UNIDAD IV ÁLGEBRA MATRICIAL

Transcripción

1 Vicerrectordo cdémico Fcultd de iencis dministrtivs Licencitur en dministrción Mención Gerenci y Mercdeo Unidd urriculr: Mtemátic II UNIDD IV ÁLGER MTRIIL Elordo por: Ing. Ronny ltuve, Esp. iudd Ojed, junio de 7

2 Universidd lonso de Ojed Vicerrectordo cdémico Fcultd de iencis dministrtivs Unidd urriculr: Mtemátic II MTRIZ. DEFINIIÓN. Un mtriz es un rreglo rectngulr de números que usulmente se representn como: m m n n mn los números,,, n, se les conoce con el nomre de elementos de l mtriz. Un mtriz está orgnizd en fils y columns. En l mtriz los elementos,,, n, formn un fil, mientrs que los elementos,,, m,, formn un column. L mtriz dd tiene m fils y n columns y se dice que es un mtriz de orden m x n. TIPOS DE MTRIES ) Mtriz Fil: En álger linel, un mtriz fil o vector renglón es un mtriz de dimensiones x n, esto es, un mtriz formd por un sol fil de n elementos. x x x,...,, ) Mtriz olumn: En álger linel, un mtriz column es un mtriz de dimensiones m x, esto es, un mtriz formd por un sol column de m elementos. x n x x x x m c) Mtriz Rectngulr: L mtriz rectngulr tiene distinto número de fils que de columns, siendo su dimensión mxn. M 9 Prof. Ronny ltuve Rg ronnyltuve.wordpress.com

3 Prof. Ronny ltuve Rg ronnyltuve.wordpress.com Universidd lonso de Ojed Vicerrectordo cdémico Fcultd de iencis dministrtivs Unidd urriculr: Mtemátic II d) Mtriz Trnspuest: Si es un mtriz culquier, l trnspuest de, denotd por ᵗ, es l mtriz cuy primer fil es l primer column de, cuy segund fil es l segund column de y sí sucesivmente. Por ejemplo: t e) Mtriz Nul: En un mtriz nul todos los elementos son ceros. f) Mtriz cudrd: L mtriz cudrd tiene el mismo número de fils que de columns. Por ejemplo, son mtrices cudrds ls siguientes: M 7 N M es un mtriz cudrd de orden y N es mtriz cudrd de orden. Los elementos, y, formn l digonl principl de M y los elementos y 7 formn l digonl principl de N. g) Mtriz digonl: En un mtriz digonl todos los elementos que no están situdos en l digonl principl son nulos. h) Mtriz identidd o unidd: Un mtriz identidd es un mtriz digonl en l que los elementos de l digonl principl son igules.

4 Universidd lonso de Ojed Vicerrectordo cdémico Fcultd de iencis dministrtivs Unidd urriculr: Mtemátic II IGULDD DE MTRIES Dos mtrices, y, son igules si son del mismo orden y sus elementos son idénticos. Es decir, si: Donde es el elemento de l fil i y l column j de y de. Entonces, se dee cumplir: es el elemento de l fil i y l column j Si EJEMPLOS. Determin el vlor de x, y, z si: x xy 8 ) y z x y ) x x y z OPERIONES ON MTRIES. DIIÓN DE MTRIES Si ls mtrices = [ ] y = [ ] tienen l mism dimensión, l mtriz sum es: + = [ + ]. Pr sumr dos mtrices y es necesrio que ms tengn igul orden y el resultdo de l dición se otiene sumndo los elementos de ls dos mtrices que ocupn l mism posición. EJEMPLOS. Determin l sum de ls mtrices y. ) ) L sum de culquier mtriz con l mtriz nul [O] es igul l mism mtriz. sí: y y Por definición, l mtriz opuest de, denotd por es un mtriz del mismo orden de y tl que: + ( )= [O] Prof. Ronny ltuve Rg ronnyltuve.wordpress.com

5 Prof. Ronny ltuve Rg ronnyltuve.wordpress.com Universidd lonso de Ojed Vicerrectordo cdémico Fcultd de iencis dministrtivs Unidd urriculr: Mtemátic II L mtriz se otiene multiplicndo por los elementos de. Por ejemplo, si: O ) (.. PROPIEDDES DE L DIIÓN DE MTRIES Muchs de ls propieddes en ls operciones con números reles son válids pr ls operciones con mtrices. Sin emrgo, hy diferencis notles entre mtrices y números reles cundo se trt de multiplicción de mtrices.. PROPIEDD ONMUTTIV: Si y son mtrices de orden m x n, luego: EJEMPLOS. Demuestr que + = +. PROPIEDD SOITIV: Si, y son mtrices m x n, se cumple: EJEMPLOS. Dd ls mtrices, y, demuestr que: + ( + ) = ( + ) = + + ( + ) = ( + ) +

6 Universidd lonso de Ojed Vicerrectordo cdémico Fcultd de iencis dministrtivs Unidd urriculr: Mtemátic II. SUSTRIÓN DE MTRIES Dd ls mtrices =[ ] y =[ ], l diferenci se otiene sumndo l mtriz l opuest de l mtriz, es decir: = + ( ) EJEMPLOS. Determin si: x y y y x. MULTIPLIIÓN DE MTRIES Dos mtrices y son multiplicles si el número de columns de coincide con el número de fils de. El elemento c de l mtriz producto se otiene multiplicndo cd elemento de l fil i de l mtriz por cd elemento de l column j de l mtriz y sumándolos.. MULTIPLIIÓN DE UN ESLR POR UN MTRIZ Si = [ ] es un mtriz de orden de m x n y α es un número rel, el producto α es otr mtriz de orden m x n tl que: = α EJEMPLO. Determin el resultdo de α si: α =. PROPIEDDES DE L MULTIPLIIÓN DE MTRIES. MULTIPLIIÓN POR L MTRIZ IDENTIDD: Dd l mtriz identidd de orden m x n, y otr mtriz, de orden m x n, se cumple: I I Prof. Ronny ltuve Rg ronnyltuve.wordpress.com

7 Prof. Ronny ltuve Rg ronnyltuve.wordpress.com Universidd lonso de Ojed Vicerrectordo cdémico Fcultd de iencis dministrtivs Unidd urriculr: Mtemátic II 7 EJEMPLOS. Dd ls mtrices, verific que I I. PROPIEDD SOITIV: Si es un mtriz m x n, un mtriz n x p y un mtriz p x q, entonces: EJEMPLO. Dd ls siguientes mtrices, demuestr que :. PROPIEDD DISTRIUTIV RESPETO L DIIÓN: Si y son mtrices de orden m x n y es un mtriz de orden n x p, entonces: EJEMPLO. Dd ls mtrices siguientes, demuestr que : INVERS DE UN MTRIZ UDRD Si es un mtriz cudrd de orden n, se define l mtriz invers de, denotd por, quell que hce que se verifique l relción: I n Donde n I es un mtriz identidd, tmién de orden n. En relción l mtriz invers hy que puntulizr lo siguiente: ) El símolo no dee interpretrse como, es simplemente l mner de denotr l mtriz invers. ) No tod mtriz cudrd tiene un invers y si l mtriz invers existe, es únic.

8 Universidd lonso de Ojed Vicerrectordo cdémico Fcultd de iencis dministrtivs Unidd urriculr: Mtemátic II EJEMPLO. Demuestr que l mtriz es l invers de : DETERMINNTES. DEFINIIÓN Ddo el siguiente sistem en form mtricil: x x X El determinnte de un mtriz se define como el número que result de restr los productor y El determinnte de se represent como: det DETERMINNTES DE ORDEN. REGL DE SRRUS Y DE RMER El método de rmer sirve pr resolver sistems de ecuciones lineles. Se plic sistems que cumpln ls dos condiciones siguientes: El número de ecuciones es igul l número de incógnits. El determinnte de l mtriz de los coeficientes es distinto de cero. Tles sistems se denominn sistems de rmer. Se Δ el determinnte de l mtriz de coeficientes. 8 Prof. Ronny ltuve Rg ronnyltuve.wordpress.com

9 Universidd lonso de Ojed Vicerrectordo cdémico Fcultd de iencis dministrtivs Unidd urriculr: Mtemátic II Y sen: Δ, Δ, Δ..., Δ n los determinntes que se otiene l sustituir los coeficientes del º miemro (los términos independientes) en l ª column, en l ª column, en l ª column y en l enésim column respectivmente. Un sistem de rmer tiene un sol solución que viene dd por ls siguientes expresiones: EJEMPLO: Utiliz el concepto de determinnte y ls regls de Srrus y rmer pr otener l solución del sistem de ecuciones: x y z 9 x y z y z USO DE DETERMINNTES PR HLLR L MTRIZ INVERS e destcr que l mtriz trnspuest se define como quell que se otiene intercmindo fils y columns. Por ejemplo: Donde l fil se intercmió con l column, l fil con l column y l fil con l column. simismo, l mtriz djunt de un mtriz cudrd es l trnspuest de l mtriz t 9 Prof. Ronny ltuve Rg ronnyltuve.wordpress.com

10 Universidd lonso de Ojed Vicerrectordo cdémico Fcultd de iencis dministrtivs Unidd urriculr: Mtemátic II otenid prtir de, reemplzndo cd elemento de por su cofctor se denot como dj, es decir, pr otener l mtriz djunt de se procede si: ) Se determinn los cofctores de de cd elemento ) Se reemplz cd elemento de por su cofctor. c) Se determin l trnspuest de l mtriz formd en. de.. El djunto de EJEMPLO. Determin l mtriz djunt de: Pr determinr l invers de un mtriz se efectú dividiendo l mtriz djunt de por el determinnte de, es decir: EJEMPLO. Determin l invers de l mtriz : dj det EJERIIO PRÁTIO. Usndo l mtriz invers, determin l solución del sistem: x x y y z z z Prof. Ronny ltuve Rg ronnyltuve.wordpress.com