Espacio Vectorial Abstracto

Transcripción

1 . Introducción Espacio Vectorial Abstracto Dado un conjunto E se denomina Ley de composición interna a la aplicación f : E E E de modo que a, be ; f ( a, b) c E que se suele expresar a b c, también se denomina operación. on ejemplos la suma (+) y el producto ( ) en R. Elementos notables respecto a una ley de composición interna. NEUTRO. ea ( E; ) un conjunto con una ley de composición interna, el elemento e E es neutro si a E a e a e a. on ejemplos el 0 para la suma y el para el producto. IMÉTRICO. ea ( E; ) un conjunto con una ley de composición interna y elemento neutro e E, el elemento a' E es elemento simétrico de a E si a a' e a' a. on ejemplos el (-) del para la suma y el ½ para el producto. Dados dos conjuntos K y E se denomina Ley de composición externa a f : K E E K, x E ; f (, x) x E. Estructuras algebraicas Magma: ( E; ). Conjunto con una ley de composición interna. emigrupo: a, b, ce a ( bc) ( a b) c La ley es asociativa. Grupo es un emigrupo con elemento neutro y simétrico. Grupo abeliano si la ley es conmutativa a, be a b b a. Anillo: ( E;, ) un conjunto con dos leyes de composición interna que respecto a la primera ley es grupo abeliano y la seguna ley es asociativa a, b, ce a ( bc) ( a b) c y distributiva respecto a la primera a, b, ce a ( b c) ( a b) ( a c). Anillo unitario: i para la segunda ley tiene elemento neutro. Cuerpo: Es un anillo unitario en el que todo elemento, salvo el 0 tiene inverso. a 0 tal que a a. i para la segunda a a a ley se da la propiedad conmutativa el Cuerpo es conmutativo.

2 . Espacio Vectorial (lineal) ea ( K;, ) un cuerpo conmutativo cuyos elementos se denominan escalares y ( E; ) un conjunto dotado de la UMA, cuyos elementos se denominan vectores. e dice que E es un espacio vectorial sobre K o también un K espacio vectorial si cumple dos condiciones: a. El conjunto E es un grupo aditivo abeliano. b. e define una ley de composición externa con dominio de operadores en K : K y x E x E que verifica los 8 axiomas: x, y, ze,, K ) Asociativa: x ( y z) ( x y) z ) Neutro: x 0 x 0 x. 3) imétrico: x ( x) 0 ( x) x. 4) Conmutativa: x y y x. 5) La ley externa es distributiva respecto a la suma de vectores: ( x y) x y. 6) La ley externa es distributiva respecto a la suma de escalares: ( ) x x x. 7) La ley externa es asociativa: ( ) x ( x). 8) El actúa como neutro para la ley externa: x x. Un cuerpo conmutativo se considera espacio vectorial sobre si mismo. on espacios vectoriales. El conjunto de los vectores libres con la suma de vectores y producto por escalar. El conjunto de los polinomios de grado n con la suma de polinomios y producto por escalar El conjunto de las matrices m n con la suma de matrices y producto por escalar. No son espacios vectoriales. El conjunto de los puntos de una recta del plano que no pase por el origen. Porque no incluye el (0,0) El conjunto de polinomios de grado n. Porque la suma puede no ser polinomio de grado n. El conjunto de las matrices cuadradas de orden que no son invertibles. Porque la suma puede ser una matriz invertible.

3 3. Propiedades elementales 3. e verifica u E 0 K : 0u 0 u u 0 ean K y u E : u ( 0) u u 0 u Como los primeros miembros son iguales los segundos también lo serán por tanto u 0 u 0u 0u 0 3. e verifica K 0 E: 0 0 u u 0 ean K y u E : u ( u 0) u 0 Como los primeros miembros son iguales los segundos también lo serán por tanto u 0 u e verifica u 0 0 o u 0 i 0 Demostrado ean K y u E : i 0, tal que Operando en el segundo caso por Resulta ( u) 0 ; u 0 u e verifica K u E : ( ) u ( u) u implemente operando con el opuesto de o u resulta u ( ) u ( ) u 0u 0 u ( u) ( u u) 0 0 u ( u) ( ) u 0u e verifica, K u E : u u u0 i se verifica u u operando con ( u) resulta u u 0 ( ) u 0 Al ser u e verifica, : 0 K u ve u v u v i se verifica u v operando con ( v) resulta u v 0 ( u v) 0 Al ser 0 u v 0 u v 3

4 Espacio Vectorial Abstracto Combinación Lineal ean E ( K ev) y un conjunto de vectores de E, A u, u,, up e dice que el vector u E es combinación lineal de los vectores del conjunto A si se verifica A los escalares,,, p K combinación lineal. p p p i i i u u u u x se denomina coeficientes de la Propiedades El vector 0 es combinación lineal de cualquier conjunto de vectores de E. Todo vector de E es combinación lineal de cualquier conjunto que lo contenga. ean A B dos partes de E. Toda combinación lineal de elementos de A es combinación lineal de elementos de B. 4. UBEPACIO VECTORIAL ean E ( K ev) y E, una parte no vacía de E. e dice que es un subespacio vectorial de E si con las leyes inducidas de E, resulta también ( K ev). Las condiciones que debe cumplir para ser subespacio vectorial de E son (No vacío) u, v u v (Cerrado para la suma) K, u u (Cerrado para el producto por escalar). Los conjuntos 0 y E son subespacios vectoriales de E que se denominan triviales (o impropios), siendo los demás subespacios propios. A veces se sustituye la segunda condición por u, v u v que es la condición necesaria y suficiente de subgrupo. 4

5 Ejemplos de subespacios:. El conjunto de las matrices simétricas de orden n es un subespacio vectorial del conjunto de las matrices cuadradas de orden n con la suma de matrices y producto por escalar. t A, A A A A simetrica t t t A A A A A A t t simetrica K, A A A A A. El conjunto de las matrices singulares de orden NO es subespacio del conjunto de las matrices cuadradas de orden con la suma de matrices y producto por escalar. Ya que la suma de dos matrices singulares puede ser una matriz regular A A ; A A ingular ingular Regular 3. El conjunto de los vectores de una recta que pasa por el origen es un subespacio del espacio vectorial R (plano). x y R x y (, ) / 0 ya que la suma de dos vectores es otro vector de la recta y el producto de un vector de la recta por un escalar es un vector de la recta. 4. El conjunto de los vectores de una recta que no pasa por el origen NO es un subespacio del espacio vectorial R (plano). x y R x y (, ) / ya que no contiene al vector 0 (0,0). 5

6 5. Condición de subespacio La parte no vacía de E, E, es un subespacio vectorial de E si y sólo si, K, u, v : u v Demostración La condición es NECEARIA ya que todo subespacio vectorial la verifica, pues la suma de dos vectores de es un vector de. La condición es UFICIENTE, basta comprobar que si se cumple la condición, es un subespacio vectorial de E. a) ya que al menos u, v. b) i u, v u v c) i 0 u 6. Intersección de subespacios ean, dos subespacios vectoriales de E. e denomina Intersección de y al conjunto xe / x y x es decir el conjunto de vectores de E que pertenecen a ambos subespacios. Proposición: La intersección de subespacios es un subespacio vectorial de E, que se denomina UBEPACIO INTERECCIÓN. Demostración Vamos a comprobarlo mediante el criterio de ubespacio. a) ean u, v u, v u, v b) Por ser ambos, subespacios vectoriales se verifica, K, u v ; u v u v es por tanto UBEPACIO. 6

7 7. ubespacio engendrado ean E ( K ev) y un conjunto de vectores de E, A u, u,, up e denomina subespacio engendrado por A al subespacio formado por los vectores de A y todas sus combinaciones lineales. e expresa mediante Vect ( A) u u u / K u, u,, u p p i p Los vectores de A forman un sistema generador de y al conjunto de las combinaciones lineales de dichos vectores se denomina envolvente lineal de. Ejemplo. Encontrar el valor de a para que el vector u (3, a,3) pertenezca al subespacio engedrado por u (,4,3), u (,,0). olución: Para que u pertenezca al subespacio engendrado por u, u debe ser combinación lineal de ambos. (3, a,3) (,4,3) (,,0) 3 4 a a Un sistema generador de un subespacio puede tener algunos vectores que a su vez sean combinación lineal de otros del conjunto Ejemplo. Comprobar si los vectores v(4,0,), w (,0,) pertenecen al subespacio engendrado por A u (,,), u (,0,), u (,,). 3 olución: Para que los vectores v y w pertenezcan al subespacio engendrado por u, u, u3 deben ser, respectivamente combinación lineal de los tres vectores. Hay que observar que se verifica u3 u (combinación lineal). 7

8 v (4,0,) (,,) (,0,) (,,) 4 0 istema incompatibe v w (,0,) (,,) (,0,) (,,) 0 istema compatible w pero al ser indeterminado, existen infinitas soluciones ; debido a que u3 u. 8. UMA DE UBEPACIO ean, dos subespacios vectoriales de E. e denomina uma xe / x x x : x, x es decir el conjunto de vectores de E que se obtiene sumando un vector x con otro vector x. Proposición: La suma de subespacios es un subespacio vectorial de E que se denomina UBEPACIO UMA. Demostración Vamos a comprobarlo mediante el criterio de ubespacio. u u u ; u, u a) ean u, v v v v ; v, v b) u v ( u u) ( v v), K que se puede ordenar ( u v ) ( u v ) u v es por tanto UBEPACIO. in embargo la unión de subespacios xe / x o x NO es subespacio vectorial pero engendra el subespacio uma. 8

9 9. Relación de Grassmann e verifica una relación entre las dimensiones del subespacio suma e intersección de subespacios vectoriales de E. dim( ) dim( ) dim( ) dim( ) 0. uma directa e define la suma directa de dos subespacios vectoriales de E. xe / x x x :! x,! x es decir la descomposición del vector x en dos vectores uno de y otro de es ÚNICA. También puede definirse e puede generalizar a más subespacios: Ejemplo en i i p 0 ( ) 0 i p R, Vect u (,0) Vect v (0,) R. es subespacio vectorial pero engendra ; no. ubespacios suplementarios ean, dos subespacios vectoriales de E. e dice que son suplementarios si se verifica E. 0 De forma general: ean,, subespacios vectoriales de E. e dice que y son subespacios suplementarios en si se verifica. 0. Proyector i E la aplicación f : E E que hace corresponder al vector ( x, x) E el vector x ; f ( x, x) x se denomina proyección de E paralelamente a. De forma análoga para se hace f : E E de modo que f ( x, x) x. 9

10 Espacio Vectorial Abstracto 3. Dependencia e independencia lineal ea E un K-ev. Los vectores x, x,, xp E son linealmente independientes si se verifica x x x x 0 0 i i p p p e dice que el conjunto de vectores... A x i p es Libre. ea E un K-ev. Los vectores x, x,, xp E son linealmente dependientes si se verifica x x ixi pxp 0 i 0 e dice que el conjunto de vectores A x i... p es Ligado. Todo conjunto de vectores que contiene al vector 0 es ligado. Rango de un conjunto de vectores es el número máximo de vectores linealmente independientes. Teorema Un conjunto de vectores... A xi i p es LIBRE si y solo si ningún vector es combinación lineal de los demás Demostración Directo: i xj A es combinación lineal de los demás, se expresará: x x x x j p p es decir x x x x 0 siendo (-) el coeficiente del j p p vector x j y por tanto el conjunto será ligado. Recíproco: i el conjunto A xi i... p es ligado y ningún vector es combinación lineal de los demás se verifica x x jx j pxp 0 j 0 por tanto existe elemento inverso. Operando con él resulta j x j x x pxp j j j luego al menos x j es combinación lineal de los demás en contra de la hipótesis. i i 0

11 También se verifica que si un vector es combinación lineal de unos vectores de un conjunto y estos a su vez son combinación lineal de unos vectores de un segundo conjunto, el vector es también combinación lineal de los vectores de este segundo conjunto.. 4. Base Un conjunto de vectores B e, e,, e n de E (K-ev), es una BAE si simultáneamente es LIBRE y GENERADOR del espacio vectorial. Teorema Todo vector de E (K-ev), se puede expresar como combinación lineal de los vectores de una base de E, siendo además la descomposición única. Demostración Por ser base es un sistema generador del espacio vectorial y por tanto cualquier vector de E se puede expresar como combinación lineal de los vectores de la base. Para ver que la descomposición es única x e e e e e e n n ( ) e ( ) e ( n n) en 0 por tanto,,, n n A estos escalares UNICO se les denomina COORDENADA de un vector, ó COORDENADA en la base B. n n ; n n n i x E x x e x e x e x e i i Base canónica n En R se considera el conjunto de vectores B e e e n (,0,,0), (0,,,0),, (0,0,,) que es un sistema libre y generador del espacio vectorial por tanto es una base que se denomina base natural o canónica y que se caracteriza por que el vector e i tiene su coordenada i y el resto nulas.

12 Dimensión Es el número de vectores de una base. Un espacio vectorial es de dimensión finita si existe un sistema generador finito. 5. Teorema de teinitz ea E un K-ev de dimensión finita y G un sistema generador finito. Todo sistema libre L consta de un número de vectores (cardinal) menor o igual que el número de vectores de G. card ( L) card ( G) Demostración G x, x,, x y L y, y,, y. La demostración consiste ean p q en formar otros sistemas generadores en los que los vectores de L desplacen a los de G. i, y L y G y x x p x p por ser G un sistema generador de E. Algún i 0 pues de lo contrario y 0 y no sería L un sistema libre para fijar ideas sea 0 x y x pxp. Así se obtiene un nuevo sistema generador G y, x,, xp ha desplazado a x. en el que y Actuando de forma análoga se obtienen otros sistemas generadores en los que y, y,, y q sustituyen a x, x,, x q llegando por fin al sistema Gq y, y,, yq, xq,, xp que también es un sistema generador de E. e presentan dos posibilidades: a) q p y el teorema queda demostrado b) q p en este caso como con,,, p y y y se puede generar E el resto de vectores y,, p yq serán combinación lineal de los p anteriores (capaces de generar E) y por tanto el sistema L no sería libre, con lo que esta opción queda rechazada.

13 6. Teorema de la base ea E un K-ev de dimensión finita. e verifica que todas las base de E son finitas y poseen el mismo número de elementos. Demostración ea B una base con card ( B) n y B otra base con card ( B) n. Por ser bases resultan ser sistemas libres y generadores de E. Aplicando el teorema de teinitz i B es generador y B libre : n n i B es generador y B libre : n n Por tanto se verifica que n n. Esto indica que todas las bases de E tienen el mismo número de elementos. 7. Teorema de la base incompleta ea E un K-ev de dimensión finita y B una base de E card(b) = n. ea L un sistema libre con card(l) = p<n. e verifica que siempre es posible construir una base de E completando los p vectores de L con n-p vectores de B. Demostración B x, x,, x y L y, y,, y. En B existirá algun vector ean n p x i que no sea combinación lineal de los vectores de L, pues de lo contrario L sería también generatriz de E y por tanto una base de E. De este modo se obtiene otra familia libre,,, p, p y y y y, pues bien siguiendo este proceso se completan los p vectores de L con n-p vectores de B hasta conseguir otra base de E, formada por n vectores libres que generan E. Este teorema confirma también la existencia de suplementario de L. 3

14 8. Cambio de base ea E un K-ev de dimensión finita dim(e) = n. e consideran dos bases de E B e, e,, e n y B u, u,, un. Todo vector w de E se puede expresar como combinación lineal de los vectores de la base, teniendo en cada base sus coordenadas respectivas. x x w xe xe xnen e e en ; w ei xi fila Columna xn y y w yu yu ynun u u un ; w ui yi fila Columna yn i se supone que E va referido inicialmente a B que se denomina coloquialmente base antigua para distinguirla de B denominada base nueva, los vectores de B van referidos a B. u a e a e a e n n u a e a e a e n n u a e a e a e n n n nn n a a a a a a ( u u un) ( e e en) a a a a a a n a a a n P an an ann n n n n nn ; ( u ) ( e ) P i i i... n En la expresión anterior P es la matriz de paso o de cambio de base que relaciona los vectores ui B (nuevos) con los ei B (antiguos). Las columnas de la matriz P son las coordenadas de los vectores de la base B expresados en la base B. 4

15 Esta matriz cuadrada es regular ya que los vectores son linealmente independientes y por tanto el rango de la matriz es n. Para relacionar las coordenadas antiguas de un vector, expresado en B con sus coordenadas nuevas (expresado en B ). Por tanto y y x y y x w u u un e e en P e e en y y x n n n x a a a n y x a a a n y x a a a y n n n nn n Antiguas Matriz de Paso Nuevas Antiguas x P y De forma análoga para obtener las coordenadas (nuevas) de un vector, expresado en B respecto a las coordenadas (antiguas) del vector expresado en B, basta multiplicar por P, inversa de la matriz de cambio de base P, las coordenadas (antiguas) del vector respecto a B. Nuevas y P x Nuevas Antiguas Ejemplo: ea E un R-ev referido a la base canónica B e, e, e e consideran otra base: B u, u, u siendo 3 Obtener las coordenadas del vector w u u u3. 3 u e e e u e e3 u3 e e 3 en la base B x P y ; P 0 Antiguas Nuevas ; 0 3 Por tanto w e 3e e3 Evidentemente w ( e e e3) ( e e3) ( e e3) e 3e e3 ; 5

16 9. Ecuaciones Paramétricas e Implícitas ea E un K-ev de dimensión finita dim(e) = n. e considera la base de E, B e, e,, e n y un subespacio dim()=p, p n. En se considera la base Bs u, u,, up respecto a la base B u a e a e a e n n u a e a e a e n n, cuyos vectores se expresan u a e a e a e p p p np n a a a a a a ( u u u p) ( e e en) a a a p p n n np En la matriz anterior las coordenadas de los vectores ( u i ) de B se escriben por columnas. v v u u u p t t t p v E v e e e n x x xn t a a a p t t a a a p t v u u u p e e en t a a a t p n n np p Además v e e e n x x xn Por tanto 6

17 x at at a pt p x a a a p t x at at a pt p x a a a p t x x a n an t ant anpt p n n an a np t p que son las ecuaciones paramétricas del subespacio en las que t i son los parámetros y sus coeficientes mirados por columnas son las coordenadas de los vectores ( u i ) de B, base del subespacio, expresados en la base B del espacio vectorial E. Como dim()=p se precisan p vectores para generarlo y por tanto p parámetros, pero si el sistema generador tiene más de p vectores las ecuaciones paramétricas resultan sobreparametrizadas. Todos los vectores del subespacio se obtienen dando valores a los parámetros. Dado un vector del espacio vectorial E para saber si está también en hay que escribir sus coordenadas en el primer miembro y resolver el sistema en la incógnitas t i. i el sistema tiene solución se obtienen las coordenadas t i de dicho vector en la base B del subespacio, caso contrario el vector no pertenece a. En el caso particular p = n se trata de un cambio de base en el espacio vectorial E, donde x i son las coordenadas antiguas y t i las nuevas premultiplicadas por la matriz de cambio de base. i en las ecuaciones paramétricas del subespacio se eliminan los parámetros se obtiene un sistema de ecuaciones lineal y homogéneo que son las ecuaciones implícitas o cartesianas del subespacio. Al tener que eliminar p parámetros en las n ecuaciones paramétricas se obtienen n-p relaciones implícitas que representan las condiciones que deben cumplir las coordenadas de un vector del espacio vectorial E para pertenecer al subespacio. La dimensión de resulta por tanto dim() = n-(n-p)=p, siendo n la dimensión del espacio y n-p el número de ecuaciones implícitas linealmente independientes. 7

18 Cambio de base ea E un ev de dimensión finita dim(e) = n. e consideran dos bases de E B e, e,, e n ; B u, u,, un. ui ei P (por columnas) Todo vector w E se expresa en ambas bases x x w xe xe xnen e e en xn y y w yu yu ynun u u un yn w u y e P y e x i i i i i i Las coordenadas se relacionan: i.. x P y i Antiguas i Nuevas y P x i Nuevas i Antiguas n 8

19 EJERCICIO. ea E un espacio vectorial sobre referido a la base canónica u e e e3 B e, e, e3. e considera otra base: B u, u, u3, B u e e3 u3 e e 3 ea w u u u3. Obtener la matriz de cambio de base de B a B.. Obtener las coordenadas del vector w en la base B de forma algebraica y de forma matricial. 3. A partir del resultado anterior obtener las coordenadas del vector w en la base B de forma algebraica y de forma matricial. OLUCIÓN Las coordenadas de un vector se relacionan: i B e i es la base antigua y B ui u e e e3 u e e u u u e e e u e e Antiguas ; y P x x P y la base nueva B B 3 u u u3 0 P 0 matriz de cambio de base B B P Nuevas Nuevas Despejando los vectores de la base B en función de los de la base B u u u3 e 3 / 3 / 3 / 3 u u u3 e e e e3 u u u3 / 3 / 3 / 3 3 / 3 / 3 / 3 u u u 3 e3 3 / 3 / 3 / 3 P / 3 / 3 / 3 matriz de cambio de base B B / 3 / 3 / 3 Pasar de coordenadas nuevas a antiguas ALGEBRAICAMENTE ) El vector w u u u3 está expresado en B con coordenadas Antiguas,, t. 9

20 ) Para expresar w en la base B, basta expresar ( u i ) en función de ( e i ) w u u u3 ( e e e3 ) ( e e3 ) ( e e3 ) e 3e e3 Por tanto en la base B el vector w tiene de coordenadas,3, t. MATRICIALMENTE 3 ; x P y Antiguas Nuevas w u u u 0 ; 0 3 w e 3e e 3 Pasar de coordenadas antiguas a nuevas ALGEBRAICAMENTE ) El vector w e 3e e3 está expresado en B con coordenadas,3, t. ) Para expresar w en la base B, basta expresar ( e i ) en función de ( u i ) u u u3 u u u3 u u u3 w e 3e e3 3 u u u Por tanto en la base B el vector w tiene de coordenadas,, t. MATRICIALMENTE. Obtener las coordenadas del vector w e 3e e3 en la base B. / 3 / 3 / 3 w e 3e e3 ; y P x / 3 / 3 / 3 3 Nuevas Antiguas / 3 / 3 / 3 w u u u 3. En 4 referido a la base canónica se dan los subespacios: u,,0,, u 0,,,0 engendrado por los vectores: T de ecuaciones implícitas: x x 0 ; x x x E PIDE:. Ecuaciones paramétricas e implícitas de. Ecuaciones paramétricas y una base de T 3. Base de T 4. Base de T OLUCIÓN 0

21 . UBEPACIO Al ser los vectores libres forman una base del subespacio. dim( ) Para que un vector pertenezca a dicho vector debe ser combinación lineal de los vectores que forman una base del subespacio. Base: u, u x x u u x, x, x3, x4,, 0, 0,,, 0 x 0 x Ecuaciones paramétricas de : B, x3 0 x n Incógnitas r n p p Parámetros r n p 4 ecuaciones implícitas r Ecuaciones x4 Para pasar a implícitas se eliminan los parámetros: entrando en las x3 otras ecuaciones se obtienen las ecuaciones implícitas Implícitas de : x x 0 ; x x x UBEPACIO T Para pasar de ecuaciones implícitas a paramétricas se calcula el número de parámetros y se asignan los parámetros a ciertas coordenadas. p Parámetros p n r n Incógnitas p n r 4 parámetros. r Ecuaciones Al haber parámetros dim( T) Implícitas de T : x x3 0 ; x x3 x4 0 x b; x a e elige como parámetros: 3 Ecuaciones paramétricas de T: x a x b x3 a x4 a b Base: B T a a0 b0 b

22 3. INTERECCIÓN e igualan las paramétricas de y T y se busca la condición para que haya vectores que pertenezcan a ambos subespacios: Relación entre parámetros x a x b a e despejan y en ª y 3ª ecuación x3 a a x4 a b e entra en las otras ecuaciones, resultando como relación: b 0. Con este valor se entra en las paramétricas correspondientes y se obtienen las ecuaciones paramétricas de la intersección. x a x 0 0 T : Por tanto una base: B T x3 a x4 a 4. UMA Relación de Grassman: Dim( T) dim( ) dim( T) dim( T) 3 Para formar una base del subespacio suma se puede elegir el vector de la intersección y uno distinto de cada subespacio hasta completar los tres vectores ya que la dimensión del subespacio suma es 3. B T 0 0,, 0 0 T T

23 Estructuras algebraicas Magma: ( E; ). Conjunto con una ley de composición interna. emigrupo: a, b, ce, a ( bc) ( a b) c La ley es asociativa. Grupo es un emigrupo con elemento neutro y simétrico. Ley AOCIATIVA: a, b, ce, a ( bc) ( a b) c NEUTRO. ea ( E; ) un conjunto con una ley de composición interna, el elemento e E es neutro si a E a e a e a. on ejemplos el 0 para la suma y el para el producto. IMÉTRICO. ea ( E; ) un conjunto con una ley de composición interna y elemento neutro e E, el elemento a' E es elemento simétrico de a E si a a' e a' a. on ejemplos el (-) del para la suma y el ½ para el producto. Grupo abeliano si la ley es conmutativa a, be a b b a. Anillo: ( E;, ) un conjunto con dos leyes de composición interna. Respecto a la primera ley (+) es grupo abeliano. La seguna ley ( ) es. Asociativa a, b, ce a ( bc) ( a b) c. Distributiva respecto a la primera a, b, ce a ( b c) ( a b) ( a c). Anillo unitario: i para la segunda ley tiene elemento neutro. Cuerpo: Es un anillo unitario en el que todo elemento, salvo el 0 tiene inverso. a 0 tal que a a. i para la segunda a a a ley se da la propiedad conmutativa el Cuerpo es conmutativo. 3