VECTORES - PRODUCTO ESCALAR - 1 -

Transcripción

1 VECTORES - PRODUCTO ESCALAR - - Observa el rombo de la figra y calcla: B a) AB + BC b) OB + OC c) OA + OD d) AB + CD A O C e) AB + AD f) DB CA Expresa los resltados tilizando los vértices del rombo. D a) AC b) AB = DC c) BA = CD d) AA = 0 e) AC f) DC 0 A la vista de la figra, dibja los vectores: + v, v, + v, v, + v, v v Si tomamos como base (, v ), cáles son las coordenadas de los vectores qe has dibjado? v + v v v v v v v v + v + v v v + v = (, ) v = (, ) + v = (, ) v = (, ) + v = (, ) v = (, ) Escribe las coordenadas de a, b, c, d, e con respecto a la base B( x, y). a c d y x b e a (, ) b (, ) c (, ) d (, ) e (, 0) 7 Dados los vectores a (, ), b(, ) y c(0, ), calcla m y n de modo qe: c = m a + n b. (0, ) = m (, ) + n (, ) 0 = m n = m + n Despejando en la primera ecación n = m y sstityendo en la segnda: = m + 6m = m m = n =

2 Cáles de los sigientes pares de vectores forman na base? a) (, ), v(, ) b) (, 6), v (, ) c) (, ), v(, ) a) No, pes tienen la misma dirección ( = v). b) No, por la misma razón ( = v). c) Sí, tienen distinta dirección ( k v para calqier k). Basta con representarlos gráficamente para comprobarlo. 0 Dados (, ), v(, ) y w(, ), calcla: a) ( + v ) w b) w v w c) ( v) w d) ( v v) a) + v = (, ) + (, ) = (6, ) + ( 6, ) = (0, ) ( + v) w = (0, ) (, ) = 0 + = 0 + = b) w = (, ) (, ) = = 6 v w = (, ) (, ) = + = w v w = 6 ( ) = 6 + = c) v = (, ) (, ) = 6 + = ( v) w = (, ) = (, 6) d) v v = (, ) (, ) = + = 0 ( v v ) = (, ) 0 = (0, 0) Calcla x, de modo qe el prodcto escalar de a(, ) y b(x,) sea igal a 7. (, ) (x, ) = 7 x 0 = 7 x = 7 Dado el vector (, k) calcla k de modo qe: a) sea ortogonal a v(, ). b) El módlo de sea igal a. a) v v = 0 (, k) (, ) = 0 0 k = 0 k = 0 b) = ( ) + k = + k = + k = k = k = ± Hay, pes, dos solciones. Halla las coordenadas de n vector v(x, y), ortogonal a (, ) y qe mida el doble qe. v v = 0 x + y = 0 v = x + y = + 6 = = 0 x + y = 00 Despejamos x en la primera ecación y sstitimos en la segnda: 6 x = y ( y) + y = 00 y + y = 00 y = 00 y = ±6

3 Si y = 6 x = 6 = 8 v ( 8, 6) v Si y = 6 x = ( 6) = 8 v (8, 6) El problema tiene dos posibles solciones, tales qe: v = v v Dados a(, ) y b(6, ), halla n vector v tal qe v a = y v b. (x, y) (, ) = x + y = (x, y) (6, ) = 0 6x + y = 0 Mltiplicamos los dos miembros de la primera ecación por ( ) y smamos miembro a miembro: x y = 6x + y = 0 x = x = Sstitimos en na ecación; por ejemplo en la segnda y despejamos la otra incógnita: 6x + y = 0 6 ( ) Así, nestro vector será: v (, ) 6 + y = 0 y = = y = Siendo (, b) y v(a, ), halla a y b, sabiendo qe y v son ortogonales y qe v =. Si v, entonces v = 0 (, b) (a, ) = 0 a b = 0 Si v =, entonces a + = a + = a Entonces: Si a = b = = a Si a = b = = a + = a = ± Lego hay dos posibles solciones: (, ), v (, ) O bien: (, ), v (, )

4 6 Halla el ánglo qe forman los sigientes pares de vectores: a) (, ), v(, ) b) m(, 6), n(, ) c) a(, 6), b(, ) a) Utilizamos las dos expresiones para calclar v: v = + ( ) = 7 v = v cos (, v) = 6 cos (, v) Igalando las dos expresiones, se tiene: 7 = cos (, v) cos (, 7 6 v) = = 0,8 6 Lego: (, v) = ' 8" b) Despejando directamente en la definición: m n = m n cos ( m, n) cos ( m, m n + 6 ( ) n) = = m n 0 = = 0 de donde: ( m, n) = 0 (basta con ver qe m n = 0) c) cos ( a, a b / 8 7/ b) = = = = = a b 7 7/ (7 )/ Lego: ( a, b) = 7 En na circnferencia de centro O y de radio cm, se inscribe n hexágono de vértices A, B, C, D, E, F. A B Calcla los prodctos: a) OA OB b) OA OC c) AB ED d) BC EF F 60 O C a) OA OB = OA OB cos ( OA, OB) = cos 60 = = A b) OA OC = cos 0 = ( ) = c) AB ED ( *) = cos 0 ( *) = = (*) OAB es n triánglo eqilátero, lego: E D F 60 O B C Razonamos igal para ED. AB = OA = d) BC = EF (mismo módlo, misma dirección y sentido opesto) Lego: BC EF = cos 80 = ( ) = E D

5 8 Dado el vector (6, 8), determina: a) Los vectores nitarios (módlo ) de la misma dirección qe. b) Los vectores ortogonales a qe tengan el mismo módlo qe. c) Los vectores nitarios y ortogonales a. a) Si v tiene la misma dirección qe, entonces: O bien (, v ) = 0 O bien (, v ) = 80 En el primer caso, si el ánglo qe foman es 0, entonces: v = 6x 8y = v cos 0 6x 8y = 0 = 0 6x 8y = 0 Por otro lado, como v = x + y = x + y = 0 + 8y x = = 6 + y qe, sstityendo en la segnda ecación, qeda: x + y = + y = + 6y + 0y + y = y + 0y + 6 = 0 0 ± y = = 0 Calclemos ahora x: Así: v = (, ) + y + ( /) x = = = En el segndo caso, es decir, si (, v ) = 80, entonces debe ocrrir qe v y v formen 80, es decir, qe sean opestos. Lego: v (, ) + 6y + 0y b) v 8y (x, y) (6, 8) = 0 6x 8y = 0 x = = y 6 v = x + y = 0 x + y = 00 ( y) + y 6 = 00 y + y = 00 y = 00 y = 6 y = ±6 Si y = 6 x = 6 = 8 v (8, 6) Si y = 6 x = 8 v ( 8, 6) c) v = x + y = x + y = v 6x 8y = 0 x = 8y 6 = y

6 y ( ) + y = y + y = y = y = y = ± Si y = x = = Si y = x = ( ) = Así, v = (, ), v (, ) 6 0 Halla el valor qe debe tener k para qe los vectores x = k a + b e y=k a b sean perpendiclares, siendo a(, ) y b(, ). x = k (, ) + (, ) = (k +, k + ) y = k (, ) (, ) = (k, k ) Como qeremos x y x y = 0 Entonces: (k +, k + ) (k, k ) = 0 (k + ) (k ) + ( k + ) ( k ) = 0 k + k = 0 0k = k = ± 0 (dos solciones) De los vectores a y b sabemos qe a = y b = y qe forman n ánglo de 0. Calcla a b. Como: v v = v v cos 0 = v = v entonces podemos decir qe: a b = ( a b) ( a b) = a a a b + b b = = a a b cos ( a, b) + b = = cos 0 + = 0 ( ) Lego: a b = 7 + = 6 Si = 7, v = y + v = 0, qé ánglo forman y v? Razonando como en el problema reselto número 8, llegamos a: Sstityendo los valores conocidos: + v = + v cos (, v) + v 0 = cos (, v ) + 00 = + 70 cos (, v ) + cos (, v ) = = 0,7 (, v ) = 68 ' 6," 00 70

7 7 Se sabe qe c = a + b y d = a b son perpendiclares y qe a y b son nitarios. Cál es el ánglo qe forman a y b? Si c d c d = 0 ( a + b) ( a b) = 0 a a a b + 0 b a 8 b b = 0 Como a y b son nitarios a = = b a + 6 a b 8 b = + 6 a b 8 = 0 a b = = ab cos ( a, b) = cos ( a, b) = ( a, b) = Calcla x para qe los vectores a(7, ) y b(, x) formen n ánglo de. a b = 7 + x = ab cos 7 + x = 0 + x + x + x = 00 ( + x ) = + x x = + x + x + x = + x + x + x = + x x x = 0 x 7x = 0 x = 7 ± + 76 x = / x = / 0 Halla las coordenadas de cierto vector x, sabiendo qe forma n ánglo de 60 con a(, ) y qe los módlos de ambos son igales. a = 0 = x Sea x(m, n) a x = a x cos 60 m + n = 0 0 m + n = 0 m + n = 0 m + n = 0 m = Sstityendo en la segnda ecación: 0 n = n ( n) + n = 0 + n 0n + n = 0 n n + = 0 ± 6 n = = ± n = 0,7 n =,7 Si n = 0,7 m = 0,7 =,6 x = (,6; 0,7) Si n =,7 m =,7 =,6 x = (,6;,7)

8 Dados los vectores (, ) y v(6, ), halla la proyección de v sobre. v = (proy. de v sobre ) (proy. de v sobre v ) = = = = = Dados los vectores a(, ) y b(, ), calcla la proyección de a sobre b y la de b sobre a. a b = a (proy. de b sobre a) a b = b (proy. de a sobre b) proy. de b sobre a b 0 6 a = = = = a proy. de a sobre a b 0 6 b = = = b Compreba qe los pntos medios de los lados del cadrilátero de vértices A(, ), B(, ), C(0, ), D(0, ) son los vértices de n paralelogramo. Sean P, Q, R y S los pntos medios de los lados del cadrilátero, como se indica en la figra. PQ = SR = AB + AD + BC = (6, 6) + (6, 0) = (, ) + (, ) = (6, ) DC = (, 6) + (0, ) = (, ) + (, ) = (6, ) Lego: PQ = SR (misma dirección, mismo módlo) Por tanto, los lados PQ y SR son igales y paralelos. SP = RQ = Así, DA + DC + AB = (, 6) + (6, 6) = (, ) + (, ) = (, 6) CB = (0, ) + ( 6, 0) = (, ) + (, ) = (, 6) SP = RQ los lados opestos SP y RQ son igales y paralelos. Podemos conclir, por tanto, qe PQRS es n paralelogramo.