TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL CALCULO VECTORIAL

Transcripción

1 Ω Ω Geoge Gabiel tokes 89-9 Geoge Geen Johann al Fiedich Gass TEOREMA FUNDAMENTALE DEL ALULO VETORIAL Pofesoa Dois Hinestoa Teoema de Geen

2 INTEGRAL DE LÍNEA DE UN AMPO VETORIAL F b d F t ' t dt a INTEGRAL DE LÍNEA DE UN AMPO EALAR b fds f t ' t a dt

3 T T t ' t ' t ' t T t ' t F T ampo escala F : Ω R R F T ds b a b a F t F t T t ' t dt ' t dt F d F T ds F d

4 Teoema de Geen paa na egión sae. Ω F P Q campo ectoialdifeenciable en Ω Q P Pd Qd dd Ω

5 t - Ω t a b ea la ca ceada qe detemina la fontea de la egión la ca : la ca : t t t t t t a t b a t b Ω

6 Ω b a b a b a b a Pd d P P d P P d P d d P dd P a b Ω

7 c d D D Ω Ω Ω d c d c d c dd P Q Qd Pd Qd d Q Q d Q d d Q dd Q qe tenemos smando

8 Ejemplo Deteminación de n áea mediante na integal de línea. Detemine el áea de la egión limitada po la hipocicloide qe tiene la ecación ectoial t cos t i sen t j sen t / sen t / / ± t π cos t / cos t / / / A / Paa aplica Geen debeíamos enconta fnciones P Q : A Q P 8 π π Ω cos sen Q P da Pd Qd sen t π cost cos t dt 4 cos4t sen t t d d cos sen t cost dt π 8 sen t dt 4 / / / dd d / π Q sen P cos tsentcostdt tsentdt t costdt sen4 t t 8 8 sen t 6 π π cos t sen π P Q. 4 tsentdt t cos t dt

9 f fnción de dos aiables Gaf { f : Df } Gáficade f R f f n a b a b Las speficies también peden se pensadas como speficies de niel de na fnción g se define la speficie como { R : g c} n g g g P P P

10 : R R T R paametiación de la speficie : :peficie paamética } : { T } { UPERFIIE PARAMETRIA

11 [ ] cos cos π π T a asensen sen a

12 [ ] [ ] h T sen cos π

13 } { de en n pnto tangente plano al nomal ecto :

14 Aea peficial T paametiaciòn de na speficie na ea Ω dd A Aea speficial de

15 Ejemplo Aea speficial de na speficie paametiada A dd Ω θ a cosθsen asenθsen a cos i j k θ asen θenθ acos θosθ acos θosθ asen θenθ asen a a cos θosθ a sen θenθs a sen cos θ θ a sen A Ω θ ddθ Ω a sen ddθ a π π sen ddθ 4πa

16 Recodemos qe la gáfica de na fnción de dos aiables está paametiada po Ω f f Gf Aea f f f f f f k j i f Po lo tanto

17 INTEGRAL DE UPERFIIE DE UN AMPO EALAR f : U R U abieto en difeenciable Definimos la integal de speficie de f sobe R n campo escala fd f Ω dd donde es la paametiación de Ω con. : Ω R R

18 INTEGRAL DE UPERFIIE DE UN AMPO VETORIAL n o n ea n el ecto nomal n o n

19 onsideemos el campo ectoial F : U R U abieto en R Definimos la integal de speficie de F sobe a la integal F d F nd s ± F Ω dd ± F Ω dd si n n - si n n es la paametiación de Ω con.

20 F i : X 9 Halla la integal de speficie de F sobe con nn n cosθsen π sen θsen θ π cos θ cos θsen sen θsen cos i j k θ sen θsen cos θcos cos θcos sen θsen sen 9cos θcos 9sen θ9sen 9sen cos

21 Fθ; sencosθ sensenθcos θ 9cos θcos 9sen θ9sen 9sencos F θ 8 θ sen F d F ; θ ddθ π π π π D 8senddθ 8 θ [ ] cos dθ 4π

22 FLUJO DE FLUIDO A LO LARGO DE UNA UPERFIIE Flido: olección de pntos llamados patíclas. ada patìcla està asociada con el pnto. V : ecto elocidad de la patícla amos a spone qe el campo de elocidades sólo depende de la posición. ρ : densidad masa del flido en el pnto. El campo ectoial ρ po nidad de olmen Fljo incompensible: ρcte F V : densidad de fljo antidad de masa qe fle del pnto en la diección de V po nidad de áea po nidad de tiempo

23 Masa del flido qe pasa a taés de Φ F nd F n d

24 TEOREMA DE TOKE ea na speficie oientada sae a toos acotada po na ca sae a toos ceada simple ca oientación es positia. ea F n campo ectoial cas componentes tienen deiadas paciales continas sobe na egión abieta en R qe contiene a. Entonces: F d ot F d F d

25 F d Ejemplo: onsidee el campo ectoial F ahalle el RotF. b i es pate del cbo con étices ±; ±; ± sin el fondo oientado positiamente halle RotF d F d O k ; ; ; - i F RotF.d F d F d j k ' F d' F d F d' - - ' F d dd

26 Ejemplo: alcla la ciclación del campo de elocidades de n flido F e tg a lo lago de la intesección de la esfea 4 con el cilindo con >. i j k Rot F F i j e tg k Ω k F d ' da F d' π ddθ π Ω

27 TEOREMA DE LA DIVERGENIA ea V na egión simple sólida ca speficie fontea tiene na oientación positia hacia afea. ea F n campo ectoial cas fnciones componentes tienen deiadas paciales continas sobe na egión abieta qe contiene a V. Entonces: F d di F dv n V n n n

28 a ε Po el Teoema de la diegencia F d ε B a Vol B ε dif a Vol B Definimos : dif a lim ε a dif a ε di F dv dif a ε a Vol B ε ε a F nd ε F nd a dv la diegencia en a se intepeta como el coeficiente de aiaciónde masa po nidad de olmen po nidad de tiempo B ε

29 Ejemplo: ea F. Halla F d donde indica las seis paedes del cbo Usamos el teoema de la Diegencia F.d F d V difdv dif F d di FdV dv ol V V V

30 Ejemplo: Eala el fljo del campo ectoial F sen a taés de la speficie fontea de la egión V acotada po el cilindo paabólico - los planos. dif - e ;; - F d difdv ;; ;; E E dv ddd 84 5

31 Ejemplo: Veifica el teoema de la diegencia paa el campo ectoial Y la speficie esféica 9. sen cosθ sen senθ cos θ π θ π θ F cosθsen senθsen cos cosθco π θ π senθse cos i j k senθsen cosθcos cosθcos senθsen sen 9cosθcos 9senθ9sen 9sen cos

32 Fθ; sencosθ sensenθcos θ 9cosθcos 9senθ9sen 9sencos F d 9sen F ; θ cos θ ;9sen θ d d sen θ θ ;9sen 8 cos sen π d d θ 8 [ cos π ] d θ θ 4 π θ π π π π D F θ 8sen F d F ; θ 8sen ddθ 8 ddθ π π π π D θ [ ] cos dθ 4π

33 di F 4 di F π θ ρ θ ρ ρ ρ π π π π di 4 d d sen d d d sen dv V F 4π difdv d F V

34 Ejemplo: alcla el fljo del campo F sen tan a taés del semielipsoide speio 6 con s nomal apntando hacia aiba. 6 dif O F d difdv V

35 Le de Gass. Demostemos el sigiente esltado de impotancia tascendente en electomagnetismo. ea V na egión simple sólida en R s fontea. ea también el ecto posición. Entonces si ;; tenemos: E si E ;; ;; si 4 π d E si E ;; ;; si 4 π d V si V ;; si 4 π d / / / di F / / / R dif

36 i el oigen petenece a V no podemos aplica el teoema de la diegencia pes el campo ectoial no es sae allí. Aplica el teoema de la diegencia a toda la egión salo na peqeña bola de adio ε centada en el oigen lego calclamos el fljo sobe la fontea de esta última. F d difdv i V V Obseemos qe la fontea de V B ε está compesta po B ε el ecto nomal nitaio sobe la fontea B ε es n

37 π ε πε ε ε ε ε ε ε ε B B B B B B V d d d nd F d F nd F d F difdv

38 APLIAIÓN DEL TEOREMA DIVERGENIA