; implícitas: x = 0. z. ; implícitas: -x+3y+2z = 0. z. , en general.

Transcripción

1 Solciones de la hoja Espacio Vectorial Crso 9- - En cada caso, determinar si F es n sbespacio ectorial de R En caso afirmatio, bscar na base nas ecaciones implícitas paramétricas de F F,, R /, R a) b) c) F,, R /, R F,,z R / z F,, R /,, R d) e) F = {(,,z)r / ++z =, z = - } f) F = {(,,z)r /,, z} g) F= {(,,z)r / má(,,z)<} Solción: a) No es sbespacio, pes F b) Sí es sbespacio; na base es,,,,, Ecaciones paramétricas: ; implícitas: = z c) Sí es sbespacio; na base es,,,,, Ecaciones paramétricas: d) No es sbespacio; F ; implícitas: -++z = z, en general e) En este caso, el sistema + + z = se pede escribir z = - z abreiadamente AX= el sbconjnto F={X/AX=} siendo A X ; ;, entonces, K, a,bfabf se z a XF AX cmple, pesto qe reslta qe ab XX F a qe b X F AX A( X) B( X) AXAX Tenemos n sbespacio ectorial, por ser n sistema de ecaciones lineales homogéneo U D de Matemáticas de la ETS de Ingenieros en Topografía, Geodesia

2 Solciones de la hoja Espacio Vectorial Crso 9- Para obtener na base resolemos dicho sistema qedando base posible {(,,-)} z z na f) En este caso: F = {(,,z)r /,, z} basta con considerar n ector (,,) del sconjnto F obserar qe s opesto (-)(,,) = (-,,) a no es n ector del sbconjnto F, a qe no se cmple Por tanto F no es n sbespacio ectorial g) F = {(,,z)r / má(,,z)<} es n caso análogo al anterior, tomando al ector (/,,) del sbconjnto F se le mltiplica por se obtiene (/,,)=(/,,) con /> por consigiente (/,,) F, lego F no es n sbespacio ectorial - Definimos en R las operaciones sigientes:,,,,, Determinar, para la sma, el elemento netro el elemento opesto de (, ) Probar qe R con dichas operaciones es n espacio ectorial Solción: Preiamente comprobemos qe R con la sma tiene estrctra de grpo abeliano: [A] Asociatia: a+b +c =a+ b+c abc,, R Sean a (, ), b (, ), c (, ) R entonces: a+b +c= (,)+(,) +(,)=(+,++)+(,)= (+)+,(+)++ a+ b+c =(,)+ (,)+(,) =(,)+(+,++)= +(+),+(+)+ Por ser R n cerpo se cmple la asociatia se tiene qe a+b +c=++,+++ =a+ b+c se erifica la propiedad asociatia =a+ b+c a+b +c [A] Eistencia de elemento netro: Eiste n elemento el ector nlo, qe designaremos (, ) qe erifica qe a a a para calqier a R En efecto: a (,) (, ) (, ) (,) a por otra parte a (, ) (,) (, ) (,) a lego a a a (, ) es el ector nlo [A] Eistencia de elemento simétrico: Para calqier a R eiste n único elemento de R, qe designaremos por - a = (, ) = (-, --) tal qe a ( a) ( a) a U D de Matemáticas de la ETS de Ingenieros en Topografía, Geodesia

3 Solciones de la hoja Espacio Vectorial Crso 9- El elemento a (, ) es el elemento opesto del ector a (, ) R a qe a ( a) (,) (, ) (,) (, ) qe ( a) a (, ) (,) (, ) (, ) se cmple a ( a) ( a) a [A] Conmtatia: a+b = b +a ab, R Sean a (, ), b (, ) R entonces: a+b=(,)+(,)=(+,++) permtando b+a=(,)+(,)=(+, ++) por ser conmtatio R a+b = b +a Por tanto, es (R,+) n grpo conmtatio (,)=(, +-) Vamos a estdiar las catro condiciones: [A] (a b) a b K ab, R En efecto: (a b) (,)+(,) = (+,++) = =( +, ) (, + -)+(, + -) a b [A6] ( )a a a, K a R En este caso: ( )a,,,,,,,, a a [A7] a ( ) a, K a R Ahora: a (,),, ( )(,) ( )a [A8] El elemento nidad del cerpo K, qe designaremos por, erifica a a para calqier a R Por último: a (,) (, ) (,) a Cmple las ocho condiciones con estas operaciones R es n espacio ectorial sobre K - Sea A={(,,), (-,,), (-,,), (,,)} Indicar si son correctas o falsas las sigientes cestiones: a) A es libre b) A es sistema generador de n sbespacio ectorial c) A es na base de R d) rango(a)= e) El ector (,,) es combinación lineal de los ectores de A f) El ector (,,) A Solción: a) Falso, el sistema A de catro ectores de n espacio ectorial de dimensión es siempre ligado, pesto qe el maor número de ectores linealmente independientes es U D de Matemáticas de la ETS de Ingenieros en Topografía, Geodesia

4 Solciones de la hoja Espacio Vectorial Crso 9- b) Verdadero, calqier sistema de ectores genera n sbespacio ectorial c) Falso, por no ser libre d) Falso, no ha menores de orden ; r e) Verdadero, es no de los ectores de A f) Falso, no se pede poner como combinación lineal de los ectores de A, r - Sea P n () el espacio ectorial de los polinomios con coeficientes reales de grado menor o igal qe n Demostrar qe el polinomio n ss n primeras deriadas forman na base de P n () e indicar las coordenadas del polinomio ++ en esta base Solción: Deriando Q n ()= n Q n ()=n n - ; Q n ()=n(n-) n- ; ; Q n n) ()=n! Tenemos qe {Q n (), Q n (), Q n (),, Q n n) ()} qe demostrar qe es na base de P n () El espacio ectorial P n () a n a a an /ai R es de dimensión n+ Es sficiente con demostrar qe calqier ector se pede poner como combinación lineal de las scesias deriadas: P () a a a a Q () Q () Q () Q () n n) n n n n n n n n n n n n(n ) nn! U D de Matemáticas de la ETS de Ingenieros en Topografía, Geodesia

5 Solciones de la hoja Espacio Vectorial Crso 9- a n n a a n n a n a n n(n ) a n nn! a a n n n(n ) El sistema formado por las scesias deriadas es sistema generador de calqier polinomio el número de polinomios coinciden con la dimensión, por tanto, forma na base n! En particlar, ++ =, entonces (,/,/) son las coordenadas respecto de la base {,,} - Si lo son? a) b) c) d) Solción:,, w, z es libre, cáles de los sigientes conjntos también, w, w, w, w, w, w z, z, w, w z, z a) No es libre: w w w b) Sí es libre: w w U D de Matemáticas de la ETS de Ingenieros en Topografía, Geodesia

6 Solciones de la hoja Espacio Vectorial Crso 9- w c) No es libre: w w z z w z d) No es libre: w w z z w z 6- Sean F F los sigientes sbespacios ectoriales de / F F / R : Analizar si F F son sbespacios splementarios de R obteniendo la descomposición de calqier ector F Solción: F Sea F F,, R en sma, donde con, es decir,,,, con =, por tanto, Lego, F F F V En efecto: F U D de Matemáticas de la ETS de Ingenieros en Topografía, Geodesia 6

7 Solciones de la hoja Espacio Vectorial Crso 9- V, i i,,,, t,, t t,, t t t t i i F t i F, i,, t t t Qeda demostrado qe V F F, es decir, qe F F son sbespacios splementarios 7- Sea el sbespacio ectorial F generado por los sigientes ectores de espacio ectorial R : (,,,); (,,,); (,,,) Se pide: a) Rango de H ; ; Qé clase de sistema es H? Eiste algna relación de dependencia entre los ectores,? b) Dimensión na base F c) Las coordenadas de los ectores, respecto de la base obtenida en el apartado anterior d) Unas ecaciones paramétricas de F e) Unas ecaciones cartesianas o implícitas de F f) A partir de las ecaciones cartesianas otras ecaciones paramétricas distintas del apartado d) g) El ector (,,,) pertenece o no a F? h) Una base B del espacio ectorial R qe contenga a los ectores de na base de F i) Las ecaciones del cambio de base de la base B (del apartado anterior) a la base canónica B c de R j) Las ecaciones del cambio de la base B c a la base B k) La epresión analítica del ector e de la base canónica respecto de la base B Solción: a) El rango del sistema de ectores H se halla como rango de la matriz formada por dichos ectores qe es, entonces r(h)= El sistema H es ligado la relación de dependencia eistente es, como se compreba fácilmente b) Ya qe H ; ; es ligado se cmple F H ; Tenemos qe B F ={ ; } es na base del espacio ectorial F s dimensión es, el cardinal de calqier base U D de Matemáticas de la ETS de Ingenieros en Topografía, Geodesia 7

8 Solciones de la hoja Espacio Vectorial Crso 9- c) De la relación reslta (,) B coordenadas respecto de F la base B F para (, (, ) B F ) B F d) Veamos, nas ecaciones paramétricas de V Como F R se tiene qe,,,,,,,,,, o bien, Ecaciones paramétricas del sbespacio ectorial F, pes dando alores a los parámetros, se obtiene las coordenadas de los ectores de F, siendo la dimensión de F el número de parámetros linealmente independientes qe tienen ss ecaciones paramétricas e) Eliminando los parámetros obtenemos las ecaciones cartesianas o implícitas de F r(h) r por el teorema de Roche-Fröbenis r lego todos los menores de orden son nlos = son las ecaciones cartesianas o implícitas qe identifica a F; las coordenadas de calqier ector de F cmplen la ecación anterior Podemos obserar qe la dim F=dim R - número de ecaciones linealmente independientes Cando F=R no ha ecaciones cartesianas f) Se pede pasar de las ecaciones cartesianas a las ecaciones paramétricas, simplemente resoliendo el sistema de ecaciones En nestro caso, con la ecación se despeja na incógnita qedando en fnción de las otras dos otras ecaciones paramétricas de F g) Las ecaciones permiten saber qe ectores son del sbespacio ectorial F Sstitendo las coordenadas en las ecaciones -++= =, eidentemente no,,, se cmple, por tanto la respesta es qe F U D de Matemáticas de la ETS de Ingenieros en Topografía, Geodesia 8

9 Solciones de la hoja Espacio Vectorial Crso 9- U D de Matemáticas de la ETS de Ingenieros en Topografía, Geodesia 9 h) Ampliamos la base de F del apartado b) { ; } con el ector del apartado e) pesto qe no es de F consegimos { ; ;(,,,)} tres ectores linealmente independientes, basta consegir otro, por ejemplo (,,,) pesto qe eidentemente no pertenece a F qe no sea combinación lineal de los otros tres Por tanto, na base del espacio ectorial R es B={ ; ;(,,,);(,,,)}, a qe: r i) Las ecaciones del cambio de la base B a la base B c son: j) Las ecaciones del cambio de la base B c a la base B son: / / / k) La epresión analítica del ector e se obtiene de la segnda colmna de la matriz del cambio de base de B c a la base B, es decir, e e 8- Sean B w,, B w,, dos bases de R, tales qe w, w w Hallar las ecaciones del cambio de la base B a B de la base B a B Solción: El sistema w w w, en forma matricial sería: w w Calqier ector R se pede escribir respecto a las dos base B B en la forma matricial w z w z

10 Solciones de la hoja Espacio Vectorial Crso 9- Ahora sstitendo la ecación anterior, reslta w w w w z z z z Como la epresión de n ector respecto de na base es única qeda qe son las ecaciones del cambio de base de B a B z z Para obtener las ecaciones del cambio de base de B a B basta con despejar (,,z ) con respecto a (,,z) en el sistema anterior, z z z z z z 9- Dadas las bases de R, B={ = (,,), = (-,,), = (,,-)} B ={ = (,,), = (,,), = (,,)} a) Hallar la epresión analítica del cambio de base de B a B, de B a B de B a la base canónica b) Si a (,, ) respecto de B cáles son ss coordenadas respecto de B? c) Si b, escribir la epresión de b respecto de B Solción: c (,,), (,,), (,,) qe los ectores de las bases B B ienen referidos a la base canónica, tenemos los sistemas en forma matricial: e e e a) Si consideramos la base canónica B e e e e e e Calqier ector R se pede escribir respecto a las tres bases B, B B c en la forma matricial c e e e c z z z c U D de Matemáticas de la ETS de Ingenieros en Topografía, Geodesia

11 Solciones de la hoja Espacio Vectorial Crso 9- Ahora sstitendo las ecaciones anteriores, reslta c e e e c e e e z z z c e c e e e e e c z z z c Como la epresión de n ector respecto de na base es única qeda c c de donde, podemos obtener calqier z z c z cambio de base entre las tres bases consideradas, a saber B, B B c : c Cambio de base de B a B c : c z z c c Cambio de base de B a B c : c z c z Cambio de base de B a B: z z z Cambio de base de B a B : z z z z z 6 z z b) Para el ector a (,, ) respecto de la base B samos las ecaciones últimas 6 z z U D de Matemáticas de la ETS de Ingenieros en Topografía, Geodesia

12 Solciones de la hoja Espacio Vectorial Crso 9- U D de Matemáticas de la ETS de Ingenieros en Topografía, Geodesia sstitimos(,,z) por (,,) qedando 7 6 z, siendo (,7,-) las coordenadas del ector a respecto de la base B c) Análogamente para el ector b necesitamos las ecaciones del cambio de base de B a B: z z sstitimos (, z ) por (,,-) pesto qe B ) (,, b, de donde se obtiene - z con lo cal B B,, ) (,, b - Sea el sbespacio ectorial F de R generado por los sigientes ectores:,,, ;,,, ;,,, Se pide: a) Una base de F b) Ecaciones paramétricas de F c) Una base B de R qe contenga la base de F obtenida en el apartado a) d) Las ecaciones del cambio de base de la canónica B c de R a la base B (del apartado anterior) Solción: a) dimf= r Una base de F pede ser B={,,, ;,,, }

13 Solciones de la hoja Espacio Vectorial Crso 9- b) Ecaciones paramétricas de F t s t s t s c) Una base B de R pede ser B ={,,,;,,, e (,,,); e (,,,) } pesto qe el rango de la matriz formada con los ectores es ; d) Tenemos qe z z z z t t t t U D de Matemáticas de la ETS de Ingenieros en Topografía, Geodesia