PRUEBA DE ACCESO (LOGSE) UNIVERSIDAD DE CANTABRIA JUNIO (RESUELTOS por Antonio Menguiano) Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos

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1 IES CASTELAR ADAJOZ A Mengiano PRUEA DE ACCESO (LOGSE) UNIVERSIDAD DE CANTARIA JUNIO - 9 (RESUELTOS por Antonio Mengiano) MATEMÁTICAS II Tiempo máimo: horas y mintos - Debe escogerse na sola de las opciones - Debe eponerse con claridad el planteamiento de la respesta o el método tilizado para s resolción Todas las respestas deben ser razonadas - No se permite el so de calcladoras gráicas ni programables LOQUE º) Jstiica si cada na de las sigientes airmaciones es erdadera o alsa En caso de qe consideres qe la airmación es alsa pon n ejemplo ilstratio Si A y son dos matrices cadradas calesqiera, entonces A A b ) Si es na matriz cadrada, entonces ( ) I I c ) La sma de matrices reglares (inersibles) es na matriz reglar (inersible) En general, es also Sin embargo, eisten matrices qe cmplen la propiedad conmtatia Ejemplo: Las matrices A y cmplen qe A A A A A A En particlar se cmple siempre qe A A - A - A I

2 b ) Es erdadera ( I ) ( I ) ( I ) I I I I I c ) En general, es also Por ejemplo, la matriz identidad y s opesta son inersibles y s sma, qe es la matriz nla, no es inersible

3 º) De n sistema de ecaciones lineales con tres incógnitas se sabe qe tiene n parámetro m R tal qe: -- Si se mltiplica por la primera incógnita se obtiene el resltado de restar al número la sma de las otras dos incógnitas -- Si se mltiplica por la segnda incógnita se obtiene el resltado de restar al parámetro m la sma de las otras dos incógnitas -- Si se mltiplica por la tercera incógnita se obtiene el resltado de restar al cadrado de m la sma de las otras dos incógnitas Formla el sistema de ecaciones lineales descrito b ) Determina para qé alores de m el sistema es compatible determinado c ) Determina para qé alores de m el sistema es compatible indeterminado y calcla todas las solciones El sistema reslta: m y z my m z mz m y eqialente a m y z my z m y mz m b ) Para qe el sistema sea compatible determinado es necesario qe la matriz de coeicientes tenga rango tres, o sea, qe s determinante sea distinto de cero La matriz de coeicientes es M m m m M m m m m m m m m m Resoliendo por Rini:

4 Las raíces dierentes son m y m - m Para Rango m M nº incóg Compatible det er min ado c ) Para m la matriz ampliada es, en cyo caso la matriz de coeicientes y la matriz ampliada tienen rango M ' Para m Rango M Rango M ' < nº incóg Compatible (con dos grados de libertad) indet er min ado El sistema se transorma en la ecación y z, cyas solciones son: Solción : λ µ y λ, z µ λ, µ R Para m es M ', cyo rango es por ser: 9 9 Para m Rango M ;; Rango M ' Incompatible

5 LOQUE º) Considera la nción : R R deinida por ( ) si < si < si Determina si la nción es contina en los pntos - y b ) En el interalo (-, ) estdia si crece o decrece, s cratra y si tiene asíntotas c ) Razona si la nción es deriable en - y dibja s gráica para [, ] La nción () es contina para todo R, ecepto para los alores - y, qe es ddosa s continidad Para qe la nción sea contina para - tiene qe cmplirse qe los ites por la izqierda y por la derecha sean igales, e igales al alor de la nción en ese pnto: Para ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) La nción es contina para - Para qe la nción sea contina para tiene qe cmplirse qe los ites por la izqierda y por la derecha sean igales, e igales al alor de la nción en ese pnto: Para ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) La nción no es contina para

6 b ) En el interalo (-, ) la nción es ( ) '( ) >, (, ) La nción () es monótona creciente en (-, ) ''( ) >, (, ) La nción es conea (U) en s dominio ( ) La recta (eje Y) es asíntota ertical de la nción c ) Para qe la nción () sea deriable en - es necesario qe sea contina para -, cosa qe hemos comprobado en el apartado Y Para qe la nción sea deriable para tiene qe ser deriable por la izqierda y por la derecha y ser ambas deriadas igales () ' si < ( ) si si < '( ) si - - O X La gráica de () para [, ] La nción () es deriable en - es la qe aparece en el dibjo adjnto

7 º) Considera la nción g ( ) p q Determina las constantes p y q sabiendo qe, en, g alcanza n alor mínimo: b ) Halla na nción por el pnto A(, ) : R R qe sea na primitia de ( ) y qe s gráica pase c ) Jstiica si en erdadera o alsa la airmación sigiente: Una nción polinómica de segndo grado no tiene pntos de inleión Si la consideras alsa pon n ejemplo ilstratio g' ( ) p g' ( ) p ;; p ;; p p g ( ) q ;; 8 q ;; q q b ) Una primitia de ( ) es F ( ) d C F( ) Teniendo en centa qe ( ) F C ;; C La nción pedida es ( ) ( ) F c ) Es cierto Para qe na nción tenga n pnto de inleión es necesario qe s segnda deriada sea cero y s tercera deriada sea distinta de cero Si la nción polinómica es de segndo grado, la tercera deriada es siempre cero, por lo cal no pede tener pntos de inleión

8 LOQUE º) Sean y dos ectores tales qe ( ) ( ) 7 Calcla el módlo del ector y 9 b ) Considera los ectores a (,, ) y b (,, m) con m R Hallar el alor de m para qe a y b sean ortogonales Para m calcla el área del paralelogramo qe tiene por lados los ectores a y b ( ) ( ) 7 ;; cos cos α cos ( α ) cos cos α cos α 7 ;; 9 7 ;; 87 ;; 8 b ) Dos ectores son ortogonales (perpendiclares) cando s prodcto escalar es a (,, ) (,, m) b ;; m ;; m m Para m es (,, ) b El área de n paralelogramo es el módlo del prodcto ectorial de los ectores qe lo determinan: i j k S a b k j j k ( ) 5 S

9 º) Considera los planos π y z, la recta y z r y el pnto A(,, -) Halla na ecación general del plano qe pasa por el pnto A, es perpendiclar a π y además es paralelo a la recta r b ) Se desea constrir n cadrado qe tenga n értice en el pnto A y n lado sobre la recta s Determina la longitd de n lado del cadrado y las coordenadas del értice qe está en la recta r y es consectio al értice A Un ector director de r pede ser calqiera qe sea linealmente dependiente del prodcto ectorial de los ectores normales de los planos qe la determinan, qe son los sigientes: n (,, ) y n (,, ) i j k ' i j r r (,, ) El ector normal de π y z es (,, ) n La ecación general del plano pedido es la sigiente: π ( A; r, n ) ;; ( ) ( z ) ( z ) y ;; y z ( ) ( z ) y ;; z y π y z 5 b ) El haz de planos γ perpendiclares a la recta r tiene por ecación general la sigiente: γ y D De los ininitos planos del haz γ, el qe contiene al pnto A(,, -) es el qe satisace s ecación: γ y D A(,, ) D ;; D β y El pnto intersección de la recta r con el plano β es el értice bscado:

10 ,, ;; ;; ;; y y z y z y r β La longitd del lado del cadrado el la longitd del segmento A : ( ) A nid A