13/05/14. Conjuntos Ortogonales y mínimos cuadrados CONJUNTOS ORTOGONALES. ! n 6.2. iu j i j. CONJUNTOS ORTOGONALES (opcional) u 1

Transcripción

1 6 6. Conjntos Ortogonales y mínimos cadrados Se dice qe n conjnto de vectores {,, } en es ortogonal si cada par distinto de vectores del conjnto es ortogonal, esto es, si i i j = 0 mientras i j. El sigiente conjnto es ortogonal (" % " 0 % " 10 %, * ' ' '* ) ', ', '- * ' ' '* +. n Slide 6.- Teorema : Si S ={,, } es n conjnto ortogonal de vectores diferentes de cero en n, entonces S es linealmente independientes y por lo tanto en na base para el sbespacio generado por S. Definición: Una base ortogonal para n sbespacio W de n es na base para W qe tambien es n conjnto ortogonal. Slide 6.- (opcional) Preba: si 0 = c 1 ++ c p para n conjnto de escalares c 1,,c p, entonces 0 = 0i = (c 1 + c ++ c p )i = (c 1 )i + (c )i ++ (c p )i = c 1 ( i ) + c ( i ) ++ c p ( i ) = c 1 ( i ) porqe es ortogonal a,,. Ya qe no es el vector cero, i no es cero, de manera qe c = 0. 1 De manera similar, c,,c p deben ser cero. Slide 6.- 1

2 CONJUNTOS ORTOGONAL Definición: Una base ortogonal para n sbespacio W de n es na base para W es tambien n conjnto ortogonal. Teorema 5: Si {,, } es na base ortogonal para n sbespacio W de n. Para cada vector y en W, los pesos en la combinación lineal y = c 1 ++ c p están definidos por c j = yi j para ( j =1,, p) j i j Slide Ejemplo 1: Considerar la base ortogonal (" % " %, * ' '* B = ) 5 ', '- para n sbespacio W de n. * ' 6 '* +. Expresar el vector v como na combinación lineal de los vectores de la base, si " 1 % ' v = 19 ' ' Slide Proof: The orthogonality of {,, } shows that yi = (c 1 + c ++ c p )i = c 1 ( i ) Since i is not zero, the eqation above can be solved for c 1. To find c j for j =,, p, compte yi j and solve for c j. Para n vector diferente de cero en n, considerar el problema de descomponer el vector y en n en la sma de dos vectores, no múltiplo escalar de y el otro ortogonal a. O sea, reqerimos qe la sigente ecación sea válida y = ŷ + z ----(1) donde ŷ = αara algún escalar α, y z es n vector ortogonal al vector. Ver la figra. Slide Slide 6.- 8

3 Dado caqier escalar α, y z = y α, de manera qe se cmpla (1). Entonces y ŷ es ortogonal a si y nicamente si 0 = (y α)i = yi (α)i = yi α(i) Esto es, (1) se cmple cando z es ortogonal a si y nicamente si α = yi y ŷ = yi. i i Se dice qe el vector ŷ es la proyección ortogonal de y sobre, y el vector z es la componente de y ortogonal a. Si c es calqier escalar diferente de cero y se reemplaza por c en la definición de ŷ, entonces la proyección ortogonal de y sobre c es exactamente la misma qe la proyección de y sobre. Esta proyección esta determinada por el sbespacio L generado por. Algnas veces ŷse escribe como proj L y y se conoce como la projección ortogonal de y sobre L. Esto es, ŷ = proj L y = yi ----() " i% Slide Slide Ejemplo : Para y = 7 y =. " 6 % " % Encontrar la proyección ortogonal de y onto. Lego escribir y como la sma de dos vectores ortogonales, no en Gen{} y otro ortogonal a. Solción: Calclar yi = 7 i = 0 " 6 % " % i = i = 0 " % " % Slide UNA PROYECCIÓN ORTOGONAL La proyección ortogonal de y sobre es ŷ = yi i = 0 0 = = 8 " % " % y la componente de y ortogonal a es La sma de estos dos vectores es y. " y ŷ = 7 % " ' 8 % " ' = 1 % ' 6 Slide 6.- 1

4 Esto es, = + y ŷ (y ŷ) La descomposición de y se ilstra en la figra Nota: Si los cálclos anteriores son correctos, entonces {ŷ,y ŷ} debe ser n connnto ortogonal. Verificando, calclar " ŷi(y ŷ) = 8 % " 'i 1 % ' = 8+8 = 0 El pnto qe identifica a ŷ es el pnto mas cercano de de la recta L al pnto qe identifica a y. Observar la figra de la lámina anterior. Slide Slide Un conjnto {,, } es n conjnto ortonormal si es n conjnto ortogonal de vectores nitarios. Si W es el sbespacio gnerado por este conjnto, entonces {,, } es na base ortonormal para W, ya qe este conjnto es linealmente independiente. El ejemplo mas simple de n conjnto ortonormal es la base estandar {e 1,,e n } para. n Un sbconjnto no vacío de {e 1,,e n } tambien es na base ortonormal. Ejemplo : Demostrar qe {v 1, v, v } es na base ortonormal de, donde " % " % / 11 1/ 6 ' 1/ 66 ' v 1 = 1/ 11, v, = / 6 ' v ' = / 66 ' ' 1/ 11 1/ 6 ' 7 / 66 ' " % Solción: Calclar v 1 iv = / 66 + / 66 +1/ 66 = 0 v 1 iv = / 76 / / 76 = 0 Slide Slide

5 v iv =1/ 96 8 / / 96 = 0 Entonces {v 1, v, v } es n conjnto ortogonal. Además, v 1 iv 1 = 9 /11+1/11+1/11=1 por lo qe v 1, v, y v son vectores nitarios. Entonces {v 1, v, v } es n conjnto ortonormal. Ya qe el conjnto es linealmente independiente, estos tres vectores forman na base para. Ver la interpretación geométrica. v iv =1/ 6 + / 6 +1/ 6 =1 v iv =1/ / / 66 =1 Slide Slide Y MATRICES Cando los vectores en n conjnto ortogonal se normalizan para qe tengan longitd nitaria, los nevos vectores continan siendo n conjnto ortogonal, al nevo conjnto se le llama conjnto ortonormal. Teorema 6: Una matriz U de mxn tiene colmnas ortonormales si y nicamente si U T U = I n. Aplicado a na matriz A de nxn (cadrada), entonces A 1 A = I n, y se dice qe A es na matriz ortogonal. Slide Slide

6 Preba: Para simplificar la notación, sponemos qe U tiene tres colmnas, cada na n vector en m. Donde U = y calclamos " % U T U = " T T T 1T T T " % = T T T % T T T " % Las entradas de la matriz prodcto son prodctos internos, The entries in the matrix at the right are inner prodcts. Las colmnas de U son ortogonales si y nicamente si T = T = 0, T = T = 0, T = T = () las colmnas de U tiene longitd nitaria si y nicamente si T =1, T =1, T =1 ----(5) Entonces U T U es la matriz identidad. Slide Slide 6.- Ejemplo : Considerar la matriz " % ' 19 ' B = ' 8 1 ' ' 8 1 ' 8 1 ' Demostrar qe es na matriz ortogonal Slide 6.- 6