04) Vectores. 0403) Componentes Vectoriales

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Alfonso Ortega Ojeda
hace 6 años
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1 Págin 1 04) Vectores 0403) Componentes Vectoriles Desrrolldo por el Profesor Rodrigo Vergr Rojs Octubre 007 Octubre 007

2 Págin Un mismo ector se puede epresr como l sum de numerosos conjuntos de dos, tres o más ectores, como se preci en l figur 1. A los ectores que sumdos dn el ector originl los llmremos componentes ectoriles del ector. A) Componentes Vectoriles En prticulr, podemos descomponer un mismo ector en infinits sums de dos componentes ectoriles. Al problem de determinr dos ectores u cu sum es igul l ector, se le pueden gregr dos condiciones dicionl pr logrr que l solución se únic. Vectores u coplnres l ector. Vectores u de direcciones fijs predeterminds En l figur se obser que los ectores u, que tienen respectimente direcciones dds por ls rects LL MM, son los únicos ectores cus sum es igul. Ls rects LL MM definen un sistem de coordends. Figur 1) Componentes ectoriles de un ector L M M' u u + Figur ) Componentes ectoriles del ector en ls direcciones LL MM L' Octubre 007

3 Ddo un ector u no nulo llmmos ector unitrio o unimodulr en l dirección de u l ector: uˆ u u Un ector unitrio se us pr identificr o crcterir un determind dirección. Por definición, todo ector unitrio tiene mgnitud 1. u 1 u ˆ u 1 u u Obserciones: p u p puu ˆ, con pu esclr no nulo p p uˆ p uˆ p u u u B) Vector unitrio o unimodulr pˆ p Págin 3 q q + q p s s Sentido Mgnitud Dirección s ˆ pˆ Figur 3) Vector unitrio su uso en nomencltur de ectores. M' En l figur 3 se muestr l definición de ector unitrio, su uso pr epresr ectores con tres componentes: El signo (+ ó -), que indic el sentido del ector. L mgnitud del ector El ector unitrio, que indic l dirección del ector. L ˆ û u u + L' En l figur 4, se muestr el sistem de coordends de l figur, l cul se le hn gregdo los ectores unitrios û ˆ, que representn ls direcciones LL MM, respectimente. Si u u, se puede estblecer que: u + u uˆ + ˆ M Figur 4) Sistem de coordends de l figur 18 considerndo ectores unitrios Octubre 007

4 Págin 4 Así, el ector se puede escribir como u + u denominds ls componentes esclres del ector. uˆ + ˆ En este cso, u son En principio, culquier sistem de coordends puede serir pr epresr ectores. Sin embrgo, los sistems de coordends más utilidos son quellos donde los ectores unitrios son perpendiculres entre sí, que son denomindos ortogonles. Estos son: el crtesino o rectngulr, el cilíndrico el esférico. L grn entj de estos sistems de coordends es que permite relcionr componentes esclres, mgnitudes ángulos trés de relciones trigonométrics simples, usndo cosenos, senos tngentes, lo cul fcilit enormemente el trbjo con los ectores. Pr efectos de este curso, nos limitremos l sistem de coordends crtesino en 3 dimensiones. C) Sistem de coordends crtesins en dos dimensiones En l figur 5 se obser el ector dibujdo en un sistem de coordends crtesins bidimensionl. En ell, h dos ejes coordendos, e, crcteridos por dos ectores unitrios: El ector ˆ, î ó i, que represent l dirección +. El ector ŷ, ĵ ó j, que represent l dirección + A prtir de los dtos de l figur, se puede escribir el ector ŷ como: ˆ + i ˆ + ˆ ˆ ˆ j i + j Figur 5) Sistem de coordends crtesins en Donde son ls componentes esclres de dos dimensiones del ector. Tmbién se puede escribir como pr ;. Otr form de escribirlo es l polr, en donde los prámetros ordendo, en l form ( ) son su módulo su ángulo con respecto l eje +. Se suele epresr en l form j bien l form e. El módulo del ector es + componentes esclres trés de relciones trigonométrics Octubre 007 o. Además, éste se puede relcionr con el ángulo ls cos ( )

5 Págin 5 ( ) sen Finlmente, se pueden relcionr el ángulo ls componentes trés de tn ( ) El sistem crtesino en prticulr fcilit enormemente l opertori con ectores, puesto que l lle desde el ámbito de l geometrí (donde muchs eces result engorros) l del álgebr, en el cul se fcilit mucho el trbjo. D) Sistem de coordends crtesins en tres dimensiones En l figur 6 se obser el ector dibujdo en un sistem de coordends crtesins tridimensionl. En ell, los ejes coordendos, e se greg el eje coordendo, crcterido por el ector unitrio ẑ, kˆ ó k, que represent l dirección +. En l figur,, son ls componentes esclres del ector, el cul se pude epresr en l form ˆ + ˆ + ˆ iˆ + ˆ j + k ˆ i + j + k ˆ ẑ ŷ φ φ L mgnitud de está dd por: + + Tmbién se puede escribir como trío ordendo, en l form ( ; ; ) Figur 6) Sistem de coordends crtesino en tres dimensiones. Se define como el ector proección de sobre el plno XY. ˆ + ˆ () φ (b) L mgnitud de etá dd por: + Figur 7) Relciones entre módulos, ángulos componentes esclres. () ángulo φ; (b) ángulo Octubre 007

6 Págin 6 A prtir de l figur 6, se pueden etrer los triángulos de ls figurs 7 7b, con los cules mos estblecer ls siguientes relciones entre los ectores, sus respectios módulos, ls componentes esclres,,, los ángulos φ De l figur 7: cos( φ ) cos( φ ) sen( φ ) sen( φ ) tn ( φ ) + De l figur 7b: cos sen ( ) cos( ) cos( ) sen( φ ) ( ) sen( ) sen( ) sen( φ ) tn ( ) E) Vector Posición Pr indicr l posición de un punto es necesrio elegir preimente un sistem de referenci, cuo origen se indic con un punto O. L posición de un punto P está dd por el ector (er figur 8) R OP r ˆ + r ˆ ( r ; r ) Este ector es el ector posición del punto P. El módulo de este ector determin l distnci mínim entre O P. o ˆ r Figur 8) Concepto de ector posición Octubre 007 r ŷ R P

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