XI.- TRANSMISIÓN DE CALOR POR CONVECCIÓN CAPA LIMITE TÉRMICA E HIDRODINÁMICA

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1 XI.- TRANSMISIÓN DE CALOR POR CONVECCIÓN CAPA LIMITE TÉRMICA E HIDRODINÁMICA XI..- INTRODUCCIÓN Antes de entrar en la metodología qe permite determinar el coeficiente de transferencia de calor por convección h C, examinaremos con cierto detalle el proceso fenomenología de la convección, así como s relación con el movimiento del flido. Si a títlo de ejemplo se spone na placa plana sobre la qe fle na corriente flida, lo primero qe se observa es qe la velocidad del flido dismine a medida qe nos aproximamos hacia la sperficie de la misma, como consecencia de las ferzas de viscosidad. Como la velocidad de la capa de flido en contacto con la pared es cero ( pf ) la transferencia de calor entre la sperficie esta capa de flido está originada únicamente por condcción, cmpliéndose qe: q C - k F dt d h C (T pf - T F ) anqe ésto sgiere qe el proceso térmico pdiera considerarse como de condcción, lo cierto es qe el gradiente de temperatras en la sperficie: dt d viene determinado por la velocidad a qe pede ser transportada la energía por el flido más alejado de la pared, hacia el interior de la corriente principal, por lo qe el gradiente de temperatras en la sperficie del sólido depende del campo de fljo, de forma qe las velocidades más elevadas son las qe originan maores gradientes de temperatra maores velocidades de transferencia de calor. No obstante, ha qe tener presente la condctividad térmica k F del flido qe está interviniendo directamente; para el caso del aga, el valor del coeficiente k F es de n orden de magnitd maor qe el del aire, lo qe implica el qe el coeficiente de transferencia térmica por convección sea también maor XI.-6

2 en el caso del aga, qe en el caso del aire. La sitación es m parecida cando se estdia la convección libre; la diferencia principal radica en qe en el caso de la convección forzada, la velocidad tiende hacia el valor de la corriente sin pertrbar impesta por na ferza exterior, mientras qe en la convección libre la velocidad crece al principio, a medida qe va amentando la distancia desde el plano, debido a qe el efecto de la viscosidad dismine más rápidamente qe la variación de densidades, qe lo hace más lentamente; sin embargo, la ferza ascensional dismine cando la densidad del flido se acerca al valor de la del flido qe lo rodea; ésta es la casa de qe la velocidad alcance n valor máximo tienda a cero bastante lejos de la sperficie caliente. La distribción de temperatras en la convección forzada libre tienen formas análogas en ambos casos el mecanismo de transferencia de calor en la interfase (flido/sólido) es la condcción. El coeficiente de transferencia de calor por convección h C depende, en general, de algnas propiedades inherentes al fljo del flido, como son s densidad, viscosidad velocidad, de ss propiedades térmicas (condctividad térmica calor específico): h C f (ρ, η,, k F, c p ) Mientras qe en la convección forzada la velocidad del flido viene impesta normalmente por la acción de na bomba o n ventilador, pede especificarse directamente, en la convección libre la velocidad depende de na serie de factores como son, a) La diferencia de temperatras entre la sperficie el flido, T pf - T F b) El coeficiente de dilatación térmica del flido β (qe determina la variación de s densidad por nidad de diferencia de temperatras), por canto: v v F { + β (T - T F )} ; ρ F ρ + β (T - T F ) c) El campo de ferzas exteriores qe actúan sobre el sistema qe, en la maoría de las sitaciones, se redce únicamente al campo gravitatorio g. Para adqirir na cierta comprensión del significado de los parámetros qe intervienen en la convección forzada, se pede examinar con maor detalle el campo de ferzas; así, para na placa plana inmersa en na corriente flida, el fljo a diversas distancias del borde de ataqe de la placa se desarrolla en na región en la qe las ferzas de viscosidad frenan al flido, disminendo s velocidad. Las ferzas de viscosidad dependen de la tensión de corte: τ η d d La región del fljo próxima a la placa, en donde la velocidad del flido se ve frenada por las ferzas de viscosidad, se denomina capa límite, siendo s espesor igal a la distancia existente entre la placa la región del flido donde éste tiene na velocidad igal al 99% de la correspondiente a la corriente libre; la región de flido qe se encentra más allá de esta región se denomina régimen de fljo potencial o régimen no pertrbado. Inicialmente el fljo de n flido dentro de la capa límite es completamente laminar; el espesor de la capa límite va creciendo a medida qe amenta la distancia respecto al borde de ataqe, llegándose así XI.-6

3 a qe a na cierta distancia x C el efecto de la ferzas de inercia llega a ser lo sficientemente importante, en comparación con la acción amortigadora de la viscosidad, qe en el fljo empiezan a aparecer a crecer peqeñas pertrbaciones; a esta distancia se la conoce como distancia crítica. Cando comienzan a amplificarse estas pertrbaciones, la reglaridad del fljo viscoso se ve alterada tiene lgar na transición, de forma qe el fljo pasa de laminar a trblento. En la región del fljo trblento, las partíclas de flido se meven a través de líneas de corriente qe transportan con más o menos violencia tanto la energía térmica, como la cantidad de movimiento. El coeficiente de transferencia de calor por convección h C varía con la posición, respecto al borde de entrada para na placa plana o desde la entrada de n tbo o condcto cerrado. El parámetro qe describe la variación espacial es el coeficiente de transferencia de calor local h Cx, siendo x la distancia qe ha desde el borde de ataqe de la placa o entrada del tbo a la sección considerada. Si se desea calclar en el intervalo ( x L) el coeficiente medio de transferencia térmica por convección h C, ha qe conocer el coeficiente de transferencia de calor local h Cx, siendo la relación existente entre ellos de la forma: xl h C L h Cx dx h Cx xl x en la qe L es la longitd de la placa o del tbo considerada. XI..- ECUACIÓN DIFERENCIAL DE LA TRANSMISIÓN DE CALOR EN UN MEDIO EN MOVIMIENTO Cando se hace el estdio de la convección forzada ha qe tener en centa qe los fenómenos qe inflen en ella son, n transporte de materia la condctividad térmica. Para s comprensión vamos a considerar n paralelepípedo de flido elemental, de volmen nidad, Fig XI., de dimensiones dx, d, dz, teniendo en centa qe en el proceso intervienen tanto la temperatra T F como la velocidad V F V(,v,w) del flido, qe el calor prodcido por rozamiento interno es despreciable. Mediante n balance de energía se obtiene: Calor qe penetra según Ox en la nidad de tiempo debido a la velocidad: Q x m c F T (ρ d dz) c F T ρ ( T) c F d dz Calor disipado según Ox: Fig XI..- Paralelepípedo elemental de flido Q x ρ c F [ T + ( T) dx] d dz habiendo reagrpado T porqe ambas intervienen en el interior del paralelepípedo elemental. El calor qe se almacena en el paralelepípedo según Ox, en la nidad de tiempo, debido a las masas entrantes salientes es: Q x - Q x - ρ c F (T) dx d dz XI.-6

4 Teniendo en centa el conjnto de las tres direcciones, se obtiene la expresión del calor total almacenado dentro del paralelepípedo elemental, debido a las variaciones de velocidades temperatras de las masas de flido circlante: Q Q - ρ c F dx d dz { (T) Ox, es: + (vt) + (wt) z } - ρ c F dx d dz { T + v T + w T z + T ( + v + w z )} - ρ c F dx d dz { T + v T + w T z + T div r V } El calor qe se almacena en el volmen elemental debido a la condcción en la nidad de tiempo, según el eje Q * X - k (d dz) T Q * X Q * X + Q X * dx - k T (T + lego en la dirección Ox se tiene: Q * X - Q * X k T dx d dz T dx) d dz - k ( + T dx) d dz Smando los calores almacenados por condcción en las tres direcciones en la nidad de tiempo, se obtiene: Q * - Q * k ( T + T + T z ) dx d dz k ( T) dx d dz Finalmente, el calor total almacenado en el elemento de volmen considerado en el tiempo dt, será el mismo qe la sma de los calores almacenados, anteriormente dedcidos: En el tiempo t : Q t ρ dx d dz c F T En el tiempo t + dt : Q t+dt ρ dx d dz c F (T + T t dt) por lo qe el calor almacenado en dt es: Q t+dt - Q t ρ dx d dz c F T t dt El balance térmico es de la forma: k ( T) dx d dz - ρ c F dx d dz ( T + v T + w T z + T div r V ) ρ dx d dz c F T t dt α ( T) - ( T + v T + w T z + T div r V ) T t dt Si se considera flido incompresible, div r V si además el régimen es permanente, tanto térmico, XI.-64

5 como dinámico: T t dt qedando con estas dos condiciones lo sigiente: α ( T) T + v T + w T z qe es na ecación diferencial con 4 incógnitas T,, v, w, por lo qe serán necesarias otras ecaciones, qe son las de Navier-Stokes, de la forma: ρ ρ ρ p X - d dt + ν + ν div r V p Y - dv dt + ν v + ν div r V p z Z - dw dt + ν w + ν z div r V completándose así el sistema de ecaciones qe rige el fenómeno termohidrodinámico. En las ecaciones de Navier-Stokes, las componentes (X,Y,Z) de la resltante de las ferzas exteriores qe actúan sobre el sistema elemental de flido qedan redcidas para flidos pesados a X ; Y ; Z g, pdiéndose poner para la tercera ecación de Navier-Stokes (ρ Z ρ g) para el caso en qe T permanezca constante. A s vez, como el flido al calentarse o enfriarse modifica s densidad, en el intervalo de temperatras T T, se tiene: g (ρ - ρ) ρ g ( ρ ρ - ) v v { + β (T - T )} ; ρ ρ + β (T - T ) ρ g β (T - T ) ρ g β T siendo ρ la densidad del flido a la temperatra T v el volmen específico del flido. La tercera ecación de Navier-Stokes qeda en la forma: ρ p z g β T - dw dt + ν w XI..- CAPA LIMITE LAMINAR EN FLUJO SOBRE PLACA PLANA En el movimiento de flidos sobre na placa plana, la Hidrodinámica clásica se limita a imponer, como condición de contorno, la tangencia del vector velocidad, mientras qe la Mecánica de Flidos viscosos exige la condición adicional de adherencia al contorno de la placa, qe es mcho más restrictiva qe la de tangencia. En los flidos poco viscosos, los esferzos tangenciales son, con frecencia, m inferiores a los de inercia o a los de gravedad, pero ésto no atoriza a prescindir de los esferzos viscosos, qe peden llegar a ejercer na inflencia considerable sobre la configración del movimiento. Prandtl, en 94, propone qe el estdio del movimiento de n flido de viscosidad peqeña, se podía asimilar al de n flido perfecto, salvo en na capa próxima al contorno, de espesor, en la qe concen- XI.-65

6 traba los fenómenos de fricción, qe llamó capa límite; en el exterior de dicha capa, las tensiones tangenciales son despreciables, predominando las ferzas de inercia sobre las de viscosidad, mientras qe en el interior de la capa límite la proximidad del contorno hace qe el gradiente de velocidades sea m grande, por lo tanto, qe la tensión tangencial τ η d d sea también m grande. En esta sitación las ferzas de fricción son del mismo orden de magnitd qe las ferzas de inercia. El espesor de la capa límite pede estar comprendido entre nas pocas moléclas algnos milímetros, según los casos; fera de la capa límite se peden tilizar las ecaciones de Eler o métodos experimentales basados en las líneas redes de corriente, qe na vez configradas alrededor del contorno o perfil deseado, permiten obtener el campo de velocidades la distribción de presiones correspondiente. En el estdio de la capa límite ha qe tener presentes las sigientes consideraciones: a) Anqe la pertrbación prodcida por la fricción se propaga a todo el flido, se admite qe la propagación qeda limitada a na zona del mismo de espesor finito, en sentido normal al contorno. b) La forma de la crva de distribción de velocidades en las distintas secciones a lo largo de la capa límite, se pede expresar, en general, mediante las sigientes ecaciones, Fig XI.: Régimen laminar: Régimen trblento: V C + C ( ) + C ( ) + C ( )... V m en la qe V es la velocidad niforme del flido no pertrbado; la capa límite en s desarrollo longitdinal, mestra na tendencia progresiva al ensanchamiento, Fig VII.b. V V x Fig XI..a.b.- Capa límite POLINOMIO DE SEGUNDO GRADO.- Si la distribción de velocidades es de la forma, V C + C ( ) + C ( ) con las condiciones: Para:, C Para:, V C + C Para:, ( / ) V ( C + C ) C + C ; C + C XI.-66

7 C + C C + C C ; C - la forma del perfil de la distribción de velocidades de la capa límite, en régimen laminar, con n polinomio de segndo grado, es: V - ( ) POLINOMIO DE TERCER GRADO.- Si el polinomio es de tercer grado: V C + C ( ) + C ( ) + C ( ) con las condiciones: Para:, C Para:, V C + C + C Para:, ( / ) V { C + C ( ) + C ( ) } ; C + C + C Para: ; ; V { + C + 6 C ( )} C C + C + C C + C + C C C ; C ; C - la forma del perfil de la distribción de velocidades de la capa límite, en régimen laminar, con n polinomio de tercer grado, sería: V - ( ) La experiencia ha permitido comprobar, para placa plana, qe el movimiento laminar en la capa límite llega a hacerse inestable cando se sobrepasa n valor crítico del número de Renolds: Re c V x C ν siendo x C la distancia a partir del borde de ataqe de la placa. La capa límite contina s desarrollo, como se mestra en la Fig XI.; a partir de x C, se origina la capa límite trblenta, qe se divide en dos sbcapas, na de las cales, en las proximidades de la placa, permite definir na delgada sbcapa marcadamente laminar. Los valores críticos del número de Renolds qe definen la transición para placa plana, son: Re laminar < 5. 5 ; Re trblento >. 6 XI.-67

8 Fig XI..- Desarrollo de la capa límite laminar Para flidos qe circlan entre dos paredes próximas, el ensanchamiento progresivo de la capa límite de cada contorno determina qe éstas se nan, a na cierta distancia de la entrada, desapareciendo la zona en qe el movimiento podía ser asimilable a n flido perfecto, para realizarse todo él bien en régimen laminar, o bien en régimen trblento, según el valor del número de Renolds. En tberías sólo se pede considerar el movimiento como irrotacional, en las proximidades de la embocadra; con fljo totalmente desarrollado, no. ESPESORES Y CAUDALES DE LA CAPA LIMITE.- Mediante el concepto de capa límite es posible concentrar en n espesor los fenómenos de fricción; ello implica el qe se tengan qe cmplir las sigientes condiciones: a) El valor de la velocidad r correspondiente a ( ) tiene qe estar m próximo a r V pes entonces el gradiente de velocidades será despreciable; sele tomarse (,99 V ). b) El esferzo de fricción evalado en la zona de espesor, (a lo largo del contorno), mediante la ecación de la cantidad de movimiento, tiene qe coincidir con el obtenido analíticamente para la capa límite laminar, o con el dedcido experimentalmente en la capa límite trblenta. En ambas sitaciones la distribción de velocidades viene dada, para el régimen laminar, por polinomios de grado m (parábolas de segndo o tercer grado en general) para el régimen trblento por polinomios de grado (/m). Espesor de desplazamiento de la capa límite.- El espesor de desplazamiento de la capa límite está basado en la conservación del cadal a lo largo de la normal al contorno, mediante la eqivalencia de las áreas raadas, como se indica en la Fig XI.4. Si se admite qe la le de velocidades es asintótica a r V, se tiene: V (V - ) d si la le de distribción de velocidades alcanza el valor r V para el espesor, se tiene: V (V - ) d ( - ) d - V d - q V V qe se pede interpretar como la diferencia entre el espesor el espesor de na corriente qe tviese la misma velocidad V qe la corriente exterior qe transportase la misma masa de flido, XI.-68

9 cadal q, qe la capa límite real. Con: V m Se obtiene - ( )/m d - /m /m d m + Espesor de la cantidad de movimiento de la capa límite.- El espesor de la cantidad de movimiento de la capa límite se corresponde con el espesor de na corriente flida qe tenga la misma velocidad V qe la corriente exterior, la misma variación de la cantidad de movimiento qe la debida a la ferza de arrastre de la capa límite real; se define en la forma: V Para: (V - ) d V m ( - ) d V V ( ) m { - ( ) m } d /m m ( m - m ) d m (m +)(m +) La relación entre el espesor de desplazamiento el espesor de la cantidad de movimiento de la capa límite, se denomina Factor de forma del perfil F; para na placa plana, en fnción de m se tiene: F (m + ) m (m + ) (m + ) m + m Un valor elevado del factor de forma del perfil implica qe está próximo a prodcirse el desprendimiento de la capa límite. Fig XI.4.- Espesor de desplazamiento de la capa límite Fig XI.5.- Espesores de la capa límite en distribción trianglar Espesor de energía de la capa límite.- El espesor de energía de la capa límite se define en la forma: Para: V V (V - ) d m V ( - V ) d m { - m ( ) } d m (m + ) (m + ) Para hacernos na idea del orden de magnitd del significado, de los diversos espesores de la capa límite así definidos, indicamos en la Fig XI.5, para el caso particlar de na distribción de velocidades XI.-69

10 trianglar (m ) el orden de magnitd de los mismos, de la forma: ; 6 ; 4 Cadal de la capa límite.- El cadal q a través de la capa límite se ha definido en la forma: q d Teniendo en centa el espesor de desplazamiento, reslta: d - d - V d - V d q q V V V ( - ) V m m + Cadal de la cantidad de movimiento de la capa límite.- El cadal de la cantidad de movimiento de la capa límite q M se define en la forma: q M m V ρ q ρ ρ d Teniendo en centa la expresión del espesor de la cantidad de movimiento se obtiene: V { - V } d d ( - - ) V V d - V d - - V d qedando la expresión del cadal de la cantidad de movimiento en la forma: q M ρ d ρ ( - - ) V ρ V m m + fnción del espesor de la capa límite, del espesor de desplazamiento del espesor de la cantidad de movimiento. XI.4.- ECUACIÓN INTEGRAL DEL IMPULSO DE LA CAPA LIMITE CAUDAL DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO.- Como consecencia de la viscosidad del flido de s deformación, aparece n esferzo tangencial sobre el contorno de la placa qe determina lo qe se conoce como Resistencia de Sperficie o de Forma. Para calclar este esferzo se aplica el Teorema de la Cantidad de movimiento al volmen de flido comprendido en el interior de la capa límite entre las secciones (AB) (DC) de la Fig XI.6. Como el movimiento irrotacional exterior a la capa límite es niforme, no existe gradiente de presiones, al expresar el eqilibrio, la única ferza actante es la de arrastre sobre la placa, de la forma (τ dx). Para na anchra de placa nidad, el cadal de la cantidad de movimiento se evalúa como sige: XI.-7

11 Fig XI.6.- Volmen de flido en la capa límite Sobre la cara (AB) el cadal de la cantidad de movimiento entrante es: q M(AB) m V ρ q ρ ρ d q M Sobre la cara (CD) el cadal de la cantidad de movimiento saliente es: q M(CD) q M + q M dx q M + ρ ( d) dx por lo qe en el volmen de control (ABCD) se tiene na variación del cadal de la cantidad de movimiento (q M(AB) - q M(CD) ) en la forma: q M dx ρ ( d) dx Sobre el contorno (BC) no existe ningún tipo de esferzo cortante porqe está fera de la capa límite (d/d ); teniendo en centa qe sobre este contorno la velocidad es V, el cadal de la cantidad de movimiento entrante por (BC) se obtiene en la forma: q M(B) m V q ρ V ρ V d q M(C) q M(B) + q M(B) dx q M(B) + ρ V ( d) dx q M(BC) ρ V ( d) dx Sobre el contorno (AD) de contacto con la placa no ha cadal saliente de la cantidad de movimiento. FUERZA DE ARRASTRE..- Igalando el cadal de la cantidad de movimiento con la ferza de arrastre F a sobre la placa en dx, aplicando el Teorema del Implso se obtiene: τ dx - ρ ( d) dx + V ρ ( d) dx ρ { (V - ) d} dx F a τ dx ρ (V - ) d ρ V C w x ρ V τ η ρ { (V - ) d} ; ν τ C w ρ V { (V - ) d} XI.-7

12 en la qe C wx se dedce comparándola con la obtenida por análisis dimensional; los valores de C w se obtienen mediante formlación, ábacos tablas. a) Para na distribción de velocidades de la capa límite laminar, de la forma: V - ( ) con: τ η ρ { (V - ) d} ρ V { ( - ) d} V V se obtiene: ν V { ( - ) d} V V V V ν 5 ν V ; V V V ( - V ) d} V dx d ; 5 ν V x + C ; { { en la qe se ha tenido en centa qe para: ; x C Los valores de los coeficientes C x (local) C w (medio), son: τ η C x ρ V η V C x 4 ν V C w L 4 x 4 Re x x Re x L C x dx C x xl,466 Re L 4,7 5,477 Re x Re x - ( ) } { - + ( ) } d V ( ) 5 V x Re ; x x 5,477 Re x V b) Para na distribción de velocidades de la capa límite de la forma: reslta: - ( ) τ η η V τ ρ V { ( - V V ) d} ρ V { { - ( ) } { - + ( ) } d,9 ρ V η V XI.-7

13 Igalándolas: d,79 ν dx V ; x 4,64 Re x,79 ν V x + Cte Para: x Cte,79 ν V x τ η V η V Re x x 4,64 x, η V Re x x, η ρ V x ρ V C x C x,646 ν Re x,646 ; C x V w Re x L C x dx C x xl,9 Re L L El valor de C w así obtenido para placa plana, está m próximo al valor exacto (Blasis), es de la forma: C x,664 ; C w,8 Re x Re ; x 5 Re x siendo la ferza de arrastre F a sobre cada cara de la placa de longitd L anchra nidad: F a L τ dx L, ρ η V x dx,646 ρ η V L ECUACIONES DE PRANDTL DE LA CAPA LIMITE.- Si se spone n flido incompresible, en movimiento laminar permanente, en fljo bidimensional sobre na pared calqiera en la qe el radio de crvatra es m sperior al espesor de la capa límite, las ecaciones de Navier-Stokes se simplifican, qedando en la sigiente forma: ρ p X - d dt + ν d dt + v Ecación de continidad: + v v ; ; X, en la dirección del movimiento v ; - - v v + ν En el borde de la capa límite se tiene la velocidad V del movimiento irrotacional exterior, por lo qe aplicando la ecación de Bernolli se pede hallar la variación longitdinal de la presión, resltando: dv dx - ρ p dv dx + ν + v Si se introdce la fnción línea de corriente ψ de la forma: - ψ ; v ψ la ecación de continidad se satisface atomáticamente, sstitendo estos valores en la ecación anterior se obtiene: XI.-7

14 ψ ψ ψ - ψ - ρ ψ p - de aplicación a la obtención de la capa límite laminar sobre n contorno plano. ECUACIÓN CLÁSICA DE KÀRMÀN.- Los cadales de la cantidad de movimiento, en proección paralela a la pared, manteniendo la anchra de la capa límite igal a la nidad, son los sigientes: Sobre (AB), q M(AB) q M, (entrante) Sobre (CD), q M(CD) q M + q M Sobre (BC), q dx V, (entrante) dx, (saliente) La variación de la cantidad de movimiento es: - q M + (q M + q M q dx) - dx V q M q dx - dx V El implso mecánico es: p - ( p + p dx) ( + dx) - τ dx - (τ + p ) dx Igalándolas se obtiene: q M q M - V q - τ - p - V q q M ( - - ) V ρ ; q (V - ) ρ ; - Cte q M {( - - ) V ρ} - V ρ + ( - - ) V V q ρ ( - ) V - V ρ + ( - - ) V V ρ - ρ ( - ) V V p + ρ V Cte ; p - ρ V V ρ - τ - p - τ + ρ V V qe simplificada convenientemente qeda en la forma: τ V ρ + V V ρ ( + ) ecación qe se conoce como ecación de Kàrmàn, en la qe las variables V, no dependen más qe de x. XI.5.- ECUACIÓN INTEGRAL DE LA ENERGÍA DE LA CAPA LÍMITE El Primer Principio de la Termodinámica aplicado a n sistema abierto en régimen estacionario, per- XI.-74

15 mite calclar el calor Q pesto en jego en na transformación, en la forma: Q i + T + E cinética + E potencial e indica qe la energía se pede considerar en forma de entalpía, calor o energía cinética, con las mismas nidades qe el trabajo de cizalladra o de corte. A peqeñas velocidades, los términos asociados a la energía cinética potencial al trabajo de cortadra son peqeños en comparación con las demás magnitdes, se peden despreciar. Fig XI.7.- Capa límite térmica La velocidad a la qe la entalpía entra a través de la cara (AB) de la capa límite representada en la Fig XI.7 viene dada por: i (AB) m c p T c p ρ T T d mientras qe la velocidad del fljo de entalpía a través de la cara (CD) es: i (CD) i (AB) + i (AB) dx i (AB) + c p ρ { T d} dx T por lo qe dentro de la capa límite qedará: i (AB) - i (CD) - c p ρ { T d} dx por: T La entalpía transportada al interior del volmen de control a través de la sperficie (BC), viene dada T i (BC) c p ρ T F { d} dx A s vez, el calor condcido a través de la capa límite es: q k - k dx ( T ) Smando todas las contribciones energéticas, se obtiene la ecación integral para la conservación de la energía: T c p ρ T F { d} dx - c p ρ { T d} dx - k dx ( T ) T XI.-75

16 Como fera de la capa límite térmica la temperatra es T F, sólo se integrará hasta el límite, T, de la misma; por lo tanto: T c p ρ T F d - c p ρ T d - k ( T ) T (T F - T) d T k ( T ρ c p ) α ( T ) qe es la ecación integral de la energía de la capa límite laminar para el caso de n fljo de baja velocidad, en la qe dx se comporta como n intervalo es independiente de d. Si se tiliza n perfil de velocidades de tercer grado, de la forma: V - ( ) na distribción de temperatras: T - T pf T F - T pf T - T F+ T F - T pf T F - T pf T - T F T F - T pf + T (x) - ( T (x) ) en la qe se han tenido en centa las condiciones: Para: se obtiene: ; T T pf ; T T ; T T F ; T α ( T ) (T pf - T F ) V d dx { - T T + ( T ) }{ Teniendo en centa qe: ( T ) (T F - T pf ) k T, reslta: α V d T dx ( T - 8 T 4 ) - ( ) } d (T F - T pf ) V d dx ( T - 8 T 4 ) Llamando ξ T α ε V d dx { ( ξ - se tiene: 8 ξ4 )} En la ecación de Pohlhasen se demestra qe: ξ T / (Pr)- El valor de Pr es del orden de la nidad para la maor parte de los gases (,6 < Pr < ) mientras qe para la maor parte de los líqidos varía en n campo m grande, con valores elevados para los aceites m viscosos bajas temperatras, valores m bajos para los metales líqidos; en consecencia, cando: T << ; ξ << ξ 4 << ξ XI.-76

17 reslta: α ξ V d dx ( ξ ) V (ξ d dx + ξ dξ dx ) α V dx ξ d + ξ dξ,58 ν x V ξ + 4 x ξ dξ dx α 4 ν 4 ( Pr) La solción general es: ξ C x -/4 + La solción exacta es: ξ C x - / 4 + d,79 ν dx V ξ,79,79 Pr C x-/4 +,9678 Pr 4 Pr C x-/4 +,9857 Pr ν dx V + x,58 ξ ν x V dξ con la condición: x x i ; ξ ( T ) ; C - 4 x i Pr reslta, Fig XI.8: ξ,976 - ( x i x )/4 Pr por lo qe: h Cx k T N x h Cx x k,976 k, Pr - ( x i x )/4 Pr k x Re x - ( x i x )/4 4,64 x Re x k x i,976 4,64 x - ( x )/4 Re x Pr Pr Re x,976 x 4,64 - ( x, k Pr Re x i x )/4 - ( x x i x )/4 De haber considerado la ecación de tercer grado de partida, se habría obtenido: N x, Pr Re x - ( x i x )/4 Haciendo ( x i x N x, Re x Pr / ) se obtiene la ecación de Pohlhasen: Teniendo en centa qe: XI.-77

18 ξ,976 Pr T ; T,976 Pr 4,54 x Re x Pr el coeficiente medio de transmisión de calor por convección h C en el intervalo ( x L) a lo largo de la sperficie plana es: h C L xl h Cx dx h Cx xl,664 k x h C L xl h Cx dx h Cx xl,646 k x Re L Pr/ L Re L Pr/ L (exacto) (ecación de tercer grado) El calor transmitido desde la placa, de anchra nidad, al flido, es: Q L h C (T pf - T F ) Si se considera existen dos zonas longitdinales sobre la placa, perfectamente diferenciadas, na sin aporte de calor, Fig XI.8, reslta, teniendo en centa qe: T T pf - T F Para: x < x ; Q x > x ; Q, k F x Pr / Re x T - ( x x )/4 Para na zona de la placa comprendida en el intervalo (x < x < x ) a la qe se aplica n fljo de calor Q, Fig XI.9, se tiene: Fig XI.8- Capa límite térmica e hidrodinámica sperpestas Fig XI.9 - Placa con na capa límite laminar dos capas límite térmicas XI.-78

19 Q, k F x Pr/ Re x ( T - ( x x )/4 + - T - ( x ) x )/4 observándose qe el fljo de calor en la región (x > x ) es (-) lo cal significa qe en la citada sección la pared reabsorbe parte del calor comnicado a la capa límite en la región (x < x < x ). RELACIÓN ENTRE C x h Cx EN FLUJO LAMINAR SOBRE PLACA PLANA.- A partir de la expresión exacta de Blasis para el coeficiente de arrastre local C x a lo largo de na placa plana: C x, Re x en la qe se ha spesto qe para el espesor de la capa límite el gradiente de presiones es cero las propiedades del flido constantes, del número de N local para el fljo laminar, (Pohlhasen): N x, Re x Pr / como el número de Stanton local St x es: St x h Cx ρ c p V N x Pr Re x, Pr / Re x, C x Pr / x x, C x Pr / C x St x Pr / ; Pr >,5 qe se conoce como analogía de Renolds-Colbrn qe relaciona el coeficiente de arrastre local C x con el número de Stanton St x para fljo laminar a lo largo de na placa plana. Como es mcho más fácil hacer medidas de la ferza de arrastre qe de la transferencia de calor, para el caso de valores medios se pede poner: C w St Pr/ h C ρ c p V Pr / en la qe C w es el coeficiente de arrastre medio St el número de Stanton medio. Teniendo en centa lo anterior, la ferza de arrastre F a qeda en la forma: F a ρ (L a) C w V ρ (L a) h C V ρ c p V (L a) h C c p V XI.6.- CAPA LIMITE TURBULENTA PARA PLACA PLANA No existe na teoría exacta qe permita estdiar la capa límite trblenta; sin embargo sí existen modelos empíricos qe han permitido la obtención de solciones nméricas de las ecaciones de la capa límite. El reparto de velocidades para la placa plana es aproximadamente logarítmico, habiéndose obtenido al efecto los sigientes resltados experimentales: Para: 5 < Re < 7 ; V m, con: m 7, F 9 7 XI.-79

20 El valor de τ de la forma: τ ρ { (V - ) d} se pede aplicar también al régimen trblento, por canto en s demostración no se ha fijado la forma de la distribción de velocidades en la capa límite, por lo qe la distribción de velocidades (/V ) pede ser, para placa plana, de la forma: V m para fljo trblento por el interior de tberías, (Nikradse): V máx m R En estas circnstancias Blasis dedjo experimentalmente qe: τ,88 ρ V ν 4, con, 5. ν 5 < Re < 7 Sigiendo el mismo método qe para el cálclo de la capa límite laminar: τ ρ V { ( - V V ) d} ρ V { 7 ( - 7 ) d} 7 7 ρ V d dx Igalando las expresiones en τ : 7 7 ρ V d dx τ,8 ρ V 4 ν V 4 d,4 ν 4 V dx ; 5/4,9 ν 4 V x ; x,76 5 Re x en donde se ha spesto qe la capa límite es trblenta en el total de la longitd de la placa L de forma qe para: x,. El esferzo cortante es: τ,8 ρ V ν 4,8 ρ V ν V 4 V,76 x 5 Re x,9 ρ V ν 5 x V La ferza de arrastre F a por nidad de anchra de la placa es: F a L τ dx,6 ρ V L 5 Re L ; C x,576 5 Re x ; C w,7 5 Re L ecaciones válidas en el intervalo en qe lo es la ecación de Blasis. Para el número de Re crítico: Re C 5.5, se tiene: XI.-8 P ρ V L

21 C w,7 5 Re L -,4 x C L,7 5 Re L - 7 Re L C wx Para valores del número de Re comprendidos en el intervalo: 5.5 < Re x < 9, reslta:,455 (log Re L ),58 El coeficiente de arrastre, qe es exacto para toda la placa, qe incle las zonas laminar trblenta, se determina mediante las expresiones: C w,8 Re C Re C Re L +,74 Re L - / 5 { - ( Re C Re L ) 4/ 5 } ; Re L > 7 C w,8 Re C Re C Re L +,5 ln (,6 Re L ) - ( Re C Re L ),5 ln (,6 Re C ) ; Re L < 7 XI.7.- DESPRENDIMIENTO DE LA CAPA LIMITE Cando el gradiente de presiones se mantiene nlo a lo largo de la placa plana, la capa límite se desarrolla a lo largo de la misma, independientemente de s longitd. Pero si el gradiente de presiones es adverso, la presión amenta en el sentido de la corriente el espesor de la capa límite crece rápidamente. Fig XI..- Desprendimiento de la capa límite Por otro lado, el gradiente de presión adverso jnto con el esferzo cortante en la pared, hacen qe dismina la cantidad de movimiento dentro de la capa límite, si ambos actúan a lo largo de na distancia sficiente, el flido de la capa límite se irá frenando hasta alcanzar el reposo; en este instante, la línea de corriente qe coincide con la pared se aleja de la sperficie a partir del pnto de separación, conociéndose este fenómeno como desprendimiento de la capa límite. El fenómeno se acentúa cando el perfil es n condcto divergente; el fljo en las proximidades del contorno se va frenando continamente hasta alcanzar el pnto A de la Fig XI., en el qe la velocidad se hace cero. La forma del contorno pede exigir na disminción maor de la velocidad, cosa imposible, por lo qe el flido se separará de él, prodciéndose al mismo tiempo n contrafljo originado por el gradiente de presiones adverso, es decir, agas abajo del pnto de desprendimiento se origina na zona de bajas presiones, qe provocan la aparición de na ferza depresiva dirigida en el sentido de la corriente, denominada Resistencia de forma, por depender hasta cierto pnto de la geometría del perfil. XI.-8

22 Tabla XI..- Coeficiente de arrastre C w de algnos perfiles inmersos en na corriente flida de velocidad V a) Placa plana paralela a la corriente F a C w ρ V A Frontal V Régimen laminar: C w, Re Re < 7 C w,74 ; Re > 7 C 5 w Re b) Placa plana perpendiclar a la corriente, Re >,455 {log Re},58 d V c) Disco circlar normal a la corriente L L/d 5 C w,8,,,5,6,95 d) Esfera Re < C w 4 Re V Re > ; C w,7 V < Re < x 5 C w,47 Re > x 5 C w, e) Hemisferio heco V V 4 < Re < 6 C w,4 4 < Re < 6 C w,4 f) Cono de 6 g) Semicilindro V V V Re 5 ; C w,5 h) Cilindro normal a la corriente L V d 4 < Re < 6 ; C w,4 4 < Re < 6 ; C w,7 Re <, ; C w 8 p Re {, - lg Re} < Re < 5 Re > 5 x 5 L/d 5 Cw,6,8,8,9, L/d 5 Cw,5,6 i) Prisma Re,5 x 4 ; C w V 4 < Re < 5 ; C w,6 j) Cbo k) Paracaídas (Baja porosidad), V V Re 5 ; C w,7 Re 5 ; C w,8 V Re 5 ; C w, XI.-8

23 l) Cilindros elípticos V Relación / Régimen laminar, C w, Régimen trblento, C w, V Relación / Régimen laminar, C w,6 Régimen trblento, C w, V Relación 4/ Régimen laminar, C w,5 Régimen trblento, C w,5 V Relación 8/ Régimen laminar, C w,5 Régimen trblento, C w, m) Cilindro trianglar ; Re >. ; Cw,7 ; Re >. ; Cw, 6 ; Re >. ; Cw,7 6 ; Re >. ; Cw,9 ; Re >. ; Cw, ; Re >. ; Cw,8 n) Cilindro de sección lenticlar V Re > L/d,5 4 8 Cw,5,9,85,87,99 o) Elipsoide V Relación L/d,75 Régimen laminar, C w,5 Régimen trblento, C w, Relación L/d, Régimen laminar, C w,47 Régimen trblento, C w, Relación L/d, Régimen laminar, C w,7 Régimen trblento, C w, Relación L/d 4, Régimen laminar, C w,5 Régimen trblento, C w, Relación L/d 8, Régimen laminar, C w, Régimen trblento, C w,8 XI.-8