Tecnologías de Sistemas Inteligentes (IA95 022) Introducción a la Lógica Difusa

Transcripción

1 Introdcción a la Lógica Difsa c M. Valenzela , 2006 (24 de febrero de 2006) Este apnte está basado en (Driankov, Hellendoorn, y Reinfrank, 1996, secciones 2.1 y 2.2) y (Klir y Yan, 1995). 1. Teoría clásica de conjntos Para distingir entre conjntos clásicos y conjntos difsos, a los primeros se les llamará conjntos nítidos del término en inglés crisp. En esta sección, se hace n repaso de la teoría de conjntos nítidos Definición de n conjnto nítido Los conjntos se peden definir de las sigientes maneras: Enmeración Por ejemplo, n conjnto de colores R = {rojo, azl, verde, amarillo}. Reglas Porejemplo,elconjntodelosnúmeros reales negativos T = {x R x 0}. Fnción característica Una fnción característica define n conjnto de la sigiente manera, toma como parámetro n elemento y regresa 1 si el elemento pertenece a l conjnto y 0 si no pertenece al conjnto. La definición formal de na fnción característica es la sigiente: Definición 1 La fnción μ A : X {0, 1} es na fnción característica del conjnto A si, y sólo si, para toda x { 1, si x A; μ A (x) = (1) 0, si x A. Por ejemplo, μ non (x) =x mod 2 (2) es fnción característica del conjnto de los números nones. El definir n conjnto nítido mediante na fnción característica es poco común, sin embargo, esta es la forma qe más fácilmente se pede generalizar para definr conjntos difsos Conjnto niverso y conjnto vacío Dos conjntos my importantes son el conjnto niverso U qe contiene a todos los elementos del niverso de discrso, y el conjnto vacío qe no contiene a ningún elemento Igaldad y sbconjntos Si A y B son conjntos nítidos, se dice qe A es igal a B, y se representa como A = B, si A tiene exactamente los mismos elementos qe tiene B. Se dice qe A es sbconjnto de B, y se representa como A B, si todos los elementos de A pertenecen también a B. SiA es sbconjnto de B, peroa no es igal a B, sediceqea es sbconjnto propio de B, y esto se representa como A B.

2 1.4. Operaciones sobre conjntos nítidos Las tres operaciones básicas sobre conjntos nítidos son complemento, intersección, y nión qe se definen de la sigiente manera: Complemento Intersección Unión A = {x x A} (3) A B = {x x A y x B} (4) A B = {x x A ó x B} (5) Adicionamente, se definen las sigientes operaciones operaciones sobre conjntos nítidos: Diferencia Diferencia simétrica Conjnto potencia Prodcto cartesiano A B = {x x A y x B} (6) A B =(A B) (B A) (7) P(A) ={X X A} (8) A B = {(x, y) x A y y B} (9) Potencia n A n = A A A }{{} n veces (10) 1.5. Propiedades de los conjntos nítidos Algnos de las propiedades más importantes de los conjntos nítidos se listan en la tabla Definiciones de operaciones tilizando fnciones características Las operaciones sobre conjntos nítidos peden definirse tilizando las fnciones características de varias maneras. Las sigientes son na de estas formas: Complemento Intersección Unión μ A (x) =1 μ A (x) (11) μ A B (x) =min(μ A (x),μ B (x)) (12) μ A B (x) =max(μ A (x),μ B (x)) (13) 2. Conjntos difsos Los conjntos difsos 1 son na generalización de los conjntos nítidos. En la teoría de conjntos difsos, los elementos pede pertenecer parcialmente a los conjntos. El grado de pertenencia se determina por na fnción de membresía (también llamada fnción de pertenencia). 1 El término en inglés fzzy es salmente tradcido como difso, pero también pede ser tradcido como borroso. c M. Valenzela, , 2006 (24 de febrero de 2006) Página 2

3 Tabla 1: Propiedades de los conjntos nítidos. Involción (A ) = A Conmtatividad A B = B A A B = B A Asociatividad (A B) C = A (B C) (A B) C = A (B C) Propiedad distribtiva A (B C) =(A B) (A C) A (B C) =(A B) (A C) Idempotencia A A = A A A = A Absorción A (A B) =A A (A B) =A Absorción por complemento A (A B) =A B A (A B) =A B Absorción por oporu A = A A = Identidad A = A A A = Ley de contradicción A A = Ley del medio exclido A A = U LeyesdeDeMorgan (A B) = A B (A B) = A B c M. Valenzela, , 2006 (24 de febrero de 2006) Página 3

4 2.1. Definición de conjntos difsos Una fnción de membresía define n conjnto difso de la sigiente manera, toma como argmento n elemento, y regresa n valor entre 0 y 1 qe define el grado en qe ese elemento pertenece al conjnto. La sigiente es la definición formal de lo qe es na fnción de membresía: Definición 2 La fnción de membresía μ F de n conjnto difso F es na fnción μ F : U [0, 1]. (14) Por ejemplo, el conjnto de temperatras calientes podría definirse como: 0, si T 20; T 20 μ C (T )=, si 20 <T 30; 10 1, si T>30; (15) donde la temperatra T está definida en grados centigrados. La definción de n conjnto difso depende del problema particlar y posiblemente de la persona qe lo define. En el ejemplo anterior, la definción podría variar si el conjnto C se va a tilizar para establecer temperatras de operación de n motor de combstión interna, temperatras en las qe pede trabajar comodamente na persona, la temperatra corporal de na persona sana, etc. Los conjntos difsos definidos sobre niversos discretos peden definirse como n conjnto de tplos de la forma (elemento, membresía) de la sigiente manera: F = {(, μ F ()) U}. (16) Si limitamos el ejemplo de temperatras calientes a valores enteros entre 19 y 31 tenemos qe C = {(19, 0), (20, 0), (21, 0.1), (22, 0.2), (23, 0.3), (24, 0.4), (25, 0.5), (26, 0.6), (27, 0.7), (28, 0.8), (29, 0.9), (30, 1), (31, 1)} (17) 2.2. Notación de Zadeh Zadeh propone na notación redcida para definir conjntos nítidos y difsos. Para conjntos nítidos se listan los elementos asociados por +. C = n. (18) Nótese qe + denota enmeración. Para conjntos difsos definidos sobre niversos discretos se generaliza la notación anterior de la sigiente manera: F = μ F ( 1 )/ 1 + μ F ( 2 )/ μ F ( n )/ n, (19) donde μ F (x) es la fnción de membresía del conjnto difso F.Nótese qe el / denotalarelación entre elemento y s membresía en n tplo. La anterior notación se pede redcir de la sigiente manera: μ F ()/. (20) U De nevo, nótese qe denota enmeración. Para conjntos difsos definidos sobre sobre niversos continos se generaliza la notación de smatoria tilizando el símbolo delasigientemanera: F = μ F ()/ (21) Para fnciones definidas por medio de tplos se pede emplear la sigiente notación: U {μ F ()/ U} (22) c M. Valenzela, , 2006 (24 de febrero de 2006) Página 4

5 2.3. Ejemplos de conjntos difsos Como primer ejemplo consideremos n conjnto difso de números natrales cercanos a cero de las sigientes maneras: Fnción de pertenencia μ c (x) = 1 x, 4 si 0 x 4; 0, si no. (23) Tplos Notación de Zadeh C = {(0, 1.0), (1, 0.75), (2, 0.5), (3, 0.25)}. (24) C =1.0/0+0.75/1+0.5/2+0.25/3. (25) Extendamos ahora al conjnto difso de los números reales cercanos a cero. Fnción de membresía μ c (x) = 1+ x, 4 si 4 x 0; 1 x, 4 si 0 x 4; 0, si no. (26) Notación de Zadeh ( 0 C = 1+ x ) ( 4 /x+ 1 x ) /x. (27) Algnas fnciones de membresía estándares Las sigientes son fnciones de membresía estándares qe se tlizan comúnmente en aplicaciones de control difso: 0, si α; α Γ(; α, β) =, si α β; β α 1, si >β. (28) 1, si α; β L(; α, β) =, si α β; β α 0, si >β. (29) 0, si α; α, si α β; β α Λ(; α, β, γ) = γ, si β γ; γ β 0, si >γ. (30) c M. Valenzela, , 2006 (24 de febrero de 2006) Página 5

6 Γ(; α, β) 1 α β Figra 1: Γ(; α, β) L(; α, β) 1 α β Figra 2: L(; α, β) Π(; α, β, γ, δ) = Estas fnciones se mestran en las figras , si α; α, β α si α β; 1, si β γ; δ, δ γ si γ δ; 0, si >δ. (31) 2.5. Propiedades de conjntos difsos Se definen las sigientes propiedades de los conjntos difsos: Definición 3 El soporte de n conjnto difso A está dado por S(A) ={ X μ A () > 0}. (32) Definición 4 El ancho de n conjnto difso convexo A es ancho(a) = sp(s(a)) inf(s(a)). (33) Definición 5 El núcleo de n conjnto difso A es núcleo(a) ={ X μ A () =1}. (34) c M. Valenzela, , 2006 (24 de febrero de 2006) Página 6

7 Δ(; α, β, γ) 1 α β γ Figra 3: Δ(; α, β, γ) Π(; α, β, γ, δ) 1 α β γ δ Figra 4: Π(; α, β, γ, δ) S(; α, β, γ) α β γ Figra 5: S(; α, β, γ) c M. Valenzela, , 2006 (24 de febrero de 2006) Página 7

8 π(; β,γ) γ β γ β/2 γ γ + β/2 γ + β Figra 6: π(; β,γ) Definición 6 La altra de n conjnto difso A es 2.6. Operaciones sobre conjntos difsos Se definen las sigientes operaciones sobre conjntos difsos: altra = sp μ A (). (35) X Definición 7 Dos conjntos difsos son igales (A = B) si,y sólo si, Definición 8 A es sbconjnto de B (A B) si,ysólo si, x X : μ A (x) =μ B (x). (36) x X : μ A (x) μ B (x). (37) Las operaciones de complemento, nión, e intersección peden definirse de varias maneras. Las más tilizadas son las sigientes: Complemento Union Intersección μ A (x) =1 μ A (x) (38) μ A B (x) =max(μ A (x),μ B (x)) (39) μ A B (x) =min(μ A (x),μ B (x)) (40) 3. Relaciones 3.1. Relaciones nítidas Una relación es n conjnto de tplos, donde n tplo es n par ordenado. Un tplo binario se denota como (x, y). Un tplo ternario se denota como (x, y, z). Un tplo n-ario es (x 1,x 2,...,x n ). Definición 9 μ R : X 1 X 2 X n {0, 1} es na fnción característica de la relación R si, ysólo si, para toda x 1,x 2,...,x n, μ R (x 1,x 2,...,x n )= { 1, cando (x1,x 2,...,x n ) R; 0, cando (x 1,x 2,...,x n ) R. (41) c M. Valenzela, , 2006 (24 de febrero de 2006) Página 8

9 3.2. Relaciones difsas Una relación difsa es n conjnto difso de tplos, esto es, cada tplo tiene n grado de membresía entre 0 y 1. Definición 10 Sean U y V niversos continos, y μ R : U V [0, 1], entonces R = μ R (, v)/(, v) (42) es na relación difsa sobre U V. Definición 11 Sean U y V niversos discretos, y μ R : U V [0, 1], entonces U V R = U V μ R (, v)/(, v). (43) es na relación difsa sobre U V. Consideremos el sigiente ejemplo. Sea U = {1, 2, 3}, entonces aproximadamente igal es la relación difsa 1/(1, 1) + 1/(2, 2) + 1/(3, 3) + 0.8/(1, 2) + 0.8/(2, 3) + 0.8/(2, 1) + 0.8/(3, 2) + 0.3/(1, 3) + 0.3/(3, 1) La fnción de membresía μ R de esta relación pede ser descrita por 1, si x = y; μ R (x, y) = 0.8, si x y =1; 0.3, si x y =2. (44) En notación matricial se pede representar como Operaciones sobre relaciones difsas Definición 12 Sean R y S dos relaciones binarias definidas sobre X Y. La intersección de R y S se define por (x, y) X Y : μ (R S) (x, y) =min(μ R (x, y),μ S (x, y)). (45) Definición 13 Sean R y S dos relaciones binarias definidas sobre X Y.Lanión de R y S se define por (x, y) X Y : μ (R S) (x, y) =max(μ R (x, y),μ S (x, y)). (46) Proyección Sea R na relación sobre U = n i=1 U i.sean(i 1,...,i k ) n sbconjntos de (1,...,n), y (j 1,...,j l ) s complemento. Sea V = k m=1u im. Definición 14 La proyección de R sobre V se define por proy R sobre V = sp μ R (x 1,...,x n )/(x i1,...,x ik ). (47) x j1,...x jl V c M. Valenzela, , 2006 (24 de febrero de 2006) Página 9

10 (Para conjntos sobre niveresos disrectos, es sal sar prodcto en lgar de spremm.) Para el caso binario: Definición 15 La proyección de R sobre V se define por proy R sobre V = sp μ R (x, y)/y. (48) x Extensión cilíndrica Definición 16 La extensión cilíndrica de S sobre U es ce(s) = μ S (x i1,...,x ik )/(x 1,...,x n ). (49) Para el caso binario se redce a los sigiente: ce(f )= Composición U X Y Y μ F (y)/(x, y). (50) Definición 17 Sea A n conjnto difso definido sobre X y R na relación difsa definida sobre X Y ; entonces, la composición de A y R qe reslta en n conjnto difso B definido sobre Y está dada por B = A R = proy (ce(a) R)sobre Y, (51) o si la intersección se lleva a cabo con la operación de mínimo y la proyección con máximo, μ B (y) =max x min (μ A(x),μ R (x, y)). (52) A la anterior se le conoce como la composición min-max. Si la intersección se realiza con el prodcto y la proyección con el máximo se tiene qe, μ B (y) =max X μ A(x) μ R (x, y). (53) A la anterior se le llama la composición max-pnto o max-prodcto Ejemplo Sponga qe se tienen las sigientes relaciones difsas: y diferentede x es mayor qe y c M. Valenzela, , 2006 (24 de febrero de 2006) Página 10

11 La extensión cilíndrica de y diferente a 2 es La intersección de lo anterior con x es mayor qe y es Y la proyección de lo anterior sobre X es Principio de extensión Sean A 1,...,A n conjntos difsos, definidos sobre U 1,...,U n, respectivamente, y sea f na fnción nítida F : U 1 U n V. Se desea extender F de tal manera qe opere sobre A 1,...,A n y regrese n conjnto difso F sobre V. Esto se logra con la composición sp-min de la sigiente manera: Definición 18 La extensión de f, operando sobre A 1,...,A n reslta en la sigiente fnción de membresía para F : sp min (μ A1 ( 1 ),...,μ An ( n )), si f 1 (v) existe; μ F (v) = 1,..., n f( 1,..., n)=v (54) 0, si no. Lo anterior pede escribirse como: F = min (μ A1 ( 1 ),...,μ An ( n )) /f( 1,..., n ). (55) U 1... U n Para el caso binario, sobre n niverso discreto se tiene qe: μ f(a1,a 2) = max x 1,x 2 min (μ A1 (x 1 ),...,μ A2 (x n )). (56) y=f(x 1,x 2) c M. Valenzela, , 2006 (24 de febrero de 2006) Página 11

12 Ejemplo del principio de extensión Sean ñ y m dos números difsos, entonces la fnción de membresía de la sma de ñ y m es μñ m = sp min (μñ(x),μ m (y)). (57) x,y z=x+y Sponga por ejemplo qe 6 tiene fnción de membresía Λ(x;4, 6, 8), y 4 tiene fnción de membresía Λ(x;3, 4, 5). Entonces la fnción de membresía de la sma es: 6 4 = max min R z=x+y R (μ 6 (x),μ 4 (y)) /z = Λ(z;7, 10, 13)/z. (58) Referencias Driankov, D., Hellendoorn, H., y Reinfrank, M. (1996). An introdction to fzzy control (2da. ed.). Neva York: Springer. Klir, G. J., y Yan, B. (1995). Fzzy sets and fzzy logic: Theory and applications. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. c M. Valenzela, , 2006 (24 de febrero de 2006) Página 12