Área Académica: Algebra Lineal. Profesor(a): Mtro. Joel Alejandro Domínguez Narváez. Periodo: Enero 2012 Junio 2012

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Elisa San Segundo Zúñiga
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1 Áre Acdémic: Algebr Linel Profesor(): Mtro. Joel Alejndro Domínguez Nrváez Periodo: Enero 212 Junio 212

. Abstrct The liner lgebr is generliztion of the stright line. Is brnch of mthemtics tht studies vector, mtrix nd liner spces. Such functions re clled liner opertors nd liner trnsformtions.

2 . Abstrct The liner lgebr is generliztion of the stright line. Is brnch of mthemtics tht studies vector, mtrix nd liner spces. Such functions re clled liner opertors nd liner trnsformtions. Cn be represented by mtrices. Thus mtrix theory is often considered s prt of liner lgebr. Liner lgebr is commonly restricted to the cse of finite dimensionl vector spces, while the peculirities of the infinite dimensionl cse re trditionlly covered in liner functionl nlysis. Liner lgebr hs become more importnt with the use of computers becuse it requires lrge number of opertions. Keywords: Vector, Mtrix, Liner Spce, Liner lgebr.

3 I SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. Entendemos por sistems de ecuciones lineles quellos que pueden escribirse de l form: 11 x 1 12 x n x n b 1 21 x 1 22 x n x n b 2 m1 x 1 m2 x 2... mn x n b m Donde 11, 12 mn, son coeficientes constntes, x 1 x n son incógnits y b 1 b m son términos independientes.

4 Métodos de solución. Sustitución. Consiste en despejr en un de ls ecuciones culquier incógnit, y continución, sustituirl en otr (s) ecución (es) y posteriormente despejr l vrible que procede. Igulción: se despej l mism incógnit en dos (o ms) ecuciones y continución se iguln entre sí l prte derech de mbs ecuciones, pr posteriormente despejr l vrible que procede. Reducción: consiste en trnsformr un de ls ecuciones, de mner que obtengmos dos (o ms) ecuciones en l que un mism incógnit prezc con el mismo coeficiente y distinto signo, se sumn mbs ecuciones produciéndose sí l reducción de dich incógnit, obteniendo sí un sistem de ecuciones con un incógnit menos y sí sucesivmente hst llegr, un sistem de un incógnits, despejándose de mner simple.

5 Método grfico: Consiste en grficr cd un de ls ecuciones del sistem. Est solución de ecuciones result vible solo pr sistems de 2 incógnits. Método de Guss: Consistente en tringulr un sistem medinte trnsformciones elementles, hst obtener ecuciones de un sol incógnit, cuyo vlor será igul l coeficiente situdo en l mism fil de l mtriz. Este procedimiento es similr l método de reducción, llevándolo cbo ls veces que se necesrio y siguiendo un cierto orden lógico. A continución se explic este método, medinte un ejemplo que pretende resolver un sistem de ecuciones de 3x3 (3 ecuciones y 3 incógnits).

6 MÉTODO DE GAUSS Se: 11 x + 12 y + 13 z = b 1 21 x + 22 y + 23 z = b 2 31 x + 32 y + 33 z = b 3 Resto l 2ª fil l 1º fil multiplicd por 21 / 11 Resto l 3ª fil l 1º fil multiplicd por 31 / 11 Obteniendo: 11 x + 12 y + 13 z = b 1 22 y + 23 z = b 2 32 y + 33 z = b 3

7 MÉTODO DE GAUSS Resto l 3ª fil l 2ª fil multiplicd por 32 / 22 Y obtengo finlmente: 11 x + 12 y + 13 z = b 1 22 y + 23 z = b 2 33 z = b 3 Si 33 =, j Sistem No comptible Ahor es muy sencillo despejr z, y, x en ese orden. El lgoritmo generdo es plicble sistems n ecuciones y n incógnits.

8 Sistems homogéneos El siguiente sistem de ecuciones es un sistem homogéneo: 11 x + 12 y + 13 z = 21 x + 22 y + 23 z = 31 x + 32 y + 33 z = Todos sistem homogéneo tiene cundo menos un solución trivil donde x, y, z son =.

9 Problems de plicción Resolver los siguientes sistems de ecuciones lineles por los métodos: 1. Sustitución 2. Igulción 3. Reducción 4. Grficción ) 3x 5y = -11 b) 3x 5y = -11 c) 3x - 5y = x 8y = -83-6x + 1y = 22-6x + 1y = 2 Anlice los resultdos obtenidos.

10 Resolver los siguientes sistems de ecuciones lineles utilizndo el método de Guss: ) 3x 1-5x 2 + 3x 3 = -8-6x 1 + 9x 2 + 2x 3 = 2 -x 1 + 2x 2 + 8x 3 = 13 ) 3x 1-5x 2 + 3x 3 = -8-6x 1 + 9x 2 + 2x 3 = 2 6x 1-1x 2 + 6x 3 = 13

11 Mtriz de coeficientes Mtriz mplid Definiciones preliminres Sistem de ecuciones lineles CONCEPTOS FORMAS DE EXPRESIÓN CLASIFICACIÓN Coeficientes Incógnits Términos independientes Algebric Vectoril Mtricil (In)Homogéneo (In)Comptible (In)Determindo CONCEPTO DE SOLUCIÓN SOLUCIÓN Sol. homogéne Sol. generl Sistems equivlentes Teorem de Rouché-Frobenius Incógnits principles Referenci: cvb.ehu.es/open_course...ppt/sistems-de-ecuciones-lineles.ppt Métodos de resolución Sustitución Igulción Reducción Gráfico Guss Guss Jordn Regl de Crmer Invers

12 II MATRICES Y DETERMINANTES Mtriz: Se llm mtriz de orden m n todo conjunto rectngulr de elementos ij dispuestos en m fils y n columns, se represent de l form: L plicción de ls mtrices tienen un grn importnci debido l fcilidd pr efectur operciones, tmbién sirve pr plicciones lineles tles como los vectores.

13 Mtrices especiles Mtriz fil: Es quell mtriz que solo tiene un fil, por lo tnto su orden es de 1xn. Es decir: ( n) Mtriz column: Es un mtriz que solo tiene un column, es decir, por tnto es de orden mx1. m 1 Mtriz nul: Es un mtriz que en donde todos sus elementos son cero. Mtriz Cudrd: Es quell que tiene l mism cntidd de fils y de columns

14 Mtrices especiles Mtriz digonl: Es quell mtriz cudrd, en l que su digonl principl tiene elementos diferentes cero y todos los demás elementos son cero Es decir: Mtriz Identidd: Es un mtriz cudrd en l que los elementos de l digonl principl son igul 1 y todos los demás elementos son cero, se represent por I n I n

15 Mtrices especiles Mtriz tringulr inferior: Es un mtriz cudrd cuyos elementos situdos rrib de l digonl principl son cero m m2 33 m3 mn Mtriz tringulr superior: Es un mtriz cudrd cuyos elementos situdos por bjo de l digonl principl son cero n 2n 3n mn

16 Mtrices especiles Mtriz trnspuest A t : Es quell mtriz que result de cmbir ls fils de un mtriz A por columns. Ejemplo: A At

17 III ESPACIOS VECTORIALES Espcio vectoril: Es un estructur lgebric cred prtir de un conjunto no vcío, en el que intervienen dos conjuntos, vectores y esclres, los segundos como coeficientes de los primeros. Los elementos de un espcio vectoril se les llm vectores y los elementos del cuerpo, esclres.

18 ESPACIOS VECTORIALES

19 Definición RAE :Tod mgnitud en l que, demás de l cuntí, hy que considerr el punto de plicción, l dirección y el sentido.

20 Pueden ser representdos por:

21 De:

22 Vectores ortogonles Se considern como 2 vectores ortogonles si su producto esclr (producto punto) es cero.

23 IV FORMAS CANONICAS Existen dos forms básics pr representr ls expresiones cnónics que pueden ser implementds en dos niveles de compuerts: ) sum de productos (minterm) y b) producto de sums (mxterm)

24 Ej. Minterm

25 Ej. Mxterm

26 Bibliogrfí Howrd, Anton, INTRODUCCIÓN AL ALGEBRA LINEAL, Ed. Limus, 1ª Ed, 28. Lrson, Ron, FUNDAMENTOS DE ALGEBRA LINEAL, Ed. Cengge Lerning, 21

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