EL EXPERIMENTO FACTORIAL

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1 DISEÑO DE EXPERIMENTOS NOTAS DE CLASE: SEPTIEMBRE 2 DE 2008 EL EXPERIMENTO FACTORIAL Se utiliz cundo se quiere nlizr el efecto de dos o más fuentes de interés (fctores). Permite nlizr los efectos de ls intercciones, demás del efecto isldo de cd uno de los fctores. Ejemplo: Se quiere nlizr l respuest en l longitud de un piez de determindo mteril, nte vriciones de presión y tempertur. En l tl siguiente se podrín registrr ls oservciones correspondientes cd trtmiento. TEMPERATURA (A) ALTA BAJA ALTA PRESIÓN (B) BAJA Acerc de l notción: Los fctores se representn con letrs myúsculs, mientrs que los trtmientos se identificn medinte letrs minúsculs. Si un investigdor quisier determinr el efecto de tres fctores (A, B, C) con dos niveles cd uno, podrí considerr l opción de experimentr con un solo fctor l vez. Sin emrgo, como se explicrá más delnte, no es ést l form más eficiente de conducir un experimento. Si se reliz el experimento de un solo fctor se considerrí de form direct los siguientes trtmientos: Todos los fctores en nivel jo Fctor A en nivel lto () Fctor B en nivel lto () Fctor C en nivel lto (c) Estos trtmientos están representdos por 4 vértices del cuo mostrdo en l siguiente figur: c Por otro ldo, si el mismo investigdor decidier relizr un experimento fctoril completo, dicionlmente tendrí en cuent los efectos comindos de los trtmientos. El digrm siguiente represent todos los trtmientos que compondrín el experimento fctoril completo con tres fctores y dos niveles pr cd fctor: c c c c

2 Ahor ce formulrse l pregunt Por qué el experimento fctoril completo puede ser más eficiente que el experimento de un solo fctor? Supóngse que se quiere experimentr con dos fctores A y B, uno l vez. Si cd uno de dichos fctores se puede justr en dos niveles, serí necesrio considerr 3 trtmientos (A en lto, B en lto, A y B en jo). Pr tener un se de comprción de l vriilidd dentro de los fctores, es necesrio disponer de por lo menos 2 dtos en cd uno de los tres trtmientos.. L figur siguiente represent los trtmientos y los vlores supuestos de los efectos B A Si se relizr un experimento fctoril, se considerrí demás el trtmiento AB en nivel lto. Al incluir este trtmiento, sólo se requerirí de 1 oservción en cd trtmiento, ddo se dispondrí de un pr de oservciones en cd nivel de cd uno de los fctores (ver figur siguiente) B 24.3 A 30.3 Además de necesitr menos dtos (solmente cutro en el ejemplo nterior), este pln experimentl permitirí estudir tods ls cominciones de los niveles de los fctores, lo cul se permitirí nlizr los efectos de ls intercciones. El modelo estdístico que se utiliz pr construir l tl ANOVA del experimento fctoril de dos fctores: Donde, : Respuest oservd cundo el fctor A está en el i ésimo nivel (i = 1, 2, 3,, ) y el fctor B está en el j ésimo nivel ( j = 1, 2,, ) pr l k ésim réplic (k = 1, 2,, n) : Efecto medio glol : Efecto del i ésimo nivel del fctor A : Efecto del j ésimo nivel del fctor B

3 : Efecto de l intercción entre y : Error En este modelo, el error totl se puede descomponer en los siguientes elementos: SS TOTAL = SS A + SS B + SS AB + SS ERROR De mner similr se descomponen los grdos de liertd: gl TOTAL = gl A + gl B + gl AB + gl ERROR Si el fctor A tiene niveles y el fctor B tiene niveles, gl A : 1 gl B : 1 gl AB : ( 1)( 1) Ejemplo: Se quiere nlizr l durez de un nuevo mteril nte cmios en l presión y l tempertur. Pr cd trtmiento se registrron 2 oservciones. Presión (Bres) 3 5 Tempertur ( o C) Pr relizr el ANOVA, se procede otener ls sumtoris correspondientes los niveles de cd fctor

4 Se clculrá prtir de los errores de los trtmientos. Pr ello se orgniz l tl de l siguiente mner: Trtmientos 100 ; 3 100; 5 200; 3 200; 5 300, 3 300; 5 Réplic Réplic Sum Sum Ddo que, Además, dee clculrse. Éste se otiene prtir del De est mner, Con est informción se construye l tl ANOVA.

5 De est mner se otienen los siguientes vlores: FUENTE SS gl Men Squre F Clculd A B AB ERROR TOTAL FACTORIALES 2 K En este experimento se nlizn: k Fctores 2 Niveles pr cd fctor Por consiguiente, se considern 2 k trtmientos. El siguiente digrm represent los trtmientos de un fctoril 2 K, cundo k = 2. En este tipo de experimento, los trtmientos se representn como se indic en l tl siguiente. NIVELES DE LOS NOTACIÓN DE LOS FUENTES FACTORES TRATAMIENTOS A B AB FACTORES A B Bjo Bjo 0 0 = 1 + TRATAMIENTOS Alto Bjo 1 0 = + Bjo Alto 0 1 = + Alto Alto 1 1 = Pr nlizr el impcto de cd fuente, se utiliz el concepto de contrste. El contrste i se refiere l vrición totl en l respuest nte cmios de nivel de l fuente i. Ls figurs siguientes representn los principles contrstes: Contrste de l fuente A:

6 Contrste de l fuente B Contrste de ls fuentes AB MODELO DE REGRESIÓN PARA EL EXPERIMENTO FACTORIAL Como se hí explicdo en un clse nterior, el modelo de regresión se utiliz cundo los niveles de los fctores son de crácter cuntittivo. Si se supone un modelo linel, y se hcen n oservciones independientes y 1, y 2,, y n, l i ésim oservción puede representrse como Medinte notción mtricil, el modelo puede escriirse simplemente como Donde, y1 y2 Y = : y n, β0 β1 β =, : β k 1 X11 X... X1 k = 1 X 21 X X 2k X, : : : : : 1 X n1 X n2... X nk ε1 ε 2 ε = : ε n En el ámito del diseño de experimentos, se le llm mtriz de diseño. Dich mtriz está conformd por: Un column por cd estimdor del modelo. Un fil por cd oservción en el experimento. Ls ecuciones de mínimos cudrdos pr otener los estimdores del modelo de regresión, están dds por: ( X ' X)ˆ β = X' Y

7 Por lo tnto, βˆ = ( X' X) 1 X ' Y Ejemplo: A trvés de un experimento fctoril 2 2 se intent determinr l respuest de l durez de un mteril nte cmios de presión y tempertur ; 5 Presión Tempertur Si emple un modelo de regresión pr este prolem, l ecución correspondiente es: Entonces, l mtriz de diseño será: β 0 β 1 β 2 β L mtriz nterior es poco práctic por ls siguientes rzones: Se emplen vlores con diferentes uniddes (dimensiones). Por lo tnto, no será posile relizr un comprción direct de los estimdores β i, ddo que estos tmién tendrán diferentes uniddes. L mtriz no se puede operr con fcilidd Si se suprime un column de est mtriz, cmirán todos los términos de Por ls nteriores rzones, se procede codificr ls vriles, de cuerdo con l siguiente ecución: Donde, : Vrile nturl i 2

8 : Promedio de l vrile i Rngo: Rngo de l vrile i Por ejemplo, /2 1 Al efectur l conversión del resto de ls vriles, l mtriz de diseño qued como se muestr: β 0 β 1 β 2 β Not: Nuevmente, los vlores de l column β 3 se pueden clculr como el producto de los vlores de ls columns β 1 y β 2 en l mism fil. Al clculr l mtriz, se otiene: 1/ / / /8 A l nterior, tmién se le denomin mtriz de coeficientes vrinz covrinz. Deido que en ell sólo los únicos elementos diferentes de cero se encuentrn en l digonl principl, permite estimr el impcto isldo de cd fuente (column). Si el vector de ls respuests Y registrds durnte el experimento fuese:

9 Entonces, pr otener los estimdores del modelo de regresión strá con hcer ls respectivs sustituciones en l expresión: βˆ = ( X' X) 1 X ' Y De est mner, X ' Y = Finlmente, l premultiplicr por el resultdo nterior, se otienen los estimdores del modelo de regresión: Estos estimdores tmién podrín herse otenido medinte el método de l pendiente.