Tema 1: Análisis vectorial

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1 Tema 1: Análisis vectoial Campos Electomagnéticos º Cuso Ingenieía Industial Dpto.Física Aplicada III Cuso 010/011 Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla Joaquín Benal Ménde 1 Tema 1: Índice (I) Intoducción Campos escalaes y vectoiales Integales de los campos Ciculación Flujo Deivadas de los campos Gadiente Divegencia Rotacional Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla

2 Tema 1: Índice (II) Heamientas matemáticas Coodenadas cilíndicas y esféicas Opeado nabla Delta de Diac Tipos especiales de campos: Campos iotacionales Campos solenoidales Campos amónicos Teoema de Helmholt Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 3 Intoducción Escala: cantidad caacteiada po su magnitud. Ejemplo: masa de una pesona Vecto: cantidad caacteiada po su magnitud, diección y sentido. Ejemplo: velocidad de un automóvil Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 4

3 Campos escalaes (I) Definición: Función de la posición que a cada punto del espacio asigna una magnitud escala. Campo de tempeatuas: T(xy) T(x,y,) Altitud geogáfica: h(x,y) Campo de densidades de un mateial Función debe se monovaluada Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 5 Campos escalaes (II) Repesentación: Supeficies equiescalaes ( x, y, ) C Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 6

4 Campos escalaes (III) Ejemplo: Campo de pesiones ( x, y, ) C Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 7 Campos escalaes (IV) Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 8

5 Campos vectoiales (I) Definición: Función de la posición que a cada punto del espacio asigna una magnitud vectoial. Campo de gavedad teeste Campo de velocidad de un fluido Campo eléctico y campo magnético Ha de se monovaluada Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 9 Campos vectoiales (II) Ejemplo: Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 10

6 Campos vectoiales (III) Repesentación: Líneas de campo: cuvas tangentes al campo en todo punto dx dy d F F F x y Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 11 Campos vectoiales (IV) Ejemplo: Campo eléctico de una caga puntual Caga positiva Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 1

7 Campos vectoiales (V) Ejemplo: líneas de campo paa dos cagas puntuales q q q -q Cagas positivas Cagas de distinto signo Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 13 Integales sobe campos Dos tipos de campos: escalaes y vectoiales Es posible ealia integales de línea, supeficie y volumen. Dos tipos de integales nos inteesan po su sentido físico: Ciculación Flujo Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 14

8 Ciculación (I): definición Integal de línea de un campo vectoial: B A, F d Popiedades impotantes: El esultado es un escala El esultado depende del camino Ejemplo: tabajo de una fuea Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 15 Ciculación (II): sentido físico Línea ceada: es una medida del gio del campo C F dl L L L C 0 C 0 Paa un campo de fueas: tabajo sobe una cuva ceada Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 16

9 Ciculación (III): cálculo Cómo se calcula? Se paametia la cuva: B F d A, : ( t ), t ( t, t ) A B Calculamos la integal: tb t A Ft ( ( )) d dt dt Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 17 Flujo (I): definición Integal de supeficie de un campo vectoial Popiedades: F ds S Es un escala Depende de la S escogida p Si la supeficie es ceada: Debe especificase el sentido de s s es saliente Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 18

10 Flujo (II): sentido físico Es una medida de la cantidad de campo que ataviesa una supeficie i Ejemplo: campo de velocidades de un fluido VS d V ds VS VdS Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 19 S Flujo (III): cálculo Si paametiamos la supeficie: S: (, ), ( 1, ), ( 1, ) ds d d Entonces: Calculamos la integal: F ( (, )) d d Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 0

11 Resumen Los campos pueden se escalaes o vectoiales Paa descibi los campos escalaes se usan las supeficies equiescalaes. Paa descibi los campos vectoiales se emplean las líneas de campo La ciculación ió mide el gio del campo El flujo mide cuanto campo ataviesa una supeficie Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 1 Deivadas de los campos Del mismo modo que podemos ealia integaciones de campos escalaes y vectoiales, podemos deivalos. Campos escalaes: gadiente Campos vectoiales: es divegencia y otacional Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla

12 Gadiente (I) Paa una función de una vaiable: f ( x) df ( x) f ( x ) f ( x ) 0 0 lim dx 0 x 0 f ( x ) La deivada nos f ( x ) 0 infoma de la f ( x ) 0 vaiacióndela función con x x Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 3 Gadiente (II): deivada dieccional Cómo expesa la vaiación de una función de vaias vaiables (c.escala)? Hay que especifica la diección: vecto unitaio: v ( vx, vy, v ) Deivada dieccional: d ( x v x, y v y, v ) ( x, y, ) lim ds 0 Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 4

13 Gadiente (III) Usando el concepto de deivada pacial: d v x v y v,, v ds x y x y Definición: gad u x u y u x y d Po tanto: =gad v ds Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 5 Gadiente (IV): significado físico d gad =gad v v gad ds d v d =gad cos ds v El módulo del gadiente coincide con el 0 cos v 1 valo máximo que puede toma la deivada dieccional en ese punto La diección del gadiente coincide con la diección hacia la que la deivada dieccional es máxima (máxima vaiación de la función p.u.l. en ese punto) Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 6

14 Gadiente (V) Vaiación de la función al desplaanos: d gad v ds gadd El gadiente es pependicula a las supeficies equiescalaes en cada punto: gadd d Cte d 0gad d gad d Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 7 Gadiente (VI): Resumen Es un campo vectoial. Su módulo en cada punto nos da el valo de la deivada dieccional máxima. Su diección en cada punto nos indica la diección de máxima vaiación de la función. Es pependicula p en todo punto a las supeficies equiescalaes del campo. Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 8

15 Tema 1: Índice (I) Intoducción Campos escalaes y vectoiales Integales de los campos Ciculación Flujo Deivadas de los campos Gadiente Divegencia Rotacional Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 9 Divegencia (I) Dado un campo vectoial, se define el campo escala divegencia: 1 div F ( ) lim FdS 0 S Divegencia en catesianas: div F ( ) F F F x y x y Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 30

16 Ejecicio cuál es la divegencia del vecto de posición? F F F x y F div F( ) con F( ) x y a ) div 0 Respuesta: b ) div x y c) div 3 Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 31 Divegencia (II):sentido físico La divegencia no nula indica fuente o sumideo de líneas de campo Punto de divegencia no nula Puntos de divegencia nula Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 3

17 Divegencia (III) Teoema de la divegencia: div Fd ( ) S FdS x S y Útil en la evaluación de integales Fundamental en el desaollo teóico de la asignatua Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 33 Rotacional(I) Definición intínseca: 1 ot F ( ) lim ds F 0 Cálculo en catesianas: ux uy u F Fy ot ( ) F F x F y F x F u u u ot F ( ) y x y x x y S x y F F F x y Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 34

18 Rotacional (II):sentido físico Está elacionado con el gio local de las líneas de campo (tobellinos): Rotacional no nulo Rotacional nulo Rotacional nulo Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 35 Rotacional (III) Teoema de Stokes: S otf F ds F d La cuva s se ecoe siguiendo el citeio de la mano deecha especto al ds Útil paa: Evaluación de integales Desaollo teóico de la asignatua s Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 36

19 Divegencia y otacional: esumen Deivadas de los campos vectoiales Divegencia: campo escala elacionado con la existencia de fuentes o sumideos. Rotacional: campo vectoial elacionado con los gios locales de las líneas de campo Teoemas fundamentales: Teoema de la divegencia Teoema del otacional Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 37 Tema 1: Índice (I) Intoducción Campos escalaes y vectoiales Integales de los campos Ciculación Flujo Deivadas de los campos Gadiente Divegencia Rotacional Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 38

20 Tema 1: Índice (II) Heamientas matemáticas Coodenadas cilíndicas y esféicas Opeado nabla Delta de Diac Tipos especiales de campos: Campos iotacionales Campos solenoidales Campos amónicos Teoema de Helmholt Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 39 Coodenadas cuvilíneas Hasta ahoa hemos tabajado en catesianas A veces los poblemas se simplifican usando oto sistemas de coodenadas: Cilíndicas Esféicas No son las únicas altenativas que existen, peo sí ílas únicas que nosotos vamos a usa. Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 40

21 Coodenadas catesianas (I) Asignan a cada punto la distancia a tes planos otogonales (x,y,) Líneas coodenadas: ectas paalelas a los ejes de coodenadas Supeficies coodenadas: planos paalelos a los planos coodenados Z Z y x x P Y X = cte y X y = cte Y x = cte Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 41 Coodenadas catesianas (II) Base vectoial: X i Z k j 0 u x u P ds xy Y u y Vecto de posición: xu x yuy u d dxu dyu du x y Difeenciales de supeficie: dxdyu ds y ddyu Difeencial de volumen: d dxdyd x ds x dxdu y Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 4

22 Coodenadas cilíndicas (I) Fija la posición de P mediante tes paámetos difeentes: ρ (coodenada adial): distancia al Z eje φ (c. acimutal): ángulo que la ρ poyección sobe el plano XY foma con el eje x Y (c. vetical): distancia al plano XY X φ 0 0 π x cos Y x y sen ρ φ Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 43 Z y X Coodenadas cilíndicas (II) Líneas coodenadas: ρ: Semiectas hoiontales φ: Cicunfeencias i hoiontales : Rectas veticales Supeficies coodenadas: ρ=cte.: : Cilindos veticales φ=cte: Semiplanos veticales =cte: Planos hoiontales X =cte P =cte Z =cte Y Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 44

23 Coodenadas cilíndicas (III) Base vectoial X u x Vecto de posición: cos u sen u u Z ρ u P u φ u u u φ u 0 u y u ρ Y x y Desplaamiento infinitesimal: d d u d u du Esta base depended de la posición Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 45 Coodenadas cilíndicas (IV) X =cte P =cte Z =cte Y Difeenciales de supeficie: cte : ds ddu cte : ds dd u cte : ds dd u Difeencial de volumen: d ddd En esta base a veces se usa la vaiable en luga de ρ Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 46

24 Gadiente, divegencia y otacional en cilíndicas f 1 f f gad f u u u div F 1 ( F) 1 F F 1F F F F 1 F ot F u u ( F ) u Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 47 Coodenadas esféicas (I) X Z (coodenada adial): distancia al oigen θ (c. pola): ángulo que el vecto de θ posición foma con el eje Y φ (c. acimutal): ángulo que la φ poyección sobe el plano XY foma con el eje x 0 0 π Z ρ x sen cos Y x θ 0 π y sen sen ρ y φ X cos Z Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 48

25 Coodenadas esféicas (II) Líneas coodenadas: : Semiectas adiales desde el oigen φ: Cicunfeencias hoiontales (paalelos) θ: Semicículos veticales (meidianos) Supeficies coodenadas: =cte.: Esfeas concénticas φ=cte: Semiplanos veticales θ=cte: Conos con vétice el oigen X =cte P Z =cte =cte Y Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 49 Coodenadas esféicas (III) Base vectoial u x Z φ u θ ρ u y 0 P u u θ u φ Y Vecto de posición: sen cos u sen sen u cos u u Desplaamiento infinitesimal: d d u d u send u x y X Esta base depended de la posición Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 50

26 Coodenadas esféicas (IV) Z =cte =cte P Difeenciales de supeficie: ds d d u cte : ds senddu cte : ds ddu X =cte Y cte : sen Difeencial de volumen: d sen dd d Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 51 Gadiente y divegencia en esféicas f 1 f 1 f gad f u u u sen F F F F sen sen div ( (sen ) ) 1 (sen F ) 1 1 ( ) F F F otf u u sen sen 1 ( F ) F u Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 5

27 Tema 1: Índice (II) Heamientas matemáticas Coodenadas cilíndicas y esféicas Opeado nabla Delta de Diac Tipos especiales de campos: Campos iotacionales Campos solenoidales Campos amónicos Teoema de Helmholt Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 53 Opeado nabla (I): definición Pemite una notación más cómoda. Se define el opeado nabla: ux uy u x y Opeado difeencial y vectoial: Se aplica a la función a su deecha Obedece a las leyes del álgeba vectoial Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 54

28 Opeado nabla (II) gad ux uy u x y F F x y F div F F x y u u x u y otf F x y F F F x y Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 55 Opeado nabla (III) Nabla puede expesase en otos sistemas de coodenadas. Las opeaciones ealiadas con nabla son independientes del sistema de coodenadas. Cualquie identidad que pueda pobase con nabla en catesianas es válida en oto sistema de coodenadas. Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 56

29 Nabla sobe un poducto (I) Pueden obtenese campos escalaes como poducto de campos Dos campos escalaes: Dos campos vectoiales: FG Cómo se calcula el gadiente? ( ) ( F G ) F ( G ) ( F ) G G ( F ) ( G ) F F F x F y F x y ( F ) G F ( G ) Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 57 Nabla sobe un poducto (II) También se obtienen campos vectoiales Escala y vectoial: F Dos campos vectoiales: FG Divegencia: ( F ) F F ( F G ) ( F ) G F ( G ) ( F ) F ( ) F ( F G ) F ( G ) ( F ) G G ( F ) ( G ) F Rotacional: Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 58

30 Nabla sobe un poducto: esumen Gadiente: ( ) ( FG) F( G) ( F) GG( F) ( G) F Divegencia: ( F ) F F ( FG) ( F) GF( G) ( F ) F ( ) F ( FG) F( G) ( F) GG( F) ( G) F Rotacional: Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 59 Aplicación doble de nabla (I) Es posible aplica nabla dos veces, hay 5 posibilidades: El gadiente es un vecto: Divegencia del gadiente ( ) Rotacional del gadiente ( ) La divegencia es un escala: Gadiente de la divegenciai ( F) El otacional es un vecto Divegencia del otacional F ( ) Rotacional del otacional ( F ) Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 60

31 Aplicación doble de nabla (II) Laplaciano ( ) x y ( ) ( ) 0 Muy impotante ( F) Apaece poco ( F) ( ) F F! ( F) 0 Muy impotante ( F) ( F) F Ya definidas Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 61 Tema 1: Índice (II) Heamientas matemáticas Coodenadas cilíndicas y esféicas Opeado nabla Delta de Diac Tipos especiales de campos: Campos iotacionales Campos solenoidales Campos amónicos Teoema de Helmholt Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 6

32 Función delta de Diac (I) Supongamos el campo vectoial: Es adial y saliente, peo: v u v 0 Ahoa bien, integando en una esfea (R): vd v ds u R sen d d 4 u 0 0 R S Teoema de la divegencia Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 63 Función delta de Diac (II) El poblema está en v!! 0 En esumen, la función u cumple: u 0 0 u con 4 d 0 Hemos encontado una función peculia: la deltadediac Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 64

33 Función delta de Diac (III) Función delta de Diac monodimensional: 0 x 0 ( x ) con ( x) dx1 x 0 - Distibución: límite de una sucesión de funciones 1 ( x) lim ( x) lim e 0 0 π x Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 65 Función delta de Diac (IV) (x x) ε( x) e ε π x ε =1 =0.5 =0.5 = x Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 66

34 Función delta de Diac (IV) Poducto po una función: ( x) f( x) ( x) f(0) ( x) f( x) dx f(0) Es suficiente que el intevalo de integación incluya el máximo: ( x) f ( x) dx f (0) El máximo de la delta puede desplaase: ( x a) f( x) dx f( a) Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 67 Función delta de Diac (V) Delta de Diac tidimensional: 3 ( ) ( x) ( y) ( ) 3 ( a ) ( x a ) ( y a ) ( a ) En geneal: ( a) ( ) ( a ) d 0 x y a a a a y x Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 68

35 Función delta de Diac (VI) u u 0 0 u con 4 d 0 u 4 ( ) 0 4 ( 0 ) ( 0 ) 0 0 Volviendo a la función Podemos escibi: 4 ( ) Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 69 3 Tema 1: Índice (II) Heamientas matemáticas Coodenadas cilíndicas y esféicas Opeado nabla Delta de Diac Tipos especiales de campos: Campos iotacionales Campos solenoidales Campos amónicos Teoema de Helmholt Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 70

36 Campos iotacionales Campos vectoiales que cumplen: Popiedades: d F 0 F d 0 F d ( F ) ds 0 S B B B Fdd F dd A, 1 A, 1 A Deiva de un potencial: F Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 71 Campos solenoidales Campos vectoiales que cumplen: Popiedades: 0 F 0 F ds F ds Fd 0 S S F ds F ds si s s s 1 s 1 S ds 1 S Flujo cte en tubos de campo: S 1 S S Deiva de un potencial vectoial: F A L ds 1 Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 7

37 Tipos de campos vectoiales F 0 F 0 F 0 F 0 Campo solenoidal F 0 F 0 Campo iotacional i F 0 F 0 Solenoidal e iotacional Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 73 Campos amónicos Campos escalaes que cumplen: 0 Ecuación de Laplace Ejemplo: Sea un campo vectoial iotacional i y solenoidal: l F F 0 F F 0 ( ) 0 0 Caso páctico: campo electostático en una egión sin fuentes Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 74

38 Tema 1: Índice (II) Heamientas matemáticas Coodenadas cilíndicas y esféicas Opeado nabla Delta de Diac Tipos especiales de campos: Campos iotacionales Campos solenoidales Campos amónicos Teoema de Helmholt Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 75 Teoema de Helmholt (I) F F F Dado F podemos calcula: F y F Podemos calcula dados y? Supongamos: F F Fuentes escalaes F c Fuentes vectoiales ( c 0) Si la infomación es insuficiente: muchas soluciones Si la infomación es excesiva: puede no existi solución Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 76

39 Teoema de Helmholt: enunciado El sistema F ; F c con c 0 definido en todo el espacio con: lim ( ) 0 ; lim c( ) 0 ; lim F( ) 0 Tiene solución única dada po: F con: punto fuente punto campo d cd A 1 ( 1) 1 1 ( 1) 1 ( ) y 4 A ( ) esp 1 4 esp 1 potencial escala potencial vecto Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 77 Tema 1: Índice (I) Intoducción Campos escalaes y vectoiales Integales de los campos Ciculación Flujo Deivadas de los campos Gadiente Divegencia Rotacional Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 78

40 Tema 1: Índice (II) Heamientas matemáticas Coodenadas cilíndicas y esféicas Opeado nabla Delta de Diac Tipos especiales de campos: Campos iotacionales Campos solenoidales Campos amónicos Teoema de Helmholt Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 79