VECTORES MATEMÁTICAS I 1º

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1 VECTORES MATEMÁTICAS I 1º Bachillerato CCNN Alfonso González IES Fernando de Mena Dpto. de Matemáticas

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3 Matemáticas I VECTORES I. DEFINICIONES Magnitdes Vectoriales: Un vector es n segmento orientado qe, para ser definido, precisa de los sigientes tres elementos: Módlo: Indica la intensidad, y viene dado por la longitd de la flecha qe representa al vector. Dirección: Viene dada por la recta sobre la qe está la flecha qe representa al vector. Sentido: Es el qe apnta la flecha qe representa al vector (Para na misma dirección, hay dos posibilidades). Ejemplos: La velocidad, la ferza, la aceleración, etc. Escalares: Basta n número n escalar- para ser definidas (Por ejemplo, la temperatra, masa, tiempo, densidad, energía, etc.). Notación: B Como vemos en el dibjo al margen, n vector 1 se representa mediante na flecha. En concreto, se trata de n vector qe va del pnto A al pnto B, por lo qe se representa como AB. En otros casos, se pede nombrar simplemente como. Nótese qe el vector tiene na dirección, es decir, está constrido = AB A sobre na recta. Por otra parte, s módlo, qe, como hemos dicho arriba, es la longitd de la flecha, se representa como o AB, es decir, con el nombre del vector entre. A veces, se indica con dobles barras, esto es, AB, y se sele denominar norma del vector. Nosotros tilizaremos indistintamente ambas notaciones. Finalmente, el sentido del vector es el qe apnta s flecha. Por lo tanto, se define el vector nlo como AA = 0. Vector nlo: Se designa como 0, y es aqel qe tiene módlo cero. Se representa por n pnto (por lo cal, no tiene mcho sentido considerar s dirección y sentido ). Vector opesto: Dado n vector, se define s opesto, qe se designa como el mismo módlo, la misma dirección, pero distinto sentido:, como aqel qe tiene 1 Del latín vector, vectoris, qe a s vez proviene de veho, verbo qe significa "el qe condce, el qe transporta". del ator (alfonsogonzalopez@yahoo.es) 59

4 Matemáticas I VECTORES Vector nitario: Es todo vector qe tenga módlo 1. Por ejemplo, los sigientes vectores son nitarios: Vector igales o eqipolentes: «Dos vectores y son eqipolentes si tienen el mismo módlo, dirección y sentido». Se indica como ~ v, anqe, en general, también se sele poner simplemente = v. d c a En la figra, a y b son eqipolentes, y lo mismo podemos decir de c y d. b Pesto qe, si trasladamos n vector de forma eqipolente, es decir, sin variar s módlo, dirección y sentido, sige siendo el mismo vector, se dice qe los vectores son libres en el plano. Por lo tanto, se define: 2 = Conjnto de todos los vectores libres del plano Acabamos de hablar de vectores libres. Ahora bien, si los referimos a n pnto, entonces serán vectores fijos. El pnto qe habitalmente se tiliza es el origen: Coordenadas de n vector referido al origen: Coinciden con las coordenadas del pnto extremo del vector: y = (4,3) O x En el apartado II.4 vamos a ver más formalmente el porqé de esto. El próximo crso también veremos todos estos conceptos, pero en tres dimensiones. Ejercicios final tema: 1 a 3 del ator (alfonsogonzalopez@yahoo.es) 60

5 Matemáticas I VECTORES II. OPERACIONES II.I SUMA DE VECTORES ( + v ) Gráficamente: Hay dos formas posibles de smar vectores; ambas, obviamente, condcen al mismo vector sma. Consideremos primero la figra izqierda: v + v + v v REGLA DEL PARALELOGRAMO Como vemos, en la 1ª forma (qe se sa más en Matemáticas) se engancha el segndo vector al extremo del primero, y el vector sma de ambos será aqel qe tiene s origen en el del primero y s extremo en el del último. En el caso de la regla del paralelogramo (my tilizada en Física, para smar ferzas), los dos vectores se ponen con origen común, y se traza a continación el paralelogramo qe definen; el vector sma será entonces la diagonal de dicho paralelogramo qe arranca del origen de ambos vectores. Pede comprobarse analíticamente qe ambas formas fncionan. Analíticamente: = ( x, y ) v = (v x,v y ) + v = ( + v, + v ) x x y y Propiedades: CONMUTATIVA: ASOCIATIVA: ELEMENTO NEUTRO: ELEMENTO OPUESTO: + v = v + + (v + w) = (+ v) + w + 0 = + ( ) = 0 (Todas estas propiedades son de inmediata demostración, tanto analítica como gráficamente). II.II RESTA DE VECTORES ( v ) Gráficamente: Para restar dos vectores, smamos al primero el opesto del segndo, es decir, v = + ( v). De las dos formas vistas anteriormente vamos a tilizar, por ejemplo, la regla del paralelogramo: v v v del ator (alfonsogonzalopez@yahoo.es) 61

6 Matemáticas I VECTORES Analíticamente, es obvio qe se restan las componentes. De la resta de vectores peden dedcirse dos fórmlas importantes my tilizadas: Coordenadas del vector qe ne dos pntos: Se obtienen restando las componentes del pnto extremo A AB B menos el pnto origen del vector: AB = B A (1) (Ver demostración en Internet) Coordenadas del pnto medio de n segmento: Dado n segmento de extremos A y B, las coordenadas de s pnto medio serán la semisma de dichos extremos. A M B A + B M = (2) 2 (Ver demostración en Internet) II.III PRODUCTO POR UN ESCALAR ( λ ) Gráficamente: Veámoslo con n ejemplo. Si qeremos hacer 3, lo qe haremos es + + aplicamos la sma de vectores. Si lo qe qeremos constrir es 2 = ( ) + ( ) :, es decir, 2, haremos En resmen: Se define el vector k como aqel qe tiene MÓDULO: k = k Todo esto pede comprobarse qe concerda analíticamente: DIRECCIÓN: la de SENTIDO: el de, si k>0 opesto, si k<0 del ator (alfonsogonzalopez@yahoo.es) 62

7 Matemáticas I VECTORES Analíticamente: = (, ) k = (k,k ) x y x y Consecencia: «Si dos vectores tienen ss componentes proporcionales entonces tienen la misma dirección i.e. son //, y viceversa». Propiedades: ASOCIATIVA: DISTRIBUTIVA respecto a la sma de vectores: DISTRIBUTIVA respecto a la sma de escalares: ELEMENTO NEUTRO: λ( µ ) = ( λ µ ) λ(+ v ) = λ + λ v ( λ + µ ) = λ + µ 1 = (Todas estas propiedades son de inmediata demostración, tanto analítica como gráficamente). Ejercicios final tema: 4 a 9 II.IV COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES ( λ + µ v ) Se dice qe el vector w es combinación lineal de y v si se pede expresar como w = λ + µ v donde λ, µ R NOTA: λ o µ en algnos casos peden ser 0 = Ejemplo 1: Considerar los vectores = ( 3, 1) y v ( 2,2), y constrimos, por ejemplo, la combinación lineal w = 2+ 3 v. En la figra pede comprobarse qe todo coincide analítica y gráficamente: ( 6,6) v = ( 2,2) ( ) ( ) ( 6, 2) ( 6,6) ( 12,4 ) w = 2+ 3 v = 2 3, ,2 = + = = ( ) 3, 1 ( 6, 2) Nótese qe si los dos vectores y v feran proporcionales i.e. paralelos, entonces no se podría expresar calqier vector de 2 como combinación lineal de ambos, ya qe nnca saldríamos de la recta qe definen. del ator (alfonsogonzalopez@yahoo.es) 63

8 Matemáticas I VECTORES NOTA: Se recomienda ver otro ejemplo de combinación lineal, en formato de PowerPoint, en la web del profesor: Definición: «Una base de 2 son dos vectores y calesqiera no nlos y no paralelos, lo cal nos va a permitir siempre expresar calqier vector como combinación lineal de y de forma única» Es decir: «{,v} forman na base de 2 si calqier w se pede expresar como combinación lineal de los vectores de la base, es decir, / λ, µ R w = λ + µ v» «Se dice entonces qe λ y µ son las coordenadas de w en la base {,v}» Conviene insistir en qe si los dos vectores y v son proporcionales i.e. paralelos, entonces no forman na base de 2, ya qe no se podría expresar calqier vector como combinación lineal de ambos. Definición: «Dos vectores son ortonormales si son y nitarios» Ejemplos: Los vectores 2 2 =, 2 2 ortonormal de 2. y 2 2 v =, 2 2 del dibjo izqierdo forman na base Los vectores i = ( 1,0 ) y j ( 0,1) = de la derecha también forman na base ortonormal de 2. En este caso es la base ortonormal 2 más sencilla qe cabe considerar. Se dice qe «( ) y ( ) constityen la base canónica de 2». 2 2 v =, =, 2 2 j = ( 0,1) i = ( 1,0 ) 2 Del griego orthos, derecho, recto, canónico, correcto. del ator (alfonsogonzalopez@yahoo.es) 64

9 Matemáticas I VECTORES De hecho, calqier pareja de vectores perpendiclares cyo extremo acabara en la circnferencia nitaria señalada en trazo discontino sería na base ortonormal de 2. Recordar: «Base ortonormal de 2 son dos vectores calesqiera perpendiclares y nitarios». Insistamos de nevo en qe { i, j} denomina base canónica 3 de 2. no es la única base ortonormal de 2, pero sí la más simple, y por eso se Definición: «Dos vectores son ortogonales si son» Ejemplos: Las parejas de vectores de las sigientes dos figras son posibles ejemplos de vectores ortogonales: = ( 1,2 ) = ( 1,1 ) 1 v = 1, 2 Nótese qe la ortogonalidad es na condición menos ferte qe la ortonormalidad. Por tanto: «Base ortogonal de 2 son dos vectores calesqiera perpendiclares». Ventaja de tilizar la base canónica: Recordemos el ejemplo 1: 3 v w = 2+ 3 v v 2 3 Del griego kanonikos, conforme a la regla. del ator (alfonsogonzalopez@yahoo.es) 65

10 Matemáticas I VECTORES Vemos qe en esa posible base {,v} de 2 las coordenadas del vector w de la figra serían 2 y 3, es decir, los coeficientes de la combinación lineal. Pero si elegimos la base canónica { i, j} de 2 entonces: = 3 i j w 2 3 v 2 3 i j 3 2 i 2 j 6 i 2 j 6 i 6 j 12 i 4 j = + = + + = + + = + v = 2 i + 2 j es decir, en la base canónica las coordenadas de w serían 12 y 4, qe son precisamente las componentes del pnto extremo del vector. Por lo tanto, la ventaja de tilizar la base canónica es qe las coordenadas de n vector coinciden con las del pnto extremo. En otra base tendría distintas coordenadas. Ejercicios final tema: 10 a 16 III. MÓDULO DE UN VECTOR b = ( a,b) Considerar el vector de la figra adjnta. Como acabamos de ver en el apartado anterior, las coordenadas de dicho vector en la base canónica serán las del extremo del vector, es decir, = ( a,b ). Vamos a hallar aplicando el teorema de Pitágoras el módlo de dicho vector, es decir, la longitd del vector: a = a + b = a + b (3) Ejercicios final tema: 16 es decir, «el módlo de n vector es la raíz cadrada de la sma de los cadrados de ss componentes». Consecencias: 1ª) Cómo obtener n vector con la misma dirección qe no dado, pero nitario?: Spongamos qe nos dan n vector, y qeremos obtener n vector con s misma dirección, pero nitario. La respesta, viendo el dibjo es obvia: habrá qe dividirlo por s módlo; es decir, se tratará del vector y 2 1 = (4,3) x La demostración es también evidente: del ator (alfonsogonzalopez@yahoo.es) 66

11 Matemáticas I VECTORES Si lo dividimos por n número, como es dirección (y sentido)., obtendremos n vector con la misma 1 es nitario, ya qe s módlo es: = = 1 (C.Q.D.) NOTA: En realidad, habría otro vector con la misma dirección qe y nitario, pero de sentido contrario; se trataría del vector opesto a (El 2 del dibjo). Ejercicios final tema: 17 y 18 2ª) Distancia entre dos pntos: P PQ d(p,q) Q Spongamos dos pntos, P(x 1,y 1 ) y Q(x 2,y 2 ), cya distancia de separación, d(p,q), qeremos conocer. Es obvio qe dicha distancia (ver dibjo) coincidirá con el PQ : PQ = Q P = (x,y ) (x,y ) = (x x,y y ) PQ = d(p,q) = (x x ) + (y y ) (4) Ejercicios final tema: 19 IV. PRODUCTO ESCALAR Vamos a definir el prodcto escalar de dos vectores, y v, qe se designa como n escalar: v, y cyo resltado es Definición: «El prodcto escalar de dos vectores es igal al prodcto de ss módlos por el coseno del ánglo qe forman»: v v = v cosα (5) α Observaciones: 1º) El prodcto escalar así definido pede ser n número positivo, negativo, o nlo. Y cada na de estas tres posibilidades tiene s significado gráfico: v = 0 v (Condición de perpendiclaridad) v del ator (alfonsogonzalopez@yahoo.es) 67

12 Matemáticas I VECTORES v > 0 α < 90º v v < 0 90º < α 180º v 2º) La fórmla (5), es decir, la definición del prodcto escalar, no es my operativa en la práctica a la hora de hallar el prodcto escalar de dos vectores, pes normalmente desconocemos el ánglo qe estos forman. en s lgar se sele aplicar la sigiente fórmla, llamada expresión analítica 4 del prodcto escalar: = (a,b) v = (c,d) v = (a,b) (c,d) = ac + bd (6) 3º) El módlo de n vector se pede expresar en fnción del prodcto escalar: Para ello, basta considerar el prodcto escalar de n vector consigo mismo: = cos0º = 2 Despejamos : = En efecto, si las componentes del vector son = (a,b), nos qeda: ( ) ( ) 2 2 = = a,b a,b = a + b es decir, volvemos a obtener (3). 4º) Cidado con la notación! Es my importante, a la hora de simbolizar el prodcto escalar de dos vectores, no olvidar el entre ambos v. Ahora bien, si de lo qe se trata es de mltiplicar n escalar por n vector, para distingir es recomendable no indicar el prodcto con n : λ 5º) Propiedades: CONMUTATIVA: v = v ASOCIATIVA MIXTA: λ ( v) = ( λ ) v = ( λ v) 4 Pede encontrarse en Internet la demostración de qe esta fórmla y la definición gráfica coinciden. del ator (alfonsogonzalopez@yahoo.es) 68

13 Matemáticas I VECTORES DISTRIBUTIVA: (v + w) = v + w (Todas estas propiedades son de inmediata demostración 5, tanto analítica como gráficamente). Ejercicios final tema: 20 a 28 6º) Cómo obtener n vector perpendiclar a n vector dado? Spongamos qe nos = dan el vector ( a,b ). Entonces, para obtener n vector normal 6, es decir, a él tenemos qe permtar ss componentes y cambiar na de ellas de signo (la qe qeramos), esto es n = ( b,a). Es decir: Dem: ( ) ( ) «Dado ( ) ( )» n = a,b b,a = ab + ab = 0 n (C.Q.D.) Ejercicios final tema: 29 a 32 Nótese qe también valdría el (b,-a) como vector normal. E inclso habría infinitos vectores, qe serían todos los proporcionales a (b,-a) o (-b,a). 7º) Ánglo entre dos vectores: Se obtiene fácilmente, sin más qe despejar en v = v cos α = v (v,v ) x y v cosα = = v v + v x x y y + v + v x y x y (7) α = (, ) x y Ejercicios final tema: 33 y sigientes 5 Nos remitimos, para ello, a Internet. 6 En Geometría el adjetivo normal es sinónimo de perpendiclar. del ator (alfonsogonzalopez@yahoo.es) 69

14 55 EJERCICIOS DE VECTORES 1. a) Representar en el mismo plano los vectores: a = (3,1) b = ( 1,5) c = (2, 4) d = ( 3, 1) i = (1,0) j = (0,1) e = (3,0) f = (0, 5) b) Escribir las coordenadas de los vectores fijos de la figra adjnta (pede hacerse en este caderno): 2. a) Dibjar dos vectores de origen común, igal módlo, y qe formen n ánglo de 135º. Expresarlos analíticamente. b) Dibjar dos vectores qe tengan el origen común y los sentidos opestos. Expresarlos analíticamente. Qé ánglo forman dichos vectores? 3. Dado el paralelogramo de la figra 1 : B A C D a) Indicar, analítica y gráficamente, n vector eqipolente con CD ; ídem con AD (pede hacerse en este caderno) b) Indicar, analítica y gráficamente, n vector opesto a CD ; ídem con AD (pede hacerse en este caderno) 1 Recordar qe, por convenio, los vértices de n polígono se designan con letras mayúsclas, en orden alfabético (A, B, C, D...), y en sentido levógiro i.e. antihorario. del ator (alfonsogonzalopez@yahoo.es) 70

15 Matemáticas I VECTORES Operaciones con vectores: 4. Dados los vectores libres analíticamente (en fnción de la base ortonormal de 2 ): a y b de la figra, calclar gráfica cada apartado en ejes distintos y a) a + b b) a b c) d) 3 a 3 a + 2 b e) 2 a 3 b a b 5. a) Determinar, analíticamente, si los pntos A(3,1), B(5,2) y C(1,0) están alineados. b) Ídem para A(1,1), B(3,4) y C(4,6) (Nota: n dibjo pede ser útil) c) Hallar k para qe los pntos A(1,7), B(-3,4) y C(k,5) estén alineados. (Solc: SÍ; NO; k=-5/3) 6. Considerar el segmento de extremos A(-2,1) y B(5,4). Hallar: a) El pnto medio M [Sol: M(3/2,5/2)] b) Los dos pntos P y Q qe lo dividen en tres partes igales. [Solc: P(1/3,2) y Q(8/3,3)] 7. Hallar las coordenadas del pnto P qe divide al segmento de extremos A(3,4) y B(0,-2) en dos partes tales qe BP = 2PA [Solc: P(2,2)] 8. a) De los vectores a y b conocemos a = 2, b = 5 y el ánglo qe forman, =60º. Hallar a + b y a b (Solc: 39 y 19, respectivamente ) b) De los vectores a y b conocemos a + b = 5, b = 19 y a b = 30º. Hallar a (Solc: ) 9. Dos ferzas F y 1 F 2 de intensidades 20 N y 30 N actúan sobre el mismo cerpo y forman entre ellas n ánglo de 60º. Hacer n dibjo. Cántos N tiene la resltante R? (Solc: 43,6 N) Combinación lineal de vectores: 10. Expresar a = (9,5) y b = ( 5,7 ) como combinación lineal de x = (1,3) e y = (3, 2), analítica y gráficamente. (Solc: ) 11. Dados los vectores libres de la figra: a) Razonar qe a, b constitye na base de 2. b) Obtener c como combinación lineal de a y b c) Comprobar gráficamente la combinación lineal anterior. 1 Solc : c = 2 a b 2 b a c del ator (alfonsogonzalopez@yahoo.es) 71

16 Matemáticas I VECTORES 12. Dados los vectores = (3,4) y v = ( 2,3), se pide: a) Razonar qe peden ser base de 2. b) Obtener analíticamente las coordenadas de w = ( 12,1) en la base anterior. (Sol: + ) c) Explicar gráficamente la sitación. 13. Expresar los vectores a y b de la figra como combinación lineal de x e y : x y 3 Solc : a = x y ; b = x y Definir base de 2, combinación lineal y coordenadas de n vector referidas a na base. Explicar estos conceptos mediante la base formada por = ( 2,1); v = ( 1,3), y el vector w =(4,9), analítica y gráficamente. (Solc: ) 15. a) Los vectores x e y de la figra peden ser base de 2? Razonar la respesta. y b) Expresar como combinación lineal de x e y (Sol: ) x c) Comprobar gráficamente lo anterior. w 16. Expresar el vector w de la figra como combinación lineal de y v, analítica y gráficamente (esto último en la propia figra). (Solc: ) v Módlo de n vector: 16. a) Calclar el módlo de los sigientes vectores, y dibjarlos (los siete primeros en los mismos ejes): 3 1 a = (4, 3), b = (3, 4), c = (1,1), d = (5,5), e = ( 4, 3), f = (6, 0), = (0, 3) y v =, 2 2 del ator (alfonsogonzalopez@yahoo.es) 72

17 Matemáticas I VECTORES b) Calclar el valor de m para qe el vector = 1,m sea nitario. Razonar gráficamente por qé se 2 obtienen dos solciones. (Solc: 3 ) m = ± c) Ídem para v =,m (Solc: m = ± ) 2 2 = 17. a) Dado (6,8), hallar los dos vectores nitarios qe tienen la dirección de. Razonar gráficamente la sitación. b) Ídem para = (4, 7) c) Ídem para = ( 2, 2) 18. a) Para cada no de los sigientes vectores, obtener no nitario y con la misma dirección: a = (3, 4) b = (1,1) c = (12,5) d = (6, 3) b) Hallar el vector v de módlo 5 qe sea paralelo al a = (36, 27) 19. Dibjar los sigientes pares de pntos y hallar s distancia: a) P(1,2) y Q(5,-1) b) P(6,3) y Q(-2,-3) c) P(2,1) y Q(2,5) d) A(-1,3) y B(5,3) e) A(5,3) y el origen f) P(1,5) y Q(5,2) (Solc: a) 5; b) 10; c) 4; d) 6; e) 34 ; f) 5) Prodcto escalar: 20. a) Dados = (5,0) y v = (2,2) se pide: i) Dibjarlos ii) Calclar s prodcto escalar de dos formas posibles, y comprobar qe coincide el resltado. b) Ídem con = (1,1) y v = ( 2,0) c) Ídem con = (2,1) y v = ( 2,4) A a) Dada la figra adjnta, hallar OA OB aplicando la definición de prodcto escalar. (Solc: -2) b) Hallar las coordenadas de A y B (no valen decimales). 0 60º 60º c) Hallar OA OB mediante la expresión analítica del prodcto escalar, y comprobar qe se obtiene lo mismo qe en el apartado a. B 22. a) Considerar el hexágono reglar de la figra derecha, de lado 2. Hallar v de dos formas. (Solc: 2) a b) Hallar a b en la figra izqierda, analíticamente. Hallar también analíticamente el ánglo qe forman los dos vectores. v 30º 4 b del ator (alfonsogonzalopez@yahoo.es) 73

18 Matemáticas I VECTORES 23. Dados a = ( 3,1), b = (2,3), c = (1,0) y d = (5, 2), calclar: a) a b b) b a c) d a d) b c e) b d f) c d 2 g) a h) 2d c i) a c j) a+ b d dedosformas k) b da l) bd a m) a c a d de dos formas 2 n) a + b o) dedos formas a+ b a b de dos formas (Sol: a) -3; b) -3; c) -17; d) 2; e) 4; f) 5; g) 10; h) 10; i) -3; j) -13; k) (-12,4); l) (-34, -51); m) 14; n) 17; o) -3) 24. TEORÍA: Indicar, razonadamente, si el resltado de las sigientes operaciones es n escalar o n vector: a) a b c d b) a b+ c d c) a b c d (Solc: escalar, en los tres casos) 25. Un triánglo ABC es tal qe AB = 5, BC = 7 y B = 120º. Calclar BA BC y s sperficie. 26. Sea n triánglo eqilátero ABC de lado 6. Hallar: a) AB AC b) CA CB c) BA CB d) AB CB e) AC BA f) AA AC 27. (Aviso: Para considerar el prodcto escalar gráficamente, previamente los dos vectores han de tener origen común, para lo cal en ciertos casos habrá qe trasladar no de ellos). (Solc: a) 18; b) 18; c) -18; d) 18; e) -18; f) 0) En el paralelogramo de la figra, hallar (Solc: 5 3; 16,34) AB AD y AB AC A 2 D 5 150º B C 28. Hallar x de modo qe el prodcto escalar de los vectores a = (3, 5) y b = (x,2) sea igal a 8 (Solc: x=6) 29. Hallar las componentes de n vector cyo módlo es 2 17 y qe es ortogonal al vector v = (4,1). Solc : 2, 8 y 2,8 ) Hacer n dibjo explicativo de la sitación. ( 1 = ( ) 2 = ( ) * 30. Hallar las componentes de n vector cyo prodcto escalar por sí mismo es 20 y cyo prodcto escalar por el vector (3,2) es 2. (Solc: (38/13,-44/13) y (-2,4)) 31. Resolver el problema 8 analíticamente, y comprobar qe se obtiene el mismo resltado. 32. Considerar los pntos A(1,2) y B(4,6). Hallar el pnto C(x,y) tal qe el segmento AB sea al segmento AC y de la misma longitd. Hallar el área del triánglo ABC. del ator (alfonsogonzalopez@yahoo.es) 74

19 Matemáticas I VECTORES Ánglo de dos vectores: 33. Calclar el ánglo formado por los sigientes pares de vectores, y dibjarlos (cada apartado en diferentes ejes): a) = (2,1) y v = (1,3) b) = ( 3,1) y v = (1, 3 ) (Solc: 45º) (Solc: 30º) c) a = (3 2, 6 ) y b = ( 3 2, 6 ) (Solc:120º) d) = (4,1) y v = ( 2,8) (Solc: 90º) 34. Dados los vectores = (3, 4) y v = ( 5, 6), calclar: a) El ánglo qe forman. (Solc: 103º19 ) e) x = ( 5,12) y y = (8, 6) (Sol: 149º 29 ) f) = (2,1) y v = (-9,3) g) = (4,3) y v = (1,7) b) Un vector en la dirección y sentido de qe sea nitario. (Solc: (3/5,-4/5)) c) Un vector en la dirección y sentido de de módlo 15. (Solc: (9,-12)) d) Son y v ortogonales? En caso contrario, bscar n vector calqiera ortogonal a (Solc: 135º) (Solc: 45º) 35. Qé ánglo forman los vectores nitarios a) a b = 1 b) 3 a b = c) 2 (Solc: a) 0º; b) 30º; c) 120º; d) 45º) a y b en los sigientes casos?: 1 a b = d) 2 a b = Comprobar qe los vectores = (8,15) y v = (30, 16) constityen na base ortogonal. Comprobar qe los vectores / y v / v forman na base ortonormal. Problemas con parámetros: NOTA: En los ejercicios 37 a 51 se recomienda hacer n dibjo previo de la sitación 37. Calclar x e y en a = ( x,4), b = ( 1,5) y c = (3,y), si se sabe qe a b y c b. Comprobar el resltado gráficamente. (Solc: x=-20; y=3/5) 38. Obtener tres vectores calesqiera perpendiclares a (-1,-3), siendo al menos no de ellos nitario. Explicar gráficamente el resltado Hallar el valor de m para qe =, m y v, 1 sean ortogonales. Interpretar el resltado gráficamente. 2 = 2 (Solc: 2 4 ) 40. Dados x = (2, 3) e y = (a,4), calclar a para qe: a) x // y b) x y (Sol: a) a=-8/3; b) a=6) 41. Hallar n vector v qe tenga módlo 3 y qe forme n ánglo de 90º con a = (3,4) (Aviso: pede haber v 1 = 12 / 5, 9 / 5 y v 2 = v 1) dos solciones). Explicar gráficamente la sitación. (Solc: ( ) 42. Dados = (3,1), v = (a, 1/ 2) y w = ( 3,2), se pide: del ator (alfonsogonzalopez@yahoo.es) 75

20 Matemáticas I VECTORES a) Hallar a para qe v sea nitario. Comprobar gráficamente el resltado. (Sol: a = ± 3 2 ) b) Hallar a para qe y v sean //. Jstificar gráficamente la solción obtenida. (Sol: a=-3/2) c) Hallar a para qe v y w sean. Jstificar gráficamente la solción obtenida. (Sol: a=-1/3) d) Hallar n vector a y nitario. e) Hallar el ánglo qe forman y w (Sol: 127º ) 43. a) Calclar las componentes de n vector de módlo 2 y tal qe i = 30º solciones) Solc : 1 = 3,1 y 2 = 3, 1 b) Ídem con = 3 2 y i = 45º 44. Calclar a con la condición de qe = (a,1) por lo qe se recomienda hacer n dibjo) forme 60º con v = (1,1) (Aviso: pede haber dos (Aviso: pede haber dos solciones, 45. Hallar el valor de x para qe el vector (x,1) forme 45º con el vector (1,2) (Aviso: pede haber dos solciones) (Solc: x 1=3 y x 2=-1/3) 46. Dados los vectores = (2, 1) y v = (a,3), calclar a de modo qe: a) y v sean ortogonales (Solc: a=3/2) b) y v formen 60º Solc : a = 11 c) y v tengan la misma dirección (Solc: a=-6) 47. Dados los vectores a = (1, 1) y b = (2,m), hallar m de forma qe: a) b) a y b sean ortogonales. (Solc: m=2) a y b tengan la misma dirección. (Solc: m=-2) c) b sea nitario. (Solc: / solc.) d) a y b formen 45º (Solc: m=0) 48. Dados a = (3, 4) y b = (5, x), hallar x para qe: a) ambos vectores sean perpendiclares (Solc: x=15/4) b) ambos vectores formen 30º (Solc: x 1-2,1; x 2-41,50) c) tengan la misma dirección (Solc: x=-20/3) 49. Dados = (2,1) y v = (a, 3), se pide: a) Hallar a para qe sean //. Jstificar gráficamente la solción obtenida. (Solc: a=-6) b) Hallar a para qe sean. Jstificar gráficamente la solción obtenida. (Solc: a=3/2) c) Hallar a para qe formen 45º. Jstificar gráficamente la solción obtenida. (Solc: a=9) d) Hallar n vector a de módlo 5 (Solc: ( 5,2 5 ) 50. Dados = (3, 4) y v = (a,2), se pide: a) Hallar a tal qe v = 4 (Solc: a=4) ( Sol : (- 1/ 10,3/ 10 ) o s opesto ) ( ) ( ) Solc : 1 = ( 3,3 ) y 2 = ( 3, 3 ) o s opesto) ( Solc : 3 2) del ator (alfonsogonzalopez@yahoo.es) 76

21 b) Qé ánglo formarán y v en el caso anterior? (Solc: 79º 41' 43'') c) Hallar a tal qe // v. Explicar gráficamente la sitación. (Solc: a=-3/2) Matemáticas I VECTORES d) Hallar n vector a y de módlo 10. Explicar gráficamente la sitación. (Solc: (8,6), o s opesto) 51. Considerar los vectores = ( b, 3 ) y 1 v =,a 2 a) Hallar a y b para qe v sea nitario y ambos vectores sean y estén en el semiplano inferior. (Solc: a=-3/2; b=3) b) Comprobar gráficamente el resltado: c) Si b=0, podrían ser // para algún valor de a? (Solc: NO) Área de n triánglo: 52. Hallar los ánglos del triánglo de vértices A(-2,2), B(5,3) y C(2,15). Hallar también s área. (Solc: A 64º 46'; B 84º 6'; C 31º 8'; S ABC=43,5 2 ) 53. Dado el triánglo de vértices A(1,1), B(5,4) y C(-5,9), se pide: a) Dibjarlo. b) Demostrar qe es rectánglo en A Solc : AB AC = 0 c) Hallar s área. (Solc: S ABC=25 2 ) 54. a) Dibjar el triánglo de vértices A(1,-2), B(3,-1) y C(2,1) y hallar s área. (Solc: S ABC=2,5 2 ) b) Ídem con A(3,8), B(-11,3) y C(-8,-2) (Solc: S ABC=42,5 2 ) c) Ídem con A(4,-1), B(2,1) y C(0,2) (Solc: S ABC=1 2 ) 55. TEORÍA: a) Dado el vector = (3, 4), hallar razonadamente otro vector con la misma dirección pero de módlo 2. Hacer n dibjo explicativo. 1 b) Dados = ( 1,2), v = (2, 3) y w =,4, hallar 2 c) Son ortonormales a =, y b =,? Y ortogonales? d) Qé indica el signo del prodcto escalar? Indicar ejemplos. e) Demostrar qe el vector b ca a cb es perpendiclar al vector c f) Peden ser paralelos los vectores ( 2,a ) y ( 0,5 )? v w g) Pede ser n nitario el vector ( 2,a )? (Razonarlo no analíticamente) del ator (alfonsogonzalopez@yahoo.es) 77

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27 RECTAS en el PLANO MATEMÁTICAS I 1º Bachillerato CCNN Alfonso González IES Fernando de Mena Dpto. de Matemáticas

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29 Matemáticas I RECTAS I. ECUACIONES de la RECTA I.1) Determinación principal de la recta: A r r Es evidente qe na recta r (ver dibjo) va a qedar determinada por n pnto calqiera de ella (A r) y n vector director, es decir, qe tenga s misma dirección ( r 0 ). Ambos elementos, pnto y vector director, constityen la determinación x principal de la recta. En la práctica, escribiremos: r = A, r Por qé tilizamos el calificativo principal? Porqe, obviamente, no es la única forma de determinar na recta. Existen infinitas formas: por ejemplo, es evidente qe sólo existe na recta qe pase por dos pntos, o na recta paralela a otra dada y qe pase por n pnto exterior a ésta, o perpendiclar a otra recta dada y qe pase por n determinado pnto, etc. Ahora bien, nótese qe siempre nos darán dos datos para determinar na recta. I.2) Ecación vectorial y paramétrica: r = (,v) r A(a,b) a x AX X(x,y) Considerar la recta r de la figra adjnta. Spongamos qe { r. nos dan s determinación principal, es decir, A, } Spongamos n pnto genérico X r, es decir, n pnto calqiera de r, qe pede variar. Es evidente qe si X está en la recta, entonces el vector AX será proporcional a r (por ejemplo, en el dibjo se ve qe AX es aproximadamente el triple qe r ), es decir: r AX = λ r X (1) donde λ R se llama parámetro, y va a jgar n papel fndamental en todo el tema. Dando valores positivos y negativos a λ se irían obteniendo los infinitos pntos X qe irían trazando la recta 1. Por otra parte, es evidente en el dibjo la sigiente sma vectorial: x = a + AX (2) Reemplazando AX de (1) en (2) obtenemos la ecación vectorial de la recta: = a + λ r x (donde λ R) EC. VECTORIAL (3) 1 Esto pede verse de forma interactiva en el sigiente enlace, my interesante y recomendable: del ator (alfonsogonzalopez@yahoo.es) 85

30 Matemáticas I RECTAS En la práctica, la ecación vectorial no es útil en sí misma, pero sí si la descomponemos en ss dos coordenadas, obteniendo así las ecaciones paramétricas: x = a + λ y = b + λv EC. PARAMÉTRICAS (4) Observaciones: 1ª) Dando valores a λ R se obtienen los infinitos pntos (x,y) de la recta. 2ª) Y viceversa, a n mismo pnto (x,y) le tiene qe corresponder el mismo λ para las dos ecaciones. 3ª) Desventaja: La forma paramétrica de na recta no es única, es decir, na misma recta tiene infinitas formas de ecaciones paramétricas 2, todas ellas válidas. Ejercicios final tema: 1 y 2 I.3) Forma contina y general (o implícita): Si despejamos λ de las dos ecaciones e igalamos, obtenemos la ecación contina: x a y b = EC. CONTINUA (5) v Observaciones: 1ª) Todo pnto (x,y) qe verifiqe la igaldad r, y viceversa. 2ª) Desventaja: La forma contina de na recta no es única, es decir, na misma recta tiene infinitas formas de ecación contina, todas ellas válidas. 3ª) Recordemos qe no existe la división por 0, es decir, ha de ser,v0. Qé ocrre si o v=0? Son casos especiales: y x = k =0 RECTA VERTICAL x=k y= k v=0 RECTA HORIZONTAL y=k x Mltiplicando en crz en la forma contina y agrpando términos: v=a = B =C Para simplificar la expresión hacemos la identificación de coeficientes indicada, con lo cal obtenemos la ecación general o implícita de la recta: 2 Ello es debido a qe, obviamente, na recta tiene infinitos posibles vectores directores, y también podemos sstitir infinitos pntos (a,b,c) en las ecaciones paramétricas. del ator (alfonsogonzalopez@yahoo.es) 86

31 Matemáticas I RECTAS Ax + By + C = 0 EC. GRAL o IMPLÍCITA (6) Observaciones: 1ª) Todo pnto (x,y) qe verifiqe la ecación r, y viceversa. 2ª) Ventaja: La forma general o implícita de la recta es única (salvo simplificación de ss tres coeficientes). 3ª) Recordemos qe -=B i.e. =-B, y qe v=a r = ( B,A ) (También vale ( B, A) = ) r Ejercicios final tema: 3 a 5 I.4) Ecación pnto-pendiente: Partimos de nevo de la forma contina: pendiente EC. PTO.-PDTE. (7) v/=m coordenadas del pnto = Observaciones: 1ª) Como ( v,) r, entonces el cociente v/ lo hemos redefinido como m, y se llama pendiente de la recta. En el dibjo pede verse qe v/=m es la tangente del ánglo qe forma la recta con la horizontal: v m tg = = α (8) = (,v) r v es decir, m, indica la inclinación de la recta, y por eso se llama pendiente: «La pendiente, m, de na recta es la tangente del ánglo qe forma dicha recta con la parte positiva del eje x» 2ª) El signo de m nos indica si la recta es creciente o decreciente: 2 O cad. tg<0 v v 1 er cad. tg>0 m>0 RECTA CRECIENTE m<0 RECTA DECRECIENTE del ator (alfonsogonzalopez@yahoo.es) 87

32 Matemáticas I RECTAS Ejercicios final tema: 6 3ª) La pendiente de na recta es única ( no así el vector director!). 4ª) La forma pnto-pendiente no es única (téngase en centa qe hay pntos (a,b) de la recta). I.5) Ecación explícita: Se obtiene despejando y de la forma general, o también de la pnto-pendiente: =n pendiente ordenada en el origen EC. EXPLÍCITA (9) Observaciones: 1ª) El término independiente, n, llamado ordenada en el origen, indica a qé altra corta la recta al eje de ordenadas. Por tanto, en fnción del signo qe toman m y n hay 4 casos: n m>0 n>0 m>0 n<0 n m<0 n>0 m<0 n<0 n n 2ª) Esta forma es absoltamente única. Esqema resmen de rectas: ver anexo al final del libro Ejercicios final tema: 7 a 28 I.5) Condición para qe 3 (o más) pntos estén alineados: A 1 A 1 A 3 A 1 A 2 A 3 A 2 Como pede verse en el dibjo adjnto, es obvio qe, para qe tres pntos A 1, A 2 y A 3 estén alineados, es condición necesaria y sficiente qe al formar dos vectores calesqiera con ellos 3 por ejemplo, A 1 A 2 y 3 A 1 A -, estos sean paralelos. Recordar del tema anterior qe ello eqivale a decir qe tengan ss componentes proporcionales: A, A,A alineados A A / / A A A A A A (10) 3 También valdría el par A 1 A y 2 3 A 2 A del ator (alfonsogonzalopez@yahoo.es) 88

33 Matemáticas I RECTAS Ejercicios final tema: 16 II. POSICIÓN RELATIVA DE 2 RECTAS Recordemos qe en el plano sólo hay 3 posibilidades de posición relativa de 2 rectas: s s r P = rs r rs SECANTES (se cortan en n pnto P) PARALELAS (nnca se cortan) COINCIDENTES (se cortan en pntos) Nótese qe: PARALELAS o COINCIDENTES 1º) ss r son proporcionales 2º) ss m son igales Hay dos formas de estdiar s posición relativa: 1º) Resolviendo el sistema: Ejercicio 1: Estdiar la posición relativa de los sigientes pares de rectas por medio de la resolción del sistema qe forman: a) 2x + 3y + 1 = 0 3x y + 2 = 0 (Solc: Secantes) b) 2x + 3y + 1 = 0 4x + 6y 3 = 0 (Solc: Paralelas) c) 2x + 3y + 1 = 0 4x + 6y + 2 = 0 (Solc: Coincidentes) del ator (alfonsogonzalopez@yahoo.es) 89

34 Matemáticas I RECTAS 2º) Estdiando ss m o : Recordar qe si na recta venía dada en forma implícita i.e. Ax+By+C=0, entonces s dirección venía dada por = ( B,A ). Por tanto, los dos primeros coeficientes, A y B, indican s dirección. Entonces, si dos rectas tienen ss dos primeros coeficientes igales o proporcionales, peden ser o bien paralelas o bien coincidentes. Si además el tercer coeficiente de ambas es igal o proporcional, es obvio qe serán la misma recta. Un razonamiento similar pede aplicarse si ambas rectas vienen dadas en explícitas. Todo ello se resme en la sigiente tabla: SECANTES PARALELAS COINCIDENTES RECTAS en EXPLÍCITAS y=mx+n y=m'x+n' mm' m =m' nn' m =m' n=n' RECTAS en IMPLÍCITAS Ax+By+C=0 A'x+B'y+C'=0 A B A' B' A B C = A ' B' C' A B C = = A ' B' C' COND. de PARALELISMO Ejercicio 2: Comprobar la posición relativa de los anteriores pares de rectas sin resolver el sistema: a) 2x + 3y + 1 = 0 3x y + 2 = 0 (Solc: Secantes) b) 2x + 3y + 1 = 0 4x + 6y 3 = 0 (Solc: Paralelas) c) 2x + 3y + 1 = 0 4x + 6y + 2 = 0 (Solc: Coincidentes) Ejercicios final tema: 29 a 35 Aplicación: HAZ de RECTAS // Como acabamos de ver, si dos rectas qe vienen dadas en implícitas tienen ss dos primeros coeficientes igales (o proporcionales) entonces serán paralelas. Por tanto, dada na recta Ax+By+C=0, las rectas de la forma Ax+By+K=0, qe se obtienen dando valores a k, serán todas paralelas, constityendo lo qe se conoce como HAZ de RECTAS PARALELAS. Un razonamiento parecido pede aplicarse si están en explícitas: Dada Ax+By+C=0 mismo Ax+By+K=0 forma n HAZ de RECTAS //, dando valores a k Dada y=mx+n y=mx+k forma n HAZ de RECTAS //, dando valores a k misma pendiente del ator (alfonsogonzalopez@yahoo.es) 90

35 Matemáticas I RECTAS Gráficamente: HAZ de RECTAS PARALELAS Ejercicios final tema: 36 a 40 III. PUNTOS y RECTAS NOTABLES de n TRIÁNGULO III.1) Recta a na dada: Recordemos del tema anterior qe, dado n vector, para obtener n vector había qe permtar ss componentes y cambiar na de ellas de signo. En este caso, dado r = ( B,A ), para obtener n vector normal, es decir,, tenemos qe hacer n = ( A,B). Es decir: ( ) ( ) (11) Nótese qe también valdría el (-A,-B) como vector normal. E inclso habría infinitos vectores, qe serían todos los proporcionales a (A,B). Por tanto, si nos piden la ecación de na recta a na recta dada y qe pase por n determinado pnto, lo más cómodo es obtenerla en forma contina. Ejercicios final tema: 41 a 43 III.2) Coordenadas del pnto medio de n segmento: Recordemos también del tema anterior qe, dado n segmento de extremos A y B, las coordenadas de s pnto medio serán la semisma de dichos extremos. A M B A + B M = (12) 2 Comprébese en el ejemplo del dibjo (Ver demostración en Internet). Ejercicios final tema: 44 III.3) MEDIATRIZ: «Es la recta a n lado del triánglo por s pnto medio». Como ya se ha explicado en III.1, si nos dan la ecación de la recta qe forma n lado del triánglo, se recomienda obtener s mediatriz en forma contina. Para hallar el pnto medio del lado hay qe aplicar (12). del ator (alfonsogonzalopez@yahoo.es) 91

36 Matemáticas I RECTAS Es obvio qe n triánglo tiene 3 mediatrices, las cales se cortan en n pnto llamado CIRCUNCENTRO 4, el cal se pede obtener resolviendo el sistema formado por dos mediatrices calesqiera. Ejercicios final tema: 45 a 48 III.4) BISECTRIZ: «Es la recta qe divide n ánglo en dos igales». Las 3 bisectrices del triánglo se cortan en n pnto llamado INCENTRO 5. Si conocemos obtenemos los vértices (A, B y C; ver figra) de ambos lados, entonces la bisectriz es el lgar geométrico 6 formado por los pntos genéricos X(x,y) qe resltan de imponer qe AB AX = AC AX. A B C X( x, y ) NOTA: Cando se aborde más adelante el cálclo de la distancia pnto-recta, se verá otro método mcho mejor para hallar la bisectriz (vid. apdo. V).. Ejercicios final tema: 49 III.5) MEDIANA: «Es la recta qe ne n vértice con el pnto medio del lado opesto». Las 3 medianas se cortan en n pnto llamado BARICENTRO 7 o centro de gravedad. Para obtener calqier mediana se recomienda la forma contina, obteniendo el pnto medio por (12). El baricentro se pede obtener de dos formas: B ( b 1, b 2 ) 1º) Resolviendo el sistema formado por dos medianas calesqiera. 2º) Mediante la fórmla a1 + b1 + c1 a2 + b2 + c2 G, 3 3 (13) C ( c 1, c 2 ) A ( a 1, a 2 ) III.6) ALTURA: «Es la recta a n lado qe ne éste (o s prolonagación) con el vértice del lado opesto». Las 3 altras se cortan en n pnto llamado ORTOCENTRO 8. Se recomienda, a la hora de hallar calqier altra, hacerlo en forma contina, aplicando para ello lo visto en III.1. 4 Se llama circncentro porqe es el centro de la circnferencia circnscrita (figra izda.). Recordar qe si el triánglo es obtsánglo, entonces el circncentro se encentra fera de éste (figra dcha.). 5 Se llama incentro porqe es el centro de la circnferencia inscrita. Siempre está en el interior del triánglo: 6 El lgar geométrico es n importante concepto matemático qe veremos más veces a lo largo del crso. 7 El baricentro (del griego baros, pesadez, peso, carga, gravedad) siempre está en el interior del triánglo. 8 El ortocentro (del griego orthos, derecho, recto, correcto) está fera del triánglo si éste es obtsánglo: del ator (alfonsogonzalopez@yahoo.es) 92

37 Matemáticas I RECTAS Ejercicios final tema: 50 a 56 Observaciones: 1ª) Existe na sencilla regla mnemotécnica para recordar qé pnto notable corresponde a qé recta notable, y viceversa: M A M B O B O C I N A 2ª) Criosidad: El baricentro, ortocentro y circncentro (los tres primeros de la regla anterior) están alineados en lo qe se conoce como recta de Eler 9, de forma qe el baricentro está siempre sitado entre los otros dos y a doble distancia del ortocentro qe del circncentro: IV. ÁNGULO DE 2 RECTAS SECANTES Como reza el títlo del apartado, sólo tiene interés considerar el ánglo qe forman dos rectas si éstas son secantes pes, si son paralelas o coincidentes (lo cal es fácil de detectar, pes, en tal caso, ss vectores directores serán igales o proporcionales), el ánglo sería 0. Hay dos formas de obtener el ánglo de dos rectas secantes: a) En fnción de los : En primer lgar, hay qe hacer notar qe por ánglo de dos rectas entendemos el menor i.e. el agdo (el de la figra, no s splementario, 180º-) Es evidente qe el ánglo qe forman ambas rectas coincidirá (salvo n detalle qe lego explicaremos) con el qe forman ss vectores directores, por lo qe tilizaremos la correspondiente fórmla vista en el tema anterior: 180º r r cos α = cosr s = r r s s (14) s s 9 En honor al insigne matemático sizo Leonhard Eler ( ), qien demostró este hecho. del ator (alfonsogonzalopez@yahoo.es) 93

38 Matemáticas I RECTAS Observaciones: 1ª) El valor absolto del nmerador es para qedarnos con el ánglo agdo,, no con el splementario, 180º-. En efecto, si no indicáramos el valor absolto, podría resltar negativo, lo cal, como vimos en el tema anterior, significaría qe ambos vectores forman n ánglo obtso. Por otra parte, recordemos qe cos(180º-)=-cos i.e. ambos ánglos, el agdo y el splementario tienen el mismo coseno, salvo el signo; de ahí la necesidad del valor absolto. 2ª) Si las rectas son paralelas o coincidentes, es trivial qe (14) daría n ánglo 0. 3ª) Esta fórmla es práctica si ambas rectas vienen dadas en contina o general. En caso contrario, es mejor tilizar la del sigiente apartado. Condición de perpendiclaridad (en fnción de los coeficientes): «Dos rectas, Ax+By+C=0 y A'x+B'y+C'=0, son AA'+BB'=0» (15) NOTA: En la práctica, dos rectas en implícitas son si ss dos primeros coeficientes se encentran permtados y no de ellos cambiado de signo. V.g. 2x-3y+5=0 y 3x+2y=0. DEM: r : A x + B y + C = 0 r = ( B,A ) s : A'x + B'y + C' = 0 s = ( B',A ') r s = 0 B,A B',A ' = BB' + AA ' = 0 r s ( ) ( ) (C.Q.D.) b) En fnción de las pendientes: Vamos a tilizar en este caso la fórmla de la tangente de la diferencia, vista en el tema de Trigonometría. Por otra parte, recordemos del s apdo. I.4 qe la pendiente m de na recta es tg, siendo el ánglo qe forma con OX + (ver figra). Por tanto: r tg ( ) tgα tgα α = tg α2 α 1 = = 1+ tgα2 tgα 1 1+ m1 m2 m m (16) Observaciones: 1ª) El valor absolto del nmerador de nevo es para qedarnos con el ánglo agdo,, no con el splementario, 180º-. En efecto, si no indicáramos el valor absolto, m 2 -m 1 podría resltar negativo, lo cal condciría a na tangente negativa, es decir, al splementario de. Y recordemos qe tg(180º-)=-tg; de ahí la necesidad del valor absolto. 2ª) En la práctica, y sobre todo en los problemas en los qe aparece n parámetro en algna recta, hay qe intercambiar m 1 y m 2 para generar dos solciones. De todas formas, en tal caso se recomienda tilizar mejor (14). 3ª) Esta fórmla es útil si las rectas están en pto.-pdte. o en explícita. Condición de perpendiclaridad (en fnción de las pendientes): «Si dos rectas son, entonces ss pendientes son inversas y opestas: m2 1 =» (17) m 1 DEM: 1 α = 90º tgα = 1+ m1m 2 = 0 m 2 = (C.Q.D.) m el nmerador de (16) debe anlarse 1 del ator (alfonsogonzalopez@yahoo.es) 94

39 Matemáticas I RECTAS Ejercicio final tema: 57 a 71 V. d(p,r) P r Spongamos qe nos dan n pnto P(x 1,y 1 ) y qeremos obtener s distancia a la recta r de ecación Ax+By+C=0 (ver figra). Ésta será igal a la distancia entre P y P, proyección ortogonal de P sobre r, y viene dada por la sigiente fórmla: r: Ax+By+C=0 P(x 1,y 1) r: Ax+By+C=0 P(x,y ) d(p,r) Ax + By + C sstitir P en r (18) 1 1 = = A + B r Observaciones: 1ª) Ver demostración en Internet. 2ª) El valor absolto se emplea para qe la distancia no salga negativa. Ejercicios final tema: 72 a 81 Aplicación: Distancia entre rectas //: La fórmla anterior sirve también para hallar la distancia entre dos rectas //, sigiendo el proceso lógico sigiente: P(x 1,y 1) 1º) Obtenemos por tanteo n pnto calqiera de calqiera de las dos rectas (por ejemplo, en el dibjo Pr). 2º) Calclamos la distancia de dicho pnto a la otra recta: r s d(r,s)=d(p,s) (19) Cidado! Previamente hay qe cerciorarse de qe las dos rectas son paralelas. Ejercicios final tema: 82 a 92 Aplicación: Cálclo de la bisectriz: (18) también sirve para hallar la bisectriz de dos lados de n triánglo. Si ambos lados vienen dados como rectas, entonces (ver dibjo) «la bisectriz será el lgar geométrico formado por los pntos genéricos P(x,y) tales qe d(p,r)=d(p,s)». (20) r b i s e c t r i z P ( x, y ) s Ejercicios final tema: 93 y 94 VI. ÁREA DEL TRIÁNGULO Hay dos posibilidades: 1º) Si nos dan las coordenadas de los 3 vértices: A s vez, podemos resolverlo empleando rectas, o por vectores, sigiendo el proceso lógico qe recoge la sigiente tabla: del ator (alfonsogonzalopez@yahoo.es) 95

40 Matemáticas I RECTAS POR RECTAS POR VECTORES C 1º) Dibjar la sitación. 1º) Dibjar la sitación. 2º) Calclar la base= AB 2º) Calclar AB y AC h c 3º) Calclar la ecación de la recta AB "" h c=d(c,recta AB ) 3º) Calclar A A B S 1 = 2 AB h 4º) ABC c 1 (21) 4º) SABC = AB AC sen A 2 (22) Nótese qe en el caso de la colmna izqierda hemos aplicado la archiconocida fórmla del área del triánglo. Por lo qe respecta a la de la colmna derecha, se trata de na fórmla vista en el tema de Trigonometría. Ejercicios final tema: 95 2º) Si nos dan las ecaciones de las rectas qe forman los lados: r C t Previamente habrá qe hallar las coordenadas de los 3 vértices: A=rs B=st C=rt Y despés aplicar calqiera de los dos métodos del apdo. anterior. A s B Ejercicios final tema: 96 en adelante del ator (alfonsogonzalopez@yahoo.es) 96

41 101 EJERCICIOS de RECTAS Forma paramétrica: 1. Dado el pnto A(5,3) y el vector director r = (1, 2), se pide: a) Hallar las ecaciones paramétricas de la recta r qe determinan. b) Obtener otros tres pntos calesqiera de dicha recta. c) Comprobar analíticamente si los pntos P(2,-1) y Q(3,7) r d) Dibjar dicha recta y comprobar gráficamente los apartados anteriores. e) Indicar otras ecaciones paramétricas para la recta. 2. Dados los pntos A(1,3) y B(-1,6), se pide: a) Hallar las ecaciones paramétricas de la recta s qe determinan. b) Obtener otros tres pntos calesqiera de dicha recta. c) Comprobar analíticamente si los pntos P(7,-6) y Q(2,2) s d) Dibjar dicha recta y comprobar gráficamente los apartados anteriores. Forma contina y general: 3. Con los datos del ejercicio 1, se pide: a) Hallar las ecaciones contina y general o implícita de la recta r qe determinan. (Solc: 2x+y-13=0) b) Comprobar en la ecación general qe r = ( B,A) c) A partir de la ecación general, obtener otros tres pntos calesqiera de dicha recta. d) Comprobar en ambas ecaciones si los pntos P(2,1) y Q(3,7) r 4. Ídem con los datos del ejercicio 2 (Solc: 3x+2y-9=0) 5. Hallar las ecaciones paramétricas e implícitas de los ejes de coordenadas. Forma pnto-pendiente: 6. Hallar la forma pnto-pendiente de las dos rectas de los ejercicios 1 y 2 a) Directamente, a partir de los datos. b) A partir de s forma contina. c) Operarla para comprobar qe se obtiene la general. Forma explícita: 7. Hallar la forma explícita de las dos rectas de los ejercicios 1 y 2 a) Directamente, a partir de los datos. b) A partir de las formas anteriores. (Solc: y=-2x+13 e y=-3x/2+9/2) del ator (alfonsogonzalopez@yahoo.es) 97

42 Matemáticas I RECTAS Todas las formas: 8. a) Hallar la ecación de la recta qe pasa por el pnto A(3,5) y tiene la dirección del vector = (2, 4) en todas las formas posibles. Dibjarla. (Solc: 2x+y-11=0) b) Ídem para el pnto A(3,1) y = (4, 2) (Solc: x+2y-5=0) = c) Ídem para A(3,1) y (0,2) (Solc: x=3) = d) Ídem para A(3,-1) y (5,0) (Solc: y=-1) 9. a) Hallar la ecación de la bisectriz del 1 er y 3 er cadrantes. (Solc: y=x) b) Ídem para la del 2º y 4º cadrantes. (Solc: y=-x) c) Hallar la ecación de las dos trisectrices del 1 er cadrante. 10. Dada la recta de la figra, hallar s ecación: a) Directamente, en forma contina. b) En forma general, operando a partir de la anterior. c) Directamente, en forma pnto-pendiente. d) Directamente, en forma explícita. 11. Hallar la ecación de la recta qe pasa por los pntos A(3,2) y B(1,-4) en todas las formas posibles. Dibjarla. (Solc: 3x-y-7=0) 12. Representar las sigientes rectas: a) 2x+3y-7=0 b) x=3 c) y=2 d) x = 3 y = e) x 1 = 2 y Pasar a forma explícita las sigientes rectas y calclar ss pendientes: a) x 3 y + 5 = b) 5x+3y+6=0 c) 2 1 x = 2 + t y = 5-3t ( Solc : y = x 7 ; y = 5 x 2; y = 3x + 11) Determinar si el pnto P(2,-1) pertenece a la recta 3x-2y+5=0. Y el pnto (1,4)? (Solc: NO; SÍ) 15. Dada la recta ax+5y+4=0, determinar a para qe la recta pase por el pnto (2,-2) (Solc: a=3) 16. a) Determinar, analíticamente, si los pntos A(3,1), B(5,2) y C(1,0) están alineados. b) Ídem para A(1,1), B(3,4) y C(4,6) (Nota: n dibjo pede ser útil) c) Hallar k para qe los pntos A(1,7), B(-3,4) y C(k,5) estén alineados. (Solc: SÍ; NO; k=-5/3) 17. Calclar la ecación de la recta qe pasa por el pnto A(-2,1/3) y tiene igal pendiente qe la recta qe 1 pasa por P(2,1) y Q(3,4) ( Solc : y = 3(x + 2) ) Dada la recta qe pasa por A(1,0) y B(3,4) se pide: a) Hallar s forma paramétrica, contina, implícita, pnto-pendiente y explícita. (Solc: 2x-y-2=0) b) Cál es s pendiente? (Solc: m=2) c) El pnto (2,2) pertenece a dicha recta? (Solc: (2,2) r) del ator (alfonsogonzalopez@yahoo.es) 98

43 Matemáticas I RECTAS 19. Ídem para la recta qe pasa por A(-2,1) y B(4,5). El pnto (1,3) es de dicha recta? (Solc: 2x-3y+7=0; m=2/3; SÍ) 20. Calclar la ecación de la recta qe pasa por el pnto A(2,1) y forma n ánglo de 120º con la parte positiva del eje x. ( Solc : y 1 = 3 (x 2) ) 21. Qé ánglo forma la recta x+y+5=0 con OX +? (Solc: 135º) 22. Dada la recta 5x-3y+7=0, hallar la longitd de los segmentos qe determina sobre los ejes. Hacer el dibjo. (Solc: 7/5 sobre OX - ; 7/3 sobre OY + ) 23. Hallar el área limitada por la recta 5x+y-5=0, el eje de abscisas y el eje de ordenadas. Hacer el dibjo. (Solc: 5/2 2 ) 24. Calclar la ecación de la recta qe pasa por el pnto P(3,1) y forma 45º con el eje OX + (Solc: y=x-2) 25. a) Qé ánglo forma la recta 3x-2y+6=0 con el eje de abscisas? (Solc: 56º ) b) Qé ánglo forma la recta 2x-y+5=0 con el eje de ordenadas? (Solc: 26º ) c) Calclar n de modo qe la recta 3x+ny-2=0 forme n ánglo de 60º con OX + (Solc: n=- 3) 26. Resolver gráficamente es decir, hallar gráficamente el posible pnto de corte de cada pareja de rectas los sigientes sistemas de ecaciones: a) 2x + 3y = 11 3x 2y = 3 b) 2x + 3y = 11 6x + 9y = 33 c) 2x + 3y = 11 6x + 9y = 3 (Solc: (1,3); solc; / solc) 27. a) Hallar la ecación de la recta qe pasa por el pnto de corte de las rectas 2x+3y-4=0 y x-y=0 y por A(2,1) (Solc: x-6y+4=0) b) Ídem para las rectas 3x+y-11=0 y x+2y-7=0 y el pnto A(-1,2) (Solc: y=2) 28. La recta y+2=m(x+3) pasa por el pnto de intersección de las rectas 2x+3y+5=0 y 5x-2y-16=0. Calclar m (Solc: m=-1/5) Posición relativa de 2 rectas: 29. Dadas las rectas: r: 2x+3y-4=0 : 4x+6y-8=0 s: x-2y+1=0 v: 2x-4y-6=0 t: 3x-2y-9=0 w: 2x+3y+9=0 Cáles son coincidentes? Cáles son paralelas? (Solc: r=; s//v; r//w) 30. Ídem para las rectas r: y=5x-3 : y=3x-2 s: y=-x+2 v: y=2x+13 t: y=2x-1 w: y=-x-3 Comprobar el resltado dibjándolas sobre los mismos ejes. (Solc: t//v; s//w) del ator (alfonsogonzalopez@yahoo.es) 99

44 Matemáticas I RECTAS 31. Comprobar, por dos métodos, si las sigientes rectas son paralelas, secantes o coincidentes; en este último spesto, hallar el pnto de corte: a) 3x + 2y 5 = 0 3x + 2y + 7 = 0 b) x + 3y 4 = 0 x + 2y 5 = 0 c) x + y 3 = 0 2x + 2y 6 = 0 (Solc: a) paralelas; b) secantes en (7,-1); c) coincidentes) 32. Determinar m y p para qe las rectas mx+3y+5=0 y 2x+6y-p=0 a) Sean coincidentes. (Sol: m=1; p=-10) b) Se corten en (-1,2) (Sol: m=11; p=10) 33. a) Dadas las rectas 3x-4y+1=0 calclar m para qe sean paralelas. Peden ser coincidentes? mx+8y-14=0 (Solc: m=-6; NO) b) Ídem para las rectas 4x-3y+1=0 (Solc: m=-8; NO) mx+6y+4=0 34. La recta 3x+ny-7=0 pasa por el pnto A(2,3) y es paralela a la recta mx+2y=13. Calclar m y n (Solc: m=18; n=1/3) 35. Dada la recta r determinada por A(2,1) y = (a,4), y la recta s determinada por B(-1,4) y v = (5,3) a) Hallar a para qe r y s sean paralelas (Solc: a=20/3) b) Para qé valores de a son secantes? (Solc: a 20/3) c) Peden ser coincidentes? (solc: NO) Recta // a na dada: 36. a) Calclar la ecación de la recta paralela a 3x+2y-4=0 qe pasa por el pnto A(2,3) (Solc: 3x+2y-12=0) b) Ídem para y=2x+3 (Solc: y=2x-1) 37. Hallar la ecación de la recta qe pasa por (2,3) y es: a) Paralela al eje x (Solc: y=3) (Hacer n dibjo explicativo previo en los catro primeros apartados) b) Paralela al eje y (Solc: x=2) c) Paralela a la bisectriz del 1 er cadrante. (Solc: y=x+1) d) Ídem del 2 o cadrante. (Solc: y=-x+5) e) Paralela a 5x+2y=0 (Solc: 5x+2y-16=0) 38. Hallar la recta qe pasa por el origen y es paralela a la recta determinada por A(1,1) y B(-3,6) (Solc: y = 5 x) Dadas las rectas r: x-2y+7=0 s: 2x+y+4=0 y el pnto P(5,1), hallar las ecaciones de los otros dos lados del paralelogramo formado por r, s y P. (Solc: x-2y-3=0 y 2x+y-11=0) 40. TEORÍA: Responder, razonadamente, a las sigientes cestiones: a) Cómo son los vectores directores de dos rectas paralelas? del ator (alfonsogonzalopez@yahoo.es) 100

45 Matemáticas I RECTAS b) Si se sabe qe el vector director de na recta es (2,5), podemos conocer s pendiente? c) Y si sabemos qe la pendiente es 3, podemos obtener n vector director? d) Cántos vectores directores pede tener na recta? e) Si na recta tiene por vector director (4,2) y otra tiene el (-2,-1), peden ser la misma? f) Razonar qe si na recta tiene la forma Ax+By+k=0, entonces calqier recta a ella sería de la forma Bx-Ay+k =0 g) Por qé toda recta qe pasa por el origen carece de término independiente en s forma general i.e. Ax+By=0? h) De na recta se sabe qe s r = (2, 4) Cál es s pendiente? Cómo es la recta? Pntos y rectas notables de n triánglo: Recta a na dada: 41. En cada apartado, hallar la recta a la dada, por el pnto qe se indica (hacer n dibjo aproximado explicativo): a) x-2y+3=0; P(3,-1) (Solc: 2x+y-5=0) b) 3x+2y+1=0; P(1,-1) (Solc: 2x-3y-5=0) c) x = 1+ ; P(1,3) y = 2 3 (Solc: x-3y+8=0) d) y-4=2(x-1); P(1,1) (Solc: x+2y-3=0) e) y=2x-5; P(-2,3) (Solc: x+2y-4=0) f) y-3=2(x+1); 0(0,0) (Solc: x+2y=0) g) x+2y-17=0; P(3,7) (Solc: 2x-y+1=0) x + 4 y + 5 h) = ; P(-4,-5) En la figra, s//r y t r. Hallar: a) La ecación general de las rectas s, t y (Solc: s: 4x-3y+7=0; t: 3x+4y+1=0; : x+5y-14=0) b) La ecación pnto-pendiente de v (Solc: y-1= 3(x-2)) r: 4x-3y+15=0 s v 43. Hallar el pie de la perpendiclar trazada desde P(1,-2) a la recta r: x-2y+4=0 (Solc: (-4/5,8/5)) 60º Mediatriz: 44. a) Hallar las coordenadas del pnto medio del segmento determinado por A(-2,1) y B(6,5). Dibjar la sitación. (Sol: M (2,3)) t b) El pnto M(5,-2) es el pnto medio del segmento AB, y conocemos A(2,3). Hacer n dibjo explicativo y hallar B. (Sol: B(8,-7)) c) Hallar el pnto simétrico de P(1,-2) respecto del pnto Q(3,0). Hacer n dibjo explicativo. (Sol: P (5,2)) 45. Hallar la ecación de la recta al segmento de extremos A(5,6) y B(1,8) en s pnto medio. Cómo se llama dicha recta? Hacer n dibjo explicativo. (Solc: 2x-y+1=0; mediatriz) 46. La recta 3x-2y-6=0 corta a los ejes en dos pntos A y B. Calclarlos y hallar la mediatriz de AB. (Solc: 4x+6y+5=0) del ator (alfonsogonzalopez@yahoo.es) 101

46 Matemáticas I RECTAS 47. Dada la recta x+2y+1=0 hallar el pnto simétrico de P(2,-3) respecto a dicha recta. [Solc: P'(16/5,-3/5)] * 48. Sabiendo qe la recta 2x-y+1=0 es mediatriz de AB y A(2,-3), calclar B. Cómo podríamos comprobar qe el resltado es correcto? [Solc: B(-22/5,1/5)] Bisectriz: 49. Dado el triánglo de vértices A(2,1), B(5,-3) y C(7,13), hallar razonadamente, mediante cálclo vectorial, la ecación de la bisectriz correspondiente al vértice A. (Ayda: Dado n pnto genérico X(x,y) bisectriz, plantear qe AB AX = AC AX) (Solc: x-8y+6=0) NOTA: Cando se aborde más adelante el cálclo de la distancia pnto-recta, se verá otro método mcho mejor para hallar la bisectriz (vid. ejercicio 94). Mediana, altra, etc: 50. Dado el triánglo de vértices A(1,1), B(5,3) y C(3,7) se pide: a) Mediante la fórmla correspondiente, hallar las coordenadas del baricentro o centro de gravedad (Por criosidad, se recomienda obtener la ecación de dos medianas calesqiera y comprobar qe se cortan en dicho pnto) b) Ecaciones de dos altras calesqiera, y coordenadas del ortocentro. c) Ecaciones de dos mediatrices calesqiera, y coordenadas del circncentro. d) Calclar la ecación de la recta de Eler. e) Comprobar qe el ortocentro dista el doble del centro de gravedad qe el circncentro. (Solc: a) AB: x=3; BC: 4x-3y-1=0; G(3,11/3) b) AB: 2x+y-13=0; BC: x-2y+1=0; AC: x+3y-14=0; O(5,3) c) AB: 2x+y-8=0; BC: x-2y+6=0; AC: x+3y-14=0; C(2,4) d) x+3y-14=0) 51. Dibjar en nos ejes cartesianos el triánglo de vértices A(2,0), B(0,1) y C(-3,-2), y hallar: a) La ecación de la mediana correspondiente al lado AC. (Solc: 4x-y+1=0) b) La ecación de la altra correspondiente al lado AC. (Solc: 5x+2y-2=0) c) La ecación de las mediatrices correspondientes a AB y AC. (Solc: 4x-2y-3=0; 10x+4y+9=0) d) Cómo se llama el pnto donde se cortan las anteriores? Obtenerlo (Sol: Circncentro(-1/6,-11/6) 52. Dibjar el triánglo de vértices A(3,1), B(0,2) y C(1,-2), y hallar: a) La ecación de la mediana correspondiente al lado AC (Solc: 5x+4y-8=0) b) Las ecaciones de las altras correspondientes a los lados AC y BC (Sol: 2x+3y-6=0; x-4y+1=0) c) Cómo se llama el pnto donde se cortan las altras? Obtenerlo. (Solc: Ortocentro (21/11,8/11) d) La ecación de la mediatriz correspondiente al lado AC (Solc: 4x+6y-5=0) * 53. Los pntos B(-1,3) y C(3,-3) determinan el lado desigal de n triánglo isósceles ABC. El pnto A está en la recta x+2y-15=0. Calclar A 54. Hallar las ecaciones de las medianas del triánglo de vértices A(1,6), B(-5,8) y C(-3,-4) (Solc: 4x-5y+26=0; 7x+4y+3=0; 11x-y+29=0) del ator (alfonsogonzalopez@yahoo.es) 102

47 2/3 1/3 Matemáticas I RECTAS 55. Demostrar qe en n triánglo eqilátero el baricentro está sitado a na distancia de la base qe es siempre 1/3 de la altra (ver figra). 56. Los vértices de n triánglo son A(7,5), B(-8,3) y C(4,-5) a) Hallar las medianas AB y AC y el baricentro. b) Ídem para altras y ortocentro. c) Ídem para mediatrices y circncentro. d) Trazar sobre papel milimetrado las tres medianas, altras y mediatrices, y las circnferencias circnscrita e inscrita, y comprobar qe el baricentro, ortocentro y circncentro están alineados (Utilizar escala 1=1cm). Ánglo de dos rectas: 57. Calclar el ánglo qe forman los sigientes pares de rectas, tilizando la fórmla más conveniente en cada caso: a) 2x-3y+4=0 5x-2y-3=0 (Solc: 34º 31') b) 2x+3y-5=0 x-y+7=0 (Solc: 78º 41') c) x-2y+4=0 3x-y-1=0 (Solc: 45º) d) y=2x-3 y=-2x+1 (Solc: 53º 8') e) y=3x-5 y=3x+2 (Solc: 0º) f) -x+2y+1=0 3x+y+5=0 (Solc: 81º 52') g) x 1 y + 2 = 3 4 x 12 y 3 = (Solc: 30º 31') 5 h) -x+2y+5=0 2x-3y+4=0 (Solc: 7º 8') i) 3x-4y+2=0 3x-4y+7=0 (Solc: 0º) j) x 1 y = 2 3-2x+3y-5=0 (Solc: 22º 37') k) x + 2 y = 1 3x+4y=0 3 4 (Solc: 90º) l) 3x+4y-12=0 5x-12y+8=0 (Solc: 59º 29) m) x = 3 + t x = y = 5 2t y = 1+ 3 (Solc: 79º 42') n) y=7x+54 3x-4y+128=0 (Solc: 45º) 58. Razonar, sin cálclo previo, cáles de los sigientes pares de rectas son perpendiclares: a) 2x+3y-4=0 4x+6y-8=0 b) 2x+3y-4=0 6x-4y+5=0 c) y=2x-4 y=-x/2+5 d) 3x-2y+7=0 4x+6y-3=0 e) y=6x y=x/6-8 f) x+y-8=0 2x+3y+6=0 g) y=x+1 y=-x (Solc: NO; SÍ; SÍ; SÍ; NO; NO; SÍ) 59. Es perpendiclar la recta 2x+3y+4=0 con otra qe tenga de pendiente 3/2? (Solc: SÍ) 60. Determinar el parámetro m con la condición de qe las rectas 2x-4y+12=0 sean perpendiclares. (Solc: m=16) mx+8y-15=0 61. Dadas las rectas r: x+2y-3=0 se pide: a) Hallar k para qe sean // (Solc: k=-2) s: x-ky+4=0 b) Hallar k para qe sean (Solc: k=1/2) c) Hallar la ecación general de la recta a r qe pasa por el origen. (Solc: 2x-y=0) 62. Determinar el valor de a para qe las rectas ax+(a-1)y-2(a+2)=0 sean: a) Paralelas. (Solc: a=0 o a=1/3; a=-1/2) 3ax-(3a+1)y-(5a+4)=0 b) Perpendiclares. del ator (alfonsogonzalopez@yahoo.es) 103

48 Matemáticas I RECTAS 63. Calclar los coeficientes m y n de las rectas mx-2y+5=0 nx+6y-8=0 sabiendo qe son perpendiclares y qe la primera pasa por el pnto (1,4) (Solc: m=3; n=4) 64. Dada la recta de ecación ax+by=1, determinar a y b sabiendo qe la recta dada es perpendiclar a la recta 2x+4y=11 y qe pasa por el pnto (1,3/2) (Solc: a=4; b=-2) 65. a) Hallar m para qe la recta r de la figra sea // a r : -4x+my+6=0 (Solc: m=-6) b) Dedcir (redondeado a los mintos) a partir de la ecación de r. (Solc: 146º 19') c) Hallar el ánglo (redondeado a los mintos) qe forma r con la bisectriz del primer cadrante. (Solc: 78º 41') 66. Hallar el valor de a para qe las rectas x = 2 x = 1+ 2 formen 45º y = 2 y = 2 + a (Aviso: pede haber dos solciones) (Solc: a 1=6, a 2=-2/3) 67. Sean las rectas r: 3x+my+12=0 s: 2x+y+n=0 Determinar m y n sabiendo qe forman n ánglo de 60º y qe la recta s pasa por el pnto (3,-5) (Advertencia: pede haber dos solciones) (Sol: m 1= y n 1=-1; m 2= y n 2=-1) 68. a) Determinar la ecación de la recta qe pasando por A(5,-2) forme 45º con la qe tiene por ecación 2 5 3x+7y-12=0 (Advertencia: pede haber dos solciones) (Solc: y + 2 = (x 5); y + 2 = (x 5) ) b) Cómo son las pendientes de las dos solciones? Por qé? 69. Hallar la ecación de la recta qe, pasando por P(2,-3), forma n ánglo de 45º con la recta 3x-4y+7=0 1 (Advertencia: pede haber dos solciones) (Solc: y + 3 = (x 2); y + 3 = 7(x 2) ) 70. Hallar las ecaciones de las dos rectas qe pasan por el pnto (-3,0) y forman con la recta de ecación 3x-5y+9=0 n ánglo cya tangente vale 1/3 (Solc: y = 2 (x + 3); y = 7 (x + 3) ) Dadas las rectas r: 2x+y-4=0 hallar a para qe: a) Sean // (Solc: a=-4) s: ax-2y+5=0 b) Sean (Solc: a=1) c) Formen 60º 16 ± 10 3 Solc : a = 11 d(p,r): 72. a) Calclar la distancia del pnto P(1,2) a la recta 3x-4y+1=0 (Solc: 4/5) b) "" "" "" P(2,-1) a la recta 3x+4y=0 (Solc: 2/5) x = c) "" "" del origen a la recta (Solc: 3 5 ) y = 2 del ator (alfonsogonzalopez@yahoo.es) 104

49 d) "" "" del origen a la recta y=4 (Solc: 4) e) "" "" del pnto P(-1,7) a la recta y-3=2(x+3) (Solc: 0) x 1 f) "" "" "" P(1,-3) a la recta = y + 5 (Solc: 4 5 ) 2 g) "" "" "" P(2,4) a la recta y=-2x+3 (Solc: 5 ) Matemáticas I RECTAS 73. Hallar la distancia del origen de coordenadas a la recta qe pasa por los pntos A(-2,1) y B(3,-2) (Solc: 1 34 ) 74. Hallar la distancia del pnto (-1,1) a la recta qe corta a los ejes OX + y OY + a las distancias 3 y 4 del origen. (Solc: 13/5) 75. Hallar la longitd del segmento qe determina la recta x-2y+5=0 al cortar a los ejes de coordenadas. (Solc: ) 76. Hallar la distancia del pnto P(-1,2) al pnto de corte de las rectas x=2 y 2x+y-2=0 (Solc: 5) 77. Hallar la distancia del origen de coordenadas a la recta qe pasando por el pnto A(0,2) tiene de pendiente -1 (Solc: ) 78. Determinar c para qe la distancia de la recta x-3y+c=0 al pnto (6,2) sea de 10 nidades. (Aviso: pede haber dos solciones). Hacer n dibjo explicativo de la sitación. (Solc: c=±10) 79. Calclar el valor de a para qe la distancia del pnto P(1,2) a la recta ax+2y-2=0 sea igal a 2 (Aviso: pede haber dos solciones). Hacer n dibjo explicativo. (Solc: a=2) 80. Calclar las ecaciones de las dos rectas qe pasando por el pnto A(1,-2) disten 2 nidades del pnto 5 B(3,1). Se recomienda hacer n dibjo previo. (Solc: y + 2 = (x 1); x = 1 ) 81. Hallar la ecación de las dos rectas paralelas de pendiente 3/4 qe distan 2 nidades del pnto (2,3). (Ayda: se recomienda hacerlo en forma explícita). Hacer n dibjo de la sitación. 3 3 Sol : y = x + 4; y = x d(r,s): 82. a) Hallar la distancia entre las rectas 2x+3y-6=0 2x+3y+7=0 (Solc: 13 ) b) "" "" "" "" x = 2 3 x + 3 = y + 5 (Solc: ) y = 1+ 3 c) "" "" "" "" 3x-4y+16=0 2x-5y+2=0 (Solc: 0) 3 d) "" "" "" "" 3x-4y+16=0 y = x 1 (Solc: 4) Dada la recta 3x-4y+19=0, se pide: a) Hallar la ecación de la recta paralela a la anterior qe pasa por P(5,6), en todas las formas conocidas. (Solc: 3x-4y+9=0) b) Hallar la distancia entre las dos rectas anteriores. (Solc: 2 ) c) Hallar el ánglo qe dichas rectas forman con la recta 7x-y+3=0 (Solc: 45º) del ator (alfonsogonzalopez@yahoo.es) 105

50 Matemáticas I RECTAS 84. a) Hallar, en todas las formas conocidas, la ecación de la recta s qe tiene la misma pendiente qe r: y=3x-1 y pasa por P(-1,2) (Solc: 3x-y+5=0) b) Hallar la distancia entre las dos rectas r y s anteriores. (Solc: ) c) Hallar el ánglo qe forma r con la recta t: x-2y+4=0 (Solc: 45º) 85. Dados los sigientes pares de rectas, hallar m para qe sean paralelas y calclar s distancia: a) 3x-4y+1=0 (Solc: m=-6; d=6/5) mx+8y-14=0 b) mx+y=12 (Solc: m=-4/3; d=107/15) 4x-3y=m+1 c) 4x-3y+1=0 (Solc: m=-8; d=3/5) mx+6y+4=0 86. Calclar c para qe la distancia entre las rectas 4x+3y-6=0 y 4x+3y+c=0 sea igal a 3 (Sol: c 1=9, c 2=-21) 87. Dadas las rectas de la figra adjnta (el dibjo es aproximado), se pide: r: 3x-4y-17=0 s: y=7x+2 r : 3x-4y+5=0 P s a) Razonar qe r y s son secantes, y r // r b) Hallar P=r s [Solc: P(-3/25,29,25)] c) Hallar la ecación general de s, sabiendo qe dista 5 nidades de s. (Solc: y=7x+2±252) d) Hallar el ánglo entre r y s e) Hallar d(r,r ) 88. a) Hallar la ecación de la recta r de la figra en todas las formas conocidas. (Solc: 3x-4y+1=0) b) Hallar la ecación general o implícita de la recta r sabiendo qe dista 2 nidades de r ( No vale intentando obtener pntos de r a partir de la gráfica!). (Solc: 3x-4y+11=0) c) Hallar la ecación de la recta a r qe pasa por el origen, en forma explícita. (Solc: 4x+3y=0) 89. Dada la recta r: x+y-3=0 y el pnto P(-1,2), se pide: a) Hallar, en todas las formas conocidas, la ecación de la recta a r qe pasa por P (Solc: x-y+3=0) b) Hallar el pnto M de corte de la recta anterior y r (Solc: (0,3)) c) Hallar el pnto simétrico de P respecto de r. Hacer n dibjo aproximado explicativo. (Solc: (1,4)) d) Hallar la ecación general de la recta // a r qe pasa por P (Solc: x+y-1=0) e) Hallar la distancia entre la recta anterior y r. Hacer n dibjo aproximado explicativo. (Solc: 2 ) f) Hallar la posición relativa de r y la recta s: 2x-y+5=0 (Solc: Secantes) g) Hallar el ánglo entre r y s (Solc: 71º 33' 54'') del ator (alfonsogonzalopez@yahoo.es) 106

51 90. Estdiar la posición relativa de las rectas Dibjarlas. r : Matemáticas I RECTAS x 1 y + 3 = y s : 5x + 2y + 5 = 0, y hallar s distancia. 2 5 (Solc: 4/29) 91. Hallar k para qe las rectas r : x 1 y + 3 = y s : 5x + 2y + k = 0 sean: a) Coincidentes. (Sol: 1) 2 5 b) Disten 2 nidades (Sol: 1±229) 92. a) Hallar la ecación de la recta s paralela a la recta r de la figra y qe pasa por el pnto P(1,-3), en todas las formas conocidas. (Solc: x+y+2=0) b) Estdiar la posición relativa de la recta s anterior y la recta t:3x-4y-1=0 c) Dibjar t (en la cadrícla adjnta). d) Hallar el ánglo s t (Solc: 81º 52') (aproximando a los mintos). 135º e) Hallar la distancia de s a la bisectriz del 2º cadrante. (Sol: 2) Bisectriz: * 93. a) Hallar las dos bisectrices del ánglo formado por r: 4x+3y-5=0 y s: 3x+4y-2=0. Comprobar qe se trata de dos rectas perpendiclares qe se cortan en el mismo pnto qe r y s. (Solc: x-y-3=0; x+y-1=0) b) Ídem con r: 4x-3y+8=0 y s: 12x+5y-7=0 (Solc: 8x+64y-139=0; 112x-14y+69=0) 94. Volver a hacer el ejercicio 49, pero aplicando la fórmla de la distancia pnto-recta. Área del triánglo: 95. a) Calclar el área del triánglo de vértices A(1,2), B(-1,4) y C(2,0) (Sol: 1 2 ) b) " " " " " " A(2,-1), B(-5,1) y C(0,3) (Sol: 12 2 ) c) " " " " " " A(-3, -2), B(9,7) y C(2,8) (Sol: 37,5 2 ) 96. a) Hallar el área del triánglo definido por las rectas r: x=3, s: 2x+3y-6=0, t: x-y-7=0 (Sol: 24/5 2 ) b) Hallar el área del triánglo definido por las rectas r: y=5, s: 2x-y-3=0, t: x+y-3=0 (Sol: 12 2 ) 97. Hallar el área del cadrilátero de vértices A(-4,3), B(0,5), C(4,-2) y D(-3,-2) (Solc: 71/2 2 ) 98. Determinar el área del paralelogramo OABC y las ecaciones de los lados AB y BC sabiendo qe OA es la recta de ecación x-2y=0, OC tiene de ecación 3x+y=0 y las coordenadas de B son (3,5) (Solc: AB: 3x+y-14=0; BC: x-2y+7=0; 98/5 2 ) Cestiones teórico-prácticas varias: 99. TEORÍA: a) Si la distancia entre dos rectas es cero, podemos afirmar qe son secantes? del ator (alfonsogonzalopez@yahoo.es) 107