DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA
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- Carmelo Moreno Mora
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1 DETERMINNTE DE UN MTRIZ CUDRD El determinnte de un mtriz cudrd es un número socido ell y cuyo cálculo depende del orden de dich mtriz. Si es un mtriz cudrd de orden n n, el determinnte de l dich mtriz se denot por: o det( ). Determinnte de un mtriz de orden Pr clculr el determinnte de un mtriz cudrd de orden recomendmos plicr los siguientes métodos:. Regl de Srrus Es un método práctico y de fácil plicción. Se suelen encontrr dos forms en su plicción. Ejemplo : Clculr Primer form de l regl de Srrus - Se reescriben los elementos de l mtriz dd repitiendo ls dos primers fils. - Se multiplicn los elementos tomdos en el sentido de l digonl principl (de izquierd derech) y se sumn los resultdos prciles: D princ D princ ()()() ( )( )() ()()( )
2 - Se multiplicn los elementos tomdos en el sentido de l digonl secundri (de derech izquierd) y se sumn los resultdos prciles: D sec un D sec un ()()() ( )( )() ()()( ) 8 - El determinnte es l diferenci: D D 8 9 princ sec un Ejemplo : Clculr Segund form de l regl de Srrus - Se reescriben los elementos de l mtriz dd repitiendo ls dos primers columns. - Se multiplicn los elementos tomdos en el sentido de l digonl principl (de izquierd derech) y se sumn los resultdos prciles: D princ D princ ()()() ()( )() ()( )( ) - Se multiplicn los elementos tomdos en el sentido de l digonl secundri (de derech izquierd) y se sumn los resultdos prciles: D sec un D sec un ()()() ()( )( ) ()( )() 8 - El determinnte es l diferenci: D D 8 9 princ sec un b. Método de los cofctores Este método si bien es bstnte mecánico, tiene l ventj de ser un método seguro. Su plicción supone mnejr los conceptos de menor complementrio ( M ) y cofctor ( cof ) de un elemento.
3 El menor complementrio del elemento, de un mtriz cudrd de orden n, denotdo por M, es el determinnte de orden n- que result de eliminr l fil i y l column j en l mtriz. El cofctor del elemento, de un mtriz cudrd de orden n, es igul i j ( ) veces su menor complementrio: cof ( ). M. i j Ejemplo : Clculr 8 - Se escoge un fil o column culquier. Escogemos l column - Se clculn los cofctores de los elementos de l column (o fil) escogid. cof ( ) M ( ). ().() 8 cof ( ) M ( ). ( ).( 8) 8 8 cof ( ) M ( ). ().( 8) 8 - Se multiplicn los elementos de l column (o fil) escogid por sus respectivos cofctores. El determinnte será igul l sum de los resultdos prciles..cof.cof. cof ().() ().(8) ( ).( 8) 7 Ejemplo : Clculr 8 - Se escoge un fil o column culquier.
4 Escogemos l fil - Se clculn los cofctores de los elementos de l fil (o column) escogid. cof ( ) M ( ). ().( 8) 8 cof ( ) M ( ). ( ).( ) cof ( ) M ( ). ().() - Se multiplicn los elementos de l fil (o column) escogid por sus respectivos cofctores. El determinnte será igul l sum de los resultdos prciles..cof.cof. cof ( ).( 8) (8).() ().() 7 Determinnte de un mtriz de orden Pr clculr el determinnte de un mtriz cudrd de orden recomendmos plicr los siguientes métodos:. Método de los cofctores Básicmente se plicn los mismos psos que pr el cálculo del determinnte de un mtriz cudrd de orden. L diferenci rdic en que en este cso los cofctores contendrán determinntes (menores complementrios) de orden. En generl, cunto myor el orden de l mtriz, más pesd se hrá l plicción de este método por lo que no es recomendble pr determinntes de orden myor que.
5 Ejemplo : Clculr - Se escoge un fil o column culquier. Se recomiend escoger quell que conteng el myor número de ceros. Escogemos l column - Se clculn los cofctores de los elementos de l column (o fil) escogid. Básicmente clculmos los cofctores correspondientes los elementos no nulos. cof ( ) M ( ). ().() cof ( ) M ( ). ().(8) 8 - Se multiplicn los elementos de l column (o fil) escogid por sus respectivos cofctores. El determinnte será igul l sum de los resultdos prciles..cof.cof.cof. cof ().() ().cof ( )(8) (). cof b. Método de reducción del orden Con este método se busc reducir l mtriz dd otr de orden que, l ser más simple, fcilite su cálculo. Esto se consigue plicndo un propiedd de los determinntes y luego el método de los cofctores. Propiedd: El determinnte de un mtriz cudrd no se lter si un fil (o column) se le sum (o rest) el múltiplo de otr fil (o column)
6 L ide es plicr est propiedd de mner que se generen ceros en un de ls fils o columns de l mtriz dd. Teng en cuent que si un fil o column tiene elementos no nulos, siempre será posible convertirlos en nulos excepto uno de ellos. Ejemplo : Clculr - Se escoge un fil o column culquier. Se recomiend escoger quell que conteng lgún. Mejor ún si demás contiene ceros. Escogemos l fil. - Tomndo como referenci el elemento unitrio (pivote), plicremos l propiedd menciond buscndo convertir en ceros los otros elementos de l fil. Recuerde: Si busc convertir en ceros los elementos de un fil, debe hcer operciones con columns. ls demás columns se le sumrá o restrá un múltiplo de l column del pivote (c ). L column del pivote no cmbi. Hcemos: c c ; c c ; c c () () ( ) () ( ) () ( ) ( ) plicmos el método de los cofctores con l fil (o column) donde se generron los ceros, en este cso l fil..cof.cof.cof. cof ().cof ().cof ().cof (). cof
7 cof Nótese que hber convertido en ceros los elementos de l fil brevi los cálculos. ( ).M ( ) Resolvemos el determinnte resultnte de orden. Pr esto plique culquier de los métodos estudidos. ( ).( ) Ejemplo : Clculr - Se escoge un fil o column culquier. Se recomiend escoger quell que conteng lgún. Mejor ún si demás contiene ceros. Escogemos l fil. - Tomndo como referenci el elemento unitrio (pivote), plicremos l propiedd menciond buscndo convertir en ceros los otros elementos de l fil. Debemos hcer operciones con columns. ls demás columns se le sumrá o restrá un múltiplo de l column del pivote (c ). L column del pivote no cmbi. Hcemos: c c ; c c () () () ()
8 7 - plicmos el método de los cofctores con l fil (o column) donde se generron los ceros, en este cso l fil..cof.cof.cof. cof ().cof ().cof ().cof (). cof cof Nótese que hber convertido en ceros los elementos de l fil brevi los cálculos. ( ).M ( ). 7 - Resolvemos el determinnte resultnte de orden. Pr esto plique culquier de los métodos estudidos. ().() Pr reforzr este tem puede consultrse otrs entrds etiquetds como Determinntes del presente blog
De preferencia aquella que tenga algún 1 como elemento. Mejor aún si conteniendo el 1 también tiene elementos iguales a cero.
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