr l sum de iemnn que proim el áre A./ jo su gráfic sore el eje, desde =4 hst =3; use 8 suintervlos de igul longitud clculndo A./ A./. Proporcione el error que se comete. 4. e cuerdo con l geometrí elementl, el áre de un círculo es A r, donde r es su rdio. Considere el áre jo l curv f./ p 4, sore el eje entre 0,. Oserve que l región en cuestión es l curt prte de un círculo de rdio, comprendid en el primer cudrnte del plno crtesino. Cuál es el vlor del áre de es región? Estime el vlor del áre prtiendo el intervlo Œ0; en ; 4 8 suintervlos. Estime el error de proimción en cd cso.

11 1.3 Cálculo proimdo del áre de un región pln jo un curv 11 Ejercicios Cálculo proimdo del áre. Pregunts, págin Œ0; 4. i. suintervlos. A./ :884; A./ 6:884; promedio 4:884; error. ii. 4 suintervlos. A./ 4:1463; A./ 4:1463; promedio 5:1463; error 1. iii. 8 suintervlos. A./ 4:7650; A./ 5:7650; promedio 5:650; error 0:5.. Œ0; 1. i. suintervlos. A./ 0:3536; A./ 0:8536; promedio 0:6036; error 0:5. ii. 4 suintervlos. A./ 0:5183; A./ 0:7683; promedio 0:6433; error 0:15. iii. 8 suintervlos. A./ 0:5956; A./ 0:703; promedio 0:6581; error 0:065. c. Œ1; 4. i. suintervlos. A./ 3:8717; A./ 5:3715; promedio 4:617; error 0:75. ii. 4 suintervlos. A./ 4:801; A./ 5:03101; promedio 4:6551; error 0:375. iii. 8 suintervlos. A./ 4:4563; A./ 4:8513; promedio 4:6678; error 0:1875. d. Si usmos los resultdos de los intervlos Œ0; 1 Œ1; 4 pr 8 suintervlos, otendremos un mejor proimción, que se tendrín 16 suintervlos de Œ0; 4.. A./ 0:8986; A./ 1:095; promedio 0:9968; error 0: A./ 0:3348; A./ 0:3587; promedio 0:3468; error 0: Œ0;. i. suintervlos. A./ 1:731; A./ 3:731; promedio :731; error 1. ii. 4 suintervlos. A./ :4957; A./ 3:4957; promedio :9957; error 0:5. iii. 8 suintervlos. A./ :8398; A./ 3:3398; promedio 3:089; error 0:5.