Tema 10 Ejercicios resueltos

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1 Tema 1 Ejercicios reseltos 1.1. Determinar el campo de eistencia de las fnciones sigientes: - 1 f(, ) = log f(, ) = ç è + ø f(, ) + - = ( f (, ) = log - 3 ) Calclar los límites de las sigientes fnciones reales de dos variables: + sin(( -1) ) (1,) sin ç è + ø 1.3. Calclar los límites: e (,1) / -1 ( 1 sin( )) + 1 log( + 1) ( ) 1

2 1.4. Calclar los límites sigientes: (, ) e 1sin e Calclar las derivadas parciales de primer orden de las sigientes fnciones reales de dos variables: 4 f (, ) = f (, ) = f(, ) ep + = - ç f(, ) = log çè ø ç çè 3 ø 1.6. Calclar las derivadas parciales en el origen de las sigientes fnciones reales de dos variables: ì /, si ¹ ì +, si ³ f(, ) í f(, ) í î, si = î +,si< ì (3+ 1), si ³ ì 1 f(, ) sin( ), si ¹ = í f(, ) í î - -, si < î, si = 1.7. Estdiar la diferenciabilidad de las sigientes fnciones reales de dos variables calclar s matriz jacobiana en n pnto calqiera en el qe la fnción sea diferenciable: 4 f (, ) = f (, ) = f (, ) = ep( - ) f (, ) = + sin( ) 1.8. Calclar la derivada direccional de las sigientes fnciones reales de dos variables en el pnto según la dirección del vector qe se indica: f (, ) = log + 3, a= (1, ); = (, -1) 4 f (, ) 3 4 a 4 a = + -, = (1,- 3); = (-,-1) f (, ) = + ep(3-4 ), = (,3); = (-3,-) Tema 1: Ejercicios reseltos

3 1.9. Se considera la fnción real de dos variables definida por: ì +,si ¹ f(, ) í î +, si = Calclar las derivadas parciales en el origen razonar la eistencia del vector gradiente en el origen calclarlo, si procede. Razonar si es cierta la afirmación: para calqier vector nitario = ( 1, ), se verifica la igaldad D f = Se considera n rectánglo de base a altra b. Aplicando el concepto de diferencial de na fnción, calclar aproimadamente cál es la variación de la diagonal del rectánglo si la base se alarga D a la altra se acorta D b. Comparar esta aproimación con el cálclo del valor eacto. Haced los cálclos en el caso concreto sigiente: a = 15cm, b = 7 cm, D a = mm, D b =- 1mm Demostrar qe el error relativo qe se comete en el cálclo del prodcto de dos factores se pede aproimar por la sma del error relativo cometido en el cálclo de cada no de los factores Calclar la ecación del plano tangente de la recta normal a las sperficies sigientes en el pnto qe se indica: 4 z = + 3-4, P = (1,, 4) z= sin( ), P = (1,, ) z 1 log = + + ç çè ø, P = (1, 1, ) Calclar la derivada de la fnción largo de la crva rt () = (, t t). f (, ) = + en el pnto (1,) a lo Calclar las derivadas parciales de segndo tercer orden de las sigientes fnciones reales de dos variables: 4 f (, ) = f (, ) = Tema 1: Ejercicios reseltos 3

4 f(, ) = ep - ç çè ø + f(, ) = log ç çè 3 ø Calclar las derivadas parciales de primer orden de las sigientes fnciones reales de tres variables: z f (,, z) = + 3 z - 4z f (,, z) = 4e + - z+ 3 f ( z,, ) ep + z = - + sin( z) ç f(,, z) = log çè ø ç çè 3 z ø Calclar la ecación del plano tangente de la recta normal a las sperficies sigientes en el pnto qe se indica: 3 + z- - 1=, P = (, 1, 4) + + z - 9=, P = (, 1, ) Calclar las derivadas parciales de segndo tercer orden de las sigientes fnciones reales de tres variables: z f (,, z) = + 3 z - 4z f (,, z) = 4e + - z+ 3 f ( z,, ) ep + z = - + sin( z) ç f(,, z) = log çè ø ç çè 3 z ø Calclar las derivadas de las fnciones sigientes: dz dt d dt si, t si z f ( tsin( t), e ) v = con f diferenciable = +, sin( t) DzDz si z f (, ) =, = ep( ) = con f diferenciable = v, = 3v Demostrar qe si f : es na fnción derivable se considera la fnción z= f( + a), aî entonces se cmple la relación Dz= adz 4 Tema 1: Ejercicios reseltos

5 1.. Demostrar qe si f : es na fnción derivable se considera la fnción z = f ( - ) entonces se cmple la relación 1 1 z Dz + Dz = 1.1. Se considera la fnción f : (1), f(, ). (1 ), definida por 1) Calclar las derivadas parciales de la fnción en el pnto. ) Estdiar la diferenciabilidad de la fnción en el pnto. 3) Calclar la variación de la fnción en el pnto a lo largo de la recta de ecación. 4) Se considera la sperficie z f(, ) ; calclar la ecación del plano tangente a esta sperficie en el pnto (,,) calclar el ánglo qe forma el vector director de este plano con el eje OX. Tema 1: Ejercicios reseltos 5