ECUACIONES LINEALES Y MATRICES

Transcripción

1 ECUACIONES LINEALES Y ATICES SOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES Dd un ecución, el álger se ocup de encontrr sus soluciones, siguiendo el concepto generl de identidd. Siempre que se pliquen ls misms operciones ritmétics o lgerics en mos ldos de l ecución (iom de iguldd), l iguldd se mntiene inlterd. L estrtegi ásic es despejr l vrile en un ldo de l iguldd l solución será el otro ldo. Ejemplo : esolver l siguiente ecución linel con un vrile Los términos que contienen l vrile se despejn en un ldo ls constntes en el otro. Por trnsposición de términos Por grupción de términos semejntes Por trnsposición de términos Pr compror este resultdo st con sustituir el vlor en l ecución originl: () () 9 Definición de un ecución linel en n vriles Un ecución linel en n vriles... Los coeficientes,,,..., n tiene l form n n,,,..., n son números reles el término constnte es un número rel. El número es el coeficiente principl es l vrile principl.,,, s,..., s n n Un solución de un ecución linel en n vriles es un sucesión en n números reles ordendos de modo que l ecución se cumple cundo los vlores s sustituen en ést. epresentción prmétric de un conjunto solución esuelv l ecución linel.. s s, s,..., s n s se En álger, lo norml es que h que resolver no un sino vris ecuciones l mismo tiempo. Un ecución c, con diferentes de cero, es un ecución linel en dos vriles. Del mismo modo, Profesor: Jime H. míre ios Págin

2 c d es un ecución linel con tres vriles. El prolem es encontrr el conjunto de tods ls soluciones que cumplen tods ls ecuciones simultánemente. El conjunto de ecuciones que deen resolverse se denomin sistem de ecuciones pr resolverlo se pueden usr técnics específics del álger. Sistems de ecuciones lineles Un sistem de m ecuciones lineles en n vriles es un conjunto de m ecuciones, cd un de ls cules es linel en ls misms n vriles. m m m n n n... mn n n n n m Un solución de un sistem de ecuciones lineles es un sucesión de números cd un de ls ecuciones lineles del sistem. s s, s,..., s, n que es solución de Ejemplo: esolver el sistem de dos ecuciones lineles con dos vriles Este sistem se puede resolver por los métodos de eliminción, igulción o eliminción. Pr resolverlo vmos utilir el método de sustitución. Despejmos de l segund ecución, luego l sustituimos en l primer ( ) Tenemos un ecución con un vrile Por grupción de términos semejntes Por trnsposición de términos Al sustituir este resultdo en culquier de ls dos ecuciones iníciles, otenemos f().-(/) f() Profesor: Jime H. míre ios Págin

3 Ejercicio. esuelv los siguientes sistems de ecuciones lineles grfique cd sistem como un pr de rects. ) ) c) Clsificción de sistems lineles Según el número de soluciones, los sistems se clsificn en Sistem inconsistente No tiene soluciones Sistem inconsistente determindo Tiene solución únic Sistem inconsistente indetermindo Tiene infinits soluciones Pr hllr ls soluciones de un sistem linel con más de dos vriles podemos usr el método de eliminción que consiste en mnipulr ls ecuciones hst otener un sistem equivlente de ecuciones más sencills, pr ls cules podemos hllr sus soluciones con fcilidd. Alguns mnipulciones (o trnsformciones) que llevn sistems equivlentes son ls siguientes: Operciones que conducen sistems de ecuciones lineles. Intercmir dos ecuciones.. ultiplicr un ecución por un constnte diferente de cero.. Sumr un múltiplo constnte de un ecución otr ecución. Uso de l eliminción gussin pr reescriir un sistem en l form esclond por fils Ejemplo : esolver el siguiente sistem. Vmos resolver el sistem utilindo el método de eliminción. Eliminremos lguns de ls vriles, sumndo un múltiplo de un ecución otr ecución. Summos - veces l primer ecución l segund 9 Summos - veces l primer ecución l tercer 9 ultiplicmos por l segund ecución 9 Summos - veces l segund ecución l tercer Profesor: Jime H. míre ios Págin

4 9 Hllmos ls soluciones por sustitución De l tercer ecución vemos que, l sustituirl en l segund ecución ( ) 9, otenemos. Pr otener el vlor de sustituimos en l primer ecución ( ) ( ), con lo cul Si nlimos el método de solución del ejemplo nterior, podemos ver como los símolos usdos pr ls vriles crecen de importnci; deemos tener en cuent los coeficientes de ls vriles. Así pues, si utilimos símolos distintos en ls vriles, por ejemplo (,, c), otenemos el sistem. c c c Entonces, el método de eliminción puede relirse de l mism form que en el ejemplo nterior. Pr simplificr el proceso, recurrimos un esquem, pr utilir los coeficientes sin necesidd de escriir ls vriles. Colocmos los coeficientes en el mismo orden de cd ecución en est form. Profesor: Jime H. míre ios Págin El ordenmiento de números de est form se llm mtri, los renglones de l mtri son los números que precen uno continución del otro en sentido horiontl. Primer renglón, Segundo renglón, Tercer renglón, Ls columns de l mtri son los números que precen uno junto del otro en sentido verticl. Pr imer Column C Segund Column C Tercer Column C Curt Column L mtri otenid del sistem de ecuciones lineles, del ejemplo nterior, es l mtri del sistem tmién llmd mtri umentd. Si orrmos l últim column, tenemos l mtri coeficiente. A tri coeficiente A C tri umentd

5 Con ojeto de hllr ls soluciones de un sistem de ecuciones lineles, comenmos con l mtri umentd. Si un vrile no prece en un ecución, suponemos que el coeficiente es cero. Luego trjmos con ls fils de l mtri como si fuern ecuciones. L ecución se epres de l form A Sistem A Es l mtri coeficiente Es el vector de vriles o incógnits Es el vector de términos independientes L mtri es l mtri umentd del sistem A Teorem sore trnsformciones de fils de mtrices Dd un mtri de un sistem de ecuciones lineles, result un mtri de un sistem equivlente si: ) Se intercmin renglones ) Se multiplic un renglón por un constnte diferente de cero. ) Un múltiplo constnte de un renglón se sum otro renglón Usremos los símolos de l próim tl pr denotr trnsformciones elementles de renglones de un mtri, donde l flech se lee sustitue Trnsformciones elementles de fil de un mtri Símolo Significdo Intercmir renglones i j i j K ultiplicr renglón i por K i i K Sumr K veces el renglón i l renglón j i j ÉTODO DE GAUSS j Un sistem de ecuciones se resuelve por el método de Guss cundo se otienen sus soluciones medinte l reducción del sistem ddo otro equivlente en el que cd ecución tiene un vrile menos que l nterior. Cundo se plic este proceso, l mtri resultnte se conoce como: "mtri esclond. Se relin determinds trnsformciones elementles de fil fin de otener un sistem esclondo, más fácil de resolver. Profesor: Jime H. míre ios Págin

6 Profesor: Jime H. míre ios Págin OBTENCIÓN DE UNA ATIZ ESCALONADA: El lgoritmo pr l otención de un mtri esclond const de los siguientes psos: - El primer número diferente de cero del primer renglón de iquierd derech, deerá ser uno, será el primer pivote. Seguidmente con ls operciones elementles hremos ceros dejo del pivote. - En el segundo renglón uscmos el primer número diferente de cero lo volvemos uno será el segundo pivote, luego con ls operciones elementles hremos ceros dejo del segundo pivote. - Seguimos uscndo en cd renglón el primer número diferente de cero lo volvemos uno, hst no tener más pivotes. - Los renglones formdos completmente de ceros, pueden precer en l prte inferior de l mtri. Este método fue presentdo por el mtemático Crl Friedrich Guss. Form esclond de un mtri A A Ejemplo : uso de l form esclond pr resolver un sistem de ecuciones lineles. esolver el siguiente sistem Lo primero que deemos hcer, es psr los coeficientes l mtri, en el mismo orden en que precen en el sistem Como en el primer número diferente de cero es uno, l dejmos como está con este uno hcemos ceros los demás coeficientes de l primer column Ahor deemos volver el primer número diferente de cero de un uno, por esto multiplicmos todo el renglón por

7 Con este uno de l volvemos cero el coeficiente que está dejo de éste Pr finlir multiplicmos por pr que el primer número diferente de cero se un uno L mtri está de form esclond, por lo cul volvemos l sistem de ecuciones De l tercer ecución vemos que, l sustituirl en l segund ecución, otenemos. Pr otener el vlor de sustituimos en l primer ecución, con lo cul. L solución del sistem es l trid ordend (,, ) Pr verificr el resultdo, deemos sustituir los vlores de ls vriles en un de ls tres ecuciones originles. En este cso lo hremos con l ecución tres () () () Este es un sistem consistente determindo con respuest únic. ÉTODO DE ELIINACIÓN DE GAUSS-JODÁN Como vimos, el método de Guss trnsform l mtri de coeficientes en un mtri tringulr superior. El método de Guss-Jordán continú el proceso de trnsformción hst otener un mtri digonl unitri. Es decir, hst que precn ceros rri del primer uno de cd renglón. L mtri resultnte se conoce como esclond reducid. Profesor: Jime H. míre ios Págin

8 Profesor: Jime H. míre ios Págin Form esclond reducid de un mtri Cundo tenemos un mtri esclond reducid es fácil determinr cundo tiene solución únic, infinits soluciones o cundo no tiene solución. A ti con solución únic A ti con infinits soluciones A ti sin solución Ejemplo : resolver el sistem del ejemplo..: medinte l form esclond reducid El sistem de ecuciones correspondiente l form esclond reducid nos d l solución únic sin usr sustituciones: ),, (

9 SISTEA CON ÁS VAIABLES QUE ECUACIONES No siempre vmos tener sistems con el mismo número de ecuciones que de vriles, pr este cso se plicn ls misms técnics de mtrices, según se epone en este ejemplo. Ejemplo : Solución de un sistem de dos ecuciones lineles con tres vriles. esolver el siguiente sistem SOLUCIÓN: El primer pso es psr los dtos un mtri hllr l form esclond reducid Teniendo l mtri esclond reducid, volvemos escriir el sistem con los coeficientes de l mtri Y despejmos ls vriles dependientes en función de l vrile dependiente Z En este sistem tenemos un número infinito de soluciones, depende del número t que le signemos l vrile independiente. Así t, t, t Ls soluciones del sistem están formds por l trid ordend ( t, t, t) pr culquier número rel t, ejemplo: Pr t (,,) Pr t ( 9,,) Pr t (,, ) Pr t (,, ) Profesor: Jime H. míre ios Págin 9

10 Profesor: Jime H. míre ios Págin Pr culquier de ests trids ordends podemos verificr el resultdo. Lo vmos hcer con l ecución uno Pr t ),, ( 9 () ) ( () Ejemplo : Solución de un sistem de tres ecuciones lineles con tres vriles. Este es un sistem que no tiene solución, pues l sumr si oservmos esto no es posile, por lo cul decimos que el sistem no tiene solución

11 SISTEAS HOOGÉNEOS Un sistem de ecuciones lineles es homogéneo si todos sus términos no son vriles, es decir, sus términos constntes, son ceros A (o se ). Un sistem homogéneo siempre tiene un solución trivil otenid l sustituir cero por cd vrile. A veces eisten soluciones que no son triviles. El procedimiento pr hllr soluciones es el mismo que en los sistems no homogéneos. Ejercicios: esolver el sistem homogéneo con solución trivil esolver el sistem homogéneo de ecuciones lineles. Los ejercicios siguientes ilustrn prolems de plicción Ejemplo : Uso de un sistem de ecuciones pr solucionr un prolem de mecls Un comercinte dese meclr dos cliddes de mní que cuestn $. $. por lir, respectivmente, con nueces de l Indi que cuestn $. por lir, con ojeto de tener lirs de un mecl que cuest $. por lir. Si el comercinte tmién dese que l cntidd de mní de menor precio se el dole de l de mní de mejor clidd. Cuánts lirs de cd vriedd h de meclr SOLUCIÓN: Introducimos tres vriles X número de lirs de mní de $. por lir Y número de lirs de mní de $. por lir Z número de lirs de nueces de l Indi de $. por lir Con el enuncido del prolem otenemos el siguiente sistem: Ecución de peso... $() Ecución de vlor Contrste L ecución l multiplicmos por pr fcilitr l operción Al epresrlo en form mtricil qued: Profesor: Jime H. míre ios Págin

12 Profesor: Jime H. míre ios Págin El comercinte dee meclr lirs de mní de menor precio, lirs del de mejor clidd lirs de nueces de l Indi. Ejercicios Utilir mtrices en l solución de los sistems

13 Profesor: Jime H. míre ios Págin

14 9... Un comercinte dese comprr dos tipos de frigoríficos, F F. Los del tipo F cuestn $. los del tipo F $.. Sólo dispone de sitio pr frigoríficos de $. pr hcer ls comprs. Cuántos frigoríficos de cd tipo dee comprr?. Un compñí tiene tres mquins, A, B C, cd un de ls cules puede producir ciert pie: sin emrgo, deido l flt de operdores clificdos, sólo es posile trjr dos l mismo tiempo. L tl indic l producción de un período de tres dís, usndo vris cominciones de ls mquins. Cuánto trdr cd máquin, si se emple sol, en producir pies? quins usds Hors usds Pies producids A B A C B C 9. Un grupo de persons se reúne pr ir de ecursión, concentrándose un totl de entre homres, mujeres niños. Contndo homres mujeres juntos, su número result ser el triple del número de niños. Además, si huier cudido un mujer más, su número igulrí l de los homres. Cuántos homres, mujeres niños hn ido de ecursión?. En un competenci deportiv prticipn tlets distriuidos en tres ctegorís: infntiles, cdetes juveniles. El dole del número de tlets infntiles, por un prte ecede en un unidd l número de cdetes por otr, coincide con el quíntuplo del número de juveniles. Determin el número de tlets que h en cd ctegorí. Profesor: Jime H. míre ios Págin