Tema 11: INTRODUCCIÓN A LAS EDP LINEALES DE 2º ORDEN: MÉTODO DE SEPARACIÓN DE VARIABLES

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1 Profesor: Roqe Molina egaz Tema 11: INTRODUCCIÓN A AS EDP INEAES DE 2º ORDEN: MÉTODO DE SEPARACIÓN DE VARIABES Programa detallado: 11.1 Introdcción. Sobre solciones de na EDP lineal Método de separación de variables Principio de sperposición Clasificación de las ecaciones Algnas ecaciones clásicas. Introdcción. Sobre las solciones de na EDP lineal. Una EDP de 2º orden con dos variables independientes x e es de la forma F x,, z, x,,, x, 2 0 mientras qe na EDP lineal de 2º orden con dos variables independientes x e será de la forma A x B 2 x C D 2 x E F G 1 donde los coeficientes A, B, C, D, E, F G son constantes o fnciones de x e. Cando Gx, 0 se dice qe la ecación es homogénea; en caso contrario diremos qe es no homogénea. Example as EDP lineales de 2º orden x son, respectivamente, homogénea no homogénea. x Definition a solción de na EDP lineal 1 es na fnción x, de dos variables independientes ( para las qe existen todas las derivadas qe aparecen en la ecación) qe la satisface en algna región del plano 0Y. No es nestra intención analizar procedimientos para encontrar solciones generales de las EDP lineales. A mendo no solamente es difícil obtener la solción general de na EDP lineal de 2º orden, sino qe na solción general habitalmente tampoco reslta m útil en las aplicaciones. Por tanto, en este tema introdctorio a estas EDP lineales de 2º orden nos centraremos en determinar solciones particlares de algnas EDP lineales importantes, pesto qe son ecaciones qe aparecerán en n gran número de aplicaciones. Algnos casos particlares. Para el caso particlar en qe en la ecación sólo nos aparecen derivadas parciales respecto

2 de na variable la integración pede realizarse de forma fácil a qe podemos tratarla como na edo respecto de esa variable, tomando la otra como constante: Example a EDP de 2º orden 0 2 pede ser reselta integrando dos veces respecto de : Integrando sobre, tendremos fx, e integrando nevamente tendremos fx gx con f, g fnciones arbitrarias. Example Resolver x 0 Solción: Tomando w, la EDP anterior se transforma en w x w 1 qe es na edo lineal de 1er orden. Resolviéndola, se obtiene w 1 Fe x con F fnción arbitraria. Usando el cambio original e integrando respecto a : e x Fd gx Example Resolver x 2 e x Solción: a resolveremos como si fese na edo no homogénea lineal de 2º orden. Así primero hemos de resolver x 2 0 Tomando entonces como constante, la solción general de esta "edo" homogénea es gral fe x ge x Para encontrar la solción particlar saremos coeficientes indeterminados, sponiendo qe part Ae x Sstitendo esta última fnción en la ecación dada,reslta por lo qe Ae x 2 Ae x e x A Así, na solción de la ecación dada es fe x ge x e x 1 2

3 Como a hemos resaltado anteriormente, la maoría de las EDP no peden ser reseltas tan fácilmente como en los tres ejemplos anteriores. Sin embargo, en mchas aplicaciones en qe intervienen EDP lineales bastará con obtener solciones particlares. Método de separación de variables. A pesar qe existen varios métodos qe peden tilizarse para encontrar solciones particlares de na EDP lineal, con el método de separación de variables nestro objetivo será encontrar na solción particlar en forma de prodcto de na fnción de variable x de na fnción de variable, x, xy Mediante esta sposición, con frecencia será factible redcir na EDP lineal de dos variables a dos edo. Con este objetivo, notemos qe Y x Y 2 donde las primas indican las derivadas ordinarias. Y Y Example Hallar solciones en forma de prodcto para la ecación 4 Solción: Al sstitir x, xy en la EDP, se obtiene Y 4Y de forma qe dividiendo ambos miembros entre 4Y separamos las variables 4 Y Y Como el miembro izqierdo de esta expresión es independiente de es igal al miembro derecho, qe es independiente de x, podemos conclir qe ambos miembros de la ecación son independientes de x e. Es decir, cada miembro de la ecación debe ser constante. A efectos prácticos, reslta conveniente escribir esta constante como. Así, a partir de las dos igaldades 4 Y Y obtendremos dos edo lineales 4 0 Y Y 0 2 a primera es na edo lineal de segndo orden mientras qe la segnda es na edo lineal de primer orden. Según los valores de distingiremos tres casos: qe sea cero (es decir, 0), positivo (es decir, 2, siendo 0) negativo (es decir, 2, siendo 0): Caso I 0 : En este caso las edo dadas por2 se transforman en 0 Y 0 qe tienen por solción c 1 c 2 x; Y c 3. Por tanto, na solción en forma de prodcto particlar de la EDP dada será Y c 1 c 2 xc 3 A 1 B 1 x Caso II 2, con 0 : En este caso las edo dadas por2 se transforman en

4 qe tienen por solción Y 2 Y 0 c 4 cos2x c 5 sin2x; Y c 6 e 2 Por tanto, na solción en forma de prodcto particlar de la EDP dada será Y c 4 cos2x c 5 sin2xc 6 e 2 A 2 e 2 cos2x B 2 e 2 sin2x Caso III 2, con 0 : En este caso las edo dadas por2 se transforman en qe tienen por solción Y 2 Y 0 c 7 e 2x c 8 e 2x ; Y c 9 e 2 respectivamente. Por tanto, na solción en forma de prodcto particlar de la EDP dada será Y c 7 e 2x c 8 e 2x c 9 e 2 A 3 e 2x2 B 3 e 2x2 Se deja como ejercicio comprobar qe efectivamente las tres expresiones particlares anteriores satisfacen la ecación de partida. Example Hallar na solción en forma de prodcto para k t, k 0 qe verifiqe las condiciones 0, t 0,, t 0. Solción: Si T, podemos escribir la ecación dada como kt T 2 obtendremos dos edo lineales qe tiene por solciones 2 0 T k 2 T 0 3 c 1 cosx c 2 sinx; respectivamente. Ahora bien, pesto qe 0, t 0Tt 0, t Tt 0 T c 3 e k2 t habrá de ser Estas son condiciones de frontera para la edo 2 0. Aplicando la primera de estas condiciones a s solción, reslta inmediatamente qe c 1 0, por lo qe c 2 sinx. a segnda condición de frontera implica qe c 2 sin 0. Así, habrá de ser c 2 0 (a qe si c 2 0, entonces 0, por lo qe 0, qe será na solción trivial de la EDP original), por lo qe entonces de sin 0, tendremos n o n, siendo n 1, 2, 3,... Por consigiente c 2 sinx c 3 e k2 t A n e k n2 2 2 t sin n x es na solción de la EDP original qe cmple las condiciones iniciales dadas. El

5 coeficiente c 2 c 3 anterior se ha expresado como A n para indicar qe se obtiene na solción distinta para cada valor de n. Remark En este último ejemplo solamente se ha estdiado el Caso II del ejemplo anterior. Se deja para el lector comprobar qe si se sa calqiera de los otros dos casos no se obtiene na solción de la EDP original qe cmpla las condiciones iniciales. a separación de variables no es n método general para encontrar solciones particlares; algnas EDP lineales simplemente no se peden separar: por ejemplo, pede el almno comprobar qe el spesto Y no nos da na solción para la EDP x Principio de sperposición. El sigiente resltado es similar al qe a conocemos para edo lineales de orden sperior (como vimos en Matemáticas I): Theorem (Principio de sperposición). Si 1, 2,..., n son las solciones de na EDP lineal homogénea, entonces la combinación lineal c 1 1 c 2...c n n siendo c i constantes, también es solción. En lo qe resta de capítlo spondremos qe siempre qe tengamos n conjnto infinito 1, 2,.. de solciones de na EDP lineal homogéna, podremos constrir otra solción formando la serie infinita siendo c i constantes. c n n Example En virtd del prinicipio de sperposición, la fnción definida mediante la serie A n e k n2 2 2 t sin n x también satisfará (anqe sea formalmente) la EDP del último ejemplo anterior. Notemos también qe esta última expresión de como serie infinita satisface las condiciones iniciales 0, t 0,, t 0. Clasificación de las ecaciones. Una EDP lineal de segndo orden en dos variables independientes con coeficientes constantes pede clasificarse en tres tipos diferentes. Esta clasificación dependerá solamente de los coeficientes de las derivadas de segndo orden: Definition a EDP lineal de segndo orden A x B 2 x C 2 D x E donde A, B, C, D, E F son constantes reales, se dice qe es F 0 4

6 Hiperbólica si B 2 4AC 0. Parabólica si B 2 4AC 0. Elíptica si B 2 4AC 0. Example Clasificar las sigientes EDP a) 3 b) 2 c) 2 0 Solción: Si escribimos cada ecación en la forma general anterior4, tendremos ECUACIÓN COEFICIENTES B 2 4AC TIPO 3 0 A 3, B C 0 0 Parabólica 2 0 A 1, B 0, C 1 4 Hiperbólica 2 0 A 1, B 0, C 1 4 Elíptica Remark Una explicación más detallada de por qé desearíamos clasificar na EDP lineal de 2º orden sobrepasa el objetivo inicial de esta introdcción. Sin embargo, la respesta reside en el hecho de qe deseamos resolver EDP sjetas a ciertas condiciones alternas conocidas (como son las condiciones iniciales las de frontera). os tipos apropiados de condiciones alternas para na determinada ecación están en fnción de si la EDP es hiperbólica, parabólica o elíptica. Algnas ecaciones clásicas. En este último apartado del tema nos centraremos en hallar las solciones prodcto de las sigientes EDP lineales de 2º orden homogéneas k t, k 0 5 a 2 t o ligeras variaciones de ellas. Como a avanzamos en el tema anterior, estas ecaciones clásicas de física/matemáticas se conocen, respectivamente, como ecación nidimensional del calor, ecación nidimensional de onda ecación bidimensional de aplace. El término "nidimensional" se refiere a qe x expresa na dimension espacial mientras t representa el tiempo; en la tercera ecación "bidimensional" significa qe x e son dimensiones espaciales. Sigiendo la clasificación introdcida en el apartado anterior, notamos fácilmente qe la ecación del calor es parabólica, qe la de onda es hiperbólica qe la de aplace es elíptica. Remark a ecación 5 se presenta en la teoría del fljo de calor, esto es, la transferencia de calor por condcción en na varilla o alambre delgado. a fnción x, t es la temperatra.

7 os problemas acerca de vibraciones mecánicas a mendo llevan a la ecación de onda 6. Para efectos del presente análisis, na solción x, t de 6 representará el desplazamiento de na cerda idealizada. Por último, comentaremos qe na solción x, de la ecación de aplace 7 pede interpretarse como la distribción de temperatra de estado estable (es decir, independiente del tiempo) en na placa delgada de dos dimensiones. Remark En mchos libros de Ecaciones Diferenciales pede estdiarse como srgen las anteriores ecaciones diferenciales parciales, así como cales son las habitales sposiciones de simplificación, qe dan lgar a los respectivos problemas de condiciones iniciales o de frontera qe vamos a intentar resolver. Por ejemplo, todo lo anterior podemos verlo en el texto Zill, D. G. - Cllen, M. R.: Matemáticas Avanzadas para Ingeniería I - Ecaciones Diferenciales, de la editorial McGraw-Hill. a ecación del calor. Consideramos na varilla delgada de longitd con temperatra inicial fx en toda ella cos extremos se mantienen a temperatra cero en todo tiempo t. Bajo nas hipótesis adicionales, qe peden verse en el texto anteriormente mencionado (haciendo coincidir la barilla con el eje en el intervalo 0,, básicamente las hipótesis consisten en sponer qe dentro de la varilla el fljo de calor tiene lgar solo en la dirección x; qe la sperficie lateral -o crva- de la varilla está aislada -esto es, no se escapa calor de s sperficie-; qe no se genera calor dentro de la varilla; qe la varilla es homogénea -es decir, s masa por nidad de volmen es constante-;, por último, qe el calor específico la condctividad térmica del material de la varilla son constantes), entonces s temperatra x, t se determina mediante el problema de valores en la frontera k, k 0, 0 x, t 0 t 0, t 0,, t 0 x, 0 fx (donde la constante k es proporcional a la condctividad térmica se llama difsividad térmica). Este problema, a excepción de la última condición inicial x, 0 fx, ha sido reselto por separación de variables en n ejemplo anterior (nos hemos qedado solamente con el Caso II, a qe los otros dos casos qedan redcidos a x 0, por lo qe tendríamos como solción x, t 0), obteniéndose como solción n x, t A n e k n2 2 2 t sin n x Así, con la finalidad de qe esta solción verifiqen también la condición inicial x, 0 fx, podríamos seleccionar el coeficiente A n de tal manera qe n x, 0 fx A n sin n x En general, no es de esperar qe esta última condición qedase satisfecha mediante calqier selección de f. Por tanto,estamos obligados a admitir qe la anterior n x, t no es na solción del problema dado por 8. Sin embargo, mediante el principio de sperposición, la fnción 8

8 x, t n x, t A n e k n2 2 2 t sin n x también debe satisfacer la ecación las condiciones de partida dadas por 8. Si sstitimos t 0 en la expresión anterior, se llega a x, 0 fx A n sin n x siendo esta última expresión la expansión de medio intervalo de f en na serie seno. Haciendo la identificación A n b n, se llega a qe A n 2 fx sin n x dx 0 (ver seccion 10.3 del texto mencionado en la última observación anterior). Por tanto, podemos conclir qe na solción al problema de valores en la frontera dado por 8 está dado por la serie infinita x, t 2 fx sin n x dx e k n t sin n x Por ejemplo, para el caso particlar en qe la temperatra inicial sea x, 0 100, k 1, pede probarse qe los coeficientes A n vienen dados por A n n n por lo qe la solción vendrá dada por la serie x, t n n e n2t sinnx a ecación de onda. En este ejemplo consideramos las vibraciones transversales de na cerda extendida entre dos pntos, por ejemplo, x 0 x. Si esta cerda la hacemos coincidir con el eje 0 en el intervalo 0,, el movimiento de la misma se prodcirá en el plano Y, de manera tal qe cada pnto de la cerda se meve en dirección perpendiclar al eje 0. Si x, t denota el desplazamiento de la cerda para t 0 medidos desde el eje 0, entonces satisface la ecación a 2 t 2 donde sponemos qe: a cerda es perfectamente flexible. a cerda es homogénea (es decir, s masa por nidad de longitd es constante). os desplazamientos de son peqeños comparados con el largo de la cerda. a tensión de la cerda es constante. a tensión es grande en comparación con la ferza de gravedad. No actúan otras ferzas sobre la cerda. Por consigiente, n problema típico de condiciones en la frontera es

9 a 2 t 2, 0 x, t 0 x, 0 fx, 0, t 0,, t 0, t 0 t t0 gx, 0 x as condiciones de frontera de 9 simplemente dicen qe los extremos de la cerda permanecen fijos en todo instante. En t 0, las fnciones f g dadas por las condiciones anteriores especifican la configración inicial la velocidad inicial de cada pnto de la cerda, respectivamente. En el contexto está implícito qe f es contina qe f0 f 0. 9 Para solcionar este problema, separaremos variables en la EDP anterior, por lo qe si x, t xtt, obtendremos por lo qe T a 2 T 0 T a 2 T 0 10 Tal como ocrre en el problema anterior, las condiciones de frontera nos llevan a qe 0 0. Por tanto, la primera de las dos edo dadas por 10 jnto con las condiciones de frontera nos dan lgar al PVI habital 0, De las tres posibilidades para el parámetro ( 0, ) solamente la última nos lleva a solciones no triviales. Así, la solción general de 11, correspondiente a 2, 0, es c 1 cosx c 2 sinx as condiciones 0 0 indican qe c 1 0 c 2 sin 0. Esta última expresión indica qe n o n. os valores propios las correspondientes fnciones propias de 11 son n n 2 x c 2 sin n x n 1, 2, 3,... a solción general de la segnda edo de 10 es Tt c 3 cos na t c 4 sin na t Volviendo a escribir c 2 c 3 como A n c 2 c 4 como B n, las solciones qe satisfacen tanto la ecación onda como las condiciones de frontera son n A n cos na t B n sin na t sin n x x, t A n cos na t B n sin na t sin n x 12 Haciendo t 0 en esta última expresión, reslta x, 0 fx A n sin n x el cal es n desarrollo de f en serie de senos en medio intervalo. Como para la ecación del fljo de calor, podemos poner A n b n, A n 2 fx sin n x dx 13 0 Para determinar B n, derivamos12 con respecto a t lego hacemos t 0 :

10 t A n na t t0 sin na t B n na cos na t sin n x gx B n na sin n x Para qe esta última serie sea n desarrollo de g en serie de senos en medio intervalo en el na intervalo dado, el coeficiente total, o B n, debe estar dado por la forma B n na 2 gx sin n x dx 0 de donde B n 2 na 0 gx sin n x dx 14 Por tanto, la solción formal del problema viene dada por la expresión 12, con A n B n dados por respectivamente. Notemos qe cando la cerda se selta a partir del reposo, entonces gx 0 para todo x en 0 x, en consecencia, B n 0. a ecación de aplace. Spongamos qe se qiere obtener la temperatra x, correspondiente al estado permanente en na placa rectanglar cas orillas verticales x 0 x a se encentran aisladas, mientras qe las orillas sperior e inferior b e 0 se mantienen a temperatras fx 0, respectivamente. Cando no se pierde calor a través de las caras laterales de la placa, el problema viene dado por 2 0, 0 x a, 0 b x x0 0, x xa 0, 0 b x, 0 0, x, b fx, 0 x a Tomando entonces x, xy, obtendremos Y Y 2 por lo qe Y 2 Y 0 16 c 1 cosx c 2 sinx Y c 3 cosh c 2 sinh 17 En 16, las tres condiciones de frontera nos llevan a qe 0 0, a 0 Y0 0. Derivando haciendo x 0 se obtiene c 2 0, por lo tanto c 1 cosx. Derivando nevamente haciendo x a reslta c 1 sina 0. Esta última condición se satisface cando 0, cando a n o bien n a, siendo n 1, 2,... Notemos qe 0 implica qe la primera de las ecaciones de 16 se transforma en 0. a solción general de esta ecación viene dada por la fnción lineal c 1 c 2 x, qe no coincide con 17. En este caso, las condiciones de frontera 0 0, a 0 exigen qe c 1. Contrariamente a los dos ejemplos anteriores, estamos obligados a conclir qe 0 es n valor propio. Haciendo corresponder 0 con n 0, se tiene qe las fnciones propias son c 1, n 0 c 1 cos n a x, n 1, 2,... Finalmente, la condición Y0 0 obliga a qe c 3 0 en 16, cando 0. Sin embargo, cando 0 la ecación se transforma en Y 0 por tanto la solción será Y c 3 c 4 en

11 lgar de la dada por 17. No obstante, Y0 0 nevamente implica qe c 3 0 así Y c 4. Por consigiente, las solciones en forma de prodcto de la ecación qe satisfacen las tres primeras condiciones de frontera son A 0, n 0 A n sinh n a cos n a x, n 1, 2,... El principio de sperposición nos da otra solción más x, A 0 Sstitendo en esta expresión b reslta x, b fx A 0 b A n sinh n a cos n a x 18 A n sinh n a b cos n a x lo qe es n desarrollo de f en serie de cosenos de medio intervalo. Si hacemos las identificaciones A 0 b a 0 /2 A n sinh n a b a n, tendremos qe 2A 0 b 2 a 0 a fxdx; An sinh n a b 2 a 0 a fx cos n a x dx o lo qe es lo mismo A 0 ab 1 a fxdx; An 2 a fx cos n 0 a sinh n a b 0 a x dx 19 Por tanto, la solción formal de este problema viene dado por la serie 18 donde los coeficientes vienen dados por 19.