Concurso Nacional de Matemáticas Pierre Fermat Problemas

Transcripción

1 Concrso Nacional de Matemáticas Pierre Fermat 014 Examen para Nivel Secndaria Etapa Eliminatoria Instrcciones: No tilizar cellar (éste deberá de estar apagado), ipod, notebook, calcladora ó calqier otro medio en el cal se pedan realizar operaciones aritméticas. No hay sgerencias a los problemas. Calqier pregnta qe se haga deberá de estar relacionada con la redacción del problema y/o con algna dda sobre el conocimiento propio de la matemática. Dración de Examen: 3:00 horas. Problemas Problema 1. Cáles de los tres conjntos de dos números {a 1, b 1 }, {a, b } y {a 3, b 3 } satisfacen las desigaldades < a 1 < a 3 < a < c < b 3 < b < b 1 < , donde c = { , }, { , } y { , } { , }, { , } y { , } { , }, { , } y { , } (d) { , }, { , } y { , } 1

2 Nivel Secndaria Problema. Cál número racional se encentra entre los números y + 3? (d) 4.8 Problema 3. Considere los números reales constrídos de la sigiente manera: Cál es el valor de a 8? a 1 = 1, a = 1 y a n = 3a n a n 1 para cada n (d) 19 4 Problema 4. Cál de las sigientes opciones determina la simplificación de la expresión nmérica ( ( ) ( 1 3 ( 3 4 3) ) )? (d) 431 Problema 5. Cál de los sigientes números es el resltado de hacer el prodcto de exactamente n factor primo de 013 con no de 014? (d) 43 Problema 6. Todo número entero se pede expresar en la forma 4n + r donde n es n número entero y el valor de r es 0, 1, ó 3. Para n número de la forma 4k 3, con k número entero, cál es el valor de s r? r = 0 r = 1 r = (d) r = 3 Problema. De qé forma son los números enteros positivos qe se peden expresar como na diferencia de cadrados de dos números consectivos? n 1 n n (d) n + 1

3 Concrso Nacional de Matemáticas Pierre Fermat Problema 8. Dé la factorización de la expresión algebraica 1x 3/ y 11/5 x 1/10 y + 8x y 1/10 18x 11/5 y 3/. (x 1/ y 3/5 3x 3/5 y 1/ )(3x 1/ y xy 1/ )(x 1/ y 3/5 + 3x 3/5 y 1/ ) (x 1/ y 3/5 3x 3/5 y 1/ )(3x 1/ y xy 1/ )(x 1/ y 3/5 + 3x 3/5 y 1/ ) (x 1/ y 3/5 3x 3/5 y 1/ )(3x 1/ y + xy 1/ )(x 1/ y 3/5 + 3x 3/5 y 1/ ) (d) (x 1/ y 3/5 3x 3/5 y 1/ )(3x 1/ y + xy 1/ )(x 1/ y 3/5 + 3x 3/5 y 1/ ) Problema 9. Dé el resltado de hacer la sma de la sigiente expresión algebraica x + (x + 1)(x 1) x + 1 (x 1)(x + ) + x 1 (x + )(x + 1) x + 1 x + 1 x + 1 (d) x + 1 Problema 10. Un ánglo θ satisface la ecación cos(θ 0 ) = 3/. Cál es el valor de θ? (d) 60 Problema 11. Un triánglo rectánglo tiene n ánglo interior θ, donde 0 < θ < 90, con s cateto adyacente de 3 ( = nidades de longitd). Cál es la longitd del otro cateto del triánglo? 3sen(90 θ) sen(θ) 3cos(90 θ) sen(θ) 3sen(90 θ) cos(θ) (d) 3cos(90 θ) cos(θ) Problema 1. Existe n triánglo rectánglo cyo perímetro sea (5 + 1) y área 8? Si s respesta es no, dé como respesta el inciso ; en caso contrario dé contestación a la sigiente pregnta: Cáles son las dimensiones de los catetos del triánglo rectánglo? (d) No Longitd de catetos 4 y 4 y 8 1 y 16

4 Nivel Secndaria 4 Problema 13. Usando la ecación sen (cos 3 (x)) = ln(x) cos (cos 3 (x)), dé el valor aproximado de x. x 1.35 x.35 x.1 (d) x 3.35 Problema 14. Elija la relación qe dé como consecencia qe la ecación cadrática (1 + a)x + (1 a)x + a = 0 tiene al menos na solción real. 3a + 6a 1 0 3a 6a a 6a 1 0 (d) 3a + 6a Problema 15. Un grpo A de estdiantes de na secndaria del Distrito Federal, se preparan para realizar n viaje de prácticas a las Pirámides de Teotihacan. Por desgracia, no todos los estdiantes del grpo podrán realizar este viaje. Del total de estdiantes del grpo, sólo el 93 % podrá realizar dicha escrsión. Los estdiantes a viajar se organizan en tres sbgrpos: el 4 % de ellos llevarán las tortas de jamón, el 43 % llevará los refrescos y estdiantes llevarán la frta. Si almnos feron los qe no pdieron ir de viaje de prácticas, de manera respectiva dé la solción a las sigientes pregntas: Cál es la cantidad de almnos qe tiene el grpo? Qé porcentaje del grpo A corresponde la cantidad de almnos? Cántos almnos qe irán de viaje de prácticas están libres de llevar algún prodcto alimenticio? 9 almnos, 5 %, almnos 9 almnos, 5 %, almnos 30 almnos, 4 %, 1 almno (d) 9 almnos, 4 %, almnos Problema 16. Se analizaron algnos precios de prodctos qe venden dos cadenas de centros comerciales, A y B, en la Cidad de México, para obtener la diferencia en pesos y la diferencia en porcentaje. En particlar, el Agacate Hass es vendido por la cadena comercial A en $ 19.4 el kilogramo, mientras qe la cadena comercial B lo vende en $ Cál es la diferencia en pesos y la diferencia en porcentaje para este prodcto? Diferencia en pesos Diferencia en porcentaje $ % $ % $ % (d) $ %

5 Concrso Nacional de Matemáticas Pierre Fermat Problema 1. Considere los conjntos A = {(x, y) R x + y = 1} y B = {(x, y) R x + y = 4}. Cál es el conjnto A B? (d) { ) 1, 1, {( 1 ) +, 1 +, { ) 1 +, 1, {( 1 ) +, 1 +, 1 +, , 1 1, , 1 Problema 18. Considere la fnción f : R R dada por f(x) = 3x/ 1/3 para cada x R. Cál es el conjnto de elementos x R qe tiene la propiedad de qe f(x) > 5/? {x R x > /9 + 5/3} {x R x > /3 + 5/9} {x R x > /9 + 5/3} (d) {x R x > /3 5/9} Problema 19. Cál de las sigientes ecaciones cadráticas tiene por solción a los números irracionales y 3? x + 3)x + 6 = 0 x + 3)x 6 = 0 x + + 3)x 6 = 0 (d) x + + 3)x + 6 = 0 Problema 0. Dados los pntos en el plano P = (1 +, 3) y Q = ( 3, 1 ) establezca cáles son las nidades qe determinan el cadrado de la distancia entre ellos. 4( ) 4(3 6) 4(3 + 6) (d) 4( )

6 Nivel Secndaria 6 Problema 1. Una circnferencia C en el plano está centrada en el origen pasando por el pnto de coordenadas P = (0, ). Si L es na recta del plano qe contiene al pnto P intersectando a C en exactamente dicho pnto, cál es la ecación algebraica de la circnferencia C y de la recta L? Ecación de la circnferencia C Ecación de la recta L x + y = 4 x = 0 x + y = x = 0 x + y = 4 y = (d) x + y = y = Problema. Los pntos en el plano P = (0, ) y Q = (1, 0) son pntos qe pertenecen a na circnferencia C centrada en el pnto ( 3/, 0). Cál es la longitd del radio de la circnferencia? /5 5/4 4/5 (d) 5/ Problema 3. Spóngase qe L y L son dos rectas en el plano qe tienen por ecación x + by + 3 = 0 y ax 3y 1 = 0, donde a, b R tales qe a 0 b. Qé condición deben de cmplir a y b para qe las rectas L y L sean paralelas? ab = 6 ab = 6 b = a/3 (d) b = a/3 Problema 4. Considere los triánglos rectánglos ABC y ABC, con ánglo recto en el vértice A y longitd del segmento AC mayor qe el del segmento AC. Cál es la fórmla qe determina el área del triánglo CBC? Área = AC CC / Área = AB CC / Área = AC CC / (d) Área = BC BC / donde BC representa la longitd del segmento BC. Problema 5. Considere el segmento AB en el plano qe tiene por pntos extremos A = ( 1, 0) y B = (1, 3). Cál es la ecación de la circnferencia qe contiene al pnto medio del segmento AB? x + y = 1/4 x + y = 1 x + y = 9/4 (d) x + y = 4 donde BC representa la longitd del segmento BC.