Álgebra Lineal XXIII: Determinantes de Matrices Transpuestas. Expansión de un Determinante por Columnas.

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Tomás Cabrera Flores
hace 6 años
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1 Álgebr Linel XXIII: Determinntes de Mtrices Trnspuests Expnsión de un Determinnte por Columns José Mrí Rico Mrtínez Deprtmento de Ingenierí Mecánic Fcultd de Ingenierí Mecánic Eléctric y Electrónic Universidd de Gunjuto emil: jrico@slmncugtomx En ests nots mostrremos l relción entre los determinntes de mtrices trnspuests y l expnsión de un determinnte por columns 1 Determinnte de un mtriz trnspuest En est sección mostrremos primermente que pr m = 3 el determinnte de un mtriz M M m m es igul l determinnte de su mtriz trnspuest Después, generlizremos este resultdo pr un vlor rbitrrio de m Teorem Se M M 3 3 Entonces detm = detm T Prueb: Considere Entonces Por lo tnto M = M T = m 11 m 12 m 13 m 21 m 22 m 23 m 31 m 32 m 33 m 11 m 21 m 31 m 12 m 22 m 32 m 13 m 23 m 33 detm T = m 11 m 22 m 33 +m 21 m 32 m 13 +m 31 m 12 m 23 m 13 m 22 m 31 m 23 m 32 m 11 m 33 m 12 m 21 = detm Ahor generlizremos este resultdo pr vlores rbitrrios de m Teorem Se M M m m, con m rbitrrio Entonces detm = detm T y el determinnte de uede clculrse prtir de l expnsión del determinnte en bse l i-ésim fil o l i-ésim column; es decir M = detm = m ij M ij = m ji M ji 1

2 Prueb: L prueb se hrá por inducción El pso inicil, pr m = 3, está probdo por el teorem nterior, por l hipótesis de inducción, se supondrá que el resultdo es válido pr m 1 y probremos el resultdo pr m Emplendo l expnsión de cofctores emplendo l primer fil Donde detm = m 1j j = m 1j ( 1) 1+j j = m m 1j ( 1) 1+j j (1) m 21 m 22 m 2,j+1 m 2,j+1 m 2m m 31 m 32 m 3,j+1 m 3,j+1 m 3m j = m m1 m m2 m m,j+1 m m,j+1 m mm Ahor bien, pr j > 2 se expndirá j, que es un determinnte de orden m 1, en bse l expnsión en bse l primer column, emplendo l hipótesis de inducción Además denotremos N1j k1 el determinnte de orden m 2 obtenido eliminndo l primer fil y l j-ésim column, de llí los subíndices 1j y eliminndo l primer column y l k-ésim fil, de llí los superíndices k1 j = m k1 ( 1) (k 1)+1 N k1 1j = Sustituyendo l expresión nterior en l ecución (1), se tiene que detm = m = m = m m m 1j ( 1) 1+j m k1 ( 1) k N1j k1 m m k1 ( 1) k m 1j ( 1) 1+j N1j k1 m ( 1) k+1 m k1 ( 1) j m 1j N k1 m k1 ( 1) k N k1 1j = m ( 1) k+1 m k1 M k1 = m m k1 M k1 = m k1 M k1 L últim expresión corresponde l expnsión del determinnte de l mtriz en bse l primer column Unvezquesehprobdoqueeldeterminntedeltrnspuestdeunmtrizesigulldeterminnte de l mtriz originl, entonces tods ls propieddes de los determinntes que se hn expresdo en términos de ls columns de l mtriz son igulmente válids cundo se expresn en términos de ls fils de l mtriz Teorem Considere un mtriz M M m m entonces el determinnte de l mtriz M tiene ls siguientes propieddes: 1 Si l j-ésim fil 1 j p de M está dd por M j +M j, se tiene que det M j +M j = det M j 1j +det M j k=1 2

3 2 Si l j-ésim fil 1 j p de M está dd por λmj, donde λ K se tiene que det λm j = λdet M j 3 Si M j = M j+1 pr culquier fil j tl que 1 j p 1 entonces M = det(m) = 0 4 Se M p y se det l función determinnte sobre p Entonces, el vlor del determinnte de l mtriz obtenid intercmbindo o permutndo dos fils dycentes de M es ( 1)det(M) 5 Si dos fils de M son igules; es decir si M i = M j pr i = j, entonces det(m) = 0 6 Se M p y se det l función determinnte sobre p Entonces, el vlor del determinnte de l mtriz obtenid intercmbindo o permutndo dos fils culesquier de M es ( 1)det(M) 7 L dición del múltiplo esclr de un fil de l mtriz otr fil de l mtriz dej sin cmbio l vlor del determinnte 2 Problems Resueltos Problem 1 En el punte Álgebr Linel XXII: Determinntes y Singulridd se mostró que si l mtriz M está dd por M = Su determinnte está ddo por M = 21 Verifique, que M = M T Solución M T, l mtriz trnspuest de M está dd por M T = Por lo tnto M T = = = 21 Problem 2 Emplendo l expnsión por columns determine el determinnte de l siguiente mtriz, propuest en punte Álgebr Linel XXI: Existenci de l Función Determinnte, Expnsión de Cofctores 0 =

4 Solución Relizndo l expnsión en bse l curt column, se tiene que = 0( 1) ( 4)( 1) ( 1) 3+4 M 34 +0( 1) 4+4 M 44 = 4( 1) ( 1) 3+4 M 34 = = 4( 246) 5(150) = 134 Ahor resolveremos el mismo problem introduciendo un 0 en l posición (2,4) de l mtriz, pr tl fin, multiplicremos por 5 l segund fil y le sumremos 4 veces l tercer fil Pero pr evitr que el vlor del determinnte se ltere, debemos dividir el determinnte de est nuev mtriz por 5, de mner que se tiene 5( )+4( ) = ( ) De quí que = = 1 5 5( 1) = 134 Problem 3 Demuestre que M = b c d b d c c d b d c b = ( 2 +b 2 +c 2 +d 2) 2 Solución Pr l primer etp de reducción, se multiplicrá l primer column por b, c y d y se sumrán l segund, tercer y curt column respectivmente, el resultdo después de est etp está ddo por M = c b 2 +b 2 d+bc d c bd d bc 2 +c 2 b+cd c+bd b cd 2 +d 2 Expndiendo el determinnte en bse l primer fil, se tiene que 2 +b 2 M = ( 1) 1+1 d bc c+bd d+bc 2 +c 2 b cd = 1 2 c bd b+cd 2 +d 2 Relizndo l expnsión del determinnte de tercer oden se tiene que 2 +b 2 (d bc) c+bd d+bc 2 +c 2 (b cd) (c bd) b+cd 2 +d 2 M = 1 [ ( 2 2 +b 2)( 2 +c 2)( 2 +d 2) (d bc)(b cd)(c bd)+(c+bd)(d+bc)(b+cd) (c bd) ( 2 +c 2) (c+bd) (b+cd)(b cd) ( 2 +b 2) ( 2 +d 2) ] (d+bc)(d bc) Relizndo ls multiplicciones y simplificndo, se tiene que M = ( 2 +b 2 +c 2 +d 2) 2 4

5 3 Problems Propuestos Problem 1 Considere l mtriz del problem propuesto 3, de ls nots Álgebr Linel XIX: Rngo de un Mtriz y Mtriz Invers, dd por = verifique que M T 1 = 5

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