2.3. Plano tangente a una superficie paramétrica. Sea la superficie paramétrica S determinada por la función vectorial

Transcripción

1 .3. Plano tanente a na sperficie paramétrica. Sea la sperficie paramétrica S determinada por la fnción ectorial ( ) R R en el pnto P, cyo ector posición 3 : /, x,, y,, z, es (, ). Si se mantiene a constante mediante, entonces (, ), en na reión D del plano se conierte en na fnción ectorial de n parámetro, qe define a na cra C 1 qe está inclida en la sperficie S. El ector tanente a C1 en P se obtiene tomando la deriada parcial de con respecto a : x y z (, ) (, ) Fira 5. Vector Tanente de la cra C 1. De manera análoa, si se mantiene a constante mediante, en na reión D del plano, entonces se conierte en na fnción ectorial de n parámetro,, qe define a na cra C qe está inclida en la sperficie S. El ector tanente a C en P se obtiene tomando la deriada parcial de con respecto a : x y z (, )

2 (, ) Fira 51. Vector Tanente de la cra C 1. Si, entonces a la sperficie S se le denomina como sperficie sae. Para na sperficie sae, el plano tanente contiene los ectores tanentes y y el ector es n ector normal al plano tanente. Para constrir este ector normal, se determinarán dos ectores qe definan las direcciones de las rectas tanentes a la sperficie S en n pnto P. Para ello como se mencionó anteriormente se toma deriada parcial de con respecto a, de manera qe x, y, z x, y, z es el ector tanente a la cra C 1 enerada en la sperficie S, cando en el plano se toma a, para el pnto P. Análoamente, el x y z ector,, ( x, y, z ), resltante de la deriada parcial de con respecto a, es n ector director de la recta tanente a la cra qe se enera en la sperficie S, cando en n plano se toma a para el pnto P. De esta manera, el ector normal n qe se desea determinar, debe ser perpendiclar a y a. Se obtiene pes, del prodcto ectorial de los ectores y, es decir n. Esto es,

3 n iˆ ˆj kˆ x y z x y z ( x, y ) y z x z x y ˆ ˆ i + j+ kˆ y z x z x y ˆ ( x, y ) yz, ˆ xz, ˆ xy, i + j+ k,,, ( x, y ) Esta última expresión, en donde se tiene a los determinantes jacobianos, es entonces la qe permite determinar n ector perpendiclar a na sperficie sae S, dada paramétricamente por la fnción ectorial (, ) ( x (, ), y(, ), z(, )) pnto P ( x, y, z) ( x(, ), y(, ), z(, ) ) en el perteneciente a dicha sperficie. EJEMPLO 48. Determine el ector normal al plano tanente a la sperficie definida por x + y + z 4, en el pnto ( x, y, z ) ( 1,1, ) Solción. Una parametrización para esta sperficie se define a traés de las 3 coordenadas esféricas ( ϕ) cos( θ) ( ϕ ) sen x : R R / θϕ, sen ϕ sen θ y cos z en donde θ π y ϕ π. Para el pnto en el qe se desea determinar el ector normal del plano tanente (,, ) ( 1,1, ) ( θ ϕ ) x y z, el alor de los parámetros está dado por π π,,. Como el ector normal n se define como n rθ rϕ, se determinan 4 4 los ectores tanentes r θ y r ϕ ealados en el pnto ( θ ϕ ) mestra a continación π π,, 4 4 como se

4 r θ x y z θ θ θ ( θ, ϕ ) ( sen sen,sen cos,) ( 1,, ) ϕ θ ϕ θ π π, 4 4 r ϕ x y z ϕ ϕ ϕ ( θ, ϕ ) ( cos cos,cos sen, sen) ( 1,1, ) ϕ θ ϕ θ ϕ π π, 4 4 Realizando el prodcto ectorial entre estos dos ectores se obtiene el ector normal n, esto es iˆ ˆj kˆ n r r 1,, 3 θ ϕ 1 1 Fira 5. Sperficie esférica del Ejemplo 48. EJEMPLO 49. Determine el ector normal al plano tanente a la sperficie definida por z y x , en el pnto ( x, y, z ) (,1,3) Solción. Se tiene definida na sperficie en forma explicita de la forma y ( x, z), por lo qe na parametrización para esta sperficie esta dada por la siiente fnción

5 x R R y. El plano tanente a la sperficie z ectorial : 3 / (, ) en el pnto ( x, y, z ) (,1,3), tiene como parámetros los alores de (, ) (,1). Dado qe n, se determinan los ectores tanentes r y r ealados en el pnto (, ) (,1) como se mestra a continación x y z ( 1,, 6) (,1 ) ( 1,, ) (, ) x y z (,1, 4) (,1 ) (,1, 4) (, ) Por lo qe al calclar el prodcto ectorial entre los ectores resltantes se determina el ector normal al plano tanente iˆ ˆj kˆ n 1, 4,1 1 4 Fira 53. Paraboloide elíptico del Ejemplo 49. EJERCICIOS PROPUESTOS.4.

6 Determine el ector normal nitario a las sperficies dadas, en el pnto (,, ) indicado. 1) z x y ) z x xy 3y 3) z x y 1 4) z y en el pnto ( x, y, z ) ( 1,,9) + en el pnto ( x, y, z ) ( 1,,15) + + en el pnto ( x, y, z ) ( 1,,) + en el pnto ( x, y, z ) ( 3,1,) x y z,