DETERMINANTES. Determinantes

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1 Determinntes DETERMINANTES Autores: Jun Alberto Rodríguez Velázquez Cristin Steegmnn Pscul Ángel Alejndro Jun Pérez ESQUEMA DE CONTENIDOS Definición Propieddes Determinntes Cálculo Aplicciones Por l definición Por fórmuls Independenci Linel de Vectores Cálculo de Áres y Volúmenes Con Mthcd Regl de Crmer Cálculo Mtriz Invers INTRODUCCIÓN El concepto de determinnte de un mtriz cudrd tiene un grn relevnci dentro de l teorí de mtrices. Los determinntes resultn de grn utilidd l hor de resolver determindos sistems de ecuciones lineles (los llmdos sistems de Crmer), discutir l existenci de solución de sistems de ecuciones lineles generles (medinte el concepto de rngo de un mtriz y del Teorem de Rouché Frobenious), y nlizr l dependenci linel de un conjunto de vectores (lo cul, entre otrs coss, nos permitirá identificr posibles bses de un espcio vectoril). Además, l interpretción geométric de los determinntes nos permite clculr, de form sencill, áres y volúmenes de determinds figurs geométrics, relizr productos vectoriles, y hllr ls ecuciones de un plno en el espcio. Los cmpos de plicción de l teorí de los determinntes y, en generl, de l teorí de mtrices son muy mplios, y brcn desde ls más clásics plicciones en ls áres de físic, economí, e ingenierí hst plicciones más recientes como l generción de gráficos por ordendor, l teorí de l informción [W], y l criptogrfí. Proyecto e-mth Finncido por l Secretrí de Estdo de Educción y Universiddes (MECD)

2 Determinntes OBJETIVOS Aprender clculr determinntes de todos los órdenes. Conocer ls propieddes de los determinntes. Comprobr cuáles son ls plicciones de los determinntes. Introducirse en el uso del Mthcd pr trbjr con determinntes. CONOCIMIENTOS PREVIOS Es recomendble hber leído, previmente, el mth-block sobre álgebr de mtrices sí como los introductorios Mthcd. CONCEPTOS FUNDAMENTALES Definición de determinnte Ddos los números,,,...n existen n! forms distints de ordenrlos. Cd un de dichs ordenciones se llm permutción. El conjunto de tods ls permutciones se represent por P n y l permutción (,,,..., n) se llm permutción principl. Por ejemplo, el conjunto {( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( )} contiene ls 6 permutciones diferentes de l tern ( ). Diremos que dos elementos de un permutción formn un sucesión si están colocdos en el mismo orden que en l permutción principl. En cso contrrio, diremos que formn un inversión. Por ejemplo: ( 6) tiene dos inversiones (nº de psos relizr pr obtener l permutción principl). Llmremos signtur de un permutción l vlor (-) λ donde λ es el número de inversiones de dich permutción. Se define el determinnte de un mtriz cudrd A, denotdo por A o por det(a), como: Si A n n n nn A α ( αα α n ) Pn α nα n signtur( α α α ) n [W] Proyecto e-mth Finncido por l Secretrí de Estdo de Educción y Universiddes (MECD)

3 Determinntes Cálculo de determinntes Determinntes de orden (socidos mtrices x) Cundo A es un mtriz x hy! permutciones del pr ( ); ésts son: {( ), ( )}. Entonces, el determinnte de A contendrá los dos términos: signtur( ) y signtur( ) Como signtur( ) (-) y signtur( ) (-) -, el determinnte de orden será: - Ejemplo:.( ). 8 Determinntes de orden (socidos mtrices x) Si A es un mtriz x, su determinnte (de orden ) vendrá ddo por: Ejemplo: 9 6.( )..( ).( ).. [ ( ) 6] 8 68 [( ).( )..( )...] Proyecto e-mth Finncido por l Secretrí de Estdo de Educción y Universiddes (MECD)

4 Determinntes Proyecto e-mth Finncido por l Secretrí de Estdo de Educción y Universiddes (MECD) Determinntes de orden superior (socidos mtrices nxn con n>) En el cso de determinntes de orden superior (es decir, socidos mtrices de tmño nxn con n > ), l expresión resultnte tiende complicrse, por lo que recurriremos l método de desrrollo por djuntos pr su cálculo. Primero de todo, fijémonos en l disposición de signos siguientes (similr ls csills blncs y negrs en un tblero de jedrez): Pr clculr el determinnte de un mtriz x (o superior) se debe hcer:. Elegir quell fil o column que teng el myor número de ceros (si ningun líne tiene ceros, se coge un líne culquier).. Cd uno de los elementos de l líne drá lugr un sumndo, el cul se obtendrá como se explic en el pso siguiente.. Pr cd elemento de l líne selecciond, éste se multiplic por su correspondiente determinnte djunto (quel determinnte resultnte de eliminr l fil y l column ls que pertenece el elemento selecciondo). A dicho djunto le precederá el signo que correspond l posición ocupd por el elemento selecciondo (según l tbl de signos rrib indicd). Ejemplo mtriz x: 9 desrrollmos} l y column l ª {elegimos ) ( 9 ) ( 9 - -

5 Determinntes Proyecto e-mth Finncido por l Secretrí de Estdo de Educción y Universiddes (MECD) Ejemplo mtriz x: fil} ª {desrrollmos por l {l multiplicr por, los primeros sumndos se eliminn; el último determinnte tmbién se nul} líne} ª {desrrollmos por l ) ( {los dos primeros determinntes se nuln mutumente, pues son igules pero de signo cmbido; el último determinnte tmbién se nul} ( ) [ ] [ ] [ ] 8) ( ).. (.. )..(

6 Determinntes Proyecto e-mth 6 Finncido por l Secretrí de Estdo de Educción y Universiddes (MECD) Propieddes de los determinntes [W] Pr el cálculo de lgunos determinntes, puede ser muy útil recurrir lguns de ls siguientes propieddes:. El determinnte de un mtriz es igul l de su trspuest. Por ejemplo,. Si en un determinnte se cmbin entre sí dos línes prlels (fils o columns), el signo de su vlor tmbién cmbirá. Por ejemplo, en efecto: y. Un determinnte que tiene dos línes prlels (fils o columns) igules vle. Por ejemplo,. Si un determinnte tiene todos los elementos de un líne nulos, el determinnte vle. Por ejemplo,. Multiplicr un determinnte por un nº rel es equivlente multiplicr culquier line (fil o column) por dicho número. Por ejemplo, Dd un mtriz A de tmño nxn, y un nº rel λ, est propiedd implic que:

7 Determinntes Proyecto e-mth Finncido por l Secretrí de Estdo de Educción y Universiddes (MECD) A A n λ λ 6. Si todos los elementos de un fil o column están formdos por dos sumndos, dicho determinnte se descompone en l sum de dos determinntes. Por ejemplo,. Si los elementos de un líne son combinción linel de ls otrs, entonces, el determinnte vle. Por ejemplo, (l ª column es combinción linel de l ª y ª column). 8. Si los elementos de un líne se le sumn los elementos de otr prlel multiplicdos previmente por un nº rel el vlor del determinnte no vri. Por ejemplo, 9. El determinnte de un producto de mtrices es el producto de los determinntes de cd un de ells. B A B A

8 Determinntes CASOS PRÁCTICOS CON SOFTWARE L función determinnte con Mthcd Estmos fmilirizdos con funciones como f(x)senx y f(x)x, que socin un número rel f(x) un vlor rel de l vrible x. Como x y f(x) sumen vlores reles, tles funciones se describen como "funciones con vlores reles de un vrible rel". L función determinnte es tmbién un "función con vlores reles de un vrible mtricil" en el sentido de que soci un número rel f(x) con un mtriz X [6]. El estudio de l función determinnte tiene importntes plicciones en l teorí de sistems de ecuciones lineles y tmbién conduce un fórmul explícit pr clculr l invers de un mtriz invertible. L función determinnte en Mthcd es un plicción del conjunto de mtrices cudrds en el conjunto de esclres []. Dich función tiene como entrd (input) un mtriz cudrd y como slid (output) un esclr. El determinnte de un mtriz cudrd, utilizndo Mthcd, se puede hllr medinte el icono x de l brr de herrmients Mtrix (si en vez de l mtriz se pone un esclr, este mismo icono tmbién proporcion el vlor bsoluto de éste). Además, el determinnte de un mtriz tmbién puede ser clculdo con el icono M de l brr de herrmients Symbolic [], []. Por ejemplo, si se quiere clculr el derterminnte de l mtriz A: A : A 6 A 6 Incluso, si lo que se dese es clculr el determinnte de un mtriz con prámetros, podemos yudrnos del icono M de l brr de herrmients Symbolic pr ello. Vemos un sencillo ejemplo: c b d d bc Proyecto e-mth 8 Finncido por l Secretrí de Estdo de Educción y Universiddes (MECD)

9 Determinntes Determinntes e independenci linel de vectores [] El uso de determinntes proporcion un método de sencillo pr comprobr cundo n vectores de R m son linelmente independientes. Se M l mtriz cuys columns son los vectores ddos. M es un mtriz m por n. Ls columns son linelmente dependientes si y sólo si existe un vector de dimensión n (diferente del vector nulo) tl que: M.x; esto es: M.xx.M <> x.m <>... x n.m <n> (Nótese que M <j> es l j-ésim column de M). En cso contrrio; si sólo existe el vector nulo, los vectores son linelmente independientes. Recordemos que M.x tendrá un solución no-trivil (por no-trivil entendemos que lgún coeficiente de ést es diferente de cero) si y sólo si, por lo menos un de ls vribles o incógnits es libre; esto es, un de ls vribles puede tomr culquier vlor. Además, l ecución mtricil M.x d lugr un sistem de ecuciones lineles homogéneo. Sbemos que éste siempre tendrá, por lo menos, un solución (l trivil). Si éste tiene más de un solución, entonces posee un infinito número de soluciones. El proceso pr sber si unos vectores son linelmente dependientes o independientes es el siguiente: Poner los vectores en columns y formr l mtriz M. Proyecto e-mth 9 Finncido por l Secretrí de Estdo de Educción y Universiddes (MECD)

10 Determinntes Hllr l solución del sistem M.x, medinte l función "rref". Si l solución es l trivil, los vectores son linelmente independientes. En cso contrrio, si el sistem tiene solución diferente de l trivil, los vectores son linelmente dependientes. No obstnte esto, el uso de determinntes proporcion un método de sencillo pr comprobr cundo n vectores de R m son linelmente dependientes o independientes. El cso en que n>m Teorem: Si n>m, culquier conjunto de n vectores de R m son linelmente dependientes. Fijémonos que, en este cso, hy más columns que fils. Esto signific que en l mtriz reducid por fils (rref), por lo menos, un column corresponderá un vrible libre. Y, por tnto, existe un solución diferente de cero pr l ecución mtricil M.x. Ejemplo: Supongmos que tenemos vectores de R y queremos sber si éstos son linelmente dependientes o independientes. Buscremos l solución l ecución M.x. Los vectores son: u : v : w : 6 j : 6 x y 6 6. z t rref 6 6 Por tnto, ls soluciones este sistem de ecuciones son: x -t y t z t El sistem tiene infinits soluciones, por tnto, los vectores son linelmente dependientes, tl y como se firm en el teorem. Proyecto e-mth Finncido por l Secretrí de Estdo de Educción y Universiddes (MECD)

11 Determinntes Observción: En l función nterior (rref) hemos utilizdo l mtriz mplid del sistem. Como l mtriz de los coeficientes está mplid con un column formd tod por ceros, ls operciones de ls fils no cmbirán. Por tnto, quí podrímos hber utilizdo perfectmente l mtriz de los coeficientes e interpretr el resultdo de mner similr: rref 6 6 El cso en que n<m Teorem: M.x tiene como únic solución l trivil si y sólo si M T.M.x tiene como únic solución l trivil. Obvimente culquier solución de M.x lo es de M T.M.x; esto es, sus conjuntos de soluciones coinciden. Si l trivil es l únic solución pr un ecución, ést debe ser l únic solución pr l otr. Según el teorem nterior, que M.x teng solución es equivlente decir que M T.M.x tmbién teng solución. Por lo tnto, es equivlente que existe l invers de M T.M Proyecto e-mth Finncido por l Secretrí de Estdo de Educción y Universiddes (MECD)

12 Determinntes (fijémonos que M T.M es un mtriz cudrd n por n). Por tnto, equivlente que M T.M es diferente de cero; esto es, no se nul el determinnte de M T.M Conclusión: Sen M <>, M <>,..., M <n> n vectores de R m con n<m. Entonces M <>, M <>,..., M <n> son linelmente independientes si y sólo si M T.M es diferente de cero. Ejemplo: Sen los vectores de R : m: m: m: M : M T M 8 Por tnto, los vectores nteriores son linelmente independientes. Proyecto e-mth Finncido por l Secretrí de Estdo de Educción y Universiddes (MECD)

13 Determinntes El cso en que nm En este cso, M es un mtriz cudrd y el sistem homogéneo M.x tendrá un únic solución trivil (y los vectores serán linelmente independientes) si es comptible determindo. Por tnto, si existe l invers de l mtriz M, esto es equivlente que el determinnte de l mtriz M se diferente de cero. Conclusión: Los vectores son linelmente independientes si y sólo si el determinnte de M es diferente de cero. Ejemplo: Sen los vectores de R : v : v : Proyecto e-mth Finncido por l Secretrí de Estdo de Educción y Universiddes (MECD)

14 Determinntes v : v : M : Comprobemos que los resultdos obtenidos utilizndo el comndo de l brr de herrmients Mtrix y los obtenidos medinte l brr Symbolic coinciden: M 6 (Utilizndo el comndo de Mtrix) M 6 (Utilizndo el comndo de Symbolics) Por tnto, los vectores nteriores son linelmente independientes. Proyecto e-mth Finncido por l Secretrí de Estdo de Educción y Universiddes (MECD)

15 Determinntes RECAPITULANDO: Sen M <>, M <>,..., M <n> n vectores de R m. Si n>m, entonces culquier conjunto de n vectores de R m son linelmente dependientes. Si n<m, entonces M <>, M <>,..., M <n> son linelmente independientes si y sólo si M T.M es diferente de cero. Si nm, entonces M <>, M <>,..., M <n> son linelmente independientes si y sólo si M es diferente de cero. Determinntes y áres y volúmenes [W6] L definición de un determinnte que se h visto hst hor es purmente lgebric, sin embrgo existe un concret interpretción geométric. Definiciones [] Un sólido en R m con ls crs opuests prlels, cuyos ldos dycentes están definidos por vectores de un conjunto linelmente independiente {x, x,..., x n } se llm prlelepípedo n-dimensionl. Como se represent en l figur siguiente, un prlelepípedo bidimensionl es un prlelogrmo y un prlelepípedo tridimensionl es un cubo rectngulr torcido. Áre de un prlelogrmo [] Consideremos el prlelogrmo siguiente cuyos ldos son los vectores (, b) y (c, d): Proyecto e-mth Finncido por l Secretrí de Estdo de Educción y Universiddes (MECD)

16 Determinntes Geométricmente es fácilmente visible que el áre del prlelogrmo es igul l longitud de l líne L por l longitud de l líne que v desde (, ) hst (, b). L longitud de L es sin ϕ por l longitud de l líne que v desde (, ) hst (c, d). Según esto, el áre del prlelogrmo es igul : A b c d sinϕ Sin embrgo y, según lo visto nteriormente, el áre del prlelogrmo se puede clculr como el vlor bsoluto del determinnte cuys fils son los ldos de éste; es decir: A c b d Ejemplos: El áre del prlelogrmo determindo por los vectores (, ) y (, ) son uniddes cudrds. A : A El áre del prlelogrmo determindo por los vectores (, ) y (, -) son uniddes cudrds. A : A El áre del prlelogrmo determindo por los vectores (, ) y (, ) son 9 uniddes cudrds. A : A 9 Proyecto e-mth 6 Finncido por l Secretrí de Estdo de Educción y Universiddes (MECD)

17 Determinntes Áre de un triángulo [] Se el triángulo siguiente del cul se conocen ls coordends de sus tres vértices: El áre de dicho triángulo es igul : A T x x x y y y (Observción: Fijémonos que el triángulo es l mitd del prlelogrmo) Ejemplos: El áre del triángulo de vértices P(, ), Q(-, ) y R(, ) son uniddes cudrds. A : A Áre uniddes cudrds El áre del triángulo de vértices P(-, ), Q(, ) y R(, ) son, uniddes cudrds. A : A 6 Áre, uniddes cudrds Volumen de un prlelepípedo [] Cundo l mtriz A R mxn tiene ls columns linelmente independientes, el volumen del prlelepípedo n-dimensionl generdo por ls columns de l mtriz A es V n [det (At A)] / Proyecto e-mth Finncido por l Secretrí de Estdo de Educción y Universiddes (MECD)

18 Determinntes donde A t es l trspuest de l mtriz A y se lee sí: "L ríz cudrd positiv del determinnte del producto de l trspuest por l mtriz". En prticulr, si l mtriz A es cudrd, entonces el volumen es V n det( A) y se lee sí: "El vlor bsoluto del determinnte de l mtriz A". Volumen de un prlelepípedo tridimensionl [] En R consideremos el prlelepípedo generdo por los tres vectores: u (u, u, u ), v (v, v, v ), w (w, w, w ) El volumen de dicho prlelepípedo es el vlor bsoluto del determinnte cuys fils son los vectores u, v y w. V u v w u v w u v w Cbe destcr que no tiene ningun importnci el hecho de poner los vectores en ls fils o en columns y que se debe hllr el determinnte y, por un de ls propieddes nteriores se h visto que el determinnte de un mtriz y el de su trspuest coinciden. Ejemplos: si u(,, ), v(,, ), w (,, ); entonces: V uniddes cúbics. si u(,, ), v(, -, ), w(-,, ); entonces V: V Proyecto e-mth 8 Finncido por l Secretrí de Estdo de Educción y Universiddes (MECD)

19 Determinntes El volumen serán uniddes cúbics pues se debe tomr el vlor bsoluto. si u(,, ), v(,, ), w(,, ); entonces V : V El volumen son uniddes cúbics. Volumen de un prlelepípedo tridimensionl prtir de cutro de sus vértices [] Sen los puntos P, Q, R, S que determinn el prlelepípedo siguiente: Amplindo el resultdo obtenido en el cálculo del áre de un triángulo, podemos firmr que el volumen de dicho prlelepípedo es: V p q r s p q r s p q r s Observemos que tmbién se podrí hber hecho de l siguiente mner: A prtir de los puntos se hlln los vectores como se h explicdo nteriormente. > > PR, PQ y > PS y se hll su determinnte, tl Ejemplo: El volumen del prlelepípedo determindo por los puntos siguientes: P (,, ) Q (,, ) R (, -, ) S (-,, ) es uniddes cúbics. Proyecto e-mth 9 Finncido por l Secretrí de Estdo de Educción y Universiddes (MECD)

20 Determinntes V: V Fijémonos que coincide con el vlor del volumen si se hll éste medinte los vectores PQ, PR y PS: V: V Proyecto e-mth Finncido por l Secretrí de Estdo de Educción y Universiddes (MECD)

21 Determinntes BIBLIOGRAFÍA [] Crl D. Meyer s (): "Mtrix nlysis nd pplied liner lgebr", Phildelpi SIAM, 6, 68- [] Montes Lozno, A (998): "Álgebr", Ediciones UOC, Módulo : "Mtrices, vectores y sistems de ecuciones lineles", -8, -, - [] G. J. Porter, D. R. Hill (996): Interctive Liner Algebr. A lbortory course using Mthcd, Springer-Verlg New York, Inc., Section.,.,. [] H. Benker (999): "Prcticl use of Mthcd. Solving mthemticl problems with computer lgebr system", Springer-Verlg New York, Inc., 8-8 [] J. A. Moreno, D. Ser (999): "Mthcd 8. Mnul de usurio y guí de referenci de Mthcd 8", ediciones Any Multimedi, S.A.,, 96. [6] H. Anton, C. Rorres (): "Elementry Liner Algebr: Applictions Version", John Wiley&Sons. ENLACES [W] Págin web de l enciclopedi de PlnetMth.org sobre álgebr linel. En inglés. [W] Págin web de l "Sociedd Andluz de Educción Mtemátic THALES" en donde se explic, con grn cntidd de ejemplos clrtorios, diferentes conceptos todos ellos relciondos con ls mtrices y los determinntes. En espñol. [W] El sitio de los estudintes y docentes universitrios. Recopilción de puntes, con ejemplos, sobre mtrices y determinntes. En espñol. [W] Serie de ejercicios de mtrices y determinntes. En espñol. [W] Págin web de "El Rincón del Progrmdor". En l sección de "Progrmción Gráfic" precen los "Fundmentos mtemáticos de l Informátic Gráfic" en donde se explicn diversos conceptos relciondos con los determinntes. En espñol. Proyecto e-mth Finncido por l Secretrí de Estdo de Educción y Universiddes (MECD)

22 Determinntes [W6] Págin web con plicciones de mtrices y determinntes. En inglés. [W] Págin web del Deprtmento de Mtemátics y Estdístic de l Universidd de Nebrsk- Lincoln. Libro on-line sobre álgebr linel y sus plicciones. En inglés. [W8] Págin web sobre teorí de números. Libro on-line sobre álgebr linel. En inglés. [W8] Págin web de enlces relciondos con álgebr linel y teorí de mtrices. En inglés. [W9] Págin web de l publicción "The Electronic Journl of Liner Algebr" publicd por "The Interntionl Liner Algebr Society". En inglés. [W] Págin en l que está recogid l informción relciond con el softwre disponible grtuitmente en l red pr l solución de problems de álgebr linel. En inglés. [W] Págin web del "Center for Excellence nd Equity in Eduction" de l Universidd de Rice. Libro sobre álgebr linel. En inglés. Proyecto e-mth Finncido por l Secretrí de Estdo de Educción y Universiddes (MECD)