DINÁMICA DE FLUIDOS. Flujo Potencial. Potencial de velocidades. Función de corriente. Ejemplos.

Transcripción

1 DINÁMIC DE FLUIDOS Propiedades de los Flidos. Concepto de flido. Flido ideal. Viscosidad Tensión sperficial. Capilaridad Estática. Presión en n pnto. Ecación general de la estática. Teoremas de Pascal y rqímedes. Cinemática de flidos. Descripciones Eleriana y Lagrangiana. Definiciones cinemáticas. Deformación de n flido. Divergencia, cizalla y rotación. Vorticidad y teorema de Stokes. Fnción de corriente. Leyes de conservación Ecación de continidad. Ferzas en flidos. Tensión en n pnto. Conservación de momento. Ecación constittiva para flidos newtonianos. Ecación de Navier-Stokes. Solciones particlares de la Ec. N-S. Ecación de energía. Ecación de Bernoilli. plicaciones. Fljo Potencial. Potencial de velocidades. Fnción de corriente. Ejemplos. Semejanza dinámica. Fljo laminar y trblento. Número de Reynolds. Idea de capa límite. Leyes de semejanza.

2 Concepto de Flido: Se conoce como flido a todo cerpo qe carece de elasticidad de forma. Es decir no tiene na forma propia y se pede adaptar al recipiente qe lo contiene. No presenta ferzas internas tangenciales o éstas son my peqeñas. Los movimientos relativos entre partíclas flidas no realizan trabajo. Flidos ideales: a) no responden a tensiones tangenciales. b) Son continos. La propiedad a) implica qe sólo eisten ferzas normales entre dos parcelas de flido. La hipótesis de continidad del flido permite hablar de densidad como fnción de pnto. ρ ρ Incertidmbre microscópica Incertidmbre macroscópica δv ρ ρ lim δ v δv* δm δv δv* δv

3 Viscosidad. Eisten ferzas tangenciales: Flidos Reales. δy δδt δθ τ δ La tensión es proporcional a la deformación: δθ τ δt Se pede hacer la sigiente aproimación para deformaciones peqeñas: δθ δδt dθ d tanδθ δ y dt dy con esto se tiene qe: y dθ d τ µ µ Flido Newtoniano. dt dy d τ µ dy µ coeficiente de viscosidad (viscosidad). FT M [ µ ] L LT µ ρ ν Viscosidad cinemática. [ ν ] L T

4 Tensión sperficial. Las partíclas flidas están sometidas a ferzas de cohesión lo qe da lgar al fenómeno de tensión sperficial en la separación de dos flidos inmiscibles. aire aga ρ a ρ w F p F σ Si na sperficie libre se limita por n contorno, se pede medir la ferza debida a la tensión sperficial. Y dicha ferza por nidad de longitd da el coeficiente de tensión sperficial. Para sperficies con crvatra la tensión sperficial se eqilibra con las ferzas debidas a la diferencias de presión. En el caso de na sperficie alabeada, en general la diferencia de presión entre los lados de la interface depende de dos radios de crvatra. Ejemplos: F p F p R F LR p ; F Lσ p L>>R σ p L F σ σ F σ Fp πr p ; Fσ R σ p R π σ dl dl R p σ R R

5 Estática. Presión. La presión es na magnitd escalar qe se pede definir como la relación entre el módlo de na ferza normal a na sperficie y el área de la misma. Se cmple, para ferzas normales: F ps La presión es fnción de la posición por lo qe se pede hablar de campo escalar de presiones en le interior de n flido. S α S S α S S α S F F p S F S S F S S F F p S p α S F p S p α S F p S p α S Por eqilibrio: F α F F α F F α F F α p S α p α S F α p S α p α S p p p p F α p S α p α S Presión independiente de la orientación: escalar

6 Distribción espacial de la presión: Ley de Pascal. dz dy p p dz z d p En las caras y la tensión normal es la presión en cada pnto la ferza qe actúa sobre cada cara será: pddz Si eiste eqilibrio debe cmplirse: p pddz pddz ( p dy) ddz y p p ddydz y y p lo mismo debe cmplirse en la dirección : En la dirección z, si consideramos qe hay n campo gravitatorio el resltado es distinto. p pddy ( p dz) ddy ρ gddydz z p p con los resltados anteriores tendremos : ddydz ρgddydz ρg z z dp dz ρg Con densidad constante (flido homogéneo) p p ρ gz p ρg z Ley de Pascal p En general la ecación de movimiento se debe escribir: a F ρ internas. Ecación de la Estática: a ; F et p ρ et donde p ρ representan ferzas

7 plicación de ferzas de presión sobre cerpos smergidos: Principio de rqímedes En n cerpo smergido en n flido de volmen V y rodeado por na sperficie, se pede conocer la ferza ejercida por el flido sobre toda la sperficie qe rodea al cerpo, a partir de la ferza infinitesimal sobre n elemento de sperficie etendida a toda ella. V d df df pd F pd p p ρgz F ρgzd en caso de flido homogéneo (densidad constante) F ρg zd zd representa n vector cyo módlo es el volmen rodeado por al sperficie y s vector nitario es z (Th. Gass aplicado a n escalar) Por tanto F ρgvk Principio de rqímedes. La ferza resltante en n cerpo smergido de densidad ρ, teniendo en centa s peso y el empje (ferza calclada anteriormente) es: F Peso Empje ( ρ' ρ) gv

8 Cinemática. Descripción Lagrangiana Se realiza en fnción del movimiento de las partíclas qe forman el flido. Necesita identificar dichas partíclas tilizando coordenadas de nmeración. v (, y, z,) t por ejemplo partícla qe pasa por (, y, z ) en t : n n n v (, y, z,) t Descripción Eleriana: Consiste en es estdio del movimiento según las velocidades de los pntos qe ocpa el flido sin importar qé partíclas están en cada instante en cada pnto. No reconoce a las partíclas. vyzt (,,,) Derivada sstancial de na magnitd (escalar o vectorial) Caso de la velocidad dv dt v v v t v derivada local t v v termino advectivo. d dt v t Gradiente de la velocidad v : v v y v z v v v y z v y y y v v y v z z z z

9 Descripción del fljo (definiciones): línea flida: línea formada por na scesión de partíclas adyacentes. trayectoria: Recorrido de na determinada partícla en el tiempo. línea de traza: Línea flida formada por las partíclas qe han pasado por determinado pnto. (emitidas desde n foco). línea de corriente: Línea tangente al vector velocidad en cada pnto para n instante dado. Se cmple qe tbo de corriente: v dl con v ( vw,, ) y dl ( d, dy, dz) por lo qe eisten proporcionalidad entre componentes dl d dy dz v v w volmen encerrado por la sperficie engendrada por las líneas de corriente qe se apoyan en na línea flida cerrada. t t o v En fljo estacionario las líneas de corriente coinciden con las trayectorias. v t

10 DEFORMCIÓN EN UN FLUIDO. Cando en n sólido se aplican ferzas eternas se pede prodcir na deformación: Desplazamientos relativos entre las partíclas qe lo forman. En los flidos la deformación qe se prodce se pede medir según la variación del campo de velocidades. p δv p δs O δr δs p δs δr s p δs p δr δv O δv p δv δr v Deformación en el sólido Deformación en el flido Sea v r (,, ) ; (,, ) v Tensor deformación de velocidad

11 Deformación lineal. t t dt B B δ δ ( δ ) ' dt dt δ

12 Deformación lateral. t t dt δ B dt δ dα B δ dt C dt dβ C dt dt δ δ δ

13 Los términos diagonales del tensor deformación representan las deformaciones lineales y conjntamente la variación relativa (deformación) volmétrica. i i ; i i V dt d V ) ( δ δ El resto de términos llevan las variaciones de forma y las rotaciones del flido. Cambios de forma por nidad de tiempo. Variaciones laterales del campo de velocidades (Cizallas) Rotación del flido en el plano (,) Llamamos vorticidad al vector, qe está relacionada con la velocidad según: ; j k ijk i ε Con las componentes: ; ;

14 El tensor deformación es sma de los tres tensores vistos hasta ahora: Deformación Volmétrica B ; Deformación lateral Se tiene qe v v B ; qe representa la deformación del flido propiamente.

15 v v C ; Rotación sí el tensor gradiente de velocidad se pede poner como sma de los tensores, B y C: v C B. Tensor rotación también se pede escribir: C ; ( ) ( ) ( ) ( ) C v

16 ( ) Por otra parte se cmple qe r ( ) poner como: δ δr, con lo qe el campo de velocidades se pede v v v v vp v δr v v δr δr v v δr v v δr v v δr v δr (( )) ( ) v v vp v δr δr donde los tres términos del último miembro representan: ( ) ( ) v traslación v v δ r deformación ( ) δr rotación.

17 Vorticidad : rot Definimos circlación según: Γ v dl c por el teorema de Stokes se tiene: v dl rot v ds c s es decir: Γ ds qe representa el fljo de la vorticidad a través de la S sperficie S S C dl v Cando la vorticidad es cero se dice qe el movimiento es irrotacional Ejemplos:. vórtice sólido La velocidad anglar es la misma en todo el flido. tilizando coordenadas polares: θ r r z r y la vorticidad: z ( rθ ) r r r θ. vórtice irrotacional.. vórtice irrotacional. La vorticidad en todos los pntos es cero ecepto en el origen. c θ r z r r la vorticidad en el origen es, ya qe la circlación de v a lo largo de calqier línea cerrada qe contiene el origen O es finita y representa el fljo de la vorticidad. c Γ πr πc (finito) en algún pnto ( O) r Γ v dl ds (th. Stokes) ds

18 Fnción de corriente Se dice qe n flido es incompresible cando se cmple: dρ dδv o alternativamente no hay variación relativa de densidad ρ dt δv dt (o volmen específico) Según se ha visto en las deformaciones del flido: δv dt dδv i i con lo qe se pede decir qe en flidos incompresibles se cmple: i ó ó i () v w En movimiento plano: con ó w y z (fljo solenoidal). Las componentes de la velocidad se peden tener de la derivación de na fnción escalar según: ψ ψ ; v y donde se cmple la ecación () porqe las derivadas crzadas son igales: v ψ ψ y y y La fnción ψ se llama fnción de corriente (Potencial de corriente)

19 ψ es constante a lo largo de las líneas de corriente d dy dψ ψ ψ y El fljo transcrre entre líneas de potencial de corriente constante. Los valores mayores de ψ qedan a la izqierda del movimiento. ψ ψ ψ i j vi j ψ v y La diferencia de valores de dos líneas de corriente representan la cantidad de flido qe atraviesa na línea transversal (C) en la nidad de tiempo (Fljo de volmen): vi j v i vj ψ ψ dψ ψ dl v dl Φ ψ ψ C ψ v ψ