Introducción al método de los

Transcripción

1 Introdcción al método de los Elementos Finitos en D Lección 0: Prelim Matem Ecaciones diferenciales formlación débil Adaptado por Jaime Pig-Pe UC) de:. Zabaras, N. Crso FE Analsis for Mech&Aerospace Design. U. Cornell. 0.. Fish, J., Beltschko, T. A First Corse in Finite Elements. Ed. Wile, 007. E. T. S. de Ingeniería de Caminos, C. P. Santander

2 Preliminares matemáticos. Considérese n dominio, en D, con interior borde, también lo denominaremos en ocasiones ). El borde ) se pede definir i mediante ecaciones paramétricas: s), s), siendo s la longitd de arco a lo largo de.. Una fnción f,) en el borde se pede epresar: fs)=fs),s)), s indica el parámetro en la definición paramétrica de la crva de borde ). Utilizaremos na fnción escalar,) de variables para representar algnos problemas de campo, e tendrá el papel p de fnción incógnita potencial hidrálico, temperatra, ).. Spondremos e las fnciones e tilicemos tienen las sficientes condiciones de savidad o continidad para e sean válidas las operaciones a e se someten. ): {s),s)} E. T. S. de Ingeniería de Caminos, C. P. Santander

3 Conceptos previos. Gradiente,) de na fnción escalar,): Es n vector:,) =/) i + /) j, i,j versores ejes cartesianos X e Y). Es frecente tilizar el operador gradiente )= / i + / j) ). El gradiente marca la dirección de máimo crecimiento de,) al moverse desde el pnto,). La variación de,) en la dirección de n versor v= cos i+ sen j es la proección del gradiente sobre v prodcto escalar v). Se escribe: d/dv=,)/v =,) v = =,)/ cos +,)/ sen i j v ) E. T. S. de Ingeniería de Caminos, C. P. Santander 3

4 Fljo. Se llama fljo,) a n vector e es fnción del pnto,), como el gradiente, e en D tiene dos componentes representa n campo vectorial pede ser fljo de calor o de flido por nidad de longitd D) o sperficie 3D), ) Visión del borde:. El fljo en el borde s) ) = s),s)), ) )) se pede descomponer en las componentes:. Normal : n s) = s) ns) { ) es prodcto escalar, ns) es versor normal eterior}. Tangencial: t s) = s) ts) ns) = ; ts) = j Y i X t,) n E. T. S. de Ingeniería de Caminos, C. P. Santander 4

5 Fljo. Considérese n sbconjnto arbitrario ω e contiene a n pnto 0, 0 ) del conjnto.. Considérese el fljo normal σ n s)=s) ns) e atraviesa el borde ω de ω. El fljo total a través de ese borde es la integral crvilínea de σ n s)a lo largo del mismo, siendo el diferencial de arco de crva:. Si dividimos entre el área A ω de ω, se pede interpretar el resltado como la cantidad de fljo σ e fle dentro de ω por nidad de área. E. T. S. de Ingeniería de Caminos, C. P. Santander 5

6 Fljo El límite de cando el tamaño de ω tiende a cero, conteniendo siempre al pnto 0, 0 ), se denomina la divergencia del fljo en P 0 : div 0, 0 )), e es na magnitd escalar. Tomemos como sbconjnto ω na región rectanglar elemental Dividiendo por el área, tomando el límite para, 0 σ, ), div ), )) i j), ) i, ) j) σ De modo e es la densidad de fljo neto por nidad de área en n pnto genérico de. E. T. S. de Ingeniería de Caminos, C. P. Santander 6

7 Fljo El fljo total e sale de la región es por tanto: = d d Pero también podemos escribir el valor del fljo saliente tilizando la epresión del fljo normal en el borde: = d d n Este es el Teorema de la Divergencia de Gass, e permite epresar la integración etendida a n dominio D, como na integración crvilínea etendida al borde de dicho dominio n es normal eterior, la crva se recorre en sentido antihorario). E. T. S. de Ingeniería de Caminos, C. P. Santander 7

8 Ecaciones constittivas principio de conservación Ecación constittiva. Relaciona la variable escalar de estado,), a mendo a través de s gradiente,), con la vectorial de fljo.,)= -k,),) caso D) siendo k,) es n operador de transferencia e depende del medio físico considerado. Pede ser na matriz. Ejemplos de modelos lineales: D): Le de Hooke: = E ε, : tensión, k=-e mód. Elastic.), ε=d/d, def. nit. D): Le de Forier, condcción del calor : fljo de calor, T:temperatra) Material anisotrópo: =-K T k: tensor de condctividad térmica) Material isotrópo: =-K T D): Le de Darc, fljo en medio poroso : fljo de flido, P: potencial hidrálico) Material ortotrópo: =-K P k: tensor de permeabilidad) E. T. S. de Ingeniería de Caminos, C. P. Santander 8

9 Ecaciones constittivas principio de conservación Principio de conservación. Es na le de eilibrio o balance: Para calier porción del dominio, el fljo neto e atraviesa el borde de esa porción de dominio debe ser igal la cantidad total prodcida por las fentes internas Siendo f la fente de fljo por nidad de área de la porción : n f d d Utilizando el teorema de la divergencia σ σ d d f d d - f ) d d 0, para todo Pesto e es arbitrario, la forma local de la ecación de balance es: σ, ) = f,),, ) Se pede ampliar el modelo añadiendo n término proporcional a la variable de estado,) σ, ) + b, ), ) = f,),, ) Ecación constittiva :,)= -k,),) D). El balance se representa como na ecación en derivadas parciales de º orden en,) E. T. S. de Ingeniería de Caminos, C. P. Santander 9

10 Principio de conservación en interfaces Considése na interfaz o zona de contacto s) e separa dos materiales con diferentes módlos k k en n mismo cerpo. Tomando na banda delgada del cerpo envolviendo esta interfaz la le de balance toma la forma. s s σ -) n σ ) n) 0 Qe se ha de verificar para calier trozo de banda en torno a la crva de contacto s). Lego el integrando debe ser nlo, es decir, el balance local en la interfaz se redce a: ) -) = + [ s) ] s) n- s) n = 0 s n, E. T. S. de Ingeniería de Caminos, C. P. Santander 0

11 Condiciones de Borde - En la parte del contorno global l de aplicamos condiciones de borde natrales o de Nemann, e afectan al fljo normal en ese borde. Podrán ser de tipos:. Fljo normal dado por na fnción conocida s) s) = s) n s) s) n =. Fljo en el borde dado por na relación e tiene en centa el valor de s) en el borde en el eterior û s), con el factor ps), estos últimos de valor conocido. n s) = s) n s) = p s) s)-û s)). Ambas se peden sintetizar de la forma: s ) = s) n s ) = s) s ) + s ) n con s), s) fnciones conocidas, datos en el borde - En la parte del contorno se aplicarán las condiciones de contorno esenciales o de Dirichlet, e fijan valores obligados de la fnción escalar incógnita ûs): s)=ûs), s siendo ûs) na fnción conocida E. T. S. de Ingeniería de Caminos, C. P. Santander

12 Resmen del problema de interés Los datos en n dominio de borde = U, con dos sbdominios : -, contorno eterior na interfaz Borde interno entre ) - La fente f=f,) en i, i=, - Parámetros de material k i=k i i,), b i=b i i,),,) en i, i=, - Los datos para las condiciones de borde:. Esenciales : s)=ûs), s. Natrales: s), s) en, o bien s) /o ps) ûs), en ) Con estos datos, calclar la fnción escalar,) en temperatra, potencial hidrálico, ) : EDP: k,),)) +b,),)=f,),, ) i,i=, Natrales: s) - ks) p s) s) - ˆ s)), s n s) ks) s), s n Condiciones globales de contorno s) o en síntesis : - ks) s) s) s), s s) s) n Conservación fljo l i t f conocidas Esenciales : s)=ûs), s normal interfaz [[ ks) s) n s )]] = 0, s E. T. S. de Ingeniería de Caminos, C. P. Santander

13 Comentario relativo a las condiciones de borde. El caso especial en e b=0 sólo se aplican condiciones natrales de borde del tipo s) - ks) ˆ n s) dada, s nn scede e coincide con, precisa de atención especial: - La solción,) se pede determinar salvo na constante - Para e eista, se ha de satisfacer la sigiente condición de compatibilidad: f, ) d d ˆ n E. T. S. de Ingeniería de Caminos, C. P. Santander 3

14 El problema Variacional: FORMA DÉBIL. Llamaremos Resido, R,), a la parte de la ecación diferencial e se igala a cero: R,)= - k,),)) +b,),) - f,),, ) recérdese e la solción del problema verifica R,)=0). Formlación débil: Setrata de obtener na ecación integral) con la misma solción e la ED, mediante integración en el dominio del prodcto de R,) por na fnción de peso w,) adecadamente elegida de modo e sea integrable R,) w,) obligando a e seaceroelpromedio el integral con peso e reslta de momento se distingirán en las zonas ): w,) R,) d= 0 w,) [- k,) ))+b,),)- f,)]d w,) [- k,) ))+b,),)- f,)]d 0 Está claro e la solción eacta verifica esta ecación siempre e w,) sea sficientemente i t save como para e la integración ió tenga sentido.. Para aplicar el método, se introdce na solción aproimada ap ) combinación de fnciones base B i ), e cmple la ecación en el límite al crecer el número de fnciones base de modo e se garantice la aproimación ió a la solción eacta,). nb Qé tipo de propiedades se eigen a la fnción w,)? ap ) i ci B i ) E. T. S. de Ingeniería de Caminos, C. P. Santander 4

15 El problema Variacional: FORMA DÉBIL. La fnción de peso w,) hace n efecto de penalización para e el resido sea peeño cando se introdzca na aproimación de,) el resido es cero en la solción eacta).. En el problema, en la zona del borde se ha convenido e se conoce la solción,) - condiciones esenciales de contorno- e la solción ap,) las verificará eactamente. Para esa zona del dominio no se hace necesario tilizar penalización sobre,) ni sobre ap,), por ello se eigirá e las fnciones w,) se anlen en esa zona del contorno.. Por otra parte, se verá e introdciendo propiedades integrales en la epresión de la integral del resido ponderado, ésta se transformará en otra epresión en e aparecen las derivadas primeras de w,). Por ello eigiremos las fnciones w,) na estrctra save para e sea correcto realizar integraciones de epresiones en e aparecen ss derivadas primeras. Las transformaciones integrales prodcirán asimismo epresiones en e aparecen las derivadas primeras de,), en lgar de las segndas e aparecen en la ecación diferencial. E. T. S. de Ingeniería de Caminos, C. P. Santander 5

16 El problema Variacional: FORMA DÉBIL w,) [- k,) )+b,),)- k,) ),) f,)]d + w,) [- k,) )+b,),)- k,) ),) f,)]d 0 Continamos bscando na epresión eivalente en e aparezcan derivadas de menor orden de,), e de partida son de orden. Comprébese e: w k))= w k)+w k), -w k)=w k)- [w k)], lego: [ w,) k,),)+w,) b,),) - w,) f,)] d + [ w,) k,),)+w,) b,),) - w,) f,)] d [w,) k,),)] d [w,) k,),)] d 0 Por el teorema de la Divergencia A A d n. Llamando w, ) k, ) : A [ w, ) k, ) ] d A w, ) k, ) n A w, ) k, ) n los últimos términos, siendo ) )l los contornos de los sbdominios i : w,) k,) w,) k,) n ) n ) n E. T. S. de Ingeniería de Caminos, C. P. Santander 6

17 El problema Variacional: FORMA DÉBIL [ w,) k,) )k ),)+w,) b,),) )b ) ) w,) f,)] )] d + [ w,) k,),)+w,) b,),) w,) f,)] d w,) k,) n ) ) w,) k,) 0 n Podemos separar la integración sobre, interfaz interior entre, en los dos últimos términos: ) w,) k,) w,) k,) n ) n w,) k,) w,) k,) )- n )- n [w,) k,) ] [w,) k,) ] n n Pero al recorrer el borde crva ) desde cada sbdominio, las normales n n son igales en dirección opestas en sentido, lego la sma de los últimos términos, es CERO es como el eilibrio de fljo normal en la interfaz de los sbdominios). E. T. S. de Ingeniería de Caminos, C. P. Santander 7

18 El problema Variacional: FORMA DÉBIL [ w,) k,),)+w,) b,),) ) b ) w,) f,)] )] d + [ w,) k,),)+w,) b,),) w,) f,)] d w,) k,) n )- )- w,) k,) n 0 De modo e resmidamente, la forma débil, pesto e = U la nión de )- )- conforma el contorno de : [ w,) k,) )k ),)+w,) b,),) )b ) ) w,) f,)] d )f )] - w,) k,) ) n Se comprende e se llega a la misma forma débil en el caso en e se componga de más sbdominios con parámetros materiales distintos.. La fnción de peso w,) se anla en, zona de contorno con conocido c. esenciales), así e la integral crvilínea se anla en. Lego se pede escribir la forma débil: 0 [ w,) k,),)+w,) b,),) w,) f,)] d w,) k,) nn 0 E. T. S. de Ingeniería de Caminos, C. P. Santander 8

19 El problema Variacional: FORMULACIÓN DÉBIL [ w,) k,),)+w,) b,),) w,) f,)] d. Sstitendo la sigiente condición de contorno natral de síntesis: s) -ks) αs) s) βs), s, s), s) conocidas n [ w,) k,),)+w,) b,),) - w,) f,)] d w, ) [ s) s) s)] 0 Finalmente, bicando a la izierda los términos con, la formlación débil eda: w,) k,) n 0 [ w,) k,),)+w,) b,),)] d w, ) s) s) w, ) f, ) d w, ) s) E. T. S. de Ingeniería de Caminos, C. P. Santander 9

20 Espacio de fnciones admisibles H ) La forma débil de la formlación eda, para todas las fnciones de peso w,) admisibles tales e w,)=0 en [ w,) ) k,) ),)+w,) ) b,) ),)] )] d w, ) s) s ) w, ) f, ) d w, ) s) Cál es la clase de fnciones admisibles? Las e verifican: w w w dd - Denotamos este espacio de fnciones H ) indicando:. epresa e las primeras derivadas son de cadrado integrable. indica el dominio sobre el e estas fnciones están definidas. - Bscaremos la solción,) también en este espacio. E. T. S. de Ingeniería de Caminos, C. P. Santander 0

21 Resmen de la formlación débil del problema * Encontrar na fnción,) H ) tal e s)= ûs), s e verifie lo sigiente, para todas las fnciones admisibles w,), tales e w,)=0 en : [ w,) k,),)+w,) b,),)] d w, ) s) s) w, ) f, ) d w, ) s) ** Se pede repetir la anterior formlación débil tilizando notación matricial del sigiente modo, lo e es adecado para la implementación del método de los Elementos Finitos FE, FEM) * Encontrar,) H ) tal e s)= ûs), s tal e para todo w,)h ), con w,)=0 en, se cmpla: T [ w) ) k,) +w, ) b, ), ) ] d w s) s) s ) w,) f,) d w s) s)] E. T. S. de Ingeniería de Caminos, C. P. Santander

22 Forma matricial de la formlación débil * Encontrar,) H ) tal e s)= ûs), s tal e w,)h ), con,) ) ) ),,) ), w,)=0 en, se cmpla: ) ) ) ), ), ), [ T s s s w d ] b +w k,) w) )] ) s s w f,) d w,) El operador gradiente se sa aí como n vector colmna: w w w T ),, Se intercambiarán las notaciones se entenderá en cada caso según el conteto. E. T. S. de Ingeniería de Caminos, C. P. Santander

23 Apéndices Se añaden algnas diapositivas relacionadas con:. Antecedentes matemáticos. Preba de eivalencia entre las formlaciones ferte débil. Ejemplos en e se dedce la forma débil en problemas de contorno en dimensiones. Inclendo anisotropía con la le de Forier generalizada), etc. E. T. S. de Ingeniería de Caminos, C. P. Santander 3

24 Eivalencia entre formlaciones débil ferte Consideremos el sigiente problema de contorno :,)=f,),, ) Notación para el dominio s contorno :,, ) s) donde -k, -k s) n sobre, sobre, siendo ) n Formlación débil: Encontrar,) H ) : w,)h ), con w,)=0 sobre : w, ) k, ), ) d w, ) s) w, ) f, ) d Es decir: w, ), ) d w, ) f, ) d w, ) s) Se trata de demostrar e esta formlación débil es eivalente a la ferte es decir, recperar: EDP + Condiciones de Contorno natrales afectan a derivadas)) E. T. S. de Ingeniería de Caminos, C. P. Santander 4

25 Eivalencia entre formlaciones débil ferte w, ), ) d w, ) f, ) d w, ) s ) d Recordando, = w ) w ) + w w d w ) d w ) d Aplicando el teorema de la divergencia: V da= A A V n w )d w n Reslta el teorema de Green generaliza integración por partes D) Qedando la forma débil: w n w d w n w ) d w n w ) d w f d w w n w - f ) d w 0 w n - ) w n w - f ) d 0 w H ) con w 0 sobre E. T. S. de Ingeniería de Caminos, C. P. Santander 5

26 Eivalencia entre formlaciones débil ferte w n - ) w n w - f ) d 0 w H ) con w 0 sobre Dedzcamos primero la EDP, Tomemos w como sige: w= ) - f), con =0 sobre Γ >0 sobre La ecación de la formlación débil eda entonces: - f ) d 0 - f 0 en Es decir, se verifica la ecación diferencial. i E. T. S. de Ingeniería de Caminos, C. P. Santander 6

27 Eivalencia entre formlaciones débil ferte w n - ) w n w - f ) d 0 w H ) con w 0 sobre Pesto e se verifica la EDP, - f 0 la formlación débil se pede escribir *): w n - ) w n 0 w H ) con w 0 sobre. Dedzcamos la condición de contorno natral. Tomemos w como sige: w ) n - ), con 0 sobre 0 sobre. Sstitendo en la epresión *) anterior reslta entonces: n - ) 0 n - 0 sobre E. T. S. de Ingeniería de Caminos, C. P. Santander 7

28 Le generalizada de Forier. En general, el fljo el gradiente de na fnción escalar temperatra, potencial hidrálico) están relacionados mediante la le generalizada de Forier anisotrópica): k k = D k k mat condc. Para medios isotrópicos: k 0 [ D] k [ I] 0 k identit matriz matri identidad. Para n problema de contorno BVP) D con fljo dado sobre el borde o contorno, así como n valor para sobre na parte del borde n término fente f, se dedce e la formlación débil en notación matricial es: Encontrar,)H ), con w=0 sobre tal e: T w) D d w w f d E. T. S. de Ingeniería de Caminos, C. P. Santander 8

29 Apéndice: Teorema de la Divergencia Si,) C 0 es integrable, d n. Observar e:. Podemos escribir el teorema de la divergencia así: ) d n n ) E. T. S. de Ingeniería de Caminos, C. P. Santander 9

30 Apéndice: Teorema de Green. El teorema de Green w ) d w n) w d. Para demostrarlo, comprébese e: w ) w ) w w ) w ) w ) w w w w w ) w) Esto jnto al teorema de la divergencia prodce el teorema de Green: w ) d w ) d w d v d v n w n) w d Tiene analogía con la integración por partes en D: dv d=[ v] d b b b a a a v d d d E. T. S. de Ingeniería de Caminos, C. P. Santander 30

31 Ejemplo de aplicación del teorema de la divergencia 3 3 Consideremos la fnción vectorial: =, ) = 3 +, 3 + ) definida en el dominio trianglar de la figra + Comprobar la validez del teorema de la divergencia, Recordando el teorema de la divergencia : V d Γ V n Ha e comprobar e: d n d E. T. S. de Ingeniería de Caminos, C. P. Santander 3

32 De Ejemplo de aplicación del teorema de la divergencia 3 =, ) = 3 +, ) calclamos s divergencia: Utilizando esto, calclamos d : ) d 6 3 ) dd [3 0.5 ) 0.5 ) ] d.5 Por otra parte hemos de calclar el segndo miembro de: d n d d 0.5 E. T. S. de Ingeniería de Caminos, C. P. Santander 3

33 Ejemplo de aplicación del teorema de la divergencia Recorriendo el contorno normal eterior): nd n d n d n d AB 0, ) d BC 5 5 CA,0) d,) d 5 5 ) 5, ) nd 3 0 ) d 3 ) 3 ) d) 3 ) d) Observar e sobre el segmento BC: d n. Así: 3 3 nd ) ) ) ) ) d d 0.5 d d d 5 d d nd nd d nd E. T. S. de Ingeniería de Caminos, C. P. Santander 33

34 Ejemplo: Dedcción de la formlación débil Consideremos la condcción del calor en el domino de la figra, con las condiciones de contorno e se indican. Se trata de dedcir la formlación débil completa del problema. - k,) T,)) f,) Se empieza mltiplicando el resido por la fnción de peso w e integrando sobre el dominio R,)= k,) T,)) f,) Para toda fnción w,) sficientemente save e se anle en T condiciones esenciales) se ha de verificar: w,) [ k,) T,))- f,)]d 0 E. T. S. de Ingeniería de Caminos, C. P. Santander 34

35 Aplicando el teorema de Green: Ejemplo: Dedcción de la formlación débil w,) ) [ k,) ) T,))- f,)]d 0 Recordando e w w ) d w k T) d w n) Γ w d w k T) n) )d w con k T k T) d se anla en T w k T n) w k T ) - w f ) d 0 h T [ w k T)-w f] d w k ) 0, w H h n ), con w 0 en T El término de integración en el contorno se pede concretar más: Γ Γ h T w k n ) Γ w ) Γ h w -h T-T )) Γ w Γ w h T h Γ h w h T E. T. S. de Ingeniería de Caminos, C. P. Santander 35

36 Ejemplo: Dedcción de la formlación débil T [ w k T)wf]d T)-w f] d w k ) 0, w H ), con w 0 en h n La formlación débil reslta: Encontrar T,) H ), con T=T sobre T, w,) H ) con w=0 en T verificando: [ w k T)-w f] d w h T w w h T h Se pede escribir también bé la forma débil en forma matricial, : T T d w h w) k wht Γ h w f d w H ) h w T w h T, con w 0 sobre h T E. T. S. de Ingeniería de Caminos, C. P. Santander 36