β = 0,0012 m. A) Usando la figura 2, determine el umbral de audición para la frecuencia del

Transcripción

1 Dos pastores de La Gomera ntrodcción Silbar es na forma de transmitir información a grandes distancias en espacios abiertos. Los lgares donde se tilizan estos lengajes silbados tienen nas características comnes: todos son zonas montañosas en las qe las comnicaciones son difíciles y la densidad de la población es baja. La razón es clara: n mensaje hablado se pede oír como mcho a nos 00 metros, mientras qe los silbadores se peden oír y entender hasta a 8 kilómetros de distancia. En España el silbo gomero es n lengaje de comnicación entre los pastores de la escarpada isla de La gomera. El hecho de silbar para comnicarse no es exclsivo de los habitantes de la Gomera, pdiendo encontrarse también en varias zonas del mndo como en Nepal, entre los indios Zapotecas de los montes de Oaxaca en Méjico e inclso en el Pirineo francés. Ennciado Dos pastores de la isla canaria de La Gomera qieren comnicarse entre sí mediante el silbo gomero según se mestra en la figra. El pastor silba con na frecencia principal de 5000 Hz, emitiendo con na potencia 0,5 W. El pastor recibe dos ondas de sonido: na qe llega directamente desde el pastor, y otra reflejada en el fondo del valle. Los valores de las altras son h 50 m, h 00 m y el coeficiente de absorción del aire a la frecencia del silbido es de - β 0,00 m. A) Usando la figra, determine el mbral de adición para la frecencia del silbido. B) Calcle la distancia horizontal máxima, d, qe peden estar separadas las montañas para qe el pastor escche al, si no se tiene en centa la absorción del aire. Qé sposición básica acerca de la composición de ondas ha de hacerse? C) Repita el apartado B) teniendo en centa la energía absorbida por el aire. D) En qé cambia el problema si el pastor qe silba o habla es el? Figra : dos pastores comnicándose con el silbo gomero

2 Figra : diagrama del oyente patrón

3 Resolción A) De la gráfica de la Figra del ennciado, se pede observar qe el mbral de adición hmano a na frecencia de f 5000 Hz es de B 5 db. Según la definición de decibelio, la intensidad sonora y el nivel de intensidad sonora B se relacionan según la fórmla B 0 log0 con 0. Por tanto la intensidad mbral a 5000 Hz reslta: 0 0 W/m 3,63 0 W/m 3 B) La intensidad de la onda sonora disminye debido al amento de la sperficie del frente de onda. En este apartado del problema se pide qe se desprecie los fenómenos de absorción de energía por parte del medio, por lo qe la energía distribida a lo largo del frente de onda es constante. Spestas qe las ondas sonoras en el espacio son esféricas e isótropas, la intensidad, qe se define como potencia por nidad de sperficie, disminye con el cadrado de la distancia según la expresión: P ( r) 4π r donde P es la potencia total generada por la fente. En el caso qe nos ocpa, al pastor qe esccha le llega el sonido del silbido a través de dos caminos: el qe llega directamente y el qe llega tras n rebote en el fondo del valle. De esta forma, la intensidad sonora qe esccha es debida a la sma de dos contribciones, la directa y la reflejada, d + r. La expresión de estas dos intensidades se pede obtener como: P P d, r 4π s 4 π ( s + s ) 3 donde se ha spesto qe no se pierde energía en la reflexión, s3 es la distancia en línea recta entre los dos pastores, s es el camino qe recorre la onda sonara desde el pastor qe silba hasta el fondo del valle y s es el camino qe recorre la onda desde el valle hasta el pastor qe esccha, tal y como se mestra en el esqema de la figra 3. Figra 3. Esqema de distancias.

4 Conociendo la altra de las dos montañas, h y h, y la distancia horizontal entre las cimas, d, y haciendo so de la ley de la reflexión qe indica θi θr, se peden conocer de forma sencilla la distancia qe recorre el sonido directo, s 3, y los caminos s y s qe recorre el sonido reflejado. La distancia s 3 se obtiene sabiendo qe s ( h h ) + d 3 Para obtener s y s se tiliza las relaciones s d + h y obtener d y d del sigiente sistema de ecaciones: d + d d s d + h, para lo qe hay qe h h d d donde la primera ecación es obvia si se observa el anterior esqema y la segnda ecación se debe a la igaldad entre ánglos incidente y reflejado. La solción del sistema de ecaciones es: h h s ( h + h ) + d, s ( h + h ) + d h + h h + h La intensidad sonora qe percibe el pastor qe esccha debido a la sma del sonido qe le llega directamente y el qe le llega a través de la reflexión es: P P d, r 4 π ( h h ) + d 4 π ( h + h ) + d ( ) ( ) y con ella la intensidad total reslta: P P h + h + d + 4 π ( h h ) + d ( h + h ) + d π h + h + d 4h h ( ) Si se qiere saber la distancia máxima entre las montañas para qe el segndo pastor escche el silbido del primero, es necesario obtener la distancia para la cal se cmple la condición (es decir, la distancia a la qe la intensidad total percibida igala al valor mbral). Esta igaldad implica na ecación de segndo grado con d como única incógnita qe pede resolverse analíticamente. El resltado es: P P d h h h h 6 4π + 4π + Para obtener la distancia máxima entre los picos a la cal se podría escchar el silbido, no hay más qe sstitir los datos del problema en la anterior ecación, resltando n valor: d 50,640 km De las catro solciones de esta ecación, dos de ellas son complejas conjgadas y no serán consideradas. Las otras dos solciones son ± 50,640 km. La solción negativa corresponde a na sitación simétrica, en la qe n pastor se sitase a la misma altra h qe el pastor del dibjo, y estviese a la misma distancia del. Como pede verse, la experiencia nos dice qe no es posible escchar n silbido a na distancia tan grande, por lo qe se espera qe el papel de la absorción no sea despreciable en este caso. Las sposiciones básicas qe se han realizado sobre la natraleza de la onda son qe es esférica isótropa y no-coherente. La no-coherencia de la onda implica qe no hay qe tener en centa fenómenos de interferencia, de forma qe la intensidad del sonido resltante de smar la onda

5 directa y la reflejada es igal a la sma de las intensidades de las dos ondas, lo qe no sería cierto si existiera coherencia entre las ondas. Esta sposición es correcta en la sitación qe se plantea en el problema. Sin embargo, al calclar la intensidad de la onda con la distancia, se spso qe la energía se distribye niformemente en la sperficie del frente de onda, es decir, qe es isótropa. Esta sposición no es cierta en general, ya qe el silbido se escchará mejor hacia delante qe hacia atrás (debido al efecto de absorción de la cabeza y de resonancia de la boca) lo qe implica na concentración de la energía en el ánglo sólido sitado delante del pastor. Habría, por tanto, qe introdcir n factor direccional en la expresión de la intensidad, de forma qe tviera en centa la anisotropía de la onda sonora. C) Cando na onda mecánica atraviesa n medio, parte de la energía de la onda es absorbida, invirtiéndose en calentar el medio por rozamiento. Por tanto la onda pierde energía a medida qe avanza. En general la cantidad de energía qe se absorbe es proporcional al camino recorrido y a la propia energía qe transporta la onda, lo qe implica n decaimiento exponencial en la intensidad de la onda con la distancia. Si este comportamiento se tiene en centa en la propagación de na onda esférica, la intensidad se pede expresar en fnción de la distancia como: P β r ( r) e 4π r donde β es el coeficiente de absorción qe caracteriza cada material y sele depender a s vez de la frecencia. La absorción varía drásticamente la dependencia tanto de la intensidad de la onda directa como de la onda reflejada con la distancia entre las dos montañas: d β ( h h ) + d β ( h + h ) + d P e P e y 4 π ( ) 4 ( ) r ( h h + d ) π ( h + h + d ) Al igal qe en el anterior apartado, para obtener la distancia máxima entre las montañas, d, a la cal se pede escchar el silbido, hay qe resolver la ecación, lo qe implica: ( h h ) dm á x ( h h ) dm á x P β + β + + e e + 4 π ( h h ) + d ( h + h ) + d La anterior ecación es na ecación trascendente, es decir, no se pede obtener la solción por medios analíticos y se necesita recrrir a métodos aproximados para poder resolverla. Un método aproximado para resolver la anterior ecación es calclar la intensidad total para distintos valores de d y ver para qe valor la intensidad total se hace menor qe. En la sigiente grafica se representa los valores de obtenidos para las distintas distancias. 0,0000 (W/m ) E-07 E-09 E- E-3 E d (km)

6 ambién se representa el valor de, qe se obtvo en el primer apartado y resltó ser 3 3,63 0 W/m. Se pede observar como, aproximadamente, la distancia a la qe se deja de escchar el silbido es a 7 km, qe contrasta con los más de 500 km qe resltaban si no se tenía en centa la absorción. Esto demestra qe, anqe en mchas sitaciones prácticas de acústica la absorción del aire pede despreciarse, esto no es así cando las distancias implicadas son del rango de kilómetros. Para obtener n valor más preciso de la distancia máxima, a continación se mestran los pares de valores ( d, ) tilizados para constrir la anterior gráfica, anqe sólo se mestran los valores en torno a la posición en la qe pasa a de ser mayor qe a ser menor: d (km) (W/m ) El valor máximo de la distancia a la se esccharía el silbido qe se obtiene de la tabla anterior es d 7,09 km La precisión a la qe se obtiene d se pede mejorar tanto como se qiera. Si ahora se toman diez pntos en el intervalo [7,09 km, 7,093 km], y se calcla la intensidad total, el resltado es: d (km) (W/m ) 7,090 3,65E-3 7,09 3,648E-3 7,09 3,643E-3 7,093 3,638E-3 7,094 3,634E-3 7,095 3,69E-3 7,096 3,64E-3 7,097 3,60E-3 7,098 3,65E-3 7,099 3,60E-3 7,0930 3,606E-3 abla : ntensidad total frente a la distancia. Haciendo so de esta tabla se pede obtener n valor más preciso de la distancia máxima entre las montañas: d 7,096 km 7,085 3,98E-3 7,086 3,935E-3 7,087 3,888E-3 7,088 3,84E-3 7,089 3,793E-3 7,09 3,746E-3 7,09 3,699E-3 7,09 3,65E-3 7,093 3,606E-3 7,094 3,559E-3 7,095 3,5E-3 abla : ntensidad total frente a la distancia. Debido a qe la ec. qe permite la obtención de d es na ecación trascendente, no se pede encontrar el valor exacto, sino qe sólo se peden obtener valores aproximados, anqe dicha aproximación pede ser tan precisa como se qiera, sin más qe repetir el procedimiento anteriormente indicado.