es pa c i o s c o n p r o d U c t o

Transcripción

1 Unidd 5 es p c i o s c o n p r o d U c t o i n t e r n o (n o r M, d i s t n c i ) Objetivos: Al inlizr l unidd, el lumno: Aplicrá los conceptos de longitud y dirección de vectores en R. Aplicrá el concepto de norm de un vector en R n. Aplicrá ls propieddes del producto interno. Aplicrá el concepto de norm en espcios vectoriles con producto interno. Encontrrá el ángulo entre dos vectores en R n y l proyección de un vector sobre otro.

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3 Álgebrlinel Introducción En uniddes nteriores mnejmos diferentes clses de espcios vectoriles, entre ellos definimos los vectores column y vectores renglón como conjuntos ordendos de n números reles pertenecientes l espcio vectoril R n. En est unidd usremos como ejemplos el espcio vectoril R con el fin de introducir dos conceptos nuevos: l norm de un vector y el producto interno de dos vectores. Posteriormente, generlizremos estos conceptos espcios vectoriles diferentes. Iniciremos con el mnejo geométrico del espcio vectoril R tmbién llmdo espcio euclideno El espcio vectoril R : longitud, dirección y distnci Como se definió nteriormente, los vectores del espcio vectoril R son prejs ordends (x, y) de números reles, ls cules podemos representr en el plno crtesino; sin embrgo, pr muchs plicciones que incluyen fuerz, velocidd, celerción, momento, etc., es importnte pensr en un vector no como un punto sino como un entidd que tiene longitud y dirección. Esto nos llev l siguiente definición: Definición 5.1 Sen P y Q dos puntos en el plno crtesino. Entonces el segmento de rect dirigido de P Q, que se denot por PQ, es el segmento de rect que v de P Q. Not que el segmento PQ y el QP son diferentes pues tienen sentidos opuestos (figurs 5.1. y 5.1. b). Figur 1.. Figur 1.b. 169

4 Unidd 5 Al punto P del segmento dirigido PQ terminl. se le llm punto inicil y Q punto Si desplzmos el segmento PQ en form prlel de modo que P se encuentre exctmente en el origen, obtendremos un segmento dirigido equivlente l originl, y que tienen l mism longitud, dirección y el mismo sentido (figur 5.). Figur 5.. Est equivlenci será muy útil y que podremos identificr cd punto P del plno crtesino como un vector dirigido que tiene como punto inicil l origen y P como punto terminl; sus coordends (x, y) se les llm componentes del vector. Ejemplo 1 ) Consideremos l punto O cuys coordends son (0,0); este vector es el vector cero y su representción gráfic es el origen de los ejes coordendos. b) Consideremos el punto P (3,4) y cuy gráfic se observ en l figur 5.3. Figur

5 Álgebrlinel Al inicio de l unidd mencionmos que los vectores del plno tienen longitud y dirección. Intuitivmente entendemos por longitud el tmño del vector, hor definiremos formlmente longitud o mgnitud de un vector. Definición 5. Consideremos un vector v = (,b) en el plno crtesino. Entonces l longitud o mgnitud de v, que se denot por v = mgnitud de v = + b. Observ que l mgnitud es un esclr que siempre es positivo. Est definición no es rbitrri, sino que se deduce directmente del teorem de Pitágors (figur. 5.4), y que si se observ, siempre se formrá un triángulo rectángulo entre los ejes coordendos y el vector de nuestro interés. Figur 5.4. Ejemplo Clculr l mgnitud de los siguientes vectores: ) v = (,) v = + = 4+ 4 = 8 = b) v = ( 3, 3 ) v = ( 3) + ( 3 ) = = 7 = 3 3 Definiremos hor lo que es l dirección; intuitivmente, l dirección es el grdo de inclinción del vector y por lo tnto: Definición 5.3. Se v = (,b) un vector del plno crtesino. L dirección de v se define como el ángulo θ, medido en rdines, que form el vector con el ldo positivo del eje x. 171

6 Unidd 5 Por convenienci se escoge θ de tl mner que 0 θ π. De l figur 5.4 podemos deducir que tnθ = b ; sin embrgo, debemos tener cuiddo, y que l función tngente es periódic con periodo π y por tnto existen vlores de θ que stisfcen tnθ = b en el intervlo de 0 θ π, de tl modo que pr tener un vlor único debemos determinr el cudrnte donde se encuentr el vector. Ejemplo 3 Encontrr l dirección de los siguientes vectores: ) v = (, ) y que tnθ = = 1 y como v se encuentr en el primer cudrnte entonces θ = tn 1 (1) = π/4 b) v = (, ) de tnθ = = 1, y como v se encuentr en el tercer cudrnte por lo que l ángulo θ = tn 1 (1)= π/4 se le debe sumr π pr obtener θ = π/4 + π = 5π/4 17

7 Álgebrlinel c) v = (,) de tnθ = = 1 y como v se encuentr en el segundo cudrnte entonces θ = tn 1 ( 1) = π/4 se le sum π pr obtener θ = π π/4 = 3π/4 d) v = (, ) y que tnθ = = 1 y como v se encuentr en el curto cudrnte, entonces θ = tn 1 ( 1) = π/4 se le sum π pr obtener el ángulo θ = π π/4 = 7π/4 Resumiendo, si el vector se encuentr en el segundo o tercer cudrnte, el b ángulo se obtiene sumndo π l ángulo θ = tn 1 ; si el vector se encuentr b en el curto cudrnte l ángulo θ = tn 1 se le sum π. Cuál será el significdo de multiplicr un vector por un esclr positivo o por uno negtivo? Consideremos el vector v = (1,1), su mgnitud v = = 1 tnθ = = 1 y su dirección es θ = π/4. 1 Tomemos hor el producto del vector por un esclr ddos por u = 3v y 173

8 Unidd 5 w = 3v, entonces u = 3(1,1) = (3,3) y w = 3(1,1) = ( 3, 3) Vmos hor encontrr su mgnitud y dirección. u = = 18 = 3 = 3 v y w = ( 3) + ( 3) = 18 = 3 = 3 v Si α y γ son los ángulos de inclinción de u y w respectivmente, entonces: 3 tnα = = 3 1 y α = π/4, sin embrgo tnγ = 3 3 = 1, pero como w está en el tercer cudrnte γ = 5π/4, eso quiere decir que u tiene l mism dirección que v pero w tiene dirección opuest (vése ls figurs 5.1 b y 5.1 c). De donde podemos generlizr que l multiplicr un vector por un esclr positivo, su mgnitud se multiplic por el esclr y conserv l mism dirección; l multiplicr por un esclr negtivo, su mgnitud se multiplic por el vlor bsoluto del esclr y tiene dirección opuest, es decir, su ángulo ument π rdines. De lo nterior podemos observr que es más comodo tener vectores cuy mgnitud se 1 y trbjr con ellos, lo que nos llev dr l siguiente definición. Definición 5.4. Se v un vector, entonces v se le llm vector unitrio si su mgnitud es 1: v =1 174

9 Álgebrlinel Est definición nos permite tener un crcterizción de los vectores unitrios. Ejemplo 4 Consideremos los vectores cnónicos i = (1,0) y j (0,1) Vmos encontrr su mgnitud i = = 1 j = = 1 por lo que podemos decir que i y j son vectores unitrios. De quí nos surge l siguiente pregunt: ddo un vector culquier, podremos encontrr un vector que teng l mism dirección pero que se unitrio? L respuest es sí, y pr ello retomremos el hecho de lo que signific multiplicr un vector por un esclr. Teorem 5.1. Se v un vector, entonces el vector u = unitrio. v v es un vector Vmos encontrr vectores unitrios prtir de vectores que no lo son usndo el teorem nterior. Ejemplo 5 Consideremos el vector v = (3, ), clculemos su mgnitud v = 3 + = 9+ 4 = 13 entonces definmos l vector u = v v = (, 3) = ( 3/ 13, / 13 ) clculemos l mgnitud de u 13 unitrio. u = ( 3/ 13) + ( / 13) = 913 / + 4/ 13 = 13/ 13 = 1 por tnto u sí es 175

10 Unidd 5 Por último, introduciremos el concepto de distnci entre dos puntos. Pr ello usremos el concepto de geometrí nlític y l relcionremos con el concepto de longitud. Consideremos los siguientes vectores v = (, 3) y u = (1, ); vmos encontrr l distnci entre ellos como puntos en el plno crtesino. Sbemos por geometrí nlític que l distnci entre los puntos (,3) y (1, ) l podemos obtener sustituyendo en l siguiente fórmul: ( x x ) + ( y y ) = ( 1) + ( 3+ ) = 1+ 5 = Si considermos los puntos como vectores, observmos que est distnci se conform scndo l mgnitud del vector formdo por l diferenci entre los vectores u y v. v u = ( 1, 3+ ) = ( 15, ) = = 6 de lo nterior obtenemos l siguiente definición: Definición 5.5. Sen u y v dos vectores, entonces l distnci entre u y v es l longitud del vector v u, es decir: d (v,u) = v u L distnci, definid de est mner, posee ls siguientes propieddes y nos v permitir generlizrl espcios vectoriles distintos de R n. 176

11 Álgebrlinel Teorem 5.. Si d (v,u) = v u es l distnci entre u y v, entonces i) d (v, u) > 0, ii) d (v, u) = 0 si v = u iii) d (v, u) = d (u, v) iv) d (v, u) d (v, w) + d(w, u) (Desiguldd del triángulo) Viendo ls crcterístics que debe cumplir un distnci surge l pregunt, será és l únic form de definir un distnci? L respuest es no. Pondremos ejemplos en ls siguientes secciones. Ejercicio 1 1. Encuentr l mgnitud y dirección de los siguientes vectores: ) x = (3, 4) b) y = ( 1,0) c) u = ( /3, 1/) d) w = (0, 5). Encuentr el vector unitrio que teng l mism dirección que el vector ddo: ) u = (, 3) b) v = ( 3, 4) c) w = (, 3) 3. Encuentr l distnci entre ls siguientes prejs de vectores: ) = ( 1, ), b = (3, ) b) c = (, 3), d = ( 4, 0) c) e = (0, 3), f = (0, ) 5.. Producto interno, ángulo entre vectores en R En l unidd 1 definimos el producto esclr de dos vectores en R n de l siguiente mner: 177

12 Unidd 5 si u = (u 1, u,..., u n ) y v = (v 1, v,..., v n ) son dos vectores en R n, entonces u v = u 1 v 1 + u v u n v n. Si trsldmos este resultdo R tenemos l siguiente definición: Definición 5.6. Sen u = ( 1, b 1 ) y v = (, b ), entonces el producto interno de u y v es u v = 1 + b 1 b. Al producto interno tmbién se le llm producto punto. Recordemos que el producto interno es un número rel l igul que l mgnitud de un vector. Hbrá lgun relción entre ellos? El siguiente teorem nos indic cuál es es relción y nos brind otr mner (que vmos poder generlizr), de encontrr l mgnitud de un vector. Teorem 5.3. Se v un vector de R, entonces v = v v Vmos probr que éste es otro método pr encontrr l mgnitud de un vector: Ejemplo 6 Consideremos el vector v = (3, 5), entonces v = 3 + ( 5) = 9+ 5 = 34 usndo el teorem nterior tenemos que v v = (3)(3) + ( 5)( 5) = = 34 = v y como podemos observr, mbos métodos dn el mismo resultdo. Qué significdo geométrico tendrá el producto interno de dos vectores en R? L siguiente definición nos yudrá clrrlo. 178

13 Álgebrlinel Definición 5.7. Sen u y v dos vectores diferentes de cero. El ángulo θ entre u y v es el ángulo no negtivo más pequeño ( 0 θ π ) que hy entre ellos. Si v = αu, entonces θ = 0 si α > 0 y θ = π si α< 0 (Figur. 5.14). En l figur se observ gráficmente cómo es que se tom el ángulo θ, el más pequeño de los dos ángulos que se form entre dos vectores. El siguiente resultdo nos d un mner de encontrr el ángulo entre dos vectores. Teorem 5.4. Si u y v son dos vectores diferentes de cero y ϕ es el ángulo u v entre ellos, entonces cosϕ= u v Este teorem nos permite tener un expresión pr el producto interno u v= u v cosϕ en términos del ángulo entre dos vectores y sus mgnitudes. En el siguiente ejemplo usremos este teorem pr encontrr el ángulo entre dos vectores. 179

14 Unidd 5 Ejemplo 7 Sen u = (,3) y v = ( 7,1) el producto interno es u v = ()( 7) + (3)(1) = = 11, ls mgnitudes son u = + 3 = 4+ 9 = 13 v = ( 7) + () 1 = = 50 y por lo tnto: cosϕ= u v = u v ϕ = cos 1 11 = = 11 = 11 ( 13)( 50) 650 y Existen prticulriddes entre dos vectores cuyos ángulos son 0, π/ (90 ), π (180 ), 3π/ (70 ) y π (360 ). L siguiente definición nos dice en qué consisten ls prticulriddes. Definición 5.8. Dos vectores diferentes de cero, u y v son: ) prlelos si el ángulo entre ellos es cero o π (180 ) b) ortogonles (perpendiculres) si el ángulo entre ellos es π/ (90 ) o 3π/ (70 ). En el siguiente ejemplo verificremos vectores que son prlelos u ortogonles y posteriormente generlizremos los resultdos obtenidos. 180

15 Álgebrlinel Ejemplo 8 ) Consideremos los vectores u = (,1) y v = (4, ), determin si son prlelos u ortogonles. Vmos encontrr el producto interno u v = ()(4) + (1)() = 8 + = 10; sus mgnitudes u = + 1 = 4+ 1 = 5 y v = ( 4) + ( ) = = 0 y el ángulo que hy entre ellos. u v cosϕ= = = = = u v y ϕ = cos 1 (1) = 0 de donde podemos concluir que u y v son prlelos. b) Consideremos los vectores u = (,1) y v = ( 4, ), determin si son prlelos u ortogonles. El producto interno u v = ()( 4) + (1)( ) = 8 + ( ) = 10; sus mgnitudes u = + 1 = 4+ 1 = 5 y v = ( 4) + ( ) = = 0 y el ángulo que hy entre ellos cosϕ= u v = 10 = 10 = 10 = 1 y ϕ = cos 1 ( 1)= π = 180 u v

16 Unidd 5 de donde podemos concluir que u y v son prlelos. c) Sen u = (,1) y v = ( 1, ), determin si son prlelos u ortogonles. El producto interno u v = ()( 1) + (1)() = + = 0; sus mgnitudes u = + 1 = 4+ 1 = 5 y v = ( 1) + ( ) = 1+ 4 = 5 y el ángulo que hy entre ellos u v cosϕ= = = = = 0 y ϕ = cos 1 (0) = π/ = 90 u v de donde podemos concluir que u y v son ortogonles. En el ejemplo nterior observmos que si los vectores son ortogonles, el coseno de su ángulo es cero, pero como el coseno es un cociente, el numerdor debe ser cero, de donde se desprende el siguiente resultdo: 18

17 Álgebrlinel Teorem 5.5. Dos vectores u y v, diferentes de cero, son ortogonles, si y sólo si, su producto interno es cero, es decir u v = 0. Este resultdo nos v ser muy útil cundo generlicemos l noción de ortogonlidd en espcios vectoriles distintos de R n. Ejemplo 9 Consider l prej de vectores u = ( 3, 4) y v = (, 6), su producto interno u v = ( 3)() + (4)( 6) = 6 + ( 4) = 30, por lo tnto podemos segurr que u y v no son ortogonles. Ejercicio 1. Encuentr el producto interno de ls siguientes prejs de vectores: ) (3, ), (3, 4) b) (0,3), ( 1,0) c) ( 5, 1), (5, 1). Encuentr el ángulo entre ls prejs de vectores del ejercicio nterior. 3. Di si ls siguientes prejs de vectores son prlelos, ortogonles o ningun de ls dos coss: ) (, 4), (1, ) b) (8, 1), ( 1, 8) c) (3, 0), (1,1) 4. Cuáles deberán ser ls coordends del vector u pr que se ortogonl l vector v = (, 3)? 183

18 Unidd Espcios vectoriles no euclidenos con producto interno En est sección generlizremos los conceptos que vimos en ls secciones nteriores espcios vectoriles no euclidenos, es decir, espcios vectoriles que no tengn ningun relción con R n. Comenzremos con el concepto de producto interno. Definición 5.9. Se V un espcio vectoril. Decimos que V tiene producto interno, si pr cd prej de vectores u y v en V existe un esclr único (u, v), llmdo producto interno de u y v que stisfce ls siguientes propieddes: Si u, v y w están en V y α es un esclr; i) (v, v) 0 ii) (v, v) = 0 si y sólo si v = 0 iii) (u, v + w) = (u, v) + (u, w) iv) (u + v, w) = (u, w) + (v, w) v) (u, v) = (v, u) vi) (αu, v) = α(u, v) vii) (u, αv) = α(u, v) Not: En otros textos el producto interno se represent por <v, v> Dremos vrios ejemplos de espcios vectoriles con producto interno. Ejemplo 10 ) Consideremos el espcio vectoril D n de ls mtrices digonles de orden n n. Sen A, B en D n, definimos (A, B) = 11 b 11 + b nn b nn vmos probr que es un producto interno. Sen A, B, C en D n 184 i) (A, A) = nn nn = nn 0 y que todos son cudrdos. ii) (A, A) = 0, entonces nn nn = nn = 0 lo cul sucede sólo si tods ls ii = 0, entonces A es l mtriz cero. iii) (A, B + C) = 11 (b 11 + c 11 ) + (b + c ) nn (b nn + c nn ) = [ 11 b c 11 ] + [ b + c ] [ nn b nn + nn c nn ] = [ 11 b 11 + b nn b nn ] + [ 11 c 11 + c nn c nn ]

19 Álgebrlinel = (A, B) + (A, C) iv) (A + B, C) = ( 11 + b 11 ) c 11 + ( + b ) c ( nn + b nn ) c nn = [ 11 c 11 + b 11 c 11 ] + [ c + b c ] [ nn c nn + b nn c nn ] = [ 11 c 11 + c nn c nn ] + [ b 11 c 11 +b c b nn c nn ] = (A, C) + (B, C) v) (A, B) = 11 b 11 + b nn b nn como el producto de números es conmuttivo, se tiene que: (A, B) = b b b nn nn = (B, A) vi) (αa, B) = α 11 b 11 + α b α nn b nn ; fctorizndo α tenemos que: (αa, B) = α( 11 b 11 + b nn b nn ) = α (A, B) vii) (A, αb) = 11 (α b 11 ) + (α b ) nn (α b nn ); fctorizndo α tenemos que (A, αb) = α( 11 b 11 + b nn b nn ) = α (A, B) Por lo tnto (A, B) = 11 b 11 + b nn b nn stisfce ls crcterístics de producto interno. b) Consideremos C[, b] el espcio vectoril de ls funciones continus en el intervlo [, b]. Definimos en C[, b] (f, g) = producto interno. b f() t g() t dt, vmos probr que es un Sen f, g, h en C[, b], entonces: b b i) ( f, f ) = f() t f() t dt = f () t dt 0, y que f no es negtiv. b ii) ( f, f ) = f () t dt = 0 únicmente si f(t) = 0 b iii) ( f, g+h) = f() t g()+ t ht () dt = f() t g()+ t f() t ht () dt b b ; propiedd de l integrl = f() t gtdt () + f() t htdt () = ( f, g) + ( f, h) b b iv) ( f + g, h) = f()+ t g() t ht () dt = f() t ht ()+ g() t ht () dt b propiedd de l integrl ; = f() t htdt () + g() t htdt () = (f, h) + (g, h) b b 185

20 Unidd 5 b vi) (αf, g) = α f() t gtdt () = α f() t gtdt () = α(f, g) b vii) (f, αg) = f() t[ αgt ()] dt = α f() t gtdt () b = α(f, g) b Por lo nterior (f, g) = b f() t gtdt () es un producto interno en C[,b] Norm. Propieddes En est sección, definiremos y generlizremos el concepto de longitud, tmbién llmdo norm. Definición Se V un espcio vectoril con producto interno definido y u en V. L norm de u, que se denot u está dd por u = ( u, u). Est definición nos muestr un modo de encontrr l longitud de objetos que en prienci no l tienen. Vemos los siguientes ejemplos: Ejemplo 11 ) Consideremos el espcio D 3 con el producto interno definido en el ejemplo 10; encontrremos l norm de un mtriz en D = 50 Se A = en D, entonces (A, A) = ( 5) + 4 = y l norm de A es A = (A,A) = 50 b) Consideremos el espcio P [0,1], de todos los polinomios de grdo menor o igul dos continuos en el intervlo [0, 1]. Como P [0,1] es un subespcio de C[0,1], podemos usr el producto interno definido en el ejemplo 10b. 186

21 Álgebrlinel Se f (t) = t 3t en P [0,1], (f, f) = f () t dt = t 3t dt = t 6t + 9t dt = t 5 t 4 t = 1/5 6/4 + 9/3 = 17/ l norm de f es f = ( f, f ) = 17 / 10 0 por lo tnto podemos decir que: f = ( f, f) = f ( t) dt En el siguiente teorem se enuncin ls propieddes que stisfcen culquier norm independientemente del producto interno del que proveng Teorem 5.6. Se V un espcio vectoril con producto interno, y un norm definid, entonces: i) u 0 ii) u = 0 si y sólo si u = 0 iii) αu = α u iv) u+ v u + v Not que ls primers tres propieddes se deducen de ls propieddes que cumple el producto interno. Vmos probr que se cumple l curt propiedd en un ejemplo. Ejemplo 1 Consideremos el espcio vectoril D 3 con l norm definid en el ejemplo Sen A = y B = en D 3, entonces: A+ B = ( A+ B, A+ B) 187

22 Unidd A + B = 0 0 ; (A + B, A + B) = = 17 de donde: 0 0 A+ B = 17 A = ( A, A) = = 11 y B = ( B, B) = = 14 y por lo tnto que implic A+ B A + B En R vimos que los vectores unitrios tenín crcterístics especiles y ern fáciles de mnejr, sucederá lo mismo en otros espcios vectoriles? Consideremos l siguiente definición, que es un generlizción de l definición de vector unitrio en R. Definición Se V un espcio vectoril con producto interno y se u un vector de V. Decimos que u es vector unitrio si u = 1 Vemos los vectores unitrios de los ejemplos 11 y 11b. Ejemplo 13 Consideremos el espcio D 3 con l norm definid A = ( A, A). Se A = b c Si A es unitrio, entonces: A = ( A, A) = + b + c = 1 eso señl que + b + c = 1. Lo que nos indic que ls mtrices digonles de 3 3 unitris son quells cuy sum de los cudrdos de l digonl es 1. Podremos construir vectores unitrios? L respuest nos l d el siguiente resultdo, que utilizremos más delnte pr construir bses llmds ortonormles. 188

23 Álgebrlinel Teorem 5.7. Se V un espcio vectoril con producto interno y un norm definid. Se u un vector en V, entonces el vector v = u u es un vector unitrio. Este teorem nos proporcion un método pr construir vectores unitrios. Usremos como ejemplo el espcio vectoril de ls mtrices digonles (ejemplo 13). Ejemplo 14 Se A = , entonces su norm es: A = ( A, A) = ( 1) = 14 Construymos el vector unitrio B = A A = 1 14 vmos encontrr l norm de B / = 0 / / 14 B = ( B, B) = ( 3/ 14 ) + ( / 14 ) + ( 1/ 14 ) = 914 / + 4/ / = 1414 / = 1 por lo que efectivmente B es un vector unitrio. 189

24 Unidd 5 Ejercicio 3 1. Encuentr l norm de ls siguientes mtrices en D 3 : ) A = b) B = Us el teorem 5.7. pr construir, prtir del vector f(t) = t +3 de P [0,1] un vector unitrio en P [0,1] 5.5. Distnci. Propieddes Un vez definid l norm de un vector podemos generlizr el concepto de distnci, de l siguiente mner: Definición 5.1. Se V un espcio vectoril con producto interno. Sen u y v elementos de V. L distnci entre u y v se define como l norm de l diferenci de los vectores u y v. d (u, v) = u v Est definición nos permitirá encontrr l distnci entre vectores que no son de R n y en los cules será importnte definir conceptos como discos biertos y discos cerrdos los cules se requieren en conceptos más complejos como límites y derivds en cálculo vectoril. 190 Ejemplo 15 Encontrr l distnci entre ls funciones f(t) = t 3 y g(t) = 5t 1 que son elementos del espcio vectoril C[0, 1] con l norm definid en el ejemplo 11b.

25 Álgebrlinel f g = t 3 ( 5t 1) = t 3 + 5t + 1 = 7t, 1 g = ( 7t ) 4 dt = ( 49t 8t + 4) dt = t t + 4t = + 4 = L distnci cumple cierts propieddes que tienen relción con quells que cumplen tnto l norm como el producto interno del cul está definido. Ests propieddes se muestrn en el siguiente teorem: Teorem 5.8. Sen V un espcio vectoril con producto interno y d un distnci definid en V tl que si u, w y v son vectores de V, entonces: i) d (u, v) 0 ii) d (u, v) = 0 si y sólo si u = v iii) d (u, v) = d (v, u) iv) d( u, w) d (u, v) + d (v, w) Ls tres primers propieddes son consecuenci direct de l definición de l norm; en cunto l curt, es un propiedd conocid como desiguldd del triángulo. Probremos l segund en el cso de ls mtrices digonles en D con l norm definid en el ejemplo 13. Ejemplo 16 Sen A y B mtrices en D, entonces A = supongmos que d (A, B) = 0, esto implic que 0 0 b y B = c 0 0 d, A B = ( A B, A B) = ( c) + ( b d) = 0 de donde ( c) + (b d) = 0, por lo tnto c = b d = 0 esto nos conduce que = c y b = d y A = B. 191

26 Unidd 5 Ejercicio 4 1. Encuentr l distnci entre ls funciones f(t) = 3t + 4 y g(t) = t + 4 de P [0,1] con l distnci definid como en el ejemplo Ángulo entre dos vectores. Proyección de un vector sobre otro Otro de los conceptos que vle l pen generlizr es el de ángulo entre vectores, y que nos proporcion un modo de definir vectores ortogonles, los cules serán importntes en l construcción de bses ortonormles pr un espcio vectoril, pues tienen crcterístics especiles que yudrán en el mnejo de solución de ecuciones usndo vectores y vlores propios. Definición Se V un espcio vectoril con producto interno y sen u, v vectores en V. El ángulo entre u y v es un número rel θ en el intervlo 0 θ π tl que, cosθ = ( uv) u v Vmos encontrr el ángulo entre dos mtrices A y B del espcio vectoril D. Ejemplo Consideremos A = 0 1 y B = A = ( A, A) = + b = 1+ 1 = (A, B ) = 1 + ( ) = 1 B = ( B, B) = + b = 1+ 4 = 5, entonces, cosθ = ( AB ) = 1 = 1 = de donde A B

27 Álgebrlinel θ = Construiremos hor lo que se denomin proyección de un vector sobre otro. En est prte usremos el espcio euclideno R pr ejemplificr el significdo de l proyección, unque l definición se drá pr espcios vectoriles con producto interno culquier. Definición Sen u y v dos vectores diferentes de cero en un espcio vectoril V con producto interno. Entonces l proyección de u sobre v es un ( uv, ) vector denotdo por proy v u que se define como proy v u = v v Hremos un ejemplificción en R pr ver cuál es su significdo. Ejemplo 18 Encontrr l proyección del vector u = (,3) sobre el vector v = (4, 1) (u, v) = 8 3 = 5; v = = 17 entonces ( uv, ) 5 proy v u = v = (4, 1) = (0/17, 5/17) v 17 Observemos que l proy v u es un vector en l mism dirección de v. Este concepto permitirá encontrr l proyección ortogonl de un vector sobre otro, que se mnejrá en l siguiente unidd. 193

28 Unidd 5 Ejercicio 5 1. Sen f, g C[0, 1], encuentr el ángulo entre ls funciones f(t) = t y g(t) = e t.. Encuentr l proyección del vector u = (, 1) sobre el vector v = ( 3, ). 3. Cuál debe ser el ángulo entre u y v pr que proy v u = 0? Ejercicios resueltos 1. Encuentr l mgnitud y dirección del vector u = (5, 1) u = 5 + ( 1) = 5 + 1= 6 tnθ = θ = tn. 5 5 = ' = 608 rdines.. Encuentr el vector unitrio en l mism dirección que v = (1, ): v = 1 + ( ) = 1+ 4 = 5 u = v v = (, 1 ) = (/ 1 5, / 5) 5 Vmos checr que u es unitrio. u = (/ 1 5) + ( / 5) = 15 / + 4/ 5 = 5/ 5 = 1 3. Encuentr el vector unitrio de D prtir de l mtriz B = B = ( B, B) = ( 3) + 1 = 10 Construymos l mtriz A = 1 B B = = 3/ /

29 Álgebrlinel Probremos que l mtriz A es unitri: A = ( A, A) = ( 3/ 10 ) + (/ 1 10 ) = 910 / + 1/ 10 = 1 4. Encuentr l proyección del vector u = (, 5) sobre v = (4, 1) ( uv, ) Según nuestr fórmul proy v u = v. v (u, v) = 8 5 = 3; v = = 17, entonces: proy v u = 3/17(4,1) = (1/17, 3/17). Ejercicios propuestos 1. Encuentr l mgnitud y dirección del vector v = (, 5 ).. Encuentr el vector unitrio en l mism dirección que v = ( 4, 3). 3. Encuentr un vector ortogonl l vector v = (, b) Encuentr l norm de l mtriz A = de D Encuentr un vector unitrio en D 3 prtir de l mtriz A = Encuentr l distnci en P [0,1] entre ls funciones f(t) = t+1 y g(t) = t Encuentr el ángulo entre ls mtrices de D A = 0 1 y B = Encuentr l proyección de u = (1, 0) sobre v = (1, 1) 195

30 Unidd 5 Autoevlución 1. Es l longitud del vector (3, 4): ) 5 b) 7 c) 5 d) 1. L dirección del vector (4, 8) es: ) π b) tn 1 ( 8 4 ) c) 8/4 π 1 8 d) tn ( ) 4 3. El vector unitrio en l dirección de u = (4,3) es: ) (7, 13) b) (8, 6) c) (4/5, 3/5) d) (4/7, 3/7) 4. Es el producto interno de (3,4) y (3, ): ) (3+3)(4+) = 36 b) 3(3) + 4() = 17 c) (3 3)( 4) = 0 d) 3(3) 4() = 1 5. Los vectores (, 1) y (3, 1/) son: ) Ni prlelos ni ortogonles. b) Prlelos. c) Ortogonles. d) Idénticos. 6. Es l expresión pr l proyección del vector u sobre el vector v: ) b) ( uv, ) v v ( vu, ) u u 196

31 Álgebrlinel c) d) ( uv, ) v u ( uv, ) u v 7. Es el producto interno de ls funciones f(t) = t y g(t) = t 3 en C[0, 1]: ) 1/ b) 1/3 c) 1/4 d) 1/5 8. Es l norm de l mtriz ) 3 b) 77 c) 77 d) en D 3 : Es el vector unitrio en D prtir de 0 5 : ) / 0 5/ 34 3/ 34 0 b) 0 5/ 34 9/ 34 0 c) 0 5/ d) Encuentr el ángulo entre ls funciones f(t) = sen t y g(t) = cos t e n C[0,π] ) 0 b) 180 c) 90 d)

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33 Álgebrlinel Respuests los ejercicios Ejercicio 1 1. ) Mgnitud = 5; dirección = = 5.36 rdines. b) Mgnitud = 1; dirección = 180 = π rdines. c) Mgnitud = 5/6; dirección = =.5 rdines. d) Mgnitud = 5; dirección = 70 = 3π/ rdines.. ) ( / 13, 3/ 13 ) b) ( 3/5, 4/5) c) ( / 13, 3/ 13 ) 3. ) 4 b) 45 c) 5 Ejercicio 1. ) 1 b) 0 c) 6. ) 86.8 b) 90 c) ) Son prlelos. b) Son ortogonles. c) No son prelelos ni ortogonles. 199

34 Unidd 5 4. Culquier de l form k(3, ) con k rel. Ejercicio 3 1. ) 158 b) 3. g(t) = ( t + 3) = ( t + 3) 56 Ejercicio 4 1. d ( f, g) = 77 / 10 Ejercicio (4/13, 16/13) Respuests los ejercicios propuestos 1. mgnitud = 3; rdines = 0.84; dirección = ( 4/5, 3/5) 3. (b, ) / / / = π rdines 8. (1/, 1/) 00

35 Álgebrlinel Respuests l utoevlución 1. c). d) 3. c) 4. b) 5. c) 6. ) 7. d) 8. c) 9. b) 10. c) 01