Vectores fuerza. 2.1 Escalares y vectores

Transcripción

1 Vectores fera OJETIVOS DEL CPÍTULO Mostrar cómo se sman las feras cómo se obtienen ss componentes con la le del paralelogramo. Epresar na fera s posición en forma de n vector cartesiano eplicar cómo se determina la magnitd la dirección del vector. Presentar el prodcto pnto a fin de determinar el ánglo entre dos vectores o la proección de n vector sobre otro..1 Escalares vectores Todas las cantidades físicas en ingeniería mecánica peden medirse mediante escalares o vectores. Escalar. Un escalar es calqier cantidad física positiva o negativa qe se pede especificar por completo mediante s magnitd. La longitd, la masa el volmen son ejemplos de cantidades escalares. Vector. Un vector es calqier cantidad física qe reqiere tanto de magnitd como de dirección para s descripción completa. En estática, algnas cantidades vectoriales encontradas con frecencia son fera, posición momento. Un vector se representa gráficamente mediante na flecha. La longitd de la flecha representa la magnitd del vector el ánglo entre el vector n eje fijo define la dirección de s línea de acción. La cabea o pnta de la flecha indica el sentido de dirección del vector, como se ve en la figra -1. En trabajos impresos, las cantidades vectoriales se representan mediante caracteres en negritas como, mientras qe la magnitd del vector se escribe con letras itálicas,. Para trabajos manscritos, casi siempre es conveniente denotar na cantidad vectorial con sólo dibjar na flecha sobre el carácter, :. Magnitd Sentido Dirección ig. -1

2 18 CPÍTULO VECTORES UERZ. Operaciones vectoriales 0.5 Mltiplicación división escalar ig. - Mltiplicación división de n vector por n escalar. Si n vector se mltiplica por n escalar positivo, s magnitd se incrementa en esa cantidad. Cando se mltiplica por n escalar negativo también cambiará el sentido de la dirección del vector. En la figra - se mestran ejemplos gráficos de estas operaciones. Sma de vectores. Todas las cantidades vectoriales obedecen la le del paralelogramo para la sma. manera de ilstración, los dos vectores componentes de la figra -3a se sman para formar n vector resltante R mediante el sigiente procedimiento: Primero, na las colas de los componentes en n pnto de manera qe se hagan concrrentes, figra -3b. Desde la cabea de, dibje na línea paralela a. Dibje otra línea desde la cabea de qe sea paralela a. Estas dos líneas se intersecan en el pnto P para formar los lados adacentes de n paralelogramo. La diagonal de este paralelogramo qe se etiende hasta P forma R, la cal representa al vector resltante R, figra -3c. P R (a) (b) R Le del paralelogramo (c) ig. -3 También podemos smar a, figra -4a, mediante la regla del triánglo, qe es n caso especial de la le del paralelogramo, donde el vector se sma al vector en na forma de cabea a cola, es decir, se conecta la cabea de a la cola de, figra -4b. La resltante R se etiende desde la cola de hasta la cabea de. De la misma manera, R también se pede obtener al smar, figra -4c. Por comparación, se ve qe la sma vectorial es conmtativa; en otras palabras, los vectores peden smarse en calqier orden, es decir, R.

3 . OPERCIONES VECTORILES 19 R R R R (a) Regla del triánglo (b) Regla del triánglo (c) ig. -4 Como n caso especial, si los dos vectores son colineales, es decir, ambos tienen la misma línea de acción, la le del paralelogramo se redce a na sma algebraica o sma escalar R, como se mestra en la figra -5. R R Sma de vectores colineales ig. -5 Resta de vectores. La diferencia resltante entre dos vectores del mismo tipo pede epresarse como R ( ) Esta sma de vectores se mestra de manera gráfica en la figra -6. Pesto qe la resta se define como n caso especial de la sma, las reglas de la sma de vectores también se aplican a la resta vectorial. R o R Le del paralelogramo Constrcción trianglar Resta vectorial ig. -6

4 0 CPÍTULO VECTORES UERZ 1 R La le del paralelogramo debe sarse para determinar la resltante de las dos feras qe actúan sobre el gancho..3 Sma vectorial de feras La evidencia eperimental ha mostrado qe na fera es na cantidad vectorial a qe tiene na magnitd específica, dirección sentido, qe se sma de acerdo con la le del paralelogramo. Dos problemas comnes en estática implican encontrar la fera resltante, conocer ss componentes, o descomponer na fera conocida en dos componentes. continación describiremos cómo se reselve cada no de estos problemas mediante la aplicación de la le del paralelogramo. Determinación de na fera resltante. Las dos feras componentes 1 qe actúan sobre el pasador de la figra -7a se peden smar para formar la fera resltante R 1, como se mestra en la figra -7b. partir de esta constrcción, o mediante el so de la regla del triánglo, figra -7c, podemos aplicar la le de los cosenos o la le de los senos al triánglo, a fin de obtener la magnitd de la fera resltante s dirección (a) R (b) ig. -7 R R 1 (c) v v v Mediante el so de la le del paralelogramo, la fera casada por el elemento vertical pede separarse en componentes qe actúan a lo largo de los cables de sspensión a b. Determinación de las componentes de na fera. En ocasiones es necesario separar na fera en dos componentes a fin de estdiar s efecto de jalón o de empje en dos direcciones específicas. Por ejemplo, en la figra -8a, debe separarse en dos componentes a lo largo de los dos elementos, definidos por los ejes v. Para determinar la magnitd de cada componente, primero se constre n paralelogramo, con líneas qe inician desde la pnta de, na línea paralela a, otra línea paralela a v. Despés, estas líneas se intersecan con los ejes v para formar n paralelogramo. Las componentes de fera v se establecen simplemente al nir la cola de con los pntos de intersección en los ejes v, como aparece en la figra -8b. Despés, este paralelogramo pede redcirse a na figra geométrica qe representa la regla del triánglo, figra -8c. Con base en esto, se pede aplicar la le de los senos para determinar las magnitdes desconocidas de las componentes.

5 .3 SUM VECTORIL DE UERZS 1 v v v v (a) (b) (c) ig. -8 Sma de varias feras. Si deben smarse más de dos feras, peden llevarse a cabo aplicaciones scesivas de la le del paralelogramo para obtener la fera resltante. Por ejemplo, si tres feras 1,, 3 actúan en n pnto O, figra -9, se calcla la resltante de dos calesqiera de las feras, digamos 1, lego esta resltante se sma a la tercera fera, dando la resltante de las tres feras; es decir. R ( 1 ) 3. La aplicación de la le del paralelogramo para smar más de dos feras, como se mestra aqí, a mendo reqiere de etensos cálclos geométricos trigonométricos para determinar los valores nméricos de la magnitd la dirección de la resltante. En ve de ello, los problemas de este tipo peden resolverse con facilidad mediante el método de las componentes rectanglares, el cal se eplica en la sección.4. O 1 1 ig R R 1 Checar bien esta figra? 1 3 La fera resltante R sobre el gancho reqiere la sma de 1 ; despés, esta resltante se sma a 3.

6 CPÍTULO VECTORES UERZ Procedimiento para el análisis 1 Los problemas qe implican la sma de dos feras peden resolverse como sige: (a) R Le del paralelogramo. Las dos feras componentes 1 de la figra -10a se sman de acerdo con la le del paralelogramo, lo qe prodce na fera resltante R qe forma la diagonal del paralelogramo. v v Si na fera debe separarse en componentes a lo largo de dos ejes v, figra -10b, entonces comience en la cabea de la fera constra líneas paralelas a los ejes, para formar de esta manera el paralelogramo. Los lados del paralelogramo representan las componentes, v. (b) c Marqe todas las magnitdes de feras conocidas desconocidas los ánglos sobre el croqis; asimismo, identifiqe las dos incógnitas como la magnitd la dirección de R, o las magnitdes de ss componentes. b C Le de los cosenos: C cos c Le de los senos: C sen a sen b sen c (c) ig. -10 a Trigonometría. Dibje de nevo la mitad del paralelogramo para ilstrar la sma trianglar de cabea a cola de las componentes. partir de este triánglo, la magnitd de la fera resltante pede determinarse con la le de los cosenos, s dirección mediante la le de los senos. Las magnitdes de las dos componentes de fera se determinan a partir de la le de los senos. Las fórmlas se dan en la figra -10c. Pntos importantes Un escalar es n número positivo o negativo. Un vector es na cantidad qe tiene magnitd, dirección sentido. La mltiplicación o la división de n vector por, o entre, n escalar cambiará la magnitd del vector. El sentido del vector cambiará si el escalar es negativo. Como n caso especial, si los vectores son colineales, la resltante se forma mediante na sma algebraica o escalar.

7 .3 SUM VECTORIL DE UERZS 3 EJEMPLO.1 La armella roscada de la figra -11a está sometida a dos feras, 1. Determine la magnitd la dirección de la fera resltante N 150 N N R 360 (65 ) N 15 (a) (b) SOLUCIÓN Le del paralelogramo. El paralelogramo se forma al dibjar na línea desde la cabea de 1 qe sea paralela a, otra línea desde la cabea de qe sea paralela a 1. La fera resltante R se etiende hacia el lgar donde estas líneas se intersecan en el pnto, figra -11b. Las dos incógnitas son la magnitd de R el ánglo (teta). R 150 N Trigonometría. partir del paralelogramo, se constre el triánglo vectorial, figra -11c. Mediante la le de los cosenos (100 N) (150 N) (100 N)(150 N) cos ( 0.46) 1.6 N f N 15 (c) 13 N El ánglo se determina al aplicar la le de los senos, ig N sen 1.6 N sen 115 sen 150 N (sen 115º) 1.6 N 39.8 sí, la dirección f (fi) de R, medida desde la horiontal, es f NOT: los resltados parecen raonables, pesto qe la figra -11b mestra qe R tiene na magnitd más grande qe ss componentes na dirección qe se encentra entre éstas.

8 4 CPÍTULO VECTORES UERZ EJEMPLO. Descomponga la fera horiontal de 600 lb qe se mestra en la figra -1a en componentes qe actúan a lo largo de los ejes v, determine las magnitdes de estas componentes. 600 lb v lb lb (c) v v C (a) v ig. -1 (b) SOLUCIÓN El paralelogramo se constre al etender na línea paralela al eje v, desde la cabea de la fera de 600 lb hasta qe interseca el eje en el pnto, figra -1b. La flecha desde hasta representa. Del mismo modo, la línea qe se etiende desde la cabea de la fera de 600 lb dibjada en forma paralela al eje interseca el eje v en el pnto C, de donde se obtiene v. En la figra -1c se mestra la sma vectorial cando se sa la regla del triánglo. Las dos incógnitas son las magnitdes de v. l aplicar la le de los senos, 600 lb sen 10 sen lb 600 lb sen 30 sen lb NOT: el resltado para mestra qe en ocasiones na componente pede tener na maor magnitd qe la resltante.

9 .3 SUM VECTORIL DE UERZS 5 EJEMPLO.3 Determine la magnitd de la fera componente en la figra -13a la magnitd de la fera resltante R si R está dirigida a lo largo del eje positivo. 00 lb R lb R lb (a) (b) (c) ig. -13 SOLUCIÓN En la figra -13b se mestra la le del paralelogramo para la sma, en la figra -13c la regla del triánglo. Las magnitdes de R son las dos incógnitas. Éstas peden determinarse mediante la aplicación de la le de los senos. 00 lb sen 60 sen lb 00 lb sen 75 sen lb C0 EST_H ELER.indd 5 11/19/09 :4 :00 M

10 6 CPÍTULO VECTORES UERZ EJEMPLO.4 Se reqiere qe la fera resltante qe actúa sobre la armella roscada de la figra -14a esté dirigida a lo largo del eje positivo qe tenga na magnitd mínima. Determine esta magnitd, el ánglo la fera resltante correspondiente N N N R R 90 (a) (b) (c) ig. -14 SOLUCIÓN En la figra -14b se mestra la regla del triánglo para R 1. Como las magnitdes (longitdes) de R no están especificadas, entonces pede ser en realidad calqier vector ca cabea toqe la línea de acción de R, figra -14c. Sin embargo, como se mestra en la figra, la magnitd de es n mínimo o tiene la longitd más corta cando s línea de acción es perpendiclar a la línea de acción de R, es decir, cando 90 Como la sma vectorial ahora forma n triánglo rectánglo, las dos magnitdes desconocidas se peden obtener por trigonometría. R (800 N)cos N (800 N)sen N C0 EST_H ELER.indd 11/19/09 :4 :01 M

11 .3 SUM VECTORIL DE UERZS 7 PROLEMS UNDMENTLES* -1. Determine la magnitd de la fera resltante qe actúa sobre la armella roscada s dirección medida en el sentido de las manecillas del reloj desde el eje. -4. Descomponga la fera de 30 lb en componentes a lo largo de los ejes v; además, determine la magnitd de cada na de estas componentes. v lb kn 6 kn Dos feras actúan sobre el gancho. Determine la magnitd de la fera resltante. -5. La fera 450 lb actúa sobre la estrctra. Descomponga esta fera en componentes qe actúan a lo largo de los elementos C; además, determine la magnitd de cada componente. C 450 lb N 500 N Determine la magnitd de la fera resltante s dirección, medida en sentido contrario al de las manecillas del reloj desde el eje positivo. -6. Si la fera debe tener na componente a lo largo del eje con magnitd 6 kn, determine la magnitd de la magnitd de s componente v a lo largo del eje v. 800 N N v -3-6 * l final del libro se proporcionan solciones parciales respestas a todos los problemas fndamentales. C0 EST_H ELER.indd 7 11/19/09 :4 :01 M

12 8 CPÍTULO VECTORES UERZ -1. Si 30 T 6 kn, determine la magnitd de la fera resltante qe actúa sobre la armella roscada s dirección medida en el sentido de las manecillas del reloj desde el eje positivo. -. Si 60 T 5 kn, determine la magnitd de la fera resltante qe actúa sobre la armella roscada s dirección medida en el sentido de las manecillas del reloj desde el eje positivo. -3. Si la magnitd de la fera resltante debe ser de 9 kn dirigida a lo largo del eje positivo, determine la magni td de la fera T qe actúa sobre la armella roscada s ánglo. T -7. Si kn la fera resltante actúa a lo largo del eje positivo, determine la magnitd de la fera resltante el ánglo. *-8. Si se reqiere qe la fera resltante actúe a lo largo del eje positivo qe tenga na magnitd de 5 kn, determine la magnitd reqerida de s dirección. 3 kn Probs. -7/8 Probs. -1//3 8 kn *-4. Determine la magnitd de la fera resltante qe actúa sobre la ménsla s dirección, medida en sentido contrario al de las manecillas del reloj desde el eje positivo. -5. Reselva la fera 1 en componentes a lo largo de los ejes v; además, determine las magnitdes de estas componentes. -9. La placa está sometida a las dos feras, como se mestra en la figra. Si 60, determine la magnitd de la resltante de esas dos feras s dirección medida en el sentido de las manecillas del reloj desde la horiontal Determine el ánglo de para conectar el elemento a la placa, de manera qe la fera resltante de esté dirigida horiontalmente hacia la derecha. Inclso, cál es la magnitd de la fera resltante? -6. Reselva la fera en componentes a lo largo de los ejes v; además, determine las magnitdes de estas componentes. v 150 lb 1 00 lb Probs. -4/5/6

13 3 CPÍTULO VECTORES UERZ.4 Sma de n sistema de feras coplanares Cando na fera se descompone en dos componentes a lo largo de los ejes, dichas componentes selen denominarse componentes rectanglares. Para el trabajo analítico, podemos representar estos componentes en na de dos formas, mediante notación escalar, o por notación vectorial cartesiana. Notación escalar. Las componentes rectanglares de la fera qe se mestran en la figra -15a se encentran al tiliar la le del paralelogramo, de manera qe. Como estas componentes forman n triánglo rectánglo, ss magnitdes se peden determinar a partir de (a) cos sen Sin embargo, en ve de sar el ánglo, la dirección de también se pede definir mediante n peqeño triánglo de pendiente, como el qe se mestra en la figra -15b. Como este triánglo el triánglo sombreado más grande son semejantes, la longitd proporcional de los lados da o bien b c a (b) ig. -15 a o a c qí, la componente es n escalar negativo pesto qe está dirigida a lo largo del eje negativo. Es importante tener en mente qe esta notación escalar positiva negativa se sa sólo para propósitos de cálclo, no para representaciones gráficas en las figras. lo largo de este libro, la cabea de n vector representado por na flecha en calqier figra indica el sentido del vector gráficamente; los signos algebraicos no se san para este fin. sí, los vectores en las figras -15a -15b se designan mediante el so de notación (vectorial) en negritas*. Siempre qe se escriban símbolos crsivos cerca de flechas vectoriales en las figras, éstos indicarán la magnitd del vector, la cal siempre es na cantidad positiva. *Los signos negativos se san en figras con notación en negritas sólo cando se mestran pares de vectores igales pero opestos, como en la figra -.

14 .4 SUM DE UN SISTEM DE UERZS COPLNRES 33 Notación vectorial cartesiana. También es posible representar las componentes de na fera en términos de vectores nitarios cartesianos i j. Cada no de estos vectores nitarios tiene na magnitd adimensional de no, por lo tanto peden sarse para designar las direcciones de los ejes, respectivamente, figra -16.* Como la magnitd de cada componente de es siempre na cantidad positiva, la cal está representada por los escalares (positivos), entonces podemos epresar como n vector cartesiano. j i i j Resltantes de feras coplanares. Podemos tiliar calqiera de los dos métodos para determinar la resltante de varias feras coplanares. Para hacer esto, cada fera se divide primero en ss componentes, lego las componentes respectivas se sman con álgebra escalar pesto qe son colineales. La fera resltante se forma entonces al smar las componentes resltantes mediante la le del paralelogramo. Por ejemplo, considere las tres feras concrrentes de la figra -17a, qe tienen las componentes mostradas en la figra -17b. l sar notación vectorial cartesiana, cada fera se representa primero como n vector cartesiano, es decir, ig i 1 j i j 3 3 i 3 j 1 Por lo tanto, la resltante vectorial es i 1 j i j 3 i 3 j ( 1 3 ) i ( 1 3 ) j ( )i ( )j Si se tilia notación escalar, entonces tenemos ( ) 1 3 ( ) 1 3 (a) Estos resltados son igales a los de las componentes i j de R qe se determinaron anteriormente. (b) ig. -17 *Por lo general, en trabajos manscritos los vectores nitarios se indican con n acento circnflejo, por ejemplo, î ĵ. Estos vectores tienen na magnitd adimensional de na nidad, s sentido (o la cabea de s flecha) se describirá analíticamente mediante n signo de más o menos, dependiendo de si apntan a lo largo del eje o positivo o negativo.

15 34 CPÍTULO VECTORES UERZ Podemos representar en forma simbólica las componentes de la fera resltante de calqier número de feras coplanares mediante la sma algebraica de las componentes de todas las feras, esto es, R R (-1) (c) ig. -17 R Una ve qe se determinen estas componentes, peden bosqejarse a lo largo de los ejes con n sentido de dirección adecado, la fera resltante pede determinarse con base en na sma vectorial, como se mestra en la figra -17. Despés, a partir de este bosqejo, se encentra la magnitd de R por medio del teorema de Pitágoras; es decir, simismo, el ánglo, qe especifica la dirección de la fera resltante, se determina por trigonometría: tan 1 Los conceptos anteriores se ilstran de forma nmérica en los sigientes ejemplos. Pntos importantes 4 La fera resltante de las feras de los catro cables qe actúan sobre la ménsla de apoo pede determinarse al smar algebraicamente por separado las componentes de la fera de cada cable. Esta resltante R prodce el mismo efecto de jalón sobre la ménsla qe los catro cables. 3 1 La resltante de varias feras coplanares pede determinarse fácilmente si se establece n sistema coordenado, las feras se descomponen a lo largo de los ejes. La dirección de cada fera está especificada por el ánglo qe forma s línea de acción con no de los ejes, o por medio de n triánglo de pendiente. La orientación de los ejes es arbitraria, ss direcciones positivas peden especificarse mediante los vectores nitarios cartesianos i j. Las componentes de la fera resltante son simplemente la sma algebraica de las componentes de todas las feras coplanares. La magnitd de la fera resltante se determina mediante el teorema de Pitágoras, cando las componentes se bosqejan sobre los ejes, la dirección pede determinarse por trigonometría.

16 (.4 SUM DE UN SISTEM DE UERZS COPLNRES 35 EJEMPLO.5 Determine las componentes de 1 qe actúan sobre la barra mostrada en la figra -18a. Eprese cada fera como n vector cartesiano N SOLUCIÓN Notación escalar. Por la le del paralelogramo, 1 se descompone en ss componentes, figra -18b. Como 1 actúa en la dirección 1 actúa en la dirección, tenemos sen 30 N 100 N 100 N d 60 N 1 00 cos 30 N 173 N 173 N c La fera se divide en ss componentes como se mestra en la figra -18c. qí se indica la pendiente de la línea de acción para la fera. partir de este triánglo de pendiente podríamos obtener el ánglo, por ejemplo, tan 1 ( 5 1 ) lego proceder a determinar las magnitdes de las componentes de la misma manera qe para 1. Sin embargo, n método más fácil consiste en sar partes proporcionales de triánglos semejantes, es decir, 60 N 1 13 Del mismo modo, 60 N 1 40 N 13 (a) 1 00 N 1 00 cos N 1 00 sen N (b) 60 N N 13 Observe qe la magnitd de la componente horiontal,, se obtvo al mltiplicar la magnitd de la fera por la raón del cateto horiontal del triánglo de pendiente dividido entre la hipotensa; mientras qe la magnitd de la componente vertical,, se obtvo al mltiplicar la magnitd de la fera por la raón del cateto vertical dividido entre la hipotensa. Por lo tanto, ( N 5 (c) 60 ( N 60 N ( 40 N 40 N S 100 N 100 N T ig. -18 Notación vectorial cartesiana. Una ve determinadas las magnitdes direcciones de las componentes de cada fera, podemos epresar cada fera como n vector cartesiano. 1 { 100i 173j} N {40i 100j} N

17 36 CPÍTULO VECTORES UERZ EJEMPLO N (a) N La armella qe se mestra en la figra -19a está sometida a las dos feras 1. Determine la magnitd la dirección de la fera resltante. SOLUCIÓN I Notación escalar. Primero resolvemos cada fera en ss componentes, figra -19b, lego smamos estas componentes algebraicamente. 400 N (b) N ; ; 600 cos 30 N 400 sen 45 N 36.8 N 600 sen 30 N 400 cos 45 N 58.8 N La fera resltante, qe se mestra en la figra -19c, tiene na magnitd de (36.8 N) (58.8 N) 69 N 58.8 N R 36.8 N (c) ig. -19 partir de la sma vectorial, tan N N SOLUCIÓN II Notación vectorial cartesiana. partir de la figra -19b, cada fera se epresa primero como n vector cartesiano cos 30 i 600 sen 30 j N 400 sen 45 i 400 cos 45 j N Entonces, 1 (600 cos 30 N 400 sen 45 N)i (600 sen 30 N 400 cos 45 N)j 36.8i 58.8j N La magnitd la dirección de R se determinan de la misma manera qe antes. NOT: al comparar los dos métodos de solción, observe qe el so de la notación escalar es más eficiente pesto qe las componentes peden encontrarse directamente, sin tener qe epresar primero cada fera como n vector cartesiano antes de smar las componentes. Sin embargo, despés mostraremos qe el análisis con vectores cartesianos es m conveniente para la resolción de problemas tridimensionales.

18 .4 SUM DE UN SISTEM DE UERZS COPLNRES 37 EJEMPLO.7 El etremo de la barra O mostrada en la figra -0a está sometido a tres feras coplanares concrrentes. Determine la magnitd la dirección de la fera resltante N N N (a) SOLUCIÓN Cada fera se divide en ss componentes, como se mestra en la figra -0b. l smar las componentes, tenemos ; 400 N 50 sen 45 N N 383. N 383. N El signo negativo indica qe R actúa hacia la iqierda, es decir, en la dirección negativa, como lo indica la flecha peqeña. Obviamente, esto ocrre porqe 1 3 en la figra -0b contriben con n maor jalón a la iqierda qe el jalón de hacia la derecha. l smar las componentes se obtiene ; 50 cos 45 N N 96.8 N 00 N N 400 N La fera resltante, como se mestra en la figra -0c, tiene na magnitd de (b) ( 383. N) (96.8 N) 485 N partir de la sma vectorial mostrada en la figra -0c, el ánglo director es tan R 383. N 96.8 N NOT: la aplicación de este método es más conveniente qe el so de las dos aplicaciones de la le del paralelogramo, donde primero se sma 1 para despés smar 3 a s resltante. (c) ig. -0

19 38 CPÍTULO VECTORES UERZ PROLEMS UNDMENTLES -7. Descomponga cada fera qe actúa sobre el pilote en ss componentes Si la fera resltante qe actúa sobre la ménsla debe ser de 750 N estar dirigida a lo largo del eje positivo, determine la magnitd de s dirección. 450 N N N 35 N Determine la magnitd la dirección de la fera resltante N 50 N N -11. Si la magnitd de la fera resltante qe actúa sobre la ménsla debe ser de 80 lb estar dirigida a lo largo del eje, determine la magnitd de s dirección. 300 N 50 lb lb Determine la magnitd de la fera resltante qe actúa sobre la repisa, así como s dirección medida en sentido contrario al de las manecillas del reloj desde el eje. -1. Determine la magnitd de la fera resltante, así como s dirección medida en sentido contrario al de las manecillas del reloj desde el eje positivo lb lb lb 1 15 kn 0 kn kn C0 EST_H ELER.indd 8 11/19/09 :4 :18 M

20 40 CPÍTULO VECTORES UERZ -39. Determine la magnitd de 1 s dirección de manera qe la fera resltante esté dirigida verticalmente hacia arriba tenga na magnitd de 800 N. *-40. Determine la magnitd la dirección, medida en sentido contrario al de las manecillas del reloj desde el eje positivo, de la fera resltante de las tres feras qe actúan sobre el anillo. Considere N Si f lb, determine la magnitd de la fera resltante qe actúa sobre la ménsla s dirección medida en el sentido de las manecillas del reloj desde el eje positivo. *-44. Si la magnitd de la fera resltante qe actúa sobre la ménsla es de 400 lb está dirigida a lo largo del eje positivo, determine la magnitd de 1 s dirección f. 600 N N -45. Si la fera resltante qe actúa sobre la ménsla debe estar dirigida a lo largo del eje positivo se reqiere qe la magnitd de 1 sea mínima, determine las magnitdes de la fera resltante 1. 1 f Probs. -39/ lb 3 60 lb -41. Determine la magnitd la dirección de de manera qe la fera resltante esté dirigida a lo largo del eje positivo tenga na magnitd de 1500 N. -4 Determine la magnitd el ánglo medido en sentido contrario al de las manecillas del reloj desde el eje positivo, de la fera resltante qe actúa sobre la ménsla, si 600 N 0. Probs. -43/44/ Las tres feras concrrentes qe actúan sobre la arme lla prodcen na fera resltante R 0. Si debe estar a 90 de como se mestra en la figra, determine la magnitd reqerida de 3, epresada en términos de 1 del ánglo. 700 N Probs. -41/4 Prob. -46 C0 EST_H ELER.indd 40 11/19/09 :4 :19 M

21 .5 VECTORES CRTESINOS 43.5 Vectores cartesianos Las operaciones del álgebra vectorial, cando se aplican a la resolción de problemas en tres dimensiones, se simplifican considerablemente si primero se representan los vectores en forma vectorial cartesiana. En esta sección presentaremos n método general para hacer esto; lego, en la sección sigiente aplicaremos este método para encontrar la fera resltante de n sistema de feras concrrentes. Sistema coordenado derecho. Usaremos n sistema coordenado derecho para desarrollar la teoría del álgebra vectorial qe se presenta a continación. Se dice qe n sistema coordenado rectanglar es derecho si el plgar de la mano derecha señala en la dirección del eje positivo, cando los dedos de la mano derecha se crvan alrededor de este eje están dirigidos del eje positivo hacia el eje positivo, figra -1. Componentes rectanglares de n vector. Un vector pede tener na, dos o tres componentes rectanglares a lo largo de los ejes coordenados,,, dependiendo de cómo esté orientado con respecto a los ejes. En general, cando está dirigido dentro de n octante del marco,,, figra -, entonces, mediante dos aplicaciones scesivas de la le del paralelogramo, podemos dividir el vector en componentes como lego. l combinar estas ecaciones, para eliminar, se representa mediante la sma vectorial de ss tres componentes rectanglares. ig. -1 (-) Vectores nitarios cartesianos. En tres dimensiones, el conjnto de vectores nitarios cartesianos i, j, k, se sa para designar las direcciones de los ejes,,, respectivamente. Como se indicó en la sección.4, el sentido (o cabea de la flecha) de estos vectores se representará analíticamente mediante n signo de más o menos, dependiendo de si están dirigidos a lo largo de los ejes, o positivos o negativos. En la figra -3 se mestran los vectores nitarios cartesianos positivos. ig. - k i j ig. -3

22 44 CPÍTULO VECTORES UERZ k Representación de n vector cartesiano. Como las tres componentes de en la ecación - actúan en las direcciones positivas i, j k, figra -4, podemos escribir en forma de vector cartesiano como i j k (-3) i i k j j Ha na clara ventaja al escribir los vectores de esta manera. l separar la magnitd la dirección de cada vector componente se simplificarán las operaciones de álgebra vectorial, particlarmente en tres dimensiones. ig. -4 k Magnitd de n vector cartesiano. Siempre es posible obtener la magnitd de si está epresado en forma de vector cartesiano. Como se mestra en la figra -5, a partir del triánglo rectánglo al, del triánglo rectánglo sombreado,. l combinar estas ecaciones para eliminar se obtiene (-4) i j Por consigiente, la magnitd de es igal a la raí cadrada positiva de la sma de los cadrados de ss componentes. ig. -5 Dirección de n vector cartesiano. La dirección de se definirá mediante los ánglos directores coordenados a (alfa), b (beta) g (gamma), medidos entre la cola de los ejes,, positivos, dado qe se localian en la cola de, figra -6. Observe qe independientemente de hacia dónde esté dirigido, cada no de esos ánglos estará entre Para determinar a, b g, considere la proección de sobre los ejes,,, figra -7. Con referencia a los triánglos rectánglos ales mostrados en cada figra, tenemos cos cos cos (-5) Estos números se conocen como cosenos directores de. Una ve obtenidos, los ánglos directores coordenados a, b g, peden determinarse a partir de los cosenos inversos.

23 .5 VECTORES CRTESINOS 45 k g a b j 90 a i ig. -6 Una manera fácil de obtener estos cosenos directores es formar n vector nitario en la dirección de, figra -6. Si está epresado en forma de vector cartesiano, i j k, entonces tendrá na magnitd de no será adimensional dado qe está dividido entre s magnitd, es decir, i j k (-6) b 90 donde. Por comparación con la ecación -7, se observa qe las componentes i, j, k de representan los cosenos directores de, esto es, cos i cos j cos k (-7) Como la magnitd de n vector es igal a la raí cadrada positiva de la sma de los cadrados de las magnitdes de ss componentes, tiene na magnitd de no, a partir de la ecación anterior pede formlarse na importante relación entre los cosenos directores como 90 cos cos cos 1 (-8) qí pede observarse qe si sólo se conocen dos de los ánglos coordenados, el tercer ánglo pede encontrarse con esta ecación. inalmente, si se conocen la magnitd los ánglos directores coordenados, pede epresarse en forma de vector cartesiano como g cos i cos j cos k (-9) i j k ig -7

24 46 CPÍTULO VECTORES UERZ lgnas veces, la dirección de pede especificarse mediante dos ánglos, f (fi), como se mestra en la figra -8. Entonces, las componentes de peden determinarse al aplicar primero trigonometría al triánglo rectánglo al, de donde se obtiene f cos f O ig. -8 sen f hora, al aplicar trigonometría al otro triánglo rectánglo sombreado, cos sen f cos sen sen f sen Por lo tanto, escrito en forma de vector cartesiano se convierte en sen f cos i sen f sen j cos f k No debe memoriar esta ecación; en ve de ello, es importante qe entienda la forma en qe las componentes se determinaron mediante trigonometría..6 Sma de vectores cartesianos La sma (o resta) de dos o más vectores se simplifican considerablemen - te si los vectores se epresan en términos de ss componentes cartesianas. Por ejemplo, si i j k i j k, figra -9, entonces el vector resltante, R, tiene componentes qe representan las smas escalares de las componentes i, j, k de, es decir, ( )k R ( )i ( )j ( )k R Si esto se generalia se aplica a n sistema de varias feras concrrentes, entonces la fera resltante es la sma vectorial de todas las feras presentes en el sistema pede escribirse como ( )j i j k (-10) ( )i ig. -9 qí,, representan las smas algebraicas de las respectivas componentes,, o bien i, j, k de cada fera presente en el sistema.

25 .6 SUM DE VECTORES CRTESINOS 47 Pntos importantes El análisis vectorial cartesiano se sa a mendo para resolver problemas en tres dimensiones. Las direcciones positivas de los ejes,, se definen mediante los vectores nitarios cartesianos i, j, k, respectivamente. La magnitd de n vector cartesiano es. La dirección de n vector cartesiano se especifica sando ánglos directores coordenados a, b, g qe la cola del vector forma con los ejes positivos,,, respectivamente. Las componentes del vector nitario > representan los cosenos directores de a, b, g. Sólo dos de los ánglos a, b, g tienen qe ser especificados. El tercer ánglo se determina a partir de la relación cos a cos b cos g 1. En ocasiones la dirección de n vector se define sando los dos ánglos f como en la figra -8. En este caso las componentes vectoriales se obtienen mediante descomposición vectorial por medio de trigonometría. Para encontrar la resltante de n sistema de feras concrrentes, eprese cada fera como n vector cartesiano sme las componentes i, j, k de todas las feras del sistema. La fera resltante qe actúa sobre el amarre del barco pede determinarse representando primero cada fera en la cerda como n vector cartesiano para despés smar las componentes i, j k. EJEMPLO.8 Eprese la fera mostrada en la figra -30 como n vector cartesiano. SOLUCIÓN Como sólo se dan dos ánglos directores coordenados, el tercer ánglo pede ser determinado con la ecación -8; es decir, cos cos cos 1 cos cos 60 cos 45 1 cos 1 (0.5) (0.707) 0.5 a 00 N 60 Por consigiente, eisten dos posibilidades, a saber, cos 1 (0.5) 60 o bien cos 1 ( 0.5) 10 Por inspección, es necesario qe 60, pesto qe debe estar en la dirección. Mediante la ecación -9, con 00 N, tenemos cos i cos j cos k (00 cos 60 N)i (00 cos 60 N)j (00 cos 45 N)k 100.0i 100.0j 141.4k N Se mestra qe efectivamente la magnitd de 00 N. ig. -30

26 48 CPÍTULO VECTORES UERZ EJEMPLO.9 Determine la magnitd los ánglos directores coordenados de la fera resltante qe actúa sobre el anillo en la figra -31a. R {50i 40j 180k} lb g 19.6 {50i 100j 100k} lb 1 {60j 80k} lb 1 a 74.8 b 10 (a) (b) ig. -31 SOLUCIÓN Como cada fera está representada en forma de vector cartesiano, la fera resltante, qe se mestra en la figra -31b, es 1 60j 80k lb 50i 100j 100k lb La magnitd de R es 50i 40j 180k lb (50 lb) ( 40 lb) (180 lb) lb 191 lb Los ánglos directores coordenados,, se determinan a partir de las componentes del vector nitario qe actúa en la dirección de R i j k 0.617i 0.094j 0.94k de manera qe cos cos cos Estos ánglos se mestran en la figra -31b. NOT: en particlar, observe qe 90 pesto qe la componente j de R es negativa. Esto parece raonable considerando la sma de 1 de acerdo con la le del paralelogramo.

27 .6 SUM DE VECTORES CRTESINOS 49 EJEMPLO.10 Eprese la fera qe se mestra en la figra -3a como n vector cartesiano. SOLUCIÓN Los ánglos de qe definen la dirección de no son ánglos directores coordenados. Se reqieren dos aplicaciones scesivas de la le del paralelogramo para resolver en ss componentes,,. Primero, lego, figra -3b. Por trigonometría, las magnitdes de las componentes son 100 lb sen 60 lb 86.6 lb (a) 100 cos 60 lb 50 lb cos cos 45 lb 35.4 lb sen sen 45 lb 35.4 lb 100 lb Dado qe, tiene na dirección definida por j, tenemos {35.4i 35.4j 86.6k} lb Para mostrar qe la magnitd de este vector es efectivamente de 100 lb, se aplica la ecación -4, 60 (35.4) ( 35.4) (86.6) 100 lb Si es necesario, los ánglos directores coordenados de peden determinarse a partir de las componentes del vector nitario qe actúa en la dirección de. Por tanto, 100 lb i j k i j k 0.354i 0.354j 0.866k (c) de manera qe ig. -3 cos 1 (0.354) 69.3 cos 1 ( 0.354) 111 cos 1 (0.866) 30.0 Estos resltados se mestran en la figra -3c.

28 50 CPÍTULO VECTORES UERZ EJEMPLO N (a) Dos feras actúan sobre el gancho qe se mestra en la figra -3a. Especifiqe la magnitd de ss ánglos directores coordenados, de modo qe la fera resltante R actúe a lo largo del eje positivo tenga na magnitd de 800 N. SOLUCIÓN Para resolver este problema, la fera resltante R ss dos componentes, 1, se epresarán cada na en forma de vector cartesiano. Entonces, como se mestra en la figra -33a, es necesario qe R 1. l aplicar la ecación -9, 1 1 cos 1 i 1 cos 1 j 1 cos 1 k 300 cos 45 i 300 cos 60 j 300 cos 10 k 1.1i 150j 150k N i j k Como R tiene na magnitd de 800 N actúa en la dirección j, R (800 N)( j) {800j} N g N Reqerimos qe b 1.8 a N (b) ig. -33 R 800 N 1 800j 1.1i 150j 150k i j k 800j (1.1 )i (150 )j ( 150 )k Para satisfacer esta ecación, las componentes i, j, k de R deben ser igales a las componentes i, j, k correspondientes de ( 1 ). Por consigiente, Entonces, la magnitd de es 1.1 N 650 N 150 N ( 1.1 N) (650 N) (150 N) 700 N Podemos sar la ecación -9 para determinar,,. cos ; 108 cos ; cos ; Estos resltados se mestran en la figra -33b.

29 .6 SUM DE VECTORES CRTESINOS 51 PROLEMS UNDMENTLES -13. Determine los ánglos directores coordenados de la fera Eprese la fera como n vector cartesiano. 50 lb lb -17. Eprese la fera como n vector cartesiano Eprese la fera como n vector cartesiano. 750 N 500 N Determine la fera resltante qe actúa sobre el gancho Eprese la fera como n vector cartesiano lb 500 N lb C0 EST_H ELER.indd 51 11/19/09 :4 : 8 M

30 5 CPÍTULO VECTORES UERZ PROLEMS -59. Determine el ánglo coordenado para despés eprese cada fera qe actúa sobre la ménsla como n vector cartesiano. *-60. Determine la magnitd los ánglos directores coordenados de la fera resltante qe actúa sobre la ménsla N -63. La fera actúa sobre la ménsla dentro del octante mostrado. Si 400 N, 60 45, determine las componentes,, de. *-64. La fera actúa sobre la ménsla dentro del octante mostrado. Si las magnitdes de las componentes de son 300 N 600 N, respectivamente 60, determine la magnitd de s componente. simismo, encentre los ánglos directores coordenados. g N Probs. -59/60 a b Probs. -63/ Eprese cada fera qe actúa sobre el ensamble de tbos en forma vectorial cartesiana. -6. Determine la magnitd la dirección de la fera resltante qe actúa sobre el ensamble de tbos Las dos feras 1 qe actúan en tienen na fera resltante R { 100k} lb. Determine la magnitd los ánglos directores coordenados de Determine los ánglos directores coordenados de la fera 1 e indíqelos sobre la figra lb lb 1 60 lb Probs. -61/6 Probs. -65/66 C0 EST_H ELER.indd 5 11/19/09 :4 : 9 M

31 56 CPÍTULO VECTORES UERZ.7 Vectores de posición 4 m 1 m O m 4 m m 6 m ig. -34 En esta sección presentaremos el concepto de vector de posición. Se mostrará qe este vector es importante al formlar n vector de fera cartesiano dirigido entre dos pntos calesqiera en el espacio. Coordenadas,,. lo largo de este libro saremos n sistema coordenado derecho para hacer referencia a la localiación de pntos en el espacio. También saremos la convención segida en mchos libros técnicos, la cal eige qe el eje positivo esté dirigido hacia arriba (dirección cenital) de forma qe mida la altra de n objeto o la altitd de n pnto. Por tanto, los ejes, se encentran en el plano horiontal, figra -34. Los pntos en el espacio se localian con relación al origen de coordenadas, O, por mediciones scesivas a lo largo de los ejes,,. Por ejemplo, las coordenadas del pnto se obtienen comenando en O midiendo 4 m a lo largo del eje, lego m a lo largo del eje, finalmente 6 m a lo largo del eje. sí, (4 m, m, 6 m). De la misma manera, mediciones a lo largo de los ejes,, desde O hasta generan las coordenadas de, es decir, (6 m, 1 m, 4 m). Vector de posición. Un vector de posición r se define como n vector fijo qe bica n pnto en el espacio en relación con otro pnto. Por ejemplo, si r se etiende desde el origen de coordenadas, O, hasta el pnto P(,, ), figra -35a, entonces r se pede epresar en forma de vector cartesiano como r i j k Observe cómo la sma vectorial de cabea a cola de las tres componentes genera el vector r, figra -35b. partir del origen O, se recorre en la dirección i, lego en la dirección j finalmente en la dirección k para llegar al pnto P(,, ). i k O r P(,, ) j i O r P(,, ) k (a) j (b) ig. -35

32 .7 VECTORES DE POSICIÓN 57 En el caso más general, el vector de posición pede estar dirigido desde el pnto hasta el pnto en el espacio, figra -36a. Este vector también está designado por el símbolo r. manera de convención, algnas veces nos referiremos a este vector con dos sbíndices para indicar desde dónde hasta qé pnto está dirigido. sí, r también pede designarse como r. demás observe qe r r, en la figra -36a están referenciados con sólo n sbíndice pesto qe se etienden desde el origen de coordenadas. partir de la figra -36a, por la sma vectorial de cabea a cola con la regla del triánglo, se reqiere qe r (,, ) r r r (,, ) r l despejar r epresar r r en forma vectorial cartesiana se obtiene r r r ( i j k) ( i j k) r (a) o bien r ( )i ( )j ( )k (-11) sí, las componentes i, j, k del vector de posición r peden formarse al tomar las coordenadas de la cola del vector (,, ) para despés restarlas de las coordenadas correspondientes de la cabea. (,, ). También podemos formar estas componentes directamente, figra -36b, al comenar en recorrer na distancia de ( ) a lo largo del eje positivo ( i), despés ( ) a lo largo del eje positivo ( j) finalmente ( ) a lo largo del eje positivo ( k) para obtener. r ( )k ( )i ( )j r (b) ig. -36 Si se establece n sistema de coordenadas,,, entonces se peden determinar las coordenadas de los pntos. partir de esta posición se pede formlar el vector r qe actúa a lo largo del cable. S magnitd representa la longitd del cable, s vector nitario, r>r, proporciona la dirección definida por,,.

33 58 CPÍTULO VECTORES UERZ EJEMPLO.1 Una banda elástica de cacho está nida a los pntos como se mestra en la figra -37a. Determine s longitd s dirección medida de hacia. 3 m m 3 m m SOLUCIÓN Primero establecemos n vector de posición desde hasta, figra -37b. De acerdo con la ecación -11, las coordenadas de la cola (1 m, 0, 3 m) se restan de las coordenadas de la cabea ( m, m, 3 m), de donde se obtiene 1 m (a) r [ m 1 m]i [ m 0]j [3 m ( 3 m)]k 3i j 6k m r (b) {6 k} { j} m { 3 i} m Estas componentes de r también se peden determinar directamente si se observa qe representan la dirección la distancia qe debe recorrerse a lo largo de cada eje a fin de llegar desde hasta, es decir, a lo largo del eje {3i} m, a lo largo del eje {j} m finalmente a lo largo del eje {6k} m. Por lo tanto, la longitd de la banda de cacho es ( 3 m) ( m) (6 m) 7 m l formlar n vector nitario en la dirección de r, obtenemos r 3 7 i 7 j 6 7 k g 31.0 a 115 r 7 m b 73.4 (c) Las componentes de este vector nitario dan los ánglos directores coordenados cos ig. -37 cos cos NOT: estos ánglos se miden desde los ejes positivos de n sistema de coordenadas localiado en la cola de r, como se mestra en la figra -37c.

34 .8 VECTOR UERZ DIRIGIDO LO LRGO DE UN LÍNE 59.8 Vector fera dirigido a lo largo de na línea Con mcha frecencia, en problemas tridimensionales de estática, la dirección de na fera se especifica por dos pntos a través de los cales pasa s línea de acción. Tal sitación se mestra en la figra -38, donde la fera está dirigida a lo largo de la cerda. Podemos formlar como n vector cartesiano al observar qe esta fera tiene la misma dirección sentido qe el vector de posición r dirigido desde el pnto hasta el pnto sobre la cerda. Esta dirección común se especifica mediante el vector nitario r>r. Por lo tanto, r r ( )i ( )j ( )k ( ) ( ) ( ) ig. -38 nqe hemos representado simbólicamente en la figra -38, observe qe tiene nidades de fera, a diferencia de r, qe tiene nidades de longitd. r La fera qe actúa a lo largo de la cadena pede ser representada como n vector cartesiano si se establecen primero los ejes,, se forma n vector de posición r a lo largo de la longitd de la cadena. Despés se pede determinar el vector nitario correspondiente r>r qe define la dirección tanto de la cadena como de la fera. inalmente, la magnitd de la fera se combina con s dirección.. Pntos importantes Un vector de posición localia n pnto en el espacio con respecto a otro pnto. La manera más fácil de formlar las componentes de n vector de posición consiste en determinar la distancia la dirección qe debe recorrerse a lo largo de las direcciones,,, desde la cola hasta la cabea del vector. Una fera qe actúa en la dirección de n vector de posición r pede ser representada en forma cartesiana si se determina el vector nitario del vector de posición éste se mltiplica por la magnitd de la fera, es decir, (r>r).

35 60 CPÍTULO VECTORES UERZ EJEMPLO.13 El hombre qe se mestra en la figra -39a jala la cerda con na fera de 70 lb. Representa esta fera al actar sobre el soporte como n vector cartesiano determine s dirección. SOLUCIÓN 8 pies 6 pies 1 pies 30 pies En la figra -39b se mestra la fera. La dirección de este vector,, está determinada a partir del vector de posición r, el cal se etiende desde hasta. En ve de sar estas coordenadas de los etremos de la cerda, r también pede obtenerse directamente al observar en la figra -39a qe se debe recorrer desde { 4k} pies, lego { 8j} pies finalmente {1i} pies para llegar a. sí, r {1i 8j 4k} pies La magnitd de r, qe representa la longitd de la cerda, es (a) (1 pies) ( 8 pies) ( 4 pies) 8 pies Para formar el vector nitario qe define la dirección el sentido de r tenemos g b 70 lb r 1 8 i 8 4 j 8 8 k a Como tiene na magnitd de 70 lb na dirección especificada por, entonces r (b) 70 lb 1 8 i 8 4 j 8 8 k 30i 0j 60k lb ig. -39 Los ánglos directores coordenados están medidos entre r (o ) los ejes positivos de n sistema coordenado con origen en, figra -39b. partir de las componentes del vector nitario: cos cos cos NOT: estos resltados tienen sentido si se les compara con los ánglos identificados en la figra -39b.

36 .8 VECTOR UERZ DIRIGIDO LO LRGO DE UN LÍNE 61 EJEMPLO.14 La fera qe se mestra en la figra -40a actúa sobre el gancho. Eprésela como n vector cartesiano. m 750 N 5 m ( 3 )(5 m) 5 ( m, 0, m) r ( m, m, 3 m) m 30 ( 4 )(5 m) 5 (a) (b) ig. -40 SOLUCIÓN Como se mestra en la figra -40b, las coordenadas para los pntos son ( m, 0, m) sen 30 m, cos 30 m, 3 5 m 5 o bien ( m, m, 3 m) Por lo tanto, para ir desde hasta, deben recorrerse {4i} m, despés {3.464j} m finalmente {1k} m. sí, r 4i 3.464j 1k m ( 4 m) (3.464 m) (1 m) 0.748i j k La fera epresada como n vector cartesiano se convierte en (750 N)( i j k) 557i 48j 139k N

37 6 CPÍTULO VECTORES UERZ EJEMPLO.15 El techo está sostenido por cables como se mestra en la fotografía. Si los cables ejercen feras 100 N C 10 N sobre el gancho de pared en como se mestra en la figra -41a, determine la fera resltante qe actúa en. Eprese el resltado como n vector cartesiano. SOLUCIÓN En la figra -41b se mestra gráficamente la fera resltante R. Podemos epresar esta fera como n vector cartesiano si formlamos C como vectores cartesianos smamos lego ss componentes. Las direcciones de C se especifican al formar vectores nitarios C a lo largo de los cables. Esos vectores nitarios se obtienen a partir de los vectores de posición asociados r r C. Con referencia a la figra -41a, para ir desde hasta debemos recorrer { 4k} m, despés { 4i} m. Por consigiente, 100 N C 10 N r 4i 4k m 4 m (4 m) ( 4 m) 5.66 m 4 m r (100 N) i k C 70.7i 70.7k N m (a) Para ir desde hasta C, debemos recorrer { 4k} m, lego {j} m finalmente {4j}. Por lo tanto, r 4i j 4k m (4 m) ( m) ( 4 m) 6 m C r (10 N) 4 6 i 6 j 4 6 k r R r C 80i 40j 80k N Por lo tanto, la fera resltante es C 70.7i 70.7k N 80i 40j 80k N (b) 151i 40j 151k N ig. -41

38 -19. Eprese el vector de posición r en forma de vector cartesiano, despés determine s magnitd ss ánglos directores coordenados. 3 m m r 4 m 3 m 3 m -. Eprese la fera como n vector cartesiano. 900 N 4 m m m 7 m Determine la longitd de la varilla el vector de posición dirigido desde hasta. Cál es el ánglo? -3. en. Determine la magnitd de la fera resltante pies 840 N 6 m C 40 N O 4 pies 3 m m 4 pies 3 m C -3 m Eprese la fera como n vector cartesiano. -4. Determine la fera resltante en. m m 3 m 4 m 6 pies 3 pies 4 pies 630 N 4 m 4 pies pies 4 pies -1

39 64 CPÍTULO VECTORES UERZ PROLEMS -86. Determine el vector de posición r dirigido desde el pnto hasta el pnto la longitd de la cerda. Considere 4 m Si la cerda tiene 7.5 m de longitd, determine la posición coordenada del pnto Determine la magnitd los ánglos directores coordenados de la fera resltante qe actúa en. m 3 m 6 m Probs. -86/87.5 pies 4 pies 3 pies 3 pies 600 lb 4 pies Prob. -89 C 750 lb C pies *-88. Determine la distancia entre los pntos etremos sobre el alambre, pero antes formle n vector de posición desde hasta para lego determinar s magnitd Determine la magnitd los ánglos directores coordenados de la fera resltante. m 8 plg 3 plg 1 plg N 500 N 4 m 4 m plg 8 m C Prob. -88 Prob. -90 C0 EST_H ELER.indd 4 11/19/09 :4 :55 M

40 -91. Determine la magnitd los ánglos directores coordenados de la fera resltante qe actúa en El candelabro está sostenido por tres cadenas qe son concrrentes en el pnto O. Si la fera en cada cadena tiene na magnitd de 60 lb, eprese cada fera como n vector cartesiano determine la magnitd los ánglos directores coordenados de la fera resltante El candelabro está sostenido por tres cadenas qe son concrrentes en el pnto O. Si la fera resltante en O tiene na magnitd de 130 lb está dirigida a lo largo del eje negativo, determine la fera en cada cadena. 900 N C 600 N C 6 m 3 m 6 m 4.5 m Prob. -91 *-9. Determine la magnitd los ánglos directores coordenados de la fera resltante. 81 lb C lb 4 pies 3 pies 7 pies 4 pies 40 Prob. -9

41 66 CPÍTULO VECTORES UERZ *-96. La torre se mantiene en s posición mediante tres cables. Si la fera de cada cable qe actúa sobre la torre es como se mestra en la figra, determine la magnitd los ánglos directores coordenados,, de la fera resltante. Considere 0 m, 15 m Los cables de retén se tilian para dar soporte al poste telefónico. Represente la fera en cada cable en forma de vector cartesiano. Pase por alto el diámetro del poste. D 600 N 400 N 4 m 800 N 175 N 1.5 m 50 N 16 m C 18 m O 4 m 6 m m D 3 m 4 m Prob m C 1 m Prob La perta se mantiene abierta por medio de dos cadenas. Si las tensiones en CD son 300 N C 50 N, respectivamente, eprese cada na de estas feras en forma vectorial cartesiana..5 m 300 N C C 50 N 1.5 m -99. Se tilian dos cables para asegrar la barra saliente en s posición soportar la carga de 1500 N. Si la fera resltante está dirigida a lo largo de la barra desde el pnto hacia O, determine las magnitdes de la fera resltante de las feras C. Considere 3 m m. *-100. Se tilian dos cables para asegrar la barra saliente en s posición para soportar la carga de 1500 N. Si la fera resltante está dirigida a lo largo de la barra desde el pnto hacia O, determine los valores de para las coordenadas del pnto C la magnitd de la fera resltante. Considere 1610 N C 400 N. C m 3 m 1 m D 0.5 m O 6 m C 1500 N Prob. -97 Probs. -99/100 C0 EST_H ELER.indd 11//09 10:01:51 M

42 .8 VECTOR UERZ DIRIGIDO LO LRGO DE UN LÍNE El cable O ejerce na fera sobre la parte sperior del poste de { 10i 90j 80k} lb. Si el cable tiene na longitd de 34 pies, determine la altra del poste la bicación (, ) de s base. *-104. La torre de antena se sostiene mediante tres cables. Si las feras de estos cables qe actúan sobre la antena son 50 N, C 680 N D 560 N, determine la magnitd los ánglos directores coordenados de la fera resltante qe actúa en. D 4 m C O 8 m Prob m 18 m D O 16 m C Prob m -10. Si la fera en cada cadena tiene na magnitd de 450 lb, determine la magnitd los ánglos directores coordenados de la fera resltante Si la resltante de las tres feras es R { 900k} lb, determine la magnitd de la fera en cada cadena Si la fera en cada cable atado al cofre es de 70 lb, determine la magnitd los ánglos directores coordenados de la fera resltante Si la resltante de las catro feras es R { 360k} lb, determine la tensión desarrollada en cada cable. Debido a la simetría, la tensión en los catro cables es la misma. D C 7 pies E C 6 pies C pies pies pies D D C 3 pies 3 pies Probs. -10/103 Probs. -105/106 C0 EST_H ELER.indd 7 11/19/09 :4 :57 M

43 .9 PRODUCTO PUNTO 69.9 Prodcto pnto lgnas veces, en estática debemos localiar el ánglo entre dos líneas o las componentes de na fera paralela perpendiclar a na línea. En dos dimensiones, esos problemas peden resolverse por trigonometría pesto qe las relaciones geométricas son fáciles de visaliar. Sin embargo, en tres dimensiones esto sele ser difícil, en consecencia deben emplearse métodos vectoriales para encontrar la solción. El prodcto pnto define n método particlar para mltiplicar dos vectores se sa para resolver los problemas antes mencionados. El prodcto pnto de los vectores, qe se escribe #, se lee pnto, se define como el prodcto de las magnitdes de el coseno del ánglo entre ss colas, figra -4. Epresado en forma de ecación, cos (-1) ig. -4 donde Con frecencia, se hace referencia al prodcto pnto como prodcto escalar de vectores pesto qe el resltado es n escalar no n vector. Lees de operación. 1. Le conmtativa: # #. Mltiplicación por n escalar: a( # ) (a) # # (a) 3. Le distribtiva: # ( D) ( # ) ( # D) Es fácil demostrar la primera segnda lees por medio de la ecación -1. La demostración de la le distribtiva se deja como n ejercicio (vea el problema -111). ormlación vectorial cartesiana. La ecación -1 debe sarse para hallar el prodcto pnto de cada no de los dos vectores nitarios cartesianos. Por ejemplo, i # i (1)(1) cos 0 1 e i # j (1)(1) cos Si qeremos encontrar el prodcto pnto de dos vectores qe se epresan en forma vectorial cartesiana, tenemos ( i j k) ( i j k) (i i) (i j) (i k) ( j i) ( j j) ( j k) (k i) (k j) (k k) l realiar las operaciones del prodcto pnto, el resltado final se convierte en (-13) Por tanto, para determinar el prodcto pnto de dos vectores cartesianos, mltipliqe ss componentes correspondientes,,, sme ss prodctos algebraicamente. Observe qe el resltado será n escalar positivo o negativo.

44 70 CPÍTULO VECTORES UERZ plicaciones. En mecánica, el prodcto pnto tiene dos importantes aplicaciones. El ánglo formado entre dos vectores o líneas qe se intersecan. El ánglo entre las colas de los vectores qe se mestran en la figra -4 peden determinarse mediante la ecación -1 escribirse como El ánglo entre la cerda la viga de coneión pede determinarse formlando los vectores nitarios a lo largo de la viga para despés sar el prodcto pnto b # r (1)(1) cos. r cos qí # se calcla con la ecación -13. En particlar, observe qe si # 0, cos , por lo qe será perpendiclar a. Las componentes de n vector paralelo perpendiclar a na línea. La componente de n vector paralelo a, o colineal con, la línea aa en la figra -43 se define por a, donde a cos. En ocasiones, a esta componente se le llama la proección de sobre la línea, pesto qe se forma n ánglo recto en la constrcción. Si la dirección de la línea está especificada por el vector nitario a, entonces como a 1, podemos determinar a directamente con el prodcto pnto (ecación -1); esto es, a cos # a Por consigiente, la proección escalar de a lo largo de na línea se determina con el prodcto pnto de el vector nitario a qe define la dirección de la línea. Observe qe si este resltado es positivo, entonces a tiene n sentido direccional qe es igal al de a, mientras qe si a es n escalar negativo, entonces a tiene el sentido opesto de dirección al de a. Por lo tanto, la componente a representada como n vector es b b a a a También se pede obtener la componente de qe es perpendiclar a la línea aa, figra -43. Como a, entonces a. Ha dos maneras posibles de obtener. Una es determinar con el prodcto pnto, cos 1 ( # >), entonces sen. De manera alternativa, si a es conocida, entonces por el teorema de Pitágoras también podemos escribir. La proección de la fera del cable a lo largo de la viga pede ser determinada al determinar primero el vector nitario b qe define esta dirección. Despés se aplica el prodcto pnto, b # b. a a cos a ig. -43 a a