MECÁNICA DE FLUIDOS. pfernandezdiez.es. Pedro Fernández Díez

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1 MEÁNIA DE FLUIDOS Pedo Fenández Díez

2 I.- INTRODUIÓN A LOS FLUIDOS I..- PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS Los fluidos son agegaciones de moléculas, muy sepaadas en los gases y póximas en los líquidos, siendo la distancia ente las moléculas mucho mayo que el diámeto molecula, no estando fijas en una ed, sino que se mueven libemente. Un fluido se denomina medio continuo, cuando la vaiación de sus popiedades es tan suave que se puede utiliza el calculo difeencial paa analizalo. En Mecánica de Fluidos solo hay cuato dimensiones pimaias, de las que se deivan todas las demás, a sabe, masa, longitud, tiempo y tempeatua. Las popiedades de los fluidos más inteesantes son: a) La isotopía, po cuanto mantienen igualdad de popiedades en todas diecciones. b) La movilidad, po cuanto caecen de foma popia, po lo que se amoldan a la del ecipiente que los contiene; a un esfuezo infinitamente pequeño le coesponde una defomación infinitamente gande. c) La viscosidad, que constituye una esistencia a la defomación, la cual no sigue las leyes del ozamiento ente sólidos, siendo las tensiones popocionales, en foma apoximada, a las velocidades de las defomaciones; esta Ley fue fomulada po Newton, que decía: cuando las capas de un líquido deslizan ente sí, la esistencia al movimiento depende del gadiente de la velocidad dv/dx, y de la supeficie: F = γ S dv dx siendo h la constante de popocionalidad; ahoa bien, la velocidad va vaiando pogesivamente de capa en capa, y no buscamente. Si la velocidad elativa de desplazamiento es nula, la tensión también lo seá. d) La compesibilidad, según la cual, paa cualquie esfuezo a que se someta al fluido, su volumen pácticamente no vaía. Así, paa el caso del agua, po cada kg/cm que aumente su pesión, se compime Intoducción a los fluidos.i.-

3 /0.000 de su volumen. Paa los fluidos compesibles, el volumen especifico seá función de la pesión y de la tempeatua, siendo complicadas las expesiones que ligan estas vaiables Fig I..- Isotaquias de velocidades Fig I..- ompotamiento de algunos fluidos La expesión del coeficiente de compesibilidad es: k = - v ( v p ) T Los fluidos pefectos tienen: - Isotopía pefecta - Movilidad pefecta - Fluidez pefecta, es deci, ausencia de viscosidad - ompesibilidad nula De la ausencia de ozamiento en un fluido pefecto, esulta que: - Toda defomación se efectuaía sin tabajo - Todo elemento de un fluido, puede ejece solamente esfuezos nomales sobe un elemento vecino, o sobe una paed póxima En la Fig I. se epesentan las gáficas catesianas de algunos de los difeentes tipos de fluidos, tomando como eje de odenadas dv y como eje de abscisas el esfuezo cotante. dx I..- VISOSIDAD DINÁMIA Y INEMÁTIA En la Ley de Newton enunciada anteiomente, η es la viscosidad absoluta o coeficiente de viscosidad dinámica; despejando este valo en dicha ecuación se tiene: η = F S dx dv = τ dx dv Intoducción a los fluidos.i.-

4 siendo la elación F S el ozamiento po unidad de supeficie. El ozamiento en los líquidos se coesponde con el esfuezo cotante en los sólidos. Se sabe que, el esfuezo cotante en los sólidos, oigina a veces otos esfuezos como los de tacción y compesión; lo equivalente en los líquidos es que oiginan vaiaciones de pesión, de tal modo, que la pesión media sobe un elemento consideado, puede vese afectada po una pequeña vaiación en más o en menos. La elación ente la viscosidad dinámica y la densidad del fluido es la viscosidad cinemática ν = η ρ Unidades.- El Poise es la viscosidad absoluta η o dinámica de un fluido en el cual, la fueza de una dina actuando sobe una capa de cm de supeficie, le impime una velocidad de cm/seg a ota capa paalela a la misma supeficie, situada a cm de distancia. dinas. seg Sistema cegesimal: Poise = cm En consecuencia se tiene: Sistema técnico: U.T.M. = 98 Poises Poise = 98 kg seg m La viscosidad dinámica del agua a 0 es igual a 0,0 Poises, entipoise La viscosidad cinemática se define en la foma ν = η, siendo ρ la densidad. ρ El coeficiente de viscosidad cinemática ν del agua paa 0 y 760 mm de pesión es: ν a = 0,078 Stokes =, m mientas que a 0 es de 0,0 Stokes o un entistoke. seg I.3.- MEDIDA DE LA VISOSIDAD Viscosímeto absoluto calibado.- Mediante un viscosímeto absoluto calibado, se detemina el tiempo de deame del volumen constante de líquido cuya viscosidad se desea conoce. Si el deame es debido a la acción de su popio peso, se detemina la viscosidad cinemática. Si el deame es debido a una difeencia de pesión, se detemina la viscosidad dinámica. El fluido cicula a tempeatua constante, bajo una difeencia de pesión también constante, a tavés de dos tubos capilaes calibados, Fig I.3.a. El capila A se mantiene a tempeatua constante; el líquido fluye a tavés del capila, desde la bueta gaduada cilíndica B al embudo E, po ebosamiento del tubo gueso. En el instante t, si la difeencia de nivel del líquido en los dos tubos comunicantes B y es h, la difeencia de pesión que ige el flujo es: γ h = ρ g h. El volumen de líquido dv que fluye duante el tiempo dt viene dado po la expesión: dv = Q dt = π ( p 0 - p ) R4 8 η l dt = π h ρ g R4 8 η l dt siendo R el adio del capila, l la longitud del mismo y Q el caudal de fluido que cicula. Intoducción a los fluidos.i.-3

5 Llamando V al volumen que fluye ente los instantes t y t coespondientes a los niveles h y h, y dado que la bueta gaduada es cilíndica, se tiene: - dv dh = V h - h V h - h dv = - dh h = π ρ g R4 8 η l dt V h - h dh = π h ρ g R4 8 η l dt V ln h = π ρ g R 4 h - h h 8 η l (t - t ) po lo que la viscosidad cinemática es: ν = η ρ = π g R4 ( h - h ) ( t - t ) 8 l V ln h h que pemite hace una medida absoluta de la viscosidad cinemática, lo cual compota la deteminación de todas las magnitudes que intevienen en la expesión anteio. También es fundamental defini la tempeatua paa detemina el estado del fluido. Viscosímeto empíico.- El viscosímeto empíico se basa en el deame de líquidos po un pequeño oificio calibado, Fig I.3.b. Aplicando la ecuación de Poiseuille se puede medi la viscosidad del líquido conociendo su densidad y el tiempo que tadaía en pasa ente dos gaduaciones fijas del tubo gaduado A y B, conociendo la viscosidad de un líquido patón ν' con el que se le compaa, su densidad y el tiempo que tadaía en pasa ente los mismos puntos. Fig I.3a.b.- Viscosímetos Según la ecuación de Poiseuille: Q = π Δp R4 8 η l = π Δp l ( R )4 η = Volumen Tiempo ( m 3 seg ) El volumen del líquido a medi es: V = π Δp l ( R )4 t η El volumen del líquido patón es: V = π Δpʹ l ( R )4 tʹ η = Δp = γ h = γ (h"- h') = ρ g h = π ρ g h l ρʹ g h = Δpʹ = γ ʹ h = ρʹ g h = π l ( R )4 tʹ ηʹ ( R )4 t η Intoducción a los fluidos.i.-4

6 Dividiéndolas miembo a miembo esulta: = ρ t η ρ t η η η = ρ t ρ t ν ν = t t La cubeta M tiene que se lo suficientemente gande como paa que el aumento de nivel en la misma sea despeciable; ademas, acelea el paso del líquido po la pipeta, evitando la fomación de gotas a la salida po tensión supeficial. Paa calcula la vaiación de la pesión se toma un valo medio en altuas. Las viscosidades medidas con estos apaatos oscilan ente 0,0 y 5 Poises, oscilando el tiempo de paso ente 70 y 700 segundos. Viscosímeto de cilindos coaxiales.- Paa da una pimea definición de la viscosidad basta con medi la fueza necesaia paa desplaza, en su plano, una placa plana paalelamente a ota, peo las dificultades pácticas que compotaía la ealización de dicha medida, hace que, en la páctica, se eemplacen las dos placas po dos cilindos coaxiales, de adios y, dejando ente ellos un ligeo espacio ( - = e) que contiene el fluido a estudia, Fig I.4. Fig I.4.- Viscosímeto de cilindos coaxiales Si se hace gia el cilindo exteio alededo de su eje a velocidad constante, el cilindo inteio tiende a gia en el mismo sentido, po lo que si se desea mantenelo inmóvil, es necesaio ejece sobe él un pa M en sentido inveso al del movimiento del cilindo exteio. En égimen pemanente, este pa esistente debe equiliba el pa moto que povoca la otación del cilindo exteio, ya que no existe ninguna aceleación de la masa del fluido a la cual se apliquen los dos paes; la deteminación del pa pemite detemina la medida absoluta de la viscosidad del fluido. En el fluido, la velocidad angula vaía pogesivamente de, 0 π n, a lo lago de los adios de los cilindos, siendo n el númeo de evoluciones po minuto del cilindo exteio. Si se considean dos cicunfeencias concénticas de adios y +d en las que el fluido se mueve con velocidades angulaes espectivas, w y w +dw, y si se toman dos patículas de fluido cuyos centos espectivos están sobe estas dos cicunfeencias, en el instante t, puntos A y B sobe el mismo adio; duante el tiempo dt, si la patícula que estaba en A pasa a A', la patícula que estaba en B pasaá a B'. La patícula cuya velocidad angula sea mayo, está mas lejos que el punto B'', situado sobe el adio que pasa po A; el deslizamiento duante el tiempo dt de la patícula exteio, en elación a la patícula inteio, está epesentado po B"B' y la difeencia de velocidades en el deslizamiento del espeso de la capa fluida que contiene las patículas es: BB' dt = ( + d ) dw El gadiente de esta velocidad elativa siguiendo el adio es, despeciando los téminos de segundo oden: dw d. La tensión tangencial en el líquido es: Intoducción a los fluidos.i.-5

7 τ = F oz S = η dv d = η dw d El pa M es el mismo a lo lago del adio, ya que debe también equiliba, en égimen pemanente, el pa moto, po lo que, M =. Si la longitud vetical de los dos cilindos en contacto con el líquido es L, el momento de las fuezas de viscosidad especto al eje es: M = F = ( π L τ ) = π 3 L η dw d ; M = ; dw = d π 3 L η La integación de la ecuación anteio, pemite obtene la velocidad angula, que queda en la foma: w = - Paa: = i ; w = 0 4 π L η + te = te = 4 π i L η = - 4 π L η + 4 π i L η = 4 π L η ( - ) η = = Paa,, con n el nº de pm del cilindo exteio, despejando la viscosidad η se obtiene: w = π n/30 4 π L w ( - ) = 5 π L n ( - ) El cálculo pecedente no tiene en cuenta el efecto de bode en las secciones ectas infeioes de los cilindos, po lo que se suele intoduci un témino coectivo que incluya el fondo cicula, de foma que se pueda considea que el fondo se compota como una altua suplementaia h, quedando la expesión de la viscosidad en la foma: η = 5 π ( L + h) n ( - ) En este método, la deteminación de η se limita a ealiza una seie de medidas geométicas (,, L), cinemáticas n y mecánicas. Es evidente que además, la tempeatua y la pesión del fluido tienen que se conocidas y medidas. El apaato debe esta situado en un ecinto a tempeatua egulable, de foma que se pueda mantene fija en el tanscuso de la medida. Po convenio intenacional, existen unidades basadas en el tiempo que tada el líquido en pasa a tavés de un oificio pefectamente calibado. En Euopa se utilizan los gados Engle En USA se utilizan los segundos Saybold En Inglatea se utilizan los segundos Reedwood Los gados Engle se obtienen dividiendo el tiempo de vaciado del líquido poblema a tavés del oificio calibado y el tiempo que tadaía po el mismo oificio un líquido patón, agua destilada, efectuando ambas mediciones a la misma tempeatua; en consecuencia: E t º = t t agua siendo las tempeatuas más usuales paa ealiza estas mediciones de 0, Los segundos Saybold se obtienen midiendo el tiempo que 60 cm3 de fluido tadaan en cicula po Intoducción a los fluidos.i.-6

8 un oificio calibado siendo las tempeatuas más usuales de 70 F, 00 F, 30 F y 0 F. Los segundos Reedwood se obtienen midiendo el tiempo que 50 cm3 de líquido tadaían en cicula po un oificio calibado, siendo las tempeatuas mas usuales de 70 F, 00 F, 40 F y 00 F. Los coeficientes de viscosidad de los aceites lubicantes se expesan en unidades abitaias; en USA se utiliza el númeo S.A.E., iniciales de Society of Automotive Enginees. A 30 F, la viscosidad de algunos aceites es: SAE 0, está compendida ente 60 y 0 centipoises SAE 0, está compendida ente 30 y 330 SAE 30, está compendida ente 360 y 430 I.4.- INFLUENIA DE LA PRESIÓN Y TEMPERATURA EN LA VISOSIDAD Paa tempeatuas elevadas, la viscosidad de los líquidos es muy pequeña; paa un valo de tempeatua tendiendo a infinito, se coesponde con un valo ceo de la viscosidad. La ecuación que liga la tempeatua con la viscosidad es de la foma, Fig I.5: log η t η 0 = η T - T t = η T - T 0 siendo η 0, y T 0 valoes caacteísticos paa cada líquido. Paa líquidos, la vaiación de la viscosidad con la pesión viene dada po: η p = η 0 a p, con η 0 y a paámetos caacteísticos paa cada líquido. Paa los gases, la ley de dependencia ente la viscosidad y la tempeatua se puede expesa bastante bien po la fómula de Sutheland: η T = η 0 ( + 73 ) T 73 + T en la que los valoes de η 0 y vienen dados en la Tabla I. y siven paa valoes de T compendidos ente 00 K y 500 K. Po lo que especta a las pesiones, la viscosidad depende de ellas según la expesión: η p = η 0 ( + β p) siendo pocas las expeiencias que pemitan calcula β. Algunos valoes de β son: Paa el O a 5º... β = Paa el benzol a 0º β = Paa el agua... β = Tabla I..- Valoes de y η 0 de la fómula de Sutheland Fluido η 0 (kg.seg /m ) Aie 4 0,66 Oxígeno 8 0,8 Hidógeno 74 0,083 Nitógeno 0 0,6 Anhidido cabónico 60 0,37 Monóxido de abono --- 0,6 Vapo de agua 673 0,087 Intoducción a los fluidos.i.-7

9 Se obseva que cuando la tempeatua del fluido aumenta, la influencia de la pesión disminuye. Fig I.5.- Influencia de la pesión y la tempeatua en la viscosidad Fig I.6.- Viscosidad dinámica paa algunos líquidos Fig I.7.- Viscosidad dinámica paa algunos gases a p atm Fig I.8.- Viscosidad del agua y de líquidos deivados del petóleo Fig I.9.- Viscosidad cinemática del aie, agua y vapo de agua en función de la tempeatua y pesión Intoducción a los fluidos.i.-8

10 I.5.- INDIE DE VISOSIDAD Paa defini el índice de viscosidad se pate de dos tipos de aceite patón: - Un aceite paafínico al que se asigna el índice 00 (Pensilvania) - Un aceite asfáltico al que se asigna índice 0 (Gulf oast) Fig I.0.- Indice de viscosidad Mezclando estos aceites patones en difeentes pocentajes, se obtienen otos índices compendidos ente 0 y 00; el líquido poblema se compaa con el más póximo a uno de estos indices, obteniéndose de esta foma el índice del líquido poblema. V.I. ( Viscosity index ) = 00 AB A = 00 L - ν L - H, si: ν L ; V.I. = 0 ν H ; V.I. = 00 Tabla I..- Valoes de H y L paa ν a 00º Viscosidad cinemática a 00º H L H L H L H L 8, ,7...08,86 9, , ,7 0, ,8...6,49,00...0,54...9,85 8,0...64,97...,4 9,0...77,6...37,84 0,0...90, ,36,0...03,9...94,90 8,0...66,5...4,06 9,0...78, ,5 0,0...9,8...68,30,0...05, ,96 8, ,50...6,65 9, ,8...43,8 0, ,3...7,9, ,7...0,5 8, ,75...9,30 9,40...8, ,99 0, , ,07, ,0...04,4 8, ,04...,9 9,50...8,7...48,69 0, ,8...77,07, , ,34 8,60...7,9...4,53 9, ,98...5,4 0, ,5...79,98,60...0,89...0,47 8,70...7,54...7,5 9, ,6...54,5 0, ,49...8,90,70...,7...3,60 8, ,79...9,78 9, , ,98 0, ,8...85,85,80...3,7...6,83 8, ,09...3,5 9, , ,7 0,90..0,0...88,87,90...5,...9,98 Tabla I.3.- oelaciones ente divesas unidades de viscosidad dinámica y cinemática Viscosidad absoluta o dinámica Pa.seg entipoise Nseg/m = kg/m-seg 0,0 g/cm.seg lb/ft.seg lb/ft.hoa lb.seg/ft , , ,4 0,9.0 6, , , , , , 5900 Viscosidad cinemática m /seg entistoke ft /seg ft /hoa 0,0 cm /seg 06 0, , ,0388 9, , , I.6.- TENSIÓN SUPERFIIAL Y APILARIDAD La difeencia ente las moléculas que están dento de un líquido y las que están en la supeficie es que, en las pimeas, las fuezas atactivas que actúan en el pequeño espacio en que se manifiestan, se contaestan, mientas que en las segundas no sucede lo mismo, po cuanto existiá una esultante R que se diige hacia el seno del líquido, Fig I.. Intoducción a los fluidos.i.-9

11 Po lo tanto, si se quiee aumenta la supeficie libe del líquido, seá a expensas de lleva moléculas del mismo, a dicha supeficie, tomándolas del inteio del líquido, lo cual equiee un consumo de enegía. paa pode evalua el consumo de enegía po unidad de supeficie aumentada, que se conoce como tensión supeficial, se foma una laminilla jabonosa que al aplicala un esfuezo F avanzaá una cieta longitud l, Fig I., obteniéndose así un tabajo equivalente al necesaio paa lleva moléculas a la supeficie; cualquiea que sea el gado de estiamiento la fueza aplicada F seá siempe constante, en conta de lo que ocue con una membana, que sigue la ley de Hooke. Fig I..- Fuezas de tensión supeficial Fig I..- Esquema paa la deteminación del tabajo El tabajo ealizado es popocional a ΔS siendo la constante de popocionalidad la tensión supeficial σ: Tabajo: F l = σ = F a F = a σ = a σ l = ΔS σ siendo σ la tensión supeficial, que es una fueza po unidad de longitud pependicula a la fueza Fig I.3.- Paámetos de capilaidad conocen como efectos de supeficie. F, ó también, el tabajo ealizado po unidad de supeficie, al aumenta la supeficie. El aumento de supeficie se consigue al aplica la fueza F, ya que la lámina al esta fomada po un volumen de líquido limitado po dos capas supeficiales cuyo espeso es de algunas moléculas, al aplica la fueza F habá moléculas de este volumen de líquido que se desplazaan hacia las capas supeficiales. El conjunto de fenómenos que vienen ligados a la tensión supeficial se Ampliando los efectos de supeficie a láminas que sepaan una paed sólida y un líquido, o una paed solida y un gas, tendemos los fenómenos de capilaidad. Si llamamos: σ, tensión supeficial ente sólido y líquido σ, tensión supeficial ente líquido y vapo σ 3, tensión supeficial ente vapo y sólido α, el ángulo de contacto o ángulo de capilaidad f a, la fueza adheente o fueza de atacción ente la poción aislada y la paed esulta, Fig I.3: f a = σ sen α σ 3 - σ = σ cos α tg α = f a σ 3 - σ Intoducción a los fluidos.i.-0

12 sen α = f a σ cos α = σ 3 - σ σ ( f a σ ) + ( σ 3 - σ σ ) = σ = f a + (σ 3 - σ ) = σ 3 - σ = = f a + ( f a tg α ) = f a ( + f a tg α = tg α ) = f a sen α omo conclusión se puede deci que, si: σ 3 > σ tgα (+) el líquido moja σ 3 < σ tgα (-) el líquido no moja I.7.- ALTURA ALANZADA POR UN LIQUIDO EN EL INTERIOR DE UN TUBO DE PEQUE- ÑO DIÁMETRO La columna líquida (ABD) estaá en equilibio bajo la acción de su popio peso y de la componente Fig I.4.- Altua alcanzada en un capila po tensión supeficial vetical de la fueza de tensión supeficial, que actúa sobe la cicunfeencia de intesección de la columna líquida con el tubo, Fig I.4. A pati de la componente vetical F = π σ cos α = π γ h h = σ cos α γ F se obtiene el valo de h que es la altua alcanzada po el líquido en el inteio del capila: que es diectamente popocional al coeficiente de tensión supeficial σ, y está en azón invesa de la densidad del líquido ρ y del adio del tubo. coeficiente de tensión supeficial σ en la foma: σ = h ρ g Si α está muy póximo a 0, la expesión anteio pemite medi el Si admitimos que el menisco tiene foma esféica de adio R, el valo de la pesión inteio seá: h γ = p = σ cos α = σ R que es una depesión, paa cuando el menisco tenga foma cóncava, y una sobepesión paa cuando tenga foma convexa. Tabla I.4.- Valoes del coeficiente de tensión supeficial σ, dinas/cm Líquido Tensión supeficial Líquido Tensión supeficial dinas/cm dinas/cm Mecuio en aie 53 Aceite lubicante 35,7-38,7 Mecuio en agua 40 Aceite cudo 3,8-38,7 Mecuio en vacío 495 Benzol 9,4 Agua 7,5 Petóleo 6 Gliceina 30 Alcohol etílico Aceite de icino 36,4 Tetaclouo de cabono 7, Intoducción a los fluidos.i.-