Unidad Nº 4: VECTORES en IR 2 y en IR 3

Transcripción

1 Unidd Nº 4: VECTORES en IR y en IR 3 Sistem de coordends crtesins ortogonles en el Plno y en el Espcio. Expresión de n ector en IR y en IR 3. Igldd de ectores. Sm de ectores. Mltiplicción de n esclr por n ector. Propieddes. Form cnónic de n ector. Vector nitrio. Versor de n ector. Prodcto esclr. Longitd o norm de n ector. Prlelismo y ortogonlidd de ectores. Proyección ortogonl de n ector. Ánglo entre dos ectores. Ánglos y cosenos directores. Propiedd de los cosenos directores. Identidd Pitgóric. Distnci entre dos ectores. Prodcto ectoril. Prodcto mixto o Triple prodcto esclr. Sistem de Coordends Crtesins Ortogonles en el Plno Así como en el crso de ingreso ieron qe existe n correspondenci biníoc entre los pntos de n rect y los números reles, hor eremos qe relción existe entre los pntos del plno y los pntos del espcio con los números reles. Definición: Llmremos Sistem de Coordends Crtesins Ortogonles en el Plno, l sistem formdo por: dos ejes perpendiclres llmdos eje de bsciss o eje y eje de ordends o eje. El pnto de intersección de los dos ejes, llmremos origen de coordends qe denotremos con l letr 0. Llmremos Coordends Crtesins (, b) de n pnto P del plno l bscis y l ordend b qe se obtiene l proyectr sobre cd eje el pnto P prlelmente l otro eje. Es decir: b P(, b) O Lic. Sili Srez de Rodrígez 1

2 A cd pnto del plno le corresponde n único pr ordendo (, b) de números reles qe son ss coordends crtesins y recíprocmente cd pr ordendo (, b) de números reles le corresponde n único pnto en el plno. Es decir: Existe n correspondenci biníoc entre los pntos del plno y los pres ordendos de los números reles. Los ejes e diiden l plno en ctro regiones llmds cdrntes crcterizds en l sigiente form: I cdrnte > 0 b > 0 II cdrnte < 0 b > 0 III cdrnte < 0 b < 0 IV cdrnte > 0 b < 0 Ls coordends crtesins de n pnto del plno rín entre: - < < y - < b < es decir, expresdo en form de interlo: (-, ) y b (-, ). Represente en coordends crtesins ortogonles en el Plno, los sigientes pntos: P = (, 5); Q = (-3, 4); R = (-5, -4); S = (5, -6) Sistem de Coordends Crtesins Ortogonles en el Espcio Llmremos Sistem de Coordends Crtesins Ortogonles en el espcio, l sistem formdo por tres ejes mtmente ortogonles qe concrren en n pnto O llmdo origen de coordends: el eje (o eje de ls bsciss), el eje (o eje de ls ordends) y el eje Z (o eje de ls cots); llmdos ejes coordendos. Llmremos coordends crtesins ortogonles (, b, c) de n pnto P del espcio ls proyecciones de dicho pnto P sobre cd no de los ejes coordendos en form prlel l plno determindo por los otros dos ejes. Vemos gráficmente: Lic. Sili Srez de Rodrígez

3 Z c P(, b, c) b Existe n correspondenci biníoc entre los pntos del espcio y ls terns ordendos de los números reles. Los ejes coordendos diiden l espcio en 8 regiones llmdos octntes. Un pnto bicdo sobre n eje qed crcterizdo por ls coordends: En el eje (, 0, 0) En el eje (0, b, 0) En el eje Z (0, 0, c) Un pnto bicdo sobre n plno qed crcterizdo por ls coordends: En el plno (, b, 0) En el plno Z (, 0, c) En el plno Z (0, b, c) pntos: Represente en coordends crtesins ortogonles en el Espcio los sigientes P = (7, 5, 6); Q = (3, 0, -4); R = (0, -5, 6); S = (-4, 3, 1) Vectores Los ectores feron tilizdos en mecánic pr representr l elocidd, l ferz, el desplzmiento desde fines del siglo VII. No tieron repercsión entre los mtemáticos hst el siglo I cndo Gss s implícitmente l sm ectoril en l representción geométric de los números complejos en el plno. Lic. Sili Srez de Rodrígez 3

4 Con Hmilton se inici el estdio de los ectores. Se le debe él el nombre de ector prodcto de l creción de n sistem de números complejos de ctro niddes, denomindo "cterniones'', my sdos hoy en dí pr el trbjo con rotciones de objetos en el espcio. Actlmente, csi tods ls áres de l físic son representds por medio del lengje de los ectores. Vectores en IR y en IR 3 Por todo lo isto; n pnto en l rect, en el plno o en el espcio qed determindo si se conoce n número rel, n pr de números reles o n tern de número reles, respectimente. Pero tmbién se pede determinr l posición del pnto dndo n ector cyo extremo se el pnto considerdo. Z b (, b) c (, b, c) b Lego cd pnto del espcio considerdo le podemos socir n ector con origen en 0 y extremo en el pnto y recíprocmente, existiendo n correspondenci biníoc entre los pntos del espcio considerdo y los ectores con origen en el origen de coordends. Notción Denotremos los ectores con letrs minúscls especilmente ls últims letrs del becedrio:,, w, x, O bien con letr myúscl en el origen y en el extremo: OP, PQ, RS, Los números reles o complejos los llmremos esclres y los denotremos con letrs griegs o ls primers letrs de nestro becedrio:,,,,, b, c,.. L elocidd, l ferz, l celerción y el desplzmiento se representn trés de ectores. El tiempo, l tempertr, l energí medinte esclres Lic. Sili Srez de Rodrígez 4

5 Definición Algebric de n Vector El conjnto de todos los ectores del plno denotremos con IR, es decir: IR = {(x, y) / x IR y IR} El VECTOR NULO es el pr (0, 0) y lo denotremos O Además existen dos ectores especiles en IR el (1, 0) qe denotremos con i y el ector (0,1) con j y los llmremos ectores cnónicos. El conjnto de todos los ectores en el espcio denotremos con IR 3, es decir: IR 3 = {(x, y, z)/ x IR y IR z IR} En generl los elementos de n ector los llmremos componentes. Ej. Se el ector = (-, 6, 1) entonces - es l 1r componente, 6 es l d componente y 1 es l 3r componente del ector. El VECTOR NULO es l tern (0, 0, 0) y lo denotremos O. Los ectores cnónicos de IR 3 son: i = (1, 0, 0); j = (0, 1, 0); k = (0, 0, 1). Definición Geométric de n Vector Geométricmente definimos n ector como n segmento orientdo. El ector OP tiene como origen (en físic lo denominn pnto de plicción) el pnto O y como extremo el pnto P P O Todo ector tiene como elementos: l dirección, el sentido y el módlo. L dirección de n ector est dd por l rect qe contiene l ector o por clqier otr rect prlel ell. El sentido de n ector est ddo por l orientción del segmento orientdo, es decir el sentido del ector OP es el qe del origen O l extremo P. El módlo de n ector es igl l longitd del segmento, es decir el módlo del ector OP es igl l longitd del segmento OP, y lo indicremos entre brrs: OP. El módlo de n ector es siempre positio o nlo. Lic. Sili Srez de Rodrígez 5

6 Si dos o ms ectores tienen l mism dirección, sentido y módlo son eqilentes. Dos ectores qe tienen l mism dirección y módlo pero sentido contrrio se llmn ectores opestos, indicremos con l ector opesto de. - Se = (, b) El módlo de n ector se encentr plicdo el Teorem de Pitágor. b = Si = (3, 4) + b como dijimos considermos l ríz cdrd no negti. = + b = = = 5 = 5 El ector nlo tiene módlo cero. Por lo tnto como el origen y el extremo coinciden, el ector nlo no tiene dirección y ni sentido. Si = (, b, c) IR 3 ; el = + b + c Si ls componentes de los pntos extremos, P y Q de n ector son: P = ( 1, b 1, c 1 ) y Q = (, b, c ) entonces ls componentes del ector PQ son ls componentes del extremo menos ls componentes del origen. PQ = Q P = ( - 1, b - b 1, c - c 1 ) Lic. Sili Srez de Rodrígez 6

7 Si P = (3,, 4) y Q = (6, 8, 7) entonces ls componentes del ector cyos extremos son P y Q, es: y s norm es: PQ = (6 3, 8, 7-4) = (3, 6, 3) PQ = = 54 = 3 6 En el plno definimos: Igldd de ectores Ddos los ectores = ( 1, ) y = (b 1, b ), = sí y sólo sí ss respectis componentes son igles. Es decir: 1 = b1 = ( 1, ) = ( b 1, b ) = b Sm de Vectores Ddos los ectores = ( 1, ) y = (b 1, b ) definimos l sm de y l ector: + = ( 1, ) + (b 1, b ) = ( 1 + b 1, + b ) Si = (5, -6) y = (-, 4) entonces + = (5 -, ) = (3, -) Mltiplicción de n Esclr por n Vector Ddo n esclr α IR y n ector = (, b). Se define el prodcto de n esclr por n ector l ector: α = α (, b) = (α, α b) El ector (α, α b) se llm múltiplo esclr del ector. Ejemplo Si α = y = (-3, 4) entonces α = (-3, 4) = (.-3,.4) = (-6, 8) El ector (-6, 8) tiene igl dirección y sentido qe el ector mientrs qe s módlo se dplicdo porqe se mltiplico por el esclr dicho ector. Dig qé ocrre en cd cso, si el esclr es: 1) α = -1 ) α = 0 3) α > 0 4) α < 0 5) α = 1 Cómo es el múltiplo esclr α? L sm de ectores en IR y el prodcto de n esclr de IR por n ector de IR son dos leyes de composición intern y extern respectimente. Jstificr + : IR x IR IR ;. : IR x IR IR Lic. Sili Srez de Rodrígez 7

8 En el Espcio Definimos: Igldd de Vectores Ddos los ectores = ( 1,, 3 ) y = (b 1, b, b 3 ), = sí y sólo sí ss respectis componentes son igles. Es decir: 1 = b1 = ( 1,, 3 ) = ( b 1, b, b3 ) = b = b3 Sm de Vectores Ddos los ectores = ( 1,, 3 ) y = (b 1, b, b 3 ) definimos l sm de y l ector: + = ( 1,, 3 ) + (b 1, b, b 3 ) = ( 1 + b 1, + b, 3 + b 3 ) Mltiplicción de n Esclr por n Vector Ddo n esclr α IR y n ector = (, b, c) IR 3. Se define el prodcto de n esclr por n ector l ector: α = α (, b, c) = (α, α b, α c) Z ( > 0) ( < ( 0) > 0) Lic. Sili Srez de Rodrígez 8

9 Propieddes hemos definido l igldd, l sm y el prodcto por esclr de ectores en IR y IR 3. Ls sigientes propieddes se erificn en mbos espcios. Sen los esclres, y los ectores, y w de IR o IR = + ( conmtti). ( + ) + w = + ( + w) ( sociti) 3. + O = O + = (O es el elemento netro de l +) 4. + (-) = (-) + = O ( - es el inerso ditio opesto del ector ) 5. ( ) = ( ) 6. ( + ) = + 7. ( + ) = = Por erificr ests propieddes l sm de ectores en IR y en IR 3 y el prodcto de n esclr por n ector en mbos espcios, diremos qe: IR y IR 3 poseen Estrctr de Espcio Vectoril y denotremos: (IR, +, IR,. ) (IR 3, +,IR,. ) Éste concepto se generliz otros espcios y lo estdirán en Álgebr Linel qe es l signtr correlti posterior. Form Cnónic de n Vector Ddo n ector = (, b) IR podemos expresr el ector emplendo los ectores cnónicos de l sigiente mner: (, b) = (, 0) + (0, b) (, b) = (1, 0) + b (0, 1) Lego expresremos ( ), b = = i + b j b En form similr ddo n ector = (, b, c) IR 3 podemos expresr dicho ector como ector colmn o bien tilizndo los ectores cnónicos llmd form cnónic: (, b, c ) b = = = i + b j + c k c Lic. Sili Srez de Rodrígez 9

10 Se ( ) 3 = 3, 5, 7 = 5 = 3 i 5 j + 7k 7 Vector Unitrio o Versor Llmremos ector nitrio o ersor todo ector de módlo =, = i + j es nitrio porqe = + = + = 1 4 Los ectores cnónicos de IR : i y j son nitrios, por ello tmbién se los llm ersores fndmentles; como tmbién son nitrios los ectores i, j y k de IR 3 Propiedd Si O entonces el ector = dirección y sentido de. 1 Se dej pr qe los lmnos relicen l preb. es n ector nitrio qe tiene l mism Si O el ector pero sentido contrrio. 1 es n ersor qe tiene l mism dirección del ector Lego, pr encontrr el ersor de n ector bst premltiplicr dicho ector por el inerso de s módlo. Prodcto Esclr o Interno de Dos Vectores Ddos los ectores = ( 1, ) y = (b 1, b ) ectores de IR, definimos el prodcto esclr de y, qe denotremos l número rel: = ( 1, ) (b 1, b ) = 1 b 1 + b = Sen = (-3, 5) y = (4, 1) = = = -7 Si y IR 3 s prodcto esclr es: i= 1 b i i = ( 1,, 3 ) (b 1, b, b 3 ) = 1 b 1 + b + 3 b 3 = 3 i= 1 b i i Lic. Sili Srez de Rodrígez 10

11 Sen = (, -3, 6) y = (5, -1, 3) el prodcto esclr: = (, -3, 6) (5, -1, 3) =.5 + (-3)(-1) +6.3 = = 31 Propieddes Del Prodcto Esclr o Interno Considerndo el esclr IR y los ectores, y w de IR o IR 3 el prodcto esclr o interno erific ls sigientes propieddes: 1. = C onm tti ( + ) = + ( α ) = α ( ). w w D istrib ti 3. H om ogé ne 4. o D efin id P ositi = o = 0 Podemos definir l norm de n ector indcid por el prodcto interior de l sigiente mner: = Por lo tnto si = (, b) entonces = (, b) (, b) = + b = lego: = Prlelismo y Ortogonlidd de Vectores Dos ectores no nlos son prlelos si y sólo sí existe n esclr no nlo tl qe mltiplicdo por no de ellos es igl l otro ector. k 0 / = k Dos ectores no nlos son ortogonles si y sólo sí el prodcto interior es igl cero: Si = (, -1) y = (3, 6) entonces = = (, -1) (3, 6) =.3 + (-1).6 = 6 6 = 0 Lego es perpendiclr o es perpendiclr, podemos decir qe y son perpendiclres 0 Lic. Sili Srez de Rodrígez 11

12 Significdo Geométrico del Prodcto Esclr pr Vectores del Plno y del Espcio Propiedd: Sen y ectores no nlos del plno o del espcio, se erific: Demostrción = cos / l medid del ánglo entre y, y 0 Sen los ectores = ( 1, ) y = (b 1, b ) Sen l medid del ánglo entre el ector y el eje y l medid del ánglo entre el ector y el eje. Además por l definición de l fnción trigonométric coseno: 1 = cos ; = sen b 1 = cos ; b = sen Lego efectndo el prodcto esclr entre los ectores y, y reemplzndo por ls identiddes nteriores tenemos: = ( 1, ) (b 1, b ) = 1 b 1 + b = cos cos + sen sen (cos cos + sen sen ) = cos ( ) Llmndo = reslt: = cos En l mism form se demestr en el espcio R 3 Ánglo entre dos Vectores Sen y ectores no nlos del plno o del espcio y l medid del ánglo entre los ectores y tl qe 0, por l interpretción geométric del prodcto esclr: = cos Reslt qe: cos γ = Lic. Sili Srez de Rodrígez 1

13 Si = ( 1, ) (0, 0) y = (b 1, b ) (0,0) y l medid del ánglo entre los ectores y, entonces: cos = ( ) ( ) ( ) ( ) 1, b 1, b 1b1 + b =, b, b + b + b Si = ( 1,, 3 ) (0, 0, 0) y = (b 1, b, b 3 ) (0, 0, 0) y l medid del ánglo entre y, entonces: ( 1,, 3 ) ( b 1, b, b3 ) 1b1 + b + 3b3 cos = = (,, ) ( b, b, b ) + + b + b + b Sen = (1, 1, 0) y = (1, 0, 1), si es l medid del ánglo determindo entre los ectores y, entonces: cos = ( 1, 1, 0) ( 1, 0, 1) = = π Lego = 3 Ánglos y Cosenos Directores Llmremos ánglos directores de n ector no nlo, los ánglos qe formn dicho ector con los ectores cnónicos. Los cosenos de los ánglos directores los llmremos cosenos directores. En IR Si = ( 1, ) (0, 0) y, y son ls medids de los ánglos qe formn el ector con los ersores i y j respectimente, tendremos qe: Cos = Cos = i ( 1, ) (1,0) 1 = = = + 1 j ( 1, ) (0,1) = = = + 1 En IR 3 Si = ( 1,, 3 ) (0, 0, 0) y,, son ls medids de los ánglos qe formn el ector con los ersores i, j, k respectimente, tendremos qe: Cos = Cos = i ( 1,, 3 ) (1,0,0) 1 = = = j ( 1,, 3 ) (0,1,0) = = = Lic. Sili Srez de Rodrígez 13

14 k ( 1,, 3 ) (0,0,1) 3 Cos = = = Propiedd de los Cosenos Directores. L sm de los cdrdos de los cosenos directores es igl 1. Elendo l cdrdo mbos miembros de ls iglddes obtenids en el pnto nterior: Cos + cos + cos 1 = = l norm de : Determine los cosenos directores del ector = (1,, 0). Primero determinremos ( ) ( ) 1,, 0 1,, = = + + = cos α = = = ;cos β = = = = ; cos γ = 3 = = 0 Distnci entre dos Vectores L distnci entre dos ectores no nlos es igl l norm de s diferenci d (, ) = - En IR Si = ( 1, ) (0, 0) y = (b 1, b ) (0,0) d (, ) = ( 1, ) - (b 1, b ) En IR 3 Si = ( 1,, 3 ) (0, 0, 0) y = (b 1, b, b 3 ) (0, 0, 0) d (, ) = ( 1,, 3 ) - (b 1, b, b 3 ) Lic. Sili Srez de Rodrígez 14

15 Proyección ortogonl de n ector sobre otro Geométricmente desemos determinr n ector qe se obteng l proyectr n ector ortogonlmente sobre otro ector. Sen y ectores no nlos del plno o del espcio, denotremos proy l ector qe se obtiene l proyectr el ector sobre el ector en form ortogonl y est definido de l sigiente mner: proy = proy proy Se pede demostrr qe el ector - proy es ortogonl : - proy = - =0 Si ( ) Si y IR 3 con 0 podemos islizr el ector proyección de sobre Z - - proy proy Al ector - proy se lo conoce como l componente de ortogonl. Lic. Sili Srez de Rodrígez 15

16 Prodcto Vectoril Este neo prodcto de dos ectores, tmbién llmdo prodcto crz, está sólo definido en IR 3. Sen = ( 1,, 3 ) y = (b 1, b, b 3 ) El prodcto ectoril lo denotmos: x y es igl l ector: x = ( b 3 3 b, 3 b 1 1 b 3, 1 b b 1 ) Podemos tilizr l sigiente disposición pr recordr ést definición: i j k x = 1 3 b b b 1 3 = i j + k b b b b b b El prodcto ectoril es n ector qe es perpendiclr tnto como. Z x i j k Sen = (, 0, -) y = (-, 4, 1) entonces: x = 0 = ) i +..1 j k = 8 i + j + 8 k ( ( ) ( ( ) ) = ( ) ( ) ( ) Ahor eremos lgns propieddes del prodcto ectoril Lic. Sili Srez de Rodrígez 16

17 Propieddes del Prodcto ectoril 1., IR 3 - { (0, 0, 0)}: x y x. x = - ( ) (Igldd de Lgrnge) 3. x = sen / donde es l medid del ánglo entre y 4. x = - ( x ) 5. x ( + w) = ( x ) + ( x w) 6. x ( ) = ( ) x = ( x ) 7. i x i = j x j = k x k = 0 8. i x j = k ; i x k = j ; j x k = i 9. x represent el áre del prlelogrmo de ldos y 10. ( x w ) es el olmen del prlelepípedo de rists, y w Demostrremos sólo lgns de ests propieddes Probremos qe: si, IR 3 - {(0, 0, 0)}: x. Esto signific probr qe ( x ) = 0 ( x ) = ( b 3 3 b, 3 b 1 1 b 3, 1 b b 1 ) ( 1,, 3 ) ( x ) = b b b 1 1 b b 3 b 1 3 ( x ) = 0 En form nálog se pede demostrr qe x. Teniendo en cent l Identidd de Lgrnge, propiedd : x = - ( ), considerndo l medid del ánglo entre y y recordndo el significdo geométrico del prodcto esclr. Remplzmos en x = - ( cos ) = ( 1 - cos ) x = sen como es l medid del ánglo entre y, es clro qe 0 γ π, por tnto sen γ 0 γ : 0 γ π, en consecenci x = sen Lic. Sili Srez de Rodrígez 17

18 L expresión nterior pede ser interpretd geométricmente. Pr ello consideremos n prlelogrmo determindo por los ectores, IR 3. Como podemos obserr en l figr y como sbemos qe el áre del prlelogrmo se hll mltiplicndo l bse por l ltr, tendremos qe: Z h = sen El áre del prlelogrmo es A = h pero como l ltr h = sen, siendo l medid del ánglo entre los ectores y, sstityendo y teniendo en cent l propiedd 3 A = sen = x Entonces: El prodcto ectoril es n ector cyo módlo es igl l áre del prlelogrmo cyos ldos son los ectores dycentes. Consideremos n prlelepípedo en el espcio determindo por tres ectores no coplnres:,, w IR 3 y se l medid del ánglo qe formn los ectores y x w. Como podemos obserr en l figr y como sbemos qe el olmen del prlelepípedo se hll mltiplicndo el áre de l bse por l ltr y como l bse es n prelologrmo, s áre es x w tendremos qe el olmen es: V = x wh y l ltr es: sstityendo: h = cos, V = x w cos por el significdo geométrico del prodcto esclr, reslt: V = ( w) Lic. Sili Srez de Rodrígez 18

19 x w h w Entonces: El lor bsolto del prodcto mixto ( x w ) es igl l olmen del prlelepípedo qe tiene por rists concrrentes los ectores, no coplnres, y w. Condición de coplnridd L condición necesri y sficiente pr qe tres ectores no nlos sen coplnres, es qe se nle s prodcto mixto. Si los ectores son coplnres el prlelepípedo qe ellos formn tiene ltr nl y s olmen se redce cero., y w ectores no nlos son coplnres ( w) Áre del Triánglo = 0 Teniendo en cent l interpretción geométric del prodcto ectoril y recordndo: x = Áre del prlelogrmo = áre triánglo Áre del triánglo = 1 x Determinemos el áre del triánglo de értices: A = (, 3, -1), B = (4, 3, 1), C = (-1,, 5) i j k 0 AB BC Áre = = = Lic. Sili Srez de Rodrígez 19