2º BACHILLERATO CIENCIAS Y TECNOLOGÍA MATEMÁTICAS II EDUARDO CASTRO PERALTA

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1 º BACHILLERATO CIENCIAS Y TECNOLOGÍA MATEMÁTICAS II EDUARDO CASTRO PERALTA

2 I..- MATRICES. Definición de mtriz de orden nxp. Iguldd de mtrices. Tipos de mtrices: fil, column, rectngulr, cudrd, digonl, tringulr, nul, identidd o unidd, trspuest, simétric y ntisimétric. Operciones con mtrices: sum y producto de mtrices, producto de un mtriz por un esclr. Propieddes. Empleo de ls mtrices como herrmients pr representr y operr con dtos extrídos de tbls y gráficos procedentes de diferentes contextos. Aplicción de ls operciones y de sus propieddes en l resolución de problems extrídos de contextos reles. DEFINICIÓN DE MATRIZ DE ORDEN nxp. IGUALDAD DE MATRICES. Se llm mtriz de orden (o tipo, o dimensión) nxp culquier conjunto de nxp números (normlmente reles) ordendos en n fils y p columns. Un mtriz se represent de culquier de ls forms siguientes: A = ( ) ij i n j p = n n p p np Los elementos de un mtriz son los números que precen en ell. Los subíndices de cd elemento indicn l fil y column en que está situdo. Dos mtrices son igules si son del mismo tipo y los elementos correspondientes en mbs son igules. El conjunto de tods ls mtrices nxp se represent M nxp. TIPOS DE MATRICES: FILA, COLUMNA, RECTANGULAR, CUADRADA, DIAGONAL, TRIANGULAR, NULA, IDENTIDAD O UNIDAD, TRASPUESTA, SIMÉTRICA, Y ANTISIMÉTRICA. º Bch. Ciencis y Tecnologí

3 Un mtriz se llm rectngulr si tiene distinto número de fils que de columns (n p) y cudrd si tiene igul número de fils que de columns (n = p). Pr ls mtrices cudrds es suficiente decir que son de orden n. En un mtriz cudrd son importntes l digonl principl que está formd por los elementos con índices igules (i = j) y l digonl secundri que está formd por los elementos cuyos índices cumplen que i + j = n +. (Son ls dos digonles del cudrdo que form l mtriz). Un mtriz cudrd se llm tringulr superior si todos los elementos que están situdos por debjo de l digonl principl son nulos ( ij = 0 si i > j) y tringulr inferior si todos los elementos situdos por encim de l digonl principl son nulos ( ij = 0 si i < j). Un mtriz cudrd se llm digonl si todos los elementos situdos fuer de l digonl principl son nulos ( ij = 0 si i j). L mtriz identidd o unidd de orden n, I n, es l mtriz digonl cuy digonl principl está formd sólo por unos ( ii = i). Un mtriz cudrd se llm simétric si sus elementos simétricos respecto l digonl principl son igules, es decir, si ij = ji i,j. (Si doblándol por l digonl principl coincide consigo mism). Un mtriz cudrd se llm ntisimétric o hemisimétric si sus elementos simétricos respecto l digonl principl son opuestos, es decir, si ij = - ji i,j. En un mtriz ntisimétric los elementos de l digonl principl tienen que ser nulos porque, según l definición, h de ser ii = - ii ii = 0 ii = 0. Se llm mtriz fil l que está formd sólo por un fil, es decir, que es del tipo xp. Y mtriz column l que está formd sólo por un column, es decir, que es del tipo nx. L mtriz nul de orden nxp es l que está formd sólo por ceros. Dd un mtriz A = ( ij ) de orden nxp, su mtriz trspuest A t = ( ij ) b es l mtriz de orden pxn cuyos elementos son b ij = ji i,j. Es decir, l que se obtiene poniendo como fils ls columns de l mtriz A y como columns ls fils de l mtriz A. Evidentemente un mtriz cudrd A es simétric si y sólo si A = A t. Y l trspuest de un mtriz ntisimétric es ell mism con todos los signos cmbidos: A t = - A. º Bch. Ciencis y Tecnologí

4 OPERACIONES CON MATRICES: SUMA Y PRODUCTO DE MATRICES, PRODUCTO DE UNA MATRIZ POR UN ESCALAR. PROPIEDADES. SUMA DE MATRICES. PROPIEDADES: Dds dos mtrices del mismo orden nxp: A = ( ij ), B = (b ij ), se define su sum como l mtriz del mismo orden nxp que se obtiene sumndo entre sí los elementos correspondientes de ls dos mtrices. A + B = ( ij + b ij ) L sum de mtrices nxp es intern en el conjunto M nxp y demás tiene ls siguientes propieddes (por tenerls los números reles): ) Asocitiv: (A + B) + C = A + (B + C) ) Conmuttiv: A + B = B + A 3) Existe elemento neutro que es l mtriz nul nxp: A + 0 = 0 + A = A 4) Tods ls mtrices tienen elemento simétrico pr l sum. El simétrico de un mtriz A es l mism mtriz con todos los signos cmbidos y se llm mtriz opuest de l mtriz A representándose A: A + (- A) = (- A) + A = 0 Por cumplir ests propieddes ls mtrices nxp con l sum formn un grupo conmuttivo o belino. PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ. PROPIEDADES: Se define el producto de un número rel k (que suele llmrse esclr) por un mtriz nxp A = ( ij ) como l mtriz del mismo tipo nxp que se obtiene multiplicndo todos los elementos de l mtriz A por el número k. k A = (k ij ) Est operción tiene ls siguientes propieddes: ) k (A + B) = k A + k B ) (k + h) A = k A + h A 3) k (h A) = (k h) A 4) A = A Por cumplir ests propieddes (y ls de l sum) se dice que el conjunto M nxp de ls mtrices nxp con l sum y el producto por esclres formn un espcio vectoril de dimensión nxp sobre el cuerpo de los números reles. º Bch. Ciencis y Tecnologí 3

5 PRODUCTO DE MATRICES. PROPIEDADES: Dds un mtriz A = ( ij ) de orden nxp y otr B = (b ij ) de orden pxq se define el producto de A por B (en ese orden) como l mtriz A B = (c ij ) de tipo nxq cuyos elementos se obtienen multiplicndo ls fils de l mtriz A por ls columns de l mtriz B, es decir: c ij = p ik k = Nótese que pr poder multiplicr dos mtrices tiene que coincidir el número de columns de l primer con el de fils de l segund. b kj Est operción tiene ls propieddes: Asocitiv: (A B) C = A (B C) Distributiv respecto l sum por mbos ldos: A (B + C) = A B + A C (A + B) C = A C + B C Pero no tiene l propiedd conmuttiv por ls siguientes rzones:.- veces es posible hcer un producto pero no el otro. (si A es x3 y B 3x4, puede hcerse A B pero no B A)..- pudiendo hcer los dos los resultdos pueden ser de tipos distintos. (si A es x3 y B 3x el producto A B será x y el B A 3x3). 3.- pudiendo hcer los dos y siendo los resultdos del mismo tipo no tienen por qué ser igules. Si nos restringimos mtrices cudrds de orden n tmbién es un operción intern y demás tiene elemento neutro (l mtriz identidd de orden n I n ), por lo que el conjunto M nxn de ls mtrices cudrds de orden n con l sum y el producto formn un nillo unitrio no conmuttivo que demás tiene divisores de cero (elementos no nulos cuyo producto es l mtriz nul). En generl no existe inverso pr el producto. Más delnte se verá qué condiciones debe cumplir un mtriz cudrd pr tener invers (ser regulr) y quien es es invers en cso de existir. NOTA: Ls dos últims pregunts de este tem son totlmente práctics por lo que no precisn de ningún desrrollo teórico. º Bch. Ciencis y Tecnologí 4

6 I..- DETERMINANTES. Definición de determinnte. Cálculo de determinntes de orden y 3. Regl de Srrus. Definición de menor complementrio y de djunto de un elemento. Desrrollo de un determinnte por los elementos de un líne. Propieddes elementles de los determinntes. DEFINICION DE DETERMINANTE. CÁLCULO DE DETERMINANTES DE ÓRDEN Y 3. REGLA DE SARRUS. El determinnte de un mtriz cudrd es un número socido ell que se clcul de l form siguiente: Dd un mtriz cudrd de orden : A =, se define su determinnte como el número: det(a) = A = =. Es decir, el producto de los elementos de l digonl principl menos el producto de los elementos de l digonl secundri. 3 Dd un mtriz cudrd de orden 3: A = 3, se define su determinnte como el número: det(a) = A = = = Est expresión se conoce como regl de Srrus y es muy fácil de recordr y que puede interpretrse gráficmente de culquier de ls forms siguientes: º Bch. Ciencis y Tecnologí 5

7 DEFINICION DE MENOR COMPLEMENTARIO Y DE ADJUNTO DE UN ELEMENTO. DESARROLLO DE UN DETERMINANTE POR LOS ELEMENTOS DE UNA LÍNEA. DEFINICIÓN DE MENOR COMPLEMENTARIO Y DE ADJUNTO DE UN ELEMENTO: Dd un mtriz cudrd A de orden n, se llm menor complementrio del elemento ij, representándolo ij, l determinnte de l submtriz de orden n que se obtiene l suprimir en l mtriz A l fil i y l column j (quells en ls que está el elemento ij ). Se llm djunto (o menor complementrio con signo) del elemento ij, representándolo A ij, l número : A ij = (- ) i + j ij Es decir, l menor complementrio fectdo de un signo + o según l sum de los índices (i + j) se pr o impr. Se llm mtriz djunt de l mtriz A l mtriz cudrd del mismo tipo cuyos elementos son los djuntos de los elementos de l mtriz A: dj (A) A A = A n A A A n A A A n n nn DESARROLLO DE UN DETERMINANTE POR LOS ELEMENTOS DE UNA LÍNEA: Pr un mtriz cudrd de orden 3 se verific que el vlor de su determinnte puede clculrse como l sum de los productos de los elementos de culquier fil o column por sus djuntos correspondientes. Por ejemplo, si usmos l primer fil, serí: A + A + 3 A 3 = (- ) + + (- ) (- ) = 3 3 = = + 3 = 3 = ( ) ( ) + 3 ( 3 3 ) = = = det(a). Como se dijo ntes, se obtiene el mismo resultdo con culquier otr fil o column, y es propiedd se utiliz pr generlizr l definición de determinnte mtrices cudrds de culquier orden n medinte el siguiente teorem (que no demostrmos): º Bch. Ciencis y Tecnologí 6

8 TEOREMA: El determinnte de un mtriz cudrd de orden n puede obtenerse como l sum de los productos de los elementos de culquier fil o column por sus correspondientes djuntos. A = i A i + i A i +. + in A in i (desrrollo por l fil i) = j A j + j A j +. + nj A nj j (desrrollo por l column j) Tmbién se cumple el siguiente teorem, de enuncido precido, pero resultdo totlmente distinto: TEOREMA: En culquier mtriz cudrd l sum de los productos de los elementos de culquier fil o column por los djuntos de un prlel es 0. Tmpoco lo demostrmos, unque puede comprobrse fácilmente en mtrices de orden 3. PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES. Tods ls propieddes se demuestrn pr determinntes de orden simplemente hciendo ls operciones, pero pr lguns veremos l demostrción generl pr orden n..- El determinnte de un mtiz cudrd coincide con el de su trspuest: A = A t Como consecuenci de est propiedd tods ls propieddes que sen cierts pr ls fils de un determinnte tmbién lo serán pr ls columns y vicevers..- Si todos los elementos de un fil o column son ceros el determinnte vle 0. Bst con desrrollrlo por es fil o column. 3.- Si se multiplicn o dividen todos los elementos de un fil o column por un mismo número (distinto de 0 si se divide) el determinnte qued multiplicdo o dividido por ese número. Tmbién es suficiente desrrollrlo por es fil o column. 4.- Si se cmbin entre sí dos fils o columns el determinnte cmbi de signo. º Bch. Ciencis y Tecnologí 7

9 5.- Si en un mtriz cudrd hy dos fils o columns igules el determinnte vle 0. Cmbindo entre sí ess dos fils o columns quedrí A = - A A = 0 A = Si un fil o column es múltiplo de otr el determinnte vle 0. Es consecuenci de ls propieddes 5 y Si todos los elementos de un fil o column son sum de vrios sumndos el determinnte es igul l sum de los determinntes que se obtienen sustituyendo es fil o column por sus primeros, segundos,, sumndos. 8.- (Un combinción linel de ls fils o columns de un mtriz consiste en multiplicr cd un de ells por un número y sumr los resultdos) Si un fil o column es combinción linel de ls demás el determinnte vle 0. Es consecuenci de ls propieddes 7 y Si un fil o column se le sum un combinción linel de ls demás el determinnte no vrí. Es consecuenci de ls propieddes 7 y El determinnte del producto de dos mtrices cudrds de orden n es igul l producto de sus determinntes: A B = A B.- El determinnte de un mtriz tringulr o digonl es igul l producto de los elementos de su digonl principl. NOTA: En el cso de un mtriz cudrd de orden (formd sólo por un único número) su determinnte es ese número. ( 3) A 3 A = = º Bch. Ciencis y Tecnologí 8

10 I.3.- APLICACIONES DE LOS DETERMINANTES. Rngo de un mtriz: definición y cálculo del rngo de un mtriz prtir de sus menores y por el método de Guss. Definición de mtriz invers de un mtriz cudrd. Condición necesri y suficiente pr l existenci de l mtriz invers. Propieddes de l mtriz invers. Cálculo de l mtriz invers. RANGO DE UNA MATRIZ: DEFINICIÓN Y CÁLCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ A PARTIR DE SUS MENORES Y POR EL MÉTODO DE GAUSS. Se dice que vris fils o columns de un mtriz (no necesrimente cudrd) son linelmente dependientes si lgun de ells es combinción linel de ls demás. Y que son linelmente independientes en cso contrrio, es decir, si ningun de ells es combinción linel de ls demás. Se llm rngo por fils de un mtriz l número máximo de fils linelmente independientes que hy en es mtriz. Y rngo por columns l número máximo de columns linelmente independientes que hy en ell. En un mtriz A de orden nxp se llm menor de orden r l determinnte de culquier submtriz cudrd de orden r que se obteng prtir de l mtriz A suprimiendo en ell n r fils y p r columns. Se llm rngo por menores de un mtriz A l orden del myor menor no nulo que conteng. Por tnto el rngo es r si y sólo si en l mtriz hy un menor de orden r no nulo y todos los de orden r + son nulos. Se puede demostrr que en culquier mtriz coinciden los rngos por fils, por columns y por menores. CÁLCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ A PARTIR DE SUS MENORES:Como regl práctic pr el cálculo del rngo de un mtriz prtir de sus menores puede hcerse lo siguiente:.- si lgun fil o column está formd por ceros o es combinción linel de ls demás se suprime ( efectos de clculr el rngo)..- se busc un menor de orden r (normlmente ) no nulo. 3.- se v orlndo ese menor (ñdiéndole un fil y un column). Si se consigue lgún menor de orden r + no nulo se repite con él el proceso y si no se consigue el rngo de l mtriz es r. º Bch. Ciencis y Tecnologí 9

11 CÁLCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ POR EL MÉTODO DE GAUSS: L generlizción del concepto de mtriz tringulr superior es el de mtriz esclond que es quell en l que el primer elemento no nulo de cd fil está ms l derech que el primer elemento no nulo de l fil nterior. Por ejemplo: A = B = Se puede demostrr que en un mtriz esclond su rngo es igul l número de fils no nuls que teng: r(a) = 3, r(b) =. Y tmbién se puede demostrr que en un mtriz pueden efecturse un serie de trnsformciones que no hcen vrir el rngo de l mtriz. Ests trnsformciones son:.- intercmbir entre sí dos fils (o columns).- multiplicr o dividir un fil (o column) por un número distinto de sumr un fil (o column) un múltiplo de otr (o un combinción linel de ls demás). El método de Guss pr clculr el rngo de un mtriz consiste en plicrle ests trnsformciones pr convertirl en esclond y entonces, como dijimos ntes, su rngo será el número de fils no nuls que teng. Evidentemente, según se deduce de l definición de rngo, ntes de empezr hcer trnsformciones (o en culquier momento) podemos eliminr ls fils (o columns) que estén formds sólo por ceros o sen múltiplo de otr o combinción linel de ls demás. º Bch. Ciencis y Tecnologí 0

12 DEFINICIÓN DE MATRIZ INVERSA DE UNA MATRIZ CUADRADA. CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE PARA LA EXISTENCIA DE INVERSA. PROPIEDADES DE LA MATRIZ INVERSA. CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA. Hemos visto que ls mtrices cudrds de orden n con l sum y el producto de mtrices formn un nillo unitrio no conmuttivo en el que el elemento neutro pr el producto es l mtriz unidd o identidd de orden n: I n. Nos fltb estudir si ls mtrices cudrds tienen simétric pr el producto (invers) y quién es es invers en cso de existir. L mtriz invers de un mtriz cudrd A será otr mtriz cudrd A -, si existe, que cumpl que: A A - = I n y A - A = I n L condición necesri y suficiente pr que un mtriz cudrd teng invers viene expresd por el siguiente TEOREMA: Un mtriz cudrd A de orden n es inversible si y sólo si su determinnte es distinto de cero. A - A 0 Vmos demostrr sólo que si l mtriz A tiene invers su determinnte es distinto de cero: Por definición si existe invers ést cumplirá que A A - = I n, y que A - A = I n. Prtiendo de un culquier de ess igulddes tenemos que A A - = I n A A - = I n A A - = A 0 (y tmbién A - ) Como consecuenci de este teorem se cumple que un mtriz A de orden n es inversible si y sólo si su rngo es n, y que mbs condiciones equivlen que el determinnte de l mtriz se distinto de 0. En cso de existir ls mtrices inverss cumplen ls siguientes propieddes:.- L invers del producto de dos mtrices cudrds e inversibles de orden n es el producto de sus inverss en orden contrrio: (A B) - = B - A -..- L invers de l invers es l mtriz originl: (A - ) - = A. 3.- L invers de un mtriz cudrd, si existe, es únic. Ls mtrices cudrds que tienen invers se llmn regulres y ls que no singulres. º Bch. Ciencis y Tecnologí

13 OBTENCIÓN DE LA MATRIZ INVERSA APLICANDO LA DEFINICIÓN: Pr clculr l invers podemos plicr l definición: l invers de un mtriz cudrd A, si existe, será otr mtriz cudrd A - (del mismo tipo) que cumpl que A A - = A - A = I n. Entonces, considerndo como incógnits los elementos de l mtriz A -, se plnte un sistem de ecuciones. Si hy solución obtenemos l invers A - y si no hy solución l mtriz A no tiene invers. NOTA IMPORTANTE: L mtriz A - tiene que cumplir que A A - = I n y que A - A = I n. Como sólo plntemos un de ls dos igulddes no hy que olvidrse de comprobr que los vlores que se obtienen l resolver el sistem tmbién cumplen l otr iguldd y que, de no cumplirl, l mtriz obtenid no serí l invers de A. (Esto se debe que el producto de mtrices no es conmuttivo). El cálculo de l invers de un mtriz cudrd plicndo l definición puede llevr sistems grndes (simplemente si l mtriz es de orden 4 el sistem tiene 6 ecuciones y 6 incógnits) cuy resolución d bstnte trbjo. Hy otros métodos, que permiten obtener l mtriz invers de un form bstnte sencill. º Bch. Ciencis y Tecnologí

14 CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA USANDO DETERMINANTES: Si un mtriz cudrd A tiene invers es invers puede clculrse de l form siguiente (que no demostrmos): A = n n n n nn A = A A A A n A A A n A A A n n nn Es decir, efectundo los psos siguientes:.- se clcul l mtriz djunt de A (l formd por los djuntos de los elementos de l mtriz A)..- se clcul l trspuest de es mtriz djunt. 3.- se dividen todos los elementos de es mtriz por el determinnte de l mtriz A. NOTA: los dos primeros psos pueden efecturse en culquier orden. CÁLCULO DE LA MATIZ INVERSA POR EL MÉTODO DE GAUSS: Prtimos de l mtriz formd por l mtriz cudrd A, cuy invers queremos clculr, y su ldo ponemos l mtriz identidd del mismo orden que A. Est mtriz se llm mtriz mplid y se represent (A/I): A est mtriz se le plicn un serie de trnsformciones u operciones elementles hst llegr otr mtriz de l form (I/B): L mtriz B, sí obtenid, es l invers de l mtriz A. Ls trnsformciones u operciones elementles que se pueden hcer son: Intercmbir entre sí dos fils. Multiplicr (o dividir) un fil por un número distinto de 0. Sumrle un fil un múltiplo de otr. º Bch. Ciencis y Tecnologí 3

15 Vemos un ejemplo: Como se h visto en el ejemplo, pr clculr un mtriz invers por el método de Guss se hce lo siguiente (usndo ls trnsformciones citds ntes):.- conseguir que el elemento vlg..- prtir de ese elemento conseguir que todos los demás de l primer column vlgn hcer lo mismo con el elemento y l segund column, etc. Si en lguno de los psos del cálculo de l mtriz invers de A prece un fil de ceros o dos fils proporcionles en l prte izquierd de l mtriz mplid, entonces l mtriz A no tiene invers. º Bch. Ciencis y Tecnologí 4

16 APÉNDICE COMPROBACIÓN DE QUE LA MATRIZ A - INVERSA DE LA MATRIZ A. ES, EFECTIVAMENTE, LA Pr ello hbrí que comprobr que se cumple que A A - = I n, y que A - A = I n. Como ls dos demostrciones son igules vmos ver sólo l primer: = n A A A n A A A A.. A A A A n n nn A A A = n n n n n n A A A A A n A n A.. nn A A A n A A A.... A A n n n nn A A A A A A A A A n n n n A n A A n A = A nn A A n A A n n n n A n A A n A.... A A n +.. n n nn A A A nn nn nn Los numerdores de los elementos situdos en l digonl principl son l sum de los productos de los elementos de cd fil de l mtriz por sus djuntos luego son igules l vlor del determinnte de l mtriz, mientrs que los numerdores de los demás elementos son l sum de los productos de los elementos de cd fil de l mtriz por los djuntos de un prlel luego vlen cero. En consecuenci qued: A 0 0 A A A A A A A A A = = I = 0 0 A 0 0 A A A n º Bch. Ciencis y Tecnologí 5

17 I.4.- SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. Definición de sistem de n ecuciones lineles con p incógnits. Definición de su solución. Sistems de ecuciones equivlentes. Sistems homogéneos. Form mtricil de un sistem de ecuciones lineles. Clsificción de los sistems tendiendo l número de soluciones. DEFINICIÓN DE UN SISTEMA DE n ECUACIONES LINEALES CON p INCÓGNITAS. DEFINICIÓN DE SU SOLUCIÓN. SISTEMAS HOMOGÉNEOS. Un sistem de n ecuciones lineles (de primer grdo) con p incógnits es culquier expresión de l form n x x x n x x x p p np x p p p = b = b donde los ij son números reles que se llmn coeficientes del sistem, los b i son tmbién números reles que se llmn términos independientes y ls x j son ls incógnits del sistem. x x = b n Si todos los términos independientes son nulos el sistem se llm homogéneo. Se llm solución del sistem culquier conjunto de p números reles s, s,, s p (uno por cd incógnit) que, sustituidos en lugr de ls incógnits, cumpln tods ls ecuciones del sistem. Resolver un sistem es verigur si tiene solución y, en cso firmtivo, hllr tods ls que teng. Y son conocidos los métodos de reducción, igulción y sustitución pr resolver sistems de ecuciones lineles. Existen otros métodos de los que en este curso se verán el de Crmer y el de Guss. º Bch. Ciencis y Tecnologí 6

18 SISTEMAS DE ECUACIONES EQUIVALENTES. Dos sistems de ecuciones, con ls misms incógnits, se llmn equivlentes si tienen ls misms soluciones. (Pueden tener distinto número de ecuciones). Muchos métodos de resolución de sistems, como el de reducción, se bsn en plicr l sistem un serie de trnsformciones que permitn convertirlo en otro equivlente pero de resolución más sencill. Ls trnsformciones que permiten convertir un sistem en otro equivlente son:.- Si se multiplicn o se dividen los dos miembros de un ecución por un mismo número distinto de 0 se obtiene un sistem equivlente..- Si un ecución se le sum un combinción linel de ls demás se obtiene un sistem equivlente. 3.- Si en un sistem se suprime (o se ñde) un ecución que se combinción linel de tods ls del sistem se obtiene un sistem equivlente. Evidentemente, tmbién el cmbir de orden ls ecuciones o sumrle los dos miembros de un de ells un mismo número o expresión lgebric llevn un sistem equivlente l inicil. FORMA MATRICIAL DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES. Ddo un sistem de n ecuciones lineles con p incógnits se pueden considerr ls siguientes mtrices: A = n n p p np X x x = x p b b B = b n que se llmn respectivmente mtriz del sistem o de los coeficientes (nxp), mtriz de ls incógnits (px) y mtriz de los términos independientes (nx), sí como l mtriz mplid (nx(p + )): º Bch. Ciencis y Tecnologí 7

19 ( A B) = n n p p np b b b n Con lo que el sistem puede escribirse en l form llmd mtricil (usndo mtrices): A X = B n n p p np x x x p b b = b n Y tmbién, si representmos por C j ls columns de l mtriz del sistem, podemos escribir el sistem en l llmd form vectoril: C x + C x +. + C p x p = B n x + x n p p +. + x np p b b = b n CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS ATENDIENDO AL NÚMERO DE SOLUCIONES. Como vimos ntes, resolver un sistem es verigur si tiene lgun solución y, en cso firmtivo, hllrls tods. Un sistem se llm comptible si tiene lgun solución e incomptible si no tiene ningun. Los sistems comptibles se dividen en determindos si l solución es únic (un único vlor pr cd incógnit) e indetermindos si tienen vris soluciones (en cuyo cso son infinits). Evidentemente los sistems homogéneos son siempre comptibles porque tienen l menos l llmd solución trivil: x = x =. = x p = 0. º Bch. Ciencis y Tecnologí 8

20 I.5.- DISCUSIÓN Y RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. Discusión y resolución de sistems de ecuciones lineles. Enuncido del teorem de Rouché-Frobenius. Enuncido de l regl de Crmer. Discusión y resolución por el método de Guss. Discusión y resolución de sistems de ecuciones lineles con un prámetro.. ENUNCIADO DEL TEOREMA DE ROUCHÉ-FROBENIUS. Este teorem, que vmos enuncir continución, nos permite sber, ntes de ponernos resolverlo, si un sistem v tener soluciones o no, lo cul puede evitrnos un trbjo inútil. TEOREMA DE ROUCHÉ-FROBENIUS: L condición necesri y suficiente pr que un sistem de n ecuciones lineles con p incógnits se comptible es que coincidn los rngos de l mtriz del sistem y de l mtriz mplid. Sistem comptible r(a) = r(a B) r.m.s. = r.m.. ENUNCIADO DE LA REGLA DE CRAMER. Como dijimos ntes, l Regl de Crmer es un nuevo método pr resolver sistems de ecuciones lineles. Es muy sencillo de utilizr pero tiene el inconveniente de que sólo es válido pr un tipo prticulr de sistems llmdos sistems de Crmer. Ms delnte veremos cómo se resuelve este problem trnsformndo culquier sistem en uno de Crmer. Un sistem de ecuciones lineles se llm de Crmer si cumple dos condiciones:.- tiene el mismo número de ecuciones que de incógnits: n = p. (Con lo que l mtriz del sistem es cudrd)..- l mtriz del sistem es inversible, o lo que es lo mismo, su determinnte es distinto de 0: A 0 (o tmbién: el rngo de l mtriz del sistem es n). º Bch. Ciencis y Tecnologí 9

21 TEOREMA: Todo sistem de Crmer es comptible determindo (tiene solución y es solución es únic). Escribiendo el sistem en form mtricil AX = B y teniendo en cuent que l ser un sistem de Crmer l mtriz del sistem tiene invers: AX = B A - AX = A - B I n X = A - B X = A - B Luego existe solución, que es el producto A - B y evidentemente ese producto tiene un único vlor, por lo que l solución es únic. Los sistems de Crmer pueden resolverse plicndo lo obtenido en el teorem nterior: X = A - B, que suele llmrse resolución mtricil, pero es más cómodo y fácil plicr el método siguiente (que no demostrremos): REGLA DE CRAMER: En un sistem de Crmer el vlor de culquier incógnit puede obtenerse como el cociente entre el determinnte de l mtriz que se obtiene sustituyendo en l mtriz del sistem l column de los coeficientes de es incógnit por l de los términos independientes y el determinnte de l mtriz del sistem. x i = n n i i n i A b b b n i+ i+ n i+ n n nn DISCUSIÓN Y RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. Discutir un sistem es estudirlo y clsificrlo según el número de soluciones, pero sin resolverlo. Lo que vmos hcer quí es discutir y ver l form de resolver (con l Regl de Crmer) los distintos tipos de sistems lineles que podmos encontrr. Si un sistem de n ecuciones lineles con p incógnits es comptible los rngos de l mtriz del sistem y de l mplid tienen el mismo vlor r (teorem de Rouché- Frobenius). Como el rngo es el número máximo de fils o de columns independientes evidentemente r h de ser menor o igul que n y que p. Por lo tnto los distintos csos que pueden plnterse y que vmos estudir son:.- r = p = n..- r = p < n. 3.- r = n < p. 4.- r < p < n. 5.- r < n < p. 6.- r < p = n. º Bch. Ciencis y Tecnologí 0

22 .- r = p = n. En este cso l mtriz es cudrd (n = p) y su determinnte es distinto de 0 (r = n), por lo que se trt de un sistem de Crmer, es decir, comptible determindo, que se resuelve plicndo l regl de Crmer..- r = p < n. En este cso en l mtriz del sistem hy un menor de orden r = p no nulo. Ls ecuciones cuyos coeficientes formn ese menor se llmn principles y ls otrs secundris. Al ser r.m.. = r, ls ecuciones secundris son combinciones lineles de ls principles, luego pueden suprimirse quedndo un sistem equivlente l inicil. Y este sistem que qued tiene r ecuciones, r incógnits y rngo r luego se trt, de nuevo, de un sistem de Crmer, comptible determindo, que se resuelve por l regl de Crmer. 3.- r = n < p. En este cso en l mtriz del sistem hy un menor de orden r = n no nulo. Ls incógnits cuyos coeficientes formn ese menor se llmn principles y ls otrs secundris. Pr cd vlor que tomen ls incógnits secundris qued un sistem de Crmer (n ecuciones, n incógnits ls principles- y rngo n) respecto ls incógnits principles. Luego el sistem originl se resuelve en función de los vlores que puedn tomr ls incógnits secundris plicndo l regl de Crmer. Es un sistem comptible indetermindo con p r grdos de libertd o de indeterminción. 4.- r < p < n. 5.- r < n < p. 6.- r < p = n. En estos csos en l mtriz del sistem hy un menor de orden r no nulo. Por tnto hy n r ecuciones secundris y p r incógnits secundris. Como en el cso ls ecuciones secundris son combinciones lineles de ls principles luego pueden suprimirse quedndo un sistem de r ecuciones, p incógnits y rngo r que se resuelve, como el cso 3, en función de ls incógnits secundris plicndo l regl de Crmer. Se trt, tmbién, de un sistem comptible indetermindo con p r grdos de libertd o de indeterminción. En el cso de sistems homogéneos y sbemos que son siempre comptibles porque tienen l menos l solución trivil x = x =.. = x p = 0, (o, si queremos plicr el teorem de Rouché- Frobenius, porque l estr formd l column de los términos independientes sólo por ceros, evidentemente es r.m.s. = r.m..). L discusión y resolución se hrí exctmente igul con l ventj de que si el sistem es comptible determindo y conocemos l solución sin necesidd de buscrl (l trivil). º Bch. Ciencis y Tecnologí

23 DISCUSIÓN Y RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE GAUSS. El método de Guss (o de eliminción, o de tringulción), que se bs en el de reducción, consiste en plicr l sistem sucesivs trnsformciones que permitn convertirlo en otro equivlente pero tringulr o esclondo, es decir, que su mtriz se tringulr o esclond, con lo que l solución del sistem es inmedit. (En l práctic se puede trbjr sólo con l mtriz mplid). Ls trnsformciones que pueden plicrse son ls misms que pr clculr el rngo de un mtriz por el método de Guss. Ejemplo: x + y z = 6 x + y 3z = 7 3x y z = 6 El método consiste en lo siguiente: º.- Cmbir el orden de ls ecuciones o de ls incógnits pr que el coeficiente de l primer incógnit en l primer ecución se o -. x + y 3z = 7 x + y z = 6 3x y z = 6 º.- A l segund y tercer ecuciones se les sum o rest un múltiplo conveniente de l primer pr que en ells desprezc l primer incógnit x + y 3z = 7 3y + 5z = 8 E E 7y + 8z = 5 E3 3E. Si no se hubier conseguido coeficiente, plicr el método de reducción entre primer y segund ecuciones y entre primer y tercer. 3º.- Se repite el proceso entre l segund y tercer ecuciones con otr incógnit. x + y 3z = 7 y + 35z = 56 7E y + z = 45 3E3 x + y 3z = y + 35 z = 56 z = 7 E 3 E Con lo que l solución es z = -, y =, x = Al plicr el método de Guss podemos encontrrnos con tres csos: º: Quedn tnts ecuciones como incógnits (como en el ejemplo). En este cso l solución es únic (un vlor pr cd incógnit) y se trt de un sistem comptible (con solución) determindo (l solución es únic). º Bch. Ciencis y Tecnologí

24 º: Quedn menos ecuciones que incógnits. En este cso sólo se puede obtener los vlores de uns incógnits en función de los vlores que tomen otrs y se trt de un sistem comptible (con solución) indetermindo (hy infinits soluciones). Ejemplo: x + y + 3z = x + 3y = x + y 3z = 3 3º: Aprece lgun ecución de l form 0 = k, lo cul es bsurdo y signific que el sistem es incomptible (no tiene solución). Ejemplo: x + y + z = x y + z = x + y z = 4 En cso de que el sistem se homogéneo (todos los términos independientes vlen 0) es siempre comptible y que tiene, l menos, l solución trivil (tods ls incógnits igules 0). x + y + z = 0 x + y = 0 Ejemplo x + y y z = 0 = 0 x y = 0 x + y = 0 DISCUSIÓN Y RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON UN PARÁMETRO. Un prámetro no es un incógnit, sino un coeficiente del que desconocemos su vlor. En este cso se trt de clsificr el sistem en función de los vlores que pued tomr ese prámetro; es decir, ver, según los posibles vlores del prámetro, cundo es comptible o incomptible y, en cso de ser comptible, si es determindo o indetermindo. Lo hremos directmente en l práctic sobre csos concretos. º Bch. Ciencis y Tecnologí 3

25 APÉNDICE A) DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DE ROUCHÉ-FROBENIUS. Este teorem dice que l condición necesri y suficiente pr que un sistem de ecuciones lineles se comptible es que coincidn los rngos de l mtriz del sistem y de l mtriz mplid. Es decir: sistem comptible r.m.s. = r.m.. Consideremos el sistem escrito en form vectoril: C x + C x +. + C p x p = B si el sistem es comptible existen números que sustituidos en lugr de ls incógnits verificn es iguldd luego l column de los términos independientes es combinción linel de ls columns de l mtriz del sistem. Por tnto en l mtriz mplid hy el mismo número de columns linelmente independientes que en l del sistem con lo que ls dos tienen el mismo rngo. Como l diferenci entre l mtriz del sistem y l mplid es únicmente l column de los términos independientes, si ls dos mtrices tienen el mismo rngo es column tendrá que ser combinción linel de ls otrs (ls de l mtriz del sistem) y, evidentemente, los coeficientes de es combinción linel serán ls soluciones del sistem, con lo que éste será comptible. B) DEMOSTRACIÓN DE LA REGLA DE CRAMER. L Regl de Crmer dice que : En un sistem de Crmer el vlor de culquier incógnit puede obtenerse como el cociente entre el determinnte de l mtriz que se obtiene sustituyendo en l mtriz del sistem l column de los coeficientes de es incógnit por l de los términos independientes y el determinnte de l mtriz del sistem. x i = n n i i n i A b b b n i+ i+ n i+ n n nn º Bch. Ciencis y Tecnologí 4

26 Vmos ver dos forms distints de demostrrl: ª FORMA: si escribimos l expresión nterior usndo l form vectoril del sistem det ( C,C,,Ci, B,C i +,,C n ) tenemos: x i =. Comprobemos es iguldd: det ( A ) = det n j= ( C,C,,C, B,C,,C ) det i i + n = det C,C n ( C,C,,Ci,C j x j,ci +,,C n ) = x j det( C,C,Ci,C j,ci +,,C n ) j=,,c i, n j= C j x j,c i +,C excepto cundo j = i, los sumndos vlen 0 por ser determinntes con dos columns igules, por tnto es expresión se reduce : x det C,C,,C,C,C,,C x det (A y, despejndo l incógnit: : ( i i i + n ) i ) det ( C,C,,C, B,C,,C ) i = x i = i det ( A ) i + n n = ª FORMA: Al demostrr que los sistems de Crmer son comptibles determindos vimos que l solución puede clculrse hciendo l operción X = A - ΑB. Según eso: A x A x A A = x n A A n A A A A A n A An A b A n b A A b nn n A A x = i i b + A i b A A ni b n y, en es expresión, el numerdor es el determinnte de l mtriz que se obtiene sustituyendo en l del sistem l column de los coeficientes de l incógnit x i por l de los términos independientes como se puede ver, por ejemplo pr x, comprndo ls b mtrices: n n n n nn y b bn n n n nn º Bch. Ciencis y Tecnologí 5

27 II..- VECTORES EN EL ESPACIO. Vectores en el espcio. Operciones. Dependenci e independenci linel de vectores. Producto esclr de dos vectores ( prtir del coseno del ángulo que formn). Propieddes (definido positivo, conmuttivo, distributivo, homogéneo). Interpretción geométric y expresión nlític. Módulo de un vector. Vector unitrio. Ángulo que formn dos vectores. Ortogonlidd. Producto vectoril de dos vectores. Propieddes. Interpretción geométric. Expresión nlític. Aplicciones del producto vectoril l cálculo del áre de prlelogrmos y triángulos. Producto mixto de tres vectores. Propieddes. Interpretción geométric. Expresión nlític. Aplicción del producto mixto de tres vectores l cálculo del volumen de prlelepípedos y tetredros. VECTORES EN EL ESPACIO. OPERACIONES. DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL DE VECTORES. Un vector fijo en el espcio puede definirse como un pr ordendo de puntos o como un segmento orientdo. El primer punto se llm origen o punto de plicción del vector y el segundo extremo del vector. Se llmn crcterístics de un vector fijo los siguientes elementos: - Módulo: que es l longitud del vector. - Dirección: que es l rect sobre l que está o culquier prlel - Sentido: que es l form en que se recorre u orient el segmento entre ls dos posibles. Dos vectores fijos se llmn equipolentes si tienen ls misms crcterístics; es decir, si moviendo uno de ellos de modo que se mnteng siempre prlelo sí mismo puede llevrse coincidir con el otro. Dicho de otr form, si son igules pero tienen distinto origen (hy otrs definiciones equivlentes). L equipolenci de vectores es un relción de equivlenci en el conjunto de todos los vectores fijos del espcio, con lo que éste qued dividido (clsificdo) en un serie de subconjuntos disjuntos (sin nd común), cd uno de los cules está formdo por todos los vectores equipolentes entre sí. Cd uno de estos conjuntos se llm vector libre y cd vector fijo que form prte de un vector libre se puede tomr como representnte del vector libre. Aunque no es excto podrí pensrse que un vector libre es un vector que se mueve libremente por el espcio pero mnteniéndose siempre prlelo sí mismo. º Bch. Ciencis y Tecnologí 6

28 COORDENADAS: Si fijmos en el espcio un sistem de coordends crtesins (ejes perpendiculres y uniddes igules) cd vector libre vendrá ddo por tres números, llmdos coordends del vector, que son ls coordends del extremo del representnte del vector con origen en el origen de coordends. Normlmente por el contexto se deduce fácilmente si hblmos del punto (, b, c) o del vector (, b, c). De modo nálogo como ocurre en el plno, el vector de origen el punto A (x, y, z ) y extremo el punto B (x, y, z ) tiene coordends (x x, y y, z z ). SUMA: Pr sumr dos vectores libres u y v se hce lo siguiente: se tom un representnte de cd uno de ellos de modo que el origen del segundo coincid con el extremo del primero. Entonces el vector sum u + v es el vector libre representdo por el vector fijo que une el origen del representnte de u con el extremo del representnte de v. (Tmbién puede utilizrse l regl del prlelogrmo). Est operción es intern, socitiv, conmuttiv, tiene elemento neutro que es el vector 0 (de módulo 0) y todos los vectores tienen simétrico u opuesto pr l sum (el vector v con igules módulo y dirección, pero sentido contrrio). Por tnto, el conjunto V 3 de los vectores libres del espcio con l sum form un grupo conmuttivo. Si los vectores están ddos por sus coordends l sum se hce sumndo entre sí ls coordends correspondientes: (u, u, u 3 ) + (v, v, v 3 ) = (u + v, u + v, u 3 + v 3 ). PRODUCTO POR UN NÚMERO REAL: Se define el producto de un número rel k por un vector v como el vector k v que tiene como módulo k veces el de v ( k v = k v ), l mism dirección que v y sentido igul o contrrio l de v según k se positivo o negtivo. (Evidentemente 0 v = 0). º Bch. Ciencis y Tecnologí 7

29 Est operción tiene ls siguientes propieddes:. k (u + v) = k u + k v. (k + h) v = k v + h v 3. k (h v) = (k h) v 4. v = v En consecuenci, el conjunto V 3 de los vectores libres del espcio con l sum y el producto por números reles constituye un espcio vectoril sobre el cuerpo de los números reles. Si el vector está ddo por sus coordends el producto se efectú multiplicndo tods ls coordends por el número k: k (v, v, v 3 ) = (kv, kv, kv 3 ). DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEALES: Se llm combinción linel de un grupo de vectores libres v, v,.., v n, culquier expresión de l form k v + k v k n v n Siendo los k, k,.. k n números reles. Evidentemente el resultdo de un combinción linel de vectores es otro vector. Dos o ms vectores libres son linelmente dependientes si lguno de ellos se puede escribir como combinción linel de los demás, y son linelmente independientes en cso contrrio; es decir, si ninguno de ellos se puede escribir como combinción linel de los demás. Si los vectores están ddos por sus coordends el estudio de su dependenci o independenci linel se reduce l estudio del rngo de l mtriz que formn l escribirlos (sus coordends) en fils o en columns. PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES ( prtir del coseno del ángulo que formn). PROPIEDADES. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA Y EXPRESIÓN ANALÍTICA. Ddos dos vectores libres no nulos u y v, si escogemos dos representntes de ellos OA y OB con un origen común O, se llm ángulo de los vectores u y v l ángulo AOB. Evidentemente el ángulo no depende de los representntes elegidos debido l equipolenci de vectores. Se represent (u,v). º Bch. Ciencis y Tecnologí 8

30 DEFINICIÓN DEL PRODUCTO ESCALAR: Ddos dos vectores libres u y v se define su producto esclr como el número rel que se obtiene multiplicndo sus módulos por el coseno del ángulo que formn si mbos son distintos del vector 0, y 0 si lguno de ellos es el vector 0. u u v = 0 v cos( u, v) si u, v 0 si u ó v = 0 PROPIEDADES: Ls propieddes ms importntes del producto esclr son:.- Definido positivo: u u u 0, u u = 0 u = 0. u u = u u cos (u,u) = u cos (0) = u 0 por ser el cudrdo de un número; y vldrá 0 si y sólo si el número es el 0, pero el módulo de un vector vldrá 0 si y sólo si el vector es el 0..- Conmuttivo (o simétrico): u v = v u. v u = v u cos (v,u) = v u cos[360º - (u,v)] = u v cos(u,v) = u v 3.- Distributivo (respecto l sum): u (v + w) = u v + u w. 4.- Homogéneo: (k u) v = k (u v). Por cumplir ests cutro propieddes se dice que el producto esclr es bilinel, simétrico y definido positivo. 5.- v 0 v = 0 (relmente es prte de l definición). 6.- Si v es u v = 0, tiene que ser u = 0. En prticulr será u u = 0 u = 0 por l primer propiedd. 7.- u = u u. u u = u u cos(u,u) = u u cos (0) = u u = u u. 8.- Se dice que dos vectores son ortogonles, representándolo u v, si su producto esclr es 0. Por tnto se deduce inmeditmente de l definición l siguiente propiedd: u v son perpendiculres o lguno de ellos es (u + v) (u + v) = u u + u v + v v. 0.- (u v) (u v) = u u u v + v v..- (u + v) (u v) = u u - v v. Ls tres son consecuenci inmedit de l distributiv y l conmuttiv sin más que hcer ls operciones. º Bch. Ciencis y Tecnologí 9

31 .- Desiguldd de Cuchy-Schwrz: (u v) (u u) (v v). (u v) = [ u v cos(u,v)] = u v cos (u,v) u v que el cudrdo de un coseno tom vlores entre 0 y. =(u u) (v v) y INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA: El vlor bsoluto del producto esclr de dos vectores u y v es igul l producto del módulo de uno de ellos por l longitud de l proyección del otro sobre él. Si (u,v) es gudo: Pr oyu v cos( u, v) = v cos( u, v) = Pr oyu v con lo que: v u v = u v cos(u,v) = u Pr oy u v Si (u,v) es obtuso: Pr oyu v cos( u, v) = cos( 80º ( u, v) ) = v cos( u, v) = Pr oyu v con lo que: v u v = u v cos(u,v) = - u Pr oy u v o lo que es lo mismo: - u v = u Pr oy u v Con lo que, en resumen: u v = u Pr oy u v EXPRESIÓN ANALÍTICA: Un vector se llm unitrio si su módulo (longitud) es. A prtir de culquier vector puede obtenerse otro unitrio sin ms que dividir el vector por su módulo (este proceso se conoce como normlizr el vector). Entre los vectores unitrios son especilmente importntes los e, e, y e 3 (los i, j, k de Físic), que formn l llmd bse cnónic de los vectores libres del espcio, cuy importnci rdic en que culquier vector libre v = (v, v, v 3 ) puede escribirse como combinción linel de ellos en l form siguiente: v = v e + v e + v 3 e 3 =v i + v j + v 3 k º Bch. Ciencis y Tecnologí 30

32 Bsándonos en lo que cbmos de decir sobre l bse cnónic y teniendo en cuent que los vectores que l formn son unitrios y ortogonles entre sí, podemos clculr l expresión nlític del producto esclr que no es ms que escribir el producto esclr en función de ls coordends de los dos vectores; es decir: u v = (u i + u j + u 3 k) (v i + v j + v 3 k) = u v (i i) + (u v + u v ) (i j) + (u v 3 + u 3 v ) (i k) + u v (j j) + (u v 3 + u 3 v ) (j k) + u 3 v 3 (k k) pero i i = i =, j j = j =, k k = k =, i j = i k = j k = 0, con lo que qued: u v = u v + u v + u 3 v 3 MÓDULO DE UN VECTOR. VECTOR UNITARIO. ÁNGULO QUE FORMAN DOS VECTORES. ORTOGONALIDAD. MÓDULO. PROPIEDADES: Como dijimos l principio se llm módulo de un vector su longitud. Ahor, teniendo en cuent l expresión nlític del producto esclr y l séptim propiedd del producto esclr, tenemos que: v = v v = v + + v v3 El módulo de un vector cumple, entre otrs, ls siguientes propieddes:.- v 0, v = 0 v = 0..- k v = k v. 3.- v el vector v es unitrio con igul dirección y sentido que v. v 4.- desiguldd tringulr: u + v u + v. u + v = (u + v) (u + v) = u u + u v + v v = u + u v cos(u,v) + v ( u + v ). Y como los dos números que se elevn l cudrdo son positivos, se cumple que: u + v u + v. º Bch. Ciencis y Tecnologí 3

33 VECTOR UNITARIO: Y está visto en l pregunt nterior. ÁNGULO DE DOS VECTORES. ORTOGONALIDAD: Y vimos l principio del tem el ángulo de dos vectores. Ahor, teniendo en cuent l definición de producto esclr y su expresión nlític, podemos obtener el coseno del ángulo en l form siguiente: u v = u v cos( u, v) cos( u, v) = u v u v = u u v + u + u + u 3 3 v v + u 3 + v v 3 + v 3 Y, como dijimos ntes, dos vectores son ortogonles si su producto esclr es 0. Por tnto dos vectores son ortogonles si y sólo si son perpendiculres o lguno de ellos es el vector 0. PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES. PROPIEDADES. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA. EXPRESIÓN ANALÍTICA. APLICACIONES DEL PRODUCTO VECTORIAL AL CÁLCULO DE ÁREAS DE PARALELOGRAMOS Y TRIÁNGULOS. Ddos dos vectores libres del espcio: u = (u, u, u 3 ) y v = (v, v, v 3 ), se define el producto vectoril de u por v (en ese orden) como el vector u v = u v = (u v 3 u 3 v ) i + (u 3 v u v 3 ) j + (u v u v ) k Aunque formlmente se incorrecto y no se pued empler como definición, el producto vectoril puede representrse simbólicmente y recordrlo, como regl práctic, por el desrrollo del siguiente determinnte: i j k u v u v u v 3 3 PROPIEDADES: Ls ms importntes son:.- u v u, v. Es trivil hciendo ls operciones..- v u = - u v 3.- ( k u) v = u (k v) = k ( u v) 4.- u ( v + w) = u v + u w 5.- u u = 0 º Bch. Ciencis y Tecnologí 3

34 6.- u v = 0 si sólo si son dependientes o lguno es el vector 0. Tods ésts se deducen de ls propieddes de los determinntes. 7.- u v = u v ( u v) Es trivil hciendo ls operciones. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA: El módulo del producto vectoril de dos vectores es igul l áre del prlelogrmo que determinn mbos vectores. Teniendo en cuent l últim propiedd vemos que: ( u v) u v = u v = u v ( u v cosα) = u v - u v cos α = u v ( - cos α) = u v sen α, con lo que será u v = u v senα = u h = áre del prlelogrmo. Por tnto el producto vectoril u v es un vector perpendiculr l plno en que están u y v, su longitud es igul l áre del prlelogrmo determindo por u y v, y su sentido viene ddo por l regl del sccorchos (que no demostrmos). EXPRESIÓN ANALÍTICA: L expresión nlític (en función de ls coordends) del producto vectoril es l que hemos visto como definición (podrí hberse ddo otr definición y después llegr l expresión nlític pero serí ms complicdo). APLICACIÓN DEL PRODUCTO VECTORIAL AL CÁLCULO DE ÁREAS DE PARALELOGRAMOS Y TRIÁNGULOS: Como vimos en l interpretción geométric del producto vectoril el áre de un prlelogrmo puede obtenerse como el módulo del producto vectoril de los vectores que lo genern: Áre del prlelogrmo ABCD = AB AD º Bch. Ciencis y Tecnologí 33

35 Y, teniendo en cuent que el áre del triángulo ABC es l mitd de l del prlelogrmo que determinn los vectores AB y AC, su áre será l mitd del módulo del producto vectoril de los vectores determindos por dos de sus ldos: Áre del triángulo ABC = AB AC En consecuenci podemos clculr el áre de culquier figur poligonl sin más que descomponerl en triángulos, clculr ls áres de todos y sumrls: PRODUCTO MIXTO DE TRES VECTORES. PROPIEDADES. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA. EXPRESIÓN ANALÍTICA. APLICACIÓN DEL PRODUCTO MIXTO AL CÁLCULO DEL VOLUMEN DE PARALELEPÍPEDOS Y TETRAEDROS. Ddos tres vectores libres del espcio: u = (u, u, u 3 ), v = (v, v, v 3 ) y w = (w, w, w 3 ), se define el producto mixto de u, v y w (en ese orden) como el número que se obtiene l efectur el producto esclr del vector u por el resultdo del producto vectoril de v por w. [ u, v, w] = ( u, v, w) = u ( v w) Se puede comprobr, simplemente hciendo ls operciones, que el producto mixto de u, v y w coincide con el vlor del determinnte u v w u v w u v w º Bch. Ciencis y Tecnologí 34

36 PROPIEDADES: Ls ms importntes son:.- (u,v,w) = (w,u,v) = (v,w,u) = - (u,w,v) = - (v,u,w) = - (w,v,u)..- (ku,v,w) = (u,kv,w) = (u,v,kw) = k(u,v,w). 3.- (u,v,w + t) = (u,v,w) + (u,v,t). 4.- (u,v,w) = 0 son dependientes o lguno de ellos es el vector 0. Y tods ls que se deducen de ls propieddes de los determinntes. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA: El vlor bsoluto del producto mixto de tres vectores u, v y w es igul l volumen del prlelepípedo que determinn esos tres vectores. Vol = S bse ltur = = w v w u senβ = v u cosα = u ( v w) = [ u, v, w] EXPRESIÓN ANALÍTICA: L expresión nlític (en función de ls coordends) del producto mixto es el determinnte cuyo desrrollo coincide, según dijimos, con el vlor del producto mixto de los tres vectores: [ u v, w], = u v w u v w u v w APLICACIÓN DEL PRODUCTO MIXTO DE TRES VECTORES AL CÁLCULO DEL VOLUMEN DE PARALELEPÍPEDOS Y TETRAEDROS: Como vimos en l interpretción geométric del producto mixto, el volumen de un prlelepípedo puede obtenerse como el vlor bsoluto del producto mixto de los tres vectores que lo genern Volumen del prlelepípedo = = [ AB, AC, AD] º Bch. Ciencis y Tecnologí 35

37 Y teniendo en cuent que el volumen del tetredro ABCD es l sext prte del volumen del prlelepípedo generdo por los vectores AB, AC y AD (ver en el Apéndice l demostrción), su volumen será l sext prte del vlor bsoluto del producto mixto de los tres vectores que lo genern: Volumen del tetredro = [ AB, AC, AD] 6 En consecuenci podemos clculr el volumen de culquier cuerpo poliédrico sin más que descomponerlo en tetredros, clculr los volúmenes de todos y sumrlos. NOTA IMPORTANTE: Pr hcer ejercicios recordr que el volumen de culquier prism (incluido el cilindro) es igul l áre de l bse por l ltur. Y el de culquier pirámide (incluido el cono) es igul un tercio del áre de l bse por l ltur. V prism = S bse ltur V pirámide = Sbse ltur 3 º Bch. Ciencis y Tecnologí 36

38 APÉNDICE º Bch. Ciencis y Tecnologí 37

39 II..- RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO. Ecuciones de l rect. Ecuciones del plno. Posiciones reltivs de dos plnos. Posiciones reltivs de tres plnos. Posiciones reltivs de un rect y un plno. Posiciones reltivs de dos rects en el espcio. ECUACIONES DE LA RECTA. Un rect en el espcio está determind conociendo un punto P (x 0, y 0, z 0 ) de ell y un vector libre v (v, v, v 3 ) que determin su dirección. Pr culquier otro punto X (x, y, z) de l rect se cumplirá que: OX = OP + PX = OP + k v siendo k. Sustituyendo los vectores por sus coordends tenemos l ecución vectoril: (x, y, z) = (x 0, y 0, z 0 ) + k(v, v, v 3 ) Desrrollndo e igulndo coordends tenemos ls ecuciones prmétrics: x = x y = y z = z k v + k v + k v Despejndo el prámetro en ls tres ecuciones prmétrics e igulndo los vlores obtenidos tenemos l ecución continu: 3 x x 0 y y 0 z z 0 = = v v v3 Hy que tener en cuent que l ecución continu en relidd son tres ecuciones de ls que un podrí suprimirse por deducirse de ls otrs dos. Además est ecución no tendrí sentido numérico si lguno de los x y + z denomindores (coordends del vector dirección) vle 0. Ej. : = = En este cso evidentemente no se trt de un iguldd numéric, es sólo un expresión forml pr indicr l rect que ps por el punto (, -, ) con vector dirección (3, 5, 0). Pr evitr errores es preferible no usr l ecución continu en cso de que lgun de ls coordends del vector dirección se 0. Nótese que el vector dirección puede sustituirse por culquier múltiplo no nulo y que sólo indic l dirección de l rect. º Bch. Ciencis y Tecnologí 38