Tema 6. Apéndice. Operadores vectoriales.

Transcripción

1 6.A.. Campos. Tema 6. Apéndice. Opeadoes vectoiales. 6.A.. Campos. 6.A.. Gadiente. 6.A.3. Divegencia. 6.A.4. Rotacional.

2 6.A.. Campos. Intoducción. Concepto de campo. Campo:función que depende de la posición. T(x,y,z) h(x,y,z) Foco calo Campo escala: tempeatua. Campo escala: altitud. v ( x, y, z) Campo vectoial: velocidad líquido en tubeía.

3 6.A.. Campos. Líneas de campo: - Las líneas de campo se dibujan tangentes al campo eléctico. E q q Repesentación con vectoes campo Repesentación con líneas de campo - Condición matemática tangencia: 3

4 6.A.. Campos. - El númeo de líneas de campo po unidad de supeficie es popocional al campo: q q - Las líneas de campo no pueden cuzase... E E... ya que en ese caso tendíamos dos valoes del campo en un mismo punto 4

5 6.A.. Gadiente. Tema 6. Apéndice. Opeadoes vectoiales. 6.A.. Campos. 6.A.. Gadiente. 6.A.3. Divegencia. 6.A.4. Rotacional. 5

6 - Gadiente: - En D el cambio de una función lo deteminamos con la deivada: 6.A.. Gadiente. f dx df - Si tenemos una función T(x,y,z) (un campo escala): x Desplazamiento Gadiente de T 6

7 6.A.. Gadiente. - Intepetación geomética: T θ dl - Cuanto mayo sea T más vaiaá la función - Si θ= el aumento es máximo - Si θ=9 no hay vaiación La diección del gadiente coincide con la del aumento máximo de la función. - Ejemplo: Esquiado en lo alto de una cadena montañosa. v h v 7

8 6.A.. Gadiente. - Ejemplo: Gadiente de la función T=/. T=8 T T= T=4 T= En la diección pependicula al gadiente no hay cambio. 8

9 6.A.. Gadiente. - El opeado gadiente: Opeado gadiente T es un opeado hambiento de funciones. - Teoema: T b dl a G ( Análogo en 3D de: ) 9

10 6.A.3. Divegencia. Tema 6. Apéndice. Opeadoes vectoiales. 6.A.. Campos. 6.A.. Gadiente. 6.A.3. Divegencia. 6.A.4. Rotacional.

11 6.A.3. Divegencia. - Flujo: Agua A v n ( Flujo de agua!) h θ A h a n θ v da n v

12 - Divegencia: 6.A.3. Divegencia. - La divegencia actúa sobe un vecto y devuelve un escala. - Regla mnemotécnica: es como si multiplicáamos escalamente dos vectoes: - T. de Gauss: da Supeficie ceada τ Flujo de v a tavés de A v Intepetación de la divegencia: es el flujo po unidad de volumen.

13 6.A.3. Divegencia. - Ejemplo: Ejemplo:

14 6.A.3. Divegencia. - Ejemplo: Ejemplo:

15 - Visión intuitiva del T. de Gauss: 6.A.3. Divegencia. - Descomponemos el volumen τ en volúmenes muy pequeños. - La divegencia da el flujo que sale de cada elemento de volumen. τ - Consideamos el flujo a tavés de la supeficie común de dos cubos contiguos: da v da - Cuando sumamos el flujo de todos los cubos, la contibución al flujo de las caas comunes se anula, y sólo queda el flujo a tavés de la supeficie exteio. 5

16 6.A.4. Rotacional. Tema 6. Apéndice. Opeadoes vectoiales. 6.A.. Campos. 6.A.. Gadiente. 6.A.3. Divegencia. 6.A.4. Rotacional. 6

17 6.A.4. Rotacional. - Ciculación: - Imaginemos que tenemos un líquido que se está moviendo abitaiamente. Líquido Líquido congelado - Congelamos instantáneamente todo el líquido salvo un tubo. Si la velocidad del líquido está oganizada de modo coheente en el tubo, existe una ciculación de líquido po el tubo. v v t dl v v t dl - Matemáticamente se define la ciculación a lo lago de una tayectoia G como: Γ v v t dl (se suma la componente tangencial del campo a lo lago de la tayectoia) 7

18 - Rotacional: 6.A.4. Rotacional. - T. de Stokes. Γ dl A dl - El otacional da la ciculación po unidad de supeficie. - Si v es un campo de velocidades, como en un fluido, el otacional de v es distinto de ceo en los ptos. en los que, si dejáamos una hoja, ésta giaía. 8

19 6.A.4. Rotacional. - Ejemplo: Ejemplo:

20 6.A.4. Rotacional. - Ejemplo: Ejemplo:

21 6.A.4. Rotacional. - Intepetación intuitiva del T. de Stokes: - Descomponemos la supeficie en elementos muy pequeños. - El otacional da la ciculación en cada lazo. - Consideamos la ciculación en el segmento común de dos lazos contiguos: v t d l dl v - Cuando sumamos la ciculación de todos los lazos, la contibución a la ciculación de los lados comunes se anula, y sólo queda la ciculación a tavés del lazo exteio.