AX = B. X es la matriz columna de las variables:

Transcripción

1 ÁLGEBR MTRICIL PRO. MRIEL SRMIENTO SESIÓN 9: METODO DE ELIMINCIÓN GUSSIN En est sesión, resolvemos sistems de ecuciones lineles de orden x y x. Pr ello escribimos el sistem en término de mtrices, por ejemplo: El sistem: Puede escribirse como: Donde: x + x + x + y + y + y + X B z z z b b b es l mtriz de los coeficientes del sistem: X es l mtriz column de ls vribles: x X y z B es l mtriz column de los términos independientes: b B b b Operciones Elementles por fils Ests operciones me permiten obtener un mtriz equivlente l mtriz dd. Ests son:. Intercmbir fils ( i j ).. Multiplicr (o dividir) un fil por un esclr no nulo. ( i α i con α ).. Sumr un fil un múltiplo de otr ( i α k + i ). Observción: Ests operciones pueden definirse en form nálog pr operr por columns. En est sesión hremos sólo operciones elementles por fils.

2 Método de Eliminción por ils Presentmos dos métodos pr resolver sistems de ecuciones lineles, estos son: El método de Guss que trnsform l mtriz de coeficientes en un mtriz tringulr superior y el método de Guss-Jordn que continú el proceso de eliminción (o trnsformción) hst obtener un mtriz digonl unitri. Vemos cd uno de estos métodos trvés del siguiente ejemplo. Ejemplo : Ddo el sistem: + y x y x L mtriz socid es: L mtriz de términos independientes es: B. Resolvemos por el Método de Guss, pr ello construimos un mtriz umentd, esto es: M nxn ( B) + ) ( M En el primer pso, se trnsform el término en uno (pivote) l plicrle l d operción elementl, es decir, se multiplic tod l r fil por /. En el segundo pso, se trnsform el en cero, pr ello tod l d fil se le plic l tercer operción elementl con α - (opuesto ditivo de ). Luego se trnsform el en uno (multiplicndo tod l d fil por el inverso multiplictivo de ) y se complet el cálculo. En generl, hemos trnsformdo l mtriz en un mtriz tringulr superior y el sistem equivlente qued escrito :

3 x + y y hor hcemos sustituciones regresivs, de l d ecución tenemos y, sustituimos en l r ecución y obtenemos: x. L solución del sistem, es decir el punto de intersección de mbs rects, es: P (, ). b. Resolvemos el sistem por el Método de Guss-Jordn: Continumos l trnsformción nterior hst llevr l mtriz equivlente l mtriz identidd, esto es: ( ) + L solución se obtiene directmente, esto es x, y Inversión de mtrices con el Método de Guss-Jordn Se ( ij ) nxn. Pr clculr l mtriz invers de, denotd por -, seguimos los psos siguientes:. Construimos un cudricul escribiendo l mtriz identidd de orden n, I nxn, l derech de l mtriz mtriz. lgunos utores escriben un mtriz umentd, esto es: M nxn ( I). l término se le plic l d operción elementl y se convierte en (pivote).. Se dej tl y como está l fil del pivote y debjo del pivote, hcemos tods ls entrds ceros con l r operción elementl.. Se coge como pivote el segundo término de l digonl principl,, y se procede como en los dos psos nteriores.. l llegr l último término de l digonl, se procede igul que ntes, pero convirtiendo en ceros los elementos encim del nuevo pivote.

4 6. L mtriz se trnsform en l mtriz identidd de orden n y l mtriz su derech se convierte en un mtriz B nxn. Luego, B es l invers de si y sólo si B B I. Ejemplo : Hllr l invers de: 6 Primero construimos l siguiente cudricul: Mtriz Mtriz Identidd Operciones Elementles por fil 6 Llevemos cero los elementos bjo : (-) + (-6) El pivote es. Pr llevrlo, hcemos: (/8) Llevemos cero los elementos de l column, distintos : + (-) El pivote es. Pr llevrlo, hcemos: (-)

5 8 8 Llevemos cero los elementos sobre : (-/) + (/8) + Obtenemos -, y que - - I L mtriz que h queddo l centro de l cudricul es precismente l mtriz invers de. Pr comprobr si el resultdo es correcto, se procede multiplicr - y el resultdo debe ser l mtriz identidd I, pero no vmos hcerlo en est oportunidd porque, este resultdo coincide con el obtenido en el Ejemplo de l Sesión. Observción: Podemos resolver los sistems de ecuciones lineles con el uso de l invers, de l siguiente mner: Si el sistem plntedo es: X B Este es equivlente : - X - B IX - B y sí obtenemos su solución: X - B Ejemplo : Ddo el sistem, como en el Ejemplo : + y x y x L mtriz socid es: Su invers, l podemos hllr plicndo ls misms operciones elementles del Ejemplo -b l mtriz identidd de orden, esto es:

6 ( ) + ( ) + sí, Luego, l solución del sistem viene dd por X - B. Esto es: x y x +, y + Est solución coincide con l hlld en el Ejemplo. RESUMEN EJERCICIOS RESUELTOS PRCTIC 9 PGINS SIMILRES UTOEVLUCIÓN 9 RESUMEN Hy tres operciones elementles por fils: intercmbio de dos fils, multiplicr un fil por un esclr no nulo y sumr un fil un múltiplo de otr. Ls operciones elementles por fil me permiten hllr mtrices equivlentes. Los métodos de eliminción por fils (o de eliminción gussin) que hemos estudido son el Método de Guss y el Método de Guss-Jordn. Los métodos de eliminción gussin me permiten trnsformr l mtriz de coeficientes en un mtriz tringulr superior (si es unitri, el método se llm Guss-Jordn).

7 Los métodos de eliminción gussin me permiten hllr l mtriz invers de un mtriz dd (siempre que su determinnte se distinto de cero). Otr mner de hllr l solución de un sistem de ecuciones lineles XB, es hllndo l invers de y hcemos X - B. EJERCICIOS RESUELTOS. Hllr l invers de: Primero construimos l siguiente cudricul: Mtriz Mtriz Identidd Operciones Elementles por fil Intercmbimos l fil y l fil i Llevemos cero los elementos bjo : (-) + () + El pivote es. Pr llevrlo, hcemos: (/) Llevemos cero los elementos de l column, distintos : + +

8 8 El pivote es. Pr llevrlo, hcemos: (/8) 8 8 Llevemos cero los elementos sobre : (-/) + (/) Obtenemos -, y que - - I