Unidad nº2. MATRICES Y DETERMINANTES. Esp.Liliana Eva Mata Algebra Lineal y Geometría 1
|
|
|
- Paula Flores Montero
- hace 5 años
- Vistas:
Transcripción
1 Unidd nº2. MATRICES Y DETERMINANTES. Esp.Lilin Ev Mt Algebr Linel y Geometrí 1
2 Contenidos Mtriz. Espcio Vectoril de mtrices de orden (m x n). Operciones. Anillo de mtrices cudrds. Mtrices Especiles. Operciones elementles de fils o columns. Equivlenci de mtrices. Rngo de un mtriz. Propieddes Mtriz Invers o no singulr. Inversión de mtrices. Determinnte de un mtriz cudrd. Propieddes. Adjunt de un mtriz cudrd. Vlores y vectores propios de un mtriz cudrd. Polinomio crcterístico de un mtriz. Cálculo de los utovlores y utovectores de un mtriz cudrd. Esp.Lilin Ev Mt Algebr Linel y Geometrí 2
3 Bibliogrfí 1. De Burgos, J. - Algebr Linel y Geometrí crtesin - d. Edición) Mc Grw Hill- 2 (2 2. Rojo, Armndo O - Algebr I, Algebr II -Librerí El Ateneo Editoril. Ed Lic. Albino de Sunkel, M. H.- Geometrí Anlític en form vectoril y Mtricil Ed. Nuev Librerí S.R.L Steinbruch Winterle- Edición Algebr Linel - Edit.Mc Grw Hill 5. Stnley I.Grossmn Algebr Linel con plicciones Edit.Mc.Grw Hill- Ed Seymour Lipschutz Algebr Linel Edit Mc. Grw Hill Edición Pit Ruiz, Cludio.- Álgebr Linel -Ed.Mc.Grw Hill-Ed 1993 Esp.Lilin Ev Mt Algebr Linel y Geometrí 3
4 MATRIZ RECTANGULAR RANGO CUADRADA Sistems de Ecuciones Lineles Determinnte de un Mtriz Cudrd. Mtriz Invers DEFINICIÓN CALCULO Propieddes. Menor Complementrio Adjunto o Cofctor APLICACIONES Geometrí en coordends Sistems de Ecuciones Lineles Cudrdos Esp.Lilin Ev Mt Algebr Linel y Geometrí 4
5 Mtriz como conjunto de vectores de R n. Se llm mtriz de clse m x n con coeficientes en en un cuerpo K todo conjunto de m vectores de K n dispuestos en m fils. Un mtriz de clse m x n es un cudro de m fils ( vectores de K n ) y n columns (vectores de K m ).(K=R o K=C) m fils n columns Fil i A m m m ij n 2n 3n mn Column j Esp.Lilin Ev Mt Algebr Linel y Geometrí 5
6 Notción brevid. A= [ i j ] m x n in; j N; m N y n N con 1 i m, 1 j n. i j: elemento genérico El subíndice ( i ) indic l fil l que pertenece el elemento i j. El subíndice (j) indic l column l que pertenece el elemento i j. Esp.Lilin Ev Mt Algebr Linel y Geometrí 6
7 Construcción de Mtrices. Ejemplo )A ij / 3 x 3 ij ( 1) i j si si i i j j b)b b ij 4x2 / b ij i i j j si si i i j j Esp.Lilin Ev Mt Algebr Linel y Geometrí 7
8 Esp.Lilin Ev Mt Algebr Linel y Geometrí 8 Notción brevid. Mtriz A por fils: Mtriz A por columns: m i F F F F A 2 1 c j c n c c A 2 1
9 Mtriz Fil. Mtriz Column. Mtriz Fil: mtriz de un sol fil. Mtriz Column: mtriz de un sol column. A [ j 1n ] 1xn A i1 m1 mx1 Esp.Lilin Ev Mt Algebr Linel y Geometrí 9
10 Iguldd de mtrices. Dos mtrices de l mism clse son igules si los elementos que ocupn l mism posición en cd mtriz son igules entre sí. A=B ij =b ij i=1, 2,,m j=1, 2,,n Ejemplo: Determine los números reles, b, x e y, sbiendo que: x y 2x y 2 b b Esp.Lilin Ev Mt Algebr Linel y Geometrí 1
11 Operciones. A= [ ij] K m x n, B = [ b ij ] K m x n. SUMA DE MATRICES. A+B=[ ij] m x n + [ b ij ] m x n =[ ij+ b ij ] m x n, i, j. Propieddes: Ley de Composición Intern. Conmuttiv. Asocitiv. Existenci de Elemento Neutro. Existenci de Elemento Opuesto.O Esp.Lilin Ev Mt Algebr Linel y Geometrí 11
12 Producto esclr mtriz.. :. A = [ ij ] m x n = [ ij ] m x n = D, D K m x n. K, A K m x n Propieddes: Ley de Composición extern. Pseudosocitiv. 1 elemento neutro. Distributiv con respecto l sum de esclres. Distributiv con respecto l sum de mtrices. (K mxn, +, K,. ): ESPACIO VECTORIAL K=R o K=C Esp.Lilin Ev Mt Algebr Linel y Geometrí 12
13 Sum de Mtrices. Ejemplo: Sen ls mtrices A=[ ij ] 2 x 2 y B =[b ij ] 2 x 2 con ij = 2 i j 2, y, b ij = ij +1 Hllr A + B Esp.Lilin Ev Mt Algebr Linel y Geometrí 13
14 Producto esclr-mtriz.ejemplo. Sen ls mtrices A=[ ij ] 2 x 2 y B =[b ij ] 2x 2 con ij = 2 i j 2, y, b ij = ij +1 Hllr 2.A ½ B Esp.Lilin Ev Mt Algebr Linel y Geometrí 14
15 Operciones. Rest de Mtrices. A= [ ij ] K m x n, B = [ b ij ] K m x n : A B = A + (B) Ejemplo: Sen ls mtrices A=[ ij ] 2 x 2 y B =[b ij ] 2x 2 con ij = 2 i j 2, y, b ij = ij +1 Hllr 2A-½B Esp.Lilin Ev Mt Algebr Linel y Geometrí 15
16 Producto de Mtrices. Mtrices conformbles. A= [ ij ] K m x p y B = [ b ij ] K q x n son mtrices conformbles pr el producto p = q A= [ ik ] K m x p, B = [ b kj ]K pxn A. B= C =[ c ij ] m x n / c ij = p k1 ik b kj con i = 1, 2,, m j = 1,2,, n Esp.Lilin Ev Mt Algebr Linel y Geometrí 16
17 Esp.Lilin Ev Mt Algebr Linel y Geometrí 17 Producto de Mtrices. Ejemplo. Sen ls mtrices: Hllr: A.B; B.A; A.C; C.A C ; B, A
18 Propieddes del Producto de Mtrices. El producto de mtrices es socitivo. (A. B).C = A.(B. C) El producto de mtrices es distributivo izquierd con respecto l sum A.(B+C )= A.B + A.C El producto de mtrices es distributivo derech con respecto l sum. (B + C ). A = B. A + C. A CUIDADO: A veces A.(B+C ) (B + C ). A El Producto de mtrices no cumple l Ley De Cierre. El producto de mtrices no es conmuttivo En K mxn no existe elemento neutro pr el producto. En k mxn el producto de mtrices no verific l existenci de elemento inverso Esp.Lilin Ev Mt Algebr Linel y Geometrí 18
19 I [ Anillo de Mtrices Cudrds. (K nxn, +) es un grupo belino, por serlo K mxn ; m, n N (K nxn,. ) verific ls siguientes propieddes: Ley de cierre. Asocitiv. Existenci de elemento neutro. ] / n ij nxn ij 1 si si i i j j Distributiv con respecto l sum derech e izquierd. ( K nxn, +, * ) es un nillo con unidd Esp.Lilin Ev Mt Algebr Linel y Geometrí 19
20 Anillo con unidd y con divisores de cero. nxn A, B K / A. B A B nxn nxn Determine l mtriz BR 2x2 N, tl que A.B =N siendo N l mtriz nul y 1 A 1 Esp.Lilin Ev Mt Algebr Linel y Geometrí 2
21 Mtrices Especiles. Mtriz cudrd. A K m x n es cudrd m = n Mtriz rectngulr. A K m x n es rectngulr m n Elbore un ejemplo. Esp.Lilin Ev Mt Algebr Linel y Geometrí 21
22 Mtrices Especiles. Mtriz Fil: mtriz de clse (1 x n), de un fil por n column. A = ( n ) Mtriz Column: mtriz de clse (mx1), 11 de m fil por 1 column. Elbore un ejemplo. A = Esp.Lilin Ev Mt Algebr Linel y Geometrí m1
23 Mtriz Trspuest. A=[ ij ] K m x n se llm trspuest de A l mtriz A T =[ ji ] K n x m A T es l mtriz cuys fils son ls columns de A y cuys columns son ls fils de A. Si A es de clse (m x n ), A T es de clse ( n x m ). Elbore un ejemplo. Esp.Lilin Ev Mt Algebr Linel y Geometrí 23
24 Mtriz Trspuest: Propieddes. (A+B) T = A T +B T (A) T = A T (AB) T = B T. A T (A T ) T =A El producto de tod mtriz por su trspuest es un mtriz simétric. L sum de tod mtriz cudrd con su trspuest es simétric L diferenci de tod mtriz cudrd y de su trspuest es ntisimétric Tod mtriz cudrd es l sum de un mtriz simétric y de un ntisimétric Verifique cd un de ls propieddes. Esp.Lilin Ev Mt Algebr Linel y Geometrí 24
25 Mtriz Simétric Un mtriz cudrd es simétric si y sólo si es igul su trspuest. AK n x n es simétric A = A T ij = ji i j Elbore un ejemplo. Esp.Lilin Ev Mt Algebr Linel y Geometrí 25
26 Mtriz Antisimétric. Un mtriz cudrd es ntisimétric si y sólo si es igul l opuest de su trspuest con los coeficientes ii =. Elbore un ejemplo. Esp.Lilin Ev Mt Algebr Linel y Geometrí 26
27 Mtriz Esclond. Un mtriz es esclond si: Ls fils no nuls, preceden ls fils nuls, si ls hy. En cd un de ls fils no nuls, el número de ceros que precede l primer elemento no nulo es myor que en l fil nterior. Elbore un ejemplo de un mtriz que se esclond y de otr que no lo se. Esp.Lilin Ev Mt Algebr Linel y Geometrí 27
28 Mtrices Cudrds Prticulres. A K nxn es mtriz digonl ij ij =. Elbore un ejemplo. A K nxn es mtriz esclr A es digonl ii = 11 Elbore un ejemplo. Esp.Lilin Ev Mt Algebr Linel y Geometrí 28
29 Mtriz Tringulr. A es mtriz tringulr superior si y sólo si ij = con i >j Elbore un ejemplo. A es mtriz tringulr inferior si y sólo si ij = con i <j Elbore un ejemplo. Esp.Lilin Ev Mt Algebr Linel y Geometrí 29
30 Operciones Elementles de Fils o Columns. Dd un mtriz AK m x n, se llmn operciones elementles de fils o columns ls siguientes: Permutción de dos fils e: F i F j Reemplzo de todos los elementos de un fil por su producto por un esclr distinto de cero e: k F i F i Reemplzo de un fil por su sum con otr e: F i + F j F i Esp.Lilin Ev Mt Algebr Linel y Geometrí 3
31 Ejemplo 1 1 ) A' Esp.Lilin Ev Mt Algebr Linel y Geometrí 31
32 Ejemplo A' ( ) Esp.Lilin Ev Mt Algebr Linel y Geometrí 32
33 Ejemplo ( ) A' ( ) Esp.Lilin Ev Mt Algebr Linel y Geometrí 33
34 Equivlenci de Mtrices. Un mtriz B mxn es equivlente por fils otr mtriz A mxn, si B se obtiene plicndo l mtriz A un número finito de operciones elementles por fils. A f B e 1, e 2,..., e k / e k (...e 3 (e 2 (e 1 (A)))...)=B Esp.Lilin Ev Mt Algebr Linel y Geometrí 34
35 Mtrices Elementles. Un mtriz de clse (nxn) se llm elementl si y sólo si se obtiene por plicción de un sol operción elementl l mtriz I (n. Elbore un ejemplo. Esp.Lilin Ev Mt Algebr Linel y Geometrí 35
36 Propieddes Si A es un mtriz de clse (mxn), tod operción elementl e sobre A, puede ser efectud premultiplicndo A por l mtriz elementl E de clse (mxm), que result de plicr l operción elementl e l mtriz I (m e(i (m )=E E.A=e(A) E es l mtriz correspondiente l operción elementl e. Si A y B son dos mtrices de clse mxn, tles que A B, entonces existe un mtriz S, de clse mxm, tl que B=S.A Esp.Lilin Ev Mt Algebr Linel y Geometrí 36
37 Ejemplo. Esclonr l mtriz y verificr ls propieddes de Mtrices Elementles. A Esp.Lilin Ev Mt Algebr Linel y Geometrí 37
38 Rngo de un Mtriz. Se AK mxn. Rngo fil de A: [r f (A)]=r, es el máximo número de fils linelmente independientes de A. Rngo column de A: [r c (A)]=r, es el máximo número de columns linelmente independientes de A. r f (A) = r c (A)=r(A)=r Esp.Lilin Ev Mt Algebr Linel y Geometrí 38
39 Propieddes. n, m N : r f O (n x m ) =. n N : r f (I n ) = n. Dos mtrices equivlentes por fils tienen el mismo rngo fil. Un mtriz cudrd de clse n x n es inversible si y solo si, su rngo fil es igul n. El rngo fil de un mtriz en form esclond es igul l número de fils no nuls de es mtriz. Esp.Lilin Ev Mt Algebr Linel y Geometrí 39
40 Esp.Lilin Ev Mt Algebr Linel y Geometrí 4 Rngo de un mtriz. Ejemplo. Ejemplo: Clculr el rngo de l siguientes mtrices: C B y A D
41 Mtriz Invers o no singulr. L mtriz A K nxn es inversible si y solo si B K nxn / A. B= B.A = I (n Notción: B=A -1 Esp.Lilin Ev Mt Algebr Linel y Geometrí 41
42 Mtriz Invers.Propieddes. L invers de un mtriz inversible es únic. (A.B) -1 =B -1. A -1. Si A es inversible y A.B=A.C B=C Si A -1 es l invers de A,(A -1 ) -1 =A I (n es inversible. I -1 (n=i (n A nxn es inversible r(a)=n A nxn es inversible det(a) Esp.Lilin Ev Mt Algebr Linel y Geometrí 42
43 Inversión de Mtrices. Teorem de Guss Jordn: Si A es un mtriz cudrd tl que por un secuenci finit de operciones elementles de fil se trnsform en l identidd, entonces: 1) A f I e k (...e 3 (e 2 (e 1 (A)))...)=I A es inversible. 2) I f A -1 e k (...e 3 (e 2 (e 1 (I)))...)= A -1 A I... I A -1 Esp.Lilin Ev Mt Algebr Linel y Geometrí 43
44 Esp.Lilin Ev Mt Algebr Linel y Geometrí 44 Cálculo de l Mtriz Invers.Ejemplo. Clcule A 1 plicndo el método de Guss Jordn B A
45 Determinnte de un Mtriz Cudrd. A K nxn y culquier sen i y j pertenecientes N Determinnte de orden n es tod función que sign cd mtriz cudrd un esclr sobre el cuerpo K que se denomin determinnte de l mtriz. D: K nxn K/ det(a) verific: Esp.Lilin Ev Mt Algebr Linel y Geometrí 45
46 Axiom 1: Si un column de l mtriz A se descompone en dos sumndos, entonces el det(a) es igul l sum de los determinntes de ls dos mtrices que resultn de sustituir en A, quell column por cd uno de los sumndos. D(c 1 c 2 c j c j+1 c n )=D(c 1 c 2 c j c n )+D(c 1 c 2 c j+1 c n ) J=1, 2, n. Esp.Lilin Ev Mt Algebr Linel y Geometrí 46
47 Axiom 2: Si un fil ( o column) de A se l multiplic por un esclr, entonces el det (A) qued multiplicdo por el esclr. D(c 1 c j c n )= D(c 1 c j c n ) J=1, 2, n. Esp.Lilin Ev Mt Algebr Linel y Geometrí 47
48 Axiom 3: Si dos columns consecutivs de un mtriz son idéntics, entonces su determinnte es nulo. c j =c j+1 D(c 1 c j c j+1 c n )= J=1, 2, n. Esp.Lilin Ev Mt Algebr Linel y Geometrí 48
49 Axioms 4: El determinnte de l mtriz identidd es igul 1. D(I (n )=1 Esp.Lilin Ev Mt Algebr Linel y Geometrí 49
50 Menor Complementrio del Elemento Ij de l mtriz A. Dd un mtriz A=[ ij ] n x n, con 1 i n y 1 j n, llmmos menor complementrio del elemento ij de A, l determinnte de l mtriz de clse(n1) x (n 1) que se obtiene l eliminr l fil i y l column j de A. M ij = det( A(ij) ) i1 A (n n1 1) i2 (n1)2 n2 1(j1) 2(j1) i(j1) (n1)(j1) n(j1) (n1)j 1(j1) 2(j1) i(j1) (n1)(j1) n(j1) (n1)n Esp.Lilin Ev Mt Algebr Linel y Geometrí 5 1j 2j ij nj 1n 2n in nn
51 Adjunto o Cofctor del Elemento IJ Se llm Adjunto o Cofctor del Elemento IJ de un mtriz de clse (n x n), su menor complementrio o su opuesto según que i + j se pr o impr respectivmente. A ij M M ij ij si si i j i j es es A i j = (1) i + j M i j pr impr Esp.Lilin Ev Mt Algebr Linel y Geometrí 51
52 Ejemplo A ij Escribe l mtriz D R 3x3, si D =[d ij ]/ d ij i j Clcule D 13 ; D 21. j i si si i j i j Esp.Lilin Ev Mt Algebr Linel y Geometrí 52
53 Desrrollo del determinnte por l i-ésim fil. Dd un mtriz A=[ ij ] K nxn con 1 i n y 1 j n, llmmos determinnte de A : det : K nxn K / det(a) j 11 n 1 ij A ij si si n n 1 1 Esp.Lilin Ev Mt Algebr Linel y Geometrí 53
54 Esp.Lilin Ev Mt Algebr Linel y Geometrí 54 Cálculo de determinntes. Ejemplos b) )
55 Propieddes. P 1 :El determinnte de tod mtriz tringulr superior (inferior o digonl) es igul l producto de los elementos de l digonl principl. A i 2i ii 1j 2j ij jj 1(j 1) 2(j1) i(j 1) j(j1) (j1)(j1) (n1)(n1) 1n 2n in (j1)n (n1)n nn Esp.Lilin Ev Mt Algebr Linel y Geometrí 55
56 P2:Si un column de un mtriz es el vector nulo, entonces su determinnte es nulo. P3:Si un mtriz se l multiplic por un esclr no nulo se obtiene otr mtriz cuyo determinnte es n veces el determinnte de l mtriz primitiv. Esp.Lilin Ev Mt Algebr Linel y Geometrí 56
57 P 4 :Si se permutn dos columns de un mtriz, se obtiene un mtriz cuyo determinnte es igul l opuesto del determinnte de l mtriz primitiv. P 5 :El determinnte de tod mtriz que teng dos columns idéntics es nulo. Esp.Lilin Ev Mt Algebr Linel y Geometrí 57
58 P 6 :El determinnte de un mtriz no vrí si un column se le sum un combinción linel de otrs. P 7 :Si C 1, C 2,..., C n son linelmente dependientes en K n, entonces es D(C 1 C 2... C n )= Esp.Lilin Ev Mt Algebr Linel y Geometrí 58
59 Determinnte de l trspuest de un mtriz:el determinnte de un mtriz es igul l de su trspuest. det(a) = det (A T ) Determinnte del producto de mtrices:el determinnte del producto de dos mtrices es igul l producto de sus determinntes. det (A. B ) = det (A). det ( B ) Determinnte de mtrices inverss: Los determinntes de dos mtrices inverss son esclres recíprocos. det (A)= 1/ det (A -1 ) Esp.Lilin Ev Mt Algebr Linel y Geometrí 59
60 Cálculo de determinntes plicndo propieddes. Ejemplos. Se S =[s ij ] 3x3 / s ij = o i i j j si si si i j i j i j d g b e h c f i 25; 2 2d 2g 2b 2e 2h 2c 2f 2i b c b c d e f d e f D; Clcule e f d; b c g h i h j g g h j Esp.Lilin Ev Mt Algebr Linel y Geometrí 6
61 Adjunt de un mtriz cudrd. Adjunt de un mtriz cudrd es l trspuest de l mtriz que result de sustituir cd elemento por si cofctor. Adj A = [ A ij ] T A 1 Adj A A Esp.Lilin Ev Mt Algebr Linel y Geometrí 61
62 Esp.Lilin Ev Mt Algebr Linel y Geometrí 62 Cálculo de l Mtriz Invers, utilizndo determinntes.ejemplo Clcule l invers de ls siguientes mtrices: B A
63 Vlores y vectores propios de un mtriz cudrd. El esclr es un vlor propio de l mtriz AK nxn si y sólo si existe un vector no nulo XK nx1. Un vector no nulo que stisfg l relción A.X=.X se llm vector propio de A socido l vlor propio. Esp.Lilin Ev Mt Algebr Linel y Geometrí 63
64 Propiedd. Si AK nxn entonces K es un vlor propio de A si y sólo si A -I es singulr(no es inversible). K es un vlor propio de A K nxn si y sólo si D(A -I)= Esp.Lilin Ev Mt Algebr Linel y Geometrí 64
65 Esp.Lilin Ev Mt Algebr Linel y Geometrí 65 Ejercicio.comp,etr y corregir Hlle los vlores y vectores propios si existen de ls siguientes mtrices de R 2x2 : A B
66 Esp.Lilin Ev Mt Algebr Linel y Geometrí 66 Respuest: Construcción de Mtrices. ) b) A B
67 Respuest ejemplo Iguldd de Mtrices x y 2x y 3 2 b b 1 7 Esp.Lilin Ev Mt Algebr Linel y Geometrí 67
68 Respuest Sum de Mtrices. Esp.Lilin Ev Mt Algebr Linel y Geometrí 68
69 Respuest producto esclr-mtriz Esp.Lilin Ev Mt Algebr Linel y Geometrí 69
70 Respuest Rest de Mtrices. Esp.Lilin Ev Mt Algebr Linel y Geometrí 7
71 Respuest Ejemplo Producto de Mtrices. A.B= B.A=No es posible A.C= C.A= Esp.Lilin Ev Mt Algebr Linel y Geometrí 71
72 Demuestre que (R 2x2, +,.) es un nillo con unidd y con divisores de cero. Esp.Lilin Ev Mt Algebr Linel y Geometrí 72
73 Pruebe ls propieddes de Mtrices Trspuests en R 3x3 Demuestre por lo menos dos. Esp.Lilin Ev Mt Algebr Linel y Geometrí 73
74 Respuest Mtriz Esclond Esp.Lilin Ev Mt Algebr Linel y Geometrí 74
75 Respuest rngo de un mtriz. r(a)=2 r(b)=3 r(c)=2 r(d)=3 Esp.Lilin Ev Mt Algebr Linel y Geometrí 75
76 Respuest cálculo mtriz invers medinte Guss Jordn. Esp.Lilin Ev Mt Algebr Linel y Geometrí 76
77 Respuest cálculo de determinntes Esp.Lilin Ev Mt Algebr Linel y Geometrí 77
78 Demostrción: Propieddes de l función determinnte. Demuestre ls propieddes de l función determinnte. Esp.Lilin Ev Mt Algebr Linel y Geometrí 78
79 Pists pr l demostrción. Primer prte: Esp.Lilin Ev Mt Algebr Linel y Geometrí 79
80 Pists pr l demostrción: segund prte. Esp.Lilin Ev Mt Algebr Linel y Geometrí 8
81 Respuest Cálculo de determinntes plicndo propieddes. b e c f d ( 1) 2 D D h j g 2 2d 2b 2e 2c 2f d g e b h f c j ( 1) 3.( 1).D D 2g 2h 2i Esp.Lilin Ev Mt Algebr Linel y Geometrí 81
82 Respuest Cálculo de l Mtriz Invers, utilizndo determinntes. Ejemplo Esp.Lilin Ev Mt Algebr Linel y Geometrí 82
83 Esp.Lilin Ev Mt Algebr Linel y Geometrí 83
84 Esp.Lilin Ev Mt Algebr Linel y Geometrí 84
es una matriz de orden 2 x 3.
TEMA 7: MATRICES. 7.. Introducción l concepto de mtriz. 7.. Tipos de mtrices. 7.. El espcio vectoril de ls mtrices de orden m x n. 7.. INTRODUCCIÓN AL CONCEPTO DE MATRIZ. Se define mtriz de orden m x n
MATRICES. Una matriz como la anterior con m filas y n columnas, diremos que es de orden mxn o de dimensión mxn
Mtrices MATRICES. DEFINICIÓN. Un mtriz A de m fils y n columns es un serie ordend de m n números ij, i,,m; j,,...n, dispuestos en fils y columns, tl como se indic continución:... n... n A........... m
MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.
MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 1 Mtrices 11 Definición Se K un cuerpo y n, m N Un mtriz n m sobre K es un plicción: A : {1,,n} {1,,m} K Si (i, j) {1,,n} {1,,m} denotremos ij
I.E.S. PADRE SUÁREZ Álgebra Lineal 1 TEMA I MATRICES. DETERMINANTES.
I.E.S. PDRE SUÁREZ Álgebr Linel TEM I. Mtrices.. Operciones con mtrices. Determinnte de un mtriz cudrd.. Mtriz invers de un mtriz cudrd. MTRICES. DETERMINNTES.. MTRICES. Llmmos mtriz de números reles,
TEMA 1: MATRICES. Una matriz de orden mxn es un conjunto de m n números reales dispuestos en m filas y n columnas ...
Deprtmento de Mtemátics TEM : MTRICES Un mtriz de orden mxn es un conjunto de m n números reles dispuestos en m fils y n columns... n... n... m m m... mn los números reles ij se les llm elementos de l
MATRICES Y DETERMINANTES
MTRICES Y DETERMINNTES. Definición de mtriz.. Tipos de mtrices.. Sum de mtrices.. Producto de un número rel por un mtriz.. Producto de mtrices.. Ejercicios. Determinnte de un mtriz. 8. Menor complementrio
MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
de Abril de MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (Clse ) Deprtmento de Mtemátic Aplicd Fcultd de Ingenierí Universidd Centrl de Venezuel Álgebr Linel y Geometrí Anlític José Luis Quintero
BLOQUE II: ÁLGEBRA =... son números reales, el primer índice indica la fila y el segundo la columna en la que se encuentra el elemento.
BLOQUE II: ÁLGEBR Deprtmento de Mtemátics 2º Bchillerto - DEFINICIONES: Un mtriz viene dd por 2 = m 2 22 m2 3 23 m3 n 2n mn donde son números reles, el primer índice indic l fil y el segundo l column en
DETERMINANTES. Se denomina determinante de una matriz cuadrada, A, de orden, 3, y se denota,, A al número
DETERMINNTES CPR. JORGE JUN Xuvi-Nrón Se mtriz cudrd de orden, n. Formdos todos los productos posibles de, n elementos, tomdos entre los, n 2 elementos, de l mtriz,, de modo que en cd producto hy un fctor
TEMA 2. DETERMINANTES
TEMA. DETERMINANTES A cd mtriz cudrd de orden n se le puede signr un número rel que se obtiene operndo de ciert mner con los elementos de l mtriz. A dicho número se le llm determinnte de l mtriz A, y se
DETERMINANTES K K. A cada matriz n-cuadrada A = (a ij ) se le asigna un escalar particular denominado determinante de A, denotado por det (A), A o = K
DETERMINANTES A cd mtriz ncudrd A ( ij ) se le sign un esclr prticulr denomindo determinnte de A, denotdo por det (A), A o n n n n nn K Un tbl ordend n n de esclres situd entre dos línes verticles, llmd
TEMA 3. MATRICES Y DETERMINANTES
TEMA. MATRICES Y DETERMINANTES. DEFINICIÓN Un mtriz es un tbl de números ordendos en fils y columns de l siguiente form: n A m mn que es un mtriz de m fils y n columns, donde el elemento ij es el número
a ij= b ij ; para i = 1,2,...m y j = 1,2,..., n
Tem Álgebr Linel (Sistem de ecuciones lineles y álgebr mtricil) Mtrices Un mtriz de m n con elementos en C es un rreglo de l form M m KKK KKK m KKK n n mn donde,,..., mn Є y m, n Є Z. L mtriz es de orden
a 11 a 12 a a 1n a 21 a 22 a a 2n a 31 a 32 a a 3n... a m1 a m2 a m3... a mn
TEMA ÁLGEBRA DE MATRICES Mtemátics II º Bchillerto TEMA ÁLGEBRA DE MATRICES. NOMENCLATURA Y DEINICIONES.. - DEINICIÓN Ls mtrices son tbls numérics rectngulres ª column ª fil n n n.......... m m m mn (
Determinantes y la Regla de Cramer
Determinntes y l Regl de Crmer Mtriz Invers Not: un mtriz cudrd que no tiene invers se llm mtriz singulr. Ejemplo: Hllr l invers de A. A 4 Si l plicr el método de Guss se obtiene ceros en los elementos
TEMA 1. VECTORES Y MATRICES 1.3. TRAZA Y DETERMINANTE DE UNA MATRIZ
TEM. VECTORES Y MTRICES.. TRZ Y DETERMINNTE DE UN MTRIZ . VECTORES Y MTRICES.. TRZ Y DETERMINNTE DE UN MTRIZ... Concepto de Trz.... Propieddes de l trz.... Determinnte de un mtriz.... Cálculo de determinntes
TEMA 3 RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES Matemáticas CCSSII 2º Bachillerato 1
TEMA RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES Mtemátics CCSSII 2º Bchillerto 1 TEMA RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES.1 DETERMINANTES DE ORDEN 2.1.1 DEFINICIÓN: El determinnte de un mtriz
Introducción Vectores - Operaciones con vectores - Propiedades Ortogonalidad Matrices - Operaciones con matrices - Propiedades Multiplicación de
Uso de MtLb Introducción Vectores - Operciones con vectores - Propieddes Ortogonlidd Mtrices - Operciones con mtrices - Propieddes Multiplicción de mtrices - Regls Sistem de ecuciones en form mtricil Mtriz
UNIDAD 8.- Determinantes (tema 2 del libro)
UNIDD 8.- Determinntes (tem del libro). DETERMINNTES DE ORDEN Y Definición: Pr un mtriz cudrd de orden, por det( ) ó, l siguiente nº rel: det( ) Definición: Pr un mtriz cudrd de orden, not por det( ) ó,
Regla de Sarrus: Para recordar con mayor facilidad el desarrollo del determinante de orden 3, podemos usar esta regla:
UNIDD 8: Determinntes. DETERMINNTES DE ORDEN Y Definición: Pr un mtriz cudrd de orden, por det( ) ó, l siguiente nº rel: det( ) = = = Definición: Pr un mtriz cudrd de orden, not por det( ) ó, l siguiente
1. DEFINICIÓN Y CLASIFICACIÓN DE MATRICES
Mtrices. . DEFINICIÓN Y CLSIFICCIÓN DE MTRICES Ls mtrices son utilizds por primer vez hci el ño por Jmes Joseph Sylvester. El desrrollo inicil de l teorí mtricil se debe l mtemático británico Willim Rown
TEMA 7 DETERMINANTES 7.1 DETERMINANTES DE ORDEN DETERMINANTES DE ORDEN 3
TEMA 7 DETERMINANTES Mtemátics II 2º Bchillerto 1 TEMA 7 DETERMINANTES 7.1 DETERMINANTES DE ORDEN 2 7.1.1 DEFINICIÓN: El determinnte de un mtriz cudrd de orden dos es un número que se obtiene del siguiente
MATRICES. Una matriz como la anterior con m filas y n columnas, diremos que es de orden mxn o de dimensión mxn
TE trices TRICES. DEFINICIÓN. Un mtriz de m fils n columns es un serie ordend de m n números ij, i,,...m; j,,...n, dispuestos en fils columns, tl como se indic continución:... n... n............ m m m...
Este documento es de distribución gratuita y llega gracias a El mayor portal de recursos educativos a tu servicio!
Este documento es de distriución grtuit y lleg grcis Cienci temátic www.ciencimtemtic.com El myor portl de recursos eductivos tu servicio! www.ciencimtemtic.com ATRICES Definición: Un mtriz A, es un rreglo
MATRICES. Es la ordenación de elementos en filas y columnas de la siguiente forma:
Álgebr Educguí.com Es l ordención de elementos en fils y columns de l siguiente form: m m m n n mn Est mtriz tiene m fils y n columns llmándose l número de fils y columns dimensión y designándose dich
ÁLGEBRA LINEAL. 1. Matrices. Matriz rectangular: es la que tiene distinto número de filas que de columnas. Ej: las matrices 2 3
ÁLGEBR LINEL 1. Mtrices Def: Se llm mtriz de orden n m culquier conjunto de n m números reles o complejos, ordendos en n fils y m columns. ( ) 1 i n; 1 j m ij 11 12 1 21 22 2 =... m m n1 n2 nm Def: dos
2. MATRICES 2.1. CONCEPTO DE MATRIZ 2.2. TIPOS DE MATRICES 2.3. OPERACIONES CON MATRICES
Mtrices Herrmients informátics pr el ingeniero en el estudio del lgebr linel 2. MARICES 2.. CONCEPO DE MARIZ 2.2. IPOS DE MARICES 2.3. OPERACIONES CON MARICES 2.3.. PRODUCO DE UNA MARIZ POR UN ESCALAR
Tema 3. DETERMINANTES
Tem. DETERMINNTES Definición de determinnte El determinnte de un mtriz cudrd es un número. Pr l mtriz, su determinnte se denot por det() o por. Pr un mtriz de orden,, se define: Ejemplo: Pr un mtriz de
Matemática DETERMINANTES. Introducción:
Mtemátic Introducción: DETERMINANTES Clculndo el determinnte de un mtriz se puede determinr l cntidd de soluciones que tiene un sistem de ecuciones lineles de igul número de ecuciones que de incógnits.
MATRICES DE NÚMEROS REALES
MTRICES. MTURITS Luis Gil Guerr.- DEFINICIÓN MTRICES DE NÚMEROS RELES Llmmos mtriz de números reles de orden m x n un conjunto ordendo de m. n números reles dispuestos en m fils y en n columns i m i m
SELECTIVIDAD DETERMINANTES
SELECTIVIDAD DETERMINANTES Junio 8: Dds ls mtrices A = 5, B = y M = b, clcúlese y b pr que se verifiquen MA =, M + B =, donde se está usndo l notción hbitul (con brrs verticles) pr denotr l determinnte
Algoritmos matemáticos sobre matrices:
Algoritmos mtemáticos sobre mtrices: Representciones especiles de mtrices, Algoritmo de Strssen, multiplicción y tringulción de mtrices Jose Aguilr Mtriz Mtriz Un mtriz es un rreglo rectngulr de elementos
DETERMINANTES. Matemática I Lic. en Geología Lic. en Paleontología
Mtemátic I Lic. en Geologí Lic. en Pleontologí DETERMINNTES En un mtriz cudrd hy vrios spectos que el determnte yud esclrecer: Existirá un mtriz B tl que.b = I? Es decir, tendrá mtriz vers? De ls columns
UNIDAD IV ÁLGEBRA MATRICIAL
Vicerrectordo cdémico Fcultd de iencis dministrtivs Licencitur en dministrción Mención Gerenci y Mercdeo Unidd urriculr: Mtemátic II UNIDD IV ÁLGER MTRIIL Elordo por: Ing. Ronny ltuve, Esp. iudd Ojed,
3.- Matrices y determinantes.
3.- Mtrices y determinntes. 3.. Definición de mtriz, notción y orden. Se define un mtriz de orden m x n, un reunión de m x n elementos colocdos en m fils y n columns. Cd elemento que form l mtriz se denot
ACTIVIDADES INICIALES
Determinntes ACTIVIDADES INICIALES I. Enumer ls inversiones que precen en ls siguientes permutciones y clcul su pridd, comprándols con l permutción principl 34. ) 34 b) 34 c) 43 d) 34 e)43 f) 34 ) 3,4,
ACTIVIDADES. 001 Escribe una matriz que cumpla las siguientes condiciones. Su dimensión sea 3 2. a 32 = a 21 = a 11 = 1 a 22 = a 12 = a 31 = 2
Solucionrio ACTIVIDADES Escribe un mtriz que cumpl ls siguientes condiciones. Su dimensión se. L mtriz es:. Se venden listones con dos cliddes y de dos longitudes. los listones grndes de bj clidd cuestn,75
TEMA 3 DETERMINANTES Matemáticas II 2º Bachillerato 1
Estudios J.Conch ( funddo en 200) ESO, BACHILLERATO y UNIVERSIDAD Deprtmento Bchillerto MATEMATICAS 2º BACHILLERATO Profesores Jvier Conch y Rmiro Froilán TEMA DETERMINANTES Mtemátics II 2º Bchillerto
MATRICES. MATRIZ INVERSA. DETERMINANTES.
DP. - AS - 59 7 Mteátics ISSN: 988-79X 5 6 MATRICES. MATRIZ INVERSA. DETERMINANTES. () Define rngo de un triz. () Un triz de tres fils y tres coluns tiene rngo tres, cóo vrí el rngo si quitos un colun?
MATRICES Y DETERMINANTES. ESTUDIO DE LA COMPATIBILIDAD DE SISTEMAS. APLICACIONES
Mtrices. Estudio de l comptibilidd de sistems Abel Mrtín & Mrt Mrtín Sierr MATRICES Y DETERMINANTES. ESTUDIO DE LA COMPATIBILIDAD DE SISTEMAS. APLICACIONES. Actividd propuest Escribe un mtri A de dimensión
2º BACHILLERATO A TEMA 2. DETERMINANTES. 1.Calcula los determinantes de estas matrices: 2. Determina el valor de x 3 2 3
º BACHILLERATO A TEMA. DETERMINANTES..Clcul los determinntes de ests mtrices:. Determin el vlor de x 4 x 3 3 = b x 5 = 3. Clcul los siguientes determinntes: A = ( 3 5 5 4 B = ( 3 4 b 3 9 3 c 4 3 d 3 3
Determinantes de una matriz y matrices inversas
Determinntes de un mtriz y mtrices inverss Determinnte de un mtriz Está definido solmente pr mtrices cudrds. El determinnte de un mtriz cudrd es un número rel. Definición: Si = [ ij ] es un mtriz de dimensión
TEMA 3 DETERMINANTES Matemáticas II 2º Bachillerato 1
TEMA DETERMINANTES Mtemátics II 2º Bchillerto 1 TEMA DETERMINANTES.1 DETERMINANTES DE ORDEN 2.1.1 DEFINICIÓN: El determinnte de un mtriz cudrd de orden dos es un número que se obtiene del siguiente modo:
CAPÍTULO VIII MATRICES
MTRICES Y DETERMINNTES 23 CPÍTULO VIII MTRICES 8. INTRODUCCIÓN Se da por entendido el concepto de transformación lineal entre dos espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo, y se determina la matriz asociada
Tema 3: Sistemas de ecuaciones lineales
Tem 3: Sistems de ecuciones lineles 1. Introducción Los sistems de ecuciones resuelven problems relciondos con situciones de l vid cotidin, que tiene que ver con ls Ciencis Sociles. Nos centrremos, por
TEMA 1 Matrices MATRICES A... es una matriz de dos filas y tres columnas. El elemento a 2,3 = -3
. DEFINICIÓN. http://mtemticsconsole.wikispces.com/ TE trices TRICES Un mtriz de m fils n columns es un serie ordend de m n números ij, i=,,...m; j=,,...n, dispuestos en fils columns, tl como se indic
MATRICES Y DETERMINANTES
MATRICES Y DETERMINANTES. Introducción Ls mtrices y los determinntes son herrmients del álgebr que fcilitn el ordenmiento de dtos, sí como su mnejo. Los conceptos de mtriz y todos los relciondos fueron
MATRICES Y DETERMINANTES CCNN
NOCIONES BÁSICAS Ls mtrices precen como consecuenci de ordenr los números en form de fils y columns. Ls línes horizontles se llmn fils, mientrs que ls línes verticles se llmn columns. - fil - column Pr
lasmatematicas.eu Pedro Castro Ortega materiales de matemáticas 10. Matrices y determinantes (2) Matemáticas II 2º Bachillerato 2 3 a
Resuelve ls siguientes ecuciones: 4 5 = 0 0 + 6 = 0 0 + 0 = 0 = 0 Hll el vlor de los siguientes determinntes de orden 4: 0 0 0 0 0 0 4 0 0 5 4 0 0 6 0 5 Clcul el vlor de los siguientes determinntes: 0
C Á L C U L O M A T R I C I A L
C Á L C U L O M T R I C I L C O N C E P T O D E M T R I Z T I P O S D E M T R I C E S Se llm mtriz de m fils y n columns tod colección de m x n números reles dispuestos de l form = i m i m j j ij mj n
Colegio San Agustín (Santander) Página 1
Mtemátics ºBchillerto Aplicds ls Ciencis Sociles er evlución. Determinntes ) Clcul el vlor de los siguientes determinntes: ) b) c) ) = (-)+ +(-) [ + (-) (-)+ ]= -++-[6++] = --6-= - b) = (-) + + -[ (-)+
Matrices M - 1 MATRICES. Definición.- Una tabla de mxn elementos de K dispuestos en m filas y n columnas de la forma ...
Mtrices M - - Mtrices Se K un cuerpo MATRICES Definición- Un tl de n eleentos de K dispuestos en fils n coluns de l for recie el nore de tri de diensión n n n n En un tri el eleento ij ocup el lugr deterindo
3º.- Junio i) Producto de matrices: definición, condiciones para su realización. Si A M m n. (la matriz A tiene m filas y n columnas), B M n p
IES EL PILES SELECTIVIDD OVIEDO DPTO. MTEMÁTICS Mtrices deterinntes Mtrices deterinntes. Ejercicios de Selectividd. º.- Junio 99. i) Define rngo de un triz. ii) Un triz de tres fils tres coluns tiene rngo
3º) (Andalucía, Junio, 00) Determina una matriz A simétrica (A coincide con su traspuesta) sabiendo que:
PROLEMS SORE MTRICES. PROFESOR: NTONIO PIZRRO. http://ficus.pntic.mec.es/pis NDLUCÍ-MTEMÁTICS PLICDS LS CCSSII: º) (ndlucí, Junio, 98) Si son dos mtrices culquier, es correct l siguiente cden de igulddes?:
Cálculo matricial ESQUEMA
Cálculo mtricil Cpítulo 1 ESQUEMA Introducción. Objetivos didácticos. 1.1. Mtrices. 1.2. Operciones con mtrices. 1.3. Trnsposición de mtrices. 1.4. Determinntes. 1.5. Desrrollo de un determinnte por los
DETERMINANTES. Cálculo. Menor de una matriz.
DETERMINNTES Tods ls mtrices cudrds tienen erminnte. El erminnte de un mtriz ermin si los elementos de está tienen o no solución únic. Un erminnte de un mtriz de orden n se obtiene medinte el sumtorio
DETERMINANTES. Determinante es la expresión numérica de una matriz. Según el orden de la matriz el determinante se resuelve de distintas formas:
ÁLGEBR Educgui.com DETERMINNTES Determinnte es l expresión numéric de un mtriz. Según el orden de l mtriz el determinnte se resuelve de distints forms: DETERMINNTE DE SEGUNDO ORDEN Pr poder solucionr un
Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Hoja 2: Matrices
Profesor: Miguel Ángel Bez lb (º Bchillerto) Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles II Hoj : Mtrices Operciones: Ejercicio : Encontrr ls mtrices X e Y tles que: 3 X + Y 4 5 X 3Y 7 Ejercicio : 3 5 Dds ls mtrices
Vectores en el espacio 2º Bachillerato. Ana Mª Zapatero
Vectores en el espcio º Bchillerto An Mª Zptero El conjunto R Es un conjunto de terns ordends de números reles R { ( x, y, z ) / x R, y R, z R } Primer componente Segund componente Tercer componente Iguldd
MATRICES Y DETERMINANTES.
punes de. Cbñó MTRICES Y DETERMINNTES. CONTENIDOS: Definición y erminologí básic. Operciones con mrices: sum y produco. Produco de un mriz por un esclr. Mriz opues. Mriz invers. Epresión mricil de un sisem
Resumen de Álgebra. Matemáticas II. ÁLGEBRA
Resumen de Álger. Mtemátics II. ÁLGEBRA.- RESOLUCIÓN DE SISTEMAS. MÉTODO DE GAUSS El método Guss consiste en convertir l mtriz socid un sistem de ecuciones en otr mtriz equivlente tringulr superior, hciendo
AX = B. X es la matriz columna de las variables:
ÁLGEBR MTRICIL PRO. MRIEL SRMIENTO SESIÓN 9: METODO DE ELIMINCIÓN GUSSIN En est sesión, resolvemos sistems de ecuciones lineles de orden x y x. Pr ello escribimos el sistem en término de mtrices, por ejemplo:
MATRICES. 1. Determinar la matriz transpuesta de cada una de las siguientes; , B= , C= 2. Efectúa la siguiente operación con matrices y calcula A
MTRICES. Determinr l mtriz trnspuest de cd un de ls siguientes;,, C 8. Efectú l siguiente operción con mtrices y clcul. Sen 8, y C determinr: ) t C ) (-C) t t c) -C( t -) d) - t -(C). Dds ls siguientes
MATRICES Y DETERMINANTES
Mtrices Tem MATRICES Y DETERMINANTES. DEFINICIÓN Y DESCRIPCIÓN DE MATRICES Un mtriz es un ordención rectngulr de elementos dispuestos en fils y columns encerrdos entre préntesis, por ejemplo A 3 4 Ls mtrices
Área Académica: Algebra Lineal. Profesor(a): Mtro. Joel Alejandro Domínguez Narváez. Periodo: Enero 2012 Junio 2012
Áre Acdémic: Algebr Linel Profesor(): Mtro. Joel Alejndro Domínguez Nrváez Periodo: Enero 212 Junio 212 . Abstrct The liner lgebr is generliztion of the stright line. Is brnch of mthemtics tht studies
Dadas las matrices: y. a) Hallar A 10. b) Hallar la matriz inversa de B. c) En el caso particular de k=0, halla B 10. (PAU Septiembre )
Dds ls mtrices: ) Hllr A. b) Hllr l mtri invers de B. c) En el cso prticulr de k=, hll B. (PAU Septiembre 4-5) ) A = = A = = = O A 4 = A A= O A = O ; lo mismo A 5, A 6 por tnto A = b) B = = ; Es un mtri
a (3, 1, 1), b(1, 7, 2), c (2, 1, 4) = 18,5 u 3
8 Clcul el volumen del prlelepípedo determindo por u(,, ), v (,, ) y w = u v. Justific por qué el resultdo es u v. w = u Ò v = (,, ) (,, ) = (, 6, 5) [u, v, w] = 6 5 u v = 9 + 6 + 5 = 7 = 7 Volumen = 7
DETERMINANTES. det : M nxn
DETERMINNTES L utilidd de los determinntes como representción de reliddes, h sido de grn importnci en ls ciencis sociles, trvés de los modelos mtemáticos, especilmente los formuldos en términos mtriciles.
y B = + Qué valores han de tener "x" e "y" para que las dos matrices sean iguales?
DP. - AS - Mtemátics ISSN: - X www.ulmtemtic.com. Actividd propuest Sen ls mtrices A B Qué vlores hn de tener "" e "" pr que ls dos mtrices sen igules? Aplicndo l definición de iguldd de mtrices, ésts
Donde a los elementos de E y R se les llama vectores y escalares respectivamente, los segundos como coeficientes de los primeros.
4. Espcios vectoriles, definición propieddes Viguers En l Físic, con frecuenci se us el término vector pr descriir mgnitudes como l fuer, l velocidd, l celerción, otros fenómenos de l nturle, sin emrgo
Tema I. Matrices y determinantes
Tema I. Matrices y determinantes 2007 Carmen Moreno Valencia 1. Matrices sobre un cuerpo 2. Operaciones con matrices 3. Determinante de una matriz cuadrada 4. Menor complementario y adjunto 5. Cálculo
Matrices ... Columna 2
Mtrices Mtrices de números reles Definiciones Def Consideremos el cuerpo cuerpo es un conjunto de números donde se puede sumr, restr, multiplicr dividir) de los números reles R Un mtri de números reles
Introducción a Matrices y sus operaciones
Introducción Mtrices y sus operciones Definición Un mtriz es un rreglo rectngulr de vlores llmdos elementos, orgnizdos por fils y columns. Ejemplo: A 3 4 5 2 6 Nots:. Ls mtrices son denotds con letrs myúsculs.
= a 11 a 22 a 12 a 21. = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 21 a 32 a 13
Mtemátics Determntes Resumen DETERMINANTES (Resumen) Defición El determnte de un mtriz cudrd n x n es un número. Se otiene sumndo todos los posiles productos que se pueden formr tomndo n elementos de l
m m = -1 = μ - 1. Halla la Apellidos: Nombre: Curso: 2º Grupo: A Día: 27 - IV - 15 CURSO Opción A
S Instrucciones: EXAMEN DE MATEMATICAS II 3ª EVALUACIÓN Apellidos: Nobre: Curso: º Grupo: A Dí: 7 - IV - 5 CURSO 4-5 ) Durción: HORA y 3 MINUTOS. b) Debes elegir entre relizr únicente los cutro ejercicios
RELACION DE PROBLEMAS DE ÁLGEBRA. Problemas propuestos para la prueba de acceso del curso 1996/ e I =
IES "Jándul" RELACION DE PROBLEMAS DE ÁLGEBRA Prolems propuestos pr l prue de cceso del curso 996/97 º Consider ls mtrices A e I Clcul un mtri X tl que A AX I, clcul, si eiste, l invers de X º Estudi el
ELEMENTOS DE ALGEBRA LINEAL
ELEMENTOS DE ALGEBRA LINEAL Matriz Una matriz de orden o dimensión n x p es una ordenación rectangular de elementos dispuestos en n filas y p columnas de la siguiente forma: a11 a1 a1p a1 a a p A an1 an
Apuntes de A. Cabañó Matemáticas II SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
puntes de. Cbñó Mtemátics II SISTEMS DE ECUCIONES LINELES 8. Epresión mtricil de un sistem.clsificción de un sistem en términos del número de soluciones. 8. Teorem de RouchéFrobenius. 8. El método de eliminción
DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA
DETERMINNTE DE UN MTRIZ CUDRD El determinnte de un mtriz cudrd es un número socido ell y cuyo cálculo depende del orden de dich mtriz. Si es un mtriz cudrd de orden n n, el determinnte de l dich mtriz
FILA COLUMNA. es una matriz de tamaño. La matriz. es una matriz de tamaño :
1) Definición de Mtriz Un mtriz es un rreglo bidimensionl de números (llmdos entrds de l mtriz) ordendos en fils (o renglones) y columns. Arreglo es un conjunto de elementos de un mismo tipo... Un rreglo
MATRICES. En forma simplificada A = ( a ij ) nxm y se le denomina
MTRICES Mtrices de números reles. Definimos mtriz rel de elementos pertenecientes R y de dimensión n fils por m columns, quel conjunto de números reles escritos de l form siguiente: n n mtriz nxm m m nm
DETERMINANTES. Los menores y los cofactores son de gran utilidad para encontrar determinantes de matrices de orden n>1.
DETERINNTES DETERINNTE DE UN TRIZ CUDRD socido cd mtri cudrd h un número llmdo determinnte de, denotdo como det. Los determinntes nos proporcionn un método pr el cálculo de l mtri invers (en cso de eistir)
2º BACHILLERATO CIENCIAS Y TECNOLOGÍA MATEMÁTICAS II EDUARDO CASTRO PERALTA
º BACHILLERATO CIENCIAS Y TECNOLOGÍA MATEMÁTICAS II EDUARDO CASTRO PERALTA I..- MATRICES. Definición de mtriz de orden nxp. Iguldd de mtrices. Tipos de mtrices: fil, column, rectngulr, cudrd, digonl, tringulr,
Espacios vectoriales y Aplicaciones Lineales II: Núcleo e imagen. Diagonalización. Ker(f) = {x V f(x) = 0} Im(f) = {f(x) x V}.
UNIVERSIDAD DE JAÉN ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Deprtmento de Mtemátics (Áre de Álgebr) Curso 28/9 PRÁCTICA Nº Espcios vectoriles y Aplicciones Lineles II: Núcleo e imgen. Digonlizción. NÚCLEO E IMAGEN
1. Definición de Determinante para matrices cuadradas de orden 2 y de orden 3. Un determinante es un número que se le asocia a toda matriz cuadrada.
Unidd : DETERMINNTES.. Deinición de Determinnte pr mtrices cudrds de orden y de orden. Un determinnte es un número que se le soci tod mtriz cudrd. Determinnte de un mtriz cudrd de orden : El es producto
E V L U C I Ó N www.gonciwo.wordpress.com Wlter Orlndo Gonzles Cicedo SESIÓN DE PRENDIZJE Nº FCULTD DE : ESCUEL PROFESIONL DE : DOCENTE : Wlter Orlndo Gonzles Cicedo CICLO: I SIGNTUR : Lógico Mtemátic
λ = A 2 en función de λ. X obtener las relaciones que deben
Modelo. Ejercicio. Clificción áxi: puntos. Dds ls trices, ) (,5 puntos) Hllr los vlores de pr los que existe l triz invers. ) ( punto) Hllr l triz pr 6. c) (,5 puntos) Resolver l ecución tricil X pr 6.
CURSO DE NIVELACIÓN 2012 EJERCITARIO TEÓRICO DE MATEMÁTICA I
CURSO DE NIVELACIÓN 0 EJERCITARIO TEÓRICO DE MATEMÁTICA I 0 EJERCITARIO TEÓRICO DE MATEMÁTICA I. Con relción l potencición, se firm que es un operción: ) Conmuttiv. ) Distriutiv respecto l sum. 3) Distriutiv
X obtener las relaciones que deben
odelo. Ejercicio. Clificción áxi puntos ) ( punto) Dd l triz y l triz t z y x X otener ls relciones que deen cuplir x, y, z, t pr que l triz X verifique X X. ) (, puntos) Dr un ejeplo de l triz X distint
Junio 2010 (Prueba General) JUNIO 2010 OPCIÓN A
Junio 00 (Prueb Generl) JUNIO 00 OPCIÓN A.- ) Dds ls funciones f () = ln () y g() =, hllr el áre del recinto plno limitdo por ls rects =, = y ls gráfics de f () y g (). b) Dr un ejemplo de función continu
MATEMÁTICAS 2º BACH TECNOL. MATRICES. Profesor: Fernando Ureña Portero MATRICES
CONCEPTO DE MATRIZ Definición: Se denomina matriz A o (a ij ) a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas : Columnas Filas Elemento a ij : Cada uno
Definición Un sistema de m ecuaciones con n incógnitas es un conjunto de ecuaciones como:
Definición Un sistem de m ecuciones con n incógnits es un conjunto de ecuciones como: m ecuciones b b n n n n b m m m mn n m n incógnits términos independientes incógnits Coeficientes del sistem Epresión
SEPTIEMBRE " ( él representa el producto vectorial)? En caso afirmativo, justifíquese. En caso contrario, póngase un ejemplo que lo confirme.
SEPTIEMBRE 99 OPCIÓN A EJERCICIO. Otener ls mtrices A y B tles que cumplen ls siguientes condiciones: B A B A Se trt de un sistem de ecuciones mtriciles, que se puede resolver por culquier método. Pr este
MEDIOS Y MATERIALES. Material Impreso. Pizarra Plumones acrílicos Mota Palabra hablada. Exposición oral. Papelógrafo.
SESIÓN DE PRENDIZJE Nº FCULTD DE : Ciencis Empresriles ESCUEL PROFESIONL DE : dministrción DOCENTE : Wlter Orlndo Gonzles Cicedo CICLO: I SIGNTUR : Lógico Mtemátic FECH: TEMS: Mtrices: definición, orden,
- sen(x) cos(x) cos(x) sen(x)
EXAMEN DE MATEMATICAS II ª ENSAYO (ÁLGEBRA) Apellidos: Nombre: Curso: º Grupo: Dí: CURSO 5-6 Opción A.- ) [ punto] Si A y B son dos mtrices cudrds y del mismo orden, es ciert en generl l relción (A+B)
De preferencia aquella que tenga algún 1 como elemento. Mejor aún si conteniendo el 1 también tiene elementos iguales a cero.
DETERMINANTE DE UNA MATRIZ DE ORDEN O MÁS PREGUNTA Clculr los determinntes siguientes ) ) c) RESOLUCIÓN Pr resolver el determinnte de un mtriz cudrd de orden o más es recomendle plicr el método de Reducción
Análisis de Sistemas Lineales. Controlabilidad y Observabilidad
Análisis de Sistems Lineles Controlbilidd y Observbilidd Contenido Controlbilidd de estdo Trnsformción form cnónic (regulr) controlble, FCC Observbilidd de estdo Trnsformción form cnónic (regulr) observble,
En este tema supondremos al lector familiarizado con las técnicas más elementales de formas bilineales y cuadráticas sobre un espacio vectorial.
Cpítulo 4 El espcio euclídeo 4.1 Introducción En este tem supondremos l lector fmilirizdo con ls técnics más elementles de forms bilineles y cudrátics sobre un espcio vectoril. Definición 4.1.1. Un espcio