Opción A Ejercicio 1

Transcripción

1 Opción A Ejercicio [ 5 puntos] Se sabe que la función f:r R definida por f = - +b+ si, es deriable. a -5+a si > Determina los alores de a y b Para ser deriable debe de ser, primeramente, función continua, después la deriada debe de ser igual en el punto de discontinuidad. Continuidad f = lim f =- +b +=-+b+=b f = lim f = lim f b=a-5 lim f =a -5 +a=a-5 -+b si f' = a-5 si > f' = lim f' =-.+b=-+b f' = lim f' = lim f' b-=a-5 lim f =a -5=a-5 a-b=5 a-b=5 a=.-b= 4-b= b= a-b= -a+b=- f - ++ si = -5+4 si > [ 5 puntos] Calcula send Ejercicio b) [ 5 puntos] Sean las funciones f,g:r R, definidas por f = - y g =-. Calcula el área del recinto limitado por sus gráficas sen d=-.cos - -cos d=-.cos + cos d=-.cos +sen +K =u du=d sen d=d = sen d=-cos b) De Conchi Mérida (IES Inca Garcilaso) Se dibujan preiamente las funciones y el recinto limitado por ellas. f() = - + es una parábola eactamente igual que pero desplazada una unidad hacia arriba en ordenadas OY. (- es eactamente igual que pero simétrica respecto al eje de abscisas OX), por tanto su értice está en (0,), ramas de la parábola hacia abajo y corta al eje OX en (-,0) y (,0). g() = es una recta y con dos puntos es suficiente para dibujarla. Un esbozo de sus gráficas es Igualamos f() a g() para er los puntos donde cortan

2 - + =, de donde + = 0. Resoliendo la ecuación nos resulta = y = -. Área = - [(- + ) ( )]d = - (- + )d = [-/ / + ] - = (-/ / +) (8/ 4) = 9/ u.a. Ejercicio +z= [ 5 puntos] Resuele el sistema de ecuaciones -+y+z=0 -+y+5z= b) [ 5 puntos] Calcula sabiendo que el siguiente sistema tiene alguna solución común con el del +y+z= apartado -+y+z= +y+λz= - ( + z= + z= + z= -+y+z=0 E +E y +z= y +z= -+y+5z= E +E y+6z=4 E +E ( ) 0=0 Como tengo un sistema de ecuaciones con incógnitas es un sistema compatible indeterminado. Tomo z = m nº real y me queda = m e y = m. (,y,z) = ( m, m, m) con m nº real. (b) +y+z= Sea A = - y A * = - la matriz ampliada del sistema -+y+z= λ λ +y+λz=- Para que en principio este sistema tenga alguna solución común con el del sistema del apartado (, tiene que ser compatible e indeterminado, es decir rango(a) = rango(a * ) =. En A para que tenga rango su determinante tiene que ser cero, es decir A = 0. A =- = λ 6 λ Si A = 0, tenemos λ 6 = 0, de donde λ =. Veamos si rango A * es. F +F 0 Adjuntos En A * = - como - = - primera (-)(-)(-4-6) 0, tenemos que el λ F +F 0 columna rango A * =, sea cual sea el alor de λ. Si λ =, el sistema es incompatible al tener distintos rangos A y A *. Si λ, el sistema tiene solución única, que por Cramer sería: - - λ - λ - = = ()/( λ ); y= = ( λ + 7)/( λ ); z= = (-5)/( λ ) λ-6 λ-6 λ-6 Para que esta solución coincidiese con la del apartado ( tendría que erificarse a la ez: ()/( λ ) = m; ( λ + 7)/( λ ) = m y (-5)/( λ ) = m. De (-5)/( λ ) = m, tenemos λ = 5/m De ()/( λ ) = m, tenemos = λ 6 λm = λ( m ) 6, luego λ = 7/( m) Si las λ fuesen iguales tendríamos 7/( m) = 5/m, ecuación que tiene dos soluciones complejas en m, por tanto no hay ningún alor de λ que haga que el sistema del apartado (b) tenga alguna solución del sistema (. Sinceramente creo que en este apartado se han colado un pelín. Ejercicio 4 [ 5 puntos] Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto A(,, -), es paralela al plano de ecuación y + z = y corta al eje Z

3 El ector formado por el punto P y el punto del eje OZ, que es un ector de la recta r, es perpendicular al ector director del plano, siendo su producto escalar nulo La ecuación ectorial del eje OZ es (,y,z) = (0,0, λ) con λ cualquier número real y un ector director genérico del eje OZ sería z = OZ = (0,0, λ) uur uuuuuur r =A OZ =,, - - 0, 0, λ =,,--λ uur uur uuruur uur,e s decir r, luego r g =0 =,-, (,,-- λ)(.-,) = 0, de donde λ = 0, por tanto λ = 0, luego λ = -. =+.μ=+μ uur r =,, --- =,, 0r y=+.μ=+μ z=-+0.μ=- Opción B Ejercicio [ 5 puntos] Se sabe que la función f:r R definida por f =a +b +c+d, tiene etremos relatios en (0, 0) y (, ). Calcula a, b, c y d. f' =a +b+c f 0 =0 a.0 +b.0 +c.0+d=0 d=0 f a b c c f ' 0a b0a4b 0 f = a. +b. +c.= 8a+4b+c= 4a+b= ' a+b=0 4a+b= -a=a=-. - +b=0 b= -6a-b=0 f =- + Ejercicio Las dos gráficas del dibujo corresponden a la fu nción f : 0, + R definida por su deriada f' : 0, + R (ln denota logaritmo neperiano) [0 5 puntos] Indica, razonando la respuesta, cuál es la gráfica de f y cuál la de f b) [ puntos] Calcula el área de la región sombreada f = +ln y a la de

4 -. - f' =- + = = Estudiemos las funciónes por los puntos de corte con el eje OX y=0 +ln +ln =0 =0 +ln =0 R Función gráfica a Etremo relatio en -=0 Deriada gráfica b. - =0. - =0 -=0 = b) d ln d=.ln -. =.ln - d=.ln -=. ln - +K d u=ln du= d=d = d=. - A= +ln d- d= +ln d- - d= +ln - + d - - n d+ d=.. ln A= ln + d= l 4 4 A=.. ln --. ln =. ln =6.ln ln -8 A=6.ln -6++ =6.ln -4+ =6.ln - = u Ejercicio - - Considera las matrices A= - - y X= y - - z [ punto] Calcula, si eiste, A - b) [ 5 puntos] Resuele el sistema AX = X e interpreta geométricamente el conjunto de sus soluciones A A 0 A = - - = =7 0 A A =. adj A A t t - A= - - adja= -6-6 A = A =. - - = b) y+z --y+z= - -. y =. y -+y-z = y -+y-z=y - - z z -y-z z -y-z=z -5-y+z=0 5+y-z=0 --y-z=0 +y+z=0 Son tres planos Ecuación homogénea -y-5z=0 -y-5z=0 5 - Como = =0 Sistema Compatible Indeterminado y el rango es t 4

5 Como el sistema es compatible e indeterminado al tener rango es, para resoler el sistema sólo necesito dos ecuacione, pues la ª ecuación es combinación de las anteriores, por tanto los tres planos se cortan en una recta de ecuación (en forma implícit + y + z = 0 y 5z = 0. He tomado la ª y ª ecuación del sistema Ejercicio 4 +y=0 Sea la recta r definida por +z=0 [ punto] Determina la ecuación del plano perpendicular a r que pasa por el punto P(,, ) b) [ 5 puntos] Halla los puntos de r cuya distancia al origen es de 4 unidades (El plano tendrá como ector director el de la recta r que es perpendicular al ector formado por el punto P y el genérico G siendo su producto escalar nulo =-λ z=- y=- y=-, -, -, -, -6 -,, 6 r y=λ z=6λ uur uur uur uuur uur uuur PG.PG=0 = r = -,, 6 uuur PG=, y,z-,, = -, y-,z- -,, 6. -, y-, z- = y- +6. z- =0 +y+6z-7=0 -y-6z+7=0 (b) Or d = 4, de donde -λ-0 + λ-0 + 6λ-0 4. Operando y eleando al cuadrado tenemos 49λ 6, luego λ= 4/7. Resum iendo 4 8 =-. = λ= R y=. = R -,, z=6. = λ= =-. - = λ=- R y=. - =- R,-, z=6. - =