Ejemplo. Con el Método de Gauss resuelva el sistema de ecuaciones lineales del problema planteado al inicio de este capítulo

Transcripción

1 Método de Guss El método de Guss es similr l método de Guss-Jordn. Aquí se trt de trnsformr l mtriz del sistem un form tringulr superior. Si esto es posible entonces l solución se puede obtener resolvio el sistem tringulr resultnte. Ejemplo. Con el Método de Guss resuelv el sistem de ecuciones lineles del problem plntedo l inicio de este cpítulo 4x + 2x2 + 5x3 2x + 5x2 + 8x3 = 8.00 = x + 4x + 3x = Solución: Se define l mtriz umentd A B pr trnsformr simultánemente A y B: A B = Ls trnsformciones sucesivs de l mtriz umentd se describen en los siguientes cudros Dividir fil pr Restr de cd fil, l fil multiplicd por el elemento de l column Dividir fil 2 pr Restr de l fil, l fil 2 multiplicd por el elemento de l column Dividir fil 3 pr

2 66 L mtriz de los coeficientes h sido trnsformd l form tringulr superior De este sistem se obtiene l solución medinte un sustitución direct comenzndo por el finl: x =.8 3 x = (.8) = 2. 2 x = (2.).25(.8) = Formulción del método de Guss Pr unificr l descripción lgorítmic, es conveniente umentr l mtriz A con el vector B pues deben relizrse ls misms operciones simultánemente:,,2...,n,n+ 2, 2,2... 2,n 2,n+ A B= n, n,... n,n n,n+ En donde l column de los coeficientes se define: i,n+ = bi, i=, 2, 3,..., n L formulción se obtiene directmente del método de Guss-Jordn en l que l reducción de ls fils únicmente se reliz en l sub-mtriz tringulr inferior. Ls trnsformciones convierten l mtriz umentd en l form tringulr superior:,,2...,n,n+,2...,n,n+ 2, 2,2... 2,n 2,n ,n 2,n+ A B= n, n,... n,n n,n n,n+ De sistem tringulr se puede obtener directmente l solución. Pr fcilitr l notción expndimos l form tringulr finl obtenid: ,2,n 2,n,n 2,n 2 2,n 2,n n 2,n n 2,n n,n...,n+ 2,n+ n 2,n+ n,n+ n,n+ L solución se obtiene del sistem tringulr superior comenzndo desde el finl: xn n, n+ xn n, n+ n, nxn xn 2 n 2, n+ (n 2, n xn n 2, nx n)... etc Con l formulción del método nterior (Guss-Jordn) modificndo el índice de ls fils pr reducir solmente debjo de l digonl y con l formulción pr resolver el sistem tringulr resultnte, se define el lgoritmo pr el método de Guss:

3 67 ALGORITMO BÁSICO DE GAUSS : mtriz umentd del sistem de n ecuciones lineles Pr e =, 2,..., n Pr j=e, e+,..., n+ e,j e,j /e,e Normlizr l fil e ( e,e 0) Pr i=e+, e+2, n Pr j=e, e+,..., n+ i,j i,j i,ee,j Reducir l fils debjo de l fil e xn n, n+ Resolver el sistem tringulr superior Pr i=n-, n-2,..., s 0 Pr j=i+, i+2,..., n s s+ i,jxj xi i,n+ s Eficienci del método de Guss Se n el tmño del problem y T(n) l cntidd de operciones ritmétics que se relizn En l normlizción: T(n) = O(n 2 ) (dos ciclos niddos) En l reducción: T(n) = O(n 3 ) (tres ciclos niddos) En l obtención de l solución: T(n) = O(n 2 ) (dos ciclos niddos) Por lo tnto, este método es de tercer orden: T(n) = O(n 3 ) Medinte un recorrido de los ciclos del lgoritmo, se puede determinr en form más precis: T(n) = n 3 /3 + O(n 2 ) con lo que se puede concluir que el método de Guss es más eficiente que el método de Guss-Jordn. Se supone n grnde. Est diferenci se l puede consttr experimentlmente resolvio sistems grndes y registrndo el tiempo de ejecución Instrumentción computcionl En est primer versión del lgoritmo se supondrá que el determinnte de l mtriz es diferente de cero y que no se requiere intercmbir fils. L codificción en MATLAB sigue directmente l formulción mtemátic descrit nteriormente. Se us notción compct pr mnejo de mtrices. function x=guss(,b) n=length(b); =[,b]; for e=:n (e,e:n+)=(e,e:n+)/(e,e); for i=e+:n (i,e:n+)=(i,e:n+)-(i,e)*(e,e:n+); x(n,)=(n,n+); for i=n-:-: x(i,)=(i,n+)-(i,i+:n)*x(i+:n,); %Mtriz umentd %Normlizr l fil e %Reducir otrs fils %Solución del sistem tringulr

4 Estrtegi de pivoteo Al exminr l eficienci de los métodos directos pr resolver sistems de ecuciones lineles se observ que l operción de multiplicción está en l sección crític del lgoritmo con eficienci O(n 3 ). Formulción del método de Guss: Etp e =, 2,..., n Normlizr l fil e: e,j /, j=e, e+,..., n+; 0 e,j e, e e, e Reducir ls otrs fils: i,j i,j i,ee,j, j=e, e+,..., n+; i=e+, e+2,..., n Etp e: Column e Trnsformciones Fil e Tnsformciones e,e ,2,e,n,n+ 2,e 2,n 2,n+ e,n e,n+ n,e n,n n,n + n,e n,n n, n+ Recordndo l definición del error de redondeo propgdo en l multiplicción: E XY = X E Y + Y E X Un estrtegi pr disminuir el error de redondeo consiste en reducir el vlor de los operndos que intervienen en l multiplicción. En l estrtegi de Pivoteo Prcil, ntes de normlizr l fil e se busc en l column e de cd fil i = e, e+,..., n cul es el elemento con myor mgnitud. Si se us este elemento como divisor pr l fil e, el cociente e,j trá el menor vlor. Este fctor permite disminuir el error cundo se reliz l etp de reducción de ls otrs fils. Por otr prte, si en est estrtegi de búsqued, el vlor elegido como el myor divisor no es diferente de cero, se concluye que en el sistem existen ecuciones redundntes o incomptibles, entonces el sistem no tiene solución únic y el lgoritmo debe terminr

5 Instrumentción computcionl del método de Guss con pivoteo L siguiente instrumentción en MATLAB del método de eliminción de Guss incluye l formulción descrit y l estrtegi de pivoteo prcil vist nteriormente, en notción mtricil compct de MATLAB. En est instrumentción finl se incluye un chequeo del divisor pr prevenir el cso de que el sistem se singulr unque, por los errores de redondeo, no se exctmente igul cero. Tmbién se verific que se un mtriz cudrd. function x=guss(,b) [n,m]=size(); if n~=m x=[ ]; return; =[,b]; for e=:n [z, p]=mx(bs((e:n,e))); p=p+e-; t=(e,e:n+); (e,e:n+)=(p,e:n+); (p,e:n+)=t; if bs((e,e))<.0e-0 x=[ ]; return; (e,e:n+)=(e,e:n+)/(e,e); for i=e+:n (i,e:n+)=(i,e:n+)-(i,e)*(e,e:n+); x(n,)=(n,n+); for i=n-:-: x(i,)=(i,n+)-(i,i+:n)*x(i+:n,); %Verificr si l mtriz es cudrd %Mtriz umentd %Pivoteo por fils %Intercmbio de fils %Si el divisor es ~cero, no hy solución %Normlizr l fil e %Reducir otrs fils %Solución del sistem tringulr L función [z,p]=mx(v) de MATLAB entreg en z el myor vlor, y en p el número de l fil en l que está ubicdo este vlor en el vector v Ejemplo. Desde l ventn de comndos de MATLAB, use l función Guss pr resolver el sistem: x x 2 5 = x 3 8 Escrib en l ventn de comndos de MATLAB >> =[2, 3, 7; -2, 5, 6; 8, 9, 4]; Mtriz de coeficientes >> b=[3; 5; 8]; Vector de constntes >> x=guss(,b) Llmd l función x = Solución clculd

6 Funciones de MATLAB pr sistems de ecuciones lineles MATLAB tiene un soporte muy potente pr resolver sistems de ecuciones lineles. Sugerimos entrr l sistem de yud de MATLAB y revisr l mpli informción relciond con este tem. L form más simple de resolver un sistem linel, si l mtriz de coeficientes es cudrd y nosingulr, es usndo l definición de invers de un mtriz MATLAB. Ejemplo. Resuelv el ejemplo nterior con l función inv de MATLAB >> =[2, 3, 7; -2, 5, 6; 8, 9, 4]; Mtriz de coeficientes >> b=[3; 5; 8]; Vector de constntes >> x=inv()*b Invertir l mtriz de coeficientes x = Solución clculd por MATLAB Un form más generl pr resolver sistems lineles, incluyo sistems singulres se puede hcer con l función rref de MATLAB. Est función reduce un mtriz su form esclond con s en l digonl. Ejemplo. Resuelv el ejemplo nterior con l función rref de MATLAB >> =[2 3 7;-2 5 6;8 9 4]; >> b=[3;5;8]; >> =[, b]; Mtriz umentd >> c=rref() c = L últim column de l mtriz umentd resultnte contiene l solución Cálculo del determinnte de un mtriz El lgoritmo de Guss trnsform l mtriz cudrd de los coeficientes l form tringulr superior. En un mtriz tringulr, el determinnte es el producto de los coeficientes de l digonl principl. Por lo tnto, el determinnte se puede clculr multiplicndo los divisores colocdos en l digonl principl, considerndo demás el número de cmbios de fil que se hyn relizdo en l estrtegi de pivoteo. Sen A: mtriz cudrd T: Mtriz tringulr superior obtenid con el lgoritmo de Guss i,i : Elementos en l digonl de l mtriz T. Son los divisores k: Número de cmbios de fil relizdos det(a): Determinnte de l mtriz A Entonces n k det(a) = ( ) i,i i=

7 Instrumentción computcionl pr cálculo del determinnte function d=determinnte() %Determinnte de un mtriz cudrd %Medinte reducción un mtriz tringulr %El determinnte es el producto de los pivotes [n,m]=size(); if n~=m %L mtriz debe ser cudrd d=0; return signo=; %cmbios de fil d=; for e=:n [z, p]=mx(bs((e:n,e))); %Pivoteo por fils p=p+e-; t=(e,e:n); %Intercmbio de fils (e,e:n)=(p,e:n); (p,e:n)=t; if e~=p %Cmbio de fil = cmbio de signo signo=signo*(-); if bs((e,e))<.0e-0 %Divisor cercno 0: mtriz singulr d=0; return; d=d*(e,e); %Multiplicción de pivotes (e,e:n)=(e,e:n)/(e,e); %Normlizr l fil e for i=e+:n %Reducir otrs fils (i,e:n)=(i,e:n)-(i,e)*(e,e:n); d=d*signo; %Determinnte Ejemplo >> =[5 3 7; 2 9 8; 5 8 2] = >> d=determinnte() d = -325