AB se representa por. CD y

Transcripción

1 1.- VECTORES. OPERACIONES Vector fijo Un ector fijo AB es n segmento orientado con origen en el pnto A y extremo en B Todo ector fijo AB tiene tres elementos: Módlo: Es la longitd del segmento AB. El módlo del ector AB se representa por AB Dirección: Es la qe determina la recta qe pasa por A y B. Sentido: Es el qe a del pnto A al pnto B. Viene determinado por la pnta de flecha. - El ector nlo 0 es el qe tiene igal el origen y el extremo: tiene módlo 0 y carece de dirección y sentido - Se dice qe n ector es nitario si s módlo es 1 - Dos ectores no nlos, y, con la misma dirección se dice qe son paralelos. En tal caso, y son proporcionales: existe k R tal qe k Vectores eqipolentes Dos ectores son eqipolentes si tienen el igal módlo, dirección y sentido Por ejemplo, los ectores AB, CD y EF son eqipolentes Vector libre Un ector libre es n conjnto de ectores fijos eqipolentes entre sí. Cada no de estos ectores se llama representante del ector libre. Para representar n ector libre tomamos calqiera de ss representantes. Los ectores libres se selen representar con letras minúsclas:,, w, etc De ahora en adelante cando hablemos de ector sin especificar el origen y el extremo nos estamos refiriendo a n ector libre. Sma de ectores Se pede hacer de dos formas: - Página 1 -

2 Vectores opestos Son ectores qe tienen igal módlo y dirección pero sentidos opestos Por ejemplo, a y a son ectores opestos Resta de ectores Para restar ectores se le sma al primero el opesto del segndo: ( ) Prodcto de n número real por n ector Dado n ector y n escalar, k R, el ector k es n ector paralelo a con el mismo sentido qe, si k > 0 y con sentido opesto si k < 0. S módlo o medida es k Propiedades de las operaciones con ectores Si α, R y, y w ectores, se cmplen las sigientes propiedades: 1) + = + 2) ( + ) + w = + ( + w ) 3) + 0 = 4) ( ) = 0 5) α( + ) = α + α 6) (α + ) = α + 7) α( ) = (α) 8) 1. = 9) 0. = 0 El conjnto de todos los ectores del espacio con estas operaciones se representa por V 3. Lo llamamos espacio ectorial tridimensional. Combinación lineal de ectores Dado n conjnto de ectores 1, 2, 3,, n, na combinación lineal (c.l.) de ellos es n ector x = a a a a n n, siendo a 1,, a n números reales no todos nlos Por ejemplo, x 2 1 es c.l. de y Vectores linealmente dependientes y linealmente independientes Un conjnto de ectores 1, 2, 3,, n, son linealmente dependientes (l.d.) si algno de ellos se pede expresar como c.l. de los restantes. Si los ectores 1, 2, 3,, n, son linealmente dependientes, entonces existen a 1,, a n números reales no todos nlos tal qe a a a a n n = 0 Cando los ectores no son l.d. se dice qe son linealmente independientes (l.i.) - Página 2 -

3 Dos ectores no nlos, no paralelos son l.i. pero más de dos ectores coplanarios (están en el mismo plano) son l.d. También dos o más ectores paralelos (proporcionales) son l.d. Tres ectores no nlos y no coplanarios (no están en el mismo plano) son l.i. pero si fesen más de tres serían l.d. Base del espacio ectorial V 3 Una base de V 3 es n conjnto de tres ectores l.i., es decir tres ectores no nlos y no coplanarios Si B = { 1, 2, 3 } es na base de V 3, según las definiciones anteriores, calqier ector de V 3 se pede expresar como combinación lineal de los ectores de la base: = a a a 3 3. Se pede demostrar qe la expresión de como c.l. de los ectores de la base es única. Los números (a 1 ) se llaman componentes del ector en la base B y se escribe = (a 1 ) B. De esta forma a cada ector de V 3 le corresponde na terna de números de R 3 V R ( a, a, a ) Por ejemplo, si B = { 1, 2, 3 } es na base de V 3 y nos dan el ector = , las componentes de en la base B son (5, 3, 1) Si las componentes de n ector respecto a na base son ( a, b, c), los números (a, b, c) siren para pasar desde el origen al extremo del ector. a son las nidades qe me he de desplazar sobre la dirección X (hacia adelante si a es positio y hacia atrás si a es negatio). b son las nidades qe me he de desplazar sobre la dirección Y (hacia la derecha si b es positio y hacia la izqierda si b es negatio). c son las nidades qe me he de desplazar sobre la dirección Z (hacia arriba si c es positio y hacia abajo si c es negatio). Los ectores i 1,0,0, j 0,1,0, k 0,0,1 son ectores nitarios en la dirección de los ejes coordenados y por tanto forman na base llamada base canónica. Obsera qe: ( a, b, c) a i b j c k. Las componentes del ector nlo son 0 (0, 0,0) - Página 3 -

4 Independencia lineal de ectores dados por ss componentes B = {,, w } es na base de V 3, y w son l.i. rg (,, w ) = 3 det (,, w ) 0 Operaciones con ectores dados por ss componentes Sean los ectores = (a 1 ), = (b1, b 2, b 3 ) Sma: + = (a 1 + b 1 + b 2 + b 3 ) Resta: = (a 1 b 1 b 2 b 3 ) Prodcto por n número real: k == (ka 1, ka 2, ka 3 ) ACTIVIDADES 1 Calcla el alor de m para qe los ectores A m i 3j k y B 2 i 6 j 2k sean paralelos 2 Determina los alores de k para qe sean linealmente dependientes los ectores (3, k, 6) ( 2,1, k 3) y w (1, k 2, 4). 3 Compreba qe B = { 1, 2, 3 } es na base de V 3, siendo 1 = (1, 2, 1), 2 = (0, 1, 3) y 3 = (1, 5, 1). Halla las componentes del ector, cyas componentes en la base canónica son = (1, 1, 1), en la base B 2.- PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES Definición Dados dos ectores y, se define el prodcto escalar de y como el número... cos,, siendo, el ánglo qe forman los ectores y Por ejemplo, si y prodcto escalar es son ectores qe miden 3 y 4, respectiamente y forman n ánglo de 60º entonces s 1... cos, cos60º Ánglo entre dos ectores Obsera qe si y son ectores no nlos se pede despejar de la fórmla anterior. cos (, ).. (, ) ar cos. Si (, ) es agdo, cos (, ) 0 y por tanto:. 0 Si (, ) es obtso, cos (, ) 0 y por tanto:. 0 Por ejemplo, si y son ectores cyo prodcto escalar es 6 y qe miden 3 y 4, respectiamente 6 entonces el ánglo qe forman es (, ) ar cos 30º Página 4 -

5 Interpretación geométrica del prodcto escalar El prodcto escalar de dos ectores no nlos es igal al módlo de no de ellos por la proyección del otro sobre él. Como Medida de la proyección del ector sobre (OA ) proy cateto contigo.... cos (, ) proy proy hipotensa.. Análogamente, la medida de la proyección del ector sobre es proy. 1) Propiedades del prodcto escalar.. 2) (. ) ( )..( ) 3). siendo, y w ectores y R Vectores perpendiclares ortogonales. w.. w Dos ectores no nlos y son ortogonales,, si s prodcto escalar ale 0., no nlos, (, ) 90º...cos90º Lego,. 0 Módlo de n ector 2 Como... cos 0º.1. Vectores nitarios Dado n ector no nlo se pede calclar n ector nitario paralelo a. 1. Se dice qe hemos normalizado el ector Vectores ortonormales. Base ortogonal y ortonormal Dos ectores son ortonormales si son nitarios y ortogonales Una base del espacio ectorial V 3 es ortogonal si ss ectores son ortogonales dos a dos y se dice qe es ortonormal si además ss ectores son nitarios. - Página 5 -

6 Expresión analítica del prodcto escalar y del módlo de n ector Si consideramos na base ortonormal del espacio tridimensional, B i, j, k, llamada base canónica. Es fácil comprobar qe: i. i 1 ; j. j 1 ; k. k 1 i. j 0 ; i. k 0 ; j. k 0 Si las coordenadas de los ectores y en la base B i j, k, son: a, b, c a, b, c. a a b b c c a b c Dado n ector no nlo a, b, c, n ector ortogonal con es (0, c,b), pes como pedes comprobar. 0 Cosenos directores En na base ortonormal, se llaman cosenos directores del ector = (x, y, z), a los cosenos de los ánglos qe forma el ector con los ectores de la base. 4 Si 3, 4,12 5, 2, 6 w 7, k, 2 Calcla: a) ACTIVIDADES en la base e) El alor de k para qe B i, j, k. b) y c) El ánglo qe forman y d) La proyección de sobre w. 5 Se consideran los ectores = (k, 1, 1), = (2, 1, 2) y w = (1, 1, k), donde k es n número real. (a) Determina los alores de k para los qe, y w son linealmente dependientes. (b) Determina los alores de k para los qe y w son ortogonales. 6 Si y son dos ectores del plano con, probar qe los ectores y son ortogonales. 7 Encentra n ector b paralelo al eje Z tal qe proy 5 - Página 6 - c a b, siendo 8 Halla R tal qe a 8 b sea ortogonal a a 8 b y a 2b ( a y b no nlos). a 3, 5, 2 y c (2, 1, 2) 9 Si y son dos ectores ortogonales y de módlo 1, hallar los posibles alores del parámetro real a para qe los ectores a y a formen n ánglo de 60º. 10 Los ectores a y b forman entre si n ánglo de /4. Si el módlo de a es 3, cál debe ser la longitd de b para qe a b sea perpendiclar a a? 11 Los ectores a y b forman entre si n ánglo de /3. Si el módlo de a es 3 y el módlo de b es 5, calcla a b. 12 Sean 1, 2 y 3 tres ectores no nlos perpendiclares dos a dos. Demestra qe si c c c 3 3 = 0 entonces c 1 = c 2 = c 3 = 0.

7 3.- PRODUCTO VECTORIAL DE VECTORES El prodcto ectorial de dos ectores y Definición es otro ector qe se representa por x y cmple: 1) x sen x 2) ( x ) y ( x ) 3) Si (, ) 180º entonces x tiene sentido hacia arriba y si (, ) 180º entonces x tiene sentido hacia abajo 1) Si y Propiedades del prodcto ectorial son paralelos entonces x 0 2) x 0 3) x 0 0 x 0 4) x x 5) x w x x w y x w x w x w 6) a x a x xa siendo a na constante calqiera. 7) ( x ) x w x x w 8) Los ectores de na base ortonormal a) i x j k b) j x k i c) 1 9) Un ector nitario en la dirección de x es: B i, j, k cmplen las igaldades: k x i j d) ( i x i ) x j 0 x j 0 e) i x i x j i x k j x. x Si a, b, c a, b, c Expresión analítica del prodcto ectorial son las coordenadas en la base B i, j, k entonces i j k x a b c a b c Aplicaciones geométricas del prodcto ectorial Área del paralelogramo = x Área del triánglo = x 2 - Página 7 -

8 ACTIVIDADES 13 Halla n ector de módlo 3 perpendiclar a los ectores 2, 1, 0 y 3, 2, 1 14 Dados los ectores 3, 1, 1 y 2, 3, 4, halla: a) Los módlos de y b) El prodcto ectorial de y c) Un ector nitario ortogonal a y d) El área del paralelogramo qe tiene por lados los ectores y 15 Calcla el alor de a para qe el prodcto ectorial de los ectores (a, a, 2) y (2, a, 1) sea proporcional al ector (1, 1, 0). Se define el prodcto mixto de tres ectores 4.- PRODUCTO MIXTO DE VECTORES Definición,, w y se escribe,, w. x w,, w como el número Si tres ectores son linealmente dependientes, es decir, si son coplanarios, s prodcto mixto ale 0. Interpretación geométrica del prodcto mixto,, w. x w x w cos x w cos área dela base. altra Vparalelepípedo (,, w),, w Vparalelepípedo (,, w) Además, como el paralelepípedo pede descomponerse en 6,, w tetraedros: Vtetraedro 6 Expresión analítica del prodcto mixto de tres ectores a, b, c, a, b, c y w a, b, c en la base B i, j, k. Sean los ectores a b c Entonces:,, w a b c a b c - Página 8 -

9 ACTIVIDADES 16 Determina el alor de k para qe el olmen del paralelepípedo determinado por los ectores 3, 5,1 2,1, 1 1, 4, y w k sea Considera los ectores = (1, 1, 0), = (0, 1, 2), w = (1 + α, 2α, 2 3α). Halla los alores de α en cada no de los sigientes casos: a), y w están en el mismo plano. b) w es perpendiclar a y a. c) El olmen del tetraedro qe tiene por aristas a los ectores, y w es 1/6. 18 Sponiendo qe. x w = 2, halla: a). x w b). w x c) x. d) x. w ACTIVIDADES PROPUESTAS 1 Si = (1, 2, 3), 1.- VECTORES. OPERACIONES = (2, 2, 1) y w = (4, 0, 4), calcla: a) w b) w 2 Para qé alores de a los ectores (1,1,1) (1, a,1) y w (1,1, a) forman na base? Escribe como combinación lineal de y w, siendo a el alor calclado. 3 Aeriga si los ectores (2, 3, 1), (1, 1, 3) y (1, 9, 1) son coplanarios a , 8, 20, 2,,, w 6i 4j 10k y h 3i 2j 10k Determina cáles de los sigientes ectores son paralelos al ector 3, 2, 5 5 Considera los ectores = (1, 1, m), = (0, m, 1) y w = (1, 2m, 0). (a) Determina el alor de m para qe los ectores, y w sean linealmente dependientes. (b) Para el alor de m obtenido en el apartado anterior, expresa el ector w como combinación lineal de los ectores y. 6 Siendo = (1, 0, 1), = (1, 1, 0) y w = (0, 1, 1), demestra qe dichos ectores son linealmente independientes y expresa el ector m = (1, 2, 3) como combinación lineal de dichos ectores. 2.- PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES 7 Calclar los alores x e y para qe el ector (x, y, 1) sea ortogonal a los ectores (3, 2, 0) y (2, 1, 1). 8 Respecto de na base ortonormal, las coordenadas de tres ectores son 3, 1,5 4, 7,11 w 2, k,3 a) Calcla.. b) Determina k para qe y w sean perpendiclares 9 Determina los cosenos directores del ector (1, 2, 3). - Página 9 -

10 10 Sean = (x, 2, 0), = (x, 2, 1) y w = (2, x, 4x) tres ectores de R 3. (a) Determina los alores de x para los qe los ectores son linealmente independientes. (b) Halla los alores de x para los qe los ectores son ortogonales dos a dos. 11 Considera los ectores = (1, 1, 1), = (2, 2, a) y w = (2, 0, 0) (a) Halla los alores de a para qe los ectores, y w sean linealmente independientes. (b) Determina los alores de a para qe los ectores y w son ortogonales. 12 Determina n ector paralelo a = 3 i + 2 j + 2 k qe erifiqe. = Dados a = (2, 1, 2) y b = ( 3, 4, 5), halla n ector nitario qe tenga la misma dirección qe a 3 b 14 Si = (2, 2 1) y w = (4, 0, 4), calcla z. w 15 Demestra qe si el ector w es ortogonal a los ectores y, también lo es calqier combinación lineal de y 16 Dados los ectores (3, 1, 1), (2, 0, 3) y w (2, 1, 2), halla la proyección de sobre w 17 Determina el ánglo qe forman los ectores a (8, 4, 3) y b ( 8, 5, 3) 3.- PRODUCTO VECTORIAL DE VECTORES 2, 1, 0 y 3, 2, 1 18 Halla n ector de módlo 2 perpendiclar al plano de los ectores 19 Dados los ectores a 3, 1, 0, b 4, 2, 1 y c 2, 1, 2. Halla n ector ortogonal a a y b tal qe proy 6 20 Calcla el área del triánglo definido por los ectores: 3, 5, 1 y 4, 7, 6 c 21 Halla n ector perpendiclar a 2, 3, 4 y 1, 3, 5 y qe sea nitario. 22 Se consideran los ectores = (2, 1, 2) y w = (1, 1, k), donde k es n número real. Para k = 1, determina aqellos ectores qe son ortogonales a y w y tienen módlo Sean los ectores 1 (0, 1, 0), 2 (2, 1, 1) y 3 (2, 3, 1) : (a) Son los ectores 1, 2 y 3 linealmente dependientes? (b) Para qé alores de a el ector (4, a + 3, 2) pede expresarse como combinación lineal de los ectores 1, 2 y 3? (c) Calcla n ector nitario y perpendiclar a 1, 2 y PRODUCTO MIXTO DE VECTORES 1,2,3 2,1,0 y w x 24 Calcla el olmen del paralelepípedo determinado por: 25 Halla x para qe el olmen del paralelepípedo definido por 1,1,1 1, 0, x y w 2, 1,1 - Página 10 -

11 sea Halla el olmen del paralelepípedo determinado por i j, j k, i k 27 Calcla el prodcto mixto x, x w, w x, siendo 1, 0,1 0,1,1 w 1,1, 0 ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS 1 Explica por qé calqier ector del espacio pede escribirse como combinación lineal de los ectores 1 = (1, 2, 1), 2 = (0, 1, 3) y 3 = ( 2, 5, 1) 2 Dados los ectores = (1, 2, 3), = (2, 1, 0) y w = ( 1, 1, 0), demestra qe dichos ectores forman na base y calcla las coordenadas del ector (1, 1, 0) respecto de dicha base. 3 Halla el prodcto escalar de los ectores (1, 1/2, 3) y (4, 4, 1). 4 Calcla el alor de m para qe los ectores 2, 3,5 y m,2,3 sean ortogonales 5 Sabiendo qe B = {,, w } es na base ortonormal de V 3, halla el alor del parámetro k para qe los ectores x k 2 3w e y k w sean: a) Ortogonales. b) Paralelos. 6 Determina el alor de a, para qe los ectores (2, a, 3) y (1, 2, a) sean ortogonales. 7 Determina la medida de la proyección del ector sobre a b y de sobre b a en los sigientes casos: a) a = 5 i +5 j b = 3 i + 4 j b) a = i 2 j +7 k b = 6 i 3 j 2 k 8 Dados los ectores (3, 2, 5) y (1, 0, 1), calcla, y y compreba qe 9 Halla el ánglo qe forman los ectores: a) (1,1, 1) y (2, 2,1) b) (3,2,6) y (4,5,1 ) 10 Halla dos ectores de módlo la nidad y ortogonales a (2, 2, 3) y (3, 3, 2). 11 Calcla x y compreba qe es ortogonal a y. Halla además el área del paralelogramo determinado por y. a) = (2, 3, 1) = (1, 2, 1) b) = (12, 3, 0) = ( 2, 5, 0) 12 Dados los ectores 2,1,3 1, 2,3 w 1, 1,0, halla el prodcto mixto,, w. Cánto ale el olmen del paralelepípedo qe tiene por aristas los ectores dados? - Página 11 -