Teoría Electromagnética

Transcripción

1 José Moón Fundamentos de Teoía Electomagnética I. Campos Estáticos 3

2 Índice Geneal CAPÍTULO Intoducción al Análisis Vectoial. Intoducción. Escalaes Vectoes.3 Multiplicación Vectoial 5.4 Vectoes Base Componentes Vectoiales.5 Vectoes Unitaios Otogonales en un istema de Coodenadas Catesianas.6 Vectoes Otogonales Unitaios en un istema de Coodenadas Cilíndicas 3.7 istema de Coodenadas Esféicas. Vectoes Otogonales Unitaios 6.8 Poducto Punto (Escala) Poducto Cuz (Vectoial) 9.9 El Gadiente de una Función Escala de la Posición. La Divegencia el Rotacional en Coodenadas Catesianas 5. Integales de Línea, upeficie Volumen 7.. Integales de Línea 7.. Integales de upeficie 36. Definición Geneal del Gadiente de una Función Escala 39.3 Definición Geneal de la Divegencia de una Función Vectoial 4.4 La Divegencia en Coodenadas Catesianas 43.5 El Teoema de la Divegencia; Tubos de Flujo 45.6 Definición Geneal del Rotacional de una Función Vectoial 5.7 Teoema de tokes 55.8 Puntos de Fuente Puntos del Campo 6

3 ii.8. Fuentes Puntuales 63.9 El Teoema de Geen el Teoema de la Unicidad 65. Coodenadas Cuvilíneas Otogonales 67.. El Gadiente 69.. La Divegencia El Rotacional 7..4 El Laplaciano 7. El Teoema de Helmholtz 7. Integación de la Ecuación de Poisson 76.3 Ángulos ólidos 8.4 Resumen de las Definiciones Geneales paa el Gadiente, la Divegencia el Rotacional 83.5 Identidades Vectoiales 84 PROBLEMA 88 CAPÍTULO Campos Elécticos Estáticos. Intoducción 93. Le de Coulomb 93.3 Intensidad de Campo Eléctico 99.4 Campos Elécticos Poducidos po Distibuciones de Cagas 5.5 Líneas de Flujo Gáficas de los Campos.6 Densidad de Flujo Eléctico 4.7 Le de Gauss 7.8 Aplicaciones de la Le de Gauss.9 El Potencial Eléctico 8

4 iii. El Potencial Escala de una Distibución de Caga 3. Relación ente E V 33. El Dipolo Eléctico 4.3 Densidad de Enegía en el Campo Electostático 44 PROBLEMA 5 CAPÍTULO 3 Medios Mateiales en Campos Elécticos Estáticos 3. Intoducción Popiedades de los Mateiales Tipos de Coientes Conductoes Polaización en Dielécticos Constante Resistencia Dielécticas Dielécticos Lineales, Isótopos Homogéneos La Ecuación de Continuidad el Tiempo de Relajación Condiciones de Fontea Condiciones de Fontea paa la Densidad de Coiente Capacitancia Capacitoes Relación Resistencia Capacitancia Enegía en el Campo Electostático 9 PROBLEMA 98

5 iv CAPÍTULO 4 olución de Poblemas Electostáticos 4. Ecuaciones del Campo del Potencial 3 4. Distibuciones Aiales de Caga 4.3 El Dipolo Fomulación de Poblemas con Valoes de Fontea en Electostática Unicidad de la olución olución de la Ecuación de Laplace oluciones Fomales de la Ecuación de Laplace en Coodenadas Cilíndicas oluciones Fomales de la Ecuación de Laplace en Coodenadas Esféicas El Método de Imágenes 38 PROBLEMA 47 Capítulo 5 Magnetostática 5. Intoducción Le de Biot avat Le de Ampee Relación ente J H Densidad de Flujo Magnético El Potencial Vectoial Magnético Fuezas Paes Magnéticos 7

6 v 5.7. Fueza sobe un Elemento de Coiente Paes o Momentos de Tosión Magnéticos El Dipolo Magnético Magnetización Coientes de Magnetización Condiciones de Fontea El Potencial Magnético Escala Poblemas de Fontea en Magnetostática Inductancia e Inductoes Enegía Magnética 97 PROBLEMA 3 CAPÍTULO 6 PRINCIPIO GENERALE Y LA ECUACIONE DE MAXWELL 6. La Intensidad del Campo Eléctico Epeimento La Coiente Eléctica Algunas Popiedades de la Intensidad del Campo Eléctico Epeimento La Le de Gauss la Densidad del Campo Eléctico El Campo Magnético Epeimento La Densidad del Campo Magnético La Pimea Ecuación de Mawell Epeimento 5 33

7 vi 6.5. La Le de Faada La Intensidad del Campo Magnético Epeimento La egunda Le de Mawell Popiedades Macoscópicas de la Mateia Polaización Eléctica Magnética Medios Conductoes Los Potenciales Electomagnéticos Vectoiales Escalaes Condiciones de Fontea Flujo de Enegía en el Campo Electomagnético Ondas Electomagnéticas 346 PROBLEMA 347 BIBLIOGRAFÍA 35 Apéndice 35 istema de Unidades 35

8 Capítulo Intoducción al Análisis Vectoial. Intoducción La deducción de las elaciones ente las componentes del campo electomagnético se simplifica consideablemente si se usa análisis vectoial. Un vecto es una cantidad que equiee de tes númeos paa epesentalo en un sistema de coodenadas dado. Los tes númeos se denominan las componentes escalaes del vecto. Una ecuación vectoial epesenta tes ecuaciones que elacionan las componentes escalaes en una foma que es independiente de cualquie sistema de coodenadas en paticula. Además de su elegancia matemática, el análisis vectoial también pemite da una intepetación geomética a las ecuaciones. e veá que esto es de gan impotancia en la fomulación de las lees de la teoía electomagnética. En este capítulo se pesenta una evisión del análisis vectoial con énfasis en la notación, teoemas ecuaciones usadas en capítulos subsiguientes.. Escalaes Vectoes Paa nuestos popósitos, una cantidad escala es aquella cua descipción es completa al da un solo númeo; po ejemplo, si se dice que una caja mide de alto,5 m, se ha especificado completamente su altua. En paticula, aunque un escala puede se positivo, negativo o ceo, no involuca la idea de una diección en el espacio; po ejemplo, si se dice que la masa de un cuepo es, digamos, igual a kilos, a esta afimación no se le puede agega nada paa que la descipción de esa masa sea más completa. Po ello, la masa es un escala. En foma simila, la caga eléctica neta situada en un cuepo es un escala, que puede se positivo, negativo o ceo. La coodenada del cento de masa de un cuepo con elación a un maco de efeencia (sistema de coodenadas) dado po ejemplo metos es un escala. Así pues, un escala tiene magnitud solamente magnitud. i el valo numéico de un escala no depende de la selección del sistema de coodenadas que se esté usando, a este escala se le denomina un escala invaiante. De acuedo con esto, la masa de un cuepo la caga eléctica en un cuepo son escalaes invaiantes. Po oto lado, la coodenada de un punto, dada aiba como metos, no es un escala invaiante, poque

9 no tiende a pemanece igual a metos si se cambia el maco de efeencia. Una cantidad invaiante puede vaia con el tiempo puede se difeente en puntos difeentes del espacio, peo no es afectada si se cambia el maco de efeencia. Una vez que un escala ha sido identificado como invaiante, se le efeiá simplemente como un escala. Las cantidades escalaes asociadas con puntos individuales en el espacio (dento o fuea de cuepos mateiales) se denominan funciones escalaes de la posición o campos escalaes (más adelante se da un tatamiento más detallado al concepto de campo). Una cantidad vectoial o simplemente un vecto es aquella que equiee paa su descipción completa una magnitud, una diección una posición. Es deci, una cantidad física es un vecto si sólo si (a) tiene una magnitud numéica, (b) tiene una diección en el espacio (c) obedece la egla del paalelogamo paa la suma. i paa la caja mencionada anteiomente se quiee descibi una fueza ejecida sobe ella, entonces se necesita conoce la magnitud de la fueza, su diección su punto de aplicación. Otos ejemplos sencillos de vectoes son el desplazamiento, la velocidad la aceleación de una patícula. Ahoa bien, el concepto de una diección en el espacio no involuca un sistema de coodenadas. Como consecuencia, las tes popiedades dadas de los vectoes implican que el concepto de un vecto físico no está ligado a ningún sistema de coodenadas. in embago se debe menciona que los aspectos de diección posición de una cantidad vectoial implican la eistencia de un punto de efeencia, vale deci, un sistema de coodenadas. Peo, en el análisis vectoial, las opeaciones vectoiales son independientes del sistema de coodenadas utilizado, peo siempe se sobeentiende la eistencia de un sistema de coodenadas adecuado. El concepto de un campo necesita del concepto de una egión, aunque no se tataá de da una definición pecisa de egión, se tomaá el concepto intuitivo consideando a una egión como aquella pate de todo el espacio dento (o fuea) de una supeficie ceada (supeficie tidimensional). Este concepto puede etendese a egiones de una, dos n dimensiones. Es impotante compende que la fontea de la egión puede esta en el infinito, ocupando la egión todo el espacio; en este caso se descibe a la egión como una egión ilimitada o no acotada. Con la palaba campo eisten poblemas paa definila po su ambigüedad. Genealmente, las definiciones de un campo se dividen en dos clases pincipales: una de estas clases define a un campo como una egión del espacio dedicada a un uso deteminado o poseendo alguna caacteística distintiva; po ejemplo, un campo de béisbol, un campo paa semba maíz. La ota clase pincipal define a un campo como la influencia de algún agente en una egión, como ejemplos se pueden menciona un campo gavitatoio, un campo eléctico o un campo de tempeatuas. Nuesta definición especializada de un campo petenece a esta última clase. Un campo se define como la especificación de una cantidad paticula en todas las pates de una

10 3 egión, en todo instante t, ese valo descibe esa cantidad completamente (en el instante t). i la cantidad especificada es escala, se tiene un campo escala, si la cantidad es vectoial, se tiene un campo vectoial. La cantidad paticula que se especifica se denomina una cantidad del campo. Un campo es estático o estacionaio si es independiente del tiempo; un campo vaiable en el tiempo con fecuencia se denomina dinámico. Ninguna cantidad física pemanece constante indefinidamente, peo en peíodos de tiempo finitos (o cuando las vaiaciones con el tiempo son pequeñas), con fecuencias es conveniente considealas como estáticas. Cuando las vaiaciones en el tiempo son gandes peo lentas, se utiliza el témino cuasiestático. En geneal, los campos físicos son tidimensionales, dependiendo así de tes vaiables espaciales. La pesión de la atmósfea teeste es un campo tidimensional. Idealmente hablando, también ha campos bidimensionales unidimensionales; ejemplos de ellos son la densidad de pintua sobe la supeficie de una paed (bidimensional) la tensión en todos los puntos de la cueda de una guitaa (unidimensional). Ya se especificó que un escala es una cantidad que puede se epesentada po un númeo eal. Po ejemplo, la masa, longitud, tiempo tempeatua son escalaes. i se asocia un escala con cada punto de una egión R, se dice que eiste un campo escala en el inteio de R; es deci, un campo escala es completamente especificado po un solo númeo paa cada punto. Un ejemplo de un campo escala seía, po ejemplo, la distibución de tempeatua en un cuepo sólido. También se mencionó que una cantidad física se denomina una cantidad vectoial, o simplemente un vecto si, sólo si, tiene una magnitud numéica, una diección en el espacio, además, obedece la egla del paalelogamo paa la adición. También se dijo que como consecuencia de ello, estas tes popiedades implican que el concepto de un vecto físico no implica algún tipo de coodenadas. Cuando se usan coodenadas, un vecto es una cantidad que equiee de tes númeos paa epesentalo (espacio tidimensional). La velocidad de una patícula es un vecto se epesenta po las componentes de la velocidad u, u u3 con especto a un sistema de coodenadas dado. Desde un punto de vista geomético, esto implica que la velocidad posee tanto magnitud o longitud como también una oientación o diección. Geométicamente, un vecto es más fácil de visualiza. Po tanto, gáficamente un vecto A (los vectoes se indican en negitas o mediante una leta en la foma A ) se epesenta típicamente mediante un segmento diigido (Fig..). La longitud del segmento epesenta la magnitud A de A (aunque también se puede usa el símbolo A ) en una escala adecuada, la diección se indica po la punta de la flecha en un etemo del segmento; también puede definise po la diección de un vecto unitaio (vecto de longitud unitaia) adimensional â, el cual es colineal con A. Entonces A = a ˆA a ˆ =. Ha dos clases de vectoes: vectoes ligados vectoes libes. Los vectoes ligados tienen una posición fija. Po ejemplo, al tata con fuezas cuos puntos de aplicación o líneas de acción no pueden desplazase, es necesaio pensa en ellas como vectoes ligados. Un vecto libe es

11 4 caacteizado completamente po su magnitud diección. En lo que sigue, se entiende que los vectoes son vectoes libes a menos que se especifique lo contaio. Dos vectoes libes son iguales si sus magnitudes, o longitudes, son iguales sus diecciones son las mismas, indifeentemente de los puntos en el espacio donde se dibujen. En otas palabas, una cantidad vectoial puede epesentase igualmente bien mediante cualquiea de los infinitamente muchos segmentos de líneas con la misma longitud la misma diección. Po ello, se acostumba deci que un vecto puede movese paalelo a sí mismo sin ningún cambio. La elación A = B significa que A B concuedan, peo no significa necesaiamente que las colas de las flechas que epesentan A B estén en el mismo punto. Las opeaciones matemáticas definidas paa escalaes, como la suma la multiplicación no son aplicables a vectoes, a que éstos tienen tanto magnitud como diección. De manea que se debe intoduci un conjunto de opeaciones vectoiales. Estas opeaciones son las eglas paa combina un vecto con oto vecto o un vecto con un escala. Ha vaias fomas de combina un vecto con oto vecto o un vecto con un escala. i c es un escala (númeo) positivo, la ecuación A = cb significa que la diección del vecto A es la misma que la de B la magnitud es c veces la de B. i c es negativo, la ecuación significa que la diección de A es opuesta a la de B su magnitud es c veces la de B. La suma o adición de un vecto A un vecto B se define mediante el vecto C = A + B, el cual foma un tiángulo ceado con A B, como se ilusta en la Fig..(a). e dice que el vecto C es la esultante o suma de los vectoes A B. Obsévese en la Fig..(b) que la suma A + B es el vecto que se obtiene conectando la cola del pime vecto con la punta del segundo vecto. Usando la egla del paalelogamo, es sencillo demosta gáficamente que la adición vectoial es conmutativa. En el álgeba vectoial se tienen entonces las siguientes eglas (c una constante): ( ) ca = Ac c A + B = ca + cb A + B = B + A También, la egla del paalelogamo es válida tanto paa los vectoes libes como paa los vectoes ligados. B C = A + B C = A + B A A B (a) (b) Figua.. Adición vectoial.

12 5 Paa obtene la difeencia ente dos vectoes, A B, es necesaio defini el negativo de un vecto. El vecto A se define mediante la ecuación A + ( A) =, tiene la misma magnitud que A peo la diección opuesta. El vecto sustacción B de A se define, como un caso especial de la adición, po la suma vectoial de A ( B). Gáficamente, también se puede demosta fácilmente que la adición vectoial es asociativa, es deci, A + ( B + C) = ( A + B) + C i A, B C son los tes lados de un paalelepípedo, entonces A + B + C es el vecto a lo lago de la diagonal más laga. Un vecto puede esolvese a lo lago de dos diecciones cualesquiea en un plano que lo contenga. La Fig.. muesta cómo se usa la egla del paalelogamo paa constui los vectoes A B que se suman paa foma C. C A C B Figua.. Descomposición de un vecto en un plano. En tes dimensiones, un vecto puede esolvese a lo lago de tes líneas no coplanaes cualesquiea. La Fig..3 muesta cómo un vecto puede se esuelto a lo lago de tes diecciones, hallando pimeo un vecto en el plano de dos de las diecciones luego esolviendo este nuevo vecto a lo lago de las dos diecciones en el plano..3 Multiplicación Vectoial Figua.3. Descomposición de un vecto en el espacio. El Poducto Punto o Poducto Escala. El ángulo ente dos vectoes se define como el meno ángulo a tavés del cual puede otase uno de los vectoes paa que su diección sea la misma que la del oto vecto. Puesto que un vecto posee magnitud diección, es posible defini

13 6 dos tipos de poductos. El poducto escala o poducto punto de A B se define mediante la ecuación AiB ABcos θ = AB (.) donde θ es el ángulo inteno o meno (a definido) ente A B cuando A B se dibujan cola con cola, donde B = Bcosθ epesenta la poección pependicula de B sobe A (Fig..4). p Obsévese que el poducto escala es también un escala (positivo, negativo o ceo) no tiene diección en el espacio. Debemos ecalca el hecho de que el poducto escala, como opeación con vectoes, Ai B, puede se evaluado sin efeencia a algún sistema de coodenadas en paticula. Como el poducto escala es un escala, claamente el poducto es conmutativo El poducto escala es distibutivo; es deci, p AiB = Bi A (.) ( ) Ai B + C = AiB + Ai C La demostación de esto se establece ápidamente con la auda de la Fig..5 obsevando que la ecuación anteio puede escibise como ADp A( Bp Cp ) Dp = Bp + C p. = + donde D B + C, que Casos especiales de poductos escalaes son: si los dos vectoes son paalelos, entonces θ = Ai B = AB. En paticula, Ai A = A. i A B son pependiculaes, entonces θ = 9 Ai B =. En esumen, B θ B p A Figua.4. El poducto escala Ai B. C B B p B+C C p D p A Figua.5. La le distibutiva paa el poducto escala.

14 7 AB si θ = A B = si θ = 9 AB si θ = 8 i (.3) A A = i A (.4) Una aplicación impotante del poducto punto es su utilización paa detemina la componente de un vecto en la diección de oto vecto. Po ejemplo, en la Fig..5, la magnitud de la componente de B en la diección de A viene dada po la elación Ai B A, el vecto componente de B en la diección de A es entonces AiB A AiB B = = A (.5) A A A e deduce también que la componente vectoial de B pependicula a A es entonces B A B. = El Poducto Cuz o Poducto Vectoial. El poducto vectoial o poducto cuz, denotado po C = A B, es ota combinación paticula de los dos vectoes A B, se define po el vecto cua magnitud es C = AB sen θ (.6) po el equeimiento de que A, B C fomen un sistema deecho; es deci, C tiene la diección de avance (la nomal al plano fomado po A B) de un tonillo de osca deecha confome A es otado hacia B (ve la Fig..6). El poducto vectoial puede escibise como A B = nˆ ABsen θ = A B p (.7) C ˆn B θ B p A Figua.6. El poducto vectoial A B.

15 8 donde ˆn es un vecto unitaio nomal al plano que contiene al pa A B Bp es el vecto fomado po la poección de B sobe un plano nomal a A. Geométicamente, la magnitud A B es el áea de un paalelogamo fomado po A B como sus lados (Fig..6). Es sencillo deduci, a pati de la definición, que el poducto vectoial no es conmutativo, es deci, que el vecto B A está en la diección contaia a la del vecto A B, como consecuencia, A B B A, o lo que es lo mismo, A B = B A. El poducto vectoial de dos campos vectoiales, dígase F G, es a su vez un campo vectoial. e denota po F G se constue calculando en todo punto P el poducto vectoial de los vectoes F G. El poducto vectoial es distibutivo; es deci, A ( B + C) = A B + A C (.8) La demostación se puede establece tomando un plano nomal a A poectando B, C B + C sobe este plano (Fig..7). El vecto A Bp se obtiene a pati de Bp giándolo 9º en una diección antihoaia multiplicándolo po A. Po tanto, vemos que el tiángulo I es giado a tavés de 9º que, luego de multiplica po A foma el tiángulo II, e obtiene entonces que la Ec. (.8) se deduce a pati de la Ec. (.7). A ( B + C) p = A Bp + A B p Cuando se multiplican tes vectoes, no todas las combinaciones de los poductos punto cuz tienen significado. Los únicos dos poductos de tes vectoes que tienen sentido se eplican a continuación. Uno de ellos, que ocue con fecuencia es el poducto escala tiple, ( ) A cos BC sen Ai B C = α θ A C p A (B + C) p II A A B p (B + C) p B p I C p Figua.7. La le distibutiva paa el poducto vectoial.

16 9 B C α A C θ B Figua.8. El poducto escala tiple. El lado deecho de la elación anteio epesenta el volumen del paalelepípedo fomado po los vectoes A, B C, siempe que α π (Fig..8). i α > π, se puede eemplaza A po A conclui que el poducto escala tiple epesenta el volumen negativo del paalelepípedo fomado po los vectoes A, B C. Puesto que el volumen no cambia si se intecambian los vectoes A, B C en una foma cíclica, se tiene que Ai( B C) = Ci( A B) = Bi ( C A) (.9) Una segunda identidad vectoial de gan impotancia es el poducto vectoial tiple, ( ) ( ) ( ) Paa demosta la elación dada po la Ec. (.), se toma A B C = AiC B Ai B C (.) A = A + A p n donde los vectoes Ap An son, espectivamente, las componentes de A paalela nomal al plano P que contiene a B C. e tiene entonces que se ve que D está en el plano P (Fig..9). D Ap ( B C) = A ( B C) A p α C ( A p C ) B B β ( A p ) B C A n D Figua.9. El poducto vectoial tiple.

17 La magnitud de D está dada entonces po ( ) ( )( ) ( )( ) D = A BC sen β α = A C cos α Bsenβ A Bcosβ C sen α p p p donde los ángulos α β son como se muestan en la figua. La epesión anteio puede escibise en función de poductos escalaes como D D = ( A pic) B ( A pib) C i D Puesto que Ap es pependicula a D, se deduce que ( i ) ( i ) A C B A B C = D + A p p p donde es un escala desconocido. Paa detemina, se multiplica escalamente la ecuación anteio po Ap. Esto poduce = se obtiene ( pi ) ( pi ) D = A C B A B C Paa completa la demostación de la Ec. (.4), ahoa basta con obseva que AiC = A ic AiB = A i B p p.4 Vectoes Base Componentes Vectoiales Los vectoes base son un conjunto de vectoes seleccionados como una base paa epesenta todos los demás vectoes. La idea es constui cada vecto a pati de la adición de vectoes en la diección de los vectoes que foman las bases. Po ejemplo, el vecto en la Fig.. puede escibise como la suma de los tes vectoes u, u u3, cada uno en la diección de los vectoes base e, e e3, de modo que u = u + u + u 3 u u 3 e 3 u u e e Figua.

18 Cada uno de los vectoes u, u u3 es paalelo a uno de los vectoes base puede escibise como un múltiplo escala del vecto base coespondiente. Denotando po u, u u3 estos multiplicadoes escalaes, se tiene entonces que El vecto oiginal puede ahoa escibise como u u u = u e = u e = u e u = u e + u e + u e (.) 3 3 su epesentación se muesta en la Fig... Los multiplicadoes escalaes u, u u3 se conocen como las componentes de u en la base descita po los vectoes base e, e e3. i los vectoes base son vectoes unitaios, entonces las componentes epesentan las longitudes, espectivamente, de los tes vectoes u, u u3. i los vectoes base son vectoes unitaios son mutuamente otogonales, entonces la base se conoce como una base otonomal, euclídea o catesiana. u u3e ˆ3 e 3 e u e ˆ ue ˆ e Figua.. Componentes de un vecto u en función de vectoes base..5 Vectoes Unitaios Otogonales en un istema de Coodenadas Catesianas Paa la descipción algebaica de vectoes, se intoduce un sistema de coodenadas paa el maco de efeencia, aunque es impotante tene en mente que la magnitud diección de un vecto son independientes del maco de efeencia. En un sistema de coodenadas catesianas, z, un vecto abitaio u se puede epesenta en función de sus componentes escalaes u, u uz, que son las magnitudes de las poecciones del vecto u sobe los ejes, z, espectivamente, los tes vectoes base unitaios aˆ, aˆ a ˆ (Fig..), los cuales tienen las z diecciones (positivas) de los ejes, z, espectivamente (Fig..3): u = aˆ u + aˆ u + u a ˆ (.) z z La epesentación del vecto u po una flecha sugiea una segunda posibilidad. La flecha u u, u, u. Entonces, si se está de acuedo en comienza en el oigen temina en el punto ( z )

19 que el vecto comienza en el oigen, el etemo positivo puede especificase dando las u, u, u de la punta de la flecha. coodenadas catesianas ( z ) a ˆ z a ˆ z a ˆ w v u Figua.. Vectoes unitaios en coodenadas catesianas. El sistema mostado en la figua es uno de mano deecha donde el pulga de la mano deecha apunta en la diección de z si los dedos son tales que epesentan una otación alededo del eje z desde hasta. Este sistema puede cambiase a un sistema de mano izquieda invitiendo la diección de cualquiea de las líneas de coodenadas su vecto base asociado. Los vectoes unitaios tienen las siguientes popiedades:. Tienen longitud unitaia. Po ello,. on mutuamente otogonales. Es deci, aˆ i aˆ = aˆ iaˆ = aˆ i aˆ = z z aˆ i aˆ = aˆ iaˆ = aˆ i aˆ = z z 3. Como se indicó, foman un sistema deecho (esto es, se igen po la egla de mano deecha). Es deci, aˆ aˆ = aˆ aˆ aˆ = aˆ aˆ aˆ = a ˆ z z z Eo! Eo! z Eo! a ˆ a ˆ z α γ a ˆ u β a ˆ z u z a ˆ u a ˆ u

20 3 z a ˆ z u a ˆ a ˆ a ˆ z u z a ˆ u a ˆ u Figua.3. Un sistema de coodenadas catesianas. e deduce entonces que paa obtene las componentes u, u uz cuando se da u, sólo se tiene que multiplica escalamente a u po aˆ, aˆ a ˆ, espectivamente. Po ejemplo, z u = ui aˆ Obseve también que el poducto escala de un vecto po sí mismo, poduce la magnitud del vecto al cuadado, es deci, u = u = ui u = u + u + uz La longitud difeencial en coodenadas catesianas es un vecto se define como dl = aˆ d + aˆ d + a ˆ dz z Usando paa la magnitud del vecto, la Fig..3 muesta que las coodenadas de la punta de la flecha la magnitud están elacionadas po = cos α, = cos β, z = cos γ (.3) Aquí cosα, cosβ cos γ se denomina los cosenos de diección. El áea de una supeficie difeencial d es una cantidad vectoial con una magnitud d igual al poducto de dos longitudes difeenciales su diección se denota mediante un vecto unitaio en la tecea diección. En coodenadas catesianas, las áeas son entonces d ˆ = ad dz (plano z) d = aˆ d dz (plano z) d = aˆ d d (plano ) z z (.4) Un volumen difeencial es igual al poducto de tes longitudes difeenciales: dv = d d dz (.5)

21 4 Una cantidad vectoial de paticula impotancia es el vecto de posición o de desplazamiento (o adio vecto) de un punto P con coodenadas (,, z) se define como la distancia diigida desde el oigen O hasta P, es deci, = aˆ + aˆ + za ˆ (.6) z.6 Vectoes Otogonales Unitaios en un istema de Coodenadas Cilíndicas En la solución de muchos poblemas del campo se encontaá que las coodenadas catesianas no siempe son las más convenientes que algunas veces son pefeibles, po ejemplo, las coodenadas cilíndicas o esféicas. La Fig..4 ilusta las coodenadas cilíndicas ρ, φ, z las cuales están elacionadas con las coodenadas catesianas,, z po las ecuaciones la elación invesa es = ρcos φ, = ρsen φ, z = z (.7) ρ = +, φ = tan, z = z (.8) Los ecoidos de las vaiables son ρ <, φ < π < z <. Los vectoes unitaios en coodenadas cilíndicas son aˆ, ˆ ˆ ρ aφ a z, espectivamente, localmente en cualquie punto P ellos foman un sistema otogonal deecho. e debe señala que aˆ a ˆ dependen de φ. Un vecto u en coodenadas cilíndicas puede escibise como la magnitud de u es u = u ˆ u ˆ u z ˆ ρaρ + φaφ + a z (.9) ρ φ u = ui u = u + u + u z ρ φ El vecto de posición OP mostado en la Fig..4 tiene componentes en ρ z solamente. Así pues, = OP = ρ aˆ + za El vecto de posición depende implícitamente de φ a que a ˆ ρ depende de φ. Po tanto, cuando se da un vecto de posición, es necesaio especifica que a ˆ ρ está a un ángulo φ. Mediante poección otogonal de aˆ a ˆ sobe aˆ, a ˆ se pueden obtene las siguientes elaciones: ρ ρ ˆ z φ

22 5 z â z P â φ O z â ρ φ ρ Figua.4. Coodenadas cilíndicas. aˆ = aˆ cos φ aˆ sen φ, aˆ = aˆ sen φ + a ˆ cos φ ρ φ ρ φ Estas ecuaciones pueden usase paa conveti la epesentación de un vecto en coodenadas catesianas a su epesentación en coodenadas cilíndicas. Po ejemplo, u = aˆ u + aˆ u + u aˆ z z ( cos sen ) + ( sen cos ) = aˆ u φ + u φ aˆ u φ + u φ + aˆ u ρ z z Las componentes de u en las diecciones de ρ φ en coodenadas cilíndicas son entonces u = u cos φ + u sen φ, u = u sen φ + u cos φ φ En foma maticial, se escibe la tansfomación del vecto u de coodenadas cilíndicas a catesianas como u cos φ sen φ uρ u = sen φ cosφ u φ uz uz la invesa de esta tansfomación se obtiene como uρ cosφ sen φ u u φ = sen φ cos φ u uz uz (.) (.) La Fig..5 muesta un volumen difeencial en coodenadas cilíndicas. La longitud difeencial en este sistema está dada po dl = aˆ d ˆ d ˆ ρ ρ + aφρ φ + a z dz (.)

23 6 dz z d ˆ z = a zρdρdφ d = a ˆ dρdz ρdφ dz φ d = a ˆ ρdφdz ρ ρ dv = ρdρdφ dz φ O φ ρ dρ ρdφ Figua.5. Elemento de volumen en coodenadas cilíndicas. El poducto de cualquie pa de longitudes difeenciales es igual a la magnitud del áea de una supeficie difeencial con una nomal que apunta en la diección de la tecea coodenada. Así pues, d = aˆ ρdφdz (supeficie cilíndica φ z) ρ d = aˆ dρdz (plano ρ z) φ d z ρ φ = aˆ ρ dρ dφ (plano ρ φ) z (.3) El volumen difeencial es el poducto de las tes longitudes difeenciales, es deci, dv = ρ dρ dφ dz (.4) Ejemplo. Epesa el campo vectoial dado en coodenadas catesianas po en coodenadas cilíndicas. A (,, z) = ( + )( aˆ ˆ + a ) 3 ( + + )( + ) olución: En pime luga se sustituen en la elación anteio los vectoes unitaios aˆ función de los vectoes unitaios en coodenadas cilíndicas aˆ a ˆ : ρ φ a ˆ en aˆ = cos φaˆ sen φaˆ aˆ = sen φ aˆ + cos φaˆ ρ ρ φ φ se obtiene

24 7 ( + ) ( + + )( + ) ( + ) ( + + )( + ) A = 3 φ + φ + 3 φ + φ ( cos sen ) ( sen cos ) la cual tiene todavía una foma combinada. A continuación se eemplaza po ρsen φ, se usa la elación + = ρ se obtiene ρ cos φ + ρ sen φ A ( ρ, φ ) = sen cos cos sen 3 ρ φ φ + ρ φ φ ( + ρ ) ρ que al simplifica da como esultado aˆ aˆ ( ) ρ cos φ + ρ sen φ + 3 ρ φ + ρ φ ( + ρ ) ρ cos A ( ρ, φ ) = + ρ ( sen cos ) + φ.7 istema de Coodenadas Esféicas. Vectoes Otogonales Unitaios a ˆ φ aˆ φ ρ φ aˆ ρ ρcos φ po En el sistema de coodenadas esféico, un punto se específica en el espacio en foma única po las vaiables, θ φ, como se muesta en la Fig..6. La coodenada descibe una esfea de adio centada en el oigen. El ángulo θ se mide tomando como efeencia el eje z positivo descibe una supeficie cónica con su ápice en el oigen, el ángulo φ es el mismo que en el sistema cilíndico. Los ecoidos de las vaiables son: < θ < π φ < π Los vectoes unitaios en un sistema de coodenadas esféicas son aˆ, aˆ a ˆ, localmente, θ φ en cualquie punto P, foman un sistema deecho de coodenadas otogonales (Fig..6). El vecto a ˆ está en la diección adial, a ˆ θ está en un plano que contiene al eje z al punto P está diigido en la diección ceciente de θ. El vecto aˆ φ es nomal a este plano está diigido en el sentido ceciente de φ. Obseve que los vectoes unitaios en cualquie punto P dependen de las coodenadas θ φ. La elación ente las coodenadas de P en coodenadas esféicas catesianas puede obtenese poectando a P sobe los ejes, z. e obtiene así que = sen θcos φ, = sen θsen φ, z = cosθ (.5)

25 8 Los vectoes base unitaios aˆ, aˆ a ˆ obedecen las elaciones θ φ aˆ aˆ = aˆ, aˆ aˆ = aˆ, aˆ aˆ = a ˆ (.6) θ φ θ φ φ θ un vecto u en coodenadas esféicas puede epesase como La magnitud de este vecto es u = u aˆ + u aˆ + u a ˆ (.7) θ θ φ φ u i (.8) = u u = u + u + u θ φ El vecto de posición OP hasta el punto con coodenadas (, θ, φ) es simplemente = ˆ a (.9) peo siempe teniendo en mente que a ˆ depende implícitamente de θ φ. Las epesiones paa los vectoes coespondientes a la longitud, supeficie volumen difeenciales, dl, d dv, son espectivamente dl = aˆ d + aˆ dθ + aˆ sen θdφ ( ) ( ) ( ) aˆ sen supeficie esféica d = θdθdφ θ φ d = aˆ sen θ d dφ supeficie cónica φ θ θ d = aˆ d dθ plano θ φ φ = θ θ φ dv sen d d d θ φ (.3) z z θ aˆ φ P aˆ θ aˆ dθ θ d sen θdφ dv = sen θ d dθ dφ dθ O φ dφ φ Figua.6. Coodenadas esféicas volumen en coodenadas esféicas.

26 9 Mediante la poección otogonal de los vectoes unitaios aˆ, aˆ a ˆ sobe los vectoes unitaios aˆ, aˆ a ˆ se pueden obtene las elaciones siguientes: θ φ z las elaciones invesas: aˆ = aˆ sen θcosφ + aˆ cos θcosφ aˆ sen φ aˆ = aˆ sen θsen φ + aˆ cosθsen φ + aˆ cos φ aˆ = aˆ cos θ aˆ sen θ z θ ( sen ) θ θ aˆ = aˆ sen θcosφ + aˆ sen θsen φ + aˆ cos φ z aˆ = aˆ cosθcos φ + aˆ cos θsen φ aˆ sen φ θ z aˆ = aˆ φ + aˆ cosφ φ φ φ (.3) (.3) Estas ecuaciones se pueden usa paa conveti la epesentación de un vecto en coodenadas catesianas en su epesentación en coodenadas esféicas. Po ejemplo, u = aˆ u + aˆ u + aˆ u z z ( u u u ) aˆ θ ( u cos cos u cos sen uz sen ) aˆ φ ( u sen u cos ) = aˆ sen θcos φ + sen θsen φ + cos θ z + θ φ + θ φ θ + φ + φ Las componentes de u en coodenadas esféicas son entonces u = u sen θcosφ + u sen θsen φ + u cos θ z ( ) u = u cosφ + u sen φ cos θ u sen θ θ z u = u sen φ + u cos φ la cual se puede escibi en foma maticial como φ u sen θcosφ sen θsen φ cos θ u u θ = cosθcosφ cos θsen φ sen θ u uφ sen φ cos φ uz (.33) la tansfomación invesa da u sen θcos φ cos θcos φ sen φ u u = sen θsen φ cosθsen φ cosφ u θ uz cos θ sen θ uφ (.34) En cualquie caso, si las componentes de los vectoes en un sistema también dependen de las coodenadas, también tienen que tansfomase según las elaciones espectivas.

27 .8 Poducto Punto (Escala) Poducto Cuz (Vectoial) i A B son dos vectoes, es fácil veifica po la le del coseno que A B = A + B A B cosθ (.35) donde θ es el ángulo ente los dos vectoes, θ π. Po tanto, A B cos θ = A + B A B En coodenadas catesianas el lado deecho de esta ecuación es ( A + A + Az ) + ( B + B + Bz ) ( A B ) + ( A B ) + ( Az Bz ) = ( AB + AB + AzBz ) (.36) con esto se demuesta que cos θ = AB + AB + AzBz A B (.37) Esta cantidad es mu conveniente se define como el poducto punto ente dos vectoes A B: AiB = A B + A B + Az Bz (.38) = A B cosθ En coodenadas cilíndicas esféicas, la Ec. (.38) se conviete en AiB = A B + A B + A B φ φ z z = A B + A B + A B ρ ρ θ θ φ φ (.39) Las dos definiciones en la Ec. (.38), po supuesto, son equivalentes. Ejemplo. (a) i = 3ˆ + ˆ ˆ A a a a B = aˆ aˆ + a ˆ, calcula Ai B. z z (b) Calcula ( a ˆ ˆ ˆ ) ( 3 ˆ ˆ + a az az a ) olución: (a) Ai B = 3 + ( ) + ( ) =. i. (b) ( a ˆ ˆ ˆ ) ( ˆ ˆ ) ( ˆ ˆ ˆ ) ( ˆ ˆ ˆ a az ak a a a az a a az ) + i 3 = + i + 3 = 3 = 5.

28 Ejemplo 3. Halle el ángulo ente los vectoes (a) aˆ + aˆ + a ˆ e aˆ + aˆ a ˆ, (b) aˆ + aˆ a ˆ e aˆ aˆ + a ˆ. z olución: z z 3 z (a) ean los vectoes A = aˆ + aˆ + a ˆ B = aˆ + aˆ a ˆ. Entonces A = 3, B = 3 z Ai B = + =. Po tanto, (b) Del Ejemplo (a), ( a ˆ ˆ ˆ ) ( ˆ ˆ ˆ a az a a az ) 3 z θ = cos.3 adianes ( = 7º'). cos θ =, ( ) 3 + i + =, o sea que cos θ = po tanto θ = π/. Obseve que el poducto punto de dos vectoes es un númeo (escala), no es un vecto. Algunas veces también se llama el poducto escala (no confundi esto con la multiplicación escala) o poducto inteno. Paa el poducto cuz, o poducto vectoial, la definición opeacional en coodenadas catesianas es ( A B A B ) ( A B A B ) ( A B A B ) A B = aˆ + aˆ + a ˆ (.4) z z z z z La foma cíclica de la Ec. (.4) pemite epesa el poducto cuz en la foma de un deteminante como aˆ ˆ ˆ a a z aˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ aφ az aρ aθ aφ A B = A A Az = A Aφ Az = Aρ Aθ Aφ (.4) B B B B z Bφ B z Bρ Bθ B φ donde los dos últimos deteminantes en la ecuación anteio coesponden al poducto cuz en coodenadas cilíndicas esféicas, espectivamente. En la Ec. (.4) se sobeentiende que el deteminante se debe epandi po la pimea fila. Ejemplo 4. La Le de enos. Paa el tiángulo de la Fig..7, demuéstese que sen α senβ sen γ = = A B C olución: El áea del tiángulo es igual a A B = ABsen γ. La misma áea también se obtiene de la elación A C = ABsenβ. Po tanto, ABsen γ = ABsenβ 3

29 sen γ e deduce entonces que C sen γ sen α =. En consecuencia, C B sen β =. En foma simila se puede demosta que B sen α senβ sen γ = = A B C B α C γ β A Figua.7 Usando la epesión del deteminante paa el poducto vectoial, es mu sencillo demosta Ai B C viene dada po que la fómula paa el poducto escala tiple ( ) A ( B C) A A A z i (.4) = B B Bz C C C z.9 El Gadiente de una Función Escala de la Posición Un ejemplo de una de las cantidades físicas elacionada con los campos vectoiales es el campo eléctico. Como éste es un ejemplo de lo que se denomina una función vectoial, esta pate del análisis comienza con un beve esumen del concepto de función. Una función de una vaiable, genealmente escita como = f(), es una egla que establece cómo asocia dos númeos cómo detemina el valo asociado. Las funciones de más de una vaiable también son eglas paa asocia conjuntos de númeos. Po ejemplo, una función de tes vaiables, designada w = F(,, z), indica cómo asigna un valo a w dados los valoes de, z. Como un ejemplo, una función P(,, z) podía da la pesión atmosféica en cualquie punto (,, z) en el espacio. Estas funciones son funciones escalaes; el esultado de intoduci en f() es el númeo (escala) = f(); lo mismo se puede deci paa la función w = F(,, z). La genealización a funciones vectoiales es diecta. En tes dimensiones, una función vectoial es una egla que establece cómo asocia un vecto con cada punto (,, z) en el espacio. Un ejemplo es la velocidad de un fluido. Designando esta función como v(,, z), ella especifica la apidez del fluido también la diección del flujo en el punto (,, z). En geneal, una función vectoial F(,, z) especifica una magnitud una diección en todo punto (,, z)

30 3 en alguna egión del espacio. e puede gafica una función vectoial como una colección de flechas (Fig..8), una paa cada punto (,, z). La diección de la flecha en cualquie punto es la diección especificada po la función vectoial, su longitud es popocional a la magnitud de la función. z Figua.8 El concepto del gadiente está elacionado con el difeencial de un campo escala, digamos U, asociado con el desplazamiento desde un punto P hasta un punto Q, el cual no está necesaiamente en un entono del punto P. upóngase que la difeencia de la función escala U ente los dos puntos cecanos Q:( +, +, z + z) P:(,, z) es U: Esta ecuación puede escibise como (,, ) (,, ) U = U + + z + z U z (,, ) U (, +, z + z) U (, +, z + z) U (,, z + z) (,, z + z) U (,, z) U = U + + z + z Removiendo los cochetes, se obtiene (,, ) (,, ) + U (, +, z + z) U (,, z + z) + U (,, z + z) U (,, z) U = U + + z + z U + z + z Con la definición de deivada pacial, la ecuación anteio se puede escibi como U U U U = + + z z (.43) El vecto de desplazamiento de P a Q es, po supuesto, se puede veifica ápidamente que = aˆ + aˆ + z a ˆ z

31 4 De manea que U U U ˆ ˆ ˆ U U U ( ˆ ˆ ˆ a + a + a z + + z z ) = + + z z i a a a z U U U U ˆ ˆ ˆ = a + a + a z z i (.44) El vecto ente paéntesis se denomina el gadiente de U usualmente se escibe como gadu o U, donde se define al opeado como como el opeado nabla, donde aˆ ˆ ˆ + a + az (.45) z U U U U = aˆ ˆ ˆ + a + a z (.46) z Ésta es una opeación vectoial obedece la misma convención que la notación de deivada. Lo que se va a difeencia debe colocase a la deecha de. Cuando opea sobe una función escala, se tansfoma en un vecto U con magnitud diección bien definidas. También tiene un significado físico. El significado geomético del vecto U se entiende mejo cuando se pasa al límite confome tiende a se selecciona a d como un desplazamiento en la supeficie U = constante. e conclue entonces que Uid = gadui d = sin impota cuál sea la diección de d. Así que U es un vecto nomal a la supeficie U = constante. Como la distancia más cota ente dos supeficies vecinas U = c U = c + dc está en la diección de la nomal a la supeficie, se puede deci que en todo punto de la supeficie, el vecto U tiene la misma diección que la mao tasa de cambio de U. El gadiente de una función se escibe fecuentemente en foma opeacional como gadu = U = aˆ ˆ ˆ + a + a z U z donde la epesión ente paéntesis se identifica con la a dada en la Ec. (.45). En la ec.. se da una eplicación más detallada de la opeación gadiente.

32 5 Paa conveti la Ec. (.46) en epesiones en los otos sistemas de coodenadas, se comienza con el sistema cilíndico usando las elaciones de coodenadas dadas po ρ = +, tan φ = Entonces, difeenciando la función U con especto a, se obtiene U U ρ U φ U z = + + ρ φ z U sen φ U = cos φ ρ ρ φ donde se usó el hecho de que z = puesto que z es otogonal a. e puede usa un pocedimiento simila paa obtene una epesión paa U en función de ρ φ. i se usan también las elaciones paa los vectoes base aˆ = aˆ cosφ a ˆ sen φ aˆ = aˆ sen φ + a ˆ cosφ, la Ec. (.46) se conviete en ρ φ ρ φ U U U U = aˆ ˆ ˆ ρ + aφ + a z (.47) ρ ρ φ z Un pocedimiento simila conduce a la epesión paa el gadiente en coodenadas esféicas: U U U U = aˆ ˆ ˆ + aθ + a φ (.48) θ sen θ φ Ejemplo 5. Halla el gadiente de f (, θ, φ ) = cos θ 5φ +. olución: (a) f (,, z) = + z. (b) f ( ρ, φ, z) = ρsen φ. (c) (a) (b) (c) f f f f = aˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ + a + az = a + a + a z. z f f f f = aˆ ˆ ˆ sen ˆ cos ˆ ρ + aφ + az = φ aρ + φa φ. ρ ρ φ z f f f 5 f = aˆ ˆ ˆ cos ˆ sen ˆ ˆ + a + a = θ a + θa a θ sen θ φ sen θ θ φ θ φ Ejemplo 6. Halle el vecto nomal unitaio a la supeficie descita po ( ) = + = U,, z 4z 5z

33 6 en el punto (3,, ). olución: El vecto nomal unitaio a la supeficie en cualquie punto es n ˆ = U U. Po tanto, ( ) U = 4 aˆ + 4zaˆ + 4 z a ˆ z ˆ 8 ˆ 4ˆ 3ˆ ˆ 6ˆ ˆ U a + a a a + a a n = U = = ( ) ( ) 46 3,, z z. La Divegencia el Rotacional en Coodenadas Catesianas En esta sección se intoduce el campo escala conocido como la divegencia de un campo vectoial B el campo vectoial conocido como el otacional de B. En coodenadas catesianas, el escala B B B z i B = + + (.49) z el vecto B B B B = aˆ ˆ ˆ + a + a z (.5) z se definen como la divegencia de B (divb) el otacional de B ( ) ot B, espectivamente. Estas elaciones se obtienen diectamente a pati de la definición dada po la Ec. (.45) paa el opeado nabla. La Ec. (.5) con fecuencia se epesa fomalmente como un deteminante: aˆ aˆ aˆ z B = (.5) z B B B z Las Ecs. (.4), (.5) la epesentación del opeado (.45) a menudo son convenientes en la deivación de identidades vectoiales. in embago, no se obtiene una buena idea física a pati de la epesentación en foma de opeado. Paa nuestos popósitos, las definiciones del gadiente, divegencia otacional dadas po las Ecs. (.46), (.49) (.5) no son completamente adecuadas. En las secciones.,.4.5 se estudiaán definiciones geneales que no dependen de un sistema de coodenadas específico. Con la auda de esas definiciones, se podán detemina epesentaciones paa el gadiente, divegencia otacional en sistemas de coodenadas difeentes de las catesianas (ección.). Po los

34 7 objetivos actuales, sólo se daán las elaciones paa la divegencia el otacional en los sistemas de coodenadas cilíndicas esféicas. En coodenadas cilíndicas esféicas, la divegencia de un campo vectoial A es dada, espectivamente, po el otacional de A po Aφ Az i A = ( ρ Aρ ) + + (.5) ρ ρ ρ φ z Aφ i A = ( A ) + ( Aθ sen θ ) + (.53) sen θ θ sen θ φ aˆ ρaˆ aˆ ρ z A = ( coodenadas cilíndicas) (.54) ρ ρ φ z A ρa A ρ φ φ z aˆ aˆ sen θaˆ θ φ A = sen θ θ φ ( coodenadas esféicas) A A ( sen θ) A φ (.55) Ejemplo 7. Calcúlese la divegencia de F, suponiendo que (a) F = ρ aˆ zsen ˆ ˆ ρ + φ aφ + a z, (b) F = aˆ cos ˆ ˆ + θ aφ + a φ. olución: F F z = ρ ρ + + = ρ + ( z sen φ ) + () = + cosφ ρ ρ ρ φ z ρ ρ ρ φ z ρ φ z (a) i F ( F ) ( )

35 8 Fφ = + θ θ + sen θ θ sen θ φ ( ) = + ( cos θsen θ ) + ( ) sen θ θ sen θ φ 4 cos θ = + sen θ (b) i F ( F ) ( F sen ). Integales de Línea, upeficie Volumen Paa continua esta pate sobe análisis vectoial, ahoa se daá una intoducción sencilla al poceso de integación de línea también algunas definiciones necesaias paa detemina opeaciones impotantes en el cálculo vectoial a intoducidas anteiomente (divegencia otacional). Este análisis comienza con una consideación de la integación de línea a lo lago de cuvas planas. En los casos de dos tes dimensiones sólo se tabajaá con cuvas continuas que son suaves po tamos, es deci, cuvas que son continuas que consisten de un númeo finito de acos (o cuvas suaves) unidos de etemo a etemo, en los cuales la diección de la línea tangente cambia en foma continua. Toda cuva suave po tamos solamente tiene un númeo finito de esquinas donde la diección de la tangente cambia en foma abupta. Adicionalmente, la longitud de cada una de estas cuvas ente cualesquiea dos de sus puntos es finita, es deci, las cuvas son ectificables... Integales de Línea Pimeo se eaiminaá el concepto de lo que se entende po una línea. Una línea es la taectoia en el espacio a lo lago de una cuva desde un punto de patida hasta un punto de llegada. Obseve que esta intepetación le da a la línea una diección positiva definida. e usaán indistintamente los téminos línea, contono, a lo lago de la cuva a lo lago de la taectoia. Algunas veces la taectoia ecoida po una línea es a lo lago de una cuva ceada, si seguimos esta cuva en todo su ecoido, se egesa al punto de patida. Usualmente esta línea se denomina un contono ceado. Las integales de línea ocuen con fecuencias en las ciencias físicas. Posiblemente, la más conocida es la coespondiente al tabajo ealizado po una fueza F ente dos puntos A B a lo lago de alguna taectoia C: Tabajo ( A B) = d Fi donde d es el vecto de desplazamiento definido anteiomente. Algunas veces se utiliza dl en luga de d paa ecalca que el vecto de desplazamiento se define a lo lago de una deteminada taectoia paa la integal de línea. B A, C

36 9 Una cuva C en el espacio puede se especificada en foma paamética dando cualesquiea dos de las coodenadas en función de la tecea. Es deci, es posible especifica una cuva po ecuaciones tales como C : = g( ), z = h( ) Esto significa que, sobe la cuva, cualquie función abitaia continua de la posición puede epesase como una función de cualquiea de las tes coodenadas. upóngase que se tiene una cuva C en tes dimensiones (Fig..9) también que la cuva está diigida, lo cual se indica mediante una flecha en la cuva. ea l la longitud de aco medida a lo lago de la cuva desde cualquie punto abitaio en ella con l = l en un punto P f,, z definida en todas pates l = l en P. uponga también que se tiene una función ( ) sobe C. Ahoa se subdivide la pate de C ente P P abitaiamente en N secciones. La Fig..9 ilusta un ejemplo de una subdivisión así paa N = 5. Después, se unen con cuedas los puntos de las subdivisiones sucesivas de C ente P P, una cueda típica, digamos la k- ésima, tiene longitud lk. Después se evalúa la función dada f (,, z ) en cada punto (k, k, zk), que es cualquie punto en la k-ésima subdivisión de la cuva se foma el poducto f ( z) l. Esto se hace paa cada uno de los N segmentos de C luego se foma la suma N k= (,, ) f z l k k k k,, k z P C ( k k, z k ) P Figua.9 Po definición, la integal de línea de f (,, z ) a lo lago de la cuva C es el límite de esta suma confome el númeo de subdivisiones N tiende a infinito la longitud de cada cueda tiende a ceo, es deci, C N N cada s k= (,, ) lím (,, ) f z dl = f z l k k k k k

37 3 Paa evalua la integal de línea se debe conoce la taectoia C. Usualmente la foma más conveniente de especifica esta taectoia es paaméticamente en función del paámeto longitud de aco s. Entonces se escibe = (s), = (s) z = z(s), la integal de línea puede se educida a una integal definida odinaia: Ejemplo 8. Evalúe en dos dimensiones C l (,, ) ( ), ( ), ( ) f z dl = f s s z s dl C l ( + ) donde C es la línea ecta desde el oigen hasta el punto cuas coodenadas son (, ) (Fig..). dl (, ) (, ) C P(, ) C C 45 Figua. Figua. olución: i (, ) son las coodenadas de cualquie punto P en C si s es la longitud de aco medida desde el oigen, entonces = l = l. Po tanto, + = l tenemos que ( ) C + dl = l dl = Ahoa se intega la misma función + desde (, ) hasta (. ) peo po ota taectoia, como la mostada en la Fig... Aquí se sepaa la integación en dos pates, una a lo lago de C la segunda a lo lago de C. En C se tiene = = l. De manea que en C + = l, po tanto, En C, = l, = entonces C + dl = l dl = ( )

38 3 C ( ) ( ) 3 + dl = l + dl = umando los esultados paa los dos segmentos, se encuenta que ( ) ( ) ( ) 3 + dl = + dl + + dl = + = C C C Este ejemplo no sólo ilusta los detalles del cálculo de la integación sino que también muesta que, en geneal, una integal de línea depende no sólo de los puntos etemos sino también de la taectoia paticula que los une. Ha una clase especial de integales de línea del tipo descito que son de etema impotancia en algunas áeas, especialmente en las elacionadas con el concepto de tabajo a mencionadas al comienzo de esta sección. Tabajo, en el sentido más elemental, es el poducto de fueza po desplazamiento. Esto debe analizase con más detalle si se econoce que tanto la fueza como el desplazamiento son vectoes. Considee la cuva C mostada en la Fig... Defina ˆt como el vecto unitaio tangente a C. ea F(,, z) un campo vectoial que está definido en todo punto de la taectoia definida po C. Entonces F C (,, z) tˆ i dl (.56) se define como la integal de línea de la componente tangencial de F a lo lago de C, se entiende que la integación comienza en l = l temina en l = l. i F es una fueza actuando sobe un objeto, entonces, po definición, la componente de F que ealiza tabajo es sólo aquella que actúa a lo lago de la cuva, es deci, la componente tangencial a la cuva. Paa ve cómo se puede evalua la integal en (.56), considéese el vecto adial desde un oigen abitaio hasta un punto en C, como muesta la Fig... Fome ahoa la deivada dieccional de en la diección de s. Es deci, foma el cociente d = lím dl l l (.57) eamínese su significado. u diección es obviamente la de la tangente a la cuva C. u magnitud, claamente, es la unidad. Po tanto se tiene que i se sustitue esta epesión paa ˆt en el integando, se obtiene d ˆ dl = t (.58)

39 3 ˆ d Fit dl = Fi dl = Fi d (.59) dl C C C La foma final muesta que se cambió el paámeto escala s po el paámeto vectoial. Esto simplifica el poblema. Recuédese que en coodenadas ectangulaes, el vecto adial es dado po po tanto = aˆ + aˆ + za ˆ z F l C ˆt l + l O Figua. d = daˆ + daˆ + dza ˆ Como F = F aˆ + F aˆ + F a ˆ, se tiene entonces que z z z C C ( z ) Fid = F d + F d + F dz = F d + F d + F d z z z z (.6) Aquí se ve que el poblema oiginal se tansfomó en tes poblemas mucho más sencillos (tes integaciones odinaias). Po la foma de la integal en la Ec. (.59) se obseva ápidamente que, en coodenadas cilíndicas, el esultado seá de la foma ρ φ z ρ φ C ρ φ z Fi d = F dρ + F ρdφ + F dz (.6) z

40 33 en coodenadas esféicas, θ φ θ C θ φ Fi d = F d + F dθ + F sen φdφ (.6) φ donde, po supuesto, los integandos deben evaluase sobe la cuva en función de las vaiables de integación. i la taectoia de integación se ecoe completamente en tono a una cuva ceada, se usa la notación d Fi l (.63) C Este esultado con fecuencia se denomina la ciculación de F alededo de C. Cuando la integal en la Ec. (.4) es igual a ceo se dice que el campo F es consevativo. Ejemplo 9. Dado el campo vectoial = ˆ + F a a ˆ el contono tiangula ceado en el plano mostado en la Fig..3, evalúe la integal de línea con taectoia que comienza en el oigen se desplaza po la línea = hasta el punto =, después po la línea = hasta el punto = egesa al oigen a lo lago de la línea =. Calcula d Fi l (a) en coodenadas ectangulaes; (b) en coodenadas cilíndicas. olución: C (a) Fidl = Fidl + Fidl + Fi dl C C C C = = = = F d + F d + F d + F d = = = = = d d d d

41 = = C (,, ) (,, ) C C (b) e tansfoma F paa obtene Figua.3. Taectoia paa el Ejemplo 5. F = ρ φa. Entonces se obseva que, en coodenadas sen ˆ cilíndicas, el contono se inicia en el oigen se desplaza a lo lago de φ = π/ hasta ρ =, entonces po la línea ρsen φ = hasta el punto ρ =, φ = π 4, luego egesa al oigen a lo lago de la línea φ = π/4. La solución es C Fidl = F dρ + F dρ + F dρ ρ ρ ρ φ=π ρsenφ= φ=π 4 3 = ρ dρ + ρdρ + ρ dρ 3 3 ρ ρ ρ 4 = + + = Ejemplo. Calcula la integal ˆ (, ) d Fi l (, ) donde ˆ F = a a a lo lago de la taectoia (a) =, (b) hasta (, ) luego a lo lago de una ecta hoizontal hasta (, ). = 4, (c) desde (, ) diecto olució:. Aquí, Fi dl = d d. Entonces (a) Taectoia =. Aquí = d, po tanto,

42 35 (, ) 3 3 ( ) d d = d d = = (, ) (b) Taectoia = 4. Aquí d = d, po tanto, (, ) ( ) d d = d d = = (, ) (c) Po la taectoia desde (, ) hacia aiba hasta (, ): = d = ; entonces desde (, ) a lo lago de una línea hoizontal hasta (, ): = d =, de manea que En geneal, la integal de línea (, ) (, ) (, ) ( ) ( ) (, ) (, ) (, ) ( ) d d = d d + d d = d + d = + = F C i d l depende de la taectoia de integación, como muesta el último ejemplo. in embago, si F se puede epesa como el gadiente de una función escala, la integal es independiente de la taectoia de integación, es deci, si F = Φ, entonces la integal ente los puntos A B es dada po B A B A B A B A = Φ ( B) Φ ( A) ( ˆ ˆ ˆ z ) Fi dl = Φ i d a + d a + dz a Φ Φ Φ = z i ( d aˆ ˆ ˆ d a dz a z ) Φ Φ Φ = d + d + dz = dφ z El valo de la integal sólo depende de los puntos etemos de la taectoia. Obseve que si la taectoia es ceada, se tiene que A = B el valo de la integal es ceo. Ejemplo. Es posible demosta (se deja como ejecicio) que la integal de línea ( ) B A F C i d l, con F = 6 aˆ a ˆ depende solamente de los puntos etemos es independiente de la taectoia de integación, po tanto, F = Φ. Detemina la función Φ(, ) demueste que

43 36 (, ) Fi d l = Φ (, ) (, ) Φ (, ) olución: Po tanto, Entonces De manea que ( ) df dt Φ Φ Φ = a ˆ ˆ 6 ˆ ( 3 3 ) ˆ + = + = a a a F Φ = 6 Φ = 3 + Φ df = 3 3 = 3 + d ( ) ( ) f = = + ( ) ( ) 3 3 f k k es una constante ( ) Φ = + 3, 3 k (, ) (, ) (, ) (, ).. Integales de upeficie ( ) ( ) Fi dl = Φ i dl = Φ, Φ, = 6 + k k = 6 La integal de supeficie se define de la manea siguiente: Considee una supeficie en el espacio, como muesta la Fig..4 sea f una función escala puntual definida en todo punto de. Ahoa subdivida s en N elementos contiguos de áea,,, N, sea Pk cualquie punto en el k-ésimo elemento de áea. Denote el valo de f en Pk po f ( P k ) suma N k= ( ) f P k k. i la tiene un valo límite confome N el más gande de los k tiende a ceo, definimos este valo límite como la integal de supeficie de la función f sobe la supeficie denotamos la integal de supeficie po f (,, z) d (.64)

44 37 ˆn P k i la supeficie es ceada, se usa la notación Figua.4. Geometía paa una integal de supeficie. f (,, z) d (.65) Nótese que el signo de integación indica una integal doble; se usa esta notación po sencillez. La Ec. (.65) se usaá más cuando f es la componente nomal de algún vecto F. En ese caso, si ˆn es un vecto unitaio nomal a la supeficie, se tabajaá con una función (, ) = F (,, z) i nˆ f z se denotaá la integal de supeficie po o, paa supeficies ceadas, ˆ Fi n d (.66) ˆ Fin d (.67) Esta integal de supeficie se denomina el flujo de la función vectoial F a tavés de, o, si ˆn es la nomal saliente de una supeficie ceada, el esultado se denomina el flujo neto saliente de F a tavés de la supeficie. Obseve que, paa una supeficie abieta, se tiene que toma una decisión abitaia sobe la diección positiva paa ˆn que el signo positivo dependeá de esa decisión. En el caso de una supeficie ceada, la convención, a mencionada, paa la nomal positiva es que ella apunta saliendo de la supeficie. Paa una supeficie abieta, la diección debe dase como pate del enunciado del poblema. Nótese también que ˆn, en geneal, es una función de la posición.

45 38 Uno de los factoes en los integandos de las integales de supeficie en las Ecs. (.66) (.67) es el vecto nomal unitaio ˆn ; esta cantidad juega un papel impotante en la evaluación de las integales de supeficie. En el pesente conteto, la palaba nomal significa pependicula. Así, un vecto N nomal al plano es claamente uno paalelo al eje z, en tanto que un vecto nomal a una supeficie esféica debe esta en la diección adial. Paa da una definición pecisa de un vecto nomal a una supeficie, considee una supeficie abitaia como la ilustada en la Fig..5. Constua dos vectoes no colineales u v tangentes a en algún punto P. Un vecto N que sea pependicula tanto a u como a v es, po definición, nomal a en P. Como se sabe, el poducto vectoial de u v tiene pecisamente esta popiedad; es pependicula a ambos u v. De modo que se puede escibi N = u v. Paa conveti N en un vecto unitaio, simplemente se divide po su magnitud N; esto es es un vecto unitaio nomal a en P. N nˆ = = N u v u v (.68) N u v Figua.5 La evaluación de las integales de supeficie en (.66) (.67) es elativamente diecta en los casos especiales donde la supeficie es especificada po supeficies de coodenadas constantes. En estos casos, la nomal a la supeficie es paalela a un vecto unitaio coodenado. El ejemplo siguiente ilusta el pocedimiento de evaluación. Ejemplo. Dado el campo vectoial ( ) F = aˆ + + z aˆ + a ˆ z se quiee detemina el flujo de F a tavés de una supeficie ectangula en el plano, delimitada po las líneas =, = 3, = =, como muesta la Fig..6. olución: De la figua se obseva que nˆ = a que d = dd. Po tanto, ˆ z Fi nˆ d = F dd = dd z

46 Fi nˆ d = dd = 4 Calculemos ahoa el flujo de F a tavés de la supeficie tiangula en el plano z acotada po el eje, el eje z la línea + z =, como muesta la Fig..6. De la figua se obseva que nˆ = a que d = ddz. Po tanto, ˆ ( ) Fi nˆ d = F ddz = + z ddz z 3 d d Figua.6. La geometía paa el Ejemplo. Peo =, de modo que se obtiene Fi nˆ d = zddz z Fi nˆ ds = z d dz = zdz d = 6 Genealmente, la supeficie se define mediante una epesión de la foma z = g(, ), donde vaían en una egión R en el plano. En este caso, f (,, z) d = f (,, z) sec γ d d (.69) R donde, en la integal en el lado deecho, z = g(, ) γ es el ángulo agudo ente la nomal a en (,, z) el eje z positivo. Específicamente, z z sec γ = + + (.7) Obseve que una vez deteminada sec γ, la integación doble en la Ec. (.69) pocede igual que en el Ejemplo.

47 4. Definición Geneal del Gadiente de una Función Escala En coodenadas catesianas, el gadiente de una función escala U ha sido definido mediante la Ec. (.46). Con la auda de U se puede detemina el cambio incemental du debido a un desplazamiento vectoial elemental d (ve la Ec.(.44)). Paa obtene una definición geneal paa el gadiente de U se debe tene en cuenta la Ec. (.94). Po lo tanto es de peve que gadu lím ˆ Ud v v n (.7) Paa demosta que la definición dada po la Ec. (.7) es equivalente a la definición (.46), se selecciona un sistema de coodenadas catesianas se considea un elemento de volumen v = z (Fig..7). La supeficie que enciea a v tiene seis caas planas. Cuando P, P, P, P, P, P son puntos seleccionados adecuadamente, se tiene que 3 3 ( P ) = = ( P ) ( P ) = = ( P ) ( P3 ) = z = ( P 3 ) nˆ aˆ nˆ nˆ aˆ nˆ nˆ aˆ n ˆ ˆ Ud = U ( P ) U ( P ) z ˆ ( ) ( ) ˆ + U P U P z n a a ( ) ( ) + U P ˆ 3 U P3 a z z P 3 ' P z P ' â z P â â P ' P 3 Figua.7. Un elemento ectangula de volumen en un sistema de coodenadas catesianas. Dividiendo po v usando la Ec. (.7) se obtiene entonces que

48 4 gad ˆ U ˆ U U = U = a ˆ U + a + a z (.7) z e infiee entonces que la Ec. (.7) es una genealización de la Ec. (.46). Con la auda de la Ec. (.7) es posible demosta que donde v es el volumen delimitado po la supeficie. En coodenadas cilíndicas, el vecto gadiente de U es en coodenadas esféicas gadu dv = ˆ Ud n (.73) v ˆ U ˆ U ˆ U U = aρ + aφ + a (.74) ρ ρ φ z z U U U U = aˆ ˆ ˆ + aθ + a φ (.75) θ sen θ φ.3 Definición Geneal de la Divegencia de una Función Vectoial En la misma foma que se puede opea con sobe un campo escala, también se puede opea con sobe un campo vectoial tomando el poducto punto. Paa entende el significado físico de la divegencia de un vecto, considéese un semiconducto tipo n sea v el volumen acotado po una supeficie abitaia en el inteio del conducto (Fig..8). La nomal unitaia saliente de es ˆn. Debido a vibaciones témicas de la estuctua cistalina o a causa de adiación etena, se ompen algunos de los enlaces que ligan los electones a los átomos del cistal se foman electones libes. ea ρv el númeo de electones libes po unidad de volumen sea u su velocidad pomedio esultante de la difusión de las fuezas debidas a un campo eteno. ea g el númeo efectivo de electones libes geneado po segundo en una unidad de volumen. El númeo total de electones libes geneado po segundo en el inteio de v es n = gdv El númeo total de electones libes que sale po segundo de v a tavés de la supeficie es v n u n d ˆ = ρv i El itmo de cecimiento de los electones libes en el inteio de v está dado entonces po

49 4 n n = v ρ v t ustituendo a n en la ecuación anteio, se obtiene que ρv g dv = ρ ˆ vui n d (.76) t ˆn ρu d dv v Figua.8. Ilustación de la divegencia de una función vectoial. La integal de supeficie en el lado deecho de la Ec. (.76) epesenta el flujo de electones (flujo del vecto ρvu) que ataviesa la supeficie. Desde un punto de vista físico, el inteés está en el flujo po unidad de volumen. Esta impotante cantidad física se define como la divegencia del vecto ρvu: divρ vu = lím ρ v v v ui nˆ d (.77) En la Ec. (.76) se puede selecciona a como la supeficie de una esfea de adio centada en un punto P. i se hace que, entonces v las Ecs. (.76) (.77) dan De la Ec. (.78) se obtiene la elación ρv g = lím ρ ˆ vui n d (.78) t v v ρv divρ vu = g (.79) t Cuando g =, la Ec. (.79) se conoce como la ecuación de continuidad. Cuando g =, no se cean ni se destuen electones libes la Ec. (.79) epesa entonces la consevación del númeo de electones libes. El mismo tipo de ecuación es válido en muchas otas situaciones físicas, po ejemplo en el flujo de fluidos en el flujo de calo. Po tanto, se puede genealiza la Ec. (.77) afima que cuando un vecto B epesenta una densidad de flujo, entonces la cantidad

50 43 ˆ Bi n d epesenta el flujo del vecto B a tavés de la supeficie la divegencia de B es el flujo po unidad de volumen del vecto B: divb = lím v v En la Ec. (.8), v es el volumen delimitado po una supeficie egula. Bi n d (.8) La impotancia física de la divegencia de un vecto es una consecuencia del hecho de que ella es una medida de la intensidad de la fuente (o sumideo) del flujo del campo vectoial En la Ec. (.79), po ejemplo, el flujo de electones que sale de una unidad de volumen es g ρ t, que es, po definición la divegencia de ρvu. Al flujo de electones se le ( ) v considea como la fuente del campo vectoial ρvu. La definición dada po la Ec. (.8) paeciese difei de la definición (.49), peo en la ección.4 se demostaá que las definiciones son equivalentes. in embago, la ventaja de la Ec. (.8) es que no depende de un sistema de coodenadas específico. En otas palabas, si el campo B es un campo invaiante, la divegencia de B es también un campo escala invaiante. i i B = se dice que el campo B es solenoidal. Cuando se compaa la Ec. (.49) con la Ec. (.8), paeceía que una epesentación geneal paa el opeado nabla es dada po d v v n (.8) [ ] lím ˆ [ ] Entonces se puede obtene la Ec. (.8) a pati de la Ec. (.8) intoduciendo el facto B ente los cochetes, paa obtene B B nˆ i Bd v [ i ] = i = lím v Obseve en la Ec. (.8) que la divegencia de un campo vectoial B es un escala peteneciente al punto P..4 La Divegencia en Coodenadas Catesianas Ahoa se deivaá la epesión paa la divegencia de un campo vectoial B en coodenadas catesianas. Considee un elemento difeencial de volumen centado en el punto P(,, z) en el campo de un vecto B, como muesta la Fig..9. En coodenadas catesianas, el vecto B puede epesase como B = aˆ B + aˆ B + a ˆ B, se quiee detemina la divegencia de B ( ) div B en el punto (,, ) P z. z z

51 44 Como el volumen difeencial tiene seis caas, la integal de supeficie en la Ec. (.8) tiene que dividise en seis pates paa su evaluación, una po cada caa. En la caa fontal, d ˆ caa caa caa Bi B i B ia fontal fontal fontal = B +,, z z ( z) = = P (.8) z La cantidad B (,, z ) (,, ) Figua.9. Volumen difeencial en coodenadas catesianas. + puede epandise en una seie de Talo en tono al punto P z. i sólo se etienen los dos pimeos téminos de la epansión, se obtiene ( ) B B +,, z B,, z + P En la caa tasea, d caa caa caa Bi B i B i a tasea tasea tasea = B,, z z ( ˆ z) = = (.83) su apoimación en seie de Talo es ( ) B B,, z B,, z P La combinación de las Ecs. (.8) (.83) da el valo de la integal en las caas fontal tasea: caa fontal B Bi Bi (.84) d + d = z P caa tasea

52 45 iguiendo el mismo pocedimiento, se puede obtene el valo de las integales paa las otas cuato caas del volumen difeencial, el esultado es caa deecha caa supeio B Bi d + Bi d = z (.85) caa izquieda z d + d = z z P caa infeio P B Bi Bi (.86) Puesto que v = z, sustituendo las Ecs. (.84), (.85) (.86) en la Ec. (.8), se obtiene la epesión paa div B en coodenadas catesianas: En coodenadas cilíndicas, la divegencia del vecto B es en coodenadas esféicas, B B Bz div B = + + (.87) z Bφ Bz i B = ( ρ Bρ ) + + (.88) ρ ρ ρ φ z Bφ i B = ( B ) + ( Bθ sen θ ) + (.89) sen θ θ sen θ φ Ejemplo 3. Calcule la divegencia del campo vectoial F si (a) F = ρ aˆ z sen ˆ ˆ ρ + φ aφ + a z, (b) F = aˆ cos ˆ ˆ + θ aθ + a φ. olución: (a) Po la Ec. (.88), (b) Po la Ec. (.89), F F z i F = ρ + + = ρ + φ + ρ ρ ρ φ z ρ ρ ρ φ z z = + cos φ ρ φ ( F ) ( ) ( zsen ) ( ) ρ

53 46 Fφ i F = ( F ) + ( Fθ sen θ ) + sen θ θ sen θ φ ( ) = + ( cos θsen θ ) + ( ) sen θ θ sen θ φ 4 cos θ = + sen θ.5 El Teoema de la Divegencia; Tubos de Flujo Un teoema de significado especial en el análisis vectoial es el teoema de la divegencia, también conocido como el teoema de Gauss, el cual elaciona el flujo de un campo vectoial a tavés de una supeficie con la divegencia del campo vectoial en volumen enceado, se epesa como v div Bdv = Bi nˆ d (.9) donde v es el volumen enceado po la supeficie egula. El vecto nomal unitaio ˆn apunta en la diección que sale del volumen. e puede ve la utilidad del teoema de la divegencia si se econsidea la Ec. (.76) se toma B = ρ u. Con la auda de la Ec. (.9) se obtiene que v v ρv g div u dv = (.9) t Puesto que la integal anteio se anula paa un volumen abitaio v, se deduce que el integando también se debe anula. Eso poduce como esultado la Ec. (.79). e ve entonces que el teoema de la divegencia es útil paa deiva elaciones difeenciales ente los vectoes del campo que epesenten densidades de flujo las fuentes del flujo del campo. El teoema de la divegencia también es de utilidad en la deducción de identidades vectoiales en la manipulación de identidades vectoiales ente las densidades del flujo las fuentes del flujo del campo. Paa demosta el teoema de la divegencia, se puede dividi el volumen v en N volúmenes elementales v k =,, N. i N, entonces, la Ec. (.8) da, ( ) k v k N N div B( k ) k k= k= P v = Bi nˆ d k

54 47 donde Pk es un punto inteno del volumen supeficie de vk. Ahoa se foma la suma vk escogido adecuadamente k epesenta la N k = div B ( ) P v = Bi nˆ d (.9) k La integal de supeficie final es sobe la supeficie que enciea a v. Esto se puede ve al nota que las nomales salientes de la supeficie común a dos elementos de volumen adacentes están en diecciones opuestas. Po ello, cuando se foma la sumatoia, las integales en los elementos de áea en el inteio de v se cancelan po paes, el flujo saliente de un elemento de volumen es un flujo que enta en los elementos de volumen vecinos, lo cual poduce cancelaciones en cada supeficie inteio, sólo queda la integal sobe los elementos de áea que foman la supeficie delimitan a v. i se hace que, la Ec. (.9) da como esultado el teoema de la divegencia. Cuando divb = en todo el volumen v, se obtiene el impotante esultado k ˆ Bi n d = (.93) La Ec. (.4) establece que el flujo esultante de B que ataviesa una supeficie ceada es ceo. Este esultado pemite intoduci el concepto de un tubo de flujo. Paa foma un tubo de flujo se selecciona una supeficie paa la cual Bi n ˆ = en todos los puntos de. Entonces se escogen las supeficies paa foma un volumen tubula v enceado po la supeficie = + + (Fig..3). i la divb = en todo el volumen v, se cumple la Ec. (.93). i se toman las nomales ˆn ˆn de foma que tengan la diección del campo vectoial B, de la Fig. (.3) se ve que la nomal saliendo de es n ˆ. Así que, puesto que la integal sobe se anula, entonces ( ) d ( ) Bi nˆ + Bi nˆ d = La ecuación anteio puede escibise como Bi nˆ d = Bi nˆ d (.94) v k La Ec. (.94) epesa que el flujo de B a tavés de la egión tubula pemanece constante. Una egión tubula de esta foma se denomina un tubo de flujo. e dice que un campo de flujo B es solenoidal si la divegencia de B es igual a ceo en todas pates.

55 48 ˆn ˆn ˆn B B Figua.3. Un tubo de flujo. Paa ilusta estos conceptos, considéese la densidad del flujo eléctico D poducida po una densidad de caga unifome ρv dento de una esfea de adio a. El cento de la esfea se toma como el oigen de un sistema de coodenadas esféicas. e puede demosta que D está dada po Q, > a (a) 3 4π D = Q, < a (b) 3 4πa donde es el adio vecto desde el oigen hasta un punto P del campo caga total dento de la esfea. i > a, se tiene que 4 3 v (.95) Q = πa ρ es la Q z i D = = 4π z (.96) si < a, se obtiene Q i D = ( ) + ( ) + ( z) = ρv (.97) 4 z 3 πa La caga se considea como la fuente del flujo eléctico. De las Ecs. (.96) (.97) se obtiene que la divegencia de D da la densidad ρ de la fuente. Calcúles ahoa el flujo eléctico Ψe a tavés de una supeficie abieta la cual está delimitada po una esfea de adio > a el cono θ = θ (Fig..3). Usando la Ec. (.6) el hecho de que nˆ =, se encuenta que Q Q Ψ ˆ e = Di nd = ( π sen θ)( dθ ) = ( cos θ ) (.98) 4π θ (Debido a la simetía es conveniente toma el elemento de áea d como la cinta sombeada mostada en la Fig..3, la cual tiene una longitud de π sen θ una anchua igual a dθ.) El

56 49 cono θ = θ es un tubo de flujo si > a, el flujo en el inteio del tubo está dado po la Ec. (.98). φ e θ dθ Figua.3 El flujo eléctico de una esfea cagada unifomemente. Con la auda de las Ecs. (.95), (.96) (.97) se ilustaá ahoa el teoema de la divegencia evaluando tanto la integal de supeficie como la de volumen. e selecciona como la supeficie de una esfea de adio b la cual está centada en P en el eje z (Fig..3). i z + b < a, la esfea está completamente en el inteio de la esfea cagada, de la Ec. (.97) se obtiene Paa evalua el flujo eléctico 4 3 b D dv = πb ρ = Q 3 a v 3 i (.99) Ψ e a tavés de, se toma el elemento de áea como ( sen )( ) d = πb θ bdθ nˆ D z θ α P O a Figua.3. Ilustación del teoema de la divegencia. De la Fig..3 se tiene que cos α = b + z cosθ. Ahoa se puede evalua la integal paa obtene

57 5 b Ψ e = Q a 3 (.) La Ec. (.) es idéntica a la Ec. (.99), como lo equiee el teoema de la divegencia. Adicionalmente, si se calcula el flujo eléctico po unidad de volumen se hace que b, se obtiene la divegencia de D: ( ) 3 Q b a lím b πb 4 3 3Q = = ρ 4πa 3 3 i la supeficie está completamente en el eteio de la esfea cagada (ve las Ecs. (.96) (.97)), se tiene que (ve la Ec. (.95)) 4 3 divd dv = ρ π a = Q (.) 3 v π Q cosα Ψ e = π θ θ 3 4π ( b sen )( bd ) La integal anteio se puede evalua más fácilmente epesando θ en función de. De la le del coseno se tiene que Po tanto, + b z cos α =, = b + z + bz cos θ b b+ z Q b z d = bzsen θdθ Ψ e = + d Q = 4z tal como lo equiee el teoema de la divegencia. Ejemplo 4. Veifique el teoema de la divegencia paa el campo vectoial especificado po A = aˆ + aˆ + za ˆ sobe un cilindo descito po + = 4 z 4. olución: Como z i A = + + = 3 z b z

58 5 la integal de volumen es V i A dv = 3 dv = 3( π ) 4 = 48π V La supeficie del cilindo consiste de las supeficies supeio, infeio lateal. Po tanto, la integal de supeficie puede dividise en tes pates: Paa la supeficie supeio, Ai nˆ d = Ai nˆ d + Ai nˆ d + Ai nˆ d sup inf lat Ai n ( a a a z ) i a z sup Paa la supeficie infeio, ˆ d ˆ ˆ zˆ ˆ d 4 d 4 6 inf = + + = = π = π sup inf ( z ) ( z ) Ai nˆ d = aˆ + aˆ + aˆ i aˆ d = Paa la supeficie lateal cuva, pimeo debemos halla la nomal unitaia ˆn. Como la f, = + = 4, supeficie es descita po ( ) Entonces Po tanto, f aˆ + aˆ aˆ + aˆ = = f + ( 4 ) aˆ ˆ + a Ai nˆ = ( aˆ + aˆ + zaˆ ) i = ( + ) = lat Ai nˆ d = d = ( π ) 4 = 3π lat ˆ Ai n d = π + + π = π que es el mismo esultado obtenido con la integal de volumen..6 Definición Geneal del Rotacional de una Función Vectoial La foma de las Ecs. (.8) (.7) sugiee que se puede obtene una genealización de la definición (.5) paa el otacional B insetando el témino B ente los cochetes en la Ec. (.8):

59 5 ot B lím nˆ Bd (.) v v e puede ve que las dos definiciones en las Ecs. (.5) (.) son equivalentes consideando el volumen elemental v = z ilustado en la Fig..7 o en la Fig..3. e tiene entonces que ˆ d = ˆ ( ) ( ) ˆ P P z + ( P ) ( P ) z n B a B B a B B ( ) ( ) + aˆ z B P3 B P3 Dividiendo po v usando la Ec. (.), se obtiene la ecuación la cual es equivalente a la Ec. (.5). B B B B = aˆ + aˆ + a ˆ z ot z El otacional es una opeación vectoial de etema impotancia. u nombe sugiee que tiene algo que ve con otación se obtiene mediante el poducto cuz del opeado con el vecto B. Paa entende su significado físico, se analizaá la aplicación de la Ec. (.) al caso de la otación de un cuepo ígido. e selecciona un oto cicula de adio a ancho w que gia con una velocidad angula ω (Fig..3). La velocidad en cualquie punto P en el oto está dada po u = ω donde es el adio vecto desde el cento O del oto hasta P. upóngase que se conoce u en la supeficie del oto que se desea detemina ω. Con esto en mente, considéese la integal de supeficie Puesto que ˆ ( P ) = ˆ ( P ) I nˆ u d n n, donde P P son puntos coespondientes en los lados del oto, se ve que solamente el lado contibue al valo de I. En se tiene que ω i nˆ = nˆ i = a

60 53 ω n( P ) ˆ w a O ˆ u( P ) ˆ n( P ) ˆ n( P ) Figua.3. Un oto con velocidad angula ω. Así que e donde v = π a w es el volumen del oto. ( ω i ) nˆ u = nˆ = a ω I = ˆ d = a π aw = v n u ω ω (.3) Tomando B = u en la Ec. (.) compaándola con la Ec. (.3), se obtiene que ω = ot u (.4) La Ec. (.4) pemite afima que el otacional de un vecto es una medida de la fuente de otación del campo vectoial. Paa el oto ilustado en la Fig..3, la fuente de la otación del campo vectoial u es la velocidad angula ω. Obseve que ot u es popocional a ω; la cantidad ot u se conoce como el vecto voticidad del campo. Con la auda de la Fig..3 es posible obtene una definición difeente del otacional que posteiomente demostaá se de mucha utilidad. Paa el ejemplo del oto, a se demostó que ot u = ˆ d ˆ d v n u = v n u ea ds = wdl multiplíquese escalamente la ecuación anteio po el vecto unitaio ω ˆ = ω ω (Fig..3). e tiene entonces que ( ˆ ) ( ωˆ ˆ ) ω ˆi n u dl = ui ω n dl = ui dl

61 54 donde dl es un vecto elemental diigido a lo lago del bode C del oto. i se toma = πa v = w, se obtiene ω ˆiot u = ui dl (.5) C donde la integal de línea se evalúa a lo lago del contono C definido po el bode del oto. La Ec. (.5) puede se genealizada de foma que sea aplicable a un campo vectoial u abitaio, nˆ iot u ui dl (.6) = lím C Aquí es una supeficie delimitada po un contono C ˆn es una nomal unitaia a. El contono C es ecoido en un sentido deecho con especto a ˆn. Es deci, cuando nos movemos a lo lago de C en la diección indicada en la Fig..33(a), el vecto nˆ dl estaá en la supeficie. Este punto es impotante ecoda, a que se supondá tácitamente que todas las integales de línea son evaluadas de esta foma. El no selecciona un sentido coecto podía esulta en un signo incoecto en la evaluación de una integal de línea. z C ˆn 4 3 P z nˆ dl dl (a) (b) Figua.33. Ilustación que define el otacional de un vecto. La integal de línea en la Ec. (.5) se define como la ciculación del campo vectoial u en tono al lazo ceado. El significado físico de la ciculación depende del tipo de campo que el vecto u epesenta. i el vecto u epesenta una fueza actuando sobe un objeto, la ciculación es igual al tabajo asociado con la acción de move el objeto una vez alededo de la taectoia ceada; si u epesenta la intensidad de campo eléctico, entonces la ciculación seá una fueza electomotiz en tono a la taectoia ceada. El conocido fenómeno del agua fomando un emolino en un denaje es un ejemplo de una fuente de vótice que poduce una ciculación de la velocidad del fluido. La Ec. (.5) define la componente del otacional en la diección de ˆn como la ciculación po unidad de áea o ciculación pomedio medida en una supeficie nomal a ˆn. La fuente de la ciculación se puede detemina evaluando el otacional. Paa el oto, la ciculación es

62 55 d = aω πa ui l C ( )( ) la ciculación po unidad de áea es ω, que es la componente de otu en la diección de ω. i el otacional de un campo vectoial es igual a ceo en todas pates, el campo se denomina iotacional. La Ec. (.6) puede usase paa obtene una epesión del otacional en cualquie sistema de coodenadas. Po ejemplo, en el sistema catesiano, la componente en se define tomando como el contono C un cuadado en el plano = constante que contiene a un punto P, como muesta la Fig..33(b). De la definición, se tiene que ( ot u) iaˆ = lím z d u i l z i u = u aˆ + u aˆ + u a ˆ en el punto, entonces z z 3 4 uz u = = u + uz + z + u + z + uz z z 3 4 u u z z = z ( ) ( ) ( ot u) i aˆ u z = u z Las componentes en en z se pueden detemina mediante un poceso simila, luego se combinan los esultados paa obtene, en coodenadas catesianas, que ot u u u z ˆ u u uz u ˆ = ˆ + + z z a z a a (.7) e puede escibi un deteminante de tece oden, cua epansión da el otacional de u en coodenadas catesianas como aˆ aˆ aˆ z ot u = (.8) z u u u z

63 56 Con la auda de la Ec. (.), es posible demosta que.7 Teoema de tokes v ot Bdv = nˆ B d (.9) Un teoema que demostaá se de mucha utilidad en el estudio de la teoía electomagnética es el teoema de tokes: nˆ iot Bd = Bi dl (.) Aquí la supeficie está acotada po un contono C el cual es ecoido en un sentido deecho (Fig..34). La Ec. (.) puede epesase en la foma siguiente: el flujo del vecto ot B a tavés de la supeficie abieta es igual a la ciculación de B alededo del contono C que delimita a la supeficie. Este teoema tiene un papel mu impotante en la le de Faada. Paa demosta el teoema de tokes, se subdivide la supeficie en N áeas elementales k, Fig..34. Aplicando la Ec. (.6) a la supeficie k, poduce la elación C nˆ iot ( Pk ) k = Bi dl (.) donde Pk es un punto inteio de k seleccionado adecuadamente. Cuando se suma la Ec. (.) sobe todos los N elementos de áea, se obtiene N k = k nˆ iot B( Pk ) k = Bi dl (.) La integal de línea final es evaluada en el contono C que delimita a. Esto se puede ve obsevando que la pate del contono común a dos áeas adacentes en el inteio de es ecoida en sentidos opuestos, po lo tanto, no contibue en nada al esultado final. La Ec. (.) se obtiene a pati de la Ec. (.) cuando se toma el límite confome. C k. k nˆ dl

64 57 Figua.34. Una supeficie delimitada po un contono C. Paa ilusta el teoema de tokes, considéese el caso de un conducto cicula de longitud infinita de adio a, en el cual ha una densidad de coiente J = a ˆ z J distibuida unifomemente en su sección tansvesal (Fig..35). e puede demosta que la intensidad del campo magnético H esultante de esta coiente está dada po H Jρ aˆ φ, ρ < a (a) = a J aφ ρ > ˆ, a (b) ρ (.3) z a J φ H P Figua.35. Un conducto cicula de longitud infinita con una densidad de coiente aial unifome J. que J, ρ < a (a) ot H =, ρ > a (b) (.4) eleccione ahoa un contono C delimitado po los cículos ρ =, ρ = el ángulo α evalúese la ciculación de H alededo de C. (Fig..36). i < a, se usa la Ec. (.3)(a) paa obtene d = ( α) ( α ) = J Hi l (.5) C donde es el áea delimitada po C. De la Ec. (.4)a se tiene que J ˆ ot d = J ni H (.6)

65 58 Las Ecs. (.5) (.6) son iguales, como lo equiee el teoema de tokes. La coiente en el inteio de C es igual a J, ésta se considea como la fuente de la ciculación de H. P C P 3 O α P 4 P Figua.36. Un contono C que ilusta el teoema de tokes. i > a, se usa la Ec. (.3)(b) paa obtene H De la Ec. (.4)(b), se obtiene que a J i d l = ( α) ( α ) = (.7) C ˆ ot d = n H (.8) Las Ecs. (.7) (.8) son iguales, tal como lo equiee el teoema de tokes. La coiente en el inteio de C es ahoa ceo, po consiguiente, la ciculación de H también es ceo. La Ec. (.3)(a) puede escibise en la foma H = J (.9) i se toma una sección del conducto de longitud w, es posible establece una analogía con el oto ilustado en la Fig..3 obsevando que la Ec. (.9) es análoga a la ecuación u = ω (.) La velocidad angula es consideada como la fuente de la otación (ciculación) del campo vectoial u. Po analogía, es posible deci ahoa que la densidad de coiente J es la fuente de la otación (ciculación) del campo vectoial H. Ejemplo 5. Veifique el teoema de tokes paa el campo vectoial supeficie plana en el plano z mostada en la Fig..37. ˆ F = a + z a la ˆ

66 59 olución: La taectoia C se descibe en sentido hoaio. Entonces Fi dl = Fi dl + Fi dl + Fi dl + Fi dl C C C C C 3 4 z C (, ) (, ) C C 3 (, ) C 3 (, ) En la taectoia C, =, F dl F ( a dz) Figua.37 i = i ˆ =, po tanto, z C Fi dl = dz = z= En la taectoia C, z =, ( ) ˆ z Fi dl = Fi a d = d, po tanto, En la taectoia C3, =, F dl F ( a dz) C 3 Fi dl = d = = 3 3 = i = i ˆ =, po tanto, z C 3 Fi dl = dz = z=, finalmente, en la taectoia C4, z =, F dl F ( ad) i = i ˆ =, po tanto, C 4 Fi dl = d = = De modo que la integal de línea da como esultado d = = Fi l 3 3 C

67 6 Puesto que ot F = a d = ddz( a ), la integal de supeficie da ˆ ˆ ( ot F) i d = d dz = 3 = z= lo cual veifica el teoema. Ejemplo 6. Veifique el teoema de tokes paa el campo vectoial F = aˆ + aˆ + a ˆ el hemisfeio supeio de la supeficie + + z =, Fig..38. ( ) z z σ Figua.38 olución: aˆ aˆ aˆ ÿ z F = = aˆ ˆ ˆ ( 4 ) a a z + z + ( F ) i d = ˆ ˆ ˆ ( 4 ) ˆ a a a z + i a nd = ˆ ˆ ˆ ( 4 + ) ˆ a a a ia σ z n d d cos, ( aˆ aˆ ) Aquí σ es la poección de sobe el plano como se muesta en la figua. El vecto gadiente a la supeficie f = + + z es f = aˆ + aˆ + a ˆ z. Entonces n z z f = z =, el vecto nomal es ˆ ˆ ˆ ˆ n = = + + z a f f a a a z se tiene que ˆ ˆ ˆ ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) ˆ ˆ ˆ a a + az 4 + ian = a a + az 4 + i a + a + azz = ( 4 + ) z

68 6 También, aˆ iaˆ = ( ) ( ) cos ( aˆ i aˆ ) = ( )( ) + ( )( ) + ( )( ) =, po lo que ( aˆ aˆ ) n z n z z z Po tanto, la integal de supeficie es d d ( F) i d = ( 4 + ) z z = = cos ni z = z. = d d d ( 4 + ) d = = = = d d d d = = = = = ( 4 + ) d d = = = = d sen ( ) d + sen = = ( ) ( ) 4 + d = = π π π π = d d + 8 d d 3 3 π 3 = π 8 ( ) sen = π

69 6 Ahoa, paa la integal de línea, ea C C C ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ i z Fi dl = a + a + a a d + a d + a dz ( ) = + d d = cosϕ, = sen ϕ. Entonces d = sen ϕdϕ, d = cos ϕdϕ π 3 Fi dl = ( cos ϕ + sen ϕ)( sen ϕdϕ) cos ϕdϕ C = π sen ϕ( cos ϕ ) + sen ϕ 3 = π lo cual veifica el teoema de tokes paa el caso bajo consideación. En la ec.. se definió un campo consevativo. Paa los campos de este tipo se cumple que d = Fi l C donde C es cualquie taectoia ceada abitaia. La intepetación física de esta integación es que el tabajo ealizado al move un objeto en un campo de fueza consevativo, a lo lago de una taectoia ceada es ceo. Tansfomando el lado izquiedo de esta ecuación mediante la aplicación del teoema de tokes, se obtiene C Fi dl = ot Fi d la cual poduce la epesión difeencial equivalente de que el campo es consevativo si ot F = Oto citeio sinónimo es que el campo puede epesase como el gadiente de una función escala de la posición, la función potencial Φ, lo que se escibe convencionalmente como F = Φ Lo anteio es equivalente a demosta que el otacional de un gadiente es igual a ceo. Más adelante Capítulo ) se eplicaá la azón paa la selección el signo menos en la ecuación anteio. π

70 63.8 Puntos de Fuente Puntos del Campo En la teoía del campo electomagnético se considea que las cagas las coientes en un punto de fuente Q establecen un campo electomagnético en un punto del campo P. El campo esultante en P se obtiene sumando (integando) los efectos de todas las fuentes. En los capítulos que siguen, se estudiaá que paa una fuente vectoial J en Q, con coodenadas,, z, el vecto del campo esultante en P, con coodenadas (,, z), tiene la foma ( ) donde es la distancia ente P Q. Es deci, F = dv J (.) v ( ) ( ) ( ) z z = + + Las vaiables de integación son, z de manea que dv = d d dz Paa distingui ente las deivadas con especto a, z las deivadas con especto a, z se le coloca una tilde al opeado, es deci e veifica fácilmente que aˆ ˆ ˆ + a + a z z z ˆ ˆ ˆ 3 3 z 3 = = a a a (.) Paa tene una idea de la utilidad de este simple esultado, se calculaá la divegencia de F. J = J,, z es e pemite difeencia bajo el signo de integación, puesto que ( ) independiente de P se puede usa la Ec. (.8) paa obtene.8. Fuentes Puntuales = J i F i dv = dv Ji (.3) v v En los poblemas físicos sugen campos vectoiales povenientes de distibuciones de fuentes que son continuas en el espacio. in embago, es conveniente, pincipalmente desde un punto de vista matemático, supone que la distibución de la fuente es discontinua. Aquí se consideaán las caacteísticas de campos establecidos po fuentes puntuales. e debe señala

71 64 que mediante la supeposición apopiada de estas fuentes puntuales, es posible epesenta cualquie distibución abitaia. Paa una sola fuente puntual q situada en el oigen O, la simetía equiee que las líneas de flujo sean adiales divejan unifomemente. i se selecciona cualquie supeficie esféica cuo cento esté en la fuente puntual, como se ilusta en la Fig..39, el flujo que cuza la supeficie seá independiente del adio. En paticula, el flujo total calculado es una medida del flujo saliente total poveniente de la fuente po consiguiente es una medida de la intensidad de la fuente. i a esta cantidad se le llama q F es el campo vectoial, entonces q = k d = k π F Fi 4 La integal de supeficie es sobe una supeficie esféica de adio es fácil evaluala poque F está en la diección adial tiene la misma magnitud en toda. k es una constante de popocionalidad que se debe detemina con base en la definición de la intensidad de la fuente. e seleccionaá k =, tal que q = π 4 F po tanto se debe tene que donde a ˆ es un vecto unitaio en la diección adial. q F = a ˆ (.4) 4 π F q Figua.39. Líneas de flujo desde una fuente puntual. Este campo vectoial es iotacional, un hecho que se establece ápidamente demostando que F puede obtenese como el gadiente de una función escala Φ. Po inspección, está clao que si Φ = q 4π, entonces ( ) q q F = Φ = aˆ ˆ = a (.5) 4π 4π

72 65 i se va a manipula aún más la integal de volumen en la Ec. (.3), el integando debe epesase en téminos que involucen la divegencia de un vecto. Entonces es posible aplica el teoema de la divegencia. Las deivadas que ocuen en el teoema de la divegencia se evalúan con especto a las vaiables de integación, así que se debe considea la elación J i = i J + Ji = i J Ji Aquí se han usado las Ecs. (.84) (.). El esultado apaentemente tivial dado po la Ec. (.) pemite escibi el integando en la Ec. (.3) en la foma J Ji = i J i lo que pemite esta en una posición en la que se puede aplica el teoema de la divegencia. Po consiguiente, Aquí es la supeficie que delimita a v'. ˆ = i J dv ni J i F d (.6) v El tipo de manipulación usado paa obtene la Ec. (.6) se usaá etensivamente en el esto de estas notas po ello debe se entendida completamente. e debe obseva que la divegencia de F es evaluada en P que la divegencia de J es evaluada en Q..9 El Teoema de Geen el Teoema de la Unicidad i se sustituen las elaciones D D = U gadv = V gadu en la Ec. (.9) se esta una ecuación de la ota, se obtiene el teoema de Geen, Aquí la función la supeficie ˆn. ( V U U V ) dv = V U d (.7) v U n V n U n = ni ˆ gadu es la apidez de cambio de U en la diección de la nomal a El teoema de Geen es impotante poque su aplicación esulta en un método sencillo paa esolve la ecuación de Poisson,

73 66 U = f (.8) la cual ocue con fecuencia en poblemas del campo electomagnético. En la Ec. (.8) la función f es una función continua po pates de la posición. Paa usa el teoema de Geen en la solución de la ecuación de Poisson, se debe selecciona V = / en la Ec. (.7). e puede demosta que =, (.9) Debido a la Ec. (.9), la Ec. (.7) se educe a v f U dv U d = (.3) siempe que en el inteio de v. Aquí es la distancia ente un punto Q de la fuente un punto P del campo. elecciónese v como el volumen delimitado po una pequeña esfea de adio a una esfea gande de adio b; ambas esfeas centadas en el punto del campo P (Fig..4). Pimeo se considea a se supone que eiste una constante positiva M paa la cual M U M U,, b (.3) v ˆn a b ˆn Figua.4. Ilustación de la deivación del teoema de Geen. De las condiciones dadas po la Ec. (.3) se obtiene que b b U M U ds 4 πb paa b,, po tanto, ha que ocupase de. Paa se tiene:

74 67 U m ds π a 4 a confome a. Aquí m es la magnitud máima de U/ n en. Así que paa b, a, la única pate difeente de ceo de la integal de supeficie en la Ec. (.3) (obseve que / n = / en ) es U d = U ( P ) ( ) 4 π a = U P 4 π n a donde P' es un punto inteio seleccionado adecuadamente del volumen acotado po. Confome a, P' P, se obtiene f U U ( P) = dv (.3) 4 π En la maoía de las situaciones físicas, f epesenta la densidad de la fuente de un campo escala la fuente está contenida dento de un volumen finito. e veifica entonces fácilmente que la Ec. (.3) satisface las condiciones de la Ec. (.3). ólo se necesita obseva que confome, se tiene que donde v Q U f dv = 4π 4π v Q f dv es la fuente del campo escala. La solución dada po la Ec. (.3) de la ecuación de Poisson jugaá un papel fundamental en la solución de poblemas del campo electomagnético. e puede demosta que la solución de la ecuación de Poisson que cumpla con las condiciones (.3) es única. El teoema de la unicidad epesa que eiste una sola solución U de la ecuación de Poisson dento de una egión v si se especifica U o U/ n en la supeficie que delimita a v. Es posible demosta el teoema de la unicidad suponiendo que eisten dos soluciones U U que cumplen con todas las condiciones demostando que U = U. i se hace V = U U, se deduce que v V = en el inteio de v (a) V V = o = en (b) n (.33) Usando la identidad vectoial (.88) la Ec. (.33)(a), se obtiene

75 68 ( ) = ( ) divv gadv gadv Debido a las condiciones dadas po (.33)(b), el teoema de la divegencia poduce la elación v ( ) gadv dv = Po tanto, se debe cumpli que gadv = po ello V = const = c. in embago, si V = en, se conclue que c =. Po consiguiente, U = U, sólo ha una solución. Paa que U sea única paa el caso en el cual U/ n en, solamente se tiene que especifica el valo de U en cualquie punto de.. Coodenadas Cuvilíneas Otogonales Una de las pincipales ventajas del cálculo vectoial es que las ecuaciones que definen las popiedades comunes a todos los campos electomagnéticos pueden se fomuladas sin efeencia a algún sistema de coodenadas en paticula. Las coodenadas catesianas son convenientes poque se tabaja con tes familias de planos mutuamente pependiculaes = constante, = constante z = constante los vectoes unitaios aˆ, aˆ a ˆ son constantes. z in embago, la solución de poblemas del campo con fecuencia toma una foma más sencilla en un sistema de coodenadas que no sea catesiano. Po lo tanto, inteesa epesenta el gadiente de una función escala la divegencia el otacional de una función vectoial en un sistema geneal de coodenadas cuvilíneas geneales. Un sistema genealizado de coodenadas consiste de tes familias de supeficies cuas ecuaciones en función de las coodenadas catesianas son ( ) ( ) ( ) u,, z = constante u,, z = constante u,, z = constante 3 Las tes supeficies definidas po las ecuaciones u = c, u = c u3 = c3 se denominan supeficies de coodenadas cada pa de supeficies se intesecan en una cuva de coodenadas. Las supeficies de cualquie familia ui no tienen que se paalelas ente sí no tienen que se planas. olamente ha inteés en el caso donde estas tes familias de supeficies son mutuamente pependiculaes, a que las coodenadas otogonales son comunes en aplicaciones físicas. La intesección de dos cuvas de coodenadas identifica un punto del campo P(u, u, u3). En el punto (,, z) o (u, u, u3) se asignan tes vectoes unitaios â, â â 3 tangentes en el punto a la cuva de coodenadas coespondiente. El vecto del campo F puede se epesado en témino de componentes a lo lago de estos vectoes unitaios. Puesto que se supuso un sistema otogonal, los vectoes unitaios son mutuamente pependiculaes en cualquie punto en el espacio. Entonces un vecto V puede escibise como V = aˆ V + aˆ V + a ˆ V (.34) 3 3

76 69 peo el vecto de posición en geneal es difeente. aˆ u + aˆ u + a ˆ u (.35) 3 3 puesto que no todas las vaiables de coodenadas son necesaiamente distancias. Considéese el paalelepípedo ilustado en la Fig..4, cuas caas coinciden con las supeficies u o u o u3 = constante. Puesto que las coodenadas no necesitan epesa una distancia diectamente (po ejemplo, los ángulos en coodenadas esféicas), los elementos difeenciales de longitud deben epesase como dl = hdu, dl = h du dl3 = h3du3, donde h, h h3 son factoes de escala (o coeficientes méticos) adecuados pueden se funciones de u, u, u3, dependiendo de si las coodenadas son elementos de longitud. Como ejemplo, en coodenadas cilíndicas (, φ, z), h =, h = ρ h3 =, puesto que los elementos de longitud a lo lago de las cuvas de coodenadas ρ, φ, z son dρ, ρdφ dz. El cuadado de la diagonal dl del paalelepípedo puede escibise como su volumen como hhh3dududu3. dl = h du + h du + h (.36) 3 Como anticipación a la nueva foma de las ecuaciones que apaecen en las póimas secciones, ecalcamos que el álgeba vectoial en coodenadas cuvilíneas otogonales es la misma que en coodenadas catesianas. Específicamente, paa el poducto punto, Ai B = A B + A B + A B (.37) 3 3 u 3 B C u u h 3 du 3 A h du O h du Figua.4. Coodenadas cuvilíneas otogonales. donde el subíndice indica las componentes cuvilíneas. Paa el poducto cuz, aˆ aˆ aˆ 3 A B = A A A (.38) 3 B B B 3 igual que antes.

77 7.. El Gadiente ea V(u, u, u3) una función escala. Entonces, de acuedo con las popiedades de V, éste es un vecto cua componente en cualquie diección está dada po la deivada dieccional de V en esa diección; es deci, la componente de V en la diección en la diección u es dada po a ˆ i V V V = ( V ) = = l h u (.39) similamente paa las diecciones 3. La cantidad ds es una longitud difeencial en la diección ceciente de u. Repitiendo la Ec. (.39) paa u u3, se obtiene la epansión vectoial esultante paa el gadiente como V V V V = aˆ + aˆ + a ˆ (.4) 3 h u h u h3 u3.. La Divegencia Paa calcula la divegencia de un vecto A, es necesaio evalua el flujo saliente neto po unidad de volumen, en el límite, confome el volumen tiende a ceo. Con efeencia al volumen difeencial de la Fig..4, es posible pocede como se hizo en el caso de las aˆ A, aˆ A, a ˆ A las componentes de A. Entonces el flujo a coodenadas catesianas. ean ( ) 3 3 tavés de la supeficie (OABC), tomando la nomal hacia fuea, es ( Flujo) ( ) en tanto que el flujo a tavés de la supeficie es = A h h du du + A h h du du du u ( Flujo) ( ) = A h h du du + A h h du du du u i se suma el flujo saliente neto paa los dos paes de supeficies estantes, se deteminaá que el flujo neto seá (donde los téminos segundo teceo pueden escibise mediante pemutación cíclica del pimeo) u u u ( h h A ) + ( h h A ) + ( h h A ) De la definición de la divegencia se puede ahoa escibi

78 7..3 El Rotacional i A = ( hh 3 A ) + ( h 3h A ) + ( h h A3 ) (.4) h h h3 u u u3 La componente en la diección del otacional se puede detemina calculando la ciculación alededo del contono OABC en la Fig..4 dividiendo po el áea de la supeficie enceada. Así que A C A dl + A dl = ( A h ) du du B A 3 u3 B A dl + A dl = ( A h ) du du u C Po la definición del otacional, en notación vectoial el esultado anteio conduce a la elación A 3 3 (.4) h h3 u u3 ( ) = ( A h ) ( A h ) Mediante pemutación cíclica de los subíndices, 3, se obtienen las componentes estantes. Po tanto, aˆ aˆ A = ( A3 h3 ) ( A h ) + ( A h ) ( A3 h3 ) h h3 u u3 h3h u3 u aˆ 3 + ( A h ) ( A h ) hh u u (.43) la cual puede escibise en foma de deteminante como h aˆ h aˆ h aˆ 3 3 F = (.44) h h h u u u 3 3 h A h A h A El Laplaciano

79 7 El laplaciano de un escala V se define como la divegencia del gadiente del escala puede fomase combinando la Ec. (.4) con la Ec. (.4). El esultado es h h3 V h3h V hh V V = i V = + + (.45) h h h 3 u h u u h u u 3 h 3 u 3 e deja como ejecicio paa el lecto, detemina los coeficientes méticos en los tes sistemas de coodenadas usados hasta ahoa también las epesiones paa las opeaciones vectoiales definidas en esos sistemas. Los coeficientes méticos son: Coodenadas catesianas: h = h = h3 = Coodenadas cilíndicas: h =, h = ρ, h3 = Coodenadas esféicas: h =, h =, h3 = sen θ Po ejemplo, en coodenadas cilíndicas, las opeaciones de gadiente, divegencia otacional están dadas po las elaciones. El Teoema de Helmholtz V V V V = aˆ ˆ ˆ ρ + aφ + a z (.46) ρ ρ φ z i A = ( Aρ ) + ( Aφ ) + ( ρa z ) (.47) ρ ρ φ z aˆ ρaˆ aˆ ρ φ z A = (.48) ρ ρ φ z A ρa A ρ Todos los campos vectoiales están confomados po uno o dos tipos de campos fundamentales: los campos solenoidales que tienen una divegencia idénticamente igual a ceo los campos iotacionales cuo otacional es ceo en todas pates. El campo vectoial más geneal tendá una divegencia un otacional difeentes de ceo. e demostaá que este campo siempe puede considease como la suma de un campo solenoidal uno iotacional. Esta afimación es esencialmente el contenido del teoema de Helmholtz. Ota foma de epesa el teoema es diciendo que un campo vectoial es completamente especificado po su φ z

80 73 divegencia su otacional. Antes de pocede con el caso geneal, pimeo se tataán los dos casos mencionados. Muchas de las popiedades de un campo vectoial povienen de su caacteística iotacional o solenoidal. Caso. Campo Iotacional Un campo vectoial F cuo otacional es ceo en todas pates se conoce como un campo iotacional o consevativo. Es deci, F =, peo la divegencia de F no puede se ceo al mismo tiempo o el campo F se anulaía en todas pates (caso tivial). Po consiguiente, sea (,, ) i F = ρ v z (.49) donde ρv se intepeta ahoa como la función que epesenta la fuente del campo F. El gadiente de cualquie función escala Φ tiene un otacional igual a ceo, po tanto, la condición F = se satisface si se toma F = Φ (.5) puesto que Φ =. El signo menos se escoge abitaiamente de manea que estos esultados concueden diectamente con el tabajo que se empendeá posteiomente; un signo positivo también seía una selección coecta. ustituendo en la Ec. (.49), se obtiene que F = Φ = ρ v i (.5) Así que la función escala Φ, la cual se conoce como el potencial escala, es una solución de (.5), una ecuación difeencial conocida como la ecuación de Poisson. Una vez que se ha encontado una solución paa Φ, se puede obtene el campo vectoial F a pati de la Ec. (.5). Caso. Campos olenoidales Un campo vectoial paa el cual i F = se conoce como un campo solenoidal. En un campo de este tipo todas las líneas de flujo son continuas se ciean sobe sí mismas. i i F =, no podemos tene un otacional que se anule o de nuevo el campo F se anulaía. ea entonces (,, z) F = J (.5) La función vectoial J es la fuente de la ciculación del campo F. Debe se una función fuente vectoial puesto que F es un vecto.

81 74 Una identidad matemática que a se estableció anteiomente es i A =, donde A es cualquie función vectoial. Así que A es un campo solenoidal po lo tanto podemos toma F = A (.53) El vecto A se conoce como el potencial vectoial a que juega un papel simila al del potencial escala Φ. i se substitue la Ec. (.53) en la Ec. (.5), se obtiene = = A i A A J (.54) luego de epandi la opeación otacional-otacional. i se pudiese toma i A =, la Ec. (.54) se simplificaía a A = J (.55) A seía una solución de la ecuación de Poisson vectoial, es deci, cada componente de A seía una solución de la ecuación de Poisson escala. Po ejemplo, solución de la ecuación A = J Con base en el teoema de Helmholtz, todavía se tiene la divegencia de A a nuesta disposición, a que hasta ahoa sólo se ha especificado su otacional. Po consiguiente, siempe es posible selecciona A de foma que i A =. Esto también puede demostase de la siguiente foma. En vez del potencial A se pudo también usa un potencial A = A + Ψ donde Ψ es una función escala abitaia. Esto no cambiaá el valo de F obtenido de la Ec. (.53) puesto que A = A + Ψ = A i A no tiene una divegencia igual a ceo, entonces se usa el potencial A se selecciona Ψ de foma que i A =, es deci, tal que i A + Ψ =. Puesto que siempe se puede enconta una función Ψ que satisfaga esta ecuación (de Poisson), en todos los casos también se puede obtene una función A' con divegencia igual a ceo con otacional igual a F. Caso 3. Campo Vectoial Geneal El teoema de Helmholtz establece que el campo vectoial más geneal tendá una divegencia un otacional difeentes de ceo, además, que puede deducise a pati del negativo del gadiente de un potencial escala Φ del otacional de un potencial vectoial A. En vista del análisis anteio, esta aseveación es bastante obvia, puesto que un campo geneal seía simplemente una supeposición de los dos tipos de campos discutidos po sepaado. in

82 75 embago, es instuctivo eamina la epesión matemática del teoema de Helmholtz. En la póima sección se daá una demostación del teoema. Considee un volumen v delimitado po una supeficie ceada, como en la Fig..4. Una identidad matemática (demostada posteiomente) dice que el campo vectoial F en el punto (,, z) está dado po ˆn (,, z) R (', ', z') v Figua.4 if (,, z) F (,, z ) i nˆ F (,, z) = dv d 4πR 4πR v F (,, z ) F (,, z ) + dv + d 4πR 4πR v (.56) donde = ˆ ( ) + ˆ ( ) + ˆ ( z ) a a a opea sobe las coodenadas de la fuente, la z integación es sobe las coodenadas de la fuente (', ', z') ˆn es una nomal unitaia diigida saliendo del volumen v. Ésta es la epesión matemática del teoema de Helmholtz. El témino i F (,, z ) da la función fuente ρ v (,, z ) F (,, z ) detemina la función fuente (o ciculación) J (,, z ), mientas que el témino. Las integales de supeficie epesentan integación sobe las fuentes de supeficie en. i se desplaza hasta el infinito, el campo F genealmente se anulaá allá, po tanto, las fuentes supeficiales también. in embago, si v es finito, en geneal apaeceán fuentes en la supeficie. El significado físico de las fuentes supeficiales puede entendese en la foma siguiente: Considéese la situación donde las líneas de flujo de F se etienden hacia el volumen v desde el eteio de la supeficie, como en la Fig..43a. i se cotan estas líneas de flujo en la supeficie, entonces el campo en el inteio de v puede mantenese en su valo oiginal solamente si se coloca una fuente equivalente en la supeficie que poduzca el mismo flujo hacia el volumen v que ea poducido po las fuentes oiginales etenas a v. Esta situación se ilusta en la Fig..43b. La intensidad de la fuente supeficial debe se igual al flujo oiginal po unidad de áea a tavés de po tanto igual a Fi nˆ. El signo menos suge a que Fi nˆ es una medida del flujo saliente, mientas que la intensidad de la fuente debe se igual al flujo

83 76 entante. La ota fuente de supeficie equivalente de la ciculación del campo F en el volumen v. F n ˆ suge po azones similaes es la fuente Fuentes (a) umideos (b) Ahoa se hace Fi nˆ = σ Figua.43 Los potenciales escala vectoial se definen ahoa como (,, ) F nˆ = K, donde σ K son las fuentes de supeficie equivalentes. ρv (,, z ) σ(,, z ) 4πR (.57) 4πR Φ z = dv + d v (,, z ) K (,, z ) 4πR 4πR J A (,, z) = dv + d (.58) v Así que en luga de la Ec. (.56) tenemos que (,, z) = Φ (,, z) + (,, z) F A (.59) que es la epesión matemática de la segunda pate del teoema de Helmholtz. En esumen, se puede entonces deci lo siguiente:. i el otacional de F es idénticamente igual a ceo, entonces F es un campo iotacional se puede obtene a pati del gadiente de una función potencial escala.. i la divegencia de F es idénticamente igual a ceo, entonces F es un campo solenoidal puede deducise a pati del otacional de una función potencial vectoial. 3. Un campo vectoial geneal puede deducise a pati del gadiente negativo de un potencial escala del otacional de un potencial vectoial.

84 77 4. Los potenciales de volumen de supeficie están deteminados po las funciones fuentes ρv, J, σ K.. Integación de la Ecuación de Poisson Regesemos ahoa a una consideación de las integales en la Ec. (.3) paa demosta que los potenciales son, en efecto, soluciones de la ecuación de Poisson. Del análisis sobe las fuentes puntuales al comienzo de esta sección, se obtuvo el esultado que paa una fuente puntual Q Q Φ = 4 πr ahoa, en vez de una fuente puntual Q, se tiene una distibución de fuentes puntuales con una densidad de volumen ρ v (,, z ) ; de la popiedad de supeposición se deduce que el potencial está dado po (,, z) Φ = v ρ v (,, z ) 4πR dv (.6) Como consecuencia, de las Ecs. (.5) (.5), el potencial Φ definido po la Ec. (.6) satisface la ecuación de Poisson. Aunque esta demostación es pobablemente satisfactoia desde un punto de vista intuitivo, es impotante demosta matemáticamente que Φ como lo da la Ec. (.6) es, en efecto, una solución de la ecuación de Poisson (,, z) (,, z) Φ = ρ v (.6) Los detalles matemáticos involucados son po sí mismos de gan impotancia. El laplaciano de la Ec. (.6) es El opeado ( z ) ρ v,, Φ (,, z) = dv 4π R v se puede coloca dento de la integal poque él no afecta las vaiables,, z a que la integación es con especto a las vaiables (,, z ) que ( R). A continuación, obsévese es igual a ceo en todos los puntos, ecepto en el punto singula R =. Así que la integal de volumen es ceo ecepto, posiblemente, po una contibución poveniente del punto singula R =. Confome,, z tienden a,, z, entonces R tiende a ceo. El pocedimiento es envolve el punto singula,, z con una pequeña esfea de adio δ, supeficie volumen V, como en la Fig..44. Puesto que (,, ) ρ v z es una función continua, se puede selecciona el adio δ tan pequeño como se quiea paa que en todos los

85 78 valoes de,, z, en el inteio de la esfea, ρv sea esencialmente igual a su valo (,, ) ρ v z en el punto singula. (', ', z') δ V (,, z) Figua.44 Ahoa la integal se conviete en v ρ v (,, z ) ρv (,, z) dv 4π R 4π = dv R Designe po el opeado nabla, a definido anteiomente, en coodenadas catesianas, como aˆ ˆ ˆ + a + az z tal que opea solamente sobe las coodenadas con tildes. En la misma foma, V + + z Puesto que R = ( ) + ( ) + ( z z ) puede confima que ( R) = ( R), ( R) ( R), entonces mediante una epansión diecta se =. Usando esta última identidad el teoema de la divegencia en la integal de volumen anteio, se obtiene ρv ρv dv = d 4π R 4π R V

86 79 R = a ˆ R R d = a ˆ R R dω, donde a ˆ R es un vecto unitaio diigido hacia Ahoa bien, ( ) fuea desde el punto (,, z ) dω es un elemento de ángulo sólido. La sustitución de estas elaciones muesta finalmente que ( z) ρ v,, Φ (,, z) = dω = ρv,, z 4π ( ) po tanto se veifica que Φ, como lo da la Ec. (.6), es una solución de la ecuación de Poisson. Paa el vecto potencial A, cada componente es una solución de la ecuación de Poisson escala; así que mediante una adición vectoial se conclue que la solución de A = J está dada po A (,, z) = v J (,, z ) 4πR Paa fuentes supeficiales, las soluciones son las mismas, con la ecepción que la integación ahoa es sobe una supeficie en vez de en un volumen. Demostación del Teoema de Helmholtz * En vista de las popiedades de la función ( R ), es clao que la función vectoial (,, z) F puede epesentase como F (,, z) Usando ahoa la identidad vectoial como ( z ) (,, ) dv,, F = dv 4π R V = V F z dv 4πR = i, la ecuación anteio se puede escibi (,, z ) F (,, z ) F F (,, z) = dv i dv (.6) 4πR 4πR Considee pimeo el témino de la divegencia. e tiene que V V Ve la ección. * Tomada de Pinciples and Applications of Electomagnetic Fields po R. Plonse R. E. Collin, McGaw-Hill, 96.

87 8 ( ) F,, z i dv = F (,, z ) i dv 4πR 4π R V puesto que no opea sobe las vaiables con tilde. A continuación obseve que F = i R R F = i + R (,, z ) i F (,, z ) V (,, z ) F (,, z ) R Po tanto, (,, z ) (,, z ) i (,, z ) F F F i dv = i dv + dv 4πR 4πR 4πR V V V que es la foma deseada paa el potencial escala Φ. (,, z ) i ˆ i (,, z ) F n F = d + dv = Φ 4πR 4πR V (.63) Regesando ahoa al témino del otacional en la Ec. (.6), se obseva que A continuación se usa la elación paa obtene ( ) F,, z dv = F (,, z ) dv 4πR 4π R V ( ) V = F (,, z ) dv 4π R V ( ) F,, z F,, z = F (,, z ) + R R R (,, z) dv (,, z) (,, z) F F F = dv dv 4πR 4πR 4π 4πR V V V (.64) La pimea integal en el lado deecho es el témino deseado. El paso que falta es detemina que (,, z ) (,, z ) ˆ F F n dv = d (.65) 4π R 4πR V Paa demosta este esultado, sea C un vecto constante aplique el teoema de la divegencia a la cantidad i C F R paa obtene

88 8 En la integal de supeficie, se tiene V F F ic dv = Ci dv R R V F = C i nˆ d R (.66) F F nˆ C i nˆ = Ci R R la Ec. (.66) se conviete en ˆ Ci dv = d F C R F n i R V Como C es un vecto abitaio, la dos integales son iguales así se compueba la elación (.65). De manea que se tiene entonces que (,, z ) (,, z ) (,, z ) ˆ F F F n dv = dv + d = A (.67) 4πR 4πR 4πR V V En consecuencia, ahoa se deduce que F = Φ + A (.68) cuando se usan las Ecs. (.63) (.67) en la Ec. (.6). Esto completa la demostación del teoema de Helmholtz..3 Ángulos ólidos Esta sección se ocupa de los ángulos sólidos subtendidos po supeficies a mencionados en la sección anteio. Los ángulos sólidos subtendidos po contonos juegan un papel impotante en la teoía de los campos electomagnéticos poducidos po coientes estacionaias. La unidad paa medi los ángulos sólidos es el esteadián. El áea de la pequeña supeficie oientada en la Fig..45 es da; el punto Q está en a una distancia de P; los vectoes en Q muestan las diecciones espectivas de la nomal positiva a la línea ecta PQ; el ángulo ente estos vectoes es γn. i este ángulo es agudo, como en la figua, se dice que P ve la pate tasea de. La figua también muesta la poección de sobe una esfea imaginaia de adio centada en P. El áea de la poección se denota po da* se toma como positiva si P ve la pate tasea de. El ángulo sólido subtendido po en P, denotado po dω, se define mediante la ecuación

89 8 Como se obseva en la Fig..45, da* es popocional a el valo de dω puede hacese abitaiamente. da * dω = (.69) ; po tanto, la selección de no afecta El ángulo sólido Ω subtendido en P po una supeficie oientada de cualquie tamaño foma es la suma de los ángulos sólidos subtendidos en P po las pequeñas pociones difeenciales planas en las cuales se subdividió a. Es deci, o, puesto que es una constante, da * Ω = (.7) Ω = da * (.7) Aquí la integal de supeficie es la suma, tomando en consideación los signos, de las poecciones (sobe la esfea de adio ) de las pociones difeenciales de. Esta suma se denota po a* la Ec. (.69) se escibe como a * Ω = (.7) da Q γ n sen θdφ da = sen θdθdφ = dω d θ da* P (a) (b) Figua.45. (a) Una supeficie poectada sobe una esfea; (b) definición del ángulo sólido. Ejemplo. uponga que un punto P está tan distante de una supeficie plana que cualquie dimensión lineal de es despeciable en compaación con la distancia desde P

90 83 hasta cualquie punto en. ea el adio de la supeficie esféica imaginaia centada en P tan gande que, ecepto po coecciones de oden mao, la pate de esta supeficie que está ceca de puede tomase como plana. En paticula, considee la Fig..46, donde la supeficie (de áea a) plana de foma acoazonada está en el plano alededo del oigen con oientación hacia aiba. Ahoa se toma igual a la coodenada adial de P. De aquí puede se obvio que, si P está lo suficientemente lejos de, el áea a* de la poección sombeada en la figua seá a cosθ. Po tanto, apate de coecciones de oden mao, el ángulo sólido subtendido po en P es cosθ Ω = a P ( está mu alejado de ) z θ P(, θ, φ) ˆn a* a Figua.46.4 Resumen de las Definiciones Geneales paa el Gadiente, la Divegencia el Rotacional Po conveniencia, ahoa se esumen los esultados de las cuato últimas secciones. El gadiente de una función escala U se define como La divegencia de una función vectoial B se define po gadu lím ˆ Ud v v n (.73) divb = lím v v El otacional de una función vectoial B está definido po nˆ i Bd (.74)

91 84 ot B = lím nˆ B d (.75) v v La componente de ot B en la diección de una nomal unitaia ˆn a la supeficie está definida po nˆ iot B lím Bi dl (.76) Las ecuaciones anteioes con fecuencia se abevian mediante el uso del opeado. Usando el opeado, las ecuaciones se esciben en la foma C U gad U, id div D, B = ot B (.77) De las Ecs. (.73), (.74) (.75) se conclue que el opeado nabla está definido po lím ˆ v [ ] d v n (.78) Las opeaciones gadu, divb ot B se obtienen insetando U, B B ente los cochetes de la Ec. (.78)..5 Identidades Vectoiales En los capítulos posteioes se utilizaán vaias identidades vectoiales que involucan el opeado nabla. Paa conclui este capítulo se daá la demostación de algunas de estas identidades. Cuando se está estableciendo una identidad vectoial es posible pocede de dos maneas. e puede epesa al opeado en un sistema catesiano de coodenadas pocede diectamente, o se pueden usa las definiciones geneales dadas po las Ecs. (.7), (.73) (.). Como un ejemplo, considéese la identidad vectoial que epesa que la divegencia del otacional de cualquie campo vectoial es idénticamente igual a ceo: En función del opeado nabla, el lado izquiedo de la Ec. (.79) es div ot E = (.79) ( E) ( ) i = i E (.8)

92 85 donde se ha consideado a como un vecto se ha usado la fómula paa el poducto escala tiple. Estictamente hablando, no es posible iguala a ceo a que no es un vecto. in embago, el esultado obtenido po esta opeación es coecto. Paa demosta este esultado iguosamente, se pudo epesa la Ec. (.8) en coodenadas catesianas. No obstante, el esultado se obtiene más convenientemente usando el teoema de la divegencia el teoema de tokes; entonces div ot E dv = nˆ i ot E d = Ei dl = V C Puesto que es una supeficie ceada, el contono C que delimita a puede tomase como cualquie punto de. Así que la integal de línea es ceo. Como la integal de volumen es ceo paa un volumen abitaio v, se conclue que el integando debe se ceo. Esto demuesta la Ec. (.79). i A es una constante f una vaiable, se tiene que div ( f ) A = Ai div f (.8) En coodenadas catesianas, se puede demosta esta igualdad mediante las siguientes opeaciones: f i( f A ) = a ˆ ( ) ˆ ui f = u = f u A A i a i u A u Paa establece la Ec. (.8) sin hace efeencia a un sistema de coodenadas específico, se pueden usa el teoema de la divegencia la Ec. (.76). Po consiguiente, div( ) = ˆ = fa dv Ai f n d Ai div f dv v v Puesto que el volumen v es abitaio, los integandos de las integales de volumen deben se iguales. La identidad vectoial div ( ) u A F = Fi ot A (.8) donde F es un vecto constante, puede demostase en una foma simila. En coodenadas catesianas se tiene que i( A F ) = ˆ ( ) ˆ a ui = u = u A F F i a A u F i A u u

93 86 Una demostación altena de la Ec. (.78) que emplea el teoema de la divegencia la Ec. (.9), es la siguiente: div( ) = ˆ ( ) = ˆ = A F dv ni A F d Fi n Ad v Fi ot Adv v Como v es abitaio, los integandos de las integales de volumen deben se iguales, estableciendo así la Ec. (.8). Una identidad vectoial de uso fecuente en la teoía del campo electomagnético es ( ) ot ot i A B = Bi A Ai B (.83) En coodenadas catesianas, la demostación de la Ec. (.83) utiliza el poducto escala tiple pocede en la foma siguiente: A B i( A B) = ˆ ( ) ˆ ˆ aui A B = u u u Bi a Ai a u u u u = Bi ot A Aiot B Paa establece la Ec. (.83) sin hace efeencia a un sistema específico de coodenadas, se toman dos puntos vecinos P P se hace ( P), ( P ) ( P), ( P ) B B B B A A A A El punto P se considea fijo, tal que A B son vectoes constantes. Considéese ahoa el vecto ( ) ( ) F A A B B = A B A B + B A + A B Tomando la divegencia de F usando la Ec. (.8) el hecho de que poduce ( A B ) div = ( ) i divf = div A B B ot A + A i ot B Ahoa se toma P P = ε, donde ε es una cantidad positiva abitaiamente pequeña, se elige una esfea de adio ε centada en P. Las magnitudes de los vectoes A A B B son ambas del oden de ε. Así que eiste un númeo positivo M paa el cual Fi nˆ Mε

94 87 donde n es la nomal unitaia a la esfea. De la Ec. (.73) se obtiene que ( 4πε ) Mε divf = 3Mε πε 3 4 3, en el límite, confome ε, la divf, se obtiene la Ec. (.83) evaluada en P. La identidad ( ) div UA = U div A + Ai gadu (.84) puede establecese en una foma simila. En coodenadas catesianas se tiene que A U i( UA) = aˆ ( ) ˆ ˆ ui UA = Ua ui + Aiau u u u u u = U ia + Ai U Paa establece la Ec. (.84) sin hace efeencia a un sistema de coodenadas específico, se toma ( ), ( ) ( P), ( P ) U U P U U P A A A A i se considea al punto P como fijo, de foma que U A son constantes, se toma la divegencia del vecto ( )( ) ahoa se usa la Ec. (.8) se obtiene F U U A A = UA UA U A + U A ( U ) U U divf = div A A gad diva Ahoa se hace que P P, de modo que divf. Entonces, en el límite, se obtiene la Ec. (.84) evaluada en P. En el caso especial cuando A = gadv ( ), la Ec. (.84) toma la foma i V = Ui V + U i V El opeado "divgad" apaece fecuentemente; cuando se aplica a un escala se escibe como se denomina el opeado laplaciano. En coodenadas catesianas el opeado laplaciano es

95 z A continuación se esumen las identidades vectoiales que se utilizan fecuentemente en el desaollo de la teoía del campo electomagnético: div ot E = ( E) i = ( A B) = Bi A Ai B ( A B) B ( A) A ( B) div ot ot i = i i ( ) ( ) div UA = U div A + AgadU i UA = U ia + Ai U ( ) i( ) div U gadv = gadu gadv + U div gadv = + U V Ui V U V (.85) (.86) (.87) (.88) Estas identidades vectoiales no tienen que se memoizadas. Confome suja la necesidad, ellas pueden obtenese ápidamente consideando a como un vecto usando su epesentación en coodenadas catesianas. PROBLEMA. Dado que ( ˆ 3 ˆ 6 ˆ A = a 7 + a + a z ), ( ˆ ˆ ˆ B = a 6 7 a + a z ), C = 7 ( 6aˆ ˆ 3 ˆ + a a z ) Demueste que éstos son vectoes unitaios otogonales que foman un sistema de mano deecha.. Dados dos puntos P = (3,, 3) P = (, 3, ), dibuje los vectoes R = OP, R = OP D = P P. Esciba las epesiones matemáticas paa los vectoes R, R D.

96 89.3 Un vecto A se dibuja desde el punto (,, 3) hasta el punto (5,, ). Halle un vecto unitaio en la diección de A..4 Halle la constante a de modo que los vectoes aˆ aˆ + a ˆ, aˆ + aˆ 3a ˆ 3aˆ + aaˆ + 5a ˆ sean coplanaes. z z z.5 Dado que A = aˆ cos α + aˆ sen α B = aˆ cosβ aˆ sen β use el poducto vectoial A B paa demosta que sen ( α + β ) = sen α cosβ + cos α sen β.6 e tienen dos campos vectoiales epesentados po A = aˆ A + aˆ A + a ˆ A z z B = aˆ B + aˆ B + a ˆ B, donde todas las componentes pueden se funciones de las z z coodenadas espaciales. i estos dos campos son paalelos ente sí en todas pates, cuáles deben se las elaciones ente sus componentes?.7 Demueste que, si AiB = Ai C A B = A C, donde A no es un vecto nulo, entonces B = C..8 Un vecto desconocido puede se deteminado si se dan su poducto escala su poducto vectoial con un vecto conocido. uponiendo que A es un vecto conocido, detemine el vecto desconocido X si se dan p B, donde p = Ai X B = A X..9 ea C = A B; usando métodos vectoiales deduzca la le de cosenos donde θ es el ángulo ente A B. = + cos θ C A B AB. Demueste que las dos diagonales de un ombo son pependiculaes ente sí.. Demueste que la línea que une los puntos medios de dos lados de un tiángulo es paalela al tece lado tiene la mitad de su longitud.. Demueste que un ángulo inscito en un semicículo es un ángulo ecto..3 Dado que es una supeficie ceada, demueste que ˆ d = n

97 9 ugeencia: Use un sistema de coodenadas catesianas poecte n ˆ d sobe planos coodenados..4 El itmo de cambio de una función escala U en la diección de un vecto unitaio ˆn viene dada po U n = gadui nˆ. Use esta fómula paa halla U z, donde U = / = + + z. Epese el esultado en coodenadas esféicas..5 Un cilindo tiene elementos que son paalelos al eje z; su áea seccional tansvesal en el plano es. Aplique el teoema de la divegencia a una longitud unitaia del cilindo demueste que divd dv = C Di nˆ d Aquí D = aˆ D + a ˆ D, C es el contono en el plano que delimita, ˆn es nomal unitaia saliente de C d es un elemento de línea de C..6 Use el esultado del Poblema.5 tomando D =, D =, demueste que el áea acotada po un contono C en el plano está dada po.7 Demueste lo siguiente: C ( d d) (a) = (b) i = (c) i = 3 3 donde = aˆ + aˆ + aˆ z. z.8 Dada una función vectoial = ˆ ˆ + ( 3 ) P (5, 6) hasta P(3, 3) en la Fig. P.8. a) a lo lago de la taectoia diigida PP, b) a lo lago de la taectoia PAP. F a a, evalúe la integal Fi dl desde P (5, 6) P (3, 3) A 5 Figua P.8

98 9.9 Dada una función vectoial E = aˆ + a ˆ, evalúe la integal Ei dl desde P(,, ) hasta P(8,, ) a) a lo lago de la paábola =, b) a lo lago de la línea ecta que une los dos puntos Es este campo E un campo consevativo?. Dada una función escala detemina ( sen π )( sen π ) V = e z 3 a) la magnitud la diección de la máima tasa de cecimiento de V en el punto P (,, 3), b) la tasa de cecimiento de V en P en la diección del oigen.. Una fueza es descita po F = aˆ ˆ + a + + (a) Epese F en coodenadas cilíndicas. (b) Calcule el otacional de F (c) Calcule el tabajo ealizado po F al ecoe el cículo unitaio una vez en diección antihoaia.. Un campo vectoial es dado po F = aˆ ˆ 3ˆ + a + a z. Evalúe F i n ˆ d en un áea plana ectangula acotada po las líneas que unen los puntos (,, ), (,, ), (,, ) (,, )..3 Un pisma como el mostado tiene sus esquinas en (,, ), (,, ), (,, ), (,, 3), (,, 3) (,, 3). Evalúe el vecto de áea de cada lado demueste que el vecto total de áea es ceo.

99 9 z.4 Dado el campo vectoial ˆ F = a + a, calcule ˆ Figua P.3 Fi d l, donde C el la taectoia C ceada en el plano que comienza en el punto ( 3,,), sigue po la línea = hasta el punto (,, ), después continúa a lo lago del aco cicula + = 4 hasta el punto ( 3,,) entonces a lo lago de la línea = 3 hasta el punto de patida..5 La ecuación paa un campo es B = aˆ ˆ ˆ + a + za z. Evalúe B i n ˆ d en un áea cicula de adio, que está centada en el eje z es paalela al plano en z = 5..6 Demueste que 3 Ri d = V, donde R es el vecto adial V es el volumen de la egión enceada po la supeficie..7 Paa la función vectoial ˆ ˆ z A = a + a z, veifique el teoema de la divegencia paa la egión cilíndica cicula enceada po = 5, z = z = 4..8 Veifique el teoema de la divegencia calculando la integal de volumen la integal de supeficie paa el campo vectoial F = aˆ + aˆ + ( z ) a ˆ el volumen del cubo unitaio,, z. z.9 Evalúe la siguiente integal usando el teoema de la divegencia ( d dz + d dz + d d) donde es la supeficie de la esfea + + z = 4..3 (a) Demueste que ( ) ( ) F = + 3 aˆ + 4z aˆ 4a ˆ es un campo consevativo. (b) z Halle una función escala Φ tal que Φ = F. (c) Evalúe la integal (,, ) F ( 3,, ) i d

100 93.3 Veifique el teoema de tokes evaluando tanto la integal de línea como la de supeficie A = aˆ aˆ + za ˆ la supeficie dada po el disco paa el campo vectoial ( ) z =. +. z F, θ, φ = a + a + a, donde la θ φ.3 Veifique el teoema de tokes paa el campo vectoial ( ) ˆ ˆ ˆ supeficie el el octante de una esfea dada po =, θ π/, φ π/..33 Dada la función vectoial = ˆ sen ( φ ) A a, veifique el teoema de tokes paa la φ supeficie hemisféica su contono cicula mostados en la Fig. P.33. z O π/ b C Figua P Veifique el teoema de tokes paa el campo del Ejemplo usando coodenadas esféicas..35 Calcule la ciculación del vecto F = aˆ + aˆ + z a ˆ alededo de un tiángulo con z vétices en el oigen, (,, ) 6 (,, ) po (a) integación diecta (b) usando el teoema de tokes..36 Dada una función vectoial = ˆ ( + c z) + ˆ ( c 3z) + ˆ ( + c + c z) F a a a. z 3 4 a) Detemine las constantes c, c c3 si F es iotacional. b) Detemine la constante c4 si F también es solenoidal. c) Detemine la función potencial escala V cuo gadiente negativo es igual a F.

101 CAPÍTULO Campos Elécticos Estáticos. Intoducción En la constucción de una teoía deductiva paa el estudio de un tópico científico están involucados tes pasos esenciales: La definición de cantidades básicas El desaollo de eglas de opeación, La postulación de elaciones fundamentales. En el Capitulo se estudiaon los fundamentos del álgeba el cálculo vectoial se definieon las cantidades que son fuentes campos paa el modelo electomagnético. Ahoa se intoducián los postulados fundamentales paa las elaciones ente las fuentes sus campos en electostática. La mateia pimodial de la electicidad es la caga eléctica. Ella es la esencia de los fenómenos elécticos. Tan básica es, que no es sencillo descibila ecepto en el conteto de los efectos que se atibuen a su eistencia. Estos efectos sólo se manifiestan como fuezas de inteacción.. Le de Coulomb En electostática, las cagas elécticas (fuentes) están en eposo todas las cantidades elacionadas con ellas no cambian en el tiempo. Tampoco ha campos magnéticos asociados; en consecuencia, sólo se estudiaá una situación elativamente sencilla del electomagnetismo: los campos elécticos estáticos. Aunque la electostática es una pate elativamente sencilla en el esquema global del electomagnetismo, su dominio es esencial paa la compensión de modelos electomagnéticos más complicados. Adicionalmente, la eplicación de muchos fenómenos natuales los pincipios de algunas aplicaciones industiales están basados en la electostática. El estudio comienza econociendo que la caga eléctica eiste. Epeimentos cualitativos sugieen la eistencia de dos clases de cagas, positivas negativas, que un objeto cagado es ceado po la sepaación de cagas: Un átomo es elécticamente neuto; tiene el mismo númeo de potones (cagas positivas) electones (cagas negativas). Los objetos se cagan añadiendo o emoviendo electones; es deci, un objeto macoscópico se caga cuando tiene más caga de un signo que de oto.

102 94 Una caga positiva ocue cuando ma menos electones que potones; su definición clásica es la caga acumulada po una baa de vidio fotada con seda o algodón. Una caga negativa cuando ha más electones que potones; su definición clásica es la caga acumulada po una baa dua de caucho fotada con piel. En la natualeza, la cantidad total de caga positiva equiliba la cantidad total de caga negativa; la neutalidad eléctica de los objetos es lo más común. Además, no es posible cea (o aniquila) caga de un signo sin cea (o aniquila) caga del signo contaio. Esto puede considease como un pincipio de consevación de caga. Le de Consevación de la Caga Eléctica. La cantidad neta de caga eléctica poducida en cualquie poceso es igual a ceo. i una egión u objeto adquiee una caga positiva, po ejemplo, entonces se encontaá una caga igual de caga negativa en egiones u objetos vecinos. La caga es cuantizada. Esto significa que paece habe una magnitud mínima de caga eléctica. Esta cantidad mínima está asociada, po ejemplo, con la caga de un positón o de un electón. Po tanto, todas las cagas son múltiplos enteos de esta caga elemental. En lo que especta a lo que se conoce, todas las patículas elementales de la natualeza tienen una caga de magnitud igual a la caga del electón. La patícula cagada más liviana que se conoce es el electón. u masa (en eposo) es kilogamos. La masa en eposo de un potón o de un neutón es apoimadamente 84 veces mao que la del electón. En el sistema de unidades I, la unidad de caga eléctica es el culombio (se denota po C). Un culombio es 8 apoimadamente equivalente a 6 electones; es una unidad de tamaño bastante gande paa la caga puesto que la caga electónica es e 9 =.69 C. Obseve que un culombio es una caga eléctica etemadamente gande cuando se compaa con la caga de un solo electón o potón. Paa tene una idea de la magnitud, considee dos objetos, cada uno con una caga neta de + culombio. i estos objetos se colocasen a una distancia de un meto ente ellos, la fueza de epulsión seía de nueve millados de newtons, lo que coesponde a un millón de toneladas. Como el culombio es una caga tan gigantesca, los científicos algunas veces usan unidades de medición como el 6 micoculombio ( C), el picoculombio ( C) o hasta la simple caga del electón, e. Como a se mencionó, se econocen dos clases de cagas elécticas, denotadas abitaiamente como positivas (+) negativas ( ). Las cagas del mismo signo se epelen cagas con signos contaios se ataen. Así, las cagas elécticas ejecen una fueza sobe otas cagas elécticas. Esta fueza electostática ente dos cagas es diectamente popocional al poducto de las cagas e invesamente popocional al cuadado de la distancia ente ellas (una elación de le del cuadado inveso): le de Coulomb. El estudio de la electostática usualmente comienza con la fomulación de la le de Coulomb paa la fueza ente dos cagas puntuales. Coulomb midió la fueza ente cuepos cagados mediante una balanza de tosión; estableció que la magnitud de la fueza ente dos objetos cagados pequeños (cagas puntuales) sepaados en el vacío o espacio libe po una distancia gande compaada con su tamaño es popocional al

103 95 poducto de las cagas en cada una de ellas e invesamente popocional al cuadado de la distancia que las sepaa, o Q Q F = k R donde Q Q son las magnitudes de las cagas, positivas negativas, R es la distancia de sepaación de las cagas k es una constante de popocionalidad que depende del medio del sistema de unidades utilizado. i se usa el sistema de unidades I, la caga Q se mide en culombios (C), R se mide en metos (m) la fueza estaá en newtons (N). Esto se cumpliá si la constante de popocionalidad k se toma como k = 4 πε La constante ε se conoce como la pemitividad del vacío o del espacio libe tiene la magnitud Entonces ε = m k = 9 4πε F ahoa la le de Coulomb se puede escibi como 9 Faadio (F) R 36π meto (m) (.) Q Q F = (.) 4 πε Paa escibi la foma vectoial de F se necesita el hecho adicional de que la fueza actúa a lo lago de la ecta (imaginaia) que une las dos cagas. Coulomb también encontó que cagas de signos difeentes se ataen del mismo signo se epelen. En la Fig.., sea el vecto de posición de Q el vecto de posición de Q. Entonces el vecto R = epesenta el segmento de línea ecta diigido de Q a Q. El vecto F es la fueza sobe Q (debida a Q) se ilusta paa el caso en que ambas cagas tienen el mismo signo. Usando notación vectoial, la le de Coulomb puede fomulase como F Q Q = ˆ 4 a (.3) πε R donde â es un vecto unitaio en la diección de R, o aˆ R R = = = R R De la Ec. (.4) se obseva que si Q Q tienen el mismo signo, entonces F es positiva (epulsiva) si Q Q son de signos opuestos, se tiene que F es negativa (atactiva). Al sustitui la Ec. (.4) en la Ec. (.3), se obtiene F Q Q Q Q = aˆ = πε 3 4πε 4 (.4) (.5)

104 96 Q F R F Q O Aquí conviene señala lo siguiente: Figua.. Fueza ente dos cagas elécticas.. Como muesta la Fig.., la fueza F que actúa sobe Q debida a Q la da la epesión Es deci, puesto que aˆ ˆ = a. ( ˆ ) F = F aˆ = F a F = F. La distancia R ente los cuepos cagados debe se gande compaada con sus dimensiones lineales; es deci, Q Q deben se, idealmente, cagas puntuales. 3. Las cagas Q Q deben esta en eposo (cagas estáticas). i Q está en eposo Q no lo está, entonces la le de Coulomb aplica, cualquiea sea la velocidad de Q. Éste es un hecho epeimental. i Q no está en eposo, la le de Coulomb deja de tene validez. 4. En la Ec. (.5) se deben toma en cuenta los signos de las cagas Q Q. La le de Coulomb es lineal, puesto que si se multiplica Q po un facto constante α, la fueza sobe Q también se multiplica po el mismo facto α. Epeimentalmente, se detemina que la fueza que una caga epeimenta debido a la pesencia de una segunda caga no es afectada po la pesencia de otas cagas en su entono. Así que también se cumple que la fueza sobe una caga en la pesencia de otas cagas es justo la suma de las fuezas sobe esa caga debidas a cada una de las otas cagas actuando individualmente. En consecuencia, es posible aplica el pincipio de supeposición, la fueza sobe una caga Q debida a otas N cagas Q, Q,, Q N, cuos vectoes de posición son,,, N es la suma vectoial: ( ) QQ ( ) QQ ( ) QQ N F = πε 4πε 4πε N k= ( ) N Q Qk = 4 πε k 3 k i la caga está distibuida en foma continua en alguna egión, la suma vectoial es eemplazada po una integal de funciones vectoiales. N (.6)

105 97 La le de Coulomb es pecisa sólo paa cagas puntuales. in embago, todos los epeimentos en la vida eal se ealizan con cagas en objetos que tienen dimensiones finitas. La le de Coulomb puede usase en epeimentos con esos objetos si las dimensiones de los objetos cagados son mucho menoes que la distancia ente sus centos. Ejemplo. Detemínese la fueza sobe una caga de µc colocada en el punto (,, 3) m si cuato cagas iguales de µc están situadas en los ejes, z, como muesta la Fig... z (,, 3) (, 4, ) µc Figua. olución: Considee la fueza debida a la caga en (, 4, ): 6 6 ( )( ) 9 4 ( 36 ) 5 4aˆ 3 ˆ + az π π 5 La componente en la diección de de esta caga seá cancelada po la caga en (, 4, ). En la misma foma, las componentes en debidas a las otas dos cagas se cancelaán. Po tanto, la fueza total es cuato veces la fueza en la diección z: 8 3aˆ F = 4 =.73 ˆ z N 5 5 a Ejemplo. Considéese una baa delgada laga de longitud L (Fig..3) que contiene una distibución unifome de caga en eceso Q. Cuál seá la fuea de esta distibución sobe una caga q a una distancia a de la baa a lo lago de una línea que ataviesa el eje de la baa? L d a q F Figua.3. Fueza ejecida po una distibución lineal. olución: Puesto que la caga Q está distibuida unifomemente en la baa, la fueza F, cua diección se indica en la Fig..3, debida a esta caga distibuida puede calculase hallando la fueza elemental df debida a la caga elemental dq luego integando sobe

106 98 toda la distibución de caga. De manea que lo que se necesita es halla una epesión que pemita suma las contibuciones de cada elemento difeencial de caga. La magnitud de la fueza sobe q debida a cada elemento dq seá q df = 4 πε dq La elación ente dq el elemento d la epesa la densidad lineal dq d = ρ l ρ = l dq d, o Esto da la cantidad de caga dq en un elemento de longitud d. La ecuación ahoa es qρl df = 4 πε i se toma el oigen de coodenadas en el etemo izquiedo de la baa, entonces + = L + a = L + a, de manea que d qρl d df = 4 πε ( L + a ) En el caso de una densidad unifome, ρ l es una constante e igual a Q/L la fueza total sobe la caga q es L q d F = ρl 4 πε ( L + a ) qq = + 4 πε a( L + a) El signo positivo indica que la fueza es de epulsión cuando q Q tienen el mismo signo. Ejemplo 3. Hállese la fueza sobe una caga puntual de 5 µc ubicada en (,, 5) m debida a una caga de 5π µc distibuida unifomemente en un disco cicula ρ 5 m, z = (Fig..4). (N) z (,, 5) ρ R dq = ρ s dρdφ Figua.4 olución: La caga está distibuida unifomemente con una densidad 6 Q 5π ρ s = = =. C/m A π ( 5) 4

107 99 En coodenadas cilíndicas, se tiene que R = aˆ + a ˆ Entonces cada elemento de caga difeencial poduce una fueza difeencial dada po ρ 5 z 6 ( )( s d d ) 5 ρ ρ ρ φ ρ aˆ 5 ˆ ρ + a z df = 9 ρ + 5 4π ( ρ + 5) 36π Antes de intega, obseve que las componentes adiales se cancelan que a ˆ es constante. Po tanto, F = ( 5 )(. ) 5 9 4π( 36π)( ρ + 5) π ρdρ dφ a ˆ ρdρ = 9π aˆ 9 ˆ 6.5 ˆ N 3 z = π az = a z ( ρ + 5) ρ Intensidad de Campo Eléctico i ahoa se considea una caga fija en su posición se mueve una caga lentamente a su alededo, se obseva que en todas pates eiste una fueza sobe esta segunda caga; en otas palabas, la segunda caga pone de manifiesto la eistencia de un campo de fuezas. Esta segunda caga de pueba se identifica como Qp. La fueza que actúa sobe ella la da la le de Coulomb como F QQp ˆ p = 4 πε R a p donde Q epesenta la caga fija. Escibiendo esta elación como una fueza po unidad de caga, se obtiene F Q p p Q = 4 πε R p p p z a ˆ (.7) La cantidad en el lado deecho de la Ec. (.7) es una función de Q solamente del segmento de ecta diigido desde Q hasta la posición de la caga de pueba Q p, es independiente de la magnitud de Qp Esta elación descibe un campo vectoial que se conoce como la intensidad de campo eléctico se denota po E. Lo impotante de esta definición está en el hecho de que E puede considease como poducido po la caga Q independiente de la pesencia o ausencia de la caga de pueba Qp. El paso de Fp a E, aunque matemáticamente mu sencillo, tiene consecuencias físicas mu impotantes, a que el campo E asigna popiedades a una egión del espacio. Ahoa se dice que la fueza poducida sobe la caga de pueba Q p cuando se coloca en alguna posición se debe al campo E, el cual eiste en esa posición, omitiendo la contibución de Qp al campo total. Aquí se está tomando el punto de vista de que las cagas no poducen fuezas sobe sí

108 mismas. La fueza sobe Qp es poducida po el campo que eistiía aun si Q no estuviese allí. Una definición más pecisa de la intensidad de campo eléctico la da la elación Fp E = lìm (.8) QP Q p Po supuesto, en la páctica la caga Q p no puede se ceo; de hecho, no puede se meno que la caga de un electón. in embago, lo finito de la caga de pueba no haía que la intensidad E medida difiea apeciablemente de su valo calculado si la caga de pueba es lo suficientemente pequeña paa no petuba la distibución de la caga fuente. e debe entende claamente que, aunque se intodujo el concepto de un campo eléctico a tavés de un análisis de la le de Coulomb, la definición de la intensidad del campo eléctico dada en la Ec. (.8) depende solamente de aquella pate de la le que dice que la fueza es popocional a la caga, no de la pate que dice que la fueza es popocional al ecípoco del cuadado de la sepaación ente las cagas. Una elación invesa de la Ec. (.8) da la fueza F sobe una caga estacionaia Q en un punto en un campo eléctico E, F( ) = QE( ) (.9) Obseve que E es una cantidad electomecánica, no es una puamente eléctica. La intensidad de campo eléctico se mide en la unidad de newtons (N) po culombio (C), la fueza po unidad de caga: N = C voltio (V) meto (m) El voltio po meto es una unidad altenativa se definiá más adelante. Genealizando la Ec. (.7), la intensidad de campo eléctico en un punto debida a una caga puntual Q situada en (Fig..5) se obtiene fácilmente como Q Q( ) E = a ˆ R = 4πε R 4πε 3 (.) i ahoa se coloca Q abitaiamente en el cento de un sistema de coodenadas esféicas, el vecto unitaio en la Ec. (.) se conviete en el vecto adial unitaio a ˆ, R en. Po tanto, su magnitud es Q E = a ˆ (.) 4 πε E Q = 4 πε El campo tiene una única componente adial la elación muesta una claa le de cuadado inveso.

109 Q ' P ' O Figua.5. Caga posicionada fuea del oigen de un sistema de coodenadas. Obseve la foma sencilla de la Ec. (.). i se conviete a coodenadas ectangulaes, se obtiene que po tanto R = = aˆ + aˆ + zaˆ aˆ R ý z aˆ + aˆ + zaˆ = aˆ = + + z ý z Q aˆ ˆ ˆ + a + za z E = (.) 4πε ( + + z ) + + z Esta epesión a no muesta de inmediato la natualeza sencilla del campo, su complejidad es el pecio que se paga po esolve un poblema que tiene simetía esféica en un sistema de coodenadas con el cual se está más familiaizado, el sistema catesiano. i la caga no está en el oigen, entonces se piede la simetía el campo lo da la Ec. (.). Un campo vectoial se definió como una función vectoial de la posición; esto se ecalca simbolizando un campo E en notación funcional po E(), como se hizo en la Ec. (.9). i ha vaias cagas, cada una impone su popio campo el campo E esultante es simplemente la suma vectoial de todos los campos individuales (linealidad de la le de Coulomb). Éste es el pincipio de supeposición. Utilizando la linealidad implicada po la supeposición de las fuezas de Coulomb, la intensidad de campo eléctico poducida po N cagas puntuales estacionaias Q, Q,, Q N situadas en,,, N se obtiene a pati de la Ec. (.6) como ( ) E ( ) ( ) ( ) Q Q Q = πε 4πε 4πε N N N o sea ( ) E k= ( ) N Qk = 4 πε k k 3 (.3) Aunque se definió el campo eléctico con efeencia a fuezas sobe una caga Q, el campo es una entidad independiente de Q a que F es simplemente popocional a E. Ejemplo 4. Dos cagas puntuales de mc mc están situadas en (3,, ) (,, 4), espectivamente. Calcula la fueza que actúa sobe una caga de nc situada en (, 3, ) la intensidad de campo eléctico en ese punto.

110 olución: De la Ec. (.3) se tiene que QQ QQ k k 4 R k= k k= 4 ( ) F = = πε πε k 3 k donde =, 3, = 3ˆ a + aˆ = 3,, = 3aˆ + aˆ aˆ =,, 4 = aˆ aˆ + 4aˆ z z z = 3a ˆ + a ˆ + a ˆ, = = 4 z = a ˆ + 4a ˆ 3 a ˆ, = = 6 z o ( ) Q ( ) Q Q F = + 4πε 3 3 ( ) ( )( ) aˆ ˆ ˆ ˆ 4ˆ 3ˆ + a + az a + a a z = ( 4) ( 6) 4π 36π F = 6.57aˆ 3.87aˆ a ˆ mn z En ese punto ( ˆ 3.87 ˆ 7.56 ˆ ) a a + az F E = = 9 Q = 65.7aˆ 38.7aˆ aˆ kv/m z Ejemplo 5. Dos cagas puntuales de igual masa m caga Q están suspendidas de un punto común po dos hilos de masa despeciable longitud l. Demosta que en equilibio, el ángulo de inclinación α de cada hilo especto de la vetical, lo da la epesión i α es mu pequeño, demueste que Q = 6πε mgl sen α tan α α 3 Q 6πε mgl olución: Considee el sistema de cagas como el que se muesta en la Fig..6, en donde F e es la fueza eléctica o de Coulomb, T es la tensión en cada hilo mg es el peso de cada caga. En A o B,

111 3 T l α α l T F e A B F e mg mg Figua.6 T sen α = F e T cos α = mg Po tanto, peo = l sen α, po lo que o Q Q sen α Fe Q = = cos α mg mg 4πε cos α = 6ε πmgl sen α 3 = 6ε πmgl sen α tan α como se equiee. Cuando el ángulo α es mu pequeño, entonces tan α α sen α, po tanto, α Q 6ε πmgl α 3 3 Q 6πε mgl Ejemplo 6. Una aplicación páctica de la electostática se tiene en la sepaación electostática de sólidos. Po ejemplo, un cieto tipo de mineal de fosfato, fomado po pequeñas patículas de cuazo oca de fosfatos, puede sepaase en sus componentes si se aplica un campo eléctico unifome (Fig..7). i se supone una velocidad un desplazamiento iniciales iguales a ceo, se deteminaá la sepaación ente las patículas luego de cae 8 cm. Toma E = 5 kv/m Q/m = 9 µc/kg. olución: i no se toma en cuenta la fueza de Coulomb ente patículas, la fueza electostática actúa hoizontalmente, en tanto que la fueza de gavedad (peso) lo hace veticalmente. En consecuencia, d ˆ o d Q QE = m a = E dt dt m

112 4 fosfato E cuazo + Figua.7 Integando dos veces, se obtiene También, QE m = t + Ct + C d d mg = m o g dt dt = = gt + C3 t + C4 Como el desplazamiento inicial es ceo, se tiene que ( ) ( ) t = = C = t = = C = 4 También la velocidad inicial es ceo; es deci, d = dt t= C = d = dt t= C3 = Así que QE = t, = gt m Cuando = 8 cm =.8 m,.8 t = = =.633 =.3673 m De manea que la sepaación ente las patículas es = cm.

113 5 Una distibución de caga impotante, el dipolo eléctico, está compuesta de dos cagas de la misma magnitud peo de signos opuestos, Q Q. Las líneas del campo de este dipolo se muestan gáficamente en la Fig..8(a). Ceca de la caga positiva, el campo está diigido adialmente se aleja de la caga; ceca de la caga negativa, el campo está diigido adialmente hacia la caga. Analíticamente, el campo de este dipolo es dado po la Ec. (.3), en téminos de la notación en la Fig..8(b), po Q ( ) d + d E = 4πε d + d 3 3 (.4) z a ˆ +Q d θ a ˆ θ Q (a) (b) Figua.8 Campo de un dipolo. En la maoía de los casos de inteés, la distancia del punto del campo al dipolo es gande compaada con la sepaación ente las cagas, es deci, >> d. Usando el teoema del binomio usando sólo el pime témino difeente de ceo en la epansión en potencias de d/, se encuenta que el campo dado po la Ec. (.4) puede se apoimado cuando >> d po la epesión más sencilla donde se define E( ) = 3 3 ( ˆ ) ˆ 4πε pia a p = θ 3 + θ 4πε [ cos aˆ sen aˆ ] θ (.5) p = Qd (.6) se conoce como el momento del dipolo eléctico; tiende la diección de +Q a Q..4 Campos Elécticos Poducidos po Distibuciones de Cagas Hasta ahoa se han consideado fuezas campos elécticos poducidos po cagas puntuales, que, en esencia, son cagas que ocupan un espacio físico mu pequeño. Además de esta concentada en pequeños objetos (cagas puntuales), también es posible considea una egión del espacio ocupada po un gan númeo de cagas sepaadas po

114 6 distancias mu pequeñas con una distibución más o menos continua. En este caso, paa facilita una descipción matemática, se puede eemplaza esta distibución de patículas po una densidad de caga de volumen continua. Eso sólo se puede hace si no se está inteesado en las pequeñas iegulaidades en el campo confome nos movemos ente un electón oto. Esto no epesenta una limitación, a que el esultado final se epesa casi siempe en téminos de una coiente en una antena eceptoa, un voltaje en un cicuito electónico o, en geneal, en función de un fenómeno macoscópico de gan escala. La densidad volumética de caga se denota po ρv tiene las unidades de culombios po meto cúbico (C/m 3 ). La cantidad de caga difeencial Q contenida en un incemento difeencial de volumen v es Q = ρ v se puede defini ρ v matemáticamente, al pasa al límite, como v Q ρ v = lìm v v (.7) Debido a la estuctua ganula de la caga eléctica como se está más inteesado en fenómenos macoscópicos que en micoscópicos, la condición v en la Ec. (.7) significa vedadeamente que v tiende, no a ceo, sino a un valo pequeño paa los estándaes de laboatoio (macoscópicos), peo gande compaado con las dimensiones atómicas. De modo que la caga total en el inteio de un volumen finito se obtiene po integación en todo el volumen; es deci, Q = ρ ( ) v dv (.8) vol donde ρv() es una función de la posición; se supone que esta densidad está definida en un instante paticula t. in embago, puede cambia con el tiempo, de manea que en geneal se puede escibi ρv = ρv(, t) (obseve que la integal en la Ec. (.8) es una integal tiple). El campo eléctico poducido po una distibución continua de caga puede obtenese integando (sumando) la contibución de cada elemento difeencial de caga (consideado como una caga puntual) en la distibución. Con efeencia a la Fig..9, allí se muesta una distibución de caga de volumen cua densidad ρ v (C/m 3 ) es una función de las coodenadas. Puesto que un elemento difeencial de caga se compota como una caga puntual, la contibución de la caga ρ vdv en un elemento de volumen dv en el punto P del campo es Así pues, o, puesto que aˆ R = R R, ρvdv de = 4 πε R vol a ˆ R ρvdv E = a ˆ R (.9) 4 πε R

115 7 ρ v dv Volumen R P Figua.9 R E = ρv dv (.) 3 4πε R vol Ecepto po algunos casos mu sencillos, la integal tiple en la Ec. (.) es difícil de a ˆ, ρ cambian con la evalua a que, en geneal, las tes cantidades en el integando ( ) posición del volumen difeencial dv. R v R i la caga está distibuida en una supeficie con una densidad de caga de ρ s (C/m ), entonces la integación debe ealizase en la supeficie, la cual no es necesaiamente plana, entonces ρsd E = a ˆ R (.) 4 πε R En la misma foma, paa una densidad de caga lineal se tiene que ρ E = 4 πε R L ldl aˆ R (.) donde ρ l (C/m) es la densidad de caga lineal L la línea (no necesaiamente ecta) en la cual está distibuida la caga. Ejemplo 7. Considee una caga lineal con una densidad unifome ρ l que se etiende desde A hasta B, como muesta la Fig... Detemine E en el punto (,, z). olución: El elemento de caga dq asociado con el elemento dl = dz de la línea es dq = ρ ldl = ρldz la caga total es zb Q = ρ dz l z A La intensidad de campo eléctico E en un punto abitaio P(,, z) puede hallase usando la Ec. (.). e acostumba denota el punto del campo po (,, z) el punto de fuente po (,, z ). Entonces dl = dz

116 8 z T B ρ α α α R de z de de ρ P(,, z) (,, z ) dl A O Figua. R =,, z,, z = aˆ + aˆ + ( z z ) aˆ = ρ aˆ + ( z z ) aˆ ρ aˆ ˆ ( ) ˆ R R ρ aρ + z z a = = 3 R R ρ + ( z z ) z z 3 R = R = + + ( z z ) = ρ + ( z z ) Al sustitui estas elaciones en la Ec. (.), se obtiene B ρ ρ aˆ ( ) ˆ ρ + z z a l z E = dz 3 4 πε (.3) ρ + ( z z ) A Paa evalua esta integal es conveniente defini los ángulos α, α α (véase la Fig..), se obtiene la Ec. (.3) se conviete en R = ρ + ( z z ) = ρsecα = α = ρ α α z OT tan, dz sec d α 3 ρ ρ sec α cos α + sen α l E 3 3 4πε ρ sec α α ( aˆ ˆ ρ az ) = dα α ρl = ( cos α aˆ sen ˆ ρ + αaz ) dα 4πε ρ En consecuencia, paa una caga lineal finita, α E ρl = ( sen α sen α ) ˆ ( cos cos ) ˆ ρ + α α z 4πε ρ a a (.4) Como un caso especial, paa una línea de caga infinita, el punto B está en (,, ) el punto A en (,, ), de manea que α = π/ α = π/. La componente z se hace ceo la Ec. (.4) se vuelve z

117 9 = ρl E aˆ ρ (.5) πε ρ Ejemplo 8. Densidad de Caga upeficial. Ahoa se obtendá una epesión paa la intensidad de campo eléctico E ceado po una caga de densidad ρ s (C/m ) distibuida unifomemente en un plano infinito. e usaán coodenadas cilíndicas con la caga situada en el plano (z = ), como muesta la Fig... de z P(, φ, z) R P(ρ, φ, ) Figua. olución: Paa la situación indicada en la Fig.., de ρ ρdρ dφ s ρ = 4 πε ( ρ + z ) ρ + ρ aˆ + zaˆ La simetía con especto al eje z esulta en la cancelación de las componentes adiales entonces π ρsρdρ dφ ρ ˆ sz 3 z 4 ( z ) πε ρ + ε ρ + z E = a = aˆ ρs = ε aˆ z Este esultado es paa puntos que están po encima del plano. Po debajo de este plano, el vecto unitaio cambia de diección a a. Es posible escibi una foma genealizada de ˆ z esta elación usando a ˆ n como el vecto unitaio nomal a la supeficie de caga; la ecuación se conviete entonces en z z ρs E = a ˆ n (.6) ε Obseve que el campo eléctico en un punto es nomal a la lámina de caga es independiente de la distancia (punto de obsevación) al plano. i en vez de intega de a, se evalúa la integal en la vaiable ρ desde hasta a, se obtiene el campo E poducido po un disco de adio a a una distancia z de su cento con una caga supeficial de densidad unifome ρs. Ahoa E = E z a ˆ z z

118 π a a ρsρ dρ dφ ρsz ρz z 3 4 ( z ) ε z ρ + ε a + z E = = = πε ρ + Ejemplo 9. Dos láminas infinitas, cada una con una caga unifome de densidad ρ s (C/m ) están situadas en = ±, como muesta la Fig... Detemina E en todas las egiones. ρ s ρ s E E E E E E Figua. olución: Ambas láminas poducen campos que están diigidos en la diección de, independientes de la distancia. Entonces Véase la Fig... E ρs ˆ a, < ε + E =, < < ρ s aˆ, < ε Ejemplo. Densidad de Caga Volumética. uponga que una caga está distibuida unifomemente en un sólido esféico de adio a centado en el oigen con densidad unifome ρ v, como se muesta en la Fig..3. de de z P(,, z) α R ρ v z θ' dv en (', θ', φ') ' φ' Figua.3

119 olución: La caga dq asociada con el elemento de volumen dv es dq = ρ dv Entonces, el campo eléctico de fuea de la esfea en P(,, z) debido a la caga en el volumen elemental es v ρvdv de = 4 πε R en donde aˆ = cos α aˆ + sen α a ˆ. Debido a la simetía de la distibución, las contibuciones R z ρ a E o E suman ceo. ólo queda E z, la cual es dada po E z a ˆ R ρ cos ˆ v α dv = Ei az = decosα = (.7) 4 πε R Necesitamos deiva las epesiones paa dv, R cosα ; ellas son = θ θ φ dv sen d d d = + cos θ R z z = + cos α z R zr Es conveniente evalua la integal en la Ec. (.7) en téminos de R. Po tanto, cos θ, cos α sen θ dθ se epesan en función de R ; es deci, z + R cosα = zr z + R cosθ = z Difeenciando esta última elación especto de θ, manteniendo z fijos, se obtiene RdR sen θ dθ = z (.8) Confome θ' vaía de a π, R vaía de ( z ) a ( z + ) si el punto P está fuea de la esfea. ustituendo entonces en la Ec. (.7) da la cual puede escibise como π a z+ ρ RdR z + R = φ 4 z zr R v Ez d d πε φ = = R= z a z+ ρv π z πεz R = R= z = + dr d 8 a v z z R z+ ρ = R d 4ε a R= z ρ 4 = 4 d = πa ρ v 4ε 4πε 3 v 3 z z

120 E Q = ˆ 4 πε a (.9) que es idéntico al campo eléctico que poduciía en el mismo una caga puntual situada en el oigen o en el cento de la distibución esféica de caga. La azón de este esultado se aclaaá cuando se estudie la le de Gauss..5 Líneas de Flujo Gáficas de los Campos Ya se definieon ecuaciones vectoiales paa la intensidad de campo eléctico poducido po vaias configuaciones de cagas difeentes, no fue tan sencillo intepeta la magnitud la diección del campo a pati de las ecuaciones obtenidas, aun cuando los casos esueltos foman pate de la clase menos complicada. Nuevas distibuciones conducen a epesiones más complejas paa los campos son más difíciles de visualiza patiendo de las ecuaciones. No obstante, si se conociese cuál imagen dibuja, se podía compende mejo lo que epesentan las ecuaciones. Considéese el campo en tono a una línea de caga = ρl E aˆ πε ρ La Fig..4a muesta una vista tansvesal de la línea de caga pesenta lo que podía se un pime intento paa dibuja el campo segmentos cotos dibujados en vaias pates con longitudes popocionales a la magnitud de E apuntando en la diección de E. La Fig..4a no muesta la simetía con especto al ángulo φ, de manea que se intenta ota epesentación en la Fig..4b. Con una ubicación simética de los segmentos. Ahoa apaece el vedadeo poblema las líneas más cotas deben dibujase en la egión de mao densidad. Otos esquemas incluen dibuja líneas más cotas paa epesenta campos más fuetes el uso de matices o de coloes difeentes paa epesenta la magnitud de los campos. ρ (a) (b) (c) Figua.4

121 3 Po los momentos se usaán líneas continuas desde la caga que muestan solamente la diección de E son tangentes a E en todas pates. La Fig..4c ilusta este tipo de imagen. Una distibución simética de líneas (una cada 45º en este caso) indica simetía acimutal, se usan puntas de flechas paa mosta la diección. Estas líneas usualmente se denominan líneas de flujo (o líneas de fueza). Una pequeña caga positiva de pueba colocada en cualquie punto de este campo se aceleaía en la diección de la línea de flujo que pasa po ese punto. i, po ejemplo, el campo epesenta la velocidad de un líquido o un gas, pequeñas patículas suspendidas en el líquido tazaían las líneas de flujo. Po la foma en que están definidas estas líneas, se deducen dos popiedades. Pimeo, bajo condiciones estáticas cualquie línea debe comenza en una caga positiva temina en una negativa (bajo condiciones de vaiación en el tiempo, esta afimación no es necesaiamente cieta); segundo, las líneas de fueza no se cuzan ( po qué? i se intenta dibuja el campo de la caga puntual, la epesentación del campo pependicula al plano de la página ocasionaía seias (insalvables, en ealidad) dificultades; po esta azón, el tazado de gáficas de los campos se limita nomalmente a campos en dos dimensiones. En el caso del campo bidimensional, se iguala E z a ceo abitaiamente. Las líneas de flujo quedan entonces confinadas en planos paa los cuales z es constante la gáfica es la misma paa cualquiea de estos planos. En la Fig..5 se dibujan vaias líneas de flujo se indican las componentes E E paa un punto geneal. De la geometía es clao que E E d = (.3) d De manea que si se conoce la foma funcional de E E se podán obtene las ecuaciones de las líneas de flujo. Po la foma en que se definieon las líneas de flujo se deducen dos popiedades. La pimea es que, bajo condiciones estáticas, cualquiea de las líneas debe comenza en una caga positiva temina en una caga negativa (esta afimación no es necesaiamente válida bajo condiciones de vaiación en el tiempo). La segunda es que las líneas de fueza no pueden cotase ente sí. E E E Figua.5 Como una ilustación de este método, considéese el campo de una línea de caga unifome con densidad ρ l = πε ; entonces E = a ˆ ρ ρ

122 4 En coodenadas ectangulaes, E = aˆ ˆ + a + + se foma la ecuación difeencial d E d d = = o = d E Po tanto, al intega se obtiene ln = ln + C o ln = ln + lnc de aquí se obtienen las ecuaciones de las líneas de flujo, = C donde C es una constante. i se quiee detemina la ecuación de una línea en paticula, dígase la que pasa po (, 7, ), simplemente se sustituen las coodenadas de ese punto en la ecuación se evalúa C. En este caso, 7 = C ( ) C = 3.5, de modo que = 3.5. Cada línea se asocia con un valo específico de C, las líneas adiales paa los ejes de coodenadas, po ejemplo, coesponden a C = /C =..6 Densidad de Flujo Eléctico El flujo debido al campo eléctico E puede calculase si se usa la definición geneal de flujo dada po la elación Φ = d Ei e in embago, po azones pácticas en electostática no se considea esta cantidad como el flujo más útil. Po ota pate, las Ecs. (.), (.3), (.), (.) (.) indican que la intensidad de campo eléctico depende del medio en que está colocada la caga. upóngase que se define un nuevo campo vectoial D, independiente del medio, po la epesión Entonces, el flujo eléctico Φ e se define po la ecuación D = ε E (.3) Φ = d Di (.3) e En unidades I, una línea de flujo eléctico emana de una caga de + C temina en una de C. Así que el flujo eléctico se mide en culombios (C). De allí que el campo vectoial D se denomine la densidad de flujo eléctico, se mida en culombios po meto cuadado (C/m ). También ecibe el nombe de desplazamiento eléctico. e puede obtene mao infomación sobe D si se considean, po ejemplo, dos esfeas concénticas de adios a b, con cagas +Q Q (Fig..6). Las taectoias del flujo eléctico Φe que se etienden desde la esfea intena hasta la etena se indican mediante las líneas de flujo distibuidas siméticamente dibujadas adialmente desde una esfea hasta la ota.

123 5 Q b +Q a Figua.6 Po definición, el flujo eléctico Φe se oigina en cagas positivas temina en cagas negativas. En la ausencia de estas últimas, las líneas de flujo teminan en infinito (po convención). En la supeficie de la esfea intena, la caga Q (= Φ e) poduce Φ e culombios de flujo eléctico. La densidad de flujo en esta supeficie es Φ ( 4π a ) o Q ( 4π a ) C/m, ésta epesenta una cantidad impotante. En la Fig..6, la densidad de flujo eléctico está en la diección adial tienen un valo dado po en la supeficie de la esfea intena, Q D = = a 4 πa Q D = = b 4 πb a ˆ a ˆ en la supeficie de la esfea etena, a una distancia adial a b, tenemos que Q D = 4 π i ahoa se pemite que la esfea intena se haga más más pequeña peo manteniendo su caga igual a Q, en el límite ésta se conviete en una caga puntual, peo la densidad de flujo a una distancia de la caga puntual todavía es dada po a ˆ e Q D = a ˆ (.33) 4 π a que Q líneas de flujo están diigidas siméticamente emanando desde la caga ataviesan una supeficie esféica imaginaia de áea 4π. Este esultado debe compaase con la epesión que da la intensidad del campo eléctico adial paa una caga puntual en el espacio libe Q E = 4 πε Po tanto, se deduce fácilmente que en el espacio libe a ˆ D = ε E (.34) Aunque la Ec. (.34) aplica en el espacio libe (o en el vacío), no está estingida a una caga puntual. Paa una distibución de caga volumética en el espacio libe se tiene que

124 6 ρvdv E = a ˆ R (.35) 4πε R v donde esta elación se desaolló a pati del campo de una sola caga puntual. En una foma simila, la Ec. (.33) conduce a la elación ρvdv D = a ˆ R (.36) 4πR v la Ec. (.33) es po tanto válida paa cualquie configuación de caga en el espacio libe. Aquí se debe señala que paa una caga puntual colocada en un medio dieléctico ideal e infinito, los epeimentos de Faada muestan que la Ec. (.33) es aplicable, como también lo es la Ec. (.36). in embago, la Ec. (.35) no lo es po esa azón la elación ente D E seá un poco más complicada que la dada po la Ec. (.34). Como D es popocional a E en el espacio libe, no paeciea ealmente necesaio intoduci un nuevo símbolo. Esto se hace po vaias azones. Pimeo, el vecto D está asociado con el concepto de flujo; ésta es una idea impotante. egundo, los campos D son algo más sencillos que los campos E coespondientes, a que ε no apaece. Y, finalmente, el conocimiento de D es conveniente paa la obtención de campos elécticos en mateiales dielécticos. Ejemplo. Qué flujo neto cuza la supeficie ceada mostada en la Fig..7, la cual contiene una distibución de caga en la foma de un disco plano de adio 4 m con una densidad ρ = sen φ ρ C/m? s Figua.7 olución: De la definición del flujo Φe se obtiene π 4 sen φ Φ e = Q = ρdρ dφ = π (C) ρ Ejemplo. Una caga puntual Q está ubicada en el oigen de un sistema esféico de coodenadas. Halla el flujo que cuza la poción de una concha esféica descita po α θ β (Fig..8). Cuál es el esultado si α =, β = π/? olución: El flujo total Φ e = Q ataviesa una concha esféica completa de áea 4π. El áea de la poción o cinta del poblema es dada po

125 7 π β A sen d d = θ θ φ α ( ) = π cos α cosβ z α β Q Figua.78 Entonces, el flujo neto que ataviesa la cinta se obtiene popocionalmente como A Q Φ neto = Q = cos α cosβ 4π ( ) Paa α = β = π/ (un hemisfeio), ésta se conviete en Φneto = Q/..7 Le de Gauss La genealización de los epeimentos de Faada con cagas elécticas conduce al siguiente enunciado, conocido como la le de Gauss, la cual da una elación ente las cagas la densidad del campo eléctico que constitue una de las lees fundamentales del electomagnetismo. Esta le es de gan impotancia paa entende campos vectoiales, en paticula, los campos elécticos. En cieta foma, esta le es mucho más podeosa que la le de Coulomb popociona un método mu podeoso paa la solución de poblemas electostáticos de natualeza simética. El flujo eléctico total que ataviesa cualquie supeficie ceada es igual a la caga total enceada po esa supeficie. Considéese una distibución de caga odeada po una supeficie ceada que tiene cualquie foma. i la caga total es Q, entonces Q culombios de flujo eléctico pasaán a tavés de la supeficie que cube a Q. En cada punto de la supeficie, la densidad de flujo eléctico D tendá algún valo que, en geneal, vaiaá en magnitud diección. i nos concentamos en un elemento incemental de la supeficie de áea, el cual se puede considea plano (en el límite), paa epesentalo se equiee no sólo su magnitud sino también su diección en el espacio; es deci, el elemento de áea es un vecto. La diección asociada con es la de la nomal saliente del volumen en el punto en cuestión.

126 8 En cualquie punto P, considee un elemento de la supeficie suponga que D foma un ángulo θ con, como muesta la Fig..9. El flujo que cuza es entonces el poducto de la componente nomal de D, es deci, Φ = = = θ = Di e flujo que ataviesa Dnomal Dcos el flujo total que ataviesa la supeficie ceada se obtiene sumando las contibuciones difeenciales que cuzan cada elemento de supeficie, D nomal Q θ D Figua.9 e d e D Φ = Φ = La integación se calcula paa la supeficie ceada que enciea al volumen, que se conoce como una supeficie gaussiana. e tiene entonces la fomulación matemática de la le de Gauss como e i d d caga enceada Qenc Di (.37) Φ = = = La caga total enceada podía se el esultado vaias cagas puntuales, en cuo caso Q = enc Q k sumada sobe todas las cagas o de una línea de caga con densidad ρ l (C/m); entonces k o una caga supeficial ρs (C/m ), Q Q enc enc = ρ dl l L = ρ d donde la supeficie no es necesaiamente ceada, o también se puede tene una distibución de caga de volumen ρv (C/m 3 ), Q enc = ρ Paa esta última distibución, la Ec. (.37) se escibe como enc v s v dv Di v (.38) v Q = d = ρ dv que es la foma usada nomalmente, po convención, epesenta todas las otas fomas.

127 9 Aquí se debe señala que en cualquiea de las fomas indicadas paa la le de Gauss, especialmente la dada po la Ec. (.38), la supeficie es abitaia; la Ec. (.38) aplica a cualquie supeficie ceada, aun cuando ella sea una supeficie imaginaia intoducida con el objeto de toma beneficios de la elación. Aplicando el teoema de la divegencia al témino del medio en la Ec. (.38) se obtiene D d = dv i id (.39) Compaando ahoa las dos integales de volumen en las Ecs. (.38) (.39) esulta en la ecuación difeencial v i D = ρ v (.4) que es la foma puntual de la le de Gauss constitue la pimea de las cuato ecuaciones de Mawell. La Ec. (.4) establece que la densidad volumética de caga es la misma que la divegencia de la densidad de flujo eléctico. Esta foma de la le de Gauss aplica sólo cuando la densidad ρ v es una función continua finita en el espacio. Aquí se pueden hace las siguientes obsevaciones:. Las Ecs. (.39) (.4) epesan la le de Gauss en dos fomas difeentes: foma integal foma puntual, espectivamente.. La le de Gauss es un enunciado alteno de la le de Coulomb; la aplicación coecta del teoema de la divegencia a la le de Coulomb esulta en la le de Gauss. 3. La le de Gauss popociona una foma sencilla de calcula E o D paa distibuciones de cagas siméticas como, po ejemplo, una caga puntual, una línea de caga infinita, una caga supeficial cilíndica infinita o una distibución esféica de caga. Una distibución de caga continua tiene simetía ectangula si depende sólo de (o de, o de z); tiene simetía cilíndica si depende solamente de ρ, simetía esféica sólo de (independiente de θ φ). e debe enfatiza que si la distibución es simética o no, la le de Gauss siempe se cumple. Po ejemplo, considee la distibución de caga en la Fig.., donde v v son supeficies ceadas. El flujo total que sale de v es ( 5) nc, a que esas dos cagas son las únicas enceadas po v. Aunque las cagas de nc 5 nc fuea de v contibuen al flujo que cuza v, el flujo neto que ataviesa esta supeficie, según la le de Gauss, no tiene nada que ve con las cagas etenas a v. Así vemos que la le de Gauss Ψ = Q enc todavía se cumple aunque la distibución no sea simética. No obstante, no es posible usa la le paa detemina E o D cuando la distibución de caga no es simética; en ese caso debemos ecui a la le de Coulomb paa detemina E o D. v v nc 5 nc 5 nc nc Figua.

128 e debe ecalca el hecho de que la le de Gauss es válida paa cualquie campo eléctico hasta paa aquellos que dependen del tiempo. Ésta es la azón po la cual la le de Gauss se puede considea aún más fundamental que la le de Coulomb. Paa ilusta la aplicación de la le de Gauss, considéese una caga puntual Q en el oigen de un sistema esféico de coodenadas (Fig..). Como supeficie gaussiana se escoge una esfea de adio a. La intensidad de campo eléctico poducido po la caga puntual es z d θ Q φ = a Figua. Q E = 4 πε como D = εe se tiene, igual que antes, que a ˆ En la supeficie de la esfea, Q D = 4 π a ˆ Q D = = a 4 πa a ˆ El elemento difeencial de supeficie en coodenadas esféicas es o El integando en la Ec. (.39) es entonces lo que conduce a la integal π π d = a sen θdθ dφ d = a θdθ dφ sen a ˆ Q D id = a sen θdθ dφaˆ ˆ = a ia 4πa Q = sen θ dθdφ 4π Q Q π sen θdθdφ = ( π)( cos θ ) = Q 4π 4π

129 se obtiene el esultado que muesta que Q culombios de flujo eléctico cuzan la supeficie, como debe se, puesto que la caga total enceada es de Q culombios..8 Aplicaciones de la Le de Gauss Considéese ahoa la le de Gauss como heamienta paa detemina la densidad de flujo eléctico D cuando se conoce la distibución de caga. El pocedimiento involuca detemina pimeo si eiste simetía. La pemisa esencial de un agumento de simetía es que el campo establecido po alguna fuente debe ehibi las mismas simetías ehibidas po la misma fuente. i, po ejemplo, la fuente es invaiante a la otación en tono a algún eje, el campo esultante debe se invaiante a la misma tansfomación. De manea que cualquie simetía de la fuente constitue una esticción paa el campo. i estas simetías son lo suficientemente etensas, el campo estaá suficientemente estingido la le de Gauss es adecuada paa detemina aquellas popiedades del campo que no son completamente fijadas po las simetías. Una vez que se detemina que eiste una distibución de caga simética, se constue entonces una supeficie matemática ceada (conocida como supeficie gaussiana). Esta supeficie se escoge de manea que D sea nomal o tangencial a ella. Cuando D es nomal a la supeficie, Di d = D d D s (el valo de D en la supeficie) es constante. Cuando D es s tangencial a la supeficie, Di d =. De modo que se debe selecciona una supeficie que tenga alguna simetía como la ehibida po la distibución de caga. ólo el conocimiento de la simetía del poblema pemite la elección de la supeficie gaussiana, ese conocimiento se obtiene con facilidad si se ecueda siempe que la intensidad de campo eléctico poducido po una caga puntual está diigida adialmente hacia fuea alejándose de la caga. Ejemplo 3. uponga una caga puntual Q localizada en el oigen de un sistema de coodenadas. Paa detemina D en un punto P, es fácil ve que si se elige una supeficie esféica que tenga a P como su cento se cumpliá con las condiciones de simetía. Entonces una supeficie esféica centada en el oigen es la supeficie gaussiana en este caso se muesta en la Fig... upeficie gaussiana Q z P D Figua. Puesto que D es nomal en todas pates a la supeficie gaussiana (esféica), es deci, D = D a ˆ, la aplicación de la le de Gauss da Di Q = d = D d = D 4π

130 ρl de manea que como se espeaba. Q D = 4 π a ˆ Ejemplo 4. upóngase una línea infinita con densidad de caga unifome ρ l (C/m) colocada en el eje z. Paa detemina el campo D, se escoge una supeficie cilíndica que contiene a P paa satisface la condición de simetía, como muesta la Fig..3. Este ejemplo se usaá paa ilusta con cieto detalle el enfoque basado en la simetía la aplicación de la le de Gauss. Paa la línea de caga infinita de la Fig..3, el campo D más geneal tiene la foma (,, ) (,, ) (,, ) D = D ρ φ z aˆ + D ρ φ z aˆ + D ρ φ z a ˆ ρ ρ φ φ z z upeficie gaussiana z l ρ D Figua.3 in embago, la distibución de la fuente es invaiable a una otación con especto al eje z el campo también ehibiá esta condición sólo si D ρ, D φ D z son independientes de φ. Además, la distibución de la fuente no vaía con una taslación a lo lago del eje z el campo sólo ehibe esta invaiabilidad sólo si D ρ, D φ Dz son independientes de z. De manea que el campo más geneal consistente con estas dos simetías es entonces ( ) ( ) ( ) D = D ˆ D ˆ D z ˆ ρ ρ aρ + φ ρ aφ + ρ a z (.4) Peo la distibución de la fuente también es invaiable a una efleión en el plano, bajo cua tansfomación z z aˆ a ˆ ; la ecuación anteio no vaía con esta z z tansfomación solamente si D z =. Finalmente, la distibución de la fuente es invaiable a una efleión en el plano z, bajo cua tansfomación φ φ, aˆ a ˆ aˆ = cos φ aˆ + sen φaˆ cos φ aˆ + sen φ aˆ = aˆ ρ aˆ = sen φ aˆ + cos φaˆ sen φaˆ cos φ aˆ = aˆ φ peo no ha otos cambios. La Ec. (.4) es consistente con esta invaiabilidad sólo si D φ =. De modo que las simetías de la distibución de la fuente estingen el campo a no se más complicado que ρ φ

131 3 D = ( ρ)ˆ a (.4) D ρ Ahoa se usa la le de Gauss paa detemina D ρ. Aunque la le aplica a cualquie supeficie ceada, las supeficies más útiles son aquellas que se apovechan de algunas simetías de la fuente. La supeficie apopiada paa este poblema es una cilíndica. La densidad de flujo eléctico D es constante en la supeficie lateal del cilindo nomal a ella; es deci, D = D ρ a ˆ ρ. i se aplica la le de Gauss a una longitud abitaia de la línea, se tiene que ρ ll = Q = Did = Dρ d = D πρl ρ Obseve que Di d = en las supeficies supeio e infeio del cilindo, a que D no tiene componente en z. Así pues, igual al esultado dado po la Ec. (.5). = ρl D aˆ πρ ρ = ρl E aˆ πε ρ Ejemplo 5. Considéese ahoa el poblema del cable coaial que es casi idéntico al de la línea infinita de caga. uponga que se tiene dos conductoes cilíndicos coaiales, el inteno de adio a el eteno de adio n, cada uno de longitud infinita (Fig..4). e supondá una distibución de caga ρs en la supeficie etena del conducto inteno. e desea evalua la densidad de campo eléctico ente los conductoes. ρ ρ a b Figua.4 olución: Consideaciones de simetía muestan que sólo está pesente la componente D ρ que ella debe se función de la coodenada adial ρ solamente. De manea que se elige un cilindo cicula ecto de longitud L adio ρ como supeficie gaussiana, donde a < ρ < b, se obtiene Q = D πρ L La caga total en una longitud L del cilindo inteno es ρ

132 4 así L π Q = ρ a dφdρ = πalρ D ρ z= φ= s aρs aρ = D = ρ ρ i se toma ρ l = πaρs (caga po unidad de longitud), entonces = ρl D aˆ πρ la cual tiene la misma foma que la de la línea infinita. Ejemplo 6. Dos alambes ectos no conductoes, paalelos al eje z, pasan po los puntos O A, como muesta la Fig..5. Los alambes tienen densidades de cagas unifomes e iguales de.4 µc/m. Detemínese el campo E en el punto P. ρ s a ˆ ρ s E A 45º (4, 4) P E O (8, ) m A Figua.5 olución: La magnitud del campo E debida a cualquiea de los líneas de caga es E = ρl πε. El campo E esultante es entonces ( ) 6.4 = = ˆ = ˆ E E cos 45º a 8 a V/m π ( π)( ) Ejemplo 7. Considee una lámina infinita con caga unifome igual a ρ s colocada en el plano z =. Paa detemina D en un punto P, escogemos una pequeña caja cilíndica, la cual es cotada en su pate media po la lámina de caga tiene dos de sus caas paalelas a la lámina, como muesta la Fig..6. olución: Puesto que D es nomal a la lámina, da s D = D z a ˆ z la aplicación de la le de Gauss ρ d = Q = Did = Did + Did + Did sup inf lat El poducto Di d = en la caa lateal a que D no tiene componente en la diección a ˆ z. Po tanto,

133 5 ρ s A = D n d + ds sup inf = D A + A n ( ) donde Dn es la componente de D nomal a la lámina. Entonces, Dn = ρs/ z D Áea A D Figua.6. Condiciones de fontea. También, igual que la Ec. (.6). ρs D = a ˆ ρs E = ε z a ˆ z Ejemplo 8. Considee una esfea de adio a con una densidad de caga de volumen ρ v (C/m 3 ). Paa detemina D en todas pates, se constuen supeficies gaussianas paa los casos a a po sepaado. Como la caga tiene simetía esféica, es obvio que una supeficie esféica es la supeficie gaussiana apopiada. upeficies gaussianas a a (a) (b) Figua.7 olución: Paa a, la caga total enceada po la supeficie esféica de adio, como muesta la Fig..7a es Q enc 4 = ρv π 3 3

134 6 la elación Q enc = Φ da de modo que Φ = Did = D d = D 4π e n n 4 ρv π = D 4π 3 3 n v v D ˆ n = ρ D = ρ a (.43) 3 3 Paa a, la supeficie gaussiana se muesta en la Fig..7b, la caga enceada en esa supeficie es toda la caga en la esfea, es deci, en tanto que po consiguiente. entonces se obtiene Q enc 4 = ρv π a 3 Φ = Did = D d = D 4π e n n 4 3 ρv a Dn 4 π = ρv π a o Dn = ρv a D = a ˆ (.44) 3 Las Ecs. (.43) (.44) dan entonces la densidad de campo D en todas pates como ρv aˆ < a 3 D = 3 ρ v a aˆ a 3 La Fig..8 muesta una gáfica de D en función de la distancia adial. (.45) D aρ /3 O a Figua.8 Ejemplo 9. Dado que (, 4, 3) D = zρ cos φa C/m, detemina la densidad de caga en ˆ z π la caga total enceada po el cilindo de adio m con a z a.

135 7 olución: e sabe que i D = ρ, en coodenadas cilíndicas, v Dφ Dz i D = ( ρ Dρ ) + + ρ ρ ρ φ z En este caso, D ρ =, D φ =, po tanto, En (, π/4, 3), ( ) D z ρ = () cos π 4 =.5 C/m 3. v z ρ v = = ρcos φ Una foma de halla la caga enceada en el cilindo se basa diectamente en la definición de la caga de volumen total: Esta pate se deja como ejecicio. Q = Φ = d Di e Ejemplo. Considee un haz de electones cilíndico como el mostado en la Fig..9. Los electones tienen una densidad de caga ( d ) ρ < d ρ > d. ρ = ρ + ρ C/m 3. Detemina E paa olución. Aquí se tiene simetía cilíndica (se supone un cilindo de longitud infinita), de manea que el campo es adial. Po el teoema de Gauss, paa una longitud L del cilindo, se sabe que Cuando ρ < d, o Cuando ρ > d D ρ Di d = ρ dv v v π ρ 4 L v ρ = L ρ + ρ dρ dφ d ρ = ρ π ρ + d ρ d = ρ π ρ + Di d 4 L ρ Dρ ( πρ L) = ρ πl ρ + d 4 ρ ρ ρ ρ = ρ + = ρ E ρ d ε d 4 d 3 d = ρπl ρ + = ρ πl d Di d d

136 8 D ρ 3ρ d 3ρ d = = 4 4 Eρ ρ ερ z d Figua.9.9 El Potencial Eléctico De lo estudiado en secciones anteioes, es posible detemina la intensidad de campo eléctico E poducido po una distibución de caga a pati de la le de Coulomb en geneal, o, cuando la distibución de caga es simética, a pati de la le de Gauss. Ota foma de obtene E es a pati del potencial escala eléctico V, el cual se definiá en esta sección. En cieta foma, esta manea de calcula E es más sencilla debido a que es más fácil tabaja con escalaes que con vectoes. upóngase que se quiee move una caga puntual Q desde un punto A hasta un punto B, a velocidad constante, en un campo eléctico E como muesta la Fig..3. Po la le de Coulomb, la fueza sobe Q es F = QE, de modo que el tabajo ealizado al desplaza la caga una distancia dl en la taectoia es dw = Fi d l = QEi d l (.46) El signo negativo indica que el tabajo está siendo ealizado po un agente eteno conta el campo este tabajo apaece como enegía potencial almacenada en el sistema fomado po la caga Q lo que sea que poduce el campo E. Mientas la atención esté diigida hacia la caga Q, el esto del sistema pemanece fijo, se acostumba asigna esta enegía a la Q en vez del sistema como un todo. e supone que la caga Q es tan pequeña que no petuba el campo en una foma apeciable. Así que el tabajo total ealizado, o la enegía potencial equeida, paa move Q desde A hasta B, es B W = Q Ei dl (.47) Dividiendo W po Q en la Ec. (.47) poduce la enegía potencial po unidad de caga. Esta cantidad, denotada po VAB, se conoce como la difeencia de potencial ente los puntos A B. Es el tabajo po unidad de caga positiva que un agente eteno ealiza al move, cin cambia la velocidad, una caga desde A hasta B. Entonces, A

137 9 A E dl B A B Oigen Obseve que V AB Figua.3 B W = = Ei dl (.48) Q. En la deteminación de V AB, A es el punto inicial B es el punto final.. i VAB es negativo, ha una pédida de enegía potencial al move Q desde A hasta B; esto implica que el tabajo está siendo ealizado po el campo. No obstante, si V AB es positivo, ha una ganancia en enegía potencial en el movimiento; un campo eteno ealiza el tabajo. 3. VAB es independiente de la taectoia ecoida (esto se demostaá más adelante). 4. La unidad de VAB es julios po culombio, unidad comúnmente conocida como voltios (V). e puede mosta la definición en la Ec. (.48), deteminando la difeencia de potencial ente dos puntos A B situados a distancias adiales A B de una caga puntual. Escogiendo un oigen en Q, el campo establecido po la caga puntual estacionaia es Po tanto, B Q E = E aˆ = a ˆ πε A 4 dl = dˆ a B Q Q VAB = Eidl = d = (.49) 4 4 A A πε πε B A i A > B, la difeencia de potencial VAB es positiva, indicando que una fuente etena usa enegía paa lleva la caga positiva desde A hasta B. Esto coincide con la imagen física que muesta las dos cagas iguales epeliéndose. Con fecuencia conviene habla del potencial, o potencial absoluto, de un punto, en vez de la difeencia de potencial ente dos puntos, peo esto sólo significa que se acepta medi toda difeencia de potencial con especto a un punto de efeencia especificado, el cual consideamos está a potencial ceo. e debe tene una convención común sobe la efeencia ceo paa que una afimación sobe el potencial tenga algún significado. Quizás el punto de efeencia ceo más univesal en mediciones epeimentales o físicas es tiea, po el cual se entiende el potencial de la egión supeficial de la tiea misma. Teóicamente, esta

138 3 supeficie se epesenta nomalmente po un plano infinito con potencial ceo, aunque algunos poblemas de gan escala, como aquellos que involucan popagación sobe océanos, equieen una supeficie esféica con potencial ceo. i la distibución de caga que cea el campo eléctico está localizada en alguna egión finita, usualmente los puntos en infinito se especifican con un potencial de valo ceo, es deci, V ( ) =. Entonces V ( ) = Ei dl (.5) i el potencial en el punto A es VA en el punto B es VB, entonces VAB = VA VB (.5) donde necesaiamente acodamos que V A V B tienen el mismo punto de efeencia ceo.. El Potencial Escala de una Distibución de Caga El potencial eléctico de un punto, efeido a infinito (efeencia), a una distancia de una caga puntual Q es dado po o V Q = a 4πε ˆ i (.5) ( aˆ d) Q V = (.53) 4 πε Ésta es una cantidad escala depende, además de Q, sólo de la distancia. La difeencia de potencial ente dos puntos cualesquiea P P a distancias, espectivamente, de Q es Q V = VP V P = (.54) 4πε Este esultado puede paece sopendente a pimea vista, a que P P pueden no esta en la misma línea adial a tavés de Q, como lo ilusta la Fig..3(a). No obstante, los cículos concénticos (ealmente esfeas) que pasan a tavés de P P son líneas (supeficies) con el mismo potencial (están a la misma distancia de Q) VP V P es lo mismo que VP V P. Desde el punto de vista de la Ec. (.48) se puede escoge la taectoia 3 de integación desde P hasta P3 entonces desde P3 hasta P. Desde P hasta P3 no se ealiza tabajo poque E es pependicula a dl = aˆ dφ a lo lago de la taectoia cicula ( Ei dl ). El hecho de que la difeencia de potencial sea difeente de la taectoia de integación tiene un significado fundamental. uponga que lo contaio fuese cieto. En la Fig.,3(b), po ejemplo, supóngase que se equiee menos tabajo paa move una caga de pueba desde A hasta B po la taectoia I que po la II. Como una invesión de la diección en una taectoia esulta solamente en un cambio de signo del tabajo que ealiza el agente eteno, la caga podía movese desde A hasta B po lo taectoia I egesada desde B φ

139 3 hasta A po la taectoia II, con una ganancia neta en tabajo, aunque el sistema, al final de la opeación, no ha cambiado con especto a lo que ea al comienzo. Entonces debeíamos esta obteniendo enegía del sistema sin ningún cambio en el popio sistema. Claamente, este poceso cíclico podía epetise tanto como se desee tendíamos una atactiva violación de la le de consevación de la enegía. P P 3 Q P Q A I II B (a) (b) Figua.3 Un método conveniente paa epesa el potencial sin selecciona una efeencia ceo Q 4πε como una constante. Entonces, específica, implica identifica con toma ( ) po integación se obtiene Q V = + C 4πε (.55) la constante de integación C puede elegise de manea que V = paa cualquie valo deseado de. También se podía selecciona la efeencia ceo indiectamente haciendo V = V en =. e debe señala que la difeencia de potencial ente dos puntos no es una función de C. En este punto se define una supeficie equipotencial como una supeficie compuesta de todos los puntos que tienen el mismo valo de potencial. Al move una caga unitaia alededo de una supeficie equipotencial no se ealiza tabajo a que, po definición, no ha difeencia de potencial ente dos puntos cualesquiea en esta supeficie. Las supeficies equipotenciales de una caga puntual son esfeas centadas en la caga. i la caga puntual Q en la Ec. (.53) no está situada en el oigen de un sistema de coodenadas sino en un punto cuo vecto de posición es, la elación paa el potencial V,, z, o simplemente V(), en se escibe como ( ) Q V ( ) = 4πε (.56) e ha consideado el potencial eléctico debido a una caga puntual. Las mismas ideas básicas aplican a otos tipos de distibuciones de cagas poque cualquie distibución siempe puede considease como fomada po cagas puntuales. El pincipio de supeposición, el cual se aplicó a los campos elécticos, también es aplicable a potenciales.

140 3 Paa n cagas puntuales Q, Q,, Qn ubicadas en puntos con vectoes de posición,,, n, el potencial en es o Q Q Qn V ( ) = πε 4πε 4πε n V ( ) = n 4 k= Qk πε k (.57) Paa distibuciones de caga continuas, se eemplaza Qk en la Ec. (.57) con el elemento de caga difeencial ρ l dl, ρ sd o ρ vdv, la sumatoia se conviete en integación, de manea que el potencial en es V ( ) = 4πε L ( ) ρl dl (caga lineal) (.58) V V ( ) ( ) = 4πε = 4πε v ( ) ρ s d ( ) ρv dv (caga de supeficie) (caga de volumen) (.59) (.6) donde se sigue la convención de que las coodenadas con tildes se usan paa denota la ubicación de los puntos de fuentes las coodenadas sin tildes se efieen a puntos del campo (puntos donde V se va a detemina). Ejemplo. Dos cagas puntuales de 4 µc 5 µc están situadas en (,, 3) (, 4, ), espectivamente. Detemina el potencial en (,, ), suponiendo que el potencial en infinito (efeencia) es ceo. olución: ean Q = 4 µc Q = 5 µc. Entonces Po tanto, V Q Q V ( ) = + 4πε 4πε =.,,, 3 =,, = 6 =.,, 4, =, 4, 3 = π 36π = 5.87 kv 3 (,, ) = + = 9 ( )

141 33 Ejemplo. Una caga puntual de 4π/3 nc está distibuida unifomemente en la foma de un disco cicula de adio m. Halla el potencial debido a esta caga en un punto sobe el eje, a m del disco. Compáese este potencial con que esultaía si toda la caga estuviese en el cento del disco. olución: Usando la Fig..3, se tiene que la densidad de caga supeficial es 4 Q 3 π ρ s = = = A π 3 ( ) 9 8 C/m También, R = 4 + π 3 d dφ V = = 49.7 V π 4 + Con toda la caga en el cento del disco, se aplica ahoa la epesión paa el potencial de una caga puntual, paa obtene 4 9 Q 3 V = = = 6 V 9 4πε z 4π 36π ( ) z (,, ) R φ dq Figua.3. Relación ente E V Como se demostó en la sección anteio, la difeencia de potencial ente dos puntos A B es independiente de la taectoia usada paa calculala. Po tanto, es deci, VBA + VAB = Ei dl =, o V AB = V BA Ei d l = (.6) C Esto muesta que la integal de línea de E a lo lago de una taectoia ceada C como se muesta en la Fig..33 debe se ceo. Físicamente, esto implica que no se ealiza tabajo al

142 34 move una caga a lo lago de una taectoia ceada en un campo estático. Aplicando el teoema de tokes a la Ec. (.6), se obtiene Ei dl = E = C ( ) i d, como la supeficie con contono C es abitaia, se tiene que el integando debe se igual a ceo, o E = (.6) E B A C Figua.33 Cualquie campo vectoial que satisfaga la Ec. (.6) o (.6) se denomina consevativo o iotacional. En otas palabas, los campos vectoiales cuas integales de línea no dependen de la taectoia de integación se conocen como campos consevativos. Así pues, un campo electostático es consevativo. Esta popiedad impotante es una consecuencia de que la fueza de Coulomb es una fueza cental: la fueza en el campo de una caga puntual es adial. La Ec. (.6) o la Ec. (.6) es la segunda ecuación de Mawell paa campos elécticos estáticos; ambas ecuaciones muestan la natualeza consevativa de un campo electostático. Ya se conoce la elación integal ente las cantidades E V, es deci, se sabe que V = Ei dl (.63) peo esta elación es mucho más fácil de usa en la diección contaia; es deci, dado el potencial V halla E. L i se aplica la Ec. (.63) a un elemento mu coto de longitud l en el cual E se puede considea esencialmente constante, se obtiene un incemento en la difeencia de potencial V, el cual es dado po V Ei l (.64) Veamos pimeo si se puede obtene nueva infomación sobe la elación ente E V a pati de esta ecuación. Considéese una egión geneal del espacio en la cual ambos E V cambian al pasa de un punto a oto. La Ec. (.64) dice (poducto escala) que se escoja un elemento vectoial de longitud l = laˆ l se multiplique su magnitud po la componente

143 35 de E en la diección de â l paa obtene la pequeña difeencia de potencial ente los dos etemos de l. i se designa el ángulo ente l E como θ, entonces V = E l cos θ Ahoa se quiee pasa al límite considea la deivada dv/dl. Paa hace esto, se necesita demosta que V es una función de la posición. Puesto que el campo E es consevativo, el esultado de la integación en (.63) sólo depende de los puntos inicial final de la taectoia, si se toma el punto inicial como efeencia, entonces V seá una función unívoca del punto final, de manea que se puede pasa al límite obtene dv E cos d l = θ La pegunta ahoa es en qué diección se debe coloca l paa obtene un valo máimo de V? Recuede que E tiene un valo definido en el punto en el cual se está tabajando es totalmente independiente de l. La magnitud l también es constante la vaiable es â l, en la diección de l. Es clao que el máimo incemento positivo del potencial, V má, ocuiá cuando cos θ =, es deci, cuando l apunta en la diección opuesta a la de E. Paa esta condición, dv dl má Lo anteio muesta que la magnitud de la intensidad de campo eléctico se obtiene a pati del valo máimo del itmo de cambio del potencial con la distancia, que el valo máimo se obtiene cuando la diección del incemento de la distancia es opuesta a la de E o, en otas palabas, la diección de E es opuesta a la diección en la cual el potencial está ceciendo más ápidamente. Paece posible que la diección en la cual el potencial está ceciendo más ápidamente sea pependicula a las supeficies equipotenciales (en la diección ceciente del potencial), esto es coecto a que si l está diigido a lo lago de una supeficie equipotencial, el incemento V = po la definición misma de esas supeficies. Peo entonces = E V = Ei dl = como ni E ni l son ceo, E debe se pependicula a este incemento l o pependicula a los equipotenciales. Como se tiene la posibilidad de detemina pimeo infomación sobe el campo de potencial, se descibiá matemáticamente la diección de l que conduce a un máimo incemento en el potencial en téminos del potencial en vez de la intensidad de campo eléctico. i se denota po ˆ n a el vecto nomal unitaio a la supeficie equipotencial diigido hacia los potenciales más altos, la intensidad de campo eléctico se puede epesa entonces en función del potencial como

144 36 dv E = dl aˆ n má (.65) la cual muesta que la magnitud de E la da la máima tasa de cambio espacial de V la diección de E es nomal a la supeficie equipotencial (en la diección de potencial dececiente). Puesto que escibiendo dv dl ocue cuando l está en la diección de a ˆ má n, esto se puede indica dv dl má dv = dn dv E = a ˆ n (.66) dn donde dv/dn es la deivada de V en la diección de la nomal. La opeación po la cual se obtiene E a pati de V es el gadiente (a definido en el Cap. ). Usando esta opeación, ahoa se puede escibi la elación ente V E como E = gadv = V (.67) Puesto que V es una función unívoca de la posición, se puede toma el difeencial total (en coodenadas catesianas) escibi V V V dv = d + d + dz z También se tiene que dv = Ei dl = E d E d E dz z al compaa estas dos ecuaciones, se obtiene entonces que lo que puede escibise vectoialmente como V, V E = E =, E V z = z V ˆ V V ˆ V E = = a ˆ + a + a z (.68) z El potencial eléctico V(,, z) descibe el campo completamente. El signo negativo indica que E apunta hacia la diección de máima disminución en V. Obseve que V no está definido en foma única. De hecho, a V se le puede añadi cualquie cantidad que sea independiente de las coodenadas sin afecta a E. La elación E = V implica de inmediato que las supeficies de potencial constante dadas po V() = constante, son pependiculaes a E en todo punto, es deci, son supeficies equipotenciales.

145 37 Ejemplo 3. Dado el campo de potencial = 5 un punto P( 4, 3, 6), se quiee V z detemina la intensidad de campo eléctico E, la diección de E, la densidad de flujo eléctico D la densidad volumética de caga ρv. olución: El potencial en P( 4, 3, 6) es ( ) ( ) ( ) V = = 66 V P Ahoa se usa la opeación gadiente paa obtene la intensidad de campo eléctico: ˆ ˆ ˆ z E = V = 4a a + 5 a V/m El valo de E en el punto P es E = 48aˆ 3aˆ + 5 a ˆ V/m P z La diección de E en P la da el vecto unitaio E ˆ P a = = aˆ aˆ + aˆ P E 57.9 ( ) E z P =.89aˆ.553aˆ +.86aˆ z i se supone que estos campos eisten en el espacio libe, entonces D = ε ˆ ˆ ˆ E = 35.4a 7.7 a a pc/m 3 z Finalmente, se puede usa la elación de la divegencia paa halla la densidad de caga que es la fuente del potencial dado, En P, ρ v = 6. pc/m 3. ρ = i D = 35.4 pc/m v Ejemplo 4. Obténgase una fómula paa la intensidad de campo eléctico en el eje de un disco cicula de adio b que tiene una densidad supeficial de caga unifome ρ s. olución: Aunque el disco tiene simetía cicula, no es posible visualiza una supeficie en su alededo donde la componente nomal de E tenga una magnitud constante; po tanto, no se puede usa la le de Gauss paa obtene la solución este poblema. e usaá la Ec. (.59). Tabajando con coodenadas cilíndicas, como indica la Fig..34, se tiene que d = ρ dρ dφ R = z + ρ z 3 R b O φ' ρ' dρ' Figua.34

146 38 El potencial eléctico en el punto P(,, z) efeido al punto en infinito es En consecuencia, π b ρs ρ V = dρ dφ 4πε ( z + ρ ) ρ s ( ) = z + b z ε V E = V = z ρ s ˆ z z ( z b ) a +, z > ε = ρ s aˆ z + z ( z + b ), z < ε (.69) (.7) La deteminación del campo E en un punto fuea del eje seía un poblema mucho más complicado. Paa z mu gande, conviene epandi el segundo témino en las Ecs. (.7) en una seie binomial despecia los téminos con potencias maoes que uno en el cociente ( b z ). Así se obtiene que ( b ) z z b b + = + z z ustituendo esta elación de apoimación en las Ecs. (.7), obtenemos E = aˆ z ( πb ρs ) 4πε z Q ˆ az, z > 4πεz = Q aˆ z, z < 4πεz (.7) donde Q es la caga total en el disco. Po tanto, cuando el punto de obsevación está mu alejado del disco cagado, el campo E sigue apoimadamente la le del cuadado inveso como si toda la caga estuviese concentada en un solo punto en el cento del disco. Ejemplo 5. Una lámina cagada (Fig..35) tiene una densidad de caga unifome ρ v (C/m 3 ). En =, V = V E = E. No ha vaiación de E en las diecciones de de z. Detemine el potencial V() dento de la lámina. V, E z ρ Figua.35

147 39 olución: Puesto que i E = ρv ε, entonces de donde También se tiene que E de d E ρ ρ = o de = v v ε ε E d ρv E = ( ) + E, ε < < = dv d, o V ρ ( ) v dv = + E d ε V ρv V( ) = ( ) E ( ) + V, < < ε Ejemplo 6. Un campo eléctico se epesenta po E = aˆ a + a ˆ a, donde a = V/m. Hállese (a) La función potencial V, tomando V = en el oigen. (b) El tabajo ealizado po el campo cuando una caga a = 8 C se taslada desde = m, = m hasta = m, = 3 m po la taectoia indicada en la Fig..36. (c) La densidad de caga en cualquie punto. olución: (a) El campo eléctico E está elacionado con el potencial V po la elación tanto, V E = V = a + f ( ) donde f() es una función posible de. También V E = V = a + g( ) E = V. Po b (, 3) C a (, ) C (, ) Figua.36

148 4 donde g() es una función posible de. De manea que V = a + f ( ) + g( ) Peo se tiene la condición de que V = en = =, se obtiene V = a (b) i W es el tabajo ealizado paa lleva la caga desde a hasta b, entonces o e b 8 W = q Ei dl = q ( Ed + Ed) = Ed + Ed a a taectoia C taectoia C 8 8 W = ad + ad = a + a taectoia C taectoia C 8 = {( )( ) [ ( ) ] + ( )( ) [ 3 ( ) ]} 8 4 J = 3 {[ ] [ ] = = } (c) Aquí se usa la foma difeencial de la le de Gauss paa halla la densidad de caga ρv, i E = ρ ε : v E ρ v = ε ie = ε + ( a) ( a) E = ε + = Ejemplo 7. upóngase que se tienen dos conchas esféicas conductoas concénticas de adios intenos R R (R > R ) que se colocan cagas Q Q en estas conchas; se quiee enconta la función potencial en todos los puntos debida a la distibución de caga esultante (Fig..38). R 3 Conchas conductoas R Vacío 3 R Q Q Figua.38

149 4 olución: Defina los campos E, E E3 los potenciales V, V V3 en las egiones espectivas > R, R 3 < < R R < < R 3. Los campos elécticos en las difeentes egiones son adiales debido a la simetía esféica se deteminan fácilmente aplicando la le de Gauss a supeficies esféicas en las difeentes egiones concénticas con las capas. Po tanto, Q + Q E = a ˆ > R 4πε Q E = a ˆ R < > R 3 3 4πε El campo eléctico se anula en el inteio de la concha conductoa; po tanto, E =. Ahoa los potenciales se pueden detemina fácilmente. ustituendo E en la Ec. (.5), se obtiene V Q + Q Q + Q = d = 4πε 4πε En la egión el campo eléctico es ceo po tanto el potencial coespondiente es constante: V Q + Q = constante = 4 πε R Finalmente, el potencial en la egión 3 se detemina sustituendo E 3 en la Ec. (.5), se obtiene V 3 Q + Q Q d Q + Q Q = = + πε πε πε πε 3 4 R 4 4 R 4 R3 R. El Dipolo Eléctico Como a se mencionó en la ec..3, un dipolo eléctico se foma cuando dos cagas puntuales de igual magnitud peo de signos opuestos están sepaadas po una distancia mu pequeña. z z +Q θ +Q θ d d Q Q dcosθ (a) (b) Figua.39

150 4 La impotancia del campo poducido po un dipolo se evidenciaá más adelante. Po los momentos, considee el dipolo mostado en la Fig..39. El potencial en el punto P(, θ, φ) está dado po i d <<, se tiene que Q Q V = = 4πε 4πε d cos cos d θ + θ (.7) (.73) d cos cos d + θ θ ustituendo las Ec. (.73) (.74) en la Ec. (.7) da Puesto que d cos θ = d a ˆ, donde d d a ˆ, si se define i (.74) Q d cos θ V = (.75) 4 πε = z p = Qd (.76) como el momento del dipolo, entonces la Ec. (.75) puede escibise como piaˆ V = 4 πε (.77) Obseve que el vecto del momento del dipolo p está diigido desde Q hacia +Q. i el cento del dipolo no está en el oigen sino en una posición dada po ', la Ec. (.77) se conviete en V ( ) ( ) pi = 4πε 3 (.78) El campo eléctico debido al dipolo con cento en el oigen (Fig..39), puede obtenese ápidamente a pati de las Ecs. (.67) (.75) como o donde p V V ˆ ˆ E = V = a + aθ θ Qd cos θ Qd sen θ = aˆ + aˆ θ πε πε p E = 3 ( cos θ aˆ sen ˆ + θa θ ) (.79) 4πε = p = Qd es igual a la dada po la Ec. (.5).

151 43 Nótese que una caga puntual es un monopolo su campo eléctico vaía como /, en tanto que su potencial vaía como /. De las Ecs. (.77) (.79) se ve que el campo eléctico debido al dipolo vaía como / 3, mientas que su potencial vaía como /. Los campos elécticos poducidos po multipolos de oden supeio (tales como un cuadipolo, el cual consiste de dos dipolos) vaían invesamente como 4, 5,, en tanto que sus potenciales coespondientes vaían invesamente como 3, 4,. Ejemplo 8. Dibuja las líneas del campo eléctico poducido po un dipolo eléctico. olución: La ecuación de una supeficie equipotencial de una distibución de caga se obtiene igualado la epesión paa V a una constante. Como Q, d ε en la Ec. (.75) paa un dipolo eléctico son cantidades fijas, un potencial constante equiee un cociente cos θ. Po tanto, la ecuación paa una supeficie equipotencial es = C V cos θ (.8) donde C V es una constante. En el intevalo θ π/, V es positiva; es máima en θ = ceo en θ = 9º. En el intevalo π/ θ π, se obtiene una imagen especula allí, el potencial V es negativo. Las líneas del campo eléctico se obtienen de la siguiente foma. e toma dl = ke (.8) donde k es una constante. En coodenadas esféicas, la epesión paa la Ec. (.8) es la cual puede escibise como ( ) a ˆ d + a ˆ dθ + a ˆ sen θdφ = k a ˆ E + a ˆ E + a ˆ E θ φ θ θ φ φ d dθ sen θdφ = = E E E El dipolo eléctico no tiene componente E φ entonces o Ahoa se intega paa obtene θ d dθ = cos θ sen θ d φ cos θdθ = sen θ C E (.8) = sen θ (.83) donde CE es una constante. En la Fig..4 se ilustan las líneas del campo eléctico. Tienen simetía otacional con especto al eje z (independientes de φ). Las líneas de los equipotenciales, si se dibujasen, seían nomales en todas pates a las líneas del campo eléctico.

152 44 p θ E E E θ Figua.4.3 Densidad de Enegía en el Campo Electostático El concepto de potencial se intodujo consideando el tabajo ealizado al move un caga puntual en el inteio de un campo eléctico; ahoa se debe continua esa discusión siguiendo al flujo de enegía un paso adicional. El taslado de una caga positiva desde infinito hacia el campo de ota caga positiva estacionaia equiee que la fueza etena que mueve la caga ealice un tabajo. Imagínese que esa fueza etena lleva la caga hasta un punto cecano a la caga fija la mantiene allí. La enegía debe consevase, la enegía utilizada paa coloca esa caga en posición ahoa epesenta enegía potencial, a que si la fuente etena libease la caga, ésta se aceleaía alejándose de la caga fija, adquiiendo enegía cinética la capacidad de ealiza tabajo. Paa halla la enegía potencial pesente en un sistema de N cagas, se debe halla el tabajo ealizado po una fuente etena paa posiciona las cagas. e supone un univeso vacío paa comenza. Tae una caga Q desde el infinito hasta cualquie posición no equiee tabajo, a que no ha ningún campo pesente. El posicionamiento de una segunda caga Q en un punto en el campo de Q equiee un tabajo dado po el poducto de la caga Q el potencial en ese punto debido a Q. Este potencial lo se epesenta po V,, donde el pime subíndice indica la posición el segundo la fuente. Es deci, V, es el potencial en la posición de Q debido a la caga Q. Entonces, Tabajo paa posiciona Q = Q V, En la misma foma, se puede epesa el tabajo equeido paa coloca cada caga adicional en el campo de todas las demás cagas allí pesentes; es deci, Tabajo paa posiciona Q = Q V + Q V 3 3 3, 3 3, Tabajo paa posiciona Q = Q V + Q V + Q V 4 4 4, 4 4, 4 4,3 así sucesivamente hasta posiciona las N cagas. El tabajo total ealizado se obtiene sumando cada contibución: donde Tabajo total ealizado = Enegía potencial del campo E = W E W = Q V + Q V + Q V + Q V + Q V + Q V + (.84), 3 3, 3 3, 4 4, 4 4, 4 4,3

153 45 Un témino epesentativo en esta última ecuación tiene la foma Q Q V = Q = Q Q 3 3 3, 3 4πεR3 4πεR3 donde R 3 R 3 epesentan cada uno la distancia ente Q Q 3. e obseva entonces que este témino también pudo habese escito como QV,3. i cada témino en la epesión paa la enegía se eemplaza po su igual simético, se encuenta que W = Q V + Q V + Q V + Q V + Q V + Q V + (.85) e,,3,3,4,4 3 3,4 umando las dos epesiones dadas po las Ecs. (.84) (.85), se obtiene E ( ) (,,3,4 ) 3 ( 3, 3, 3,4 ) W = Q V + V + V +,,3.4 + Q V + V + V + + Q V + V + V + + Cada uno de los potenciales ente paéntesis epesenta el potencial combinado debido a todas las cagas ecepto po la caga en el punto donde se está midiendo el potencial. En otas palabas, po ejemplo, V + V + V + = V,,3,4 es el potencial en Q debido a la pesencia de Q, Q3,. Po tanto, se obtiene N = ( + + ) = We Q V Q V QmVm (.86) Paa obtene una epesión paa la enegía almacenada en una egión donde está pesente una distibución de caga continua, cada caga se eemplaza po un elemento de caga ρ vdv la sumatoia se conviete en una integal. Así pues, W e m= = ρvvdv (.87) vol Las Ecs. (.86) (.87) pemiten calcula la enegía potencial total pesente en un sistema de cagas puntuales o de una densidad volumética de caga. e pueden escibi ecuaciones similaes en téminos de una densidad de caga lineal o de supeficie. Usualmente se pefiee usa la Ec. (.87) paa epesenta los difeentes tipos de cagas que deben considease. Esto siempe puede hacese consideando a cualquie caga como una distibución de volumen en egiones mu pequeñas. Ahoa se sustitue la elación de la divegencia de D dada po paa obtene W e ρ v = i D en la Ec. (.87) = ( i D) Vdv (.88) Peo paa cualquie vecto D cualquie escala V, se cumple la identidad vol ( VD) D V V ( D) i = i + i

154 46 o ( ) ( ) id V = i VD Di V (.89) Aplicando la identidad en la Ec. (.89) a la Ec. (.88), se obtiene We = i( VD) dv ( Di V ) dv vol Ahoa se aplica el teoema de la divegencia al pime témino en el lado deecho de esta ecuación, se obtiene vol ( D ) i ( Di ) (.9) We = V d V dv La integal de supeficie es igual a ceo, a que en esta supeficie que odea todas las cagas, V tiende a ceo tan ápido como / (las cagas se asemejan a cagas puntuales) D tiende a ceo tan ápido como /. El elemento difeencial de supeficie tiende a ceo como (se paece a una esfea). En consecuencia, en el límite confome, el integando ( la integal) tiende a ceo, la Ec. (.9) se educe a Puesto que vol WE = ( Di V ) dv = ( Di E) dv (.9) E = V como D = ε E, se obtiene vol vol i (.9) We = D Edv = εe dv vol a pati esta última elación es posible defini la densidad de enegía electostática we (en J/m ) como ota foma de la Ec. (.9) es entonces w vol D i (.93) e = D E = ε E = ε W e = w dv (.94) vol Ejemplo 9. Calcúlese la enegía almacenada en un sistema de cuato cagas puntuales idénticas, Q = 4 nc, en las esquinas de un cuadado de m po lado. Cuál es la enegía almacenada cuando sólo dos cagas están en esquinas opuestas? olución: La enegía almacenada es We = ( Q V + Q V + Q V + Q V ) = Q V E donde la última igualdad se debe a la simetía del sistema. El potencial V es V 9 Q Q3 Q4 4 = + + = + + = 4πεR 4πεR3 4πεR4 4πε 97.5 V

155 47 la enegía almacenada es We Paa dos cagas en las esquinas opuestas, 9 4 = QV = = nj 4πε 9 9 ( ) 4 We = QV = 4 = 7 nj 4πε Ejemplo 3. Calcula la enegía almacenada en el campo electostático de una sección de cable coaial (o capacito) de longitud L. olución: Anteiomente (Ejemplo 4) se encontó que Po tanto, D ρ aρ = ρ s aρs E = a ˆ ε ρ donde ρ s es la densidad de caga supeficial en el conducto inteno cuo adio es a. Así, W e L π b a ρ πla ρ b = ε ρ ρ φ = ln ε ρ ε a a s s d d dz Paa una densidad de caga supeficial, la Ec. (.87) establece que W e = ρsvd L π aρs b = ρs ln a d φ dz ε a πla ρs b = ln ε a éste es el mismo esultado obtenido anteiomente. Esta epesión toma una foma más conocida al obseva que la caga total en el conducto inteno es Q = πalρ s. Combinando este valo con la difeencia de potencial ente los cilindos, V a, se obtiene que W e ρ = QV de un cuso de Cicuitos Elécticos se sabe que ésta es la enegía almacenada en un capacito. a Ejemplo 3. Una distibución de caga con simetía esféica tiene una densidad

156 48 ρ, R ρ v =, > R Detemina el potencial V en todas pates la enegía almacenada en la egión R. Compae este último esultado con la enegía de dos cagas puntuales Q sepaadas po una distancia R. olución. El campo E a se calculó en el Ejemplo 7 utilizando la le de Gauss. (a) Paa R, ρr E = 3 ε Una vez conocido E, el potencial V se detemina como 3 a ˆ 3 V = Ei dl = d 3 ε ρ R 3 = + 3ε, > ρ R C R Tomando el potencial en infinito V( ) =, se obtiene que C =. (b) Paa R, Po tanto, De la pate (a) se sabe que ( ) ρ E = a ˆ 3 ε ρ = = 3 ε V Ei dl d ρ 6ε = + C V R = = ρ R 3ε, se obtiene ρ R ρ R R ρ 3 6 = + C C = ε ε ε ρ 6ε ( 3 ) V = R Entonces, de las pates (a) (b) se obtiene la elación completa paa el potencial V: (c) La enegía almacenada es dada po ρ ( 3 R ), R 6 ε V = 3 ρ R, R 3ε

157 49 Paa R, E = ( ρ ε ) 3 ˆ Di E We = dv = ε E dv vol a entonces R π π ρ We = ε ( ) sen θdθ dφd 9ε = θ= φ= 5 R 5 πρr ε ' ε vol ρ = 4 π = (J) En téminos de la caga total en la esfea, esta última elación puede escibise como W E Q = 4πε R La enegía de dos cagas puntuales Q sepaadas po una distancia a es dada po Q W = 4 πε a tenemos que la enegía de la esfea es meno que la de dos cagas puntuales sepaadas po una distancia igual al adio de la esfea.

158 5 PROBLEMA. Tes cagas puntuales, cada una de intensidad 3 9 C, están colocadas una en cada una de las tes esquinas de un cuadado de cm de lado. Calcule el campo eléctico (magnitud diección) en la cuata esquina.. Cinco cagas puntuales idénticas de 5 µc están ubicadas en el cento esquinas de un cuadado de lado m en el plano. Halle la intensidad de campo eléctico en el punto (,, 3) m la fueza sobe una caga puntual de µc..3 Cagas +Q +3Q están sepaadas po una distancia de m. e coloca una tecea caga de tal manea que el sistema electostático está en equilibio. Halle la posición de la tecea caga en téminos de Q..4 Tes cagas puntuales de igual masa m caga Q están suspendidas desde un punto común po tes hilos de masa despeciable longitud l. Detemine la sepaación ente las cagas cuando el sistema está en equilibio..5 Un ectángulo en el plano tiene sus vétices en los puntos (a, b), (a, b), ( a, b) ( a, b). En los bodes del ectángulo ha una caga eléctica en la foma de una densidad lineal unifome de ρ l C/m. Obtenga una epesión paa el campo eléctico en el punto del campo (,, z) = (,, h)..6 Un electón de caga e masa m se mueve en un campo eléctico unifome E. En t = la velocidad del electón es v esta velocidad foma un ángulo θ con la diección del campo. Defina ejes apopiados detemine la ecuación de la taectoia de este electón..7 Un cono tuncado se define mediante las ecuaciones ρ z z.5 Halle el campo eléctico en el punto (,, z) = (,, ) si la densidad de caga dento del cono tuncado está dada po ρ v =.9 7 C/m 3..8 Una caga eléctica está distibuida a lo lago de un aco ubicado en el plano definido po ρ = cm φ π/4. i ρ l = 5 µc/m, detemine E en (,, z) después evalúelo en: (a) El oigen. (b) z = 5 cm. (c) z = 5 cm..9 La supeficie definida po < z < ρ =.8 π < θ π contiene una densidad supeficial de caga dada po

159 5 < φ < π 9 3, 3 ρ v ( ) = 9 4, 3 π < φ < π Detemine el campo eléctico en el punto (,, z) = (,, ).. Es posible sepaa las semillas nomales de las decoloadas de objetos etaños mediante un dispositivo que opea en la foma siguiente. Las semillas caen una po una ente un pa de foto celdas. i el colo no es el coecto, se aplica un voltaje a una aguja que deposita una caga en la semilla. Las semillas caen entonces ente un pa de placas cagadas elécticamente que desvían las semillas indeseadas en un ecipiente sepaado. Una máquina como ésta puede clasifica avejas con un itmo de po segundo, o apoimadamente toneladas méticas po día de 4 hoas. (a) i las semillas caen con una tasa de po segundo, a qué distancia deben cae si deben esta sepaadas veticalmente po milímetos cuando pasan ente las foto celdas? Despecie la esistencia del aie. (b) uponga que las semillas adquieen una caga de.5 9 culombios, que las placas deflectoas son paalelas tienen una sepaación de 5 milímetos que la difeencia de potencial ente ellas es de 5 voltios. A qué distancia deben etendese las placas po debajo de la aguja cagadoa si las semillas cagas deben desviase po 4 milímetos al sali de las placas? uponga que la aguja de caga la pate supeio de las placas deflectoas están mu ceca de la foto celda.. Una distibución de caga lineal unifome de λ culombios/meto está situada a una distancia de una caga puntual Q de signo opuesto. (a) Calcule la fueza de atacción. (b) Demueste que la fueza es la misma que eistiía si la distibución lineal fuese eemplazada po una sola caga Q = λ situada en el pie de la pependicula dibujada desde Q.. Demueste la Ec. (.5)..3 Un disco cicula de adio a tiene una densidad de caga no unifome Detemine E en su eje en z = h. ρ s = ρ φ. sen.4 ea Q una caga puntual colocada en el oigen sea = p( cos α ˆ + sen αˆ ) p a a el momento de un dipolo situado en el punto (, θ, φ) en coodenadas esféicas. Detemine la fueza epeimentada po este dipolo las tes componentes esféicas de la fueza como funciones de α. Eplique físicamente el oigen de la componente en a ˆ θ..5 Dos cagas iguales de signo opuesto tienen una sepaación fija d foman un dipolo de momento p. Este dipolo está en un campo eléctico unifome de intensidad E; la diección del vecto del momento del dipolo foman un ángulo θ con la diección de E. Demueste que el pa de fuezas sobe este dipolo es dado po pesen θ..6 Un objeto conducto no cagado tiene una cavidad hueca en su inteio. i se coloca una caga Q en la cavidad, demueste que una caga Q es inducida en la supeficie de la cavidad una caga Q es inducida en la supeficie etena del conducto. θ

160 5.7 ea F(,. z) = λ la epesentación de una familia de supeficies tales que F posee deivadas paciales continuas del pime segundo ódenes. Demueste que una condición necesaia suficiente paa que estas supeficies sean equipotenciales es F = f ( λ) ( F) donde f ( λ ) es una función de λ solamente. Demueste que si se cumple esta condición el potencial es donde c c son constantes. f ( ) d V = c e λ λ dλ + c.8 Una caga está distibuida en una línea ecta infinita con una densidad constante de ρ l culombios/meto. Demueste que la intensidad del campo en cualquie punto cua distancia a la línea es es E ρl = πε que este campo es el negativo del gadiente de una función potencial ρl V(, ) = ln πε donde es una constante abitaia que epesenta el adio de un cilindo en el cual V =. A pati de estos esultados demueste que si la caga se distibue en un espacio bidimensional con una densidad σ (, ), el potencial en cualquie punto del plano es s V(, ) = σs ln da πε donde ( ) ( ) = + demueste también que (, ) V satisface la ecuación V V + = σ s(, ) ε.9 Dos planos infinitos son paalelos. Uno está cagado unifomemente con un una densidad de caga supeficial +ρ s el oto con una densidad de caga ρ s. Demueste que la intensidad del campo ente los dos planos tiene un valo ρs/ε que es igual a ceo fuea de los dos planos.. Use la le de Gauss paa detemina el campo E poducido po un cilindo de caga mu lago de densidad de volumen ρ = 5e C/m 3, donde es la distancia al eje del cilindo. v. Un cascaón esféico cagado unifomemente tiene un adio a. Oto cascaón, concéntico con el anteio, tiene una caga igual de signo opuesto un adio b > a. Detemine el campo eléctico a una distancia del cento común, donde está ente a

161 53 b. Cómo se compaa este campo con el que eistiía si la esfea etena no estuviese pesente?. Dento de una egión dada po.5 z +.5 m, la epesión que define la 8 3 ρ = z C/m. Utilice la le de Gauss paa densidad volumética de caga es ( ) v deduci una epesión paa el campo eléctico en cada una de las tes egiones z >.5 m;.5 z.5 m ; z <.5 m..3 En una cieta egión del espacio, la densidad de caga es dada en coodenadas cilíndicas po la función Aplique la le de Gauss paa halla D. 3 ( ) ρ = 5 ρ e ρ C/m v.4 Un cascaón cilíndico de longitud infinita se etiende en ρ = m ρ = 3 m contiene una densidad de caga unifome ρv. Aplique la le de Gauss paa halla D en todas las egiones..5 Un campo electostático es especificado po = λ ( ˆ ˆ + ) E a a, donde λ es una constante. Use la le de Gauss paa detemina la caga total enceada po la supeficie mostada en la Fig. P.5, la cual consiste de, la poción cuva del z = de longitud h: 3, los dos planos semiciculaes en los semicilindo ( ) etemos 4, la pate ectangula del plano. Epese sus esultados en función de λ, h. z 3 h 4 Figua P..5.6 i la densidad de caga se incementa linealmente con la distancia al oigen de modo que ρ v = en el oigen ρ v = 4 C/m 3 en ρ = m, halle la vaiación coespondiente de D..7 (a) Detemine el campo E asociado con el potencial a cos θ b V = + (b) Cuál es la distibución de caga esponsable de este potencial? (c) Halle la α distibución de caga que da luga al potencial V ( ) = q e, donde q α son constantes..8 La supeficie ρ =. m contiene una densidad supeficial unifome de caga ρ s C/m. La egión.3 < ρ <.4 contiene una densidad volumética de caga ρv() no unifome vaía en función de ρ, en tanto que no depende de φ z. El campo

162 54 eléctico en la egión.3 < ρ <.4 m está en la diección de a ˆ ρ su magnitud es constante. Epese la densidad volumética de caga ρ v() en función de ρ s de la coodenada cilíndica ρ..9 Considee un cable coaial de longitud infinita. El adio del conducto cental es a metos, el adio inteno del conducto eteno es b metos. i el aislamiento ente los conductoes tiene una esistencia a la uptua de KV/m, detemine la mínima difeencia de potencial ente los conductoes que causa la uptua. La espuesta debe esta dada en téminos de a, b K..3 Un cilindo conducto lago de adio a se sitúa en un campo eléctico, el cual, lejos del cilindo, está dado po V = Eρ cos φ, donde ρ φ son las coodenadas cilíndicas usuales E es una constante. El eje z se oienta paa que coincida con el eje del cilindo. (a) Detemine la distibución del campo en la egión eteio al cilindo, suponiendo que el potencial del cilindo es ceo. (b) Detemine la magnitud la diección del campo electostático en puntos alejados del cilindo ( >>a)..3 Paa qué valoes de A B es la siguiente función una función potencial válida en una egión libe de cagas? Acos V = 3 θ B?.3 El potencial electostático en una cieta egión viene dado po k e V = a donde k a son constantes. Cómo está distibuida la caga en esta egión? Veifique su espuesta mediante la le de Gauss. Qué intepetación física se le puede da a la constante k?.33 e tiene una esfea de pemitividad ε la cual está colocada en un medio de pemitividad ε. Demueste que en este caso el potencial fuea dento de la esfea viene dado espectivamente po 3 a ε ε V = E + cos θ ε + ε 3ε = cos θ V E ε + ε.34 Detemine la enegía almacenada en un sistema consistente de una caga puntual situada a una distancia d de un plano conducto infinito..35 Una esfea sólida con adio de. m está centada en (,, 5) m. La densidad de caga en la esfea está dada po ρv = 3 C/m 3. Una caga puntual de.5 C está situada en el oigen. Calcule el tabajo ealizado al move la esfea sólida

163 55 veticalmente hacia abajo sobe el eje z hasta que la distancia ente el cento de la esfea la caga puntual sea de.5 m (ugeencia: Considee el tabajo ealizado si la esfea sólida pemanece estacionaia en tanto que la caga puntual se desplaza hacia aiba po el eje z desde z = hasta z =.5 m)..36 Considee un dipolo eléctico p = p ˆ a ubicado en el oigen colocado en un potencial eteno V = α + α + α. Qué enegía se necesitó paa coloca el 3 dipolo en el potencial? (b) Detemine la fueza que actúa sobe el dipolo. (c) Detemine el pa de fuezas que actúa sobe el dipolo (α, α α3 son constantes).

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165 CAPÍTULO 3 Medios Mateiales en Campos Elécticos Estáticos 3. Intoducción En el Cap. se estudió solamente el campo eléctico de distibuciones de cagas elécticas en el espacio libe o en el aie; dicho de ota foma, se estudió la teoía del campo eléctico en el vacío. Ahoa se iniciaá el estudio del compotamiento del campo en medios mateiales. Como se evidenciaá, la maoía de las elaciones desaolladas en el Cap. todavía mantienen su validez, aunque algunas pueden equei de cietas modificaciones. Los campos elécticos pueden eisti en medios mateiales en mucho la misma foma en que se manifiestan en el espacio libe. En geneal, los medios mateiales se clasifican según sus popiedades elécticas en tes tipos: conductoes, semiconductoes no conductoes (aislantes o dielécticos). e estudiaá bevemente sobe las popiedades elécticas de los mateiales en geneal paa popociona una base paa compende los conceptos de conducción, coiente eléctica polaización. Adicionalmente se estudiaán algunas popiedades de mateiales dielécticos tales como la susceptibilidad, la pemitividad, linealidad, isotopía, homogeneidad, esistencia dieléctica tiempo de elajación. También se intoduciá el concepto de condiciones de fontea paa campos elécticos que eisten en dos medios vecinos difeentes. 3. Popiedades de los Mateiales Tipos de Coientes En el cuso de nuestos estudios de electicidad pueden sugi peguntas tales como po qué un electón no abandona la supeficie de un conducto o po qué los mateiales se compotan en foma difeente en la pesencia de un campo eléctico. Éstas, po supuesto, no son las únicas peguntas con las que nos enfentamos. Po ello se daá una eplicación beve paa auda a compende el mecanismo mediante el cual los mateiales influen un campo eléctico. Los paámetos constitutivos electomagnéticos de un mateial son su pemitividad eléctica ε, su pemeabilidad magnética µ su conductividad σ. Un mateial es homogéneo si sus paámetos constitutivos no vaían de un punto a oto, es isótopo si esos paámetos son independientes de la diección. La maoía de los mateiales ehiben popiedades de isotopía, peo no algunos cistales. e sabe que cietos mateiales conducen electicidad bien otos no. Lo que se entiende po conduci electicidad es que en los pimeos, los elementos de caga (po ejemplo, electones) se pueden move libemente de un punto a oto. En ealidad, la

166 58 maoía de los mateiales pemiten el movimiento de cagas bajos cietas condiciones, peo aquí sólo se quiee esalta que po el nombe conducto se entiende un medio que contiene elementos de caga también que estos elementos tienen libetad paa movese bajo la influencia de un campo eléctico aplicado. En un sentido amplio, entonces, los mateiales pueden clasificase en téminos de su conductividad σ, en siemens po meto (/m), como conductoes no conductoes, o técnicamente como metales aislantes (o dielécticos). La conductividad de un mateial es una medida de la facilidad con la cual los electones pueden desplazase po el mateial bajo la influencia de un campo eléctico eteno. La conductividad de un mateial usualmente depende de la tempeatua la fecuencia. Un mateial de alta conductividad ( σ ) se conoce como un conducto (metal), en tanto que uno con baja conductividad ( σ ) se conoce como un aislante o dieléctico. Un mateial cua conductividad está ente esos dos etemos mencionados se denomina un semiconducto. La conductividad de los metales, como a se mencionó, es una función de la tempeatua. La esistividad, que es el ecípoco de la conductividad, vaía casi linealmente con la tempeatua en la zona de la tempeatua ambiente, paa el aluminio, cobe o plata cece ceca de.4 po ciento po K de aumento en la tempeatua. A tempeatuas ceca del ceo absoluto (T = K), la esistividad cae abuptamente a ceo (conductividad infinita); esta popiedad se denomina supeconductividad. El cobe la plata no son supeconductoes, aunque el plomo el aluminio sí lo son paa tempeatuas infeioes a.4 K. Paa los efectos de estas notas, sólo estaemos inteesados en metales dielécticos, Micoscópicamente, la difeencia pincipal ente un metal un aislante está en el númeo de electones disponibles paa la conducción de coiente. Los mateiales dielécticos tienen pocos electones de conducción, en tanto que los metales tienen abundancia de electones libes. En la ingenieía eléctica el voltaje (o difeencia de potencial) la coiente eléctica son dos cantidades fundamentales. En el Cap. se consideó el potencial. Antes de eamina cómo se compota el campo eléctico en un conducto o en un dieléctico, es conveniente considea la coiente eléctica. Ésta es poducida genealmente po el movimiento de cagas elécticas. Es deci, La coiente que ataviesa un áea dada es la caga eléctica neta que pasa po esa áea po unidad de tiempo. dq I = (3.) dt La unidad de coiente es el culombio po segundo o ampeio. Así, una coiente de un ampeio tansfiee caga con un itmo de un culombio po segundo. La diección de efeencia positiva de la coiente es la diección en la cual flue la caga positiva. Una coiente debe flui a tavés de un áea finita; po tanto no es una función puntual. El concepto básico de la coiente eléctica es la tasa de flujo de la caga, po tanto se espeaía tene un vecto de flujo asociado con la coiente. En la teoía del campo

167 59 electomagnético se define una función vectoial puntual, la densidad de coiente de volumen (o simplemente la densidad de coiente) J, la cual mide la cantidad de coiente que flue a tavés de un áea unitaia nomal a la diección del flujo de coiente. Así, si a tavés de una supeficie plana flue una coiente I, la densidad de coiente es o I J = I = J (3.) suponiendo que la coiente es pependicula a la supeficie. i la densidad de coiente no es nomal a la supeficie, entonces I =, pasando al límite, la coiente total que ataviesa la supeficie es I Ji (3.3) = d Ji (3.4) Es deci, el concepto de la densidad de coiente se etiende a una situación paa la cual J no es constante la supeficie no es plana. Ahoa se estudiaá un poco mejo la definición de la densidad de coiente. La definición matemática de J es I J = a ˆ I lím (3.5) se intepeta así: I es la coiente que ataviesa el elemento de supeficie infinitesimal, el cual está oientado en la diección pependicula a la del flujo de I po ello cota el máimo valo de la coiente; a ˆ I es un vecto unitaio en la diección de la coiente es po tanto también el vecto unitaio nomal a. A J se le llama una distibución de volumen de coiente, a que ella especifica la densidad de coiente en todos los puntos en una egión. in embago, como lo implica la ecuación de definición, J se mide en ampeios po meto cuadado. Así pues, J paece se algún tipo de densidad de supeficie. Lo que paeciese se una paadoja puede aclaase mediante el concepto de un elemento de coiente, definido como el poducto de la magnitud de una coiente la longitud en la cual se etiende. Un elemento de volumen v puede epesase como el poducto de una sección tansvesal pependicula a la coiente una longitud infinitesimal l en la diección de la coiente; es deci, v = l. La cantidad J v = J l = I l es, po tanto, un elemento de coiente incemental se puede escibi la Ec. (3.5) como I l J = aˆ I lím v v poniendo en evidencia que J es una densidad de volumen de elementos de coiente. Dependiendo de la foma en que se poduce I, ha difeentes tipos de densidades de coiente: densidad de coiente de convección, densidad de coiente de conducción densidad de coiente de desplazamiento. Ahoa se consideaán las densidades de coiente de conducción de convección. Lo que se debe mantene en mente es que la Ec. (3.4) (3.6)

168 6 aplica a cualquie tipo de densidad de coiente. Compaada con la definición geneal de flujo, la Ec. (3.4) muesta que la coiente I a tavés de la supeficie es simplemente el flujo del vecto densidad de coiente J. La coiente de convección no involuca conductoes en consecuencia no satisface la le de Ohm. Una coiente de convección es una en donde paeciese que un mateial se mueve como un volumen de masa, llevando consigo toda una caga neta asociada con él. Esta coiente depende del movimiento del obsevado, a que si el obsevado se moviese junto con el mateial cagado en movimiento, la densidad de coiente apaeceía como igual a ceo. Ocue cuando flue una coiente a tavés de un medio aislante, tal como un líquido, gas enaecido o un haz de electones en un tubo o válvula de vacío. Considéese un filamento como el que se muesta en la Fig. 3.. i eiste un flujo de caga, de densidad ρv, con velocidad u = u a ˆ, po la Ec. (3.) la coiente que ataviesa el filamento es entonces Q I = = ρ = ρ u t t v v La densidad de coiente en un punto dado se define como la coiente que pasa po un áea nomal unitaia en ese punto. En la Fig., la diección de coiente es en la diección de, entonces J está dada po J I = = ρ u v El mismo pocedimiento se puede aplica en las otas dos diecciones, po tanto, en geneal, se tiene que (3.7) (3.8) J = ρ v u (3.9) Aquí, la coiente I es la coiente de convección J es la densidad de coiente de convección en ampeios po meto cuadado (A/m ). ρ v z u Figua 3. La coiente de conducción necesita de un conducto usualmente denota el movimiento de potadoes de caga a tavés de un medio neutal, como electones en un alambe metálico o iones en una solución. La difeencia cucial con la coiente de convección, es que la coiente de conducción es independiente del movimiento del obsevado debido al movimiento elativo de las cagas positivas negativas en el medio. Un conducto tiene un gan númeo de electones débilmente ligados en las capas más etenas de los átomos. En la ausencia de un campo eléctico eteno, estos electones libes se mueven en

169 6 diecciones aleatoias con difeentes velocidades. u movimiento aleatoio poduce una coiente cuo pomedio es igual a ceo en el conducto. in embago, al aplica un campo eléctico eteno, los electones se mueven de un átomo al siguiente a lo lago de una diección opuesta a la del campo eteno. Cuando se aplica un campo eléctico E, la fueza sobe un electón con caga ( e) es F = ee (3.) Puesto que el electón no está en el espacio libe, no epeimentaá una aceleación pomedio bajo la influencia del campo eléctico. Más bien, choca constantemente con la estuctua atómica se mueve a la deiva ente los átomos, sus movimientos, caacteizados po una velocidad pomedio denominada la velocidad de aaste del electón, ue, dan luga a una coiente de conducción. i un electón con masa m está moviéndose en un campo eléctico E, con una velocidad de aaste u e, de acuedo con la le de Newton, el cambio pomedio en el momento del electón libe debe iguala la fueza aplicada. Así o mu τ e = ee eτ ue = E = µ ee (3.) m donde τ es el tiempo pomedio ente colisiones µ e es una popiedad del mateial llamada la movilidad electónica con unidades de ( m / V s). Esta ecuación indica que la velocidad de aaste del electón es diectamente popocional al campo aplicado. i ha n electones po unidad de volumen, la densidad de caga electónica es dada entonces po de modo que la densidad de coiente de conducción es o donde ρ = ne (3.) v ne τ J = ρ vue = E m J = σe (3.3) σ = ne τ m es la conductividad del mateial conducto. La elación en la Ec. (3.3) se conoce como la foma puntual de la le de Ohm paa campos. 3.3 Conductoes Como a se mencionó, un conducto tiene una abundancia de caga que tiene bastante libetad paa movese. Considéese un conducto aislado como el ilustado en la Fig. 3.a. Cuando se aplica un campo eléctico eteno Ee, las cagas libes positivas son empujadas en la misma diección que el campo aplicado, en tanto que las cagas negativas se mueven en la diección opuesta. Este movimiento de cagas ocue mu ápidamente. Las cagas libes hacen lo siguiente. Pimeo, se mueven acumulándose en la supeficie del conducto foman lo que se denomina una caga supeficial inducida. egundo, las cagas inducidas establecen un campo inducido inteno E i, el cual cancela el campo aplicado etenamente E e.

170 6 Las cagas se edistibuen en una foma tal que tanto la caga como el campo se anulan en el inteio. El esultado se ilusta en la Fig. 3.b. Esto conduce a una popiedad impotante de un conducto: Un conducto pefecto (σ = ) no puede mantene un campo electostático en su inteio. E i E i E e E e E e + ρ v = + + E = + + E e E e E e (a) (b) Figua 3. Ota foma de analiza esta situación es considea la le de Ohm, J = σe. Paa mantene una densidad de coiente J finita en un conducto pefecto (σ ) se equiee que el campo eléctico en el conducto se anule. En otas palabas, E poque σ en un conducto pefecto. i se intoducen algunas cagas en el inteio de este conducto, las cagas se moveán hacia la supeficie se edistibuián ápidamente en una foma tal que el campo dento del conducto se anula. De acuedo con la le de Gauss, si E =, la densidad de caga ρv debe se ceo. e conclue entonces, una vez más, que un conducto pefecto no puede sostene un campo electoestático en su inteio; es deci, bajo condiciones estáticas se tiene que E =, ρ = dento de un conducto (3.4) v La distibución de caga en la supeficie de un conducto depende de la foma de la supeficie. Obviamente, las cagas no estaían en equilibio si eistiese una componente tangencial de la intensidad de campo eléctico que poduzca una fueza paa move las cagas. En otas palabas, bajo condiciones estáticas, el campo E en la supeficie de un conducto es nomal en todas pates a la supeficie; es deci, la supeficie de un conducto es una supeficie equipotencial bajo condiciones estáticas. También, como E = en todas pates en el inteio de un conducto, todo el conducto tiene el mismo potencial electostático. Como σ es del oden de 6 /m paa la maoía de los metales, tales como plata, cobe, oo aluminio, se acostumba toma E = en conductoes metálicos. Tenemos entonces las siguientes conclusiones paa un conducto:. En el inteio de un conducto aislado, la densidad de caga micoscópica seá ceo, esto es, ρ = ( i E) = en todas pates en el inteio de un conducto. v. La afimación implica que una caga neta sólo puede eisti en la supeficie del conducto. En ealidad, la caga eistiá en una egión ceca de la supeficie del conducto el campo eléctico penetaá ligeamente en el conducto. Desde un punto de vista macoscópico, supone que la caga está en la supeficie es una ecelente apoimación.

171 63 3. El campo electostático eteno en la supeficie del conducto es pependicula a la supeficie. i esto no fuese así, se ejeceían fuezas sobe la caga paa movela latealmente, ceando una condición no estática, lo que violaía nuestas pecondiciones. Además, si el conducto es finito está aislado, la caga se eacomodaá ella misma paa anula cualquie componente natual del campo eléctico alcanzado así una condición estática. 4. La magnitud del campo electostático en la supeficie del conducto es ρs ε, donde ρs es la densidad de caga supeficial. Esto se demuesta en la foma siguiente: i eiste un campo E fuea del conducto es ceo en el inteio del conducto, i E divege a infinito en la supeficie, lo que implica que allí eiste una densidad de caga infinita. En otas palabas, allí eiste una densidad de caga supeficial. Paa halla su magnitud, aplicamos la le de Gauss a un volumen en foma de disco que abaca un elemento de áea a. Confome el espeso del disco se encoge a ceo, el flujo eléctico en ambos lados del disco pependicula a la supeficie se vuelve despeciablemente pequeño puesto que el campo en la supeficie misma se aceca pependiculamente a ella. Como el campo en el inteio del conducto es ceo, el flujo total que sales del disco poviene del elemento de supeficie a fuea del conducto. i a es lo suficientemente pequeño, el flujo de E a tavés del elemento es dado po Ei a, donde E se toma como el valo en el cento de a. Como un esultado, se obtiene Q d = = ˆ a = = ρ Ei a Ei a Ei n ε de modo que en la supeficie del conducto a s s ε ρ ˆ s Ei n = o ρ ˆ s = εei n (3.5) ε Considéese ahoa un conducto ente cuos etemos eiste una difeencia de potencial V, como muesta la Fig Obseve que en este caso, E es difeente de ceo en el inteio del conducto como en el caso de la Fig. 3.. La difeencia es que no ha equilibio estático, a que el conducto no está aislado sino que está conectado a una fuente de fueza electomotiz, que hace que las cagas se muevan evita el establecimiento de un equilibio electostático. De modo que en este caso debe eisti un campo eléctico dento del conducto paa mantene el flujo de coiente. Confome los electones se mueven, encuentan cietas fuezas de amotiguamiento llamadas esistencia. Con base en la le de Ohm dada po la Ec. (3.3), se deivaá la esistencia de mateial conducto. E a l b + V Figua 3.3 upóngase que el conducto tiene una sección tansvesal unifome de áea longitud l. La diección del campo eléctico E poducido po la fuente etena es la misma que la

172 64 diección del flujo de las cagas positivas o de la coiente I. Esta diección es opuesta a la del flujo de electones. upóngase también que J E son unifomes; en este caso ab a b I = d = J Ji V = Eidl = Ei dl = Ei dl = El Como el conducto tiene una sección tansvesal unifome, o a I V J = = σ E = σ l V b l = σ La elación de la difeencia de potencial ente los dos etemos del conducto a la coiente que enta po el etemo más positivo es la esistencia del conducto, po tanto, I V l R = = I σ ab o R = ρl (3.6) c donde ρc = /σ es la esistividad del mateial. La Ec. (3.6) es útil paa detemina la esistencia de cualquie conducto que tenga una sección tansvesal unifome. i la sección tansvesal del conducto no es unifome, la Ec. (3.6) no puede aplicase. in embago, la definición básica de esistencia como el cociente ente la difeencia de potencial V ente los etemos del conducto la coiente que lo ataviesa todavía es aplicable. Po tanto, se genealiza el esultado la esistencia R de un conducto de sección tansvesal abitaia se define po V C R = = I σei d Ei dl (3.7) Obseve que se omite el signo negativo antes de V = Eidl poque Ei dl < si I >. La integal de línea de E se evalúa en una taectoia L ente dos puntos especificados. Aunque la fómula dada po la Ec. (3.7) es bastante sencilla en concepto foma, las integales no pueden evaluase antes de tene una solución detallada paa el campo E o paa la densidad de coiente J. Paa un conducto de foma geneal esto no posible nomalmente ha que ecui a métodos de análisis apoimados o epeimentales paa obtene la esistencia R. e puede fomula ota epesión paa R que demuesta más claamente las popiedades geométicas de la esistencia. Aquí se supone que se conoce la distibución del campo de la coiente en todas pates en el inteio del conducto. En la Fig. 3.4 se ilusta un

173 65 conducto geneal dos supeficies tansvesales equipotenciales i i+. uponga que la difeencia de potencial ente estas dos supeficies es V i. El volumen ente i i+ puede descomponese en vaios tubos de flujo elementales de longitud l i sección tansvesal j. Paa cada tubo elemental, la esistencia j es dada po La conductancia de este tubo de flujo es V i j = = I j g j E Ii σe σ = = j j Ii Como las conductancias en paalelo se suman diectamente, la conductancia total ente las supeficies i i+ es la esistencia coespondiente es i j σ j g j I (3.8) j j i G = = Ri = σ I j i j (3.9) En geneal, I i vaiaá en la sección tansvesal puesto que la sepaación ente las supeficies equipotenciales no es necesaiamente unifome. i dividimos todo el conducto en n de estas secciones, entonces la Ec. (3.9) es la esistencia de la i-ésima sección. La esistencia total es la combinación en seie de todas las R i es dada po R = (3.) i j σ Paa obtene una fómula significativa, se intoduce un conjunto adecuado de coodenadas cuvilíneas otogonales (véase la ección.). La distancia dl a lo lago de las líneas de flujo es dada po hdu. uponiendo las coodenadas u u3 sobe la supeficie de potencial constante, el áea de la sección tansvesal es dada entonces po = h h u u. Ahoa la Ec. (3.) se puede escibi como j 3 3 I i j l i ln i J i i+ n n+ Figua 3.4 Dos supeficies equipotenciales en un conducto abitaio.

174 66 R = = i hj i h j σh h u u ( ) ( u ) 3 3 ( u ) 3 h σh h h i ( u u ) puesto que u, u u3 son vaiables independientes debido a su otogonalidad mutua. En el límite se obtiene R = L du i 3 j j (3.) σhh3 du du 3 h que es claamente una función de la geometía del conducto solamente. Ejemplo. Resistencia de una Poción de un Resisto Esféico Considee una poción de un esisto esféico obtenida al cota una sección cónica de semiángulo θ, como se muesta en la Fig. 3.5(a). Las supeficies en los etemos = a = b se mantienen a potenciales V, espectivamente. En consecuencia, todas las supeficies = constante son supeficies equipotenciales. En una supeficie equipotencial, el elemento de áea d puede descibise en téminos de las coodenadas esféicas θ φ, como en la Fig. 3.5(b). La sepaación ente las supeficies equipotenciales es simplemente d. Figua 3.5. (a) Un esisto cónico; (b) coodenadas cuvilíneas otogonales en una supeficie equipotencial. Las coodenadas cuvilíneas u, u u3 los factoes de escala h, h h3 en este caso son u =, h = u = θ, h = u = φ, h = sen θ 3 3 Al aplica la Ec. (3.), se obtiene la siguiente epesión paa la esistencia:

175 67 b d R = = ( ) ( ) π θo σ π cos θ σ sen θ dθdφ a (3.) a = πσ cos θ b a ab b d El ecípoco de R se llama la conductancia G, su unidad es el siemens (). Paa un esisto lineal de sección unifome, σa G = = () (3.3) R l La potencia P (en vatios, W) se define como el itmo de cambio de la enegía W (en julios, J) o el poducto de la fueza po la velocidad. Po tanto, o v v v ( ) P = ρ dvei u = Ei ρ u dv P v v = dv Ei J (3.4) la cual se conoce como la le de Joule. La densidad de potencia w P (en W/m ) la da el integando en la Ec. (3.4); es deci, w P dp = = E J = σ dv i E (3.5) Paa un conducto con sección tansvesal unifome, dv = ddl, la Ec. (3.4) se conviete en o P = Ed l Jd = VI L P = I R Ejemplo. i J = 3 ( cos θ aˆ sen ˆ + θa θ ) (A/m ), calcúlese la coiente que pasa po (a) un cascaón hemisféico de adio cm, θ π/, φ π; (b) un cascaón esféico de cm de adio. olución: e tiene que I = Ji d, donde d = θdφ dθa en este caso. Entonces sen ˆ (a) π π π sen θ 3 θ= φ= =. I = cos θ sen θdφdθ = π = π (b) Aquí la única difeencia es que θ π en vez de θ π/ =.. Po tanto,

176 68 4π sen θ I = =. π Ejemplo 3. Conductancia de un Cable Coaial Los adios de los conductoes inteno eteno de un cable coaial l son a b, espectivamente, (Fig. 3.6). El mateial aislante tiene conductividad σ. Obtenga una epesión paa G, la conductancia po unidad de longitud de la capa aislante. olución: ea I la coiente total que flue desde el conducto inteno hacia el eteno a tavés del mateial aislante. A cualquie distancia del eje del conducto cental, el áea a tavés de la cual flue la coiente es A = πl. Po tanto, de J = σe, I I J = aˆ ˆ ρ = a ρ (3.6) A πl l E = a ˆ ρ (3.7) πσl En un esisto, la coiente flue desde el potencial más alto al más bajo. Po tanto, si J está en la diección a ˆ ρ, el conducto inteno debe esta a un potencial mao que el conducto eteno. En consecuencia, la difeencia de voltaje ente lo conductoes es V ab a = Ei dl = b I b = ln πσl a a b I πσl La conductancia po unidad de longitud es entonces aˆ ( ) ρ iaˆ d ρ (3.8) G I πσ G = = = = ( /m) (3.9) l Rl V l ln b a ab l I a I V ab + I b I 3.4 Polaización en Dielécticos Figua 3.6. Cable coaial del Ejemplo 3. En la ec. 3. se señaló que la pincipal difeencia ente un conducto un dieléctico eside en la disponibilidad de electones libes paa conduci coiente en las capas atómicas más alejadas del núcleo. En la ausencia de un campo eléctico, los electones en

177 69 cualquie mateial foman una nube simética en tono al núcleo, con el cento de la nube en la misma posición que el cento del núcleo. El campo eléctico geneado po el núcleo cagado positivamente atae sostiene la nube de electones a su alededo, la epulsión mutua de las nubes de electones de átomos adacentes le da a la mateia su foma. Aunque las cagas en un dieléctico no pueden movese libemente, las fuezas que impiden ese movimiento son finitas es de espea que se poduzca cieto desplazamiento cuando se aplica una fueza etena. Cuando un conducto se somete a un campo eléctico aplicado etenamente, los electones más débilmente ligados en cada átomo pueden salta fácilmente de un átomo al siguiente, estableciendo así una coiente eléctica. in embago, en un dieléctico, un campo eléctico aplicado etenamente E et no puede poduci migaciones de cagas a que éstas no pueden movese libemente. Paa entende el efecto macoscópico de un campo eléctico sobe un dieléctico, considéese un átomo del dieléctico como consistente de una caga negativa Q (nube de electones) una caga positiva +Q (núcleo). e puede tene una imagen simila paa una molécula de un dieléctico considea a todos los núcleos en las moléculas como cagas puntuales positivas, la estuctua electónica como una sola nube de caga negativa. Como se tienen cantidades iguales de cagas positivas negativas, todo el átomo o la molécula nomalmente es neuta no tiene momento de dipolo. Cuando se aplica un campo eléctico Eet, el núcleo del átomo tiende a movese en la diección de Eet en tanto que los electones en el átomo tienden a movese en la diección opuesta. Tan ponto como ocuen estos movimientos, se establecen fuezas elécticas estauadoas ente las cagas opuestas que tienden a egesa las condiciones a su estado oiginal. Estas fuezas estauadoas llevan el átomo al equilibio, con el cento de la caga positiva desplazado del cento de la caga negativa po una distancia mu pequeña, de modo que el átomo adquiee así un momento dipola inducido, se dice que el dieléctico como un todo está polaizado. En este estado, la nube electónica es distosionada po el campo eléctico aplicado E et. Esta distibución de caga distosionada es equivalente, po el pincipio de supeposición, a la distibución oiginal más un dipolo cuo momento es p = Qd (3.3) donde d es el vecto distancia diigido desde la caga electónica efectiva Q hasta la caga efectiva del núcleo +Q, p es el momento dipola del átomo. i ha N dipolos en un volumen v del dieléctico, el momento dipola total debido al campo eléctico es N d + d + + NdN = kdk k= Q Q Q Q (3.3) Como una medida de la intensidad de la polaización, se define la polaización P (en C/m 3 ) como el momento dipola po unidad de volumen del dieléctico (densidad de momento dipola); es deci, N Q d k k P = lím k= (3.3) v v

178 7 e conclue entonces que el pincipal efecto del campo eléctico E sobe un dieléctico es la ceación de momentos dipolaes que se alinean en la diección de E. Este tipo de dieléctico se llama no pola. Ejemplos de estos dielécticos son el hidógeno, oígeno, nitógeno los gases aos. Las moléculas no polaes no poseen dipolos hasta que no se aplica un campo eléctico. Además de la polaización inducida de los átomos, muchas sustancias tienen una polaización pemanente causada, po ejemplo, po el hecho de que las moléculas son asiméticas. Cuando dos átomos neutos se combinan paa foma una molécula, con fecuencia los electones de un átomo se desplazan hacia el segundo átomo, dando así a la molécula un momento dipola pemanente. Este momento pemanente usualmente es consideablemente mao que el momento dipola atómico inducido. Los dielécticos con moléculas que tienen momentos dipolaes pemanentes se denominan sustancias polaes. En el estado nomal, cuando no ha campo eléctico eteno E, la maoía de las sustancias polaes no tienen ninguna polaización a que la agitación molecula dependiente de la tempeatua esulta en una distibución aleatoia. in embago, ha algunas sustancias, llamadas feoelécticas, en las cuales la fueza de alineación es lo suficientemente fuete paa hacese senti a pesa del efecto de aleatoiedad del calo. Las moléculas polaes tienden a alinease con el campo eléctico eteno. Peo las moléculas no polaes también desaollan un momento dipola inducido en un campo eteno; ha difeentes mecanismos po los cuales un cuepo puede polaizase. En pácticamente todos los dielécticos, la polaización inducida po el campo no es una popiedad pemanente sino una que eiste solamente cuando E está pesente. Cuando se emueve el campo, el dieléctico egesa a su estado no polaizado nomal. Ha sustancias en las cuales se puede hace que la polaización se vuelva pemanente po un tiempo apeciable, aun después de emove el campo. Una sustancia de este tipo se denomina un electet. Es el análogo eléctico del imán pemanente; tienen aplicaciones impotantes en micófonos de alta fidelidad. Ahoa se calculaá el campo debido a un dieléctico polaizado. Considéese el mateial dieléctico mostado en la Fig. 3.7 el cual consiste de dipolos con momento P po unidad de volumen. De acuedo con la Ec. (.7), el potencial dv en un punto eteio P debido al momento del dipolo Pdv es (ve Fig. 3.8) Campo eteno E Figua 3.7

179 7 z dv' (', ', z') aˆ R R P(,, z) Figua 3.8 donde R ( ) ( ) ( z z ) dv' en (,, z ) Piaˆ dv R dv = 4 πε R (3.33) = + + R es la distancia ente el elemento de volumen el punto del campo P(,, z). e puede tansfoma la Ec. (3.33) en una foma que facilita la intepetación física. Es fácil demosta que el gadiente de /R con especto a las coodenadas con tilde es ˆ = R R ar. donde ' es el opeado nabla aplicado con especto a las coodenadas (,, z ) Entonces Aplicando la identidad vectoial i( ) Piaˆ R = Pi R R fa = f ia + Ai f, se obtiene i ˆ R P i = R R R P a P i (3.34) ustituendo esta elación en la Ec. (3.33) e integando sobe todo el volumen v del dieléctico, se obtiene P V = dv 4 i i P πε R R v la aplicación del teoema de la divegencia al pime témino conduce a la elación ˆ n V = Pi a d + ip dv (3.35) 4πε R 4πε R v donde a ˆ n es la nomal unitaia saliente desde la supeficie d' del dieléctico. Compaando los dos téminos en el lado deecho de la Ec. (3.35) con las Ecs. (.54) (.55) se ve que los dos téminos denotan el potencial debido a distibuciones de caga de supeficie de volumen (las tildes no se necesitan):

180 7 ρ Pi aˆ (3.36) ps n ρpv i P (3.37) En otas palabas, la Ec. (3.35) evela que si ocuiese polaización, en todo el dieléctico se fomaá una densidad de caga de volumen equivalente ρ pv, en tanto que en la supeficie se fomaá una densidad de caga de supeficie equivalente ρ ps. A a ρ pv ρ ps se les efiee como densidades de caga de polaización de volumen supeficie ligadas, paa difeencialas de las densidades de cagas libes ρ v ρ s. Las cagas ligadas son aquellas que no tienen libetad de movimiento en el inteio de un mateial dieléctico; son poducidas po el desplazamiento que ocue en una escala molecula duante la polaización. Las cagas libes son aquellas capaces de movese distancias macoscópicas, como lo hacen los electones en un conducto; esto se puede contola. La caga ligada positiva total en la supeficie que delimita al dieléctico es b Pi ps (3.38) Q = d = ρ d en tanto que la caga que pemanece en el inteio de es Qb = ρ pvdv = i P dv (3.39) v i todo el dieléctico ea elécticamente neuto antes de la aplicación del campo eléctico si no se ha añadido caga libe, el dieléctico pemaneceá elécticamente neuto. De modo que la caga total en el dieléctico pemaneceá igual a ceo, es deci, caga total = ρ d + ρ dv = Q Q = v ps pv b b Considéese ahoa el caso en que la egión dieléctica contiene cagas libes. i ρv es la densidad de volumen de caga libe, la densidad de caga de volumen total ρ t es dada po Po tanto, donde ρ t = ρ v + ρ pv ρ = iε E ρ v v = i ε E (3.4) ( E P) = i ε + = id pv (3.4) D = ε E + P (3.4) e conclue que el efecto neto del dieléctico sobe el campo eléctico E es el de incementa la densidad de flujo eléctico D en su inteio po una cantidad P. En otas palabas, la aplicación de E al mateial dieléctico hace que la densidad de flujo sea mao que lo que seía en el espacio libe. e debe señala que la definición de D en la Ec. (.3) paa el espacio libe es un caso especial de la dada en la Ec. (3.4), a que P = en el espacio libe; también que D es ealmente la densidad debida a las cagas libes. En algunos dielécticos, P es popocional al campo eléctico aplicado E, se tiene que

181 73 P = χ ε E (3.43) donde χe, conocida como la susceptibilidad eléctica del mateial, es, en cieta foma, una medida de lo susceptible que es un dieléctico dado a campos elécticos. La Ec. (3.43) es mu conveniente en poblemas que tatan con dielécticos. 3.5 Constante Resistencia Dielécticas ustituendo la Ec. (3.43) en la Ec. (3.4), se obtiene o donde e ( ) e D = ε + χ E = ε ε E (3.44) D = εe (3.45) ε = ε ε (3.46) ε ε = + χ = (3.47) ε En las Ecs, (3.44) a (3.47), ε se denomina la pemitividad del dieléctico, ε es la pemitividad del espacio libe ε se conoce como la constante dieléctica o pemitividad elativa. La constante dieléctica (o pemitividad elativa) ε es el cociente ente la pemitividad del dieléctico la del espacio libe. La polaización del dieléctico se epesa en téminos de la pemitividad elativa, po tanto, las cagas de polaización no tienen que considease en una foma eplícita. También se debe señala que los paámetos ε χ e son adimensionales en tanto que ε ε están en faadios po meto. Ejemplo 4. Una caga puntual positiva Q está situada en el cento de un cascaón dieléctico de adio inteno i adio eteno e (Fig. 3.9a). La constante dieléctica es ε. Detemine E, V, D P en función de la distancia adial. olución: Debido a la simetía esféica, se aplica la le de Gauss paa halla los campos E D en tes egiones; (a) > e; (b) i < < e; (c) < i. (a) Paa > e: o Q d E 4 Ei = π = ε E 4 e Q = πε

182 74 De las Ecs. (3.44) (3.4), se obtiene que (b) En la egión i < < e: Q V = E d = 4 πε Q D, = ε E = P = 4π La aplicación de la le de Gauss en esta egión poduce los esultados E D Q = = 4πεε 4πε Q = ε E = 4 π P = Q ε 4π Obseve que la epesión paa D es la misma que paa D que tanto E como P tienen una discontinuidad en = e. En esta egión (c) Región < i: e Q V E d E d V d Q = + 4πε ε e ε Q = = = 4 πε e e Puesto que aquí el medio es el mismo que en la egión > e, la aplicación de la le de Gauss poduce los mismos esultados paa los campos E, D P: Ahoa se calculaá V 3: E D Q = πε = 3 Q =, P = 4π 3 3 V = V E d i i Q = + 4πε ε e ε i Las vaiaciones de D V con la distancia adial se gafican en las Figs. 3.9b c. Obseve que V es una cuva continua.

183 75 Dieléctico e i D (a) V O i e O i e (b) (c) Figua 3.9 La teoía sobe dielécticos pesentada hasta ahoa supone dielécticos ideales; éstos no eisten en la páctica. i el campo eléctico es mu fuete, sacaá electones completamente de las moléculas. Los electones se aceleaán bajo la influencia del campo eléctico, chocaán violentamente con la estuctua de las moléculas poducián daños pemanentes en el mateial; se poduce lo que se denomina un efecto de avalancha. El dieléctico se vuelve conducto pueden esulta coientes mu gandes. Este fenómeno se conoce como uptua dieléctica. La uptua dieléctica ocue en todo tipo de mateiales dielécticos depende de la natualeza del mateial, de la tempeatua, humedad del tiempo de aplicación del campo eléctico. La máima intensidad de campo eléctico que un dieléctico puede sopota sin uptua se denomina la esistencia dieléctica del mateial. La esistencia dieléctica del aie, po ejemplo, es de 3 kv/mm. Cuando la intensidad del campo sobepasa este valo, el aie se ompe. Ocue ionización masiva seguida po chispooteo (descaga coona). La caga tiende a concentase en puntos agudos, po lo que el campo en estos puntos es mucho más alto que en puntos con una meno cuvatua. Los paaaos se basan en este pincipio. 3.6 Dielécticos Lineales, Isótopos Homogéneos Como a se mencionó, un dieléctico es lineal si D vaía linealmente con E; de lo contaio es no lineal. Los mateiales paa los cuales ε o σ no vaían en la egión bajo consideación po tanto son los mismos en todo punto (es deci, independientes de la posición) se dicen homogéneos. e llaman no homogéneos cuando ε depende de las coodenadas espaciales. La atmósfea es un ejemplo típico de un medio no homogéneo; su pemitividad vaía con la altitud. Los mateiales paa los cuales E D están en la misma diección se denominan isótopos. Es deci, los dielécticos isótopos son aquellos que tienen las mismas popiedades en todas las diecciones. Paa mateiales anisótopos, D, E P no son paalelos; ε o χ tiene nueve componentes a los que colectivamente se les efiee como un tenso. Po ejemplo, en vez de la Ec. (3.45), se tiene

184 76 D ε ε εz E D = ε ε ε z E Dz εz εz εzz Ez (3.48) paa mateiales anisótopos. Los mateiales cistalinos el plasma magnetizado son ejemplos de medios anisótopos. En cistales, los ejes de efeencia pueden escogese en las diecciones de los ejes pincipales del cistal, de manea que los téminos fuea de la diagonal de la matiz de pemitividad en la Ec. (3.48) sean ceo. e tiene entonces que D ε E D = ε E Dz ε3 Ez (3.49) Los medios que tienen la popiedad epesentada po la Ec. (3.49) se llaman biaiales. i también ε = ε, se dice que el medio es uniaial. Po supuesto, si ε = ε = ε3, entonces se tiene un medio isótopo. Un mateial dieléctico paa el cual D = εe aplica es lineal si la pemitividad ε no cambia con el campo E aplicado, homogéneo si ε no cambia de punto a punto e isótopo si ε no cambia con la diección. Aunque las Ecs. (3.33) a (3.4) son paa mateiales dielécticos en geneal, las Ecs. (3.43) a (3.45) son sólo paa mateiales lineales e isótopos. La misma idea es válida paa un mateial no conducto en el cual J = σe aplica. El mateial es lineal si σ no vaía con E, homogéneo si σ es la misma en todo punto e isótopo si σ no vaía con la diección. La mao pate del tiempo sólo estaemos inteesados en medios lineales, homogéneos e isótopos. Paa estos medios, todas las fómulas deivadas en el Capítulo paa el espacio libe pueden aplicase simplemente eemplazando ε po ε ε. Ejemplo 5. Una esfea dieléctica de adio a pemitividad ε tiene una caga puntual Q colocada en su cento. Calcule: (a) la densidad supeficial de caga de polaización en la supeficie de la esfea; (b) la fueza ejecida po la caga sobe una caga puntual Q colocada en la supeficie de la esfea. olución: (a) Tomando el oigen como la ubicación de la caga Q, la intensidad de campo eléctico a una distancia a es dada po También entonces Q E = 4 πε ε a a ˆ χ Q P = χ ε E = a πε e ˆ e 4 a ρ = Pi aˆ = (b) De la le de Coulomb, se obtiene que ps ( ε ) Q 4πε a

185 77 F Q Q = Q E = a ˆ πε ε 4 a Ejemplo 6. Una esfea dieléctica de pemitividad ε adio R tiene su cento en el oigen de un sistema de coodenadas esféicas está polaizada adialmente con P = ka, donde k es una constante. Evalúe el potencial eléctico en el cento de la esfea. olución: Puesto que no ha cagas libes (dieléctico), ρ ( ) v = i P = k = 3k De la le de Gauss, en el inteio de la esfea, se tiene que ( ) ( 3 ) D k D π = k π o E = = 3 ε ε Po tanto, V en el cento de la esfea es dado po R k kr V = E d = d d = ε ε 3.7 La Ecuación de Continuidad el Tiempo de Relajación La Ec. (3.4) establece que la coiente total a tavés de una supeficie es dada po I R = d Ji upóngase ahoa que la supeficie en esta ecuación es ceada. En vitud de la definición de coiente como el flujo de caga que ataviesa una supeficie, se deduce que la integal de supeficie en la Ec. (3.4) debe medi la pédida de caga en la egión enceada po la supeficie. No ha evidencia epeimental que indique que bajo cicunstancias odinaias la caga puede se ceada o destuida (pincipio de consevación de la caga, Capítulo ). Po tanto, se puede escibi que d Ji d = ρvdv (3.5) dt v donde v es el volumen enceado po. Esta ecuación puede considease como una elación que epesa la consevación de la caga. El flujo de caga que cuza la supeficie puede oiginase de dos fomas. La supeficie puede esta fija en el espacio la densidad ρ v puede se una función tanto de las coodenadas como del tiempo; o la densidad de caga puede se invaiable en el tiempo, la supeficie se mueve en alguna foma pescita. En este último caso, la integal en el lado deecho de la Ec. (3.5) es una función del tiempo debido a límites vaiables. in embago, si la supeficie es fija la integal convegente, se puede eemplaza el opeado d/dt po una deivada pacial dento del signo de integación. Así pues, ˆ

186 78 ρv Ji d = dv (3.5) t v Aplicando ahoa el teoema de la divegencia a la Ec. (3.5), la integal de supeficie cambia a una integal de volumen; es deci, o v i Jdv = v ρ t v dv ρv i J + dv = (3.5) t v El integando de la Ec. (3.5) es una función continua de las coodenadas po tanto deben eisti pequeñas egiones dento de las cuales el integando no cambia de signo. i la integal debe anulase paa volúmenes abitaios v, es necesaio que el integando sea idénticamente igual a ceo en todas pates. En consecuencia, se obtiene la ecuación difeencial ρv i J + = (3.53) t que epesa la consevación de la caga en el entono de un punto. En analogía con una elación equivalente en hidodinámica, a la Ec. (3.53) se le efiee como la ecuación de continuidad (a mencionada en el Cap. ). i la densidad de caga es constante en todo punto de una egión especificada, la coiente que enta a la egión a tavés de la supeficie de la fontea debe se igual, en todo momento, a la coiente que sale. Entonces, paa la supeficie cicundante, en todo punto inteio, d = Ji (3.54) i J = (3.55) Cualquie movimiento caacteizado po cantidades escalaes o vectoiales que son independientes del tiempo se conoce como estacionaio. Así, un flujo de electicidad estacionaio se define mediante un vecto J que en todo punto en el inteio de una egión es constante en diección magnitud. Debido al caácte no divegente de esta distibución de coiente, se deduce que en el estado estacionaio, todos los filamentos de coiente se ciean sobe sí mismos. El campo del vecto J es solenoidal. También, la le de coientes de Kichhoff se deduce de la Ec. (3.55). Un teoema fundamental es el siguiente: En el inteio de una egión donde la conductividad no es ceo, no puede eisti una distibución pemanente de caga libe. Esto se pude demosta fácilmente cuando el medio es homogéneo las elaciones ente D E J E son lineales. Po la ecuación de continuidad se tiene ρv ρ ( ) v i J + = i σ E + = (3.56) t t

187 79 Po ota pate, en un medio homogéneo, que al combinase con la Ec. (3.56) conduce a ρ v i E = ε ρ t v σ + ρ v = ε (3.57) De manea que la densidad de caga en cualquie instante es v σ t v e ε ρ = ρ (3.58) donde la constante de integación ρv es la densidad de caga en el instante t =. La distibución inicial de la caga en el conducto decae eponencialmente con el tiempo en una foma completamente independiente del campo aplicado. i la densidad de caga es inicialmente ceo, pemaneceá igual a ceo paa todo tiempo posteio. El tiempo ε τ = σ (3.59) equeido paa que la caga en cualquie punto decaiga a /e (= 36.8%) de su valo oiginal se denomina el tiempo de elajación de la caga. upóngase que inicialmente la caga está concentada en alguna egión de un cuepo conducto. Esta caga inicial comienza a desvanecese en foma eponencial, peo según la Ec. (3.58), ninguna caga puede eapaece dento del conducto. Qué le sucede? Puesto que la caga se conseva, el decaimiento de la caga en la egión inicial debe esta acompañado po un flujo (o coiente) que sale de ella. La caga no se puede acumula en ningún oto punto inteio; así que el flujo no tiene divegencia. in embago, seá detenido en la supeficie etena del conducto es allí donde eapaece la caga que se pedió en la egión inicial. Ecepto en los peoes conductoes, el valo de τ es etemadamente pequeño. Es coto paa buenos conductoes lago paa buenos dielécticos. Po ejemplo, paa el cobe es de apoimadamente.53 9 segundos, paa el cuazo fundido es de 5. días. Así que se puede considea que paa buenos conductoes la caga se anulaá en cualquie punto inteio eapaeceá en la supeficie casi instantáneamente, en tanto que paa buenos dielécticos la caga intoducida pemaneceá allí po mucho tiempo. 3.8 Condiciones de Fontea Hasta ahoa sólo se ha consideado la eistencia del campo eléctico en un medio homogéneo. i el campo eiste en una egión consistente de dos o más medios difeentes, aun cuando el campo sea continuo en cada uno de los medios, puede se discontinuo en las fonteas ente ellos; las condiciones que debe cumpli el campo en la intefaz que sepaa los medios se denominan condiciones de fontea. Obviamente, estas condiciones seán dictadas po los tipos de mateiales que confoman los medios. En lo que sigue, se supone que los campos son finitos en la supeficie de fontea ente los medios. Considéese ahoa dos medios difeentes en contacto, como muesta la Fig. 3.. Evaluando la elación integal dada po la pimea le de Mawell paa campos estáticos

188 8 ( ˆ ) d = n E en el volumen indicado en la figua, cuando h h tienden a ceo, se encuenta que ( ) nˆ E + nˆ E = nˆ E E = (3.6) Esta ecuación epesa que las componentes tangenciales de los vectoes de la intensidad de campo son continuas al pasa del medio al medio ; es deci, E = E (3.6) t t Puesto que Dt = ε Et Dt = ε Et, la condición de fontea paa la componente tangencial de la densidad de flujo eléctico es D ε D = ε t t (3.6) Medio ˆn h h Medio ˆn Figua 3.. Deteminación de las condiciones de fontea. Paa deduci la condición que deben cumpli las componentes nomales de los vectoes del campo, se usaá la ecuación ( nˆ id) d = ρdv (3.63) se supondá que la supeficie de sepaación ente los medios puede sopota una densidad de caga supeficial dada po la elación Entonces, po la Ec. (3.63), h V ( h h ) ρ = lím ρ + ρ (3.64) s ( ) nˆ id + nˆ ˆ id = ni D D = ρ s (3.65) la cual indica que la pesencia de una capa de caga en la intefaz esulta en un cambio abupto de la componente nomal del vecto de la densidad de campo D; es deci, la componente nomal de D es discontinua al pasa de un medio a oto la cantidad de la discontinuidad es igual a la densidad de caga supeficial pesente, esto es, D D = ρ (3.66) n n s la condición de fontea coespondiente paa el campo E es

189 8 ε E ε E = ρ (3.67) n n s De las condiciones de fontea se deduce que los vectoes E D cambian de diección en la fontea ente dos dielécticos. En la Fig. 3., si no ha una distibución de caga en la fontea, se tiene entonces que o D cos θ = D cosθ ε E cosθ = ε E cosθ E sen θ = E sen θ A pati de estas dos últimas ecuaciones, se obtiene que o ε cot θ = ε cot θ tan θ ε ε = = tan θ ε ε ε θ ε θ Figua 3.. Condiciones de fontea ente dos dielécticos. Ejemplo 7. En la Fig. 3., si el medio es un dieléctico el medio un conducto, entonces, bajo condiciones estáticas, D = E =. Po tanto, según las condiciones de fontea Po tanto, D ρ = ρ E = ε n s n E t = E θ = = E t tan e conclue que una línea de un campo eléctico estático en la fontea ente un dieléctico un conducto es siempe pependicula a la supeficie del conducto (cuando no ha coientes pesentes). n s

190 8 Ejemplo 8. Una esfea conductoa de adio a con una caga Q está sumegida hasta la mitad en un líquido no conducto de constante dieléctica ε (Fig. 3.). Hállese el campo eléctico fuea de la esfea la densidad de caga en la supeficie de la esfea. Q a ε Figua 3. olución: Aplicando la le de Gauss a la supeficie de adio que enciea la esfea, da líquido Di d = D i d + D i d = Q donde son las pates de la supeficie gaussiana que pasan po el líquido po el aie, espectivamente. La geometía del poblema sugiee que el campo es adial en todas pates, de manea que Di d = Dd. También sugiee que D líquido es constante en todos los puntos de que Daie lo es también en todos los puntos de, de manea que puede se factoizada sacada de las integaciones. Po tanto, se puede escibi o líquido aie aie D d + D d = Q ( ) líquido aie D + D π = Q (3.68) Donde π es el áea de. Ahoa bien, se sabe que D líquido = ε ε E líquido D = ε E. Como el campo es adial, es tangente a la fontea ente el líquido el aie, aie aie po tanto, la condición de fontea establece que E líquido = E aie. Entonces no se necesitan los subíndices en E se puede escibi Dlíquido = εε E Daie = ε E. ustituendo estas elaciones en la Ec. (3.68), se obtiene o ( ) ( ) ε ε E + ε E π = ε ε + E π = Q Q E = πε ε + ( ) la cual da el campo eléctico en ambos medios. La densidad del campo es entonces D líquido εq Q =, D = π ε + π ε + aie ( ) ( ) La densidad de caga supeficial en la esfea es igual a la densidad de campo en la supeficie de la esfea, de manea que

191 83 en la mitad sumegida, en la ota mitad. ε Q σ = π ε + ( ) a Q σ = π ε + ( ) a 3.9 Condiciones de Fontea paa la Densidad de Coiente Cuando una coiente ataviesa oblicuamente una intefaz ente dos medios de conductividades difeentes, el vecto de la densidad de coiente cambia tanto de diección como de magnitud. e puede deiva un conjunto de condiciones de fontea paa J en una foma simila a la usada en la ec. 3.8 paa obtene las condiciones de fontea paa D E. Del análisis anteio, se sabe que la componente nomal de un campo vectoial no divegente es continua al pasa una intefaz (Fig. 3.3). Po tanto, de la elación i J = se tiene que J = J (3.69) n n En la misma foma, la componente tangencial de un campo vectoial no otacional es J σ =, se conclue entonces que continua al atavesa una intefaz. De la ecuación ( ) J J σ = (3.7) σ t t La Ec. (3.7) establece que el cociente ente las componentes tangenciales de J en los dos lados de una intefaz es igual al cociente ente las conductividades. Compae las condiciones de fontea paa la densidad de coiente en medios óhmicos con las condiciones de fontea paa la densidad de flujo electostático en una intefaz de medios dielécticos donde no ha cagas libes, obseve una analogía eacta de J σ con D ε. Combinando las Ecs. (3.69) (3.7) obsevando la definición de θ θ en la Fig. 3., se puede escibi que po tanto J J tan θ = tan θ = t t Jn Jn σ tan θ = tan θ σ (3.7) i la egión es un buen conducto la egión un aislante, entonces σ >> σ la coiente sale de la supeficie en el medio fomando ángulos ectos. Esto coesponde al equeimiento de que el campo eléctico sea nomal a la supeficie de un buen conducto.

192 84 σ, ε θ J θ σ, ε 3. Capacitancia Capacitoes Figua 3.3. Refacción de las líneas de coiente. Considéese un sistema de dos conductoes de foma abitaia, uno con una caga +Q el oto con una caga Q, que todos los demás cuepos en el sistema están suficientemente alejados no tienen ninguna influencia sobe los dos conductoes (Fig. 3.4). No ha flujo de coiente (condiciones estáticas), de modo que Etangencial = en las supeficie de los cuepos metálicos la supeficie en cada uno de los conductoes es una supeficie equipotencial. La caga neta en cada cuepo eside completamente en su supeficie; de manea que todas las líneas de E que se oiginan en el cuepo positivo teminan en el cuepo negativo. Po la le de Gauss, el flujo de E que sale del cuepo positivo es Q/ε, es la misma magnitud del flujo de E que temina en el cuepo negativo Q V E Q Figua 3.4 i se añade caga adicional a un cuepo, entonces se poducián algunas líneas de E que deben temina en otos cuepos o en infinito. Peo cuando se le da una caga adicional Q al cuepo positivo, también se le daá una caga Q al cuepo negativo, no se ceaán líneas adicionales de E en otas egiones; el único efecto seá el aumento de flujo de E ente los dos cuepos. Ahoa es azonable supone que la caga añadida Q se distibuiá en la supeficie en la misma foma que se distibuó la caga oiginal Q: la densidad ρ s en cualquie punto en la supeficie seá multiplicada po algún facto constante α, independiente de la posición. Esto significa que la distibución de las líneas de E pemaneceá inalteada, a que la intensidad la difeencia de potencial ente los dos cuepos seán multiplicadas po el mismo facto α. Peo si Q pasa a αq la difeencia de potencial ente los cuepos pasa de V a αv, de la linealidad se deduce entonces que V debe se popocional a Q:

193 85 o Q = CV (3.7) Q C = (3.73) V donde C es una constante. La constante de popocionalidad C se denomina la capacitancia del sistema constituido po los dos cuepos su unidad es el faadio, que es simplemente la elación culombio/voltio (C/V). La capacitancia definida po la Ec. (3.7) es una popiedad física del sistema de dos conductoes depende eclusivamente de la geometía de la pemitividad del medio ente los conductoes. No depende ni de la caga Q ni de la difeencia de potencial V. Es impotante nota cómo se deben toma Q V, a que C podía adquii un signo negativo que no tiene ningún sentido. Esta posibilidad se puede evita si se toma como convención supone que el cuepo está cagado negativamente, de manea que Q >. i movemos una caga de pueba de a, se debe ealiza tabajo, a que la caga de pueba es epelida po el cuepo. De modo que V > la Ec. (3.73) daá entonces C >. Ejemplo 9. Un capacito de placas paalelas pesenta una geometía sencilla paa ilusta el cálculo de la capacitancia; consiste de dos placas paalelas de áea sepaadas po una distancia unifome d (Fig. 3.5), la cual es pequeña en compaación con la meno dimensión lineal de las placas. El espacio ente las placas está ocupado po un dieléctico de pemitividad constante ε. Detemina su capacitancia. olución: Paa obtene la capacitancia de la geometía dada, se colocan cagas +Q Q en las placas conductoas supeio e infeio, espectivamente, se supone que las cagas se distibuen unifomemente poduciendo las distibuciones supeficiales +ρs ρs, donde ρ = Po la condición de fontea en = d, la intensidad de campo eléctico es s Q ρ ˆ s Q E = a = ε ε el cual es constante en el dieléctico si se despecian los efectos de los bodes sobe el campo eléctico (se supones que las dimensiones lineales de las placas son mucho maoes que la distancia de sepaación ente ellas). Entonces d d Q Q V = E i d l = ˆ a ( ˆ i d) = d ε a ε = la capacitancia es Q ε C = = (3.74) V d la cual es independiente de Q de V.

194 86 d +Q E E ε Figua 3.5. Capacito de placas paalelas. Ejemplo. Capacitancia de un capacito esféico. e coloca una caga +Q en la supeficie de una esfea metálica de adio R ; una caga Q eside en la supeficie intena de una esfea concéntica de adio R > R (Fig. 3.6). e deteminaá la capacitancia de este capacito esféico. olución: Ya sea que la esfea intena sea sólida, o un cascaón de espeso finito o una supeficie matemática de espeso ceo, el valo de E en cualquie punto con < R es ceo bajo condiciones electostáticas. Esto puede demostase mediante la aplicación de la le de Gauss a una esfea ficticia de adio < R : puesto que la caga en el inteio de esta esfea es ceo, también lo es el flujo de E en la supeficie, E mismo debe se ceo debido a la simetía. Q +Q R R Figua 3.6. Capacito esféico. Paa la egión > R, la aplicación de la le de Gauss de nuevo poduce el mismo esultado, a sea que el punto esté dento del metal de la esfea etena o completamente fuea del cascaón. Po tanto, el campo electostático eiste solamente ente la supeficie eteio de la esfea intena la supeficie inteio de la esfea etena: Entonces V = R R Ei d R Q d Q = = 4πε 4πε R R R

195 87 Q 4πε R R = = = πε R R C 4 V R R (3.75) i R, se obtiene la capacitancia de una esfea aislada. La capacitancia de la esfea aislada es 4πε R. El esultado paa la capacitancia de un capacito de placas paalelas dado po la Ec. (3.74) puede obtenese a pati de la Ec. (3.75) en la foma siguiente: upóngase que d d R = R +, R = R R es el adio pomedio d es la sepaación ente las placas. uponga que R con d constante. Entonces R R = d, RR d C 4πεR /d = εesfea/d. i las áeas a considea son las de las placas, es deci, en vez de esfea, donde es sólo una pate de esfea, entonces la capacitancia se educiá popocionalmente: ε C = d que el mismo esultado obtenido anteiomente. Este esultado es apoimado debido a que las condiciones cambian cuando el capacito de áea, oiginalmente consideado como pate de un capacito esféico, es desconectado emovido paa eisti po sí mismo. Como pate un capacito esféico, todas las líneas de E son adiales. in embago, cuando el capacito de áea es emovido, las líneas de E no pemanecen inalteadas. La Fig. 3.7 muesta el efecto de los bodes sobe las líneas de E. E Figua 3.7. Distosión del campo en los bodes de un capacito de placas paalelas. Ejemplo. Capacitancia de una línea coaial. Un capacito cilíndico (línea coaial) consiste de un conducto inteno de adio a un conducto eteno cuo adio inteno es b (Fig. 3-8 ). El espacio ente los conductoes está ocupado po un dieléctico de pemitividad ε la longitud del capacito es l. e calculaá la capacitancia de esta geometía. olución: Paa un voltaje aplicado V, se acumulaán cagas +Q Q en las supeficies etena e intena de los cilindos. e supone que estas cagas se distibuen unifomemente en toda la longitud l de los conductoes poducián densidades lineales: ρl = Q/l en el conducto eteno ρl en el conducto inteno. Ignoando los efectos de distosión del campo en los etemos del capacito, podemos constui una supeficie gaussiana en el dieléctico, en tono al conducto inteno, con adio ρ, a < ρ < b. La epesión paa E es simila a la del campo paa la línea infinita de caga, es deci, E ρl Q = ˆ ˆ ρ = περ a περ a La difeencia de potencial V ente los conductoes es l ρ

196 88 b b Q dρ V d ˆ = = ρ dρ Ei l πεl ρ a i a a a ( ˆ ρ ) Q b = ln πεl a la capacitancia es entonces Q πεl C = = V ln b a (3.76) ( ) La capacitancia po unidad de longitud del capacito cilíndico (línea coaial) es πε C = ( F/m) (3.77) ln ( b a) l + E + + E E + + E + + a b + V Figua 3.8. Un capacito cilíndico Ejemplo. Considee un capacito de placas paalelas con sepaación d áea de placas, como en la Fig La egión ente las placas está llena de dos láminas dielécticas de espeso d con paámetos ε, σ ε, σ. e aplica un potencial V ente las placas. Calcula la densidad de caga supeficial en la fontea que sepaa los dos dielécticos. ρ s ε, σ ε, σ E J E J d d d Figua 3.9. Capacito lleno de dielécticos con pédidas. olución: Cuando se alcanzan las condiciones de égimen estacionaio (campos estáticos), el campo eléctico debe satisface las siguientes condiciones: En consecuencia, E Ed + Ed = V J = σ E = J = σ E ρ s = εe ε E σ V =, E = σ + σ d σ + σ σ V d

197 89 la densidad de caga supeficial en la fontea ente las placas es ε σ ε σ ρ s = σ + σ Los capacitoes que se han descito hasta ahoa tienen geometías sencillas que conducen a campos que se deteminan fácilmente. Las geometías de planos paalelos cilíndicas ciculaes se utilizan ampliamente en la páctica a menudo con un elleno dieléctico. En pincipio, paa un áea supeficial dada, la capacitancia puede aumentase indefinidamente educiendo la sepaación ente los conductoes; sin embago, paa una difeencia de potencial dada, la educción está limitada po la necesidad de evita que el campo se haga demasiado gande se poduzca una uptua eléctica. La foma estánda de obtene una gan áea supeficial es mediante la constucción de un apilamiento de placas paalelas: las placas se conectan como dos conjuntos entelazados la capacitancia es evidentemente el númeo de espacios multiplicado po la capacitancia de un pa de placas adacentes. 3. Relación Resistencia Capacitancia En la ec. 3. se estudió el pocedimiento paa halla la capacitancia ente dos conductoes sepaados po un medio dieléctico. Estos conductoes pueden tene fomas abitaias. Allí se deteminó que, en téminos de las cantidades del campo eléctico, la fómula básica paa la capacitancia puede escibise como Q V d Di d εei d C = = = V i d i d L E l E l L (3.78) donde la integal de supeficie se evalúa en una supeficie que enciea el conducto positivo los límites de la integal de línea van del conducto negativo (potencial meno) al conducto positivo (potencial mao). Cuando el medio dieléctico tiene una conductividad pequeña peo difeente de ceo, se estableceá una coiente en el medio ente los conductoes. i el medio es isótopo, entonces la le de Ohm da que J = σe. La esistencia ente los conductoes es V L L R = = = I i d σ i d Ei dl Ei dl J E (3.79) donde las integales en la Ec. (3.79) se evalúan en la misma foma que las integales en la Ec. (3.78). Compaando estas dos últimas ecuaciones, se obseva que se poduce la siguiente elación: C RC G ε = = σ (3.8)

198 9 Esta ecuación es válida siempe que la pemitividad ε la conductividad σ tengan la misma dependencia espacial o si el medio es homogéneo. En estos casos, si se conoce la capacitancia ente dos conductoes, se puede obtene la esistencia diectamente a pati del cociente ε/σ sin cálculos adicionales. Ejemplo 3. En el Ejemplo se obtuvo la capacitancia po unidad de longitud de un cable coaial [Ec. (3.77)] como πε C = ln ( b a) ( F/m) Po tanto, la esistencia ente los dos conductoes concénticos (también llamada esistencia de fuga) es, po la Ec. (3.8), b R ε = = ln ( Ω m ) σ C πσ a Ejemplo 4. Un capacito con dieléctico de aie está fomado po dos cilindos metálicos concénticos. El cilindo eteno tiene un adio de cm. (a) Cuál debe se el adio del conducto inteno que pemitiá una difeencia de potencial máima ente los conductoes antes de que ocua la uptua del dieléctico de aie? (b) Calcule el potencial máimo paa la uptua en el aie de 3 6 V/m. olución: (a) ea E la intensidad del campo de uptua en el aie sean R R los adios e los conductoes inteno eteno, espectivamente. i λ es la caga po unidad de longitud en cada conducto, se usa la le de Gauss paa obtene la intensidad del campo eléctico en el capacito la difeencia de potencial ente los dos conductoes como λ λ λ E = a ˆ, V = dρ = πε ρ πε ρ πε R ρ R R R ln Como el campo eléctico ceca de la supeficie del conducto inteno es el más fuete, se tiene entonces E = λ πε R En consecuencia, se obtiene V R = E R ln R dv R R R R = E ln R E ln dr + R R R = R Paa obtene la máima difeencia de potencial, R debe se tal que dv dr =, es deci, ln ( R R ) = o R = R e. La difeencia de potencial máima es entonces

199 9 V má R = E e (b) El potencial máimo paa uptua en el aie es V má = R e = e = 3. Enegía en el Campo Electostático E V Esta pate es mu semejante a la desaollada en la ec. -3, ecepto que ahoa se analiza en una foma más geneal al inclui medios mateiales. El tabajo ejecido sobe una caga puntual Q situada en el campo de una distibución de caga estacionaia es QE, el tabajo ealizado paa desplaza Q desde un punto = hasta un segundo punto = es We = Q Ei dl (3.8) Puesto que en un campo electostático, el otacional de E se anula, entonces E se puede escibi como el negativo del gadiente del potencial escala V se tiene entonces que Ei dl = Vi dl = dv (3.8) donde dv es el cambio del potencial a lo lago de un elemento dl de la taectoia de integación. De aquí se ve claamente que el tabajo ealizado al desplaza Q desde hasta es independiente de la taectoia sólo es función de los valoes inicial final del potencial (esto se efiee a valoes espaciales, no tempoales): e [ ( ) ( )] W = Q dv = Q V V (3.83) Como a se ha visto, si todas las fuentes de un campo electostático están situadas a distancias finitas de un oigen abitaio, el potencial las intensidades del campo se hacen mu pequeños en puntos que estén lo suficientemente distantes. Po tanto, el tabajo ealizado po una caga Q cuando pasa desde un punto = hasta un punto = es W = QV ( ) (3.84) Obviamente, el potencial escala po sí solo puede intepetase como el tabajo ealizado conta las fuezas del campo paa lleva la caga desde el infinito hasta el punto ; es deci, V ( ) = d Ei l (3.85) El témino enegía de un sistema electostático se utilizaá paa indica el tabajo ealizado sobe el sistema al tanspota sus elementos de caga desde el infinito hasta la distibución espacial especificada a tavés de pasos ievesibles. Aquí se supondá que la tempeatua de todo el mateial dieléctico o magnético en el campo se mantiene

200 9 constante. La demostación que se da a continuación es semejante a la dada en la ección.3. La enegía paa coloca una caga puntual Q en el campo de una sola caga puntual Q es We = Q V (3.86) donde V es el potencial en Q poducido po Q. Ahoa bien, el tabajo ealizado paa tae a Q desde el infinito hasta un punto en el campo de Q seía devuelto si se pemitiese que Q se desplazaa hasta el infinito, es deci, We = Q V (3.87) donde V es el potencial en Q poducido po Q. La enegía mutua ente las dos cagas puede epesase entonces po la elación simética We = ( QV + QV ) (3.88) i después de habe intoducido Q en el campo de Q se intoduce ota caga Q 3, la enegía seá e ( ) W = Q V + Q V + V (3.89) la cual, en vitud de las elaciones ecípocas ente paes, es equivalente a We = Q ( V + V3 ) + V ( V + V3 ) + Q3 ( V3 + V3 ) (3.9) Po inducción se deduce entonces que la enegía de un sistema ceado de n cagas puntuales es n n n (3.9) We = Vij Qi = Vi Qi i= j= i= i j donde Vi es el potencial en Qi debido a las n cagas estantes del sistema. La Ec. (3.9) es, po supuesto, la misma ecuación obtenida en el Cap., ec..3, paa el vacío, con el cambio intoducido po la pemitividad del medio. Obseve que la Ec. (3.9) es válida sólo si el sistema es completo o ceado. i po el contaio las n cagas están situadas en un campo eteno de potencial V, apaece un témino que no involuca el facto ½. En este caso, n n e i i i (3.9) i= i= W = V Q + V Q i el conjunto de cagas no es disceto sino que está constituido po una densidad continua ρ v distibuida en un volumen v, entonces se eemplaza Q i po dq = ρ dv, la sumatoia en la Ec. (3.9) se conviete en una integal se obtiene W e = ρvvdv (3.93) v v

201 93 en donde V es el potencial absoluto en la posición del difeencial de caga ρvdv. Paa cagas distibuidas en supeficies o linealmente, se usan las siguientes epesiones: W e We = ρsvd (3.94) = ρ Vdl (3.95) l l Las integales anteioes paa la enegía epesadas en función de la distibución de potencial V que acompaña las distibuciones de caga estática en el espacio, se pueden escibi también en función de los campos E D. El esultado paa la enegía en la Ec. (3.93) es W e = dv Di E (3.96) v Paa demosta esto, suponga que en una supeficie ceada eiste una caga supeficial de densidad ρs, en donde puede esta fomada po conductoes individuales tales que = ; también se inclue la posibilidad adicional de la eistencia de una n densidad de volumen ρ v en la egión v enceada po la supeficie. La enegía electostática del sistema es entonces la suma de las Ecs. (3.94) (3.95), We = ρ svd + ρvvdv (3.97) en donde denota la supeficie ceada delimitada po los conductoes V es la egión ente los conductoes. Usando la condición de fontea ρ = nˆ i D ( ˆn es el vecto nomal unitaio saliendo del volumen V), la Ec. (3.97) se conviete en W ( ) ˆ e = V D i n d + ρvv dv = i( VD) dv + ρvv dv v V v v s (3.98) donde se usó el teoema de la divegencia paa cambia la integal de supeficie a una de volumen. Usando la identidad vectoial i( f G) = f ig + Gi f, se obtiene que We = Di( V ) dv V i D dv + ρvv dv v v v Puesto que ρ v = i D, las dos últimas integales se cancelan como también V la pimea integal, se obtiene el esultado deseado, es deci, la Ec. (3.96). Usando la elación D = εe paa un medio lineal, la Ec. (3.96) puede escibise como ε We = ε E dv = D dv v v = E en (3.99)

202 94 matemáticamente se puede defini una densidad de enegía electostática we como donde w W e = w dv (3.) v e = D E = ε E = ε e D i (3.) in embago, esta definición es atificial a que no se ha encontado una justificación física que veifique la localización de la enegía en el inteio de un campo eléctico. Ejemplo 5. Comenzando con la fómula fundamental de la enegía W e = ρvvdv demueste que la potencia disipada en un conducto bajo condiciones de estado estacionaio es dada po v P = dv Ei J (3.) v olución: Como se sabe, la potencia disipada es la tasa o itmo de dececimiento de la enegía almacenada: P = dw dt. Entonces, como el campo de voltaje no vaía con el tiempo (estado estacionaio), se puede escibi que e ρv P = V dv = ( i J) dv t Usando ahoa la identidad vectoial ( f ) = f + ( f ) divegencia, es posible escibi esta última ecuación como v v i F if i F el teoema de la P = V J d + dv i Ei J (3.3) Ahoa, como un elemento de caga dq descaga una enegía Vdq al cuza la fontea el conducto, la integal de supeficie en la Ec. (3.3) epesenta el itmo total de la pédida de enegía, que es pecisamente P. De modo que o P = P + dv Ei J v v P = dv Ei J v Ejemplo 6. Cuando se conecta una fuente a un capacito, se consume enegía paa cagalo. i el mateial de las placas es un buen conducto con una esistencia efectiva igual a ceo si el dieléctico ente los conductoes es un buen aislante, entonces no puede

203 95 flui coiente en el dieléctico no ocuen pédidas óhmicas en el capacito. La pegunta es a dónde se va la enegía usada paa cagalo? egún la Ec. (3.), la enegía temina siendo almacenada en el medio dieléctico en la foma de enegía potencial electostática, ésta está elacionada con Q, C V. i se aplica un voltaje V a un capacito de placas paalelas, con sepaación ente placas d áea de cada placa, si se despecian los efectos de distosión del campo en los bodes de las placas, el campo eléctico es unifome en el dieléctico tiene una magnitud entonces V E = d V V ( ) We = ε E dv = ε dv = d = ε V d d d v v La epesión ente paéntesis en esta ecuación es la capacitancia de un capacito de placas paalelas. De manea que Puesto que Q = CV, la Ec. (3.4) también puede escibise como W We e = CV (3.4) Q = QV = (3.5) C Es impotante señala aquí que las Ecs. (3.4) (3.5) son válidas paa cualquie capacito de dos conductoes. i se pemite que las dos placas del capacito se acequen, bajo la influencia de la fueza eléctica F, una distancia difeencial dl, al mismo tiempo las cagas en las placas se mantienen constantes, entonces el tabajo mecánico ealizado po el sistema es dwm = Fi dl Este tabajo mecánico, si el sistema está aislado, es ealizado consumiendo enegía electostática. Po tanto, dwm es igual a la pédida de enegía almacenada en el mateial dieléctico del capacito, o dw m = dw La difeencia de enegía electostática dw e puede escibise en téminos del gadiente de We como dwe = Wei dl po tanto se obtiene que e F = W e (3.6) Tome nota que la Ec. (3.6) se obtuvo bajo la suposición de que las cagas en el sistema son constantes. Paa aplica la Ec. (3.6) al capacito de placas paalelas, se escibe la Ec. (3.5) como Q Q W = e C = ε

204 96 donde se eemplazó d con la vaiable paa epesenta la sepaación vetical ente las placas. Aplicando ahoa la Ec. (3.6) a esta última elación da la fueza como puesto que Q = εe. F ˆ Q ˆ Q ε = W ˆ E e = a = = ε a ε a (3.7) Ejemplo 7. Un capacito de placas paalelas se caga a un potencial V luego es desconectado del cicuito que lo caga. Detemine el tabajo ealizado al cambia lentamente la sepaación ente las placas desde d hasta d d (las placas son ciculaes con adio >> d). olución: Despeciando los efectos en los bodes, la capacitancia del capacito de placas paalelas es C = ε π d la enegía almacenada es W = CV. Como las cagas en las placas, Q = ± CV, no vaían con la sepaación, tenemos que C V = V C La enegía almacenada cuando la sepaación es d es C C W = C = V C C Po tanto, el cambio de la enegía almacenada en el capacito es C d W W W CV CV C d = = = el tabajo ealizado al cambia la sepaación de d a d' es ε ( ) π d d V d Ejemplo 8. Un capacito esféico consiste de dos esfeas conductoas de adios a b ( a > b). La esfea etena está a tiea se coloca una caga Q en la esfea intena. Después el conducto eteno se contae del adio a hasta un adio a. Detemine el tabajo ealizado po la fueza eléctica. olución: Los campos elécticos paa < b > a son ambos iguales a ceo. En b < < a, el campo eléctico es Po tanto, la enegía del campo es Q E = 4 πε a ˆ W a Q Q 4 d = ε π = 4πε 8πε b a b

205 97 Cuando la supeficie esféica etena se contae de = a hasta a =, el tabajo ealizado po la fueza eléctica es igual a la disminución en la enegía contenida en el campo eléctico: Q Q ( a a ) Wa Wa = + = 8πε a a 8πε aa

206 98 PROBLEMA 3. La densidad de coiente en una egión es dada po J = θ aˆ + θa ˆ A/m. 3 3 sen 3 cos θ Calcule la coiente que ataviesa la supeficie dada po < < m, θ = 6º, < φ < π. 4z 3. Una densidad de coiente es dada en coodenadas cilíndicas po J = e ( ρaˆ ˆ ρ a z ) A/m. Halle la coiente total que ataviesa cada una de las supeficies siguientes: (a) z = 5 m, ρ.5 m en la diección de a ˆ z ; (b) un cilindo ceado definido po z.5 m, ρ.5 m en todas diecciones; (c) una esfea de adio igual a m. 3.3 Detemine la coiente total en un conducto cicula de adio a si la densidad de coiente vaía con el adio como J = A/. 3.4 Dada una densidad de coiente 3 J = cos θ ˆ A/m θ a ( ) en coodenadas esféicas, detemine la coiente que cuza la fanja cónica θ = π/4,..8 m. 3.5 Halle la movilidad de los electones de conducción en aluminio, dada una conductividad de 38. M/m densidad de electones de conducción de.79 9 m Detemínese la esistencia de un conducto de cobe de m de lago con una sección tansvesal cicula que tiene un adio de mm en un etemo se incementa linealmente hasta un adio de 5 mm en el oto etemo. 3.7 i ente los etemos de una baa cilíndica de cabón (σ = 3 4 /m) de adio 4 mm longitud cm se aplica una difeencia de potencial de V, detemínese (a) la esistencia de la baa, (b) la coiente en la baa (c) la potencia disipada. 3.8 Hállese la esistencia de una lámina de papel de aluminio de 5 µm de espeso con lados de 3 cm (a) ente lados opuestos de la caa cuadada, (b) ente las dos caas cuadadas (la conductividad del aluminio es /m). 3.9 Un cilindo hueco de adio inteno a adio eteno b longitud l tiene una sección tansvesal como muesta la Fig. 3.. Detemine la esistencia ente los etemos del cilindo. σ b a Figua 3.

207 99 3. (a) i un dieléctico de foma abitaia volumen v se coloca en un campo eléctico, esulta una polaización dieléctica P que también es equivalente a una densidad de caga i P una densidad de caga supeficial Pi a. Como el dieléctico es elécticamente neuto, la caga inducida total debe se igual a ceo. Demueste esto mediante el uso del teoema de la divegencia. (b) Considee un ejemplo específico donde el cuepo es un paalelepípedo ectangula cuo eje se etiende desde z = l/ hasta z = l/ con sección tansvesal de áea. Dado que P = ( Az + B) a, detemine ˆ n ˆ z las densidades de caga de volumen de supeficie mueste eplícitamente que la caga total es ceo. 3. La polaización en un cubo dieléctico de lado l centado en el oigen viene dada po P = P ˆ ˆ ˆ a + a + a z. (a) Detemine las densidades de volumen de supeficie de ( z ) las cagas ligadas. (b) Demueste que la caga ligada total es ceo (es deci, demosta que no ha cagas libes). 3. Considee un capacito de placas paalelas con lados a, b sepaación d. El capacito está lleno en el espacio ( a a/, a b/) con un dieléctico de constante dieléctica elativa ε. Ente las placas eiste un potencial V. Calcule la densidad de caga en las placas también la caga de polaización supeficial equivalente en las supeficies del dieléctico. Despecie los efectos en los bodes. 3.3 Un cilindo dieléctico sólido de longitud L adio a está polaizado unifomemente con polaización P diigida aialmente. Detemine el campo eléctico en el eje del cilindo tanto afuea como adento del cilindo. 3.4 Una lámina dieléctica infinita de espeso e se coloca en un campo eteno unifome E. La lámina está inclinada foma un ángulo θ con el campo E (Fig. 3.). Detemine el ángulo θ tal que las líneas de flujo en la lámina fomen un ángulo θ = π con los lados de la lámina. La constante dieléctica es ε = 4. Halle la 4 densidad de la caga de polaización de supeficie en las dos caas de la lámina. θ θ ε Figua El adio del núcleo el adio inteno del conducto eteno de un cable coaial mu lago son i e, espectivamente. El espacio ente los conductoes está lleno de dos capas coaiales dielécticas. Las constantes dielécticas de los medios son ε paa i < ρ < a ε paa a < ρ < e. Detemine la capacitancia po unidad de longitud. 3.6 Un capacito de placas paalelas usa dos placas ciculaes de adio a, con la placa infeio situada en el plano centada en el oigen. La placa supeio está ubicada

208 en z = d, su cento está en el eje z. La difeencia de potencial ente las placas es V con la placa infeio puesta a tiea. El dieléctico en la egión ente las placas tiene una pemitividad que vaía adialmente es dada po ε( ρ ) = ε ( + ρ a). Detemine E, D, Q (caga cada placa) la capacitancia C. 3.7 Considee dos cilindos coaiales con el espacio dado po < θ < θ lleno de un dieléctico con constante ε (Fig. 3.). Halle la capacitancia po unidad de longitud. (ugeencia: Obseve que el campo E es independiente de θ sólo depende de la difeencia de potencial ente los cilindos.) b a θ Figua Halle la capacitancia ente las supeficies conductoas cuvas ciculaes mostadas en la Fig Los adios son a b > a la sepaación ente los topes supeio e infeio es igual a d. θ ε Figua Un capacito de placas paalelas tiene una sepaación d ente sus placas. Una lámina de papel metálico, de espeso e < d, se intoduce ente las placas. Cuál es el efecto sobe la capacitancia? Eplique. 3. El espacio ente las placas de un capacito de placas paalelas cada una de áea está lleno de un medio dieléctico no homogéneo cua conductividad vaía linealmente de σ en una placa ( = ) a σ en la ota placa. e aplica un voltaje cd igual a V ente las placas (Fig. 3.4). Detemine (a) La esistencia total ente las placas, (b) Las densidades de caga supeficiales en las placas. (c) la densidad de caga de volumen la cantidad de caga total ente las placas.

209 d V σ() Figua Dos esfeas conductoas de adios b b con una conductividad mu alta están inmesas en un medio de conductividad pobe de conductividad σ pemitividad ε. La distancia d ente las esfeas es mu gande compaada con los adios. Detemine la esistencia ente las esfeas conductoas. [ugeencia: Halle la capacitancia ente las esfeas luego use la Ec. (3.8).] 3. upóngase que la tiea es una gan esfea conductoa de adio igual a km odeada po aie. Halle (a) la capacitancia de la tiea; (b) la caga máima que puede eisti en la tiea antes de que el aie sufa uptua dieléctica. 3.3 Detemine el tabajo necesaio paa tansfei las cagas Q = 3 mc Q = 5 mc desde infinito hasta los puntos (,, 4) (, 3, ), espectivamente. 3.4 Halle el tabajo ealizado al move una caga puntual Q = µc desde el oigen hasta el punto (4,, ) en el campo E = ( + 4) aˆ + 8a ˆ (V/m) a lo lago de (a) la taectoia = 8 ; (b) la taectoia adial diecta. 3.5 Detemine la difeencia en las cantidades de tabajo ealizadas paa lleva una caga de Q culombios desde infinito hasta = a, desde infinito hasta = a. 3.6 Una caga puntual Q está situada en el oigen. Calcule la enegía almacenada en la egión > a. e ρ a 3.7 Dado el campo eléctico E = 4 a ˆ en coodenadas cilíndicas, calcule la enegía almacenada en el volumen descito po ρ a z m. 3.8 i la densidad de enegía paa una distibución de caga como w ρ w = ε E como = ε E paa una segunda distibución, la densidad de enegía cuando ambas distibuciones están pesentes seía w ( E E ) supeposición a la enegía? Eplique. = ε +. Es aplicable el pincipio de 3.9 Una bateía caga un capacito de placas paalelas a una difeencia de potencial V luego es desconectada. Después se aumenta la sepaación ente las placas de d a 3d. Po cuál facto es incementada la enegía potencial? 3.3 Un capacito C cagado con una difeencia de potencial V se conecta (en paalelo) a un capacito descagado C. Compae la enegía potencial inicial con la final. Eplique su espuesta en vista de la consevación de enegía. 3.3 Un capacito de placas paalelas tiene un áea A; la distancia d ente las placas es lo suficientemente pequeña de modo que la densidad de caga supeficial en las placas puede tomase como unifome. La pemitividad ε() es una función lineal de la distancia a una de las placas ε() = ε, ε(d) = ε. (a) Detemine la capacitancia. (b)

210 Detemine la densidad de caga de polaización ρpv la densidad de caga supeficial de polaización ρps. 3.3 Un cascaón esféico metálico de adio b tiene una caga Q. (a) Cuál es la capacitancia? (b) Cuál es la densidad de enegía del campo eléctico a una distancia del cento de la esfea? (c) Cuál es la enegía total del campo? (d) Calcule el tabajo ealizado al caga la esfea tanspotando cagas infinitesimales desde infinito. (e) e establece un potencial V ente dos cascaones esféicos metálicos concénticos; el inteno de adio a el eteno de adio b. Cuál debe se el adio de la esfea intena paa que el campo eléctico ceca de su supeficie sea un mínimo? 3.33 El capacito mostado en la Fig. 3.5 consiste de dos capas dielécticas paalelas. Use consideaciones de enegía paa demosta que la capacitancia equivalente de todo el capacito, C, es igual a la combinación en seie de las capacitancias de las capas individuales, C C, a sabe C = CC ( C + C ), donde C = ε A d C = ε A d. (a) ean V V los potenciales elécticos en los dielécticos supeio e infeio, espectivamente. Cuáles son los campos elécticos coespondiente E E? Mediante la aplicación de la condición de fontea apopiada en la intefaz ente los dos dielécticos, obtenga epesiones eplícitas paa E E en téminos de ε, ε, V las dimensiones indicadas del capacito. (b) Calcule la enegía almacenada en cada una de las capas dielécticas luego use la suma paa obtene una epesión paa C. d V ε d ε Figua e coloca un electón en cada esquina de un cubo de lados iguales a µm. Cuál es la enegía potencial del sistema?

211 CAPÍTULO 4 olución de Poblemas Electostáticos De las ecuaciones fundamentales se pasaá ahoa al estudio de campos en situaciones donde no se conocen las distibuciones de caga o de potencial no es posible usa la le de Coulomb o la le de Gauss paa detemina el campo eléctico E. En este capítulo se estudiaá un enfoque más geneal paa obtene el potencial el campo. Matemáticamente, el poblema del campo electomagnético se ocupa de la solución de un conjunto de ecuaciones difeenciales (las ecuaciones de Mawell) que cumplen con cietas condiciones especificadas en la fontea de la egión bajo consideación. En otas palabas, el poblema es un poblema con valoes de fontea. i la distibución de las fuentes está especificada po completo, el campo queda deteminado en foma única; esto se demostó en el Capítulo. Invesamente, si el campo es especificado en todos los puntos de una egión, la distibución de la fuente queda especificada, peo no necesaiamente en foma única. En lo que sigue, se estudiaá un método geneal que involuca la solución de la ecuación de Poisson ( V ) = ρv ε. Paa comenza, nuesta atención se estingiá a tabaja con la ecuación de Laplace ( V = ), cuas soluciones se conocen como funciones amónicas. Antes de enta al estudio de estas ecuaciones, se consideaán con mao igo algunos de los tópicos básicos discutidos en los capítulos anteioes. 4. Ecuaciones del Campo del Potencial Como se ha visto hasta ahoa, las elaciones que desciben la conducta de los campos elécticos estáticos se obtienen diectamente a pati de las ecuaciones de Mawell cuando todas las deivadas con especto al tiempo se hacen ceo (campos estáticos), al igual que la densidad de coiente J. e tiene entonces que, en todos los puntos egulaes de un campo electostático, E = (4.) i D = ρ v (4.) donde ρv es la densidad de volumen de caga. Las discontinuidades en los vectoes del campo E D vienen epesadas po las condiciones geneales de fontea paa las componentes tangenciales nomales de los campos en la intefaz, espectivamente, ( ) nˆ E E = (4.3)

212 4 ( ) nˆ i D D = ρ (4.4) donde ρs es la densidad de caga supeficial ˆn es la nomal unitaia a la intefaz. De acuedo con la Ec. (4.), la integal de línea de la intensidad del campo E alededo de cualquie taectoia ceada es ceo el campo es consevativo. Esta popiedad es una condición necesaia suficiente paa la eistencia de un potencial escala V cuo gadiente negativo es E, s E = V (4.5) El signo algebaico es abitaio, peo se ha tomado negativo paa esta de acuedo con la convención que oienta al vecto del campo eléctico E oiginándose en una caga positiva. Aquellas supeficies en las cuales V es constante se denominan supeficies equipotenciales o, sencillamente, equipotenciales. e sabe que en todo punto de una supeficie equipotencial la intensidad del campo E es nomal a la supeficie; esto se demuesta fácilmente. ea entonces V (,, z ) = constante (4.6) una supeficie equipotencial. Tomando la pimea difeencial se obtiene V V V dv = d + d + dz z Los difeenciales d, d dz son las componentes de un vecto de desplazamiento d a lo lago del cual se quiee detemina el cambio en V, como dv =, este vecto debe esta en la supeficie V = constante. Las deivadas paciales V, V, V z, po ota pate, son las azones o itmos de cambio a lo lago de los ejes, z espectivamente, como tales, son las componentes de oto vecto (a estudiado en el Cap. ), el gadiente, (4.7) V V V V = aˆ ˆ ˆ + a + az = E (4.8) z Obviamente, dv es el poducto escala de los vectoes d V ; es deci, E, como este poducto se anula, los vectoes deben se otogonales. Una ecepción sucede cuando las tes deivadas paciales se anulan simultáneamente; en este caso la intensidad del campo es ceo estos puntos se denominan puntos de equilibio. Las taectoias otogonales de las supeficies equipotenciales constituen una familia de líneas, las cuales en todos sus puntos son tangentes al vecto E (véase Capítulo, ec..5); ellas son las líneas de fueza. Con fecuencia es conveniente epesenta gáficamente el campo de un sistema de cagas dado tazando la poección de estas líneas sobe algún plano del campo. En coodenadas catesianas, sea dl la epesentación de un pequeño desplazamiento a lo lago de una línea de fueza, dl = aˆ d + aˆ d + a ˆ dz (4.9) z donde las tildes se intoducen paa evita confusión con un punto de vaiable (,, z) en un equipotencial (se sigue la misma convención que en capítulos anteioes). Entonces, como las

213 5 líneas de fueza, po definición, son tangentes en todas pates al vecto intensidad del campo, E,, z tienen que se popocionales, es deci, los componentes ectangulaes de dl ( ) E = λ d, E = λ d, E = λ dz (4.) z Po la foma en que se definen las líneas de fueza se deducen dos popiedades. La pimea es que bajo condiciones estáticas, cualquiea de las líneas debe comenza en una caga positiva temina en una caga negativa, Fig. 4. (bajo condiciones de vaiación en el tiempo esta afimación no es necesaiamente cieta); la segunda es que las líneas de fueza no pueden cotase. Las líneas popocionan una imagen mental útil del campo electostático, una utilidad que es efozada mediante la intoducción de una esticción cuantitativa adicional. Nos imaginamos tubos de secciones tansvesales vaiables dibujados en el campo de manea que los lados de los tubos son paalelos en todos lados a las líneas de fueza. Ninguna línea de fueza cuza la paed de un tubo. Nos imaginamos también que todo el espacio está lleno de esos tubos con sus secciones tansvesales escogidas de modo que el númeo de tubos po unidad de áea nomal al campo en un punto en el espacio es igual a la magnitud del campo. e puede demosta que el númeo tubos po unidad de áea nomal al campo en cualquie punto es igual a la intensidad del campo en ese punto. Los tubos tendán una sección tansvesal pequeña densidad gande en egiones donde la intensidad del campo es alta, una sección tansvesal gande donde la intensidad del campo es baja. q q Figua 4. Las ecuaciones difeenciales de las líneas de fueza son entonces d d dz = = E z E z E z (,, ) (,, ) (,, ) z En un medio lineal, homogéneo e isótopo se tiene que (4.) D = ε E = ε V (4.) po la Ec. (4.), el potencial V debe satisface la elación ( ) i ε V = ε V + εi V = ρv puesto que el medio es homogéneo, V debe se una solución de la ecuación de Poisson, V = ρ ε v (4.3)

214 6 E una solución de la ecuación E = ρ v (4.4) ε En una egión libe de fuentes (ρv = ), la ecuación de Poisson se educe a la ecuación de Laplace, V = (4.5) El poblema fundamental en electostática es el de detemina una función escala V(,, z) que satisfaga la ecuación de Poisson en todos los puntos del espacio que, en cietas supeficies pescitas, cumpla con condiciones de fontea especificadas. En el sentido más geneal, el témino amónico se aplica a cualquie solución de la ecuación de Laplace. En un sentido más estingido, el témino aplica a una solución de la ecuación de Laplace en un sistema de coodenadas especificado. Ejemplo. Como un ejemplo sencillo de la aplicación de la ecuación de Laplace, tómese la configuación del capacito de placas paalelas mostadas en la Fig. 4.. Ente las placas eiste una difeencia de potencial V tal como se indica, en el espacio ente ellas la pemitividad es ε la densidad de caga es nula. Despeciando los efectos de distosión en los bodes suponiendo sólo vaiaciones con especto a la coodenada, la ecuación de Poisson, Ec. (4.5), se educe a d V d = (4.6) las condiciones de fontea que se deben cumpli son: V ( = ) = V ( = d) = V. La solución es entonces V ( ) V = (4.7) d V ˆ E = V = a (4.8) d V = d P V = V C 4 C 3 C C ρ s (a, b, c) = P ρ s V = Figua 4.

215 7 En función de las densidades de caga ρs ρs en las placas supeio e infeio, se tiene lo siguiente: como paa = d, ρ = nˆ i D (la nomal apuntando en la diección negativa del eje ) D = ε E, de la Ec. (4.8) se obtiene que s V ρ s d = ε (4.9) en función de ρ s, las Ecs. (4.7) (4.8) pueden epesase en la foma V ρ s = (4.) ε ρs E = a ˆ (4.) ε Ahoa se evaluaá la integal de línea de la intensidad del campo electostático alededo de un entono completamente ceado. De acuedo con la Ec. (4.), esta integal debe se ceo. Como entono ceado, tómese la taectoia C mostada en la Fig. 4., consistente de los cuato segmentos ectilíneos C, C, C3 C4 uniendo los puntos (,, ), (a, b, ), (d, b, ) ( d,, ). A lo lago de C, la integal de línea de E viene dada po A lo lago de C, C a a b s s ε ε Ei dl = E d + E d = ρ d = a ρ C d a d s ( ) ε ε s a Ei dl = E d = ρ d = d a ρ A lo lago de C3, E =, po tanto, Finalmente, a lo lago de C4, C 4 d d = Ei l C 3 s s ε ε d Ei dl = E d = ρ d = d ρ Combinando las cuato integales se detemina que su suma es igual a ceo, lo cual coincide completamente con la Ec. (4.). Paa cualquie oto contono ceado, se obtendía eactamente el mismo esultado. Epesado en ota foma, cuando una caga eléctica positiva se mueve alededo de una taectoia ceada conta las fuezas de un campo electostático, la enegía utilizada es ceo, indifeentemente de cuál sea la taectoia. La misma eplicación se puede epesa diciendo que cuando la caga se tanspota de un punto del campo a oto, la cantidad de tabajo ealizado es independiente de la taectoia. En paticula, cuando la

216 8 caga de pueba sigue la taectoia fomada po los segmentos ectilíneos C, C C3 desde (,, ) hasta (d,, ), el tabajo ealizado es eactamente igual al ealizado cuando se ecoe la taectoia C4 desde (,, ) hasta (d,, ), sencillamente poque Eidl = Eidl = Ei dl (4.) C + C + C C C Aquí C 4 denota la taectoia C4 cuando ésta se ecoe en la diección opuesta. Esta popiedad de los campos electostáticos es la que se denomina consevativa también puede epesase en téminos del potencial escala V. Po ejemplo, al sustitui en la Ec. (4.), se obtiene E = V ( ) l = ( ) C + C + C C V i d V i dl (4.3) 3 4 El punto de patida P el punto de llegada P son los mismos paa ambas taectoias en la Ec. (4.3). Ahoa bien, paa cualquie taectoia C que conecta dos puntos abitaios a b, la definición de V equiee que b Vi dl = dv = V ( a) V ( b) (4.4) C a lo cual confima que la difeencia de potencial ente dos puntos es independiente de la taectoia. Po tanto, el valo del potencial electostático en un punto es único. * En contaste, la difeencia de potencial vaiable en el tiempo definida como la integal de línea de E no es única. Ya se ha señalado anteiomente que el campo electostático en cualquie punto inteio de un conducto es ceo puesto que las cagas se moveían si hubiese un campo pesente. Esto significa que el potencial en todo punto de una egión conductoa, o en una supeficie, debe se el mismo que la supeficie debe se un equipotencial. Como esultado, el vecto del campo electostático es siempe nomal a una supeficie conductoa su componente tangencial es siempe igual a ceo. En la supeficie divisoia ente un conducto (medio ) un dieléctico (medio ), las ecuaciones paa las condiciones de fontea dadas po las Ecs. (4.3) (4.4) se tansfoman en puesto que E D se anulan en la egión conductoa. nˆ E = (4.5) nˆ i D = ρ (4.6) Ahoa se deivaán las condiciones de fontea paa el potencial. En téminos del potencial, la Ec. (4.5) se puede escibi como ( ) s nˆ V = (4.7) * Esta popiedad a se estudió en el Capítulo.

217 9 si el dieléctico es lineal e isótopo, la Ec. (4.6) se conviete en o Físicamente, ˆ ( V ) ni ˆ ( ε V ) = ρ s ni ˆ V = ρs (4.8) ε n epesenta el itmo de dececimiento de V en la diección del vecto tangencial unitaio ˆt, tal como se muesta en la Fig Po tanto, la Ec. (4.7) puede escibise como De la misma foma, ( ) V t = (4.9) ni ˆ V epesenta la azón o tasa de dececimiento de V en la diección del vecto nomal. Po lo tanto, V = ρs n ε (4.3) i ningún medio es conducto, la condición geneal de fontea, Ec. (4.3), puede escibise como V t V = t en tanto que si ambos medios son lineales e isótopos, la condición dada po la Ec. (4.4) puede epesase como V V ε ε = ρ n n s De la natualeza consevativa del campo se deduce que el potencial mismo también debe se continuo al atavesa la supeficie de sepaación ente los dos medios, es deci, V (4.3) (4.3) = V (4.33) En otas palabas, como el potencial en un punto es único, el valo de V en dos puntos adacentes en ambos lados de la fontea tiene que se el mismo. e debe señala también que las dos condiciones epesadas po las Ecs. (4.3) (4.3) son independientes. Medio nˆ ˆt Medio Figua 4.3

218 4. Distibuciones Aiales de Caga En el Capítulo se estudió el potencial poducido po un dipolo. Ahoa se estudiaá con mao igo el campo poducido po distibuciones aiales de caga se obtendá el potencial establecido po distibuciones siméticas de cagas puntuales denominadas multipolos. Pimeo se supondá un elemento de caga Q situado en el punto z = ζ del eje z de un sistema de coodenadas esféicas cuo oigen está en O. e desea epesa el potencial de Q en cualquie oto punto P con especto al oigen O en téminos de las coodenadas de P. Las coodenadas ectangulaes de P son (,, z ), peo como el campo es simético con especto al eje z, seá suficiente situa a P en téminos de las dos coodenadas polaes θ, Fig La distancia de Q a P es, po lo tanto, el potencial en P es (, ) V siendo el medio homogéneo e isótopo Q θ = (4.34) 4 πε ( ) = + ζ ζ cosθ (4.35) Ha dos casos a considea. El pimeo, pobablemente el menos común, es aquél en el cual P está en el inteio de una esfea tazada con O como cento a tavés de ζ. Entonces < ζ = + ( ζ) cos θ ζ (4.36) z P z = ζ q θ O Figua 4.4 La cantidad ente cochetes puede epandise mediante el teoema del binomio si i además ( ) ζ cos θ < ζ ζ + cos θ <, la seie esultante convege en foma absoluta, como ζ consecuencia, las vaias potencias pueden multiplicase los téminos eacomodase en la

219 foma que se desee. i los téminos de la seie se odenan en potencias ascendentes de /ζ, se encuenta que 3 cos cos ζ ζ ζ = + θ + θ + ésta se puede escibi en foma abeviada como = Pn (cos θ) ζ (4.37) n= Los coeficientes de /ζ son polinomios en cos θ se conocen como los polinomios de Legende: P (cos θ ) = P P ( cos ) θ = cosθ ( cos θ ) = ( 3 cos θ ) = ( 3cos θ + ) 4 P3 θ = θ θ = θ + θ 8 3 ( cos ) ( 5 cos 3 cos ) ( 5cos 3 3 cos )... n (4.38) El valo absoluto de los coeficientes Pn nunca es mao que la unidad, de aquí que la epansión conveja en foma absoluta siempe que < ζ. En el segundo caso, P está fuea de la esfea de adio ζ, así que > ζ. La epansión coespondiente se obtiene intecambiando ζ en la Ec. (4.36) en la Ec. (4.37): ζ ζ = + cos θ (4.39) n= ζ Pn ( cos ), (4.4) = θ > ζ Este último esultado puede obtenese en una foma un poco difeente. Considéese el ecípoco de la distancia desde el punto z = ζ como una función de ζ; haciendo ahoa una epansión en seie de Talo con especto al oigen ζ = se obtiene f ( ) n f ( ζ ) = = ( + ζ ζ cos θ ) (4.4) ( ) ζ f ( ) f ζ ζ ζ = f () + ζ + + (4.4) ζ! ζ ζ= ζ= En coodenadas ectangulaes, es z ( ) = + + ζ (4.43)

220 De aquí que = ζ z n n n f ( ζ) n f ( ζ) n f () ( ) ( ) n = = n n ζ z z ζ= ζ= (4.44) (4.45), como f() = /, se obtiene n n n ( ) f ( ζ ) = = ζ n z + + ζ + n! z (4.46) El potencial en un punto P eteno a la esfea que pasa po Q puede escibise en cualquiea de las fomas de donde está clao que (4.47) n n n+ n= n= n n Q P (cos ) Q n ( ) V = θ n 4πε ζ = 4 πε ζ n! z n n Pn (cos θ) ( ) = n+ n n! z (4.48) Finalmente, supóngase que la caga está distibuida continuamente a lo lago de una longitud l del eje z con una densidad ρv = ρv(ζ). El potencial en un punto a una distancia lo suficientemente alejada del oigen es l l (4.49) n= n= n Pn (cos θ) V (, θ ) = Vn = ρv ( ζ) ζ dζ, > n+ 4πε El pime témino de esta epansión es V Q = ρ ζ ζ = 4πε 4πε v ( ) d l (4.5) donde Q es ahoa la caga total en la línea, V es evidentemente el potencial de Coulomb de una caga puntual Q situada en el oigen. in embago, la densidad puede asumi valoes tanto negativos como positivos, de tal foma que la caga neta v ( ) d l (4.5) Q = ρ ζ ζ sea ceo. El témino dominante al cual tiende el potencial cuando >>l es entonces

221 3 La cantidad V ( cos θ) P p cos θ v ( ) d l (4.5) = ρ ζ ζ ζ = 4πε 4πε v ( ) d l (4.53) p = ρ ζ ζ ζ se denomina el momento dipola de la distibución. En geneal, se tiene que se define a la elación V p P ( cos θ) ( n ) n n = (4.54) n 4 πε + como un multipolo aial de oden n. 4.3 El Dipolo * p ( n ) n v ( ) d l (4.55) = ρ ζ ζ ζ Paa que el potencial de una distibución de caga lineal pueda epesentase mediante un dipolo, es necesaio que la caga neta sea ceo el sistema como un todo es neuto que la distancia al punto de obsevación sea mu gande en elación con la longitud de la línea de caga. Ya se ha visto que el potencial V es aquél que seía geneado po una caga puntual matemática situada en el oigen. V posee una singulaidad cuando =, a que una vedadea caga puntual implica una densidad infinita. La pegunta ahoa es si se puede constui una caga puntual que oigine al potencia V de un dipolo. upóngase ahoa una caga puntual +Q en un punto z =l en el eje z una caga puntual Q en el oigen. De acuedo con la Ec. (4.49), el potencial en un punto mu distante es Q Ql cosθ V = = + téminos de mao oden 4πε 4πε (4.56) donde es la distancia de la caga +Q al punto del campo. El poducto p = Ql es evidentemente el momento dipola de la configuación. upóngase ahoa que l que al mismo tiempo Q aumenta en una foma tal que el poducto p = ql pemanece constante. Entonces, en el límite, se genea una singulaidad cuo potencial es Q Ql cos θ V = = 4πε 4πε (4.57) en todas pates menos en el oigen. Obseve que se ha asociado una diección con un punto. El momento dipola es ealmente un vecto p diigido de Q a +Q, en este caso, a lo lago del * Este tema del dipolo se estudió en la ec... e inclue aquí paa hace más completa la discusión sobe multipolos.

222 4 eje z. El vecto unitaio diigido a lo lago de desde el dipolo hacia el punto de obsevación es a ˆ, po lo tanto, el potencial es piaˆ = = pi 4 4 (4.58) (,, ) V z πε πε El campo de un dipolo posee simetía cilíndica con especto a su eje, Fig. 4.5, po esa azón en cualquie plano meidiano las componentes adiales tansvesales de la intensidad del campo son E E θ V p cosθ = = 3 πε V psen θ = = 3 θ 4πε (4.59) p θ E θ E E Figua 4.5 La enegía potencial de un dipolo en un campo eteno se detemina más fácilmente a pati de las enegías potenciales de sus dos cagas puntuales. upóngase que se tiene una caga +Q situada en un punto a una caga Q en un punto b, sepaada de la pimea po una distancia l, en una campo eteno cuo potencial es V(,, z). La enegía potencial del sistema es entonces o, confome b a, W = QV ( a) QV ( b) W = QdV = Ql i V = pie = pe cos θ (4.6) donde θ es el ángulo fomado po el dipolo con el campo eteno E. La fueza ejecida sobe el dipolo po el campo eteno es igual al negativo del gadiente de W cuando la oientación es fija: F = ( p E) θ= constante i (4.6) Po ota pate, un cambio de oientación en un punto fijo del campo también conduce a una vaiación en la enegía potencial. El pa de fuezas ejecido sobe un dipolo po un campo eteno es, po tanto,

223 5 o, vectoialmente, W T = = pesen θ θ (4.6) T = p E (4.63) upóngase ahoa que se tienen dos dipolos aeglados en la foma mostada en la Fig Esta configuación se denomina un cuadipolo lineal. Un eamen de la simetía de la Fig. 4.6 muesta que el campo neto en P, sobe el bisecto pependicula, seá un vecto paalelo a la diección. La componente del campo debida a la caga cental q es E q = (4.64) πε q 4 está diigida alejándose de q. Cada caga en los etemos, q, poduce un campo E q q = (4.65) 4 πε +l ( ) diigido hacia la caga. La contibución de la caga q al campo total es cosθ = E q cosθ, donde +l. De manea que el campo total es nomal al dipolo tiene una magnitud E q = 4 ( ) 3 l πε + (4.66) E q q E q P θ q E q q l l Figua 4.6 La Ec. (4.66) toma una foma más sencilla bajo cietas cicunstancias. Luego de factoiza el témino /, se obtiene q d E = + 4 πε En este caso se usaá la fómula de la epansión binomial 3 (4.67)

224 6 ( ) ( ) ) ( )( ) n n n n n n! 3! 3 + a = + na + a + a + (4.68) i a <<, los dos pimeos téminos en la deecha constituen una buena apoimación al l = a n = 3, se obtiene valo del lado izquiedo. Tomando ( ) 3 l 3l + la Ec. (4.67) se conviete en apoimadamente (4.69) 3qd E (4.7) 4 4 πε Así que el campo eléctico lejano en el bisecto pependicula de un cuadipolo lineal decae como la cuata potencia de la distancia. 4.4 Fomulación de Poblemas con Valoes de Fontea en Electostática Matemáticamente, el poblema pimodial en el campo electomagnético consiste en obtene la solución de un conjunto de ecuaciones difeenciales (las ecuaciones de Mawell) sujetas a cietas condiciones especificadas en las fonteas de la egión bajo consideación. i la distibución de las fuentes se especifica completamente, el campo se detemina en foma única e, invesamente, si el campo se especifica en todos los puntos dento de una egión, entonces la distibución de la fuente, como a se mencionó, no necesaiamente queda deteminada en foma única. Genealmente, en los poblemas que se encontaán, se especifican sólo cietas fuentes etenas o un campo aplicado a pati de los cuales se debe detemina la polaización en los dielécticos la distibución de la caga en la supeficie de los conductoes, de tal foma que se satisfagan las condiciones de fonteas en las supeficies de discontinuidad eistentes. Ente los poblemas electostáticos de este tipo se econocen dos clases: el poblema con valoes de contono homogéneo el poblema no homogéneo. Como ilustación del pimeo, considéese un conducto colocado dento de un dieléctico; en el conducto se coloca una caga se desea conoce la distibución de ella en la supeficie el potencial del conducto especto a un potencial de efeencia o el infinito. En todos los puntos etenos al conducto, el potencial debe satisface la ecuación de Laplace. e debe anula (en foma egula) en el infinito debe toma un valo constante en la supeficie del conducto. Posteiomente se demostaá que estas condiciones son suficientes paa detemina al potencial V en foma única. La densidad de la caga supeficial puede entonces deteminase a pati de la deivada nomal de V, sujeta a la condición de que ρsda en la supeficie del conducto tiene que se igual a la caga total. Un poblema no homogéneo lo epesenta el caso de un dieléctico o un cuepo conducto intoducido en un campo fijo poducido po fuentes etenas. En la supeficie del conducto se induce una caga, la cual se distibue de tal foma que el potencial esultante sea constante en

225 7 la supeficie. La integal ρsda es ahoa igual a ceo. De la misma foma se induciá en los dielécticos una polaización cuo campo se combina con el campo pimaio paa da luga a un campo esultante que satisfaga entonces las condiciones de fontea. En la maoía de los casos, la solución de la ecuación de Laplace es bastante difícil muchas veces casi imposible, al menos que las supeficies de fontea en los poblemas bajo consideación coincidan con las supeficies de coodenadas utilizadas. Ésta es una limitación básica de las soluciones de poblemas con valoes de contono; po ejemplo, paa obtene soluciones fomales de la ecuación de Laplace en coodenadas ectangulaes, las fonteas deben se planas; en coodenadas polaes deben se esféicas así sucesivamente paa los difeentes sistemas de coodenadas. Obsévese que cuando se dice que los bodes son planos, cilíndicos, esféicos, etc., se quiee hace efeencia a que esos bodes deben coincidi con las supeficies de coodenadas. i no ha coincidencia, las soluciones espectivas se obtienen en la foma de seies infinitas (seies de funciones) paa las cuales las evaluaciones de los coeficientes es a menudo una taea bastante complicada con fecuencia casi imposible. Los poblemas del campo electostático, en su maoía, pueden esolvese utilizando uno de los métodos que se enumean a continuación:. El método de sepaación de vaiables. Este método, mu podeoso, tiene la limitación de que sólo ha once sistemas de coodenadas en los cuales se puede utiliza: ectangulaes, cilíndicas ciculaes, cilíndicas elípticas, cilíndicas paabólicas, esféicas, esfeoidales polongas, esfeoidales oblongas, paabólicas, cónicas, elipsoidales paaboloidales.. El método numéico. 3. El método de adapta una solución conocida a un nuevo poblema. 4. El método de imágenes. 5. El método de tansfomaciones confomes. 6. El método gáfico. 7. El método del tanque electolítico (método epeimental). También se puede elaboa un conjunto de las condiciones que se deben cumpli en todo poblema con condiciones de fontea. Paa simplifica las cosas, a menos que se especifique de ota foma, de ahoa en adelante se supondá que los dielécticos son isótopos homogéneos, ecepto a tavés de un númeo finito de supeficies de continuidad. Las condiciones a satisface son:. V = en todos los puntos que no están en una supeficie de contono ni en el inteio de fuentes etenas.. El potencial V es continuo en todas pates, incluendo las supeficies ente dielécticos o ente conductoes. La ecepción es paa supeficies que posean una doble capa. 3. V es finito en todas pates ecepto en cagas puntuales etenas intoducidas como fuentes pimaias. 4. ( V n) ( V n) ε ε = a tavés de una supeficie que una a dos dielécticos.

226 8 V 5. ε = ρs en la supeficie de fontea ente un conducto un dieléctico. n 6. En la supeficie de un conducto se tiene que (a) V es una constante conocida Vi, o (b) V es una constante incógnita V ε d = q n 7. V se compota en foma egula en el infinito siempe que todas las fuentes estén dento de una distancia finita del oigen. En la condición (4) se supone que la supeficie de sepaación ente los dielécticos no es potadoa de caga, lo cual es cieto en la maoía de los casos. Obsévese también que la nomal se toma diigida desde el medio () al medio () en la condición (5) desde el conducto hacia el dieléctico. 4.5 Unicidad de la olución * ea V una función amónica (esto es, V satisface la ecuación de Laplace) la cual posee pimea segunda deivadas paciales continuas en una egión v en su supeficie de fontea. De acuedo con la pimea identidad de Geen, i ( V ) dv = V d (4.7) v V n upóngase ahoa que V = en la supeficie. En este caso, v ( V ) dv = puesto que el integando es esencialmente una cantidad positiva, entonces V debe anulase en v esto sólo es posible si V es constante. Como po hipótesis, el potencial V es continuo en v es igual a ceo en la fontea, se conclue que V = en toda la egión. ean ahoa V V dos funciones las cuales son amónicas en la egión ceada v sea V = V V Entonces, si V V son iguales en la fontea su difeencia se anula en foma idéntica en v así se puede escibi que: una función amónica que posea deivadas de pime segundo oden continuas en una egión v egula ceada es deteminada en foma única po sus valoes en la fontea. Considéese ahoa un sistema de conductoes inmesos en un dieléctico homogéneo cuo potencial se especifica. e quiee demosta que el potencial en todo punto del espacio está * e epite esta sección paa apoa la continuidad hace más completo el capítulo.

227 9 deteminado en foma única. El azonamiento del páafo anteio se aplica ahoa a un volumen v el cual está delimitado inteiomente po las supeficies de los conductoes en el eteio po una esfea de adio R mu gande. upóngase que eisten dos soluciones V V que ambas satisfacen las condiciones de fontea pescitas. Entonces, en las supeficies de los conductoes, V = V V =. Como se supone que V V son soluciones del poblema planteado, entonces ellas deben satisface las condiciones de la ección 4.8 po tanto, siendo ellas amónicas, su difeencia también es amónica, tiene el valo ceo en los conductoes es egula en el infinito. La integal de supeficie en el lado deecho de la Ec. (4.7) puede ahoa etendese po las supeficies de las fonteas intena etena; en la fontea intena, V = la integal se anula. En la esfea eteio, V n = V R ; si R tiende a infinito, V se anula como /R V R como /R, o sea que el integando V V n se anula como /R 3, mientas que el áea de la esfea tiende a infinito como R. Po tanto, la integal de supeficie en la fontea eteio es ceo en límite cuando R. También se conclue que la integal de volumen en la Ec. (4.7) debe anulase cuando se etiende po todo el espacio eteno a los conductoes, como antes, la conclusión es que si las dos funciones V V son idénticas en las fonteas, entonces tienen que se idénticas en todas pates; eiste sólo una función potencial que toma los valoes constantes especificados en un conjunto de conductoes dados. El lado izquiedo de la Ec. (4.7) también puede anulase especificando que V n es ceo en el contono cicundante. Entonces, en v se tiene de nuevo que V = se deduce que V es constante en todas pates aunque no necesaiamente ceo, a que la condición V n = no implica la anulación de V = en. Igual que antes, se conclue que si las deivadas nomales V n V n de dos soluciones son idénticas en los bodes, las soluciones mismas sólo pueden difei po una constante. En otas palabas, el potencial se detemina en foma única, ecepto po una constante aditiva, a pati de los valoes que toma la deivada nomal en los bodes. Como la deivada nomal del potencial es a su vez popocional a la densidad de caga supeficial, entonces sólo eiste una solución coespondiente a un conjunto dado de cagas en los conductoes. En el caso en que en el campo estén dielécticos pesentes, el equisito que eige que las pimeas deivadas de V el popio V, sean continuas, no se satisface a que la Ec. (4.7) no puede aplicase diectamente. in embago, la egión etena a los conductoes puede descomponese en volúmenes paciales vi limitados po las supeficies i dento de las cuales el dieléctico es homogéneo. Entonces se aplica la Ec. (4.7) a cada una de estas egiones po sepaado, el potencial es continuo a tavés de cualquie supeficie i las deivadas en un lado de i vienen fijadas en téminos de las deivadas en el oto lado. Es fácil ve que también en este caso más geneal el poblema electostático está completamente deteminado po los valoes bien de los potenciales o de las cagas especificadas en los conductoes del sistema. 4.6 olución de la Ecuación de Laplace Es obvio que el tabajo fundamental paa esolve un poblema electostático es la deteminación de una solución a la ecuación de Laplace en una foma tal que pemita satisface las condiciones de fontea mediante el ajuste de constantes abitaias. Como se

228 mencionó en la sección 3.8, eisten vaios métodos especiales que se pueden aplica con este popósito; de esos métodos, apate de la teoía de ecuaciones integales, el único pocedimiento que es a la vez páctico geneal en caácte, es el método conocido como sepaación de vaiables. En los tes sistemas de coodenadas más comunes, las fomas de la ecuación de Laplace son: V V V V = + + = ( coodenadas catesianas) z (4.7) V V V V = ρ + + = ( coodenadas cilíndicas) ρ ρ ρ ρ φ z V V V = sen + θ sen θ θ θ V + = ( coodenadas esféicas) sen θ φ (4.73) (4.74) El Ejemplo dio una solución a la ecuación de Laplace cuando el potencial vaía en sólo una diección (la diección en el ejemplo). Ahoa se consideaá un ejemplo con vaiación del potencial en dos diecciones. Ejemplo. La técnica de sepaación de vaiables posee una mao aplicación en la solución de la ecuación de Laplace. Como un pime ejemplo de una solución a la ecuación de Laplace en coodenadas ectangulaes se tomaá el caso de un tubo metálico lago hueco con una sección tansvesal ectangula. La geometía se ilusta en la Fig Tes lados del tubo se mantienen a un potencial ceo el cuato lado, aislado de los otos tes, se mantiene a un potencial vaiable V = V sen ( π a), donde V es una constante. e desea detemina el potencial eléctico en todos los puntos en el espacio libe inteio al tubo. El poblema consiste en detemina una solución a la ecuación de Laplace que satisfaga las siguientes condiciones de fontea: V = (4.75) = b V = V = V sen π A ε V = V = = a Figua 4.7

229 V (, ) = (,) = (, ) = (, ) = sen ( π ) V V a V b V a Como el tubo se considea mu lago, el campo en la zona inteio se puede considea independiente de la coodenada z. Po tanto, en coodenadas catesianas, la ecuación de Laplace coespondiente es V V + = Utilizando el método de sepaación de vaiables, se supone una solución de la foma (4.76) V (, ) = X( ) Y( ) (4.77) donde ahoa X es una función de solamente Y sólo es función de. ustituendo esta epesión en la Ec. (4.76) eagupando téminos, se obtiene d X d Y X d = Y d (4.78) El lado izquiedo de esta ecuación es sólo función de el lado deecho sólo función de. O sea que en la Ec. (4.78), las vaiables independientes están sepaadas, como esultado, los cambios en en el lado deecho no afectan al lado izquiedo, similamente, cambios en en el lado izquiedo no afectan al lado deecho. En consecuencia, la única foma bajo la cual se puede mantene la igualdad es que ambos miembos sean independientes de de ; en otas palabas, la igualdad se mantiene si ambos miembos son iguales a alguna constante eal, dígase k (el signo negativo se escoge a popósito paa adapta mejo las condiciones de fontea): d X d Y X dx = = k (4.79) Y En téminos de la constante de sepaación, k, se tienen entonces las siguientes ecuaciones difeenciales odinaias: d d X k X d + = (4.8) d Y k Y d = (4.8) en las cuales se puede obseva que el método de sepaación de vaiables ha educido una ecuación difeencial pacial a un pa de ecuaciones difeenciales odinaias. Las soluciones geneales de las Ecs. (4.8) (4.8) son, espectivamente,

230 X( ) = A cos k + A sen k (4.8) k Y( ) = B e + B e (4.83) k donde A, A, B B son constantes abitaias cuos valoes se deteminan a pati de las condiciones de fontea. ustituendo estas dos últimas epesiones en la Ec. (4.77) esulta en k k ( )( ) V (, ) = A cos k + A sen k B e + B e (4.84) Esta solución puede ajustase paa que satisfaga todas las condiciones de fontea en foma simultánea. Aplicando la pimea condición de fontea, se obtiene k k ( ) = A B e + B e La única foma en que esta igualdad sea válida paa toda, sin cae en la condición tivial, es que A sea igual a ceo. Entonces, k k ( ) V (, ) = sen k B e + B e (4.85) donde A ha sido absobida po B B. Aplicando la segunda condición de fontea a la Ec. (4.85) esulta en ( ) = sen k B + B Esto equiee que B + B =, po tanto, la Ec. (4.85) se educe a V (, ) = C sen k senh k (4.86) donde Ck = B. Aplicando la tecea condición de fontea da ahoa k = C sen ka senh k la cual a su vez demanda que sen ka = que, en consecuencia, k ka = nπ, n = ±, ±, ± 3, (Obsévese que el caso n = se ha omitido a popósito a que conduce a la solución tivial). Esto significa que la foma más geneal de la Ec. (4.77) es una supeposición de soluciones C sen nπ a senh nπ a. Así se tiene entonces que sencillas de la foma ( ) ( ) n nπ nπ V (, ) = Cn sen senh (4.87) a a n= En la epesión anteio, el índice n cube solamente el conjunto de enteos positivos. Los valoes negativos de n sólo cambian el signo algebaico de Cn sin afecta en ninguna manea la foma de la suma. Esto se debe a que la constante Cn asociada con paes de téminos coespondientes a cada combinación de valoes positivos negativos de n, siempe pueden combinase en una sola constante. Del númeo infinito de téminos en el lado deecho de la Ec. (4.87) se etendán ahoa sólo aquellos téminos necesaios paa satisface la cuata última condición de fontea. En este

231 3 caso ella se puede satisface con la etención de un solo témino, el coespondiente a n =. Así se tiene que de donde ésta es la solución buscada. π π π C sen senh b = V sen (4.88) a a a V π π = senh π a a V (, ) sen senh ( b a) (4.89) Como una segunda aplicación del método de sepaación de vaiables, considee dos placas conductoas semi-infinitas paalelas al plano, una en = ota en = ota en = π, como se ilusta en la Fig uponga que la fontea izquieda de la egión ente las placas, localizada en =, está sellada po una banda infinita que está aislada de las dos placas se mantiene a un potencial especificado V(). e quiee detemina el potencial en la egión ente las placas. Igual que en el caso anteio, suponemos que el potencial es independiente de z, a que todo lo demás en el poblema posee esta simetía. Esto, igual que antes, el poblema se educe a dos dimensiones la ecuación de Laplace se escibe como con las condiciones de fontea V V + = paa >, a que las dos placas están a tiea; también paa π (4.9) V (, ) = (4.9) V (, π ) = (4.9) (, ) ( ) V = V (4.93) placas conductoas a tiea = = Figua 4.8. Dos placas conductoas semi-infinitas conectadas a tiea.

232 4 ( ) confome V (4.94) siguiendo ahoa el mismo pocedimiento que antes utilizando el método de sepaación de vaiables se obtiene donde V (, ) X ( ) Y ( ) d X d Y k X dx = Y d = (4.95) =. La azón paa escoge la constante igual a k se aclaaá más adelante. La Ec. (4.95) se sepaa en dos ecuaciones difeenciales odinaias: Las soluciones geneales de estas ecuaciones son: po tanto d X k X d = (4.96) d Y k Y d = (4.97) X = Aep( k) + Bep( k) (4.98) ( ) cos( ) Y = C sen k + D k (4.99) (, ) = [ ep( ) + ep( )] sen ( ) + cos( ) V A k B k C k D k (4.) donde A, B, C D son constantes abitaias. La condición de fontea (4.94) se satisface automáticamente si A = k >. Obseve que la opción k facilita esto haciendo que V cezca o decaiga monótonamente en la diección de en vez de oscila. La condición de fontea (4.9) se satisface si D =. La condición de fontea (4.9) se satisface siempe que sen ( kπ ) = (4.) lo que implica que k es un enteo positivo, dígase n. De modo que nuesta solución se educe a (, ) ep( ) sen ( ) V = C n n (4.) donde B ha sido absobida po C. Obseve que esta solución sólo puede satisface la sen n. Así que a condición de fontea final (4.93) siempe que V() sea popocional a ( ) pimea vista, paeciese que el método de sepaación de vaiables sólo tabaja paa un subconjunto mu especial de condiciones de fontea. in embago, éste no es el caso. Puesto que la ecuación de Laplace es lineal, cualquie combinación lineal de soluciones también es una solución. Po tanto, es posible foma una solución más geneal que la Ec. (4.) añadiendo muchas soluciones que incluan difeentes valoes de n. Así pues, n (4.3) n= (, ) = ep( ) sen ( ) V C n n

233 5 donde las Cn son constantes. Esta solución satisface automáticamente las condiciones de fontea (4.9), (4.9) (4.94). La última condición de fontea (4.93) se educe a V (, ) = Cn sen ( n) = V ( ) (4.4) n= Ahoa se debe escoge Cn paa que se ajuste a una función abitaia V(). Aquí se utilizan sen n ; vale deci, que ellas son mutuamente dos popiedades mu útiles de las funciones ( ) otogonales que foman un conjunto completo. La popiedad de otogonalidad de estas funciones se manifiesta a tavés de la elación π sen ( n) sen ( m) d (4.5) π, n = m =, n m La popiedad de completitud de las funciones seno significa que cualquie función geneal V() siempe puede epesentase en foma adecuada como una suma pondeada de funciones seno de difeentes valoes de n. Multiplicando ambos lados de la Ec. (4.4) po sen ( m ) e integando sobe, se obtiene π Cn sen ( n) sen ( m) d = V ( ) sen ( m) d (4.6) n= de la elación de otogonalidad se obtiene π C = V ( )sen n d (4.7) π n π ahoa se tiene una solución geneal al poblema paa cualquie función de ecitación V(). i el potencial V() es una constante, entonces ( ) lo que da la solución buscada es π V V = = π π nπ sen ( ) [ cos ( )] (4.8) Cn n d n (, ) V C n, n pa = 4V (4.9) o, n impa nπ 4V = π n=, 3, 5, ep ( n) sen ( n) n (4.)

234 6 4.7 oluciones Fomales de la Ecuación de Laplace en Coodenadas Cilíndicas En coodenadas cilíndicas ciculaes, la ecuación de Laplace tiene la foma V V V V = ρ + + = ρ ρ ρ ρ φ z (4.) Igual que en el caso ectangula, la utilización de una solución en foma de poducto educiá la ecuación de Laplace a tes ecuaciones difeenciales intedependientes en una sola vaiable cada una. Entonces, sustituendo la solución poducto en la Ec. (4.) esulta en ( ) V ( ρ, φ, z) = R( ρ) Φ( φ ) Z z (4.) d R dr d Φ d Z Φ Z + Φ Z + RZ + RΦ = dρ ρ dρ ρ dφ dz Dividiendo este esultado po el poducto RΦZ tasponiendo, esulta en (4.3) d R dr d Φ d + + = = λ λ R dρ ρr dρ ρ Φ dφ Z dz, (4.4) donde λ es la constante de sepaación [la única foma en que la Ec. (4.4) se cumpla paa todos los valoes de las vaiables, φ z es que la suma de cada uno de los téminos sea igual a una constante]. De la Ec.(4.4) se obtienen dos ecuaciones difeenciales, a sabe, d Z Z d z λ = (4.5) ρ d R ρ dr d Φ + + λ Z = = n R dρ R dρ Φ dφ (4.6) Aquí n es una segunda constante de sepaación cuo valo todavía está po deteminase. La Ec. (4.6) puede sepaase en dos ecuaciones difeenciales odinaias: d Φ + Φ = dφ n (4.7) d R dr n + + R λ = (4.8) dρ ρ dρ ρ Ahoa bien, las Ecs. (4.5) (4.7) pueden esolvese fácilmente, lo que da como esultado λz Z( z) = A e + A e (4.9) λz

235 7 Φ( φ ) = B cos φ + B sen φ (4.) La Ec. (4.8)), conocida como la ecuación de Bessel, conduce a soluciones denominadas funciones de Bessel, las cuales tienen la foma de seies infinitas en potencias de. Po ejemplo, cuando n =, la solución es donde ( ) ( ) R ( ρ ) = C J λρ + C Y λρ (4.) es la función de Bessel de la pimea clase oden ceo, Y ( λρ ) ( k! ) k k ( λρ ) = ( ) (4.) k= J λρ ln.577 π ( λρ ) = + J ( λρ) (4.3) es la función de Bessel de la segunda clase, o función de Neumann, de oden ceo. En la Fig. 4.9 se gafican algunas funciones de Bessel paa vaios valoes de n. La solución geneal de la ecuación de Laplace en coodenadas cilíndicas es el poducto de las Ecs. (4.9), (4.) de funciones de Bessel similaes en su foma a las dadas en la Ec. (4.). in embago, muchos poblemas en coodenadas cilíndicas poseen soluciones independientes de la coodenada z. En esos casos, V ( ρ, φ ) = R( ρ) Φ( φ ) (4.4) la ecuación de Laplace se educe a dos ecuaciones difeenciales odinaias: d Φ + Φ = dφ n ρ d R dr n R dρ + ρ dρ = e puede demosta que la solución geneal de la segunda ecuación es C ln ρ + C, n = R = n n C ρ + Cρ, n la cual, en combinación con la Ec. (4.) da C ln ρ + C, n = Φ( ρ, φ ) = n n ( B cosnφ + B sen nφ)( Cρ + Cρ ), n (4.5) (4.6) (4.7) (4.8) Las constantes abitaias de integación, B, B, C C, junto con todos los valoes posibles de la constante n, deben obtenese a pati de las condiciones de fontea.

236 8 (a) n Pimeos 3 ceos n Pimeos 3 ceos (b) Figua 4.9. Cuvas paa las funciones de Bessel de la pimea segunda clase. (a) Pimea clase; (b) segunda clase (funciones de Neumann). Ejemplo 3. La línea coaial de la Fig. 4. es un buen ejemplo al cual se puede aplica la ecuación de Laplace en coodenadas cilíndicas. La solución a este poblema posee significado páctico, a que también es válida paa campos vaiables en el tiempo. Paa los objetivos de obtene la solución se supondá que:. El cable coaial es mu lago, de tal foma que / z =.. El adio del conducto inteno es a, el adio inteio del conducto eteno es b. 3. El conducto inteno (un equipotencial) está a tiea, esto es, V(a) =. 4. El conducto eteno (el cual también es un equipotencial) se mantiene a un potencial fijo conectando una bateía ente los dos conductoes; entonces V(b) = V.

237 9 5. El espacio ente los electodos, a < ρ < b, lo constitue un dieléctico lineal, homogéneo e isótopo de pemitividad ε. V b φ a Figua 4. e quiee detemina la distibución de potencial en el inteio de la egión dieléctica también la intensidad del campo eléctico. Dicho en foma matemática, se desea detemina una solución de la ecuación de Laplace, independiente de z, que satisfaga las condiciones de fontea V(a) =, V(b) = V. Como consecuencia de la unicidad, sólo eiste una solución. Como también la solución es independiente de φ, la escogencia obvia dictada po la Ec. (4.8) es V = C ln ρ + C (4.9) Aplicando la pimea condición de fontea, V(a) =, se obtiene C ln, = C a de manea que V = C ln ( ρ a) Aplicando ahoa la segunda condición de fontea, V(b) = V, se obtiene la distibución de potencial es V C = ln b a ( b a) ( ) V ( ) ln a, a b V = ( ρ ) ρ (4.3) ln Paa obtene una epesión de la intensidad del campo eléctico se utiliza la elación E = V en coodenadas cilíndicas: ρ E = (4.3) ln V ( b a) Las supeficies equipotenciales son concénticas peo con una sepaación desigual a lo lago de un adio. Las líneas de la intensidad del campo eléctico se oiginan en el cilindo eteio teminan en el cilindo inteio donde el potencial es meno. Las líneas de E se hacen más densas ceca de la supeficie del conducto inteno, lo cual es consistente con la Ec. (4.3), la cual muesta que la amplitud de E aumenta paa ρ dececiente. Así que ρ = a detemina el áea más cítica desde un punto de vista de aislamiento, a que cuando E ecede la igidez dieléctica de un mateial, el aislamiento se ompe se oigina un aco ente los conductoes. aˆ ρ

238 3 Típicamente, la igidez dieléctica del aie es de 3 kv/m, mientas que la del papel es de 5 kv/m. Po tanto, el dieléctico se ompeá si la cantidad V/[aln(b/a)] ecede la igidez dieléctica de la substancia dieléctica ente los conductoes. Ejemplo 4. Un mateial conducto de espeso unifome h conductividad σ tiene la foma de un cuato de aandela, con adio inteno a adio eteno b, como muesta la Fig. 4.. Detemina la esistencia ente las dos caas etemas. b a h a b Figua 4. olución: Aquí se usaá el sistema cilíndico. e supone una difeencia de potencial V ente las dos caas, digamos V = en la caa en = (φ = ) V = V en la ota caa en = φ = π. e esolveá la ecuación de Laplace paa el potencial V sujeta a las siguientes ( ) condiciones de fontea: V = en φ = V = V en φ = π (4.3) Puesto que el potencial V sólo depende de φ, la ecuación de Laplace en coodenadas cilíndicas se simplifica a cua solución geneal es d V = dφ V = Aφ + B que al aplica las condiciones de fontea dadas en la Ec. (4.3) se conviete en V V = φ π La densidad de coiente es J = σ E = σ V dv = aˆ ˆ φσ = a ρdφ φ σv πρ La coiente total se calcula integando J en la supeficie φ = π/ en la cual obtiene (4.33) d = a ˆ hdρ, se φ

239 3 po tanto σhv I = Ji d = π σhv b = ln π a R b V π I h ln b a a ( ) dρ ρ = = (4.34) σ Ejemplo 5. Considéese un cilindo dieléctico de adio pemitividad ε de longitud infinita paalelo al eje z. El cilindo está colocado en un campo electostático unifome E diigido a lo lago del eje, como en la Fig. 4.. e quiee detemina el potencial inducido el campo paa todos los valoes de ρ φ. ε ε φ E Figua 4. En coodenadas cilíndicas, = ρcosφ po tanto E puede considease como el campo poducido po un potencial aplicado V dado po V = E cosφ (4.35) a que V = E. ea V el potencial inducido. Como V vaía con φ de acuedo con cos φ, el potencial inducido V también lo haá. Esto puede vese notando que las condiciones de fontea en ρ = deben cumplise paa todos los valoes de φ como cos φ es otogonal a cosnφ sen nφ, sólo el témino paa n = en la solución geneal (4.8) está acoplado con el potencial aplicado. Po tanto, una foma adecuada paa V es V Aρ cos φ ρ = B ρ φ ρ En ρ =, el potencial debe se continuo al atavesa la fontea, de manea que o cos ( ) cos ( ) A cos φ + V = B φ + V

240 3 B = A También en ρ =, la componente adial de la densidad de flujo, εe ρ, debe se continua po tanto o ε ρ φ ρ φ = ε ρ φ ρ φ ρ ρ ( A cos E cos ) ( B cos E cos ) B ε( A E ) = ε + E Las soluciones paa A B se obtienen ápidamente como ε ε A = ε + ε B = A En el inteio del cilindo el potencial total es E ε V + V = E ρcosφ ε + ε (4.36) (4.37) El campo todavía es unifome peo meno en magnitud que el campo aplicado E. Esta educción en el campo inteno es poducida po campo de despolaización establecido po la caga de polaización dipola equivalente en la supeficie del cilindo. El campo inteno total es Ei ε Fuea del cilindo, el campo inducido es Ee, donde = E (4.38) ε + ε E ρ φ ρ E ε ε ( ˆ cos ˆ e = φ + sen φ) ε + ε a a (4.39) Este campo es idéntico al poducido po un dipolo lineal ubicado en el oigen. 4.8 oluciones Fomales de la Ecuación de Laplace en Coodenadas Esféicas En coodenadas esféicas, la epesión paa la ecuación de Laplace es V V V + sen θ + = sen θ θ θ sen θ φ (4.4) puede esolvese suponiendo, igual que en el caso de coodenadas catesianas ectangulaes, una solución poducto de la foma

241 33 V (, θ, φ ) = R( ) Θ( θ) Φ( φ ) (4.4) iguiendo un pocedimiento simila al utilizado en las secciones pecedentes paa los otos dos tipos de coodenadas estudiados, se obtienen soluciones a la Ec. (4.4). De estas soluciones, las más sencillas de utilización más fecuente son:. V independiente de θ φ: V ( ) A = A + (4.4) donde A A son constantes que dependen de las condiciones de fontea.. V independiente de φ: θ V ( θ ) = C + C ln cot donde C C son constantes a detemina. 3. V independiente de φ: (4.43) n ( n+ ) ( n n )[ n n n n ] (4.44) V (, θ ) = A + A C P ( θ ) + C Q ( θ) n= donde las funciones Pn son los polinomios de Legende de la pimea clase a mencionados en la sección 4.6 [de aquí en adelante se utilizaá la notación más compacta Pn(θ) en luga de Pn(cosθ), esto es Pn(θ) = P ( cos θ ) ]. Las funciones Qn(θ) se conocen como las funciones de Legende de la segunda clase: n + cos θ Q(cos θ ) = ln cos θ + cos θ Q(cos θ ) = cos θ ln cos θ Obseve que todas las funciones Qn no están definidas paa θ = θ = π. Po tanto, estos valoes siempe se ecluen cuando la egión bajo consideación los contiene entonces la Ec. (4.44) se eemplaza po n ( n+ ) V (, θ ) = A n + A n Pn ( θ) (4.45) n= Ejemplo 6. Considee el caso de dos conchas esféicas concénticas de adios R R (donde R > R ). Las conchas intena etena se mantienen espectivamente con potenciales V V. Debido a la geometía esféica se usan coodenadas esféicas con el oigen en el cento de las conchas. Además, como las conchas son concénticas, es lógico que se tome el potencial ente ellas como independiente de los ángulos θ φ. Po tanto, el potencial es dado po la Ec. (4.4); es deci, V ( ) = A + A. La condición de fontea en = R da

242 34 en = R se obtiene A V = A + R A V = A + R Estas dos ecuaciones pueden ahoa esolvese simultáneamente paa obtene A A, po tanto, paa obtene el potencial el campo: ( ) V V RR RV RV V = R R + R R V ˆ V V RR E = a ˆ = R R a Ejemplo 7. Considéese los conos coaiales en la Fig Las condiciones de fontea son V = V en θ = θ V = en θ = θ, los vétices de los conos están aislados en =. Resolve la ecuación de Laplace en la egión ente los conos. θ θ V V = Figua 4.3 olución: El potencial es independiente de las coodenadas φ, de manea que, en este caso, la ecuación de Laplace se educe a Integando una vez, se obtiene d dv sen θ = θ θ θ sen d d dv d θ = C sen θ e integando una vez más, se obtiene el potencial como θ V = C ln tan + C

243 35 Aplicando las condiciones de fontea, se tiene que θ V = C ln tan + C θ = C ln tan + C de donde V = V ln θ tan ln θ tan ln θ tan ln θ tan No se necesitan las baas de valo absoluto paa el agumento del logaitmo si se toman θ θ menoes que π/. Ejemplo 8. upóngase que una cantidad Q de caga positiva está distibuida unifomemente en la supeficie de una esfea conductoa de adio. e quiee detemina el potencial la densidad del flujo eléctico en todos los puntos del espacio libe que odea a la esfea. olución. Debido a la simetía esféica, el laplaciano en coodenadas esféicas se simplifica a la ecuación difeencial a esolve se educe a d dv V = d d d d dv d = Las condiciones de fontea que se deben cumpli son:. La supeficie conductoa paa = es una supeficie equipotencial.. El potencial V se anula cuando. Una solución geneal de la Ec. (4.46) es V C = + C (4.46) donde C C son constantes de integación abitaias. La condición de fontea en el infinito equiee que C sea igual a ceo. Tomando ε = ε ( 4 ) ρ s = Q π en la Ec. (4.3) obsevando que ˆn es un vecto unitaio en la diección ceciente de la coodenada adial, se encuenta que C Q = 4πε =

244 36 de donde se obtiene que C Q ( 4 ) = πε así Q V = > 4πε E Q Q = V = ˆ, ˆ = ε = 4πε a D E 4π a (4.47) Las supeficies equipotenciales son supeficies esféicas que compaten un cento común con la esfea conductoa, mientas que las líneas de E D son adiales. Ejemplo 9. Esfea Metálica en un Campo Unifome. Considéese una esfea metálica de adio a en un medio dieléctico de pemitividad ε. Inicialmente eiste un campo unifome E en toda la egión dieléctica se desea detemina la distosión en el campo poducida po la esfea. olución: La geometía del poblema se muesta en la Fig. 4.4a. El cento de la esfea coincide con el oigen de coodenadas el campo pimaio, E, geneaá un campo secundaio el cual, al combinase con E, tansfomaá a la esfea metálica en una egión de potencial constante. in pede ninguna genealidad, el potencial de la esfea siempe puede escogese como ceo de esta foma las condiciones de fontea paa este poblema son: V = paa = a E E, esto es, V E cos θ paa >> a Debido a la simetía aial, φ = se aplica la Ec. (4.45): n= (4.48) n ( n+ ) V (, θ ) = A n + A n Pn ( θ), a (4.49) Reteniendo tantos téminos de la suma como sean necesaios paa satisface las condiciones de fontea, se tiene que A A V (, θ ) = A + + A + cos θ De la segunda condición de fontea se obtiene A = A =, de modo que (4.5) A A V (, θ ) = + E + cos θ Ahoa, de la pimea condición de fontea se obtiene que A = el potencial es 3 a V (, θ ) = E cos θ A 3 = Ea, po tanto, (4.5)

245 37 z Medio dieléctico θ E Esfea metálica a φ (a) z (b) la intensidad del campo eléctico es Paa mu gande, Figua 4.4. Esfea metálica suspendida en un campo unifome. (a) Geometía; (b) Configuación del campo. 3 3 a a E = E ˆ ˆ + cos θ + E sen θ θ a a (4.5) lím E = E ˆ ˆ cos θ a + E sen θ aθ = E (4.53) tal como se equiee. Po ota pate, cuando = a, E = 3E cos θa (4.54) ˆ la cual muesta que el vecto intensidad del campo eléctico es nomal a la supeficie de la esfea. El máimo esfuezo ocue en las pates supeio e infeio de la esfea donde E = 3E. Una gáfica del campo se muesta en la Fig. 4.4b. Obseve que, aun cuando la esfea es neuta (elécticamente), en todos los puntos de la supeficie eteio eiste una distibución de caga supeficial ρ = 3εE cosθ (4.55) s

246 38 Ejemplo. Fontea de Potencial Dependiente del Ángulo e tienen dos esfeas concénticas de adios R R (R < R). El potencial en la supeficie de la esfea más pequeña es ceo. En la supeficie de la esfea mao el potencial es dado po donde V es una constante. ( ) V R, θ = V cos θ (4.56) Esta dependencia angula del potencial en la fontea intoduce dependencia angula en el potencial ente las esfeas, cua foma eplícita puede hallase esolviendo la ecuación de Laplace en esta egión. Entonces, ente las esfea, V es dado po la epansión siguiente [véase la Ec. (4.45): n ( n+ ) (, θ ) = n + n n (cos θ) V A A P n= Obseve que la egión de inteés no inclue = o =. La condición de fontea V ( R, θ ) = da ( ) la condición de fontea V ( R ) A + B R = n (4.57) n n, θ = V cos θ da n+ paa toda B V A + =, A + B R = paa n (4.58) ( n+ ) 3 n n R R Las Ecs. (4.57) (4.58) se esuelven simultáneamente se obtiene Po tanto, A A = B = paa n n V R n V R R 3 = B 3 3 = 3 3 R R R R V R R V (, θ ) = cosθ R R (4.59) (4.6) 4.9 El Método de Imágenes Este método es útil cuando se desea detemina el campo poducido po cagas puntuales o líneas de caga en la cecanía de conductoes con cietas fomas simples. Como una eplicación sencilla del método, tómese el caso de dos cagas puntuales iguales, una positiva ota negativa, situadas en un dieléctico homogéneo de pemitividad ε. Las supeficies equipotenciales foman una familia de esfeas cuos centos están en la línea que une las cagas. ea la supeficie situada en cualquiea de los equipotenciales con especto a q. Fig i se emueve la caga q, el campo en la egión ocupada po la caga +q no sufe ninguna modificación si se distibue en una caga supeficial ρs, siempe que esta caga

247 39 poduzca un potencial en la supeficie igual al equipotencial que eistía al no esta la supeficie. En foma invesa si la caga +q se coloca en la foma mostada con especto a una esfea conductoa en ésta se induce una caga supeficial ρs convitiéndola en un equipotencial. La contibución de esta caga inducida al campo en el eteio del conducto se detemina ahoa más sencillamente eemplazando la distibución supeficial po la caga puntual equivalente q. A la caga q se le conoce como la imagen de +q con especto a la esfea dada. a a + q _ q (,, z) Figua 4.5 Ejemplo. Caga Puntual obe un Plano Conducto. El ejemplo más sencillo del uso de este método consiste en detemina el campo poducido po una caga puntual situada ceca de un plano conducto que está a tiea (Fig. 4.6). Las condiciones de fontea equieen que el potencial en el plano conducto sea ceo. Esto se cumple si en luga del plano conducto se coloca en = d una caga igual de signo contaio, como se indica en la figua. El potencial en cualquie punto P a la deecha del plano conducto está dado entonces po q q V = 4 πε = πε { ( ) ( ) } d z d z (4.6) Esta epesión se educe a ceo a lo lago del plano =, o sea que la Ec. (4.6) da el potencial paa cualquie punto a la deecha del plano. Debe queda clao que la Ec. (4.6) no es aplicable paa <, puesto que dento del conducto el potencial debe se ceo en todas pates. P ' d d Figua 4.6

248 4 Ejemplo. e coloca una caga q = µc a una distancia a = cm de una lámina infinita conductoa conectada a tiea. Detemina (a) la caga total inducida en la lámina, (b) la fueza sobe la caga q, (c) el tabajo total equeido paa lleva la caga lentamente hasta una distancia infinita del plano. olución: (a) El método de imágenes equiee que se coloque una caga imagen q siméticamente con especto a la lámina. Esto significa que la caga total inducida en la supeficie del conducto es q. (b) La fueza que actúa sobe +q es 6 q ( ) 9 F = = 9 =.9 N 4πε ( a). (c) El tabajo total equeido paa lleva la caga hasta infinito es q q W = Fd = d = =.9 J 4πε ( ) 6πε a a a Ejemplo 3. Esfea Conductoa Caga Puntual. Considéese una caga puntual q situada en un punto P a una distancia R del cento de una esfea conductoa de adio a. e desea calcula el campo eteno a la esfea. Considee una caga q situada en P a una distancia R del cento de la esfea a lo lago de la línea OP, como se muesta en la Fig Puesto que la esfea es conductoa, es necesaio que la combinación de las cagas q q convietan a la supeficie esféica en una supeficie equipotencial (en este caso, ceo potencial a que la esfea está a tiea). i se toma cualquie punto P en la supeficie esféica, entonces se tiene que P O a q P q R R Figua 4.7

249 4 Esto siempe se cumpliá si se se toma q q 4 πε 4 πε = q q (4.6) = (4.63) siempe que se pueda enconta un valo R tal que / sea una constante, independiente de la posición P. Puesto que cualquie punto abitaio P la línea OP deteminan un plano, se puede considea que los puntos en la Fig. 4.7 están situados en ese plano. i se escoge OP = R de modo que OP a a = (4.64) OP entonces el tiángulo OPP el tiángulo OPP son semejantes en consecuencia a = (4.65) OP seá una constante, tal como se quiee. Paa esumi, el campo debido a una caga q situada a una distancia R del cento de una esfea conductoa a tiea, se detemina a pati de la caga q de una caga imagen q cua magnitud es R a q = q = q (4.66) a R ubicada en la línea que une el cento de la esfea q a una distancia del cento dada po R a = (4.67) R i la esfea no estuviese a tiea, entonces paa mantene la neutalidad eléctica se debe coloca una caga adicional +q dento de la esfea (paa la esfea a tiea, +q estaía colocada efectivamente en el infinito). La posición de +q debe se tal que no afecte la supeficie de la esfea como un equipotencial. Esto se obtiene colocándola en el cento. Entonces, el potencial de la combinación en cualquie punto eteno es q q q V = + 4 (4.68) πε la geometía es como se muesta en la Fig En ealidad, la caga +q en el cento es sólo una caga imagen que poduce el mismo efecto eteno que la distibución de caga unifome ρ = q 4π a en la supeficie etena de la esfea. La caga supeficial total en la esfea es ceo a que es igual a la suma de la distibución unifome q 4π a una distibución no unifome de cantidad total q que establece el mismo campo eteno que la caga imagen q.

250 4 P O q q q Figua 4.8 Ejemplo 4. Líneas de Caga Paalelas de Longitud Infinita. El sistema de líneas de caga paalelas de la Fig. 4.9(a) es un sistema impotante que pemite detemina los campos electostáticos de conductoes paalelos de sección tansvesal cicula. upóngase dos líneas de caga paalelas de longitud infinita sepaadas una distancia d con densidades lineales ρ l ρ l. Debido a la etensión infinita del sistema, el análisis se confina al plano z =, lo que lo estinge a dos dimensiones (, ), como en la vista tansvesal de la Fig. 4.9b. ( d,,) P(, ) ρ l z ρ l (a) O (d,,) ρ l ρ l ( d,) O (d,) (b) Figua 4.9 Las supeficies equipotenciales de este sistema de líneas de caga paalelas son cilindos ciculaes ectos. Paa demosta este hecho, obseve que el potencial V (, ) en el punto P(, ) de la Fig. 4.8b se encuenta a pati de la supeposición de los potenciales V + poducidos po cada línea; cada una de ellas poduce un potencial dado po V( ) = ρl ln πε donde coesponde al potencial de efeencia es el punto del campo. Entonces, escogiendo al oigen O como la efeencia paa el potencial, los potenciales en P debidos a ρ l ρ l quedan como V u suma popociona el potencial en P, V ρl d ρl d = ln, V = ln πε R πε R + (4.69)

251 43 + ρl R V (, ) = V + V = ln πε R (4.7) En la Ec. (4.7), obsévese que V asume como valoes todos los númeos eales a que R, V allí; en tanto que V en la línea de confome P se apoima a ρ l ( ) caga positiva. Las supeficies equipotenciales se obtienen igualando la Ec. (4.7) a cualquie potencial constante deseado V = V : ρ l πε R R Esto quiee deci que cualquie elación eal fija R = V K (4.7) R = (4.7) define una supeficie equipotencial en la que pevalece V = V. Po tanto, K = R R = define el plano = que biseca el sistema. En geneal, otas supeficies equipotenciales dadas po otos valoes de K son cículos en la vista tansvesal de la Fig. 4.9b; si se inclue el eje z, se tansfoman en supeficies cilíndicas ciculaes, lo que se demuesta sustituendo la Ec. (4.7) en la Ec. (4.7) como sigue: que se conviete en ( + d) + ( d) + Esto se educe a la ecuación de un cículo, agega d ( K + ) ( K ) = K K + d + d + = K ( h) R, (4.73) + = si a cada lado de (4.73) se paa completa el cuadado así obtene + Kd K d + = K K (4.74) Este esultado demuesta que las supeficies equipotenciales típicas son una familia de cilindos ciculaes con centos desplazados desde el oigen en cuos adios son dados po K + h = d K Kd R = K (4.75) (4.76)

252 44 En la Fig. 4. se ilustan algunos cilindos equipotenciales típicos definidos po (4.74). Los valoes de K menoes que coesponden a cilindos equipotenciales a la izquieda del oigen, en tanto que K > da los cilindos de la deecha. R R ρ l ρ l R d d h Figua 4. Tomando la difeencia de los cuadados de (4.75) (4.76) se elimina a K paa obtene h R = d, de donde d = h R (4.77) lo que da las ubicaciones ± d de las cagas en la Fig. 4.9 en función de R h. Reemplazando ahoa la pate intena (o etena) de cualquie pa de cilindos equipotenciales de la Fig. 4. con conductoes (que lleven las cagas q q po longitud l ), se puede considea que se han esuelto los poblemas coespondientes a () un conducto paalelo a un plano conducto, () un pa de conductoes paalelos de adios iguales o no, (3) un pa de conductoes coaiales. Tómese po ejemplo el caso de un pa de dos conductoes paalelos de adio a, cua sepaación ente sus ejes es b de sepaación d ente las posiciones de una línea su imagen (ve Fig. 4.). P R R ρ l ρ l a s d d b Figua 4. e puede concebi un ajuste de la distancia d de tal foma que la sepaación ente un pa coespondiente de supeficies equipotenciales sea igual a b. Esta condición equiee que

253 45 K + b = d K (4.78) Al mismo tiempo, mediante un ajuste apopiado de ρ l también se puede pecisa K de modo que las supeficies conductoas el mismo pa de supeficies cilíndicas equipotenciales coincidan eactamente. Esta segunda condición equiee que Kd a = K De las Ecs. (4.78) (4.79) se obtiene el valo de K: b ± b 4a K = a (4.79) Regesando al poblema que nos ocupa, es deci, la búsqueda de la línea de caga imagen adecuada, esta línea, peo con signo opuesto, se debe coloca a una distancia d que satisfaga las Ecs. (4.78) (4.79) simultáneamente, vale deci, 4a d = b b b ± b 4a in embago, sólo inteesa el signo positivo a que el signo negativo podía hace a d negativa; po tanto, Compaando con la Fig. 4.8 es evidente que 4a d = b b b b 4a ( ) (4.8) b + d = s (4.8) donde s es la distancia desde la línea de caga hasta el eje del cilindo conducto. Po consiguiente, con s conocida, b d pueden deteminase a pati de las Ecs. (4.8) (4.8). Esto da suficiente infomación paa coloca la caga imagen en el luga apopiado. El potencial en el espacio eteno al conducto viene dado entonces po ρl R V = ln πε R (4.8) El potencial constante del conducto puede evaluase pemitiéndole al punto P acecase a la supeficie del conducto, Fig. 4.. En ese punto R R b + d = a b d = + a (4.83)

254 46 Puesto que b d se conocen en téminos de s, el potencial constante en la supeficie del conducto puede deteminase sustituendo las Ecs. (3-79) en la Ec. (3-78). Ejemplo 5. Imágenes Múltiples. Paa una caga en las cecanías de la intesección de dos planos conductoes, como q en la egión AOB de la Fig. 4., podía considease el utiliza sólo una imagen en cada plano, tal como en la figua. Aunque +q ente los dos planos q en daían po sí solas un potencial constante en OA como se equiee, +q ente los planos q en también daían un potencial constante en OB, las tes cagas juntas no daían un potencial constante ni en OA ni en OB. Es necesaio coloca imágenes de estas imágenes, epitiéndolas hasta que las imágenes adicionales coincidan o hasta que todas las imágenes adicionales estén demasiado lejos de la egión como paa afecta el potencial. Es posible satisface las condiciones equeidas con un númeo finito de imágenes si el ángulo AOB es un submúltiplo eacto de 8, como en el caso paa un ángulo de 45 ilustado en la Fig q 5 +q 4 -q A q 7 +q 6 O -q +q 3 -q B Figua 4.

255 47 PROBLEMA 4. ea F(,. z) = λ la epesentación de una familia de supeficies tales que F posee deivadas paciales continuas del pime segundo ódenes. Demueste que una condición necesaia suficiente paa que estas supeficies sean equipotenciales es F = f ( λ) ( F) donde f ( λ ) es una función de λ solamente. Demueste que si se cumple esta condición el potencial es donde c c son constantes. f ( ) d V = c e λ λ dλ + c 4. Una caga está distibuida en una línea ecta infinita con una densidad constante de ρ l culombios/meto. Demueste que la intensidad del campo en cualquie cua distancia a la línea es es E ρl = πε que este campo es el negativo del gadiente de una función potencial V(, ) = ρl ln πε donde es una constante abitaia que epesenta el adio de un cilindo en el cual V =. A pati de estos esultados demueste que si la caga se distibue en un espacio bidimensional con una densidad ρ (, ), el potencial en cualquie punto del plano es V(, ) = ρs ln ds πε donde = ( ) + ( ) demueste también que (, ) V satisface la ecuación V V + = ρs(, ) ε 4.3 Dos planos infinitos son paalelos. Uno está cagado unifomemente con una densidad de caga supeficial +ρs el oto con una densidad de caga ρs. Demueste que la intensidad del campo ente los dos planos tiene un valo ρs/ε que es igual a ceo fuea de los dos planos.

256 Refiéase a la Fig. 4.7 suponga que el potencial a lo lago de la paed conductoa en = a es V sen b π en vez de ceo, es ceo en las otas paedes. Detemine la nueva distibución del potencial en el inteio de la cavidad ectangula. 4.5 Igual que el Poblema 4.4, peo el potencial en la paed = a es una constante igual a V. 4.6 La fontea de un paalelepípedo como el ilustado en la Fig. 4.3 se mantiene a ceo potencial. El inteio está ocupado po una densidad de caga dada po π πz ρ v = sen sen b a c ( ) Halle una solución paa la distibución de potencial V en el inteio. ugeencia: Como no se equiee que V satisfaga la ecuación de Laplace (satisface la ecuación de Poisson puesto que ρv ), suponga que V puede epesentase mediante una seie de Fouie en tes dimensiones: n= m= s= nπ mπ πz V = Anms sen sen sen a b c Epanda ρv en una seie de Fouie tidimensional semejante ustitua estas epansiones en la ecuación de Poisson V = ρ ε use las popiedades de otogonalidad de las funciones seno paa elaciona los coeficientes Anms con los coeficientes coespondientes en la epansión de ρv. v z c b a Figua Considee dos placas metálicas gandes que foman un capacito en foma de cuña, como muesta la Fig La placa en φ = se mantiene a ceo voltios en tanto que la placa en φ = β se mantiene a V voltios. Despecie los efectos de distosión en los bodes. (a) Esciba la ecuación difeencial que satisface el potencial en el inteio del capacito detemine el potencial. (b) Detemine la densidad de caga la caga total que eside en las placas.

257 49 z h ρ β ρ Figua Un cascaón esféico cagado unifomemente tiene un adio a. Oto cascaón, concéntico con el anteio, tiene una caga igual de signo opuesto un adio b > a. Detemine el campo eléctico a una distancia del cento común, donde está ente a b. Cómo se compaa este campo con el que eistiía si la esfea etena no estuviese pesente? 4.9 Una placa dieléctica de pemitividad ε espeso d ocupa pacialmente el espacio ente dos láminas conductoas paalelas como se muesta en la Fig Las láminas están sepaadas una distancia l se mantienen a una difeencia de potencial V. Mediante el acoplamiento apopiado de las soluciones a la ecuación de Laplace en las dos egiones, detemine las epesiones paa el potencial en el dieléctico en el aie ente las láminas. = l = d = V Figua Considee un cable coaial de longitud infinita. El adio del conducto cental es a metos, el adio inteno del conducto eteno es b metos. i el aislamiento ente los conductoes tiene una esistencia a la uptua de KV/m, detemine la mínima difeencia de potencial ente los conductoes que causa la uptua. La espuesta debe esta dada en téminos de a, b K.

258 5 4. Un cilindo conducto lago de adio a se sitúa en un campo eléctico, el cual, lejos del cilindo, está dado po V = E cos φ, donde φ son las coodenadas cilíndicas usuales E es una constante. El eje z se oienta paa que coincida con el eje del cilindo. (a) Detemine la distibución del campo en la egión eteio al cilindo, suponiendo que el potencial del cilindo es ceo. (b) Detemine la magnitud la diección del campo electostático en puntos alejados del cilindo ( >>a). 4. Paa qué valoes de A B es la siguiente función una función potencial válida en una egión libe de cagas? Acos V = 3 θ B 4.3 Un cascaón esféico aislante de adio R tiene una distibución de caga supeficial dada po ρ ( ) s = ρs cos θ. Detemine el potencial poducido po la esfea en todas pates. 4.4 El potencial electostático en una cieta egión viene dado po ke V = a donde k a son constantes. Cómo está distibuida la caga en esta egión? Veifique su espuesta con la le de Gauss. Qué intepetación física se le puede da a la constante k? 4.5 En una egión dieléctica de pemitividad ε eiste una distibución de potencial V = E sen φ. En el mateial dieléctico se pefoa una cavidad cilíndica en toda su etensión en la diección del eje z (véase la Fig. 4.6). Detemine el potencial esultante en la cavidad. ε a ε φ z Figua Considéese un cilindo de semi-longitud infinita adio a. La paed lateal del cilindo se mantiene a potencial ceo, en tanto que la caa en el etemo z = se mantiene a un potencial constante V, como indica la Fig Halle una solución paa el potencial V en el inteio del cilindo.

259 5 V = V V = a z Figua e tiene una esfea de pemitividad ε que está colocada en un medio de pemitividad ε (Fig. 4.4a). Demueste que en este caso el potencial fuea dento de la esfea viene dado espectivamente po 3 a ε ε V = E + cos θ ε + ε 3ε = cos θ V E ε + ε 4.8 Un capacito esféico está fomado po dos cascaones esféicos conductoes de mu poco espeso de adios a b (b > a), sepaados po un dieléctico de pemitividad ε. La esfea eteio está a tiea el potencial de la esfea inteio se mantiene a un potencial fijo V. Aplicando la ecuación de Laplace, deive las epesiones paa el potencial el campo eléctico en las tes egiones definidas po (i) < a, (ii) a < < b, (iii) b. 4.9 Una esfea conductoa hueca de adio a tiene una pequeña becha alededo del plano ecuatoial que sepaa los dos hemisfeios. El hemisfeio supeio se mantiene a un potencial constante V, en tanto que el infeio se mantiene a un potencial ceo. Obtenga la solución paa la distibución del potencial en el inteio de la esfea. 4. Un alambe mu delgado posee una caga de ρ l culombios/meto está situado paalelo a un plano conducto. La distancia del alambe al conducto es h. Obtenga una epesión paa el potencial en cualquie punto P. 4. Dada una esfea dieléctica hueca de pemitividad elativa ε adios inteno eteno a b espectivamente, situada en un campo eléctico eteno unifome E, demueste que la intensidad del campo eléctico en la cavidad esféica viene dada po E = 9E ε 3 ( ε + )( ε + ) ( ε ) ( ) a b 4. Una caga puntual q está situada en el inteio del ángulo ecto fomado po un pa de planos conductoes que se cotan (Fig. 4.7). Detemine mediante el método de imágenes el potencial en cualquie punto P en el inteio del ángulo ecto.

260 5 a q b Figua Dos planos conductoes semi-infinitos conectados a tiea foman un ángulo de 6º. e coloca una caga única +Q como muesta la Fig En un dibujo indique claamente la posición el tamaño de todas las cagas imágenes. Eplique su azonamiento, Detemine también el campo eléctico ente los planos. 6º h h Figua Detemine la enegía almacenada en un sistema confomado po una caga puntual situada a una distancia d de un plano conducto infinito.

261 Capítulo 5 Magnetostática 5. Intoducción Un campo magnético, vaiable en el tiempo o no, tiene una magnitud única una diección única, ambas pueden vaia en el espacio. Las cagas estacionaias poducen campos elécticos estáticos. e conocen dos fuentes apaentemente distintas capaces de oigina un campo magnético estático: una coiente estacionaia (constante) o un imán pemanente. Un tatamiento diecto del campo poducido po imanes pemanentes involuca la intoducción del concepto de un polo magnético puntual la identificación de dos tipos de polos; las inteacciones ente estos dos polos pueden epesase mediante una le semejante a la le de Coulomb. Cuando se estudia de esta manea, el campo de inducción magnético tiene una descipción mu semejante a la del campo eléctico poducido po cagas fijas. El enfoque utilizado paa campos electostáticos tiene po lo menos tes desventajas al aplicalo en magnetostática. En pime luga está la dificultad epeimental paa aisla polos magnéticos individuales. Epeimentalmente, un imán dividido en dos poduce dos imanes, cada uno con su polo positivo en un etemo su polo negativo en el oto. En segundo luga, el fomalismo de los polos es sencillo sólo paa detemina el campo en la egión fuea del imán pemanente. Finalmente, ese fomalismo de polos no puede etendese fácilmente paa inclui los campos de inducción magnética poducidos po coientes elécticas. La epeimentación la evidencia teóica indican que no eiste una difeencia fundamental ente los campos poducidos po los dos tipos de fuentes que, de hecho, el mecanismo definitivo paa la poducción de los campos magnéticos es el mismo paa esas fuentes. Este capítulo tataá de coientes constantes. Dos lees impotantes igen los campos magnetostáticos: () la le de Biot-avat, () la le cicuital de Ampee. Como la le de Coulomb, la le de Biot-avat es la le geneal de la magnetostática, la le de Ampee es un caso especial de la le de Biot-avat se aplica fácilmente a poblemas en los que la coiente tiene una distibución simética. 5. Le de Biot avat En el caso del campo eléctico, la distibución fundamental de caga es la caga puntual, definida como una caga que es difeente de ceo en un punto del espacio. Este concepto se etiende al valo de la coiente en un punto cuando el punto en cuestión es pate de un cicuito eléctico de alambes filifomes (alambe de sección tansvesal infinitesimal). La coiente eléctica posee diección, esta diección la detemina la diección del alambe. El elemento de coiente en cada uno de los puntos de la taectoia se define como una

262 54 cantidad vectoial en la foma Idl. La magnitud de dl epesenta el difeencial de longitud medida a lo lago de la taectoia filifome de la coiente. La le de Biot avat, basada en los esultados de Oested es un postulado fundamental. Ella establece que la intensidad del campo magnético difeencial dh poducido en un punto P po un elemento difeencial de coiente Idl, es popocional al poducto de Idl po el seno del ángulo α, fomado ente el elemento la línea que une a P con el elemento, como la le de Coulomb, es invesamente popocional al cuadado de la distancia R en P el elemento, como muesta la Fig. 5.; es deci, tiene la foma ki dl sen α dh = (5.) R donde k es la constante de popocionalidad. En unidades I, k = 4π, la Ec. (5.) se escibe como I dl sen α dh = 4πR De la definición del poducto vectoial la Ec. (5.), se tiene que el vecto de la intensidad de campo magnético difeencial, dh, es poducido po un elemento de coiente difeencial Idl, tiene una diección dada po el poducto cuz de Idl a ˆ R. Esta es la elación conocida como la le de Biot avat: (5.) I dl aˆ R dh = ( A/m) (5.3) 4πR La fómula muesta que la intensidad del campo magnético H poducida po un coto segmento de alambe dl está elacionado diectamente con la coiente estacionaia I. En téminos técnicos, dl puede considease como vecto de longitud difeencial del elemento de coiente. u diección es la misma que la diección de la coiente. La diección de R debe se desde el elemento de coiente hasta el punto de obsevación en el espacio alededo del conducto en el cual se va a detemina dh, R = R es la distancia ente el elemento de coiente el punto del campo aˆ R = R R, como se ilusta en la Fig. 5.. La diección de dh puede se deteminada mediante la egla de la mano deecha con el pulga deecho apuntando en la diección de la coiente los dedos alededo de dh. egún esta ecuación, dh vaía como R, lo que la asemeja a la dependencia con la distancia del campo eléctico poducido po una caga eléctica. in embago, a difeencia del campo eléctico E, cua diección es a lo lago del vecto R que une la caga con el punto de obsevación, el campo magnético H es otogonal al plano que contiene la diección del elemento de coiente dl el vecto distancia R. I α R dh Idl Figua 5.

263 55 Los elementos de coiente no tienen una eistencia sepaada independiente. Todos los elementos que confoman el filamento de coiente contibuen a H po tanto deben se incluidos. De este modo, la sumatoia de todas las contibuciones conduce a la foma integal de la le de Biot avat: I dl aˆ H R = (5.4) 4πR L e equiee una integal de línea ceada paa asegua que todos los elementos de coiente sean incluidos (el contono puede cease en ). L es la taectoia lineal a lo lago de la cual eiste I (el contono puede cease en ). En la misma foma en que se tenían difeentes configuaciones de cagas elécticas, se pueden tene difeentes distibuciones de coientes: coientes lineales, de supeficie de volumen. i se define K como la densidad de coiente de supeficie (A/m) J como la densidad de coiente de volumen (A/m ), los elementos de fuentes están elacionados como I dl K d J dv (5.5) De manea que en téminos de estas fuentes, la le de Biot-avat se puede epesa como Id ˆ R = l a H (coiente lineal) (5.6) 4πR L d ˆ R = K a H (coiente supeficial) (5.7) 4πR dv ˆ R = J a H (coiente de volumen) (5.8) 4πR v Ejemplo. En la Fig. 5. se muesta un filamento de coiente I, ecto de longitud infinita a lo lago del eje z. e quiee detemina la intensidad del campo magnético H en un punto localizado a una distancia ρ en el plano en el espacio libe. z ρ H R Idl Figua 5.

264 56 olución: e selecciona un punto en el plano z = sin pédida de genealidad. En foma difeencial, la Ec. (5.6) es ( ˆ z ρ ρ z z ) 3 ( z ) I dzaˆ a a dh = 4π ρ + I dzρaˆ φ = 3 4 π ρ + ( z ) La vaiable de integación es z. Como a ˆ φ no cambia con z, se puede saca de la integal antes de intega entonces Iρdz H = ˆ a 4 ( z ) 3 φ π ρ + I = a ˆ φ πρ (5.9) Este impotante esultado muesta que H es invesamente popocional a la distancia adial. e ve que la diección coincide con la egla de mano deecha en la cual los dedos de la mano deecha apuntan en la diección del campo cuando el conducto se sostiene de foma que el pulga deecho apunte en la diección de la coiente. Ejemplo. Un anillo (espia) cicula de adio a colocado en el plano conduce una coiente I en la diección a ˆ φ. Detemina H en el punto (,, h) (véase la Fig. 5.3). z dh z (,, h) dh ρ R I a dl Figua 5.3 olución: La intensidad del campo magnético H en el punto (,, h) poducida po el elemento de coiente Idl lo da la le de Biot-avat, Ec. (5.3), donde di = a dφa ˆ φ I dl aˆ dh = 4πR R

265 57 a ˆ R R,, h,, aaˆ hˆ ρ + a = = = R + + h a + h z Entonces, po tanto, dl R dl aˆ ˆ ˆ R = = ah dφ a + a dφa R R ( ρ z ) I dh = ah dφ aˆ ˆ 3 ρ + a dφa ( 4π a + h ) = dh aˆ + dh aˆ ρ ρ z ( z ) z De consideaciones de simetía, se obseva que las contibuciones en la diección de a ˆ ρ se cancelan ente sí (las componentes adiales de los elementos diametalmente opuestos se cancelan). En consecuencia, 5.3 Le de Ampee Ia dφ H = dh aˆ = ˆ 3 a ( 4π a + h ) Ia = ( a + h ) π z z z 3 a ˆ (5.) e necesita obtene una ecuación paa B que elacione H con la coiente que eista en el punto en el espacio donde se está evaluando H. La le cicuital de Ampee es la segunda le básica en la magnetostática; ella establece que la integal de línea de la componente tangencial de la intensidad de campo magnético H en tono a una taectoia ceada es igual a la coiente enceada Ienc po la taectoia: z d = Ienc Hi l (5.) C A pimea vista se podía pensa que la le se usa paa detemina la coiente I mediante una integación. Más bien, lo que se conoce usualmente es la coiente la le popociona un método paa halla H. La le de Ampee es simila a la le de Gauss se aplica fácilmente paa detemina H cuando la distibución de coiente es simética. El témino I enc en el lado deecho de la Ec. (5.) toma en cuenta los sentidos de todas las coientes enceadas po la taectoia C, de manea que si una misma coiente ataviesa la supeficie dos veces en sentidos opuestos, esa coiente no contibue a la ciculación de H. Aplicando el teoema de tokes al lado izquiedo de la ecuación anteio, se obtiene I = Hi dl = ( H) i d enc C La taectoia C en la Ec. (5.) es abitaia la egla de la mano deecha elaciona la diección en la cual se ecoe con la diección asignada a. En la ecuación anteio se tiene también que

266 58 I enc = d Ji una compaación de las integales de supeficie evela claamente que H = J (5.) Ésta es la tecea ecuación de Mawell; es esencialmente la le de Ampee en foma difeencial. De esta ecuación se debe obseva que H ; es deci, un campo magnetostático es no consevativo. i se toma la divegencia de ambos lados de la Ec. (5.), el lado izquiedo es ceo a que la divegencia del otacional de un vecto es siempe ceo. Esto equiee que los sistemas de campos magnéticos tengan coientes libes de divegencia de manea que la caga no se pueda acumula. Las coientes siempe deben flui en lazos ceados. La le de Biot-avat se puede deiva a pati de la le cicuital de Ampee, así que, en cieta foma, la pimea no es ealmente un pincipio sepaado. in embago, aunque la le de Ampee es un enunciado geneal de la conducta de coientes estacionaias, su aplicación pesenta algunas desventajas. Paa utiliza la le de Ampee en foma efectiva, el campo debe se suficientemente simple se debe tene un gado consideable de simetía en el poblema. e deben cumpli dos condiciones. En todo punto de la taectoia ceada, H debe se a sea tangencial o nomal a la taectoia.. H debe tene el mismo valo en todos los puntos de la taectoia donde H es tangencial. La le de Biot avat puede usase como auda en la selección de una taectoia que cumpla con las condiciones anteioes. En la maoía de los casos en que sea aplicable, seá evidente una taectoia apopiada. Ejemplo 3. e deteminaá el campo magnético debido a una coiente I en un conducto cilíndico ecto de longitud infinita de sección tansvesal cicula con un adio b (Fig. 5.4). J = a ˆ z I πb es unifome. La densidad de coiente ( ) H ρ b Figua 5.4 Debido a la simetía, H es constante a lo lago de la taectoia cicula mostada en la figua H es tangente a esa taectoia. Entonces, si la taectoia está fuea del conducto, la le de Ampee da

267 59 d = H πρ = I, ρ b Hi l C i la taectoia está en el inteio del conducto, sólo pate de la coiente I es enceada po la taectoia. En consecuencia, πρ H πρ = I, ρ b πb La intensidad del campo magnético es dada po I b aˆ ˆ φ = J aρ, ρ b πρ ρ H = J ρ ρ aˆ ˆ φ ρ, b = J a ρ (5.3) Ejemplo 4. Una lámina infinita de coiente está en el plano z = con muesta la Fig Halla H. ˆ K = Ka, como z a a 4 3 K Figua 5.5 olución: La le de Biot avat consideaciones de simetía muestan que H tiene sólo una componente en, no es una función de o. Aplicando la le de Ampee al contono cuadado 34, usando el hecho de que H debe se antisimético en z, se obtiene K d = ( H )( a) + + ( h)( a) = ( K)( a) H = Hi l H = Así pues, paa toda z >, ( ) ˆ de la lámina de coiente, K a. Más genealmente, paa una oientación abitaia H = K a ˆ n (5.4) Ejemplo 5. Úsese la le de Ampee paa obtene el campo H debido a un filamento de coiente I ecto de longitud infinita.

268 6 La le de Biot avat muesta que en cada punto del cículo concéntico en la Fig. 5., H es tangencial de la misma magnitud, siempe que sea constante. Entonces, como la taectoia enciea toda la coiente I, según la le de Ampee, de modo que El mismo esultado obtenido anteiomente. d = H ( πρ ) = I Hi l I H = a ˆ φ (5.5) πρ Como una etensión de la Ec. (5.5), considee la bobina tooidal de N vueltas bien apetadas de sección tansvesal unifome de áea a en la Fig O b H Figua 5.6. Una bobina tooidal. i se escoge una taectoia cicula de adio aplicando la le cicuital de Ampee se obtiene H π = NI t donde H t es la componente de H tangente a la taectoia. i las dimensiones de la sección tansvesal son pequeñas en compaación con, la componente tansvesal de H es despeciable se obtiene NI H Ht = (5.6) π Paa un punto fuea de la bobina tooidal, ésta apaeceá como apoimadamente equivalente a una sola vuelta en tono al eje. La componente en de la intensidad del campo magnético [ve la Ec. (5.)] es H Ib = ( + b ) donde b es el adio paa una sola vuelta equivalente. En =, el cociente H /H = π/bn muesta que el oden de magnitud del campo eteno es meno que el del campo inteno po un facto de N. Ejemplo 6. Halla H en el cento de una espia cuadada de lado L. 3

269 6 olución: e escoge un sistema de coodenadas catesiano de manea que la espia está situada como muesta la Fig Po simetía, la mitad de cada lado contibue la misma cantidad a H en el cento. Paa el medio lado L/, = L/, la le de Biot avat da paa el campo en el oigen L/ d L/ R L/ L/ dh = Po tanto, el campo total en el oigen es = Figua 5.7 ( Id ) + ( L ) aˆ ˆ ˆ a a 3 4π + Id L ( L ) ( ) aˆ ( L ) 4π + H = 8 L z 3 ( ) aˆ ( L ) 4π + I = a ˆ π L I = a ˆ π L Id L z n donde a ˆ n es la nomal al plano de la espia dada po la egla usual de la mano deecha. Ejemplo 7. Campo en una Línea Coaial. Considee una línea coaial de longitud infinita consistente de un conducto inteno de adio a, un conducto eteno de adio inteno b espeso t. Po el conducto inteno flue una coiente I po el eteno flue una coiente de etono I, como en la Fig En la egión a ρ b la solución paa H φ es la misma que la del Ejemplo 5, es deci, z I H = φ, a b πρ ρ En la egión ρ a, la coiente enceada, si se considea una coiente unifomemente distibuida, es I = ρ I a, el campo H φ es enc H φ Iρ =, ρ a πa 3

270 6 ρ I H φ φ I a b t En la egión b ρ b + t se tiene que o Figua 5.8 Línea coaial de longitud infinita. π ρ π I H ρ d φ = I φ d d π [( b + t) b ] ρ φ φ b ( ρ b ) I πρ Hφ = I ( b + t) b [ ] a que la densidad de coiente en el conducto eteno es I π ( b + t) b. Po tanto, I ( ρ b ) [( ) ] I Hφ =, b ρ b + t πρ πρ b + t b Paa ρ b + t el campo H φ es ceo, a que la taectoia de integación no enciea una coiente neta. Nótese que la epesión anteio paa H φ se hace ceo cuando ρ es igual a b + t. 5.4 Relación ente J H En vista de la le de Ampee, la ecuación de definición paa ( ot H ) puede escibise como I ( ot ) ˆ H i a = lím = J z z donde J = di /d es la densidad de supeficie de la coiente en la diección positiva de. Así que las componentes en de ot H la densidad de coiente son iguales en cualquie punto. En foma simila paa las componentes en z, de manea que H = J (5.7) Ésta es una de las ecuaciones de Mawell paa campos estáticos. i se conoce H en toda la egión, entonces H poduciá J paa esa egión. Desde oto punto de vista, puesto que el otacional de un campo vectoial es una medida apopiada de la intensidad de la fuente, esta ecuación establece a J como una fuente de vótice del campo H.

271 63 Ejemplo 8. Un conducto lago ecto con sección tansvesal de adio a tiene una intensidad de campo magnético H = ( ρ π ) H = ( π ρ) ˆ I a a φ dento del conducto (ρ < a) ˆ I a a φ paa ρ > a. Detemínese J en ambas egiones. En el inteio del conducto J I ρ I ρ I = H = ˆ ˆ ˆ ρ + z = z πa a ρ ρ πa a πa a la cual coesponde a una coiente de magnitud I en la diección +z que está distibuida unifomemente en el áea de la sección tansvesal πa. Fuea del conducto, como debe se. I I J = H = ˆ ˆ ρ + z = z πρ a a ρ ρ π z Ejemplo 9. Un conducto cicula de adio = cm tiene un campo inteno 4 H ρ = sen aρ cos aρ ˆ ( A/m) φ ρ a a a donde a = π/. Halle la coiente total en el conducto. olución: e tienen dos métodos paa esolve este poblema: () calcula J = H luego intega; () usa la le de Ampee. Aquí el segundo método es más sencillo. π 4 4 π π Ienc = d = sen cos dφ Hi l π π ρ= = = π π A 5.5 Densidad de Flujo Magnético Igual que la densidad D en campos electostáticos, la intensidad de campo magnético H depende solamente de cagas (en movimiento, en este caso) es independiente del medio. El campo de fuezas asociado con H es la densidad de flujo magnético B, la cual es dada po B = µ H (5.8) donde µ = µ µ es la pemeabilidad del medio µ es la pemeabilidad elativa. La unidad de B es el tesla (T), N tesla (T) = A m La pemeabilidad del espacio libe µ tiene un valo numéico de 4π 7 tiene la unidad de hen po meto (H/m); µ la pemeabilidad elativa del medio, es un númeo puo,

272 64 adimensional, mu cecano a la unidad, ecepto paa un pequeño gupo de mateiales feomagnéticos. El flujo magnético, Фm, a tavés de una supeficie se define como Φ = d Bi (5.9) m El flujo magnético, igual que el flujo eléctico, es una cantidad escala su signo puede se positivo o negativo dependiendo de cómo se escoja la nomal a la supeficie d. La unidad de flujo magnético es el webe, Wb. Las difeentes unidades magnéticas están elacionadas po T = Wb/m H = Wb/A Nomalmente, la supeficie en la Ec. (5.9) es abieta; si es ceada, entonces Φ =, o Bi d = Bi nˆ d = Le de Gauss paa campos magnéticos (5.) El lado izquiedo de esta ecuación es una descipción matemática del flujo de un campo vectoial a tavés de una supeficie ceada. En este caso, la le de Gauss se efiee al flujo magnético, el númeo de líneas del campo magnético que ataviesan una supeficie ceada. Igual que en el caso del flujo eléctico, el flujo magnético que ataviesa una supeficie puede considease como el númeo de líneas del campo magnético que penetan esa supeficie. Cuando piense sobe el númeo de líneas que ataviesan la supeficie, no se olvide que los campos magnéticos, al igual que los elécticos, son ealmente continuos en el espacio que el númeo de líneas del campo sólo tiene significado una vez que se ha establecido una elación ente el númeo de líneas que se dibujan la intensidad del campo. Cuando se considea el flujo magnético a tavés de una supeficie ceada, es impotante ecoda la condición de que la penetación de la supeficie es una calle de dos vías que el flujo saliente el entante tienen signos opuestos. Así que cantidades iguales de flujo saliente (positivo) de flujo entante (negativo) se cancelaán, poduciendo un flujo neto igual a ceo. La azón po la cual el signo del flujo saliente el entante es impotante se puede entende consideando una pequeña supeficie ceada colocada en un campo. Indifeentemente de la foma de la supeficie que se escoja, se encontaá que el númeo de líneas del campo que entan el volumen enceado po la supeficie es eactamente igual al númeo de líneas que salen del volumen. i esto se cumple paa todos los campos magnéticos, ello sólo puede significa que el flujo magnético neto a tavés de cualquie supeficie ceada siempe debe se ceo. Po supuesto, esto es cieto poque la única foma de tene líneas del campo que entan a un volumen sin sali es que teminen en el inteio del volumen, la única foma en que salgan líneas del volumen sin que enten, es que ellas se oiginen en el inteio del volumen. in embago, a difeencia de las líneas del campo eléctico, las líneas del campo magnético no se oiginan ni teminan en cagas, más bien ciculan sobe sí mismas, fomando lazos continuos. i una pate de un lazo pasa a tavés de una supeficie ceada, ota pate del mismo lazo debe atavesa la supeficie en

273 65 la diección opuesta. De manea que el flujo magnético saliente el entante deben se iguales opuestos al atavesa cualquie supeficie. En situaciones que compenden supeficies campos complejos, detemina el flujo mediante la integación de la componente nomal del campo magnético sobe una supeficie especificada puede se bastante difícil. En esos casos, sabe que el flujo magnético total que ataviesa una supeficie debe se ceo puede pemiti una simplificación del poblema, como demuestan los ejemplos siguientes. Ejemplo. Un cilindo ceado de altua h adio R se coloca en un campo magnético B = aˆ a ˆ. i el eje del cilindo está alineado a lo lago del eje z, halle el dado po B o ( k ) flujo que ataviesa (a) las supeficies supeio e infeio del cilindo (b) la supeficie lateal cuva del cilindo. olución: La le de Gauss establece que el flujo magnético que ataviesa toda la supeficie debe se ceo, así que si se puede calcula el flujo a tavés de algunas pociones de la supeficie, es posible deduci el flujo a tavés de las otas pociones. En este caso, el flujo que ataviesa las pates supeio e infeio del cilindo son elativamente fáciles de calcula; cualquie cantidad adicional que se necesite paa que el flujo total sea igual a ceo debe poveni del lado cuvo del cilindo. Entonces, Φ m, sup + Φ m, inf + Φ m, lado = El flujo magnético a tavés de cualquie supeficie es dado po Φ = Bi d = Bi nˆ d m Paa la supeficie supeio, nˆ = a, de modo que ˆ z ( ) Bi nˆ = B aˆ B aˆ i a = B z z m, sup ( ) Φ = Bi nˆ d = B d = B πr Un análisis simila paa la supeficie infeio (paa la cual nˆ = a ) da Como m, sup m, inf m, inf ˆ z ( ) Φ = Bi nˆ d = + B d = + B πr Φ = Φ, se puede conclui que Φ, lado =. Ejemplo. Halla el flujo que cuza la poción del plano φ = π/4 definida po. <.5 m < z < m (ve Fig. 5.9). Un filamento de coiente de.5 A está colocado a lo lago del eje z en la diección a ˆ z : B = µ H d = dρ dzaˆ φ m

274 66 d B 45º.5..5 A Figua Φ m = φi ρ. µ I ˆ π a d dzaˆ µ I.5 = ln π. = µ 6.6 Wb o.6 Wb φ En la Fig. 5.a, todo el flujo magnético Φ m que enta a la supeficie ceada debe abandona esa supeficie. Como a se mencionó, una línea de flujo magnético es una taectoia paa la cual B es tangente en todo punto de la línea. Obseve que las líneas del flujo magnético Ф m son cuvas ceadas, sin punto inicial sin punto teminal (Fig. 5.b). Esto contasta con el flujo eléctico Φ e, el cual se oigina en una caga positiva temina un una caga negativa. Así pues, los campos B no tienen ni fuentes ni sumideos su natualeza continua hacen que la foma difeencial de la le de Gauss sea bastante sencilla. Ella es i B = (5.) Aunque la Fig. 5.b es paa un conducto ectilíneo con coiente I, genealmente se cumple que las líneas de flujo son ceadas no se cotan ente sí, indifeentemente de la distibución de coiente. La Ec. (5.) contasta con la le de Gauss paa el campo de desplazamiento donde el lado deecho es igual a la densidad de caga eléctica. Como todavía no se ha descubieto ninguna caga magnética neta, en la Ec. (5.) no ha un témino de fuente. El lado izquiedo de la Ec. (5.) es una descipción matemática de la divegencia del campo magnético, esto es, la tendencia del campo a flui con más fueza al alejase de un punto que cuando se aceca, mientas que el lado deecho es simplemente igual a ceo. El teoema de la divegencia da la epesentación integal equivalente v ibdv = Bi d = (5.)

275 67 Φ m d I Φ m (a) (b) Figua 5. la cual dice que el flujo magnético neto que ataviesa una supeficie ceada es siempe ceo. En otas palabas, el flujo magnético total que ataviesa una supeficie es igual al flujo que sale. Como no ha cagas magnéticas donde temine el campo magnético, las líneas del campo, como a se dijo anteiomente, siempe son ceadas. 5.6 El Potencial Vectoial Magnético La intensidad de campo eléctico se obtuvo pimeo a pati de configuaciones de cagas conocidas. Posteiomente, se desaolló el potencial eléctico V se encontó que E podía obtenese como el gadiente negativo de V, es deci, E = V. La ecuación de Laplace popocionó un método de obtene V a pati de potenciales conocidos en los conductoes de las fonteas; algunos poblemas del campo electostático se simplifican al elaciona E V en esta foma. De manea simila, puesto que la divegencia del campo magnético es ceo, se puede escibi el campo magnético como el otacional de un vecto; es deci, i B = B = A (5.3) donde A se denomina el potencial magnético vectoial sive como una cantidad intemedia a pati de la cual la densidad B, po tanto H, puede se calculada. Con fecuencia es más fácil calcula A lego obtene el campo magnético a pati de la Ec. (5.3). Obseve que la definición de A es consistente con el equeimiento de que i B =. La unidad de A es el Wb/m o T m. e sabe que un campo vectoial queda definido cuando se conocen su divegencia su otacional (teoema de Helmholtz). Ya se definió el otacional de A po la Ec. (5.3); queda la posibilidad de intoduci una condición paa la divegencia de A. Po tanto, si se impone la condición adicional (se escoge, po supuesto, la más sencilla) que i A = (5.4) entonces el potencial vectoial magnético A puede se deteminado a pati de las coientes conocidas en la egión de inteés. La fómula estánda paa ot ot A se conviete ahoa en [ ] ( i ) ( i ) = = A A A A ustituendo en la Ec. (5.7), se obtiene, paa una egión de pemeabilidad unifome,

276 68 A = µ J (5.5) Esta ecuación da la elación ente el potencial vectoial A la densidad de coiente J. En foma de componentes, esta ecuación es, en coodenadas catesianas, ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ A + A + z Az = µ J + J + zjz a a a a a a (5.6) Así que las componentes A, A A z satisfacen todas ellas la ecuación de Poisson. Una solución de esta ecuación es dada po sumando las componentes, se obtiene µ Jdv µ J dv µ =, =, = 4π 4π Jzdv A A Az R R 4π R v v v (5.7) µ dv A = 4 π J (5.8) R v Paa las tes configuaciones de coientes típicas, las epesiones son las siguientes: µ I dl A = 4πR filamento o línea de coiente (5.9) µ d A = K 4πR lámina de coiente (5.3) µ dv A = volumen de coiente J (5.3) 4πR v Aquí, R es la distancia ente el elemento de coiente el punto en el cual se calcula el potencial vectoial magnético. Igual que la integal análoga paa el potencial eléctico, las epesiones anteioes paa A pesuponen un nivel de efeencia igual a ceo en infinito; no pueden aplicase si la distibución de coiente misma se etiende hasta infinito. También se debe señala que las fómulas paa A no son las más geneales que dan la densidad de campo B equeida. e podía añadi a cada una el gadiente de cualquie función escala sin afecta el campo B. Como a se mencionó, con fecuencia es más fácil de usa el potencial vectoial a que está en la misma diección que la coiente se puede evita el tabajo más complicado que implica el poducto cuz en la le de Biot-avat. Ejemplo. e deteminaá el potencial vectoial magnético paa un filamento de coiente ecto e infinito I en el espacio libe (Fig. 5.). En la Fig. 5. el filamento de coiente está a lo lago del eje z el punto de obsevación,, z. El elemento de coiente paticula es ( ) I dl = Idl en l =, donde l es la vaiable de integación a lo lago del eje z. Es clao que la integal A = aˆ z µ I dl aˆ z 4πR

277 69 z R da dl I Figua 5. no eiste, a que, cuando l es gande, R l. Éste es el caso de una distibución de coiente que se etiende hasta infinito. in embago, es posible considea el potencial vectoial difeencial µ Idl da = 4 π R aˆ z a pati de él obtene el difeencial de B. Así, paa el elemento de coiente paticula en l =, µ I dl da = 4π + + ( z ) µ I dl ˆ ˆ db = da = 3 3 ý 4 a + a π ( + + z ) ( + + z ) Este esultado coincide con el campo dh = ( µ ) aˆ z db dado po la le de Biot-avat. Ejemplo 3. Obtenga el potencial magnético vectoial A paa la lámina de coiente del Ejemplo. Paa z >, Po tanto, µ K A = B = a ˆ A A z µ K = z Como A debe se independiente de de, se debe tene que Entonces, paa z >, da µ K µ K = o A = z z dz ( ) µ K µ A = ( z z ) ˆ a = ( z z ) K Paa z <, simplemente se cambia el signo de la epesión anteio.

278 7 El Vecto Potencial el Flujo Magnético. Al sustitui la Ec. (5.3) en la Ec. (5.9) aplicando el teoema de tokes, el flujo magnético a tavés de una supeficie se puede epesa como o Φ = B i d = ( A ) i d = A i d l m C Φ m = d Ai l (5.3) C en la cual C es el contono que limita la supeficie. De manea que el flujo que ataviesa una supeficie se puede calcula a sea mediante la Ec. (5.9) o la Ec. (5.3). El uso del potencial magnético vectoial popociona un método podeoso elegante paa esolve poblemas en electomagnetismo, especialmente los elacionados con antenas, donde nomalmente es más conveniente halla el campo B calculando pimeo el potencial vectoial A. Ejemplo 4. El potencial magnético vectoial en el espacio anula cilíndico de la Fig. 5. es igual a A = k ln ρa ˆ z, donde k es una constante. Detemine el flujo magnético total en el espacio anula. olución: e aplica la Ec. (5.3) a una sección tansvesal como la ilustada po la egión sombeada en la Fig. 5. obtenemos L ( ) ( ) Φ m = k ln dz + + k ln dz + = kl ln donde los valoes ceo coesponden a las taectoias adiales. L z L Φ Figua 5. Ejemplo 5. Detemínese el potencial magnético vectoial de una espia cicula de coiente a una gan distancia de la espia (zona lejana). olución: Como se pide el potencial en un punto mu alejado de la espia, se selecciona un sistema de coodenadas catesiano de modo que el punto de obsevación P queda en el plano = (Fig. 5.3). Po la Ec. (5.9), el potencial vectoial en P es dado po

279 7 P(,, z) z z R θ φ u a I adφ Figua 5.3. Configuación paa el Ejemplo. También se tiene que dado que π π µ sen ˆ cos ˆ Ia dφ µ ˆ Ia φ a + φa A( P) = a φ = dφ (5.33) 4π R 4π R π ( cos ) π ( ˆ ˆ ) ( cos ˆ sen ˆ z z a a ) R = u = a + a φ a + φa = + z a, se obtiene = a φ aˆ asen φ aˆ + zaˆ z ( ) a cos φ R = + z a cosφ + z + z ( ) ( ) a cosφ R = R + z + + z (5.34) al sustitui la Ec. (5.34) en la Ec. (5.33), la integal que contiene el seno se anula (el integando es impa en φ). Po tanto, A( P) = A ˆ a, donde A π µ Ia a cos φ µ Ia = cos φ + dφ = ( ) ( π + z + z 4 + z ) 3 Ejemplo 6. Ahoa se aplicaá la Ec. (5.9) paa halla el campo magnético debido a un alambe lago ecto con un etono paalelo en la diección a ˆ como muesta la Fig Puesto que todos los elementos del alambe están en la diección a ˆ, el potencial vectoial A tiene sólo la componente A. Aplicando la Ec. (5.9), se obtiene I I ( ) ( ) π π µ µ A = d = a + a + d 4 4 I + I a µ µ = ln = ln π + π a

280 7 Las componentes de la densidad de campo magnético son Como a = ( a) + z ( ) A A A A B = =, B =, Bz = z z z a = + a + z, esto da B B µ Iz π (5.35) = a a µ I + a + a π (5.36) z = a a z a a a d Figua Fuezas Paes Magnéticos Con base en epeimentos, se establece que cuando una patícula de caga Q se mueve con una velocidad u en un campo magnético B, este campo ejece una fueza sobe la patícula cagada que foma ángulos ectos con su velocidad, tiene una amplitud que es popocional a la caga, a su velocidad a la densidad de flujo magnético. La epesión completa paa la fueza magnética la da la ecuación de Loentz paa la fueza: F = Q u B (5.37) m Así que la diección de una patícula en movimiento es modificada po un campo magnético. La Ec. (5.37) muesta claamente que la fueza magnética Fm es pependicula tanto a u como a B. Po tanto, la magnitud de la velocidad, u,, en consecuencia, la enegía cinética de la caga, pemaneceá igual. Esto contasta con la situación en el campo eléctico, donde la fueza eléctica Fe = QE sí actúa sobe la patícula modificando su enegía cinética puede tansfei enegía a la patícula. Compaando la Ec. (5.37) paa F m con la ecuación paa F e, se pesenta vaias difeencias impotantes en los campos magnéticos elécticos:. Igual que el campo eléctico, el campo magnético es diectamente popocional a la fueza magnética, peo, a difeencia de E, el cual es paalelo o antipaalelo a la fueza eléctica, la diección de B es pependicula a la fueza magnética.

281 73. Igual que E, el campo magnético puede definise a tavés de la fueza epeimentada po una pequeña caga de pueba, peo a difeencia de E, se deben toma en cuenta la apidez la diección de la caga de pueba cuando se elacionan las fuezas los campos magnéticos. 3. Como la fueza magnética es pependicula a la velocidad en todo instante, la componente de la fueza en la diección del desplazamiento es ceo en consecuencia el tabajo ealizado po el campo magnético es siempe ceo. 4. En tanto que los campos electostáticos son poducidos po cagas elécticas, los campos magnetostáticos son poducidos po coientes elécticas. Cuando ambos campos están pesentes en una egión, la fueza sobe una patícula en movimiento es dada po F = Q( E + u B ) (5.38) Ésta se conoce como la fueza de Loentz ella elaciona la fueza mecánica con la fueza eléctica. La fueza de Loentz, junto con las condiciones iniciales, detemina la taectoia de la patícula. Es deci, si se conoce la masa m de la patícula moviéndose en los campos E B, po la segunda le del movimiento de Newton se tiene que du F = m = Q( E + u B ) (5.39) dt la solución de esta ecuación detemina el movimiento de patículas cagadas en los campos E B. Ejemplo 7. Una patícula de caga Q masa m está en eposo en el oigen de coodenadas, en pesencia de un campo gavitatoio que ejece una fueza mga sobe ella de un campo magnético unifome B = B a. e quiee detemina las ecuaciones del movimiento de la patícula calcula las distintas componentes de su velocidad. olución: En este caso la ecuación difeencial del movimiento es Entonces ˆ dv m mgˆ z Q( ) dt = a + v B aˆ aˆ aˆ z B ( ˆ ˆ ) v B = v v v = v a + v a B z z z ˆ z la ecuación difeencial paa cada componente seá dv m dt dv m dt = Q Bv = z (5.4) dv dt z m = mg + QBv

282 74 Difeenciando ahoa la pimea de las Ecs. (5.4) sustituendo el valo de obtiene la ecuación dvz dt, se i se toma ω = QB d v QB QB = v + dt m m m se eacomoda la ecuación, se obtiene g La solución geneal de esta ecuación es d v dt + ω v = ω g (5.4) v A t A t = cos ω + sen ω + ω donde A A son constantes a detemina a pati las condiciones iniciales. Paa t =, v = ; po tanto, g g = A + A = ω ω Como sobe la patícula en eposo sólo opea una fueza en la diección a ˆ z (la gavedad), entonces la aceleación en la diección a ˆ es ceo, es deci, dv dt = en t =. Po tanto, dv la solución paa v es A t A t A dt = ω ω + ω ω = = sen cos v g = ω ω ( cos t) De la segunda de las ecuaciones en (5.4) se deduce que v = (la velocidad inicial es ceo). La componente vz se puede calcula en una foma simila a v. En esumen, las componentes de la velocidad son v v v g = ω ω = ( cos t) g = sen ωt ω g (5.4) La taectoia de las patículas se obtiene integando las componentes de la velocidad e imponiendo la condición que la patícula está en el oigen en t =. El esultado es g = t sen ωt ω ω = g z = cos ωt ω

283 Fueza sobe un Elemento de Coiente Una situación común es la de un conducto po el cual flue una coiente colocado en un campo magnético. Puesto que I = dq dt, la fueza difeencial sobe un elemento de caga dq = Idt puede escibise como df = dq( u B) = ( I dt)( u B) m = I ( dl B) (5.43) donde dl = u dt es un elemento de longitud en la diección de la coiente I. i la coiente I cicula en una taectoia ceada o cicuito C, la fueza sobe el cicuito viene dada po Fm = Idl B (5.44) C Al usa la Ec. (5.43) o la Ec. (5.44) se debe tene en cuenta que el campo magnético poducido po el elemento de coiente Idl no ejece fueza sobe sí mismo, en la misma foma que una caga puntual no actúa sobe sí misma. El campo B en las Ecs. (5.43) o (5.44) es eteno al elemento de coiente. Como casos especiales de la Ec. (5.44), considéese pimeo un cicuito o lazo ceado en un campo eléctico unifome. En este caso, la ecuación puede escibise como Fm = I dl B = C es deci, la fueza magnética total ejecida po un campo magnético unifome sobe una espia ceada es ceo. Como segundo caso considéese un segmento de conducto cuvo no ceado. i se tiene un segmento de este conducto ente dos puntos a b se coloca en un campo unifome B, entonces la Ec. (5.44) se conviete en b Fm = I dl B = Il B (5.45) a donde l es el vecto diigido desde a hasta b. Obseve que si el conducto es ecto el campo es constante, la fueza es dada po conducto θ es el ángulo ente l B. Fm = ILBsen θ, donde L es la longitud del Cuando se tienen dos conductoes ceados po los cuales ciculan las coientes I e I, espectivamente, la situación pesentada es la de un cicuito que conduce una coiente en el campo magnético poducido po oto cicuito, Fig i B es el campo magnético establecido po la coiente I en el cicuito C, la fueza F sobe el cicuito C puede escibise como F = I d B l (5.46) donde B es, de acuedo con la le de Biot-avat, C

284 76 B µ = I R (5.47) 4π R C Combinando las Ecs. (5.46) (5.47), se obtiene F µ I I = 4π dl aˆ ( d aˆ R ) dl l (N) (5.48) R C C que es la le de fuezas de Ampee ente dos cicuitos conductoes de coiente. La fueza F sobe el cicuito C en la pesencia del campo magnético ceado po la coiente I en el cicuito C, puede escibise a pati de la Ec. (5.48) intecambiando los subíndices, es deci, F ( d aˆ R ) dl l µ II = (N) (5.49) 4π R C C e deja como ejecicio paa el lecto veifica que F = F se cumple la tecea le de Newton. I dl R I dl I I Figua 5.5 Ejemplo 9. Detemina la fueza po unidad de longitud sobe dos conductoes paalelos lagos ectos, sepaados una distancia d, si cada uno conduce una coiente de I (A) en la misma diección. z B B Figua 5.6 olución: Paa la configuación mostada en la Fig. 5.6, el conducto en el lado izquiedo establece un campo cua magnitud en la posición del conducto en el lado deecho es cua diección es µ I B = π d a ˆ z. Po tanto, la fueza sobe el conducto en el lado deecho es

285 77 µ I L z ( B ) ( ) F = ILaˆ aˆ = a ˆ πd F µ I = L π d a ˆ e obtiene entonces que la fueza es de atacción. Paa conductoes paalelos, cuando las coientes están en la misma diección, se poducen fuezas de atacción ente los conductoes. i las coientes en los conductoes son difeentes, es fácil demosta que la fueza de atacción ente los dos es dada po F µ I I = L πd a ˆ Ejemplo. Un conducto ecto mu lago con una coiente I divide en dos pates iguales una espia conductoa cuadada de lado a, po la cual cicula una coiente I, como indica la Fig Detemina la fueza neta sobe la espia. z I B I a a B Figua 5.7 olución: Las magnitudes de los campos B B debidos al conducto ecto son µ I B = B = π a con las diecciones indicadas. Po tanto, la fueza sobe el lado = es ˆ µ II F ˆ = I( a) Ba = a π la fueza sobe el lado en = a es la misma, a que tanto la coiente como el campo están invetidos. Po simetía, no se ejece ninguna fueza sobe los otos dos lados. Po tanto, la fueza neta sobe la espia es µ II F = F ˆ = a π 5.7. Paes o Momentos de Tosión Magnéticos El momento de tosión de una fueza o pa con especto a un punto especificado es el poducto vectoial del bazo de palanca especto de ese punto la fueza. Como muesta la Fig. 5.6, el momento T con especto al punto P, si el punto de aplicación de la fueza F es Q, está dado po

286 78 T P PQ = Q F Figua 5.6 T = PQ F = F (5.5) donde T tiene las unidades de tabajo o enegía, newton-meto ( N m ), peo el momento no epesenta tabajo o enegía. En la figua, la fueza F el vecto PQ (llamado bazo de la fueza) están en el mismo plano (egión sombeada). Ejemplo. Considee una espia de una sola vuelta en el plano z =, como muesta la Fig La espia tiene un ancho w en la diección del eje una longitud l en la diección de. El campo B es unifome, tiene magnitud B está en la diección positiva de. z B I F l I w F B Figua 5.7. Espia cuadada en un campo B unifome. olución: Como se indica en la figua, solamente las coientes diigidas en las diecciones + dan luga a fuezas. Paa el lado izquiedo de la espia, paa el lado deecho ( l ) F = I aˆ B aˆ = B Il aˆ z ( l ) F = I aˆ B aˆ = B Il aˆ z El momento con especto al eje del elemento de coiente en la izquieda equiee de un bazo de fueza = ( w ) a ˆ ; paa el momento del elemento de coiente en la deecha, cambia el signo. Po consiguiente, el momento de ambos elementos de coiente es w ˆ ( ) ˆ w T = a B Il a + aˆ ( B Il) aˆ = BIl waˆ = BIAaˆ z z

287 79 donde A es el áea de la espia. Aunque esta epesión se obtuvo paa una espia cuadada, se puede demosta que tiene validez paa una espia plana de foma abitaia ( paa cualquie eje paalelo al eje. El momento magnético m de una espia de coiente plana se define como el poducto IAa ˆ n, donde el vecto nomal unitaio a ˆ n se detemina mediante la egla de la mano deecha. e tiene entonces que el momento de fuezas sobe una espia plana está elacionado con el campo aplicado po T = m B (5.5) como muesta la Fig Una espia de coiente en un campo magnético se compota como un dipolo eléctico en un campo eléctico, ecepto que ha un momento angula asociado con la coiente ciculante. El concepto de momento magnético es esencial paa compende la conducta de patículas cagadas giando en óbitas. Po ejemplo, una caga positiva Q moviéndose en una óbita cicula con una velocidad u, o una velocidad angula ω, es equivalente a una I = uq = ω π Q, po tanto, da luga a un momento magnético coiente ( ) ω m = WAa ˆ n (5.5) π como muesta la Fig En la pesencia de un campo magnético B se poduciá un momento T = m B, el cual tiende a ota el lazo o espia de coiente hasta que m B estén en la misma diección; es deci, en una oientación paa la cual T es ceo. a ˆ n m A + u El Dipolo Magnético Figua 5.8 Figua 5.9 Un imán de baa o un pequeño lazo o espia de coiente se conocen como un dipolo magnético. En el Ejemplo 4 se deteminó el potencial vectoial A poducido po una espia de coiente en el punto P(,, z) mu alejado de ella. La ecuación obtenida paa A fue la cual puede escibise como µ Ia A = 4( + z ) 3 a ˆ

288 8 µ Iπa A = 4 π ( + z ) µ IA = 4 π ( + z ) 3 3 aˆ aˆ (5.53) donde A = π a es el áea de la espia. i ahoa se conviete la Ec. (5.53) a coodenadas esféicas usando las elaciones = sen θ z = cos θ e intoduciendo el momento del dipolo magnético, m = IAa, obsevando que aˆ a ˆ, se obtiene ˆ z φ A µ msen θ µ = ˆ φ = 4π a 4π m (5.54) La densidad de flujo magnético B se obtiene a pati de B = A como µ m B = ( cos θ aˆ + sen θ ˆ 3 a θ ) (5.55) 4π Resulta inteesante compaa la Ec. (5.55) con la Ec. (-73) paa el campo E del dipolo eléctico: p E = θ a 3 + θa 4πε ( cos ˆ sen ˆ ) Obseve la semejanza ente el campo lejano B de un pequeño lazo de coiente el campo lejano E de un dipolo eléctico. Po esta azón paece azonable considea a un pequeño lazo de coiente como un dipolo magnético. Las líneas del campo B del dipolo magnético son similaes a las del campo E paa el dipolo eléctico (Fig. 5.). No obstante, en las cecanías de los dipolos las líneas de flujo del dipolo magnético son continuas, en tanto que las líneas del campo de un dipolo eléctico teminan en las cagas, se oientan desde la caga positiva a la negativa. θ p m Dipolo eléctico Dipolo magnético Figua Magnetización Coientes de Magnetización Hasta ahoa este estudio se ha estingido a campos magnéticos en el espacio libe poducidos po distibuciones de coientes. En la pesencia de un campo magnético, un medio magnético puede volvese magnetizado o polaizado magnéticamente. En el inteio del medio, en una escala atómica, ha electones moviéndose en óbitas ligadas a átomos giando en tono a sus ejes. El movimiento de los electones esulta en una

289 8 coiente macoscópica que debe eplicase. e intoduciá un vecto M, el momento de dipolo po unidad de volumen (también llamado vecto de magnetización) paa eplica esta coiente. El vecto M es análogo al vecto de polaización P en los dielécticos. El movimiento de los electones en un mateial magnético se considea equivalente a la pesencia de lazos de coiente elementales. ea n la densidad de los lazos de coiente po unidad de volumen, A el áea e IC la coiente ciculante en el lazo. Los lazos de coiente pueden considease como equivalentes a dipolos magnéticos el momento del dipolo po unidad de volumen es M = AnI C a ˆ n donde el vecto unitaio a ˆ n es nomal al plano del lazo foma un sistema de mano deecha con especto a la diección del flujo de coiente. Considéese un cilindo elemental de longitud d a lo lago del eje fomado po los lazos de coiente (Fig. 5.a). Los lazos de coiente esultan en la fomación de una coiente de supeficie en el cilindo, la cual es dada po ni A cos θ d = M d (5.56) C donde M es la componente de M en la diección. e pueden obtene epesiones similaes paa las componentes en las diecciones z. Considéese ahoa un elemento de supeficie d = d d de una sección del inteio del mateial magnético (Fig. 5.b). Debido a los lazos de coiente, a lo lago del bode de d ha electones que se mueven a tavés del áea en ambas diecciones. i, en un intevalo de tiempo unitaio, más electones ataviesan la supeficie hacia aiba que hacia abajo, entonces debe eisti una densidad de coiente efectiva que identificaemos como Jm la coiente que pasa po d es dada po J d d. Esta coiente se puede detemina usando la Ec. (5.56) paa calcula la mz contibución de cada uno de los cuato bodes de ds: Jmzd d = Md + M + d d Md M + d d M M o J mz M M = e pueden obtene epesiones similaes paa las componentes de Jm en las diecciones de z. Po consiguiente, se define la densidad de coiente de magnetización po la ecuación J ot M M (5.57) m Estas coientes también son fuentes del campo magnético pueden usase en la le de Ampee como B = J m + J (5.58) µ donde J es la coiente libe debida al movimiento de cagas libes, en contaste con la coiente de magnetización J m, la cual se debe al movimiento de cagas ligadas en los mateiales.

290 8 M z θ M J mz dd d M M M M + d M M + d (a) (b) Figua 5. Paa el caso en que M es unifome, Jm =. Este esultado puede vese notando que los lazos de coiente en el inteio del medio se cancelan ente sí. i M no es unifome, ha una densidad de coiente efectiva J m dento del medio. Esta densidad de coiente establece un campo magnético en la misma foma que la densidad de coiente de conducción J. La coiente de magnetización Jm dada po la Ec. (5.57) está estingida al inteio del mateial. En la supeficie, los lazos de coiente esultan en una densidad supeficial de coiente de magnetización o ligada Jsm, la cual puede deteminase consideando la Fig. 5.. Los lazos de coiente en un segmento de longitud h de la supeficie dan como esultado una coiente supeficial efectiva J h = ni Ah sen θ = hm sen θ obsevando la diección de la coiente se obtiene donde a ˆ n es un vecto unitaio nomal a la supeficie. sm C J M aˆ (5.59) sm n M h θ aˆ n Figua 5.. La densidad supeficial de coiente de magnetización.

291 83 Considéese un caso geneal en el cual se tiene una densidad de coiente de conducción J en un volumen v; esa densidad de coiente establece un campo magnético que magnetiza un medio magnético de volumen vm delimitado po la supeficie m. Desde un punto de vista fundamental no ha difeencias ente los tipos de densidades de coiente. Todas las coientes establecen un campo magnético en la misma foma el potencial vectoial esultante es µ J µ J µ J 4π 4π 4π m sm A = dv + dv + d (5.6) v v m Las densidades de coiente J m J sm son inducidas en el medio magnético po el campo magnético pimaio establecido po J. En el caso de mateiales suaves (lineales), la magnetización está elacionada con la intensidad del campo magnético po la ecuación m M = χ m H (5.6) donde χm es una cantidad adimensional denominada susceptibilidad magnética. Paa mateiales diamagnéticos paamagnéticos, χ m es una constante a una tempeatua dada el esultado es una elación lineal ente M H, lo cual no es el caso paa sustancias feomagnéticas. En el caso de imanes pemanentes, la elación fundamental es más complicada, a que el mateial pemanece magnetizado después de emove el campo aplicado etenamente. Paa hieo suave, las densidades J m J sm no se conocen hasta que se haa deteminado H. De manea que la Ec. (5.6), aunque es de impotancia fundamental, no es mu útil paa la solución páctica de poblemas del campo. No obstante, se veá que mediante la definición apopiada de H en la Ec. (5.6), se puede usa este vecto como un medio conveniente paa la solución de poblemas del campo. Como sólo es posible medi coientes libes, es conveniente defini el vecto H como la intensidad de campo magnético en un medio magnético mediante la ecuación ustituendo la Ec. (5.6) en la Ec. (5.6), se obtiene m donde ( ) B H M (5.6) µ ( ) ( ) m B = µ H + M = µ + χ H = µ H (5.63) µ µ + χ = µ µ es la pemeabilidad magnética del mateial se mide en hens po meto. La cantidad adimensional µ = + χ se conoce como la pemeabilidad elativa del mateial. Intoduciendo µ H en esta foma, se puede elimina cualquie consideación eplícita elativa a la coiente de magnetización (un pocedimiento simila al que se hizo con la caga ligada en dielécticos la polaización). Ahoa la Ec. (5.58) puede escibise como m B M = H = J (5.64) µ Con la auda de la Ec. (5.6), se puede escibi la densidad de coiente de magnetización en una egión donde µ es unifome en la foma Jm = χm H = χmj (5.65) J = χ ˆ sm mh a n (5.66)

292 84 Paa ilusta el uso de las Ecs. (5.65) (5.66), se consideaá de nuevo el Ejemplo 3. Ahoa se supondá que el conducto es un alambe de hieo de pemeabilidad µ. Usando la le cicuital de Ampee en la foma dada po la Ec. (5.), se obtienen las Ecs. (5.65) (5.66), igual que antes. in embago, la densidad de flujo magnético ahoa tiene una magnitud dada po µ Jρ B = µ H =, ρ < b µ Jb B = µ H =, ρ ρ > b (5.67) Obseve que ha una discontinuidad en ρ = b. La densidad de la coiente de magnetización la densidad supeficial de la coiente de magnetización son χmbj Jm = χ mj, J sm = El uso del vecto H el escala µ esultan en una solución elativamente diecta del poblema del campo. Una vez deteminado H, se está en posición de detemina las coientes de magnetización. Mateiales Magnéticos. Un mateial es no magnético si su susceptibilidad magnética χm = (po ejemplo, el aie el espacio libe). i un mateial dado puede tene una polaización magnética M difeente de ceo, entonces debe esta compuesto po sistemas atómicos que posean momentos magnéticos capaces de una oientación. En téminos de la susceptibilidad magnética o la pemeabilidad elativa, los mateiales magnéticos se pueden ubica en las tes categoías siguientes: Mateiales Paamagnéticos (µ, es deci, χ m positiva mu pequeña). En la maoía de los átomos, los momentos magnéticos povenientes de los movimientos obitales del espín de los electones se cancelan. No obstante, en algunos de ellos la cancelación no es completa eiste un momento esidual de dipolos magnéticos. Ejemplos de esto son los llamados elementos de tansición, como el manganeso. Cuando esos átomos se colocan en un campo magnético, son sometidos a un pa de fuezas que tiende a alinealos, peo la agitación témica tiende a destui esta alineación. Este fenómeno es completamente análogo al alineamiento de moléculas polaes en dielécticos. La pemeabilidad elativa vaía invesamente con la tempeatua absoluta. Paa la maoía de los mateiales paamagnéticos, χm está en el oden de + 5 a + 3. Mateiales Diamagnéticos. En estos mateiales los momentos elementales no son pemanentes sino que son inducidos de acuedo con la le de Faada. La polaización esultante está en la diección opuesta a la del campo eteno aplicado; la pemeabilidad elativa es meno que la unidad (aunque sólo po una cantidad del oden de 5) es independiente de la tempeatua. Todos los mateiales son diamagnéticos, peo puede pedomina la polaización de oientación, en cuo caso la pemeabilidad esultante es mao que la unidad. Mateiales Feomagnéticos. En estos mateiales ha una fuete polaización magnética la pemeabilidad elativa puede se bastante gande en compaación con la unidad,

293 85 alcanzando incluso magnitudes de muchos miles en algunos mateiales. Estas polaizaciones tan gandes son el esultado de fenómenos de gupos en el mateial, en el cual todos los momentos elementales en una pequeña egión o dominio se alinean. La polaización esultante en un dominio puede esta oientada en foma aleatoia con especto a la oientación en un dominio vecino. La caacteística de gandes polaizaciones de los mateiales feomagnéticos es el esultado de la oientación de dominios completos. El fenómeno es complejo no se analizaá aquí. Los mateiales feomagnéticos pueden se magnetizados po un campo magnético, etienen una buena cantidad de su magnetización cuando se emueve el campo son no lineales; es deci, la elación constitutiva B = µ µ H no se cumple a que µ depende de B no puede epesentase mediante un valo único. 5.9 Condiciones de Fontea Ahoa se eaminaán las condiciones de continuidad que deben eisti en la intefaz ente dos medios magnéticos con popiedades difeentes. e pocedeá en una foma simila a la de la ección 3.8 se demostaá que la componente nomal de B la componente tangencial de H deben se continuas. Considéese la taectoia ceada en la Fig. 5.3a. La taectoia tiene dos lados paalelos a la intefaz están a una distancia infinitesimal de ella. Po la le cicuital de Ampee, los lados cotos identificados c d tienen longitudes iguales a ceo no contibuen a la integal de línea. Los dos lados estantes poducen d = ( Ht Ht ) dl = I = Jsdl Hi l (5.68) C donde J s es la componente de la coiente supeficial pependicula al contono especificada po la egla de la mano deecha. De manea que la componente tangencial del campo magnético puede se discontinua si eiste una coiente supeficial libe en la intefaz. En foma vectoial, la Ec. (5.68) puede escibise como ( ) nˆ H H = J (5.69) donde la nomal unitaia ˆn apunta de la egión hacia la egión. En la intefaz ente medios con conductividades finitas no ha coiente supeficial, Js =, entonces la componente tangencial de H es continua en la intefaz; es deci H it t s = H (5.7) ˆn H b d θ ˆn θ B Áea d c a θ H B (a) (b) Figua 5.3

294 86 La Fig. 5.3b muesta un pequeño volumen cuas supeficies supeio e infeio son paalelas están a cada lado de la intefaz. El lado lateal del cilindo, al pasa al límite tiene una longitud ceo, no contibue a la integal de supeficie de B. Po tanto, d ( B n Bn ) d Bi = = (5.7) la cual da la condición de fontea; ésta establece que la componente de B nomal a una intefaz de discontinuidad es siempe continua: ( ) nˆ i B B = (5.7) Paa medios isótopos lineales, la condición de fontea dada po la Ec. (5.7) se taduce en la siguiente condición paa H: µ H = µ H (5.73) n n La elación ente los ángulos θ θ, si no ha coiente supeficial en la intefaz puesto que Ht = Ht, se detemina a pati de la ecuación B = µh, es deci, También, B n = B n, o B B cos θ = µ µ cos θ B sen θ = B sen θ al dividi esta ecuación po la anteio, se obtiene µ tan θ = µ tan θ que es una elación análoga a la le de nell (óptica). 5. El Potencial Magnético Escala En muchos casos, el estudio de la magnetostática se facilita consideablemente po la intoducción de la función del potencial magnético vectoial A. La disponibilidad de esta función, intoducida con un atificio en el análisis, siempe está aseguada debido al caácte solenoidal ( i B = ) del vecto del campo B. Peo A es un vecto, como en el caso de electostática, seía mucho más fácil tabaja con un potencial escala. Ahoa se estudiaá la posibilidad de un potencial magnético escala, el cual se denotaá po V m. Considéese una egión R libe de coientes. La Fig. 5.4 muesta una sección plana de esa egión, la cual, como se indica, es de coneión múltiple. La egión R, complemento de R, contiene las fuentes del campo magnetostático bajo consideación. e supone que el campo es poducido po una bobina enollada alededo de R, como muesta la figua. La bobina tiene N vueltas po ella flue una coiente I.

295 87 C R. F.. Q.. P R J = Figua 5.4. Región de coneión múltiple que no contiene coientes. En todo punto de la egión libe de fuentes R, la Ec. (5.) se educe a H = (5.74) Po tanto, en la egión R, H puede epesase como el negativo del gadiente de una función escala Vm, H = V m (5.75) La función V m es el potencial magnético escala se mide en ampeios-vueltas. En vitud de esta definición, se infiee que C C ( ) ( ) ( ) Hi dl = V i dl = V P V Q (5.76) m m m donde C denota la poción PFQ del contono ceado C en la Fig La difeencia ente los valoes que la función potencial Vm toma en los puntos etemos P Q de C se conoce tadicionalmente como la fueza magnetomotiz (fmm) ente esos puntos. Esta noción es análoga a la de difeencia de potencial, o voltaje, asociada con el campo electostático. Ya se vio que el potencial escala electostático V es una función inectiva de las coodenadas. En contaste, el potencial magnético escala Vm es genealmente una función de valoes múltiples de la posición ecepto cuando la egión es de coneión simple libe de coientes. La validez de esta afimación puede demostase en la foma siguiente. d = NI Hi l (5.77) C Esta ecuación establece que si el contono C comienza temina en el mismo punto P, los valoes inicial final del potencial magnético Vm seán difeentes difeián po una cantidad eactamente igual a NI. En otas palabas, la Ec. (5.77) dice que d = V ( ) ( ) m P V inicio m P = NI Hi l (5.78) final C i el contono es ecoido dos veces, po ejemplo, entonces o tes veces, d = NI Hi l C

296 88 d = 3NI Hi l C así sucesivamente. De modo que la discontinuidad en Vm es igual a la coiente neta enlazada po el contono. ólo cuando la egión es de coneión simple o cuando la densidad de coiente es ceo en todas pates, el potencial se conviete en una función uno a uno de la posición. 5. Poblemas de Fontea en Magnetostática En egiones donde no ha coientes, la densidad de flujo magnético B es iotacional ( B = ) po tanto es posible epesala como el gadiente de un potencial escala magnético Vm: B = µ V m (5.79) donde Vm es el potencial magnético escala se mide en ampeios-vueltas. El signo negativo en la Ec. (5.79) es po convención (simila a la definición de potencial eléctico escala) la pemeabilidad del mateial µ es una constante de popocionalidad. uponiendo que ésta es una constante, entonces al sustitui la elación dada po (5.79) en i B = se obtiene una ecuación de Laplace en V m: = (5.8) V m esta ecuación es completamente simila a la ecuación de Laplace paa el potencial escala eléctico V en una egión libe de cagas. Las técnicas paa esolve poblemas electostáticos de valoes de fontea pueden adaptase paa esolve poblemas análogos en magnetostática. in embago, aunque los poblemas electostáticos con fonteas conductoas mantenidas a potenciales fijos ocuen en la páctica con bastante fecuencia, los poblemas análogos en magnetostática son de poca impotancia páctica. La no linealidad en la elación ente B H en mateiales feomagnéticos también complica la solución analítica de poblemas con valoes de fontea en electostática. Ejemplo. Una esfea de adio a pemeabilidad µ está en un campo magnético que, lejos de la esfea, es unifome. e quiee halla el campo magnético en el inteio de la esfea. olución: Como toda la egión está libe de coientes es de coneión simple, el campo magnético puede deducise a pati de un potencial escala que satisfaga la ecuación de Laplace. Po tanto, si se hace que el cento de la esfea coincida con el oigen de un sistema de coodenadas esféico (Fig. 5.5), el poblema es el de halla una solución al poblema con valoes de fontea en el cual:. = en todas pates. V m. El potencial V n es continuo en = a. 3. La componente nomal de la densidad de flujo magnético es continua en = a. 4. V = H cos θ, a, donde H es una constante. m o

297 89 z θ H a µ µ Figua 5.5. Esfea metálica en un campo unifome. iguiendo el mismo pocedimiento geneal usado en el Cap. 4 paa esolve el poblema de una esfea en un campo eléctico unifome, se detemina que las soluciones admisibles paa el potencial magnético en la esfea en la egión etena son, espectivamente, B D V = m A + C cos cos + θ + θ B D V = m A + C cos cos + θ + θ Po la condición de fontea en a, se obtiene que A =, C = H. Paa evita potenciales infinitos en el oigen ( = ), se debe toma B = D =. De manea que V V = A + C cos θ m = B D H cos cos + θ + θ m Ahoa, la continuidad de la componente nomal del vecto densidad de flujo magnético en la fontea = a equiee que es deci, Po tanto, B = V µ = µ V m m = a = a ( ) B D µ C cos θ = µ + H cos θ cos θ 3 a a D µ C = µ H 3 a Po ota pate, la continuidad de Vm en = a equiee que Po tanto, A = D Aa + Ca cos θ = H a cos θ + cos θ a La solución simultánea de las Ecs. (5.8) (5.8) da entonces (5.8) D Ca = H a + (5.8) a

298 9 po consiguiente 3µ µ µ C = H D = a H µ + µ µ + µ 3 3µ = cos θ Vm H µ + µ 3 a µ µ Vm = H + cos θ µ + µ La intensidad del campo magnético en el inteio de la esfea es dada po 3µ H a a ( cos ˆ sen ˆ ) = Vm = H θ + θ µ + µ 3µ = ˆ H a z a µ + µ de la cual queda clao que la esfea está magnetizada unifomemente en una sola diección. Fuea de la esfea, que, paa como se equiee. H 3 a µ µ = V = θ ˆ m H cos a µ + µ a, se educe a un valo constante Paa µ >> µ, el campo se tansfoma en 3 a µ µ + H + sen θ aˆ θ > a µ + µ ( cos sen ) H H θ aˆ + θ aˆ = H a ˆ θ V m H 3 a Vm H cos θ 3 3 a ˆ a H ˆ H + cos θ a + H sen θa En el inteio de la esfea la intensidad del campo magnético es esencialmente igual a ceo cuando la pemeabilidad es alta. in embago, la densidad de flujo magnético en la esfea pemanece difeente de ceo finita debido a que 3µµ lím B = lím µ H = lím H aˆ = 3µ H a ˆ µ µ µ z µ + µ z θ z θ Ejemplo 3. Blindaje Magnético. Ahoa se calculaá el blindaje (apantallado) magnético popocionado po un cascaón cilíndico de adios a b pemeabilidad µ. olución: e supone que en una cieta egión del espacio eiste un campo magnético unifome H en la diección (es deci, V = H ρsen φ). En este campo unifome se m

299 9 intoduce un cascaón magnético cilíndico lago de pemeabilidad µ. e quiee detemina el campo dento del cascaón, suponiendo que el eje del cilindo coincide con el eje z de un sistema de coodenadas cilíndico (Fig. 5.6). P H µ µ µ φ 3 Figua 5.6. Escudo magnético. Toda la egión está libe de coientes; po tanto, en ella eiste un potencial magnético que satisface la ecuación de Laplace. Las condiciones de fontea son Vm3 = H ρsen φ ρ b V V V V = V µ = µ ρ ρ m3 m m3 m V ρ= b ρ= b V m m m = Vm µ = µ ρ ρ ρ= s ρ= a Usando técnicas semejantes a las utilizadas en el Cap. 4, se obtiene paa el campo en la egión V 4µ µ H = ρsen φ m ( µ + µ ) ( a b )( µ µ ) Paa µ >> µ, la intensidad de campo es la cual tiende a ceo paa µ ceciente. m ( ) ( a b )( ) (5.83) 4µ µ H H = V = a ˆ ý (5.84) µ + µ µ µ H 4 ( µ µ ) H ( a b ) La discusión anteio junto con los dos ejemplos que siguen, muesta claamente que en el inteio de una egión libe de coientes (J = ), los poblemas con valoes de fonteas en magnetostática son matemáticamente equivalentes a sus contapates electostáticos. Esta equivalencia se efleja en las fomas idénticas de las ecuaciones que desciben los dos tipos de campos. En consecuencia, los mismos métodos estudiados en el Cap. 4 paa esolve la ecuación de Laplace son aplicables. i la egión no está libe de coientes, el a ˆ

300 9 poblema magnetostático de valoes de fontea no esponde a una solución a tavés del potencial escala V m se deben utiliza otos ecusos, como el potencial vectoial magnético A o los mismos vectoes del campo. 5. Inductancia e Inductoes La Le de Faada. Considee un lazo ceado po el cual flue una coiente constante. Esta coiente cea un campo magnético que podía calculase a pati de la geometía del lazo este campo es popocional a la magnitud de la coiente. i se hace que la coiente cambie, el campo también cambia. Peo esto significa que el flujo total que ataviesa el lazo también cambiaá, po la le de Faada, se induciá un voltaje en el lazo. i el poblema se analiza cuantitativamente, se descubiá que el voltaje auto inducido siempe tiene una polaidad que tiende a oponese al cambio oiginal en la coiente (le de Lenz). La le de Faada se puede epesa en la foma siguiente. Alededo de cualquie taectoia que se pueda ecoe en el espacio eiste una fueza electomotiz (fem) que el negativo de la tasa de cambio del flujo magnético sobe el áea paa la cual la taectoia ceada es un peímeto. Ya se ha identificado la fem como la integal de línea del campo eléctico. egún la le de Faada, la integal de línea de E no tiene po qué se ceo. Paa el flujo magnético definido po la elación la le de Faada se puede escibi como C Φ = d Bi dφ d E d = = d i l Bi (5.85) dt dt Cuando el flujo magnético no vaía en el tiempo, la integal de E en tono a la taectoia ceada la le de Faada se educe a la elación a conocida paa campos elécticos estáticos. El signo negativo en la le de Faada es una epesión de una le enunciada po Heinich Lenz (físico uso), la cual establece que los efectos de un cambio en un sistema eléctico siempe ocuen de una foma tal que tienden a oponese al cambio. Considéese ahoa el poblema que involuca dos lazos de coiente; en este caso ocue una secuencia de eventos un poco más complicados peo con el mismo esultado cuantitativo que el poblema de un solo lazo. Considéese dos lazos ceados C C mu ceca uno del oto, como muesta la Fig i una coiente I flue en C, se ceaá un campo magnético B. Pate del flujo magnético debido a B enlazaá a C es deci, atavesaá, la supeficie delimitada po C. Designemos este flujo mutuo po Φ. e tiene entonces que Φ = d B i (5.86)

301 93 B I dl dl R I Figua 5.7. Lazos con acoplamiento magnético. Po la le de Faada de inducción electomagnética se sabe que una coiente I vaiable en el tiempo induciá una fueza electomotiz o voltaje en C. El flujo Φ ceado po I obviamente también vaiaá en el tiempo. Po la le de Biot-avat, Ec. (5.4), el campo B es diectamente popocional a I, de manea que Φ también lo es entonces Φ = LI (5.87) donde la constante de popocionalidad L se denomina la inductancia mutua ente los lazos C C. En el caso en que C tenga N vueltas, el enlace de flujo Λ debido a Φ es la Ec. (5.87) se genealiza a o Λ = N Φ (5.88) Λ = LI (5.89) L Λ = (5.9) I En el sistema I, la unidad de la inductancia es el hen (H). La inductancia mutua ente dos cicuitos o lazos es entonces el enlace de flujo en un cicuito debido a la coiente en el oto po unidad de esa coiente. L Enlace de flujo en C debido a la coiente en C = Coiente en C La definición dada po la Ec. (5.9) o (5.9) aplica solamente en medios lineales. (5.9) Al comienzo de esta sección se mencionó que pate del flujo magnético poducido po la coiente I ataviesa el popio lazo C. El enlace de flujo total con C poducido po I es Λ = N Φ (5.9) Claamente, este enlace es mao que el enlace N Φ. La auto-inductancia o, simplemente, inductancia del lazo C se define como el enlace de flujo po unidad de coiente en el popio lazo, es deci, L paa un medio lineal. Enlace de flujo en C debido a la coiente en C Λ = = Coiente en C I (5.93) La inductancia de un lazo o cicuito depende de la foma geomética del aeglo físico del conducto que constitue el cicuito también de la pemeabilidad del medio. En un medio lineal, la auto-inductancia no depende de la coiente en el cicuito. De hecho, ella eiste sin impota si el cicuito está abieto o ceado o de si está ceca de oto cicuito.

302 94 Ejemplo 4. Inductancia de una Línea Coaial. La Fig. 5.8 ilusta una línea de tansmisión coaial fomada po dos cilindos conductoes de paedes delgadas con adios a b. Po el cilindo inteno flue una coiente I po el cilindo eteno flue una coiente de etono I. e quiee evalua la inductancia po unidad de longitud. I θ ρ a I b Figua 5.8. Una línea coaial. olución: Obseve que la geometía no se coesponde pecisamente con la de los lazos paa los cuales se fomuló la definición de inductancia. No obstante, se tataá de etende las definiciones de la Ec. (5.93) en una foma plausible bajo la hipótesis de que su utilidad se confimaá en el futuo. El campo B está en la diección θ solamente está dado po B = ( µ I πρ) ˆ ρ magnético total que enlaza al conducto inteno po unidad de longitud de línea es b µ I dρ µ I Φ = = π ρ π ln po tanto la inductancia po unidad de longitud de la línea viene dada po a b a ( ) ( ) a. El flujo L = Φ I = µ π ln b a (5.94) i el cento del conducto es sólido, entonces el esultado anteio no es válido, a que entonces la coiente I se distibue unifomemente en la sección tansvesal de áea π a. Paa considea este caso se equiee el concepto de enlaces de flujo paciales. La coiente que flue en la poción del conducto inteno ente ρ es El campo en la línea coaial es dado po πρ πa ρ I = a µ Iρ, < ρ < a π a Bθ = µ I, a < ρ < b πρ Puesto que el campo tiene simetía cicula, cada elemento de coiente en la egión anula ente ρ ρ +dρ está enlazado po el mismo flujo El valo del flujo magnético que enlaza esta coiente es I

303 95 b a b θ a ρ ρ a µ I µ I dρ dφ = B dρ = ρ dρ + π π ρ µ I ( ) µ I b = a + ln 4πa π a En el cálculo anteio de la inductancia paa el conducto de paedes delgadas, el flujo enlazaba toda la coiente I. in embago, en el inteio del conducto sólido se tiene flujo que sólo enlaza pate de la coiente. Ahoa bien, como el flujo d Φ no enlaza toda la coiente I, paece lógico que se debiea educi su contibución al enlace de flujo total, paa los popósitos del cálculo de inductancia, po la facción ente la coiente eal enlazada la coiente total. Como la coiente enlazada po d Φ es la coiente en la egión anula de áea πρdρ, el facto de educción es πρ dρ π a el enlace de flujo equivalente dφ es dado entonces po po tanto El enlace de flujo total es πρ dρ dφ = dφ πa d πρi dρ µ I ( a ) µ I ln b Φ = ρ + πa I 4πa π a b a a 3 µ I a ρ ρ b µ I µ I b Φ = dφ = dρ + ln ρdρ = + ln πa a a 8π π a a Po tanto, la inductancia po unidad de longitud es µ µ L = + 8π π ln b a (5.95) El pime témino, µ /8π, se conoce como la inductancia intena del conducto cental el segundo como la inductancia etena, a que coesponde a los enlaces de flujo etenos. Fómulas de Neumann. Considéese dos alambes mu delgados doblados en lazos mu cecanos ente si, como los de la Fig uponga que po C flue una coiente I. Como se supone que el alambe es mu delgado, el valo calculado paa B no estaá mu eado si se supone que la coiente está concentado en un filamento infinitamente delgado a lo lago del cento del conducto, siempe que se consideen sólo puntos del campo etenos al alambe. Bajo estas consideaciones, el campo B poducido po I es dado po a que ( R) tiene que ˆ B µ I d ˆ µ I = = d 4π l a R 4π R l (5.96) R C = a R R. La integación es sobe las coodenadas de la fuente; así que se dl R = C R dl

304 96 puesto que dl es un vecto constante en lo que especta al opeado. Entonces, en luga de la Ec. (5.96) se puede escibi que po tanto el flujo que enlaza el cicuito C es B µ I dl = a 4π R C B d d C µ I dl = 4π R C µ I dl Φ = i = i 4π R al cambia el oden de integación. Ahoa se aplica el teoema de tokes la integal de supeficie se conviete en una integal de línea en tono a C paa obtene C C i d µ I d Φ = 4π l i d l R Po la definición de la inductancia mutua dada en la Ec. (5.9), se obtiene la fómula de Neumann: L C C d i d I 4 R Φ µ = = π l l (5.97) Como en la Ec. (5.97), R es la distancia ente un punto en C un punto en C, la integal como un todo es simética; es deci, los subíndices pueden intecambiase sin influi en el esultado final. Esto demuesta la elación de ecipocidad paa las inductancias mutuas: L Φ Φ = L = = (5.98) I I Ejemplo 5. Detemine la inductancia mutua ente un lazo conducto tiangula un alambe ecto mu lago como se muesta en la Fig olución: Designe el lazo tiangula como el cicuito el alambe lago como el cicuito. i se supone una coiente I en el lazo tiangula, la taea paa halla la densidad de flujo ceada po esta coiente se vuelve bastante complicada. En consecuencia, es difícil halla la inductancia mutua utilizando la Ec. (5.9). in embago, mediante la aplicación de la le cicuital de Ampee se puede escibi la epesión paa B, el campo poducido po una coiente I en el alambe ecto lago: El enlace de flujo Λ = Φ es entonces µ I B ˆ = a φ (5.99) πρ Λ = d B i (5.)

305 97 d z 6 ρ a + b dρ Figua 5.9. Configuación paa el Ejemplo 3. donde d = z dρa ˆ φ (5.) z = [ ρ ( d + b) ] tan 6 = 3 [ ρ ( d + b) ] (5.) ustituendo ahoa las Ecs. (5.99), (5.) (5.) en la Ec. (5.), se obtiene la inductancia mutua es d+ b 3 µ I Λ [ ( ) = ρ d + b ] dρ π ρ d 3 µ I b ( ) = d + b ln + b π d Λ 3 µ ( ) b L = = d + b ln + b I π d (5.3) 5.3 Enegía Magnética Enegía en Inductoes. Una distibución de coiente estacionaia tiene enegía potencial epesentada po el tabajo ealizado paa establece la distibución conta la eacción de las fuezas de inducción. La pesencia de estas fuezas de inducción es, po supuesto, dictada po la le de Faada, a que cualquie cambio en la distibución de coiente es acompañado po un cambio coespondiente en el campo magnético. Considéese, po ejemplo, un solo inducto ideal aislado, el cual en su estado final mantiene una coiente total I enlazada po un flujo Φ. Entonces, si en alguna etapa del establecimiento de la configuación, la coiente es λi, el flujo coespondiente es λφ el itmo de cambio del flujo es Φ dλ dt. La tasa con la cual se ealiza tabajo conta las fuezas de inducción es po tanto dλ λiφ dt de manea que el tabajo total ealizado paa lleva a λ de a es

306 98 o en las fomas altenas Wm Wm W m donde se omitieon los subíndices en las inductancias popias. = IΦ (5.4) = LI (5.5) Φ = (5.6) L Paa un sistema consistente de n inductoes ideales que en su etapa final conducen coientes I, I,, I n enlazadas po flujos Φ, Φ,, Φ n, espectivamente, un agumento semejante al anteio conduce al esultado W n = I Φ (5.7) m k k Aquí la enegía popia de cada inducto está, po supuesto, incluida, en que una contibución al flujo Φ i a tavés del i-ésimo inducto poviene del campo geneado po I i. Evidentemente, la Ec. (5.7) puede epesase en téminos de las coientes solamente, en la foma coespondiente a la Ec. (5.5). El esultado es W k= n = L I I (5.8) m jk j k j, k= La Enegía como una Integal del Campo. La Ec. (5.7) puede genealizase paa detemina la enegía magnética de una distibución continua de coiente en el inteio de un volumen. Un solo lazo de coiente puede considease como si estuviese compuesto po un gan númeo de filamentos elementales de coiente contiguos de taectoias ceadas Ck, cada uno con una coiente Ik que flue a tavés de una sección tansvesal de áea a enlazada po un flujo Φ k: k Φ ˆ k = Bia nd k = Ai dl k (5.9) k donde k es la supeficie acotada po C k. ustituendo la Ec. (5.9) en la Ec. (5.7), se obtiene Ahoa C n A k= C k Wm = I k d k i l (5.) ( ) I dl = J a dl = J v k k k k k Confome n, v k se conviete en dv es posible escibi la sumatoia en la Ec. (5.) como una integal; es deci, W m k = dv Ai J (5.) v

307 99 donde v es el volumen del lazo o el medio lineal en el cual eiste J. Este volumen puede etendese paa inclui todo el espacio, a que la inclusión de una egión donde J = no cambia a Wm. La Ec. (5.) debe compaase con la ecuación obtenida paa la enegía eléctica W e en los Capítulos 3. Con fecuencia es deseable epesa la enegía magnética en función de las cantidades del campo B H en vez de la densidad de coiente J del potencial vectoial. Usando la identidad vectoial se tiene que o ( A H) H ( A) A ( H) i = i i ( ) = ( ) ( ) Ai H Hi A i A H ( ) ustituendo la Ec. (5.) en la Ec. (5.), se obtiene Ai J = HiB i A H (5.) Wm = HiBdv A H a dv v ( ) i ˆ n (5.3) i v se toma lo suficientemente gande, los puntos en su supeficie estaán mu lejos de las coientes. En esos puntos lejanos, la contibución a la integal de supeficie en la Ec. (5.3) tiende a ceo a que A decece como /R H como /R. Así que la magnitud de ( A H ) decece como /R 3, en tanto que al mismo tiempo la supeficie se incementa como R. Cuando R tiende a infinito, la integal de supeficie se anula. Entonces se tiene que W m = dv Hi B (5.4) Puesto que H = B/µ, esta ecuación puede escibise en dos fomas altenas como W W m m = v v = µ B dv µ (5.5) H dv (5.6) v i ahoa se define una densidad de enegía magnética, w m, de foma que su integal de volumen sea igual a la enegía magnética total entonces se puede escibi w m en tes fomas difeentes: W m = w dv (5.7) v m

308 3 w m = HiB B = µ = µ H (5.8) Usando la Ec. (5.5), con fecuencia se puede detemina la inductancia popia más fácilmente a pati de la enegía magnética almacenada calculada en téminos de B /o H que a pati del enlace de flujo. Ejemplo 6. Un cable coaial (Fig. 5.3) está fomado po un núcleo conducto macizo de adio a una cubieta metálica de adio b (a < b). Po el cilindo inteno cicula una coiente total I distibuida unifomemente po todo el volumen, en tanto que po la cubieta etena cicula una coiente I. Hállese el coeficiente de autoinducción po unidad de longitud del cable coaial a pati de la enegía almacenada po unidad de longitud. El dieléctico ente los metales es ideal. h K J Figua 5.3 olución: La enegía almacenada viene dada po un lado po, po oto, po W m = Wm v B µ = LI Paa el caso actual, po el conducto inteno cicula una coiente I distibuida unifomemente la densidad de coiente coespondiente es I J = πa la cual etona po el conducto eteno puede se modelada po una densidad supeficial de valo a ˆ z I K = a ˆ πb El campo magnético debido a estas coientes puede deteminase a pati de la le de Ampee se obtiene que dv

309 3 µ Iρ ˆ a π a µ I B a ˆ πρ ρ < a = φ a < ρ < φ ρ > b Paa calcula la enegía almacenada, se considea un volumen del cable de longitud h. La integal coespondiente debe dividise en dos pates, una coespondiente al conducto cental la ota al dieléctico: Igualando esta cantidad a longitud como h π a b Bint B et Wm = dφdz ρdρ + ρdρ µ µ h π a b µ I ρ µ I = dφdz ρ dρ + ρdρ 4 8π a 8π ρ b a 3 µ I h ρ dρ = dρ + 4 4π a ρ µ I h b = + ln 4π 4 a b LI, se obtiene el coeficiente de autoinductancia po unidad de L µ µ L = = + h 8π π ln que es el mismo esultado que se obtuvo anteiomente en el Ejemplo. b a

310 3 PROBLEMA 5. Aplique la le de Biot-avat demueste que la intensidad de campo magnético de un filamento de coiente ecto de longitud l en un punto P (Fig. 5.3) es ˆ I H = a 4 cos cos z = α α πr ( ) P R l/ α O +l/ α Figua Un filamento de coiente tiene la foma de un polígono plano unifome de n lados (Fig. 5.3). Use el esultado del Poblema 5. demueste que la intensidad del campo magnético en el cento O es dado po H = a ˆ z ni π sen πa n donde I es la coiente. Use esta epesión paa detemina la intensidad de campo magnético en el cento de un filamento de coiente cicula. a O I Figua Un filamento de coiente ectangula tiene su cento en el eje a una distancia del oigen (Fig. 5.33). El plano del ectángulo es paalelo al plano z la coiente es I. Use el esultado del Poblema 5. demueste que paa un punto del campo en O, B µ Iab 4π a b = + ( ) ( ) ( b ) ( a )

311 33 I a z O b Figua En los conductoes inteno eteno de la Fig se tienen coientes distibuidas unifomemente. Use la le de Ampee paa demosta que paa b c, el campo es dado po I c ρ H = ˆ a πρ c b φ Figua Calcula el flujo magnético total Φ m que cuza el plano z = en coodenadas cilíndicas paa ρ 5 m si. B = φa ˆ ρ sen z (T) Resp. 3.4 Wb 5.6 Un disco cicula de adio b espeso t conduce una coiente en una diección cicula en tono a su cento. Un sistema de coodenadas cilíndico tiene el oigen en el cento del disco el eje z coincide con el eje de simetía del disco. La densidad de coiente en el disco es J = kρa ˆ A/m, donde k es una constante eal mao que ceo. φ Deduzca una fómula paa la intensidad del campo magnético H en el cento del disco, suponiendo que el espeso t es mu pequeño compaado con b. 5.7 Una cinta conductoa delgada mu laga de ancho w está en el plano z ente = ± w. En la cinta flue una coiente de supeficie J ˆ s = a zjs. Halle la densidad de flujo magnético en un punto abitaio fuea de la cinta.

312 Una esfea conductoa de adio a se mueve con una velocidad constante va ˆ a tavés de un campo magnético unifome B diigido a lo lago del eje. Demueste que alededo de la esfea eiste un campo eléctico tipo dipolo dado po 3 vba E = θ a 3 + θa ( cos ˆ sen ˆ ) 5.9 Una coiente I flue po un alambe lago con un doblez semicicula de adio b como el de la Fig Detemine la densidad de flujo magnético en el punto cental P de la cuva. θ I b P Figua Dado que el potencial magnético vectoial en el inteio de un conducto cilíndico de adio a es µ Iρ A = 4 π a detemínese el campo H coespondiente. 5. Una línea de tansmisión tifásica consiste de tes conductoes que están sopotados en los puntos A, B C foman un tiángulo equiláteo. En un instante, los conductoes A B conducen una coiente de 75 A en tanto que el conducto C conduce una coiente de etono de 5 A. Halle la fueza po meto sobe el conducto C en ese instante. 5. Un tubo de longitud infinita de adio inteno a adio eteno b está hecho de mateial magnético conducto. El tubo conduce una coiente total I está colocado a lo lago del eje z. i se epone a un campo magnético constante B a, detemine la a ˆ z fueza po unidad de longitud que actúa sobe el tubo. 5.3 Un conducto ecto mu lago con una coiente I está contenido en el plano de un conducto tiangula, el cual conduce una coiente I, de manea que un lado del tiángulo es paalelo al conducto ecto, como muesta la Fig Detemine la fueza mutua ente los dos conductoes. 5.4 Epese el campo H de una espia de coiente si el oigen de coodenadas se escoge como en la Fig Calcule la fueza po unidad de longitud sobe cada uno de tes conductoes de longitud infinita, con sepaación ente ellos de d (m) po los cuales flue una coiente I (A) en la misma diección. Especifique la diección de la fueza. ˆ ρ

313 35 a µ (, a) I I (a, ) a R (, a) Figua 5.36 a ˆ R P R ' ds' Q I O (oigen) Figua Paa el pequeño lazo ectangula con lados a b que conduce una coiente I, mostado en la Fig. 5.38: a) Halle el potencial magnético vectoial A en un punto lejano P. Demueste que puede ponese en la foma de la Ec. (5.54). b) Detemine la densidad de flujo magnético B demueste que es la misma que la dada en la Ec. (5.55), 5.7 Veifíquese la Ec. (5.83). z P R θ O b a I Figua 5.38

314 Un campo magnético de magnitud H incide sobe la supeficie plana que sepaa dos medios difeentes linealmente pemeables fomando un ángulo θ con la nomal (Fig. 5.39). No ha coiente de supeficie en la intena. Cuáles son la magnitud ángulo del campo magnético en la egión? H µ θ µ θ H Figua Una lámina mu gande de un mateial de espeso d tiene una posición pependicula a un campo magnético unifome H ˆ = a zh. Ignoando los efectos en los bodes, detemine la intensidad de campo magnético en la lámina: a) i el mateial de la lámina tiene pemeabilidad µ, b) i la lámina es un imán pemanente que tiene un vecto de magnetización M = a M. ˆ z i 5. Detemine la inductancia mutua paa la configuación mostada en la Fig Detemine la inductancia mutua paa las configuaciones mostadas en la Fig Dos lazos ciculaes de adios conducen coiente I e I. Los lazos están en planos paalelos sepaados po una distancia gande R. Usando una apoimación de dipolo paa el campo magnético establecido po uno de los lazos en la posición del oto lazo, obtenga una epesión paa la inductancia mutua ente los dos lazos. w a h d h w Figua 5.4

315 Capítulo 6 Pincipios Geneales las Ecuaciones de Mawell En los capítulos anteioes se estudiaon los campos elécticos magnéticos. e debe señala que estos estudios son de gan utilidad en la pedicción de efectos en muchos poblemas de vaiación con el tiempo, peo ha efectos dinámicos impotantes que no son descitos po elaciones estáticas. Un ejemplo es la geneación de campos elécticos po campos magnéticos vaiables en el tiempo (le de Faada) o el efecto complementaio po el cual campos magnéticos son geneados po campos elécticos vaiables en el tiempo. En este capítulo se estudiaán las popiedades básicas que definen los pincipios que gobienan la teoía de los campos electomagnéticos se descibiá el sistema de unidades de las cantidades de las cantidades del campo. e epiten muchos conceptos dados en los capítulos anteioes paa hace más claas las eplicaciones de esos pincipios. Eiste una gan cantidad de evidencia epeimental que demuesta la validez geneal de las ecuaciones de Mawell. En este capítulo, con base en una seie de epeimentos sencillos, se postulaán las ecuaciones asociándolas con los esultados epeimentales. e debe señala que algunos de esos epeimentos son hipotéticos sólo se eponen paa da una mao claidad a la teoía. in embago, también se debe menciona que algunos de ellos son mu paecidos, en algunos casos idénticos, a los ealizados po los investigadoes oiginales paa deduci sus esultados. También se intoduce la le de fuezas de Loentz su función como integadoa de la mecánica el campo electomagnético. Hasta ahoa se han estudiado campos elécticos magnéticos estáticos ente ellos no se tenía ningún acoplamiento. in embago, cuando los campos vaían en el tiempo, los campos se acoplan se poducen ondas electomagnéticas. En esta pate del estudio entan en juego las ecuaciones de Mawell. 6. La Intensidad del Campo Eléctico Como se mencionó en el Capítulo, la caga es una cantidad fundamental de los cuepos en la natualeza; es una pimitiva, igual que lo son la masa, la longitud el tiempo. La caga no puede definise convenientemente en función de esas tes cantidades a que ella se manifiesta po sí misma sólo como la causa de efectos cuo oigen está más allá de la mecánica. Así, po ejemplo, cagas en eposo /o en movimiento ejecen fuezas sobe otas cagas en eposo /o en movimiento; estas fuezas no son popocionales a la masa, po lo que no son

316 38 gavitacionales. Estos nuevos tipos de fuezas se denominan fuezas electomagnéticas los nuevos campos se denominan campos electomagnéticos. Como a se sabe, la evidencia epeimental indica la eistencia de dos clases de cagas: positivas negativas. Cuantitativamente, la caga se encuenta en múltiplos enteos de una caga elemental esta caga elemental que es la más pequeña conocida es la que posee un electón. Antes de enta a considea los epeimentos elacionados con lo que se denominaá campo eléctico, se debe epasa el concepto de caga eléctica puntual, a intoducido en el Cap.. Este concepto bastante sencillo, es matemáticamente conveniente, además, posibilita el desaollo de una teoía macoscópica del electomagnetismo basada en el movimiento de las cagas elécticas. in embago, se debe señala que la casi totalidad de los campos vectoiales físicos sugen de fuentes que tienen una distibución macoscópica continua en el espacio, es deci, no povienen de cagas puntuales. En la eposición se obsevaá que mediante una supeposición apopiada de fuentes puntuales se puede epesenta cualquie distibución abitaia. Una patícula cagada siempe tiene una distibución de caga en su volumen. Cuando una segunda patícula cagada inteactúa con la pimea, se establecen cietas elaciones ente ellas que altean la distibución de caga en las patículas. Los cambios en la distibución de caga se hacen menoes a medida que las dimensiones de las patículas se hacen más más pequeñas. En el límite, cuando las dimensiones se hacen mu pequeñas en compaación con otas dimensiones macoscópicas, se tiene una caga finita en una egión mu pequeña se tiene entonces lo que se considea una caga eléctica puntual. Nomalmente, el volumen de la patícula se toma como ceo, peo siempe se debe tene en mente que en ealidad es un volumen de dimensiones ínfimas, el cual contiene una distibución de caga de magnitud abitaia. Obviamente, la fontea ente el dominio de los fenómenos de gan escala los micoscópicos es abitaia. La conveniencia del concepto de caga puntual eside en que no ha que peocupase po los cambios que se puedan oigina en la distibución de caga en el inteio de la patícula cuando ha otas cagas en sus alededoes. 6.. Epeimento Habiendo definido lo que se consideaá una caga puntual, se pasaá ahoa a descibi un pime epeimento. Hace mucho tiempo se deteminó epeimentalmente que cualquie objeto que posea una caga eléctica establece un campo de fuezas a su alededo. Este campo de fuezas se hace evidente si una caga puntual eploadoa se coloca en algún punto de la egión cecana al cuepo cagado. En la Fig. 6. se muesta lo que podía constitui el montaje del epeimento en un laboatoio. e tiene un cuepo de foma volumen abitaios, el cual ha sido cagado peviamente con una cantidad de caga q. i la caga puntual eploatoia se coloca en el punto, po ejemplo, sobe ella actuaá una fueza F; si la caga se coloca en los puntos 3, sobe ella se ejeceán fuezas F F3. i se cambia la magnitud de la caga puntual eploatoia se coloca en los mismos puntos, se obsevaá que la magnitud de la fueza cambia en la misma popoción en la cual cambió su magnitud, peo la diección el sentido de las fuezas no cambian. i en luga de cambia la magnitud

317 39 de la caga se cambia su signo se le coloca de nuevo en los mismos puntos, se obseva que la magnitud la diección de las fuezas pemanecen iguales peo cambia el sentido. Los esultados de este epeimento posibilitan la definición de un campo eléctico. E E q 3 E 3 Figua 6.. Campo alededo de una caga eléctica Po definición, la intensidad del campo eléctico en cualquie punto es igual en magnitud, diección sentido a la fueza ejecida sobe una caga puntual eploadoa de magnitud unitaia la cual está en eposo en ese punto, es deci, F = kqe (6.) donde F es la fueza sobe la caga puntual eploadoa q E es la intensidad del campo eléctico. Obsévese que la Ec. (6.) no está limitada a un punto en paticula sino que es aplicable en todas pates. La cantidad k es sólo un facto de popocionalidad su valo dependeá del sistema de unidades seleccionado. En todos los sistemas que se utilizados en este teto su valo es, de foma que F = qe (6.) es la definición del campo eléctico. En el Apéndice se estudiaá en detalle las unidades de mao uso. Es conveniente considea al campo E como si eistiese independientemente de si se usa o no una caga puntual eploatoia q paa detemina su eistencia. Esta consideación es de gan impotancia pues pemite emove a q considea solamente a q su campo asociado. Como se veá en un capítulo posteio en elación con la discusión de ondas electomagnéticas, la eistencia de un campo eléctico en una egión del espacio, independientemente del medio que se utilice paa medilo, es un concepto difeente de lo que anteiomente se llamó la teoía de acción a distancia, en la cual se suponía que la distibución de caga q actúa diectamente a tavés del espacio sobe la caga puntual q poduciendo la fueza que se obseva. El concepto de un campo es el siguiente: la distibución de caga q establece un campo en todo el espacio. La fueza ejecida sobe la caga puntual eploadoa q, la comunica el campo. En otas palabas, q ocasiona el establecimiento de un campo; éste a su vez tiene la popiedad de hace que se ejeza una fueza sobe una caga pesente en el campo. La fueza depende sólo de la intensidad del campo no de su oigen; es deci, el campo tiene una eistencia independiente no depende ni siquiea de la caga q paa su detección. En el caso actual, paa cagas en eposo, no es posible difeencia el concepto de campo del

318 3 concepto de acción a distancia en el cual se suponía que la acción eléctica apaecía instantáneamente en todos los puntos del espacio, no impota la distancia a que estuviesen. Oto punto que se debe señala es el poceso de detección del campo eléctico con la caga eploatoia; se supone que el poceso no afecta en nada al campo ni a la fuente que lo poduce. Es po ello que ota foma de defini el campo eléctico es F E = lím (6.3) q q En la Ec. (6.3) se intoduce el concepto de límite paa asegua que la caga eploatoia no petuba el campo. Haciendo que q tienda a ceo, el valo calculado mediante esta ecuación debe tende al valo de la intensidad del campo antes de intoduci la caga eploadoa. in embago, este poceso límite es una ficción puesto que es imposible dividi la caga indefinidamente. En la páctica, simila a lo que se definió anteiomente paa cagas puntuales, basta con que la magnitud de la caga eploadoa tenga una magnitud mucho meno que las de las cagas que poducen el campo, de manea que su intoducción en él no lo petube apeciablemente. upóngase ahoa que se tienen n cagas elécticas puntuales qk distibuidas en el espacio libe que Ek es la intensidad del campo eléctico en un punto P del espacio poducida po la caga qk. La intensidad del campo eléctico total E en P debida a todas las cagas qk seá entonces la suma vectoial (el campo se definió como un vecto) de las intensidades poducidas po cada una de las cagas, esto es E = E + E + + E n = E k= k e debe señala que el esultado anteio se obtiene obsevando que Ek es la fueza mecánica equeida paa mantene en P a una caga puntual unitaia de pueba cuando está sometida a la influencia del campo poducido po la caga puntual qk E es entonces la fueza mecánica equeida paa mantene en P a la caga puntual eploatoia sometida a la influencia de todas las cagas. El campo eléctico poducido po una colección de cagas es simplemente la suma vectoial de cada una de las cagas tomada aisladamente. En otas palabas, los campos elécticos se pueden supepone. 6. La Coiente Eléctica Cuando dos patículas cagadas se mueven con velocidades elativas difeentes con especto a un sistema de efeencia común, ente ellas eiste una fueza que es difeente a la fueza descita po la intensidad del campo eléctico. Paa entende la natualeza de esta fueza, se descibián algunos epeimentos se ecuiá pacialmente al conocimiento obtenido en los cusos elementales de Física e Ingenieía Eléctica sobe la teoía de los cicuitos elécticos. Nomalmente, en la ausencia de factoes etenos de petubación, el movimiento micoscópico de patículas cagadas en un mateial es ápido, en cieto sentido, aleatoio. n (6.4)

319 3 in embago, la intoducción de un campo eléctico hace que las cagas elécticas en el mateial, en pomedio, se muevan con un odenamiento egula siguiendo la diección geneal del campo eléctico; este movimiento constitue una coiente eléctica. En un medio conducto, los electones tienen libetad paa movese bajo la influencia de un campo eléctico eteno. i no eistiese un mecanismo de oposición al movimiento, los electones se aceleaían adquiiían gandes velocidades. in embago, las impefecciones las vibaciones témicas de la estuctua cistalina de un conducto tienden a dispesa los electones. Esta dispesión se manifiesta macoscópicamente a tavés de una velocidad pomedio finita adquiida po los electones. En la ección 6. ( en el Capitulo ) se utilizó el concepto de caga eléctica puntual paa defini la intensidad de un campo eléctico E. upóngase ahoa que en el inteio de un cieto volumen finito se tiene un gan númeo de cagas puntuales. i se supone que la caga contenida dento de un elemento de volumen v es q, entonces la densidad de caga de volumen ρv se definiá mediante la elación q = ρ v (6.5) Es deci, cuando se habla de la densidad de caga en un punto, el significado es la caga pomedio po unidad de volumen en un entono de ese punto. En un sentido esticto, la Ec. (6.5) no define una función continua de la posición puesto que v no puede tende a ceo sin límite (como a se mencionó, la caga no puede se dividida indefinidamente). A pesa de ello, se supondá que ρv puede epesentase mediante una función de las coodenadas del tiempo, la cual en los puntos odinaios es continua posee deivadas continuas. Claamente, la caga total en un volumen v es v v dv (6.6) v q = ρ El valo total de la caga en v obtenido mediante la Ec.(6.6) difeiá entonces de la caga eal en ese volumen en una cantidad micoscópica como máimo. Cualquie movimiento odenado de cagas constitue una coiente. Epeimentalmente se detemina que en un medio conducto la coiente el campo eléctico están elacionados po la epesión ( Le de Ohm) J = σe (6.7) En esta ecuación, σ es la conductividad del medio (un conducto pesenta esistencia al paso de la coiente) J es la densidad de coiente. De la ecuación se obseva que una distibución de coiente está caacteizada po un campo vectoial que especifica en todo punto tanto la intensidad del flujo como su diección. Igual que en el estudio del movimiento de fluidos, es conveniente imaginase líneas de flujo tazadas en la distibución tangentes en todas pates a la diección del flujo. Considéese ahoa una supeficie que es otogonal a un sistema de líneas de flujo. La densidad de coiente en cualquie punto de esta supeficie se define entonces como un vecto J diigido a lo lago de la línea de flujo que pasa po el punto que es igual en magnitud a la caga que cuza un áea unitaia de la supeficie po unidad de tiempo.

320 3 Obseve que paa el caso paticula de un conducto indicado po la Ec. (6.7), la densidad de coiente J tiene igual diección sentido que el campo eléctico que la genea. Ahoa bien, la coiente I que ataviesa cualquie supeficie es igual a la tasa tempoal con la cual la caga cuza esa supeficie. i ˆn es la nomal unitaia positiva a un elemento de la supeficie, entonces I = Ji nˆ (6.8) Como es un elemento macoscópico de áea, la Ec. (6.8) no define con igo matemático a la densidad de coiente como una función continua de la posición, peo de nuevo la distibución se puede epesenta po una función de este tipo sin comete un eo apeciable. Entonces, paa calcula el flujo de coiente total a tavés de una supeficie, se debe evalua la siguiente integal de supeficie: I = ˆ d Ji n (6.9) Como la caga eléctica puede se positiva o negativa, se debe adopta una convención sobe lo que constitue una coiente positiva. i el flujo que ataviesa un elemento de áea consiste de cagas positivas cuos vectoes de velocidad foman un ángulo de menos de 9 con la nomal positiva ˆn, se dice que la coiente es positiva. i el ángulo es mao que 9, la coiente se dice negativa. Igualmente, si el ángulo es meno que 9 peo las cagas son negativas, la coiente que pasa po el elemento es negativa. upóngase ahoa que la supeficie de la Ec. (6.9) es ceada, delimitando así un volumen v. ea ρv la densidad de caga. Entonces, la caga total dento del volumen V es v dv (6.) v q = ρ i la caga en el inteio del volumen v vaía con el tiempo, entonces debe eisti una densidad de coiente J, la coiente que sale de V (Fig. 6.) está dada po I = ˆ d Ji n (6.) v ˆn J ρ vdv Figua 6.. Epeimento paa establece la ecuación de continuidad En el capítulo se seguiá usando la convención usual en la cual la nomal positiva a una supeficie ceada va desde adento hacia afuea. En vitud de la definición de la coiente como el flujo de caga a tavés de una supeficie, se deduce que la integal de supeficie de la

321 33 componente nomal de J en la supeficie debe medi la pédida de caga en la egión dento de. No ha evidencia epeimental que indique que bajo condiciones odinaias la caga pueda se ceada o destuida en cantidades macoscópicas. Po tanto, lo anteio se puede epesa como d Ji nˆ d = ρvdv (6.) d t donde v es el volumen enceado po. El lado izquiedo de la Ec. (6.) da el flujo neto de coiente que sale desde, mientas que el lado deecho epesenta la tasa tempoal neta de pédida de caga desde el volumen V, es deci, la Ec. (6.) es una elación que epesa la consevación de la caga. El flujo de caga a tavés de la supeficie puede oiginase en tes fomas. La supeficie puede esta fija en el espacio la densidad de caga ρv puede se función del tiempo de la posición; la densidad de caga puede se invaiable en el tiempo mientas que la supeficie cambia de alguna manea pescita, o ρv cambian en el tiempo. En estos dos últimos casos, la integal en el lado deecho de la Ec. (6.) es una función del tiempo a causa de ρv de límites de integación vaiables. in embago, si la supeficie es fija la integal convege, se puede eemplaza d/dt po una deivada pacial bajo el signo de integación, v ρv ˆ d = dv Ji n (6.3) t La aplicación del teoema de la divegencia a la integal de supeficie esulta en v v ρv div J + dv = t (6.4) El integando en la Ec. (6.4) es una función continua de la posición po tanto deben eisti pequeñas egiones en las cuales no cambia de signo. i el valo de la integal es ceo paa volúmenes abitaios v, el integando debe se idénticamente igual a ceo se obtiene así la foma difeencial de la le paa la consevación de la caga, ρv div J + = (6.5) t A esta ecuación se le conoce comúnmente como la ecuación de continuidad epesa la consevación de la caga en el entono de un punto. i en todo punto en el inteio de una egión especificada la densidad de caga es constante, es deci, la coiente que enta a la egión es igual en todo momento a la coiente que sale, entonces en la supeficie que delimita la egión se tiene que, po el teoema de la divegencia, en todo punto inteio ˆ Ji n d = (6.6)

322 34 div J = (6.7) Es deci, un flujo de coientes estacionaias o estables en una egión está definido po un vecto J, el cual es constante en diección magnitud en todo punto en el inteio de esa egión. En vitud del caácte no divegente de este tipo de distibución de coiente, se deduce que en el égimen estacionaio los filamentos de coiente se ciean sobe sí mismos, es deci, el campo del vecto J es solenoidal. En la ec. 6. se estudian con algo más de detalle las coientes elécticas. 6.3 Algunas Popiedades de la Intensidad del Campo Eléctico Ahoa se pocedeá a descibi algunos epeimentos cuos esultados pondán de manifiesto cietas caacteísticas del compotamiento de los campos elécticos Epeimento i una patícula eploadoa cagada elécticamente se mueve lentamente en una egión en la cual eiste un campo eléctico que no vaía con el tiempo, se encuenta que cuando la patícula se mueve en una taectoia ceada egesa al punto donde se inició el movimiento, no se ealiza tabajo sobe la patícula ni ella ealiza tabajo. En la Fig. 6.3, po ejemplo, una patícula eploadoa de caga q puede movese siguiendo la taectoia indicada po la taectoia de puntos alededo de un cuepo cagado. Cuando la patícula se aleja del cuepo cagado que oigina el campo eléctico E, este campo ealiza tabajo sobe la patícula. in embago, cuando la patícula se aceca al campo cagado, siempe en la taectoia indicada, ella debe ealiza un tabajo eactamente igual al que se hizo sobe ella al movese conta la fueza del campo. E q E E E E Figua 6.3. Movimiento de una patícula cagada en una taectoia ceada en un campo eléctico E. Esta conclusión está de acuedo con el pincipio de consevación de la enegía, puesto que si la patícula egesase a su punto de patida con un eceso de enegía, podía desplazase de nuevo alededo de la taectoia una ota vez, ganando cada vez más más enegía sin que eista una disminución coespondiente en ota pate del sistema. Esto es contaio al pincipio de consevación de la enegía. Es igualmente imposible que la patícula egese a su

323 35 punto de patida con una deficiencia de enegía a que, suponiendo que no ha ficción, entonces la enegía total del sistema tendía que disminui. La conclusión de este epeimento es completamente independiente de la foma de la taectoia que siga la patícula eploatoia, siempe que esa taectoia sea ceada. La conclusión también es independiente de la fuente que poduce el campo eléctico; sin embago, la patícula eploadoa debe tene una caga mu pequeña paa no altea en ninguna foma la fuente oigen del campo cuando ella está ecoiendo su cicuito completo esa fuente oigen no debe cambia en ninguna foma cuando se está ealizando el epeimento. Puesto que la enegía es igual al poducto escala de la fueza po la distancia la enegía total es la sumatoia, o integal, de las enegías individuales contibuidas po cada incemento de distancia alededo de la taectoia ceada C, entonces d = Fi l (6.8) C Luego, como el campo de fuezas el campo eléctico están elacionados po un facto constante, igual que en la Ec. (6.), se obtiene Ahoa bien, po el teoema de tokes se sabe que d = Ei l (6.9) C Ei dl = (ot E) i n ˆ d (6.) C donde es la supeficie delimitada po el contono C ˆn es la nomal unitaia a la supeficie; su diección positiva está dada po la egla de la mano deecha, la cual dice que si se ecoe el contono C de foma que nuesta mano izquieda esté en el inteio de, la diección de ˆn va de los pies a la cabeza. Como la supeficie es abitaia, sus bodes son los únicos definidos po C, entonces el integando en la integal de supeficie debe se idénticamente igual a ceo, es deci, ot E = E = (6.) En otas palabas, el vecto ot E no poduce un flujo neto en una egión abitaia. En este caso se dice que el campo E, paa el caso en que no ha vaiación en el tiempo, es iotacional o consevativo; este hecho también lo epesa la Ec. (6.9). El caácte iotacional del campo eléctico estático E pemite una simplificación; del análisis vectoial se sabe que ello implica que E se puede calcula a pati del gadiente de una función escala, la función potencial o potencial escala, que se denotaá po Φ; entonces E = gadφ = Φ (6.) que es un citeio simila al epesado po la Ec. (6.). Una vitud del potencial Φ es que educe un poblema vectoial a uno escala. El signo negativo puede entendese del hecho de

324 36 que E está en la diección en que se mueve una patícula positiva, po tanto, en la diección dececiente del potencial. Obseve pimeo que el tabajo que el campo E ealiza al move una caga positiva unitaia de un punto a oto en una longitud infinitesimal es dw = Ei dl El tabajo ealizado al move la patícula una distancia dl conta la fueza del campo E es pecisamente el negativo de lo anteio. El tabajo total W equeido paa move una patícula una distancia finita ente los puntos en un campo E es entonces Usando la Ec. (6.) se obtiene W = d Ei l (6.3) W = ( Φ ) i dl = dφ = Φ Φ (6.4) Es deci, la difeencia de potencial ente dos puntos es el tabajo que debe ealizase paa move una caga unitaia ente esos dos puntos. Las Ecs. (6.3) (6.4) también muestan que la integal de línea de la componente tangencial de E a lo lago de cualquie taectoia que une los dos puntos es independiente de la taectoia sólo depende de los puntos etemos. Ésta es una popiedad impotante de los campos consevativos es equivalente a la elación Ei dl = dφ (6.5) C Así pues, un campo eléctico geneado po cagas estacionaias es un ejemplo de un campo consevativo. La ecuación Φ = constante, define una supeficie denominada una supeficie equipotencial; estas supeficies juegan un papel mu impotante en electostática. El voltaje (o fueza electomotiz), el cual es esencialmente la difeencia de potencial ente los puntos, se definió en el Capítulo como V C = d Ei l (6.6) Es deci, el voltaje ente el punto el punto es la integal de línea del campo eléctico tomando cualquie taectoia desde el punto hasta el punto [de acuedo con la Ec. (6.4), la integal en la Ec. (6.6) es independiente de la taectoia]. La cantidad V también se conoce como fueza electomotiz. Recuede del Capítulo que la difeencial de la taectoia dl en la Ec. (6.6) es equivalente a utiliza el difeencial d del vecto adial desde el oigen. Paa un campo dado E, la especificación de una función potencial po la Ec. (6.) da, po supuesto, libetad paa la selección de una constante abitaia. En paticula, el punto inicial en (6.3) puede esta ubicado en cualquie pate. in embago, a menos que haa alguna

325 37 azón paa lo contaio, usualmente ese punto se tomo en el infinito. De esto a se habló en el Cap La Le de Gauss la Densidad del Campo Eléctico Una elación ente las cagas la intensidad del campo, la le de Gauss, es de impotancia fundamental en electomagnetismo posibilita atajos convenientes paa el cálculo de campos elécticos en casos especiales. upóngase que se tiene una supeficie imaginaia completamente ceada en un espacio libe, en el cual eiste un campo eléctico E. La supeficie puede tene cualquie foma es imaginaia en el sentido que ella se usa paa aisla el espacio en su inteio del espacio eteio. Ahoa se pocede a medi la intensidad del campo eléctico en todos los puntos de la supeficie ceada. Esto puede hacese mejo dividiendo la supeficie en pequeñas secciones de áea da como se indica en la Fig E E upeficie E Figua 6.4. upeficie epeimental paa compoba la le de Gauss Entonces se pocede a medi la componente del campo eléctico nomal al áea d. i la componente nomal es hacia afuea se toma (igual que antes) como positiva, si es hacia adento se toma como negativa. Luego se multiplican todas las componentes nomales po sus áeas espectivas se suman todas. Cuando este epeimento se hace paa todas las supeficies posibles bajo una gan vaiedad de cicunstancias, se llega a la conclusión de que la sumatoia que se acaba de descibi es popocional a la cantidad de caga eléctica enceada po la supeficie en la cual se hacen las mediciones. i ε es una constante qenc es la cantidad de caga en el inteio de la supeficie ceada, entonces esto se puede epesa po la ecuación ε = E n ˆ d q ( espacio vacío i ) (6.7) enc i la integal en la Ec. (6.7) es igual a ceo, entonces, o no ha caga en el inteio del volumen enceado po o, si eiste una cantidad de caga de cieto signo, entonces ha una cantidad igual de caga de signo contaio. i la integal no es ceo, entonces en el inteio de ha una cantidad de caga esa cantidad es popocional al valo de la integal. La Ec. (6.7) es una foma básica de la le de Gauss. El facto de popocionalidad ε se denomina la pemitividad del espacio vacío o espacio libe. La integal en la Ec. (6.7) no es sino la

326 38 descipción matemática del flujo eléctico que ataviesa la supeficie ceada no depende de la foma de la supeficie. Repitiendo el epeimento en otos medios, aie o aceite, po ejemplo, cambia el valo de la integal en la Ec. (6.7); sin embago, su valo sigue siendo popocional a la caga enceada con un valo definido en cada medio. Paa hace que la Ec. (6.7) aplique a todas las substancias, es necesaio inclui un facto que sea caacteístico del mateial en el cual se hacen las mediciones. Este facto se denota po κ se denomina la constante dieléctica elativa o capacidad inductiva específica del mateial. i se denota po q la caga enceada, entonces la Ec. (6.7) se conviete entonces en Una foma más adecuada de la Ec. (6.8) es κε ˆ d = q Ei n (6.8) E n puesto que κ puede vaia duante el poceso de integación. κε ˆ i d = q (6.9) La constante κ (también denotada po ε) depende de las caacteísticas del medio en el cual está el campo eléctico fecuentemente ella ε se combinan en una sola constante ε = κε la Ec. (6.9) se conviete en A ε se le denomina la pemitividad del medio. ε ˆ d = q Ei n (6.3) Considéese ahoa al vecto D definido po la elación D = εe. Con este nuevo vecto, la Ec. (6.3) se escibe entonces como Di n ˆ d = q (6.3) En téminos físicos, la Ec. (6.3), ota foma de la le de Gauss, epesa que el flujo total del vecto D que sale del volumen enceado po la supeficie es igual a la caga total en el inteio del volumen. A D se le denomina la densidad del campo eléctico al poducto de D po el áea se le denomina flujo eléctico. Dicho de ota foma, el lado izquiedo de esta ecuación es la descipción matemática del flujo eléctico que pasa a tavés de una supeficie ceada, en tanto que el lado deecho es la cantidad de caga total contenida en el inteio de esa supeficie. La supeficie puede se eal o imaginaia tene cualquie tamaño o foma. Debe queda clao que la le de Gauss involuca solamente la caga enceada; es deci, la caga en el inteio del volumen en el cual se detemina el flujo. Cualquie caga situada fuea de la supeficie poduce una cantidad igual de flujo entante (negativo) que saliente (positivo), de modo que la contibución neta al flujo total a la supeficie debe se ceo.

327 39 Paa obtene la foma difeencial de la Ec. (6.3) se pocede de la foma siguiente: Paa cualquie campo vectoial A definido en un volumen V acotado po una supeficie simplemente conea como en la Fig. 6.4, el teoema de la divegencia establece la siguiente elación: Ai nˆ d = div A dv (6.3) Imagínese ahoa una distibución continua de caga con una densidad ρv. Aplicando el teoema de la divegencia a un volumen abitaio v en la densidad de caga, entonces la caga q que apaece en la Ec. (6.3) puede escibise como v v q = ρ dv utilizando el teoema de la divegencia en el lado izquiedo de (6.3), se obtiene v (div D ρ v ) dv = (6.33) v Esta ecuación es válida paa un volumen abitaio sólo si el integando se anula, así se obtiene que divd ρ = i D ρ = (6.34) v Ésta es la foma difeencial de la le de Gauss es una de las cuato ecuaciones del campo, denominadas ecuaciones de Mawell, las cuales en conjunto foman una descipción completa del electomagnetismo. Obseve que ha una difeencia fundamental ente las fomas difeencial e integal de la le de Gauss; la foma difeencial tata sobe la divegencia del campo eléctico la densidad de caga en puntos individuales en el espacio, en tanto que la foma integal involuca la integal de la componente nomal del campo eléctico sobe una supeficie. Ejemplo. Como un ejemplo de la aplicación de la le de Gauss, se calculaá el campo eléctico poducido po una caga unifome distibuida en el volumen de una esfea. v z i i R Figua 6.5. Campo de una caga unifome.

328 3 En la Fig. 6.5 se muesta un octante de la esfea de adio R. Paa detemina E fuea de la esfea, constua una esfea imaginaia, de adio > R, el adio eal. Aplique la le de Gauss a esta esfea: = i E d Q ε La caga Q en el inteio de es igual a Q, la caga total. Entonces Ei = ( aˆ ) i( aˆ ) = d E d E d Po simetía, el valo de E debe se constante en la supeficie. Así que o ( 4 ) ( ) E π = ε Q Ei ( 4 ) o d = E d = E π Q E =, > R 4πε A continuación, paa halla E en el inteio de la esfea, se constue una esfea imaginaia simila a la anteio de adio < R se aplica de nuevo la le de Gauss: d Q Ei = ε donde Qi es la caga en el inteio de i. La caga total en i es i πi i Qi = Q Q 4 3 = R 3 πr i Igual que antes, d E ( 4 Ei = π i i ) ( 4 i ) ( )( i ) i i E π = ε R Q. De manea que Q E = ˆ, 3 a < R 4πε R En la supeficie de la esfea, ambas ecuaciones dan el mismo esultado: Q E = ˆ, a = R 4πε R Como un ejemplo del uso de la foma difeencial de la le de Gauss, considéese el campo eléctico de una caga positiva puntual q; el campo eléctico se oigina en la caga positiva, es adial disminue como :

329 3 q E = 4 πε Paa evalua la divegencia en el oigen, se usa la definición fomal de la divegencia: i E v lím v a ˆ Ei nˆ d se considea una supeficie gaussiana que enciea la caga puntual q; es deci Peo q q q ( ) i E lím d lím 4 v = 4 π v 4πε v v 4π q = lím v v ε v es pecisamente la densidad de caga pomedio en el volumen v, confome v, ésta se vuelve igual a ρ, la densidad de caga en el oigen. De manea que la divegencia en el oigen es en concodancia con la le de Gauss. 6.4 El Campo Magnético ρ i E = ε Cuando po un conducto flue una coiente, puede eisti una fueza que se ejece sobe él. Esta fueza es de un tipo bastante difeente a la fueza electostática a todas las otas fuezas que no son de oigen eléctico, puesto que ella desapaece cuando la coiente deja de flui Epeimento 4 Ahoa se utilizaá un montaje de laboatoio simila al utilizado po Ampee paa establece la le de fuezas ente conductoes. El equipo se muesta en la Fig Una sección pequeña ecta de alambe conducto se monta de tal foma que se pueda medi la fueza sobe ella cuando flue coiente de un etemo al oto. Como la sección de alambe debe tene libetad de movimiento paa pode medi la fueza, se usa algún tipo de coneión fleible paa pasa la coiente. El epeimento muesta que sobe el alambe se ejece una fueza que es siempe nomal al alambe que la magnitud de la fueza es popocional a la cantidad de coiente que pasa po el alambe a su longitud L. Ahoa bien, también se encuenta que la magnitud la diección de la fueza dependen de la situación de la oientación del alambe en el espacio, en paticula, en efeencia a imanes u otos cicuitos en los que flua coiente. Esto sugiee, en una foma simila a lo mencionado paa el campo eléctico, que eiste alguna

330 3 condición en el espacio que poduce la fueza sobe el alambe, que se debe considea la posible eistencia de un campo magnético. Coiente Fueza L Figua 6.6. Cicuito paa compoba la fueza ente conductoes de coiente. La evidencia epeimental dice que en cualquie punto en el espacio es posible oienta al alambe de tal foma que sobe él no se ejeza una fueza magnética. i el alambe se mantiene en esa misma posición peo se cambia su oientación, se encuenta que sobe él se ejece una fueza que la cantidad de la fueza es popocional al seno del ángulo ente la diección del alambe su diección cuando la fueza ea ceo, es deci, la diección nula. La diección de la fueza magnética, además de se nomal al alambe, también lo es a su diección nula. De estos esultados epeimentales se obtiene entonces que la idea de la eistencia de un campo magnético es bastante azonable que debe se un campo vectoial puesto que tiene magnitud diección. ólo ha una diección definida en foma única: la diección del alambe cuando la fueza que se ejece sobe él es nula. Ésta se toma po definición como la diección del campo magnético. La intensidad del campo magnético se encuenta a pati de la máima fueza magnética que se ejece sobe el alambe cuando éste está en una diección nomal a su diección nula. El sentido de esta fueza también se define en téminos de esta fueza máima; se asume una elación de mano deecha ente la diección positiva del campo magnético el sentido de la fueza esultante; en foma de ecuación F = IL B (6.35) donde F epesenta la fueza, L es la longitud la diección del alambe sobe el cual se ejece la fueza e I es la coiente que pasa po el alambe. El sentido positivo de L se toma en el sentido en el cual flue la coiente positiva en el alambe. B se denomina el vecto de inducción magnética o también de la densidad del campo magnético. i F se mide en newtons, L en metos e I en ampeios, entonces B estaá epesada en webes po meto cuadado o teslas La Densidad del Campo Magnético De la misma manea que se consideó a la Ec. (6.3) como la definición del flujo eléctico, se puede concebi un flujo magnético establece su definición:

331 33 Flujo magnético = Φ = ˆ Bi n d (6.36) La cantidad B es la densidad del campo magnético puesto que al multiplicala po un áea, el esultado es un flujo. 6.5 La Pimea Ecuación de Mawell Ahoa se estableceá la fomulación de la pimea de las ecuaciones de Mawell la cual popociona una elación ente los campos elécticos magnéticos. El descubimiento de que un campo magnético podía poduci un campo eléctico lo hizo Michael Faada en Inglatea e, independientemente, Joseph Hen en los Estados Unidos unos meses después Epeimento 5 Considéese una espia de un conducto conectada a un galvanómeto balístico, como se ilusta en la Fig Un galvanómeto balístico está diseñado de foma que su lectua sea popocional a la caga que pasa po su bobina móvil. Cualquie galvanómeto convencional puede usase como uno balístico, peo este último tiene un pa meno una mao inecia en la bobina. En este epeimento se encuenta que cada vez que se cambia la intensidad del campo magnético, el galvanómeto indica que ha un flujo de caga su lectua es popocional al aumento o disminución del flujo que pasa po la espia. También se encuenta que la lectua del galvanómeto es invesamente popocional a la esistencia total R del apaato (espia, conectoes galvanómeto). Como el galvanómeto mide caga eléctica, tenemos entonces que q Φ m m = (6.37) El signo negativo en la Ec. (6.37) indica que si la diección positiva paa el flujo de caga alededo de la espia se elaciona con la diección del flujo positivo mediante la egla de la mano deecha, entonces un incemento positivo de flujo poduce una coiente negativa. Michael Faada (Londes) Joseph Hen (Nueva Yok) ealizaon epeimentos semejantes al planteado paa veifica que si una coiente puede poduci un campo magnético, entonces, el efecto contaio debe se cieto, es deci, un campo magnético debe poduci una coiente. R Espia conductoa Galvanómeto balístico Figua 6.7. Epeimento de Faada

332 La Le de Faada Faada descubió epeimentalmente que un voltaje es inducido en un cicuito conducto cuando se altea el campo magnético que enlaza ese cicuito. El voltaje es popocional a la tasa de cambio en el tiempo del campo magnético que enlaza al cicuito. La le de inducción electomagnética de Faada se deduce a pati de la Ec. (6.37). La ecuación puede escibise como Rq = Φ m difeenciando ahoa con especto al tiempo se obtiene q Φ R = R I = t t m (6.38) De la teoía de cicuitos se sabe que el poducto IR alededo de un cicuito ceado es igual a la fueza electomotiz en el cicuito, de foma que a pati de las Ecs. (6.6) (6.38), se obtiene v e = Fueza electomotiz Φ = = E i m d l (6.39) t C donde C es el contono establecido po la espia. ve es la fueza electomotiz definida po la Ec. (6.6) el flujo Φm se detemina evaluado la componente nomal de la densidad de flujo B en cualquie supeficie que tengan la taectoia deseada como su fontea. Así pues, el flujo cambiante del campo magnético a tavés del lazo genea un campo eléctico diigido alededo del lazo. Este poceso es lo que se conoce como inducción magnética la ecuación se conoce como la le de Faada de la inducción electomagnética. La deivada pacial en la Ec. (6.39) indica que C no vaían en el tiempo. La Ec. (6.39) es la epesión paa la le de Faada es también la pimea ecuación de Mawell aplicada al caso especial de una espia conductoa. Ahoa se haá una genealización de esta ecuación epeimental se postulaá su validez en el sentido de que un campo magnético induce un campo eléctico acode con la Ec. (6.39) no sólo en un mateial conducto sino también en mateiales no conductoes hasta en el espacio libe. Este concepto es de una impotancia fundamental, puesto que sin los campos elécticos magnéticos poduciéndose ente sí en el espacio no había tansmisión de adio, luz u otas ondas electomagnéticas. Paa un cicuito de n vueltas, el voltaje inducido ve puede escibise como dφ v n dt m e = (6.4) donde Φm es el flujo magnético que enlaza cada vuelta de la bobina. Usando la epesión paa Φm dada po la Ec. (6.36) usando la deivada total en vez de una deivada pacial, la Ec. (6.39) puede escibise en la foma

333 35 d E d = ˆ d i l Bi n (6.4) dt C donde es la supeficie delimitada po el contono C. La le de Faada epesa lo siguiente: La integal de línea del campo vectoial E alededo de cualquie contono ceado C es igual a la tasa de cambio en el tiempo del flujo total del vecto B que cuza cualquie supeficie delimitada po C, siempe que () el contono C pemanezca fijo con especto al tiempo () la supeficie sea simplemente conea, esto es, la supeficie no tiene huecos, indifeentemente de su tamaño, foma o configuación. La fómula dada po la Ec. (6.4) puede conduci a intepetaciones incoectas a que involuca dos fenómenos distintos: la inducción magnética (debida a un campo magnético cambiante) la fueza electomotiz de movimiento, fem, (la cual involuca el movimiento de una patícula cagada a tavés de un campo magnético). En ambos casos, se poduce una fueza electomotiz, peo sólo la inducción magnética conduce a un campo eléctico ciculante en el maco en eposo del laboatoio. Esto significa que la Ec. (6.4) es iguosamente válida con la advetencia de que E epesenta el campo eléctico en el maco en eposo de cada segmento dl de la taectoia de integación. Una foma de escibi la le de Faada que sepaa los dos efectos aclaa la coneión ente la ciculación del campo eléctico un cambio magnético cambiante es la siguiente. i se toma d fem = ˆ d Regla del flujo dt Bi n (6.4) si se supone que el contono (o cicuito) C está fijo, entonces la Ec. (6.4) también puede escibise en la foma E d = ˆ d Le de Faada (foma altena) i l B i n (6.43) t C Obseve que en esta vesión de la le de Faada, la deivada con especto al tiempo opea solamente sobe el campo magnético no sobe el flujo magnético, tanto E como B se miden en el maco de efeencia del laboatoio. En cualquie caso, se debe tene claa la idea pincipal en la le de Faada: Un flujo magnético cambiante que ataviesa una supeficie induce una fueza electomotiz en cualquie taectoia que delimite a esa supeficie, un campo magnético cambiante induce un campo eléctico ciculatoio. Es deci, si el flujo magnético que ataviesa la supeficie está cambiando, se induce un campo eléctico en la fontea de esa supeficie; este campo eléctico inducido popociona una fueza electomotiz que poduce una coiente en el mateial. El signo negativo en la le de Faada dice simplemente que la fueza electomotiz inducida se opone al cambio en flujo, es deci, tiende a mantene el flujo eistente. Ésta es la le de Lenz. Lo que dedujo Lenz fue lo siguiente: las coientes inducidas po un flujo magnético cambiante siempe fluen en una diección tal que se oponen al cambio en el flujo. Es impotante entende que el flujo magnético cambiante induce un campo eléctico a sea que

334 36 eista o no una taectoia conductoa po la cual pueda cicula una coiente. Así pues, la le de Lenz da la diección de la ciculación del campo eléctico inducido en tono a una taectoia especificada, aun cuando ealmente no flua coiente po esa taectoia. Epeimentalmente se detemina que la le de Faada pedice coectamente la fueza electomotiz (fem) geneada alededo de cualquie espia de alambe, sin impota la posición o foma de la espia. Es azonable supone que la misma fem se geneaía en la ausencia del alambe (po supuesto, en este caso no ciculaía coiente). La le de Faada epesada po la Ec. (6.43) puede escibise en foma difeencial usando el teoema de tokes. La tansfomación de la integal coespondiente a la fueza electomotiz conduce a la elación B ot E + ˆ d = t i n (6.44) Como el contono C la supeficie limitada po el contono son abitaios, el integando debe anulase paa que la Ec. (6.44) sea válida en cualquie pate, es deci, B ot E + = t B E = (6.45) t Obseve que la Ec. (6.45) es la genealización paa campos vaiables en el tiempo de la epesión E = dada po la Ec. (6.) paa el caso estático. e debe señala que la epeimentación es consistente con la suposición de que la Ec. (6.45) es satisfecha po los dos campos E B. 6.6 La Intensidad del Campo Magnético En este epeimento se usa un medido de flujo paa medi la componente nomal de la densidad del campo magnético en todos los puntos de una supeficie ceada colocada en un campo magnético. Un medido de flujo es un galvanómeto balístico calibado paa pode medi el flujo magnético enlazado po una (o vaias) espia(s) conectada ente sus teminales. La supeficie ceada es imaginaia puede tene cualquie foma o tamaño, el epeimento debe epetise paa una gan vaiedad de supeficies. En todos los casos, el esultado del epeimento es que la sumatoia del flujo del campo magnético en cada una de las supeficies ceadas es ceo, es deci, ˆ Bi n d = (6.46) Ésta es la foma integal de la le de Gauss paa campos magnéticos. El lado izquiedo de la ecuación es una descipción matemática del flujo de un campo vectoial a tavés de una supeficie ceada. En este caso, la le de Gauss se efiee al flujo magnético que ataviesa una

335 37 supeficie ceada. La aplicación del teoema de la divegencia a la Ec. (6.46) poduce el esultado que la densidad del campo magnético no tiene divegencia bajo ninguna cicunstancia: divb = i B = (6.47) En otas palabas, el campo B es solenoidal la Ec. (6.46) epesa que el flujo total del vecto B que ataviesa cualquie supeficie egula ceada es ceo. Esto implica que el vecto densidad del flujo magnético B es continuo, vale deci, si se comienza en cualquie punto en la egión de un campo magnético el movimiento es en la diección del vecto del campo en ese punto, luego se mantiene el movimiento en la diección del campo magnético, finalmente se egesaá al punto de patida. i se pate desde un segundo punto que no fue tocado po la pimea taectoia el movimiento es en la misma foma que antes, se encuenta que se egesa a este segundo punto que en ningún sitio se cota la pimea taectoia. Ésta es una de las caacteísticas pincipales de un campo solenoidal. El epeimento puede ealizase en difeentes tipos de medios mateiales siempe se obtendá el mismo esultado: la divegencia de B es ceo. La divegencia de la Ec. (6.45) da i B = t (6.48) De modo que la ecuación (6.45) ealmente eige que la divegencia del campo magnético sea constante en el tiempo paa se consistente. in embago, un campo magnético constante no solenoidal sólo puede se geneado po monopolos magnéticos éstos no eisten. Po tanto, i B =. Obseve que la ausencia de monopolos magnéticos es un hecho poveniente de obsevaciones no puede pedecise a pati de teoía alguna. La le de Gauss paa campos magnéticos se oigina de la falta de polos magnéticos aislados en la natualeza. i ellos eistiesen, seviían como fuentes sumideos de las líneas del campo magnético, en la misma foma que lo hace la caga eléctica paa las líneas del campo eléctico Epeimento 6 Este epeimento consiste en medi la densidad del flujo magnético en todos los puntos de una taectoia ceada C en evalua la integal d Bi l C sumando así la componente tangencial de la densidad del campo. Lo pimeo que se descube es que si la taectoia ceada está en un medio homogéneo, el valo de la integal es popocional a la cantidad de coiente eléctica enlazada po la taectoia de integación. i no ha un flujo de coiente a tavés de la supeficie delimitada po la taectoia de integación, el valo de la integal es ceo. in embago, si la coiente flue a tavés de la taectoia, el valo de la integal está dado po

336 38 µ i C B dl = I (6.49) donde I es la coiente enlazada po C µ es un paámeto caacteístico del mateial. Paa una taectoia de integación en un mateial no homogéneo, se debe asocia el valo apopiado de µ con cada pate de la taectoia, po ello, la Ec. (6.49) se conviete en d = I µ Bi l (6.5) C A µ se le denomina la pemeabilidad del mateial. Intoduciendo un ahoa el campo H paa epesenta al vecto definido po la elación B = µh al cual epesenta la intensidad del campo magnético, la Ec. (6.5) se puede escibi en la foma Hi dl = I (6.5) C Esta ecuación es válida paa todas las posibles taectoias ceadas esume los esultados de este epeimento. En analogía con la ecuación paa la fueza electomotiz, la Ec. (6.5) puede se la coiente en un solo conducto, como en la Fig. 6.8a, o la coiente en vaios conductoes como en la Fig. 6.8b, o un flujo en toda la egión, como en la Fig..8c. En cualquie caso puede definise como la integal de la densidad de coiente en una supeficie delimitada po la taectoia de integación C: I = J i n ˆ d (6.5) I se tiene entonces que I I (a) (b) (c) Figua 6.8. Coientes enlazadas po un cicuito ceado. C Hi dl = Jin ˆ d (6.53) que es la le de Ampee en su foma integal. Ésta establece que la integal de línea de la intensidad del campo magnético en tono a un lazo ceado C es igual al flujo de la densidad

337 39 de coiente que ataviesa el lazo. Como un esultado de la aplicación del teoema de tokes a la integal en el lado izquiedo de la Ec. (6.53), se obtiene la elación (ot H J) i n ˆ d = (6.54) Como la supeficie es abitaia, entonces la única foma paa que la integal se anule en todo punto de es que el valo del integando sea idénticamente igual a ceo, vale deci, ot H = J (6.55) en todo punto de (ésta es la foma difeencial de la le de Ampee). Esta ecuación dice que el otacional de la intensidad del campo magnético en cualquie punto es igual a la densidad de coiente en ese punto. 6.7 La egunda Le de Mawell Hasta ahoa se han establecido las siguientes elaciones paa las difeentes entidades físicas que confoman el campo electomagnético: i ahoa se toma la divegencia de la Ec. (6.57), se obtiene B ot E = (6.56) t ot H = J (6.57) ρ div J = (6.58) t divb = (6.59) divd = ρv (6.6) div(ot H) = div J (6.6) Peo la divegencia del otacional de un vecto es ceo, po tanto, div J = (6.6) lo cual está en contadicción con lo epesado en la ecuación de continuidad, Ec. (6.58). in embago, los epeimentos que audaon a establece la Ec. (6.57) fueon ealizados bajo condiciones de invaiabilidad en el tiempo de los campos magnéticos, de manea que ahoa se tienen que busca los factoes de coección de la Ec. (6.57) paa que el sistema de ecuaciones (6.56) (6.6) sea también consistente paa el caso de vaiación en el tiempo. Lo que Mawell obsevó fue que la ecuación de continuidad podía convetise en una divegencia que se anula usando la Ec. (6.6), es deci, ρ D div J + = div + = t J t (6.63)

338 33 entonces eemplazó a J en la Ec. (6.57) po su genealización D J + t paa campos dependientes del tiempo, de manea que la foma modificada de la le de Ampee, Ec. (6.57), es D ot H = J + (6.64) t Al témino adicional en la Ec. (6.64), Mawell lo llamó la densidad de coiente de desplazamiento. La inclusión de este témino es de una impotancia cucial paa campos que vaían con el tiempo. Luego de intoduci la coección a la le de Ampee, Mawell hizo una poposición de alcance etaodinaio: po epeimentación se sabía que la coiente de conducción poduce un campo magnético; sin embago, matemáticamente la coiente total se epesa mejo como la suma de una coiente de conducción una coiente de desplazamiento. La pegunta hecha po Mawell fue: No es posible entonces, que la coiente de desplazamiento también poduzca un campo magnético? En la época de Mawell las técnicas epeimentales no pemitieon que esto se veificaa o desmintiea, peo esta hipótesis condujo a una conclusión de impotancia fundamental, puesto que Mawell demostó que de se cieta, entonces seía posible la tansmisión de enegía en la foma de ondas electomagnéticas que la luz también ea un fenómeno electomagnético. El conjunto de ecuaciones independientes las dos ecuaciones auiliaes B ot E = ( le de Faada) (6.65) t D ot H = J + ( le de Mawell-Ampee) (6.66) t ρ div J = (ecuación de continuidad) (6.67) t ( ) divb = le de Gauss-magnética (6.68) ( ) div D = ρ le de Gauss (6.69) foman la base de la teoía de Mawell sobe el electomagnetismo clásico. Las Ecs. (6.68) (6.69) se llaman auiliaes poque ellas pueden obtenese a pati de las otas tes. Cuando las Ecs. (6.65) a (6.69) se combinan con la ecuación de fuezas de Loentz (la cual se estudiaá más adelante) la segunda le de movimiento de Newton, el conjunto esultante da una descipción completa de la inteacción ente patículas cagadas campos electomagnéticos. Un ejemplo de la coiente de desplazamiento es la coiente que flue en el espacio ente un pa de placas paalelas en un capacito cuando las placas están conectadas a un cicuito eteno. Eiste una coiente de desplazamiento aun cuando ninguna caga se mueva a tavés

339 33 del espacio ente las placas. Paa ilusta este punto, considee el cicuito de la Fig. 6.9a, el cual consiste de una fuente de coiente altena conectada a un capacito de placas paalelas. Tomemos ahoa un contono C que enlaza pate del cicuito que a su vez delimita una supeficie. i en el cicuito flue una coiente I, la le de Ampee epesa que C H dl = J d = I Claamente, este esultado debe se independiente de la foma paticula en la cual constuimos la supeficie. Consideemos entonces a como se muesta en la Fig. 6.9b. Ahoa la coiente de conducción no flue a tavés de nos vemos obligados a conclui que D H dl = C lo cual obviamente no es cieto. e puede hace que las dos situaciones poduzcan el mismo esultado si se inclue el témino coespondiente a la coiente de desplazamiento, a que entonces H dl = Ji nˆ d + Di nˆ d = I t C I C I C (a) (b) Figua 6.9. upeficies paa demosta la coiente de desplazamiento. Paa un alambe conducto pefecto un vacío ente las placas del capacito, la integal de Ji nˆ d sólo contibue en el caso en que la supeficie cote el cicuito del alambe, la integal de Di nˆ d sólo contibue en el caso en que la supeficie pase ente las placas del capacito; en cualquiea de los dos casos el valo de la integal es I. Paa conclui esta sección se haá una genealización de la le de Faada paa cicuitos en movimiento. En la deducción de la le de Faada, Ec. (6.43), se supuso que el cicuito C que delimitaba una supeficie abieta estaba fijo. Ahoa bien, qué sucede cuando el cicuito está en movimiento? Antes del desaollo de la elatividad especial se daba po entendido que las lees físicas debían se invaiables bajo las tansfomaciones de Galileo; es deci, los fenómenos físicos son los mismos cuando son consideados po dos obsevadoes moviéndose con una velocidad elativa constante v ente ellos, bajo la condición de que las coodenadas en el espacio el tiempo estén elacionadas po las tansfomaciones de Galileo ' = + vt, t = t, donde ' son los vectoes de posición en los sistemas de coodenadas

340 33 espectivos. En paticula, considéese las obsevaciones de Faada. Epeimentalmente se veifica que la misma cantidad de coiente se induce en un cicuito secundaio si éste está en movimiento cuando el cicuito pimaio en el cual flue la coiente constante que poduce el campo está en eposo o si se mantiene fijo mientas el cicuito pimaio se mueve en la misma foma elativa. Considéese entonces la le de Faada paa un cicuito en movimiento veamos las consecuencias de la invaiancia de Galileo. Pimeo se debe hace la obsevación que, a causa del movimiento, las deivadas paciales que apaecen en las Ecs. (6.39) (6.43) deben se eemplazadas po deivadas totales ( po qué?). Con esta obsevación, la Ec. (6.4) se conviete en C d E i dl = Bi n ˆ d (6.7) dt donde se ha eemplazado E po E paa indica que el campo eléctico E es el campo en el sistema de coodenadas en el cual d está en eposo, puesto que ese campo es el que hace que flua una coiente si ealmente hubiese un cicuito pesente. i el cicuito C está moviéndose con una velocidad v en alguna diección, como se ilusta en la Fig. 6., la deivada con especto al tiempo en la Ec. (6.7) debe toma en cuenta este movimiento. El flujo que ataviesa el cicuito puede cambia poque (a) el flujo en un punto cambia con el tiempo o (b) el movimiento del cicuito cambia la situación del contono. Es deci, el cambio, en geneal, inclue una defomación un desplazamiento. La deivada total de una función de flujo del tipo F i n ˆ viene epesada po la fómula de Helmholtz d dt d F ˆ Fi n d = ( ) ˆ v F + v if i n d (6.7) t donde se ha utilizado la notación nabla,, paa indica las opeaciones de toma el otacional la divegencia, el símbolo paa indica el poducto vectoial. En la fómula se supone que F es una función vectoial continua con deivadas continuas con especto a las vaiables tempoales espaciales. C v Figua 6.. Le de Faada paa un cicuito en movimiento

341 333 Paa el caso bajo estudio se tiene entonces que d dt ˆ B Bi n d = ( ) + ( ) ˆ d B v ib t i n (6.7) donde v se toma como un vecto fijo en la difeenciación. Ahoa bien, utilizando el teoema de tokes el hecho de que i B =, la Ec. (-68) puede escibise en la foma la Ec. (6.7) se conviete en d dt B Bi nˆ d = i nˆ d + ( B v) i dl (6.73) t C B [ E ( v B)] d = ˆ d i l i n (6.74) t C Obsévese que cuando v =, la Ec. (6.74) se educe a cualquiea de las otas fomas a epesadas de la le de Faada cuando no ha movimiento. Una intepetación de la Ec. (6.74) es la siguiente: considee el contono C con su supeficie geneada en el instante en que ocupa una cieta posición en el espacio de un laboatoio. Aplicando la le de Faada, Ec. (6.4), a ese cicuito fijo, se encuenta que C = B Ei dl i n ˆ d (6.75) t donde ahoa E es el campo eléctico en el espacio del laboatoio. La suposición de la invaiancia de Galileo implica que los lados izquiedos de las Ecs. (6.74) (6.75) deben se iguales. Esto significa que el campo eléctico E en el sistema de coodenadas en movimiento del cicuito es E = E + v B (6.76) e debe señala que como se consideó una tansfomación de Galileo, la Ec. (6.76) es una apoimación válida sólo paa velocidades pequeñas cuando se compaan con la velocidad de la luz. Como un esultado adicional, obseve que una patícula cagada q en eposo en un cicuito en movimiento, epeimentaá una fueza igual a q E, es deci, F = q( E + v B ) (6.77) la cual es la epesión de la le de fuezas de Loentz es la elación que establece el puente de contacto ente las lees de la mecánica clásica el electomagnetismo. En su foma integal esta le está dada po v f dv = ρ ( E + v B ) dv (6.78) v

342 334 donde f es la fueza po unidad de volumen, en newtons po meto al cubo (N/m 3 ), v es la velocidad con la cual se mueve la caga. 6.8 Popiedades Macoscópicas de la Mateia En las lees de Mawell está implícito que debe habe elaciones adicionales ente los vectoes D E, B H J E de modo que el sistema de ecuaciones sea consistente. Esto se debe a que la le de Faada, la le de Mawell-Ampèe la ecuación de continuidad foman un sistema de siete ecuaciones difeenciales escalaes con dieciséis incógnitas. Las elaciones adicionales que nos popocionan las nueve ecuaciones independientes estantes pueden escibise en foma funcional geneal como D = D( E) B = B( H) J = J( E) (6.79) éstas especifican las popiedades electomagnéticas del medio. Las ecuaciones (6.79) se denominan las elaciones constitutivas del medio. Así que las ecuaciones de Mawell, la le de fuezas de Loentz las elaciones subsidiaias que siven paa la caacteización electomagnética del medio son las lees básicas completas de la teoía electomagnética. La natualeza de las elaciones funcionales dadas po (6.79) es deteminada po las popiedades físicas del medio en las cecanías inmediatas del punto en el cual se especifican basándose siempe en una pemisa fundamental: el modelo matemático a toma debe descibi en foma adecuada sólo las popiedades macoscópicas de la mateia, es deci, popiedades que vaían en el espacio en foma apeciable en distancias gandes en compaación con las dimensiones atómicas (pate de este mateial a fue cubieto en el Capítulo 3). Cietas elaciones sencillas ocuen comúnmente.. Las elaciones más sencillas que pueden encontase son elaciones paa medios isótopos (popiedades iguales en todas diecciones) lineales, D = εe (6.8) B = µ H (6.8) J = σe (6.8) donde ε µ σ son constantes de popocionalidad. Estas constantes se conocen colectivamente como los paámetos del medio, con cada paámeto poseendo su nombe especial. Po ejemplo, ε se denomina la pemitividad de un medio, µ su pemeabilidad σ su conductividad. Los valoes las dimensiones de estos paámetos dependeán del sistema de unidades adoptado se especificaán más adelante. Obseve en este caso que los vectoes D, B J tienen las mismas diecciones que los vectoes del campo E, H E, espectivamente. Paa el espacio libe, las elaciones dadas po las Ecs.(6.8) (6.8) son D = ε E (6.83)

343 335 B = µ H (6.84) donde ε µ son, espectivamente, la pemitividad la pemeabilidad paa el espacio libe. La conductividad en el espacio libe es ceo. En luga de especifica ε µ paa una sustancia, a menudo es ventajoso especifica valoes de pemitividad elativa pemeabilidad elativa utilizando como base de compaación los valoes de ε µ. Entonces, po definición, Pemitividad elativa o constante dieléctica, ε ε = ε µ Pemeabilidad elativa, µ = µ Obsévese que ε µ son cantidades adimensionales.. Los medios isótopos ehiben las mismas popiedades en todas las diecciones, peo los medios anisótopos ehiben una conducta bastante complicada sus popiedades vaían en foma difeente con especto a un punto a lo lago de difeentes diecciones. En este caso, los vectoes D E, H B son paalelos sólo a lo lago de cietos ejes pefeidos. i se puede supone que las elaciones son todavía lineales, cada componente ectangula de D se puede epesa como una función lineal de los tes componentes de E: o en foma maticial D = ε E + ε E + ε E 3 z D = ε E + ε E + ε E 3 z D = ε E + ε E + ε E z z D ε ε ε D = ε ε ε D ε ε ε z E E E z (6.85) (6.86) Los coeficientes εij de esta tansfomación lineal son las componentes de un tenso simético {la matiz [ε] es simética}. i se pueden escoge las coodenadas de efeencia en una foma tal que los téminos fuea de la diagonal de la matiz de pemitividad en la Ec. (6.86) sean iguales a ceo, se dice entonces que los mateiales con esta popiedad son biaiales. Una elación análoga puede escibise ente los vectoes B H; éste es el caso de substancias tales como las feitas. La anisotopía en las feitas constitue la base de opeación de dispositivos impotantes utilizados etensamente en muchas aplicaciones como, po ejemplo, el ada. 6.9 Polaización Eléctica Magnética La caacteización de un medio mediante la especificación de los paámetos ε µ no es la única foma posible de popociona la infomación deseada. Una caacteización altena la constitue la intoducción de dos vectoes adicionales sepaando a D B en dos pates,

344 336 D = ε E + P B = µ ( ) H + M (6.87) definiendo a P como el vecto de polaización eléctica a M como el vecto de polaización magnética. Los vectoes de polaización están así asociados en foma definida con medios mateiales son idénticamente iguales a ceo paa el espacio libe. Mediante estas elaciones se pueden elimina D H de las ecuaciones del campo paa obtene el sistema B E + = t E P B ε µ = µ J + + M t t i B = ie = ( ρ ip) ε (6.88) este sistema se intepeta así: la pesencia de mateiales ígidos en un campo electomagnético puede incluise completamente mediante una distibución de caga equivalente de densidad ρ p = ip una distibución de coiente equivalente de densidad igual a P t + M. En medios isótopos, los vectoes de polaización son paalelos a los vectoes del campo coespondientes, ecluendo los mateiales feomagnéticos, se ha encontado epeimentalmente que son popocionales a ellos. Definiendo las susceptibilidades eléctica magnética χe χm mediante las elaciones se puede escibi entonces P = χ ε E M = χ H (6.89) e, ( e ) ( ) D = ε E + χ B = µ H + χ m m (6.9) Los paámetos χe χm definidos po la Ec. (6.89) son azones adimensionales cuos valoes son independientes del sistema de unidades empleado. D H son vectoes deivados asociados con el estado de la mateia. El vecto de polaización P tiene las dimensiones de D, no de E, mientas que M H son dimensionalmente iguales. De las Ecs. (6.8), (6.8), (6.87) (6.89) se obtiene entonces, que las susceptibilidades están elacionadas con ε µ en la foma ε = + χ e µ = + χ m (6.9) En medios anisótopos, las susceptibilidades están epesentadas po las componentes de un tenso. Una difeencia inheente a la natualeza de los vectoes P M viene indicada po la posibilidad de que la susceptibilidad magnética puede se positiva o negativa, mientas que la susceptibilidad eléctica es siempe positiva. Las sustancias caacteizadas po una susceptibilidad χm positiva se denominan paamagnéticas, mientas que aquellas con suscepibilidad χm negativa se denominan diamagnéticas. Los metales del gupo feomagnético, incluendo el hieo, níquel, cobalto aleaciones, constituen un gupo

345 337 paticula de substancias con una susceptibilidad magnética enomemente positiva cuo valo puede esta en el oden de los millaes. En vitud de la elación no lineal ente M H caacteística de estos mateiales, la susceptibilidad χm debe intepetase como la pendiente de una tangente a la cuva M vesus H en un punto coespondiente a un valo paticula de H. Paa inclui estos casos, la definición de χm se genealiza a M χ m = (6.9) H Las susceptibilidades de los mateiales que no son feomagnéticos, bien sean paamagnéticos o diamagnéticos, son tan pequeñas que paa la maoía de los popósitos pácticos son despeciables. 6. Medios Conductoes A las ecuaciones de Mawell se les debe añadi ahoa una tecea elación ente la densidad de coiente el campo, suponiendo que en todo punto dento de un sólido la densidad de coiente es una función del campo E, ( ) J = J E (6.93) Paa una gan vaiedad de condiciones, en sólidos soluciones con débil ionización, la elación (-38) es lineal, esto es, J = σe (6.94) donde el facto σ se denomina la conductividad del medio. La distinción ente conductoes buenos malos es elativa abitaia. Todas las sustancias ehiben algún gado de conductividad, peo la gama de los valoes obsevados de σ es bastante gande. Po ejemplo, la conductividad del cobe es alededo de 7 veces la del agua de ma, una buena conductoa, 9 la del vidio odinaio, un mal conducto. La Ec. (6.94) es simplemente la le de Ohm. Imagínese ahoa una distibución estacionaia de coiente en todo el volumen de cualquie medio conducto. En vitud del caácte no divegente del flujo, esta distibución puede epesentase mediante líneas de flujo ceadas. i a b son dos puntos en una línea de flujo en paticula, dl es un elemento de su longitud, tenemos que b a. d = J E l d l σ Un manojo de líneas de flujo adacentes constitue un filamento o tubo de coiente. Como el flujo es solenoidal, la coiente I a tavés de toda sección tansvesal del filamento es la misma. ea el áea seccional tansvesal del filamento en un plano nomal a la diección del flujo. No es necesaio que sea infinitesimal, peo se pesume que sí es lo suficientemente pequeña como paa que la densidad de coiente sea unifome en toda su áea. Entonces Ji dl = Idl b a

346 338 El facto b b d = I dl E l σ (6.95) a b a R = dl σ (6.96) a es igual a la esistencia del filamento ente los puntos a b. La esistencia de una sección lineal de un conducto homogéneo de sección tansvesal unifome longitud l es R l = σ Una elación estictamente válida sólo en el caso de coientes estacionaias. (6.97) Un teoema de impotancia fundamental es el que establece que en el inteio de una egión donde la conductividad no se anula, no puede habe una distibución pemanente de caga libe. Esto puede demostase fácilmente cuando el medio es homogéneo las elaciones ente D E J E son lineales. Po la ecuación de continuidad se tiene que paa un medio homogéneo, ρ ρ ij + = i σ E + = (6.98) t t E = ρ v ε la cual combinada con la Ec. (6.98) conduce a la elación ρ v t i (6.99) σ + ρ v = ε Po consiguiente, la densidad de caga en cualquie instante es ( / ) t v e σ ε (6.) ρ = ρ (6.) donde la constante de integación ρv es igual a la densidad de caga cuando t =. La distibución inicial de caga en el conducto decae eponencialmente con el tiempo en todos los puntos en una foma totalmente independiente del campo aplicado. i la densidad de caga inicial es ceo, pemanece igual a ceo. El tiempo ε τ = σ (6.) equeido po la caga en cualquie punto paa decae a /e de su valo inicial se denomina el tiempo de elajación.

347 339 upóngase que paa t = se concenta una caga dento de una pequeña egión esféica en un cuepo conducto. En cualquie oto punto del conducto la densidad de caga es ceo. La caga dento de la esfea comienza ahoa a desvanecese, peo de acuedo con la Ec. (-46) no puede eapaece en ninguna pate en el inteio del conducto suge entonces la pegunta: qué pasó con esa caga? Como la caga se conseva, el desvanecimiento de la caga dento de la supeficie esféica debe i acompañado po un flujo hacia afuea. La caga no puede acumulase en ningún oto punto inteio, a que el flujo es no divegente. in embago, seá detenido en la supeficie eteio del conducto es aquí donde encontaemos la caga que se pedió del inteio de la esfea oiginal. Esta caga supeficial hace su apaición pácticamente en el mismo instante en que la caga inteio comienza a decae, puesto que la caga total es constante. 6. Los Potenciales Electomagnéticos Vectoiales Escalaes El análisis de un campo electomagnético con fecuencia se facilita mediante el uso de funciones auiliaes conocidas como potenciales. Ya se sabe que en todo punto odinaio del espacio, los vectoes del campo satisfacen las ecuaciones de Mawell: B E = (6.3), B = (6.4), t D H = J + (6.5), D = ρ (6.6) t De acuedo con la Ec. (6.4), el campo del vecto B siempe es solenoidal. Po tanto, B puede epesentase como el otacional de oto vecto A: B = A (6.7) in embago, la Ec. (6.7) no define en foma única a A, a que B también es igual al otacional de un vecto A, donde Ψ es cualquie función escala de su posición abitaia. B = A (6.8) A = A Ψ (6.9) i ahoa se eemplaza a B en (6.3) po (6.7) o (6.8), se obtiene, espectivamente, A A E, E (6.) t t + = + = Así que los campos de los vectoes E + A / t E + A / t son iotacionales e iguales a los gadientes de dos funciones escalaes Φ Φ: A = Φ t E (6.) A E = Φ (6.) t

348 34 Obviamente, las funciones Φ Φ están elacionadas po la igualdad Ψ Φ = Φ + (6.3) t Las funciones A A son los potenciales vectoiales del campo, Φ Φ son los potenciales escalaes. A Ψ designan un pa específico de potenciales a pati de los cuales puede deivase el campo utilizando las Ecs. (6.7) (6.); debe obsevase que a pati de (6.9) (6.3) puede constuise un númeo infinito de potenciales que también conducen al mismo campo. upóngase ahoa que el medio es homogéneo e isótopo que µ ε son independientes de la intensidad del campo, esto es, En téminos de los potenciales, al sustitui éstas en (6.5) (6.6), se obtiene D = ε E, B = µ H (6.4) A D = ε Φ +, H = A (6.5) t µ Φ A A + µε + µε = µ J (6.6) t t A Φ + i = ρ t ε (6.7) Todas las soluciones paticulaes de las Ecs. (6.6) (6.7) conducen al mismo campo electomagnético al esta sujetas a condiciones de contono idénticas; la única difeencia ente ellas está dada po la función abitaia Ψ. Imponiendo ahoa sobe A Φ la condición suplementaia (condición de Loentz) Paa hace esto sólo es necesaio que Ψ satisfaga la elación Φ i A + µε = (6.8) t Ψ Φ Ψ µε = i A + µε (6.9) t t donde Φ A son soluciones paticulaes de las Ecs. (6.6) (6.7). Los potenciales Φ A están ahoa definidos en foma única son soluciones de las ecuaciones A A i A + µε = µ J (6.) t

349 34 Φ Φ µε = ρ t ε (6.) La Ec. (6.) se educe a una foma simila a la de la Ec. (6.) al usa la identidad vectoial A = ia i A (6.3) El último témino de la Ec. (6.3) puede intepetase como el laplaciano opeando sobe las componentes ectangulaes de A. En este caso, A A J (6.4) t µε = µ Las Ecs. (6.) (6.4) se conocen como las ecuaciones de ondas. 6. Condiciones de Fontea Ahoa se consideaán las condiciones que deben cumplise cuando el medio en el cual eiste el campo consiste de más de un mateial con caacteísticas difeentes. Este mateial se inclue paa demosta que las condiciones deducidas anteiomente son válidas paa campos vaiables en el tiempo. Paa establece algunas de las condiciones de bode (o de fontea) se necesitaá la foma vectoial del teoema de tokes la cual es V ( F ) dv = ( nˆ F ) d (6.5) donde ˆn denota la nomal unitaia (apuntando hacia afuea) a la supeficie ceada que enciea al volumen V. La foma integal de la segunda le de Mawell es V D ( H) dv = J + dv (6.6) t la cual, al aplica el teoema de tokes en la foma dada po la Ec, (6.6) se conviete en V D ( ˆ n H) d = J + dv (6.7) t De la misma foma, la epesión paa la pimea le de Mawell se conviete en V B ( nˆ E) d = dv (6.8) t Considéense ahoa dos medios difeentes en contacto, como se muesta en la Fig. 6.. Las elaciones integales (6.7) (6.8) se evalúan en el volumen indicado al pasa de un medio a oto. V

350 34 También se supone que los vectoes del campo B D son finitos en la supeficie de sepaación ente los medios que pueden se discontinuos. Las condiciones de contono que esultan de aplica la Ec. (6.8) cuando h h tienden a ceo son puesto que lím h nˆ E + nˆ E = (6.9) ( h h ) B + B = uponiendo que la supeficie de sepaación puede sopota una densidad de coiente lineal K definida po h ( h h ) K = lim J + J (6.3) entonces, en el límite, la Ec. (6.7) poduce la elación nˆ H + nˆ H = K (6.3) La Ec. (6.9) epesa el hecho que las componentes tangenciales de los vectoes intensidad del campo eléctico son continuos al pasa de un medio al oto, mientas que la Ec. (6.3) epesa que las componentes tangenciales de los vectoes intensidad del campo magnético son discontinuos esa discontinuidad está dada po la densidad de coiente lineal K. Obseve que los vectoes nomales cumplen X( f ) con la elación nˆ ˆ = n. Medio ˆn h h Medio ˆn Figua 6.. Condiciones de fontea. Paa deiva las otas condiciones de fontea necesaias, se usaán las ecuaciones ( ˆ ) d = Bi n (6.3) ( nˆ id) d = ρdv (6.33) Pimeo se supondá que la supeficie de sepaación ente los medios puede sopota una densidad de caga supeficial dada po la elación h V ( h h ) ρ = lím ρ + ρ (6.34)

351 343 Entonces, de la Ec. (6.3) se obtiene que, cuando h, h tienden a ceo, de la Ec. (6.33), nˆ ib + nˆ i B = (6.35) nˆ D ˆ + n D = ρ i i (6.36) La Ec. (6.35) establece que las componentes nomales de la densidad del campo magnético son continuas al pasa de un medio a oto, mientas que la Ec. (6.36) indica que la pesencia de una capa de caga en la egión de tansición esulta en un cambio abupto en la componente nomal del vecto D, la cantidad de la discontinuidad es igual a la densidad de caga supeficial pesente. 6.3 Flujo de Enegía en el Campo Electomagnético Una de las popiedades más espectaculaes de un campo electomagnético es su habilidad paa tansfei enegía a gandes distancias, aun en la ausencia de un medio. Ninguna ota foma de enegía pueden tanspotase ni siquiea po una cota distancia en la ausencia de un medio mateial. Los aspectos de potencia enegía de los campos electomagnéticos están contenidos implícitamente en las ecuaciones del campo. Paa obtene elaciones eplícitas que mueste la conducta de potencia enegía, debemos manipula las ecuaciones del campo en foma apopiada luego eamina el significado de los esultados. El Teoema de Ponting. La deivación de este teoema usa la identidad vectoial ( ) e tienen las elaciones dadas po las ecuaciones de Mawell Al sustitui éstas en la Ec. (6.37), se obtiene i E H = Hi E Ei H (6.37) B E = t D H = + J t B D i( E H) = Hi Ei Ei J (6.38) t t El lado deecho de esta ecuación puede intepetase en la foma siguiente. En electostática se demuesta que un pequeño cambio en el campo poduce un aumento en la enegía intena Ei δd po unidad de volumen. En foma simila, paa un campo magnetostático, el incemento seá Hi δb. i se supone que estos esultados se mantienen paa campos vaiables en el tiempo, las tasas de incementos de las enegías elécticas magnéticas po unidad de E D t Hi B t, espectivamente. El último témino Ei J es la tasa volumen seán i ( ) ( ) po unidad de volumen con la cual el campo está ealizando tabajo. En la ausencia de

352 344 fuentes, esto seá disipación de calo. Po tanto, la Ec. (6.38) puede intepetase como una ecuación de balance de enegía. Ahoa se usaá la Ec. (6.38) paa halla la ecuación de balance de enegía paa un volumen finito. Considéese una supeficie que odea un volumen v, e intege ambos lados de la Ec. (6.38) sobe el volumen. La integal en el lado izquiedo está en una foma a la cual se le puede aplica el teoema de Gauss: v ( ) dv ( ) i E H = E H i d i se denota po Ue Um las densidades de enegía de los campos elécticos magnéticos, espectivamente, se tiene entonces que o e m ( ) d = + + E H i t t E i J V U U ( E H) d + dv = ( U e + Um ) dv i Ei J (6.39) t v v El lado deecho de la Ec. (6.39) da la tasa de pédidas de la enegía eléctica en el inteio del volumen. Po tanto, el lado izquiedo también debe epesenta estas pédidas: el segundo témino es la tasa de convesión en otas fomas de enegía dento del volumen, de modo que el pime témino debe epesenta un flujo de potencia desde el volumen hacia el eteio. Este flujo de potencia es dado po dv ( ) d E H i (6.4) P = Ésta puede intepetase también como una densidad de flujo de potencia local dada po = E H (6.4) que se conoce como el vecto de Ponting. e debe tene en cuenta que la intepetación de como el vecto del flujo de potencia local no se deduce de la Ec. (6.4) con igo matemático. En pincipio se puede añadi a E H cualquie función vectoial de la posición paa la cual la integal en una supeficie ceada se anula todavía se obtiene la Ec. (6.4). e pueden hace objeciones similaes a la intepetación de Hi δb Ei δd como cambios en la densidad de enegía. in embago, el caso en el cual estamos inteesados pincipalmente es cuando las vaiaciones con el tiempo son sinusoidales. En este caso se puede demosta que el pomedio en el tiempo del lado deecho de la Ec. (6.39) es ceo, po tanto, que el pomedio en el tiempo de ( E H) i d es efectivamente el pomedio del flujo de enegía. Como se estudiaá posteiomente, paa un medio homogéneo, lineal e isótopo Ue = ε E. Cuando E = E cosω t, se demuesta fácilmente que U e t es popocional a sen ω t, po tanto, que el pomedio tempoal se hace ceo. Conclusiones similaes aplican a Um. Po consiguiente, se

353 345 puede conclui que, siempe que se tenga una supeficie ceada vaiación sinusoidal en el tiempo, el uso de la Ec. (6.4) daá le pomedio coecto del flujo de potencia. Ejemplo. Campo Alededo de un Conducto de CD La teoía pesentada en la última sección aplica a cualquie campo electomagnético. upóngase el caso de un conducto lago ecto de sección tansvesal cicula po el cual cicula una coiente constante I. La Fig. 6. muesta una longitud l de adio a, odeada po una supeficie cilíndica. Fuea del alamba, el campo magnético es acimutal, en un adio, tiene una intensidad I H = π d H = I/π I E a l Figua 6.. Los campos eléctico magnético ceca de un conducto con coiente cd. En el conducto se tiene una caída de potencial igual a la coiente multiplicada po la esistencia, la cual está diigida conta la coiente. De manea que el campo eléctico está a lo lago del conducto, en la misma diección de la coiente tiene una intensidad E = IR donde R es la esistencia po unidad de longitud. Fomando el poducto E H, se ve que el vecto de Ponting está diigido adialmente entando hacia la supeficie del conducto tiene una magnitud I R = EH = (6.4) π Calculando la integal en la Ec. (6.4), el flujo saliente de potencia es I R π l = π I Rl este flujo es pecisamente el negativo de la potencia disipada po la caída esistiva, lo cual veifica la intepetación dada.

354 Ondas Electomagnéticas Una de las pincipales consecuencias de las ecuaciones de Mawell es la pedicción de ondas electomagnéticas. En una egión libe de fuentes (ρ =, J = ), el sistema de ecuaciones se educe a B i E = E = (6.43) t E i B = B = µ ε (6.44) t De acuedo con estas ecuaciones, pueden eisti campos en la ausencia de fuentes; en este caso, el campo eléctico vaiable en el tiempo es la causa del campo magnético la vaiabilidad de éste en el tiempo es la causa del campo eléctico. Las Ecs. (6.43) (6.44) se pueden manipula paa obtene las ecuaciones paa cada campo po sepaado: E E µ ε = t B B µ ε = t (6.45) Éstas son ecuaciones de ondas sus soluciones pueden se de muchos tipos (planas, cilíndicas, esféicas, etc.) se denominan ondas electomagnéticas. Estas ondas se popagan con una velocidad la cual coincide con la velocidad de la luz. 8 v = 3 m/s µ ε (6.46)

355 347 PROBLEMA 6. upóngase que las placas paalelas mostadas en la Fig. P6. están suspendidas en el espacio libe. En la egión ente las placas eiste un campo eléctico estático poducido po las placas cagadas. También ha pesente un campo magnético independiente del tiempo poducido po el campo magnético teeste. Constitue esta combinación de campos un campo electomagnético? z a b d Figua P6. Φ = ρ 3 ε, > 3 6. Veifique diectamente que el potencial dado po ( ) ( ) 3, v a a Φ = ρv a ε < a de la densidad de caga unifome ρv confinada a la esfea < a satisface la ecuación de Poisson Φ = ρv ε. 6.3 Utilizando potenciales, paa el capacito de placas paalelas de la Fig. P6. detemine (a) la distibución del potencial ente las placas, (b) la intensidad del campo eléctico E ente las placas. uponga una distibución de caga supeficial ρs en la placa supeio ρs en la infeio también que la placa supeio está a un potencial V con elación a la infeio. 6.4 e conoce que la intensidad del campo eléctico en la supeficie de sepaación ente dos dielécticos es E = V/m foma un ángulo θ = 3 con la nomal (Fig. P6.4). i ε = ε, calcule E. E θ E θ ε ε Figua P6.4

356 ea una supeficie que sepaa un medio de un medio ˆn la nomal unitaia apuntando desde el medio hacia el medio (Fig. P6.5). Demueste que la consevación de la caga equiee que ρ J J n + K = t ( ) ˆ s donde J J son densidades de coiente de volumen, K es la densidad de coiente supeficial ρs es la densidad de caga supeficial. Medio ˆn Medio Figua P e usa un electón de pueba en una egión del espacio libe paa medi los campos pesentes. e ealizan tes puebas: (a) El electón es colocado en eposo en la egión del campo ecibe una aceleación a a. ˆ z (b) El electón es inectado con una velocidad constante v = v ˆ a ecibe una aceleación a ˆ ˆ a + a3a z. (c) El electón es inectado con una velocidad constante v ˆ = va se obseva que no ecibe aceleación en la diección z. Cuáles son los vectoes del campo E E? 6.7 Esciba la elación de la consevación de caga cuando la coiente I(z, t) flue a lo lago del eje z λ(z, t) es la caga po unidad de longitud del eje. i en coodenadas polaes, las únicas componentes difeentes de ceo de E B son E H θ, demueste a pati de la foma integal de las ecuaciones de Mawell que que λ e I satisfacen la ecuación de ondas B θ µ I λ =, E = π πε Φ Φ = z c t 6.8 Deduzca la ecuación de ondas paa el vecto potencial A el potencial escala Φ, la condición de Loentz paa un medio conducto. 6.9 Demueste que paa un campo magnético estático B con potencial vectoial A,

357 349 Bi d = Ai dl C donde es la supeficie con fontea C. Halle un potencial vectoial solenoidal div A = paa el campo unifome B =,,B confinado al cilindo < a, donde es la ( ) distancia hasta el eje z. 6. Demueste que la ecuación de continuidad puede deivase a pati de la condición de Loentz. Deduzca la ecuación de continuidad paa un medio conducto patiendo de la condición de Loentz paa un medio conducto Φ i A + µσφ + µε = t 6. Una función potencial utilizada con fecuencia en teoía electomagnética es la especificada po el vecto potencial de Hetz, Π definido de tal foma que los campos eléctico magnético se deivan de él. En un medio homogéneo, en la foma siguiente: donde H = ε ( Π ) t Π = ( ) µε E Π t Π µε = P, el vecto de polaización asociado con las fuentes, se define de modo que P J = ρ= P Demueste que los vectoes E H deivados de esta foma son t consistentes con las ecuaciones de Mawell. 6. Una línea coaial alimenta una caga con coiente diecta I un voltaje V. En cualquie punto de la línea, el campo eléctico es adial dado po V ln E = b a ( ) en donde a b son los adios inteno eteno, espectivamente. El campo magnético es cicunfeencial dado po H I = π Demueste que el teoema de Ponting pedice coectamente el flujo de potencia. t ρ ε

358 35 BIBLIOGRAFÍA. Afken, Geoge B., Webe, Hans J.: Mathematical Methods fo Phsicists. (6ta. Ed.) Elsevie Academic Pess, 5.. Bohn, Eik.: Intoduction to Electomagnetic Fields and Waves. Addison-Wesle, Reading, Eges, Leonad: The Classical Electomagnetic Field, Dove Publications, Inc., Haington, Roge F.: Electomagnetic Engineeing. Dove Publications, Inc., Hat, William H., Buck, John: Teoía Electomagnética. (7ma. Ed.), McGaw-Hill Book Compan, Johnson, Cutis C.: Field and Wave Electodnamics. McGaw-Hill Book Compan, Landau, L. D., Lifshitz: E. M.: Electodnamics of Continuous Media. Pegamon Pess, Ofod, Mashall,., DuBoff, R., kitek, G.: Electomagnetismo. (4ta. Ed.), Pentice-Hall Hispanoameicana, Mason, M. Weave, W.: The Electomagnetic Field. Dove Publications, Inc., 99.. Mawell, J. C.: A Teatise on Electicit and Magnetism. Dove Publications, Inc., 954 (de la edición de 89).. Pais, D., Hud, F.: Basic Electomagnetic Theo. McGaw Hill Book Compan, Plonse, R., Collin, R.: Pinciples and Applications of Electomagnetic Fields. McGaw Hill Book Compan, Ramo,., Whinne, J., Van Duze, T.: Fields and Waves in Communication Electonics. (3a. Ed.) John Wile & ons, Inc., Rojansk, V.: Electomagnetic Fields and Waves. Dove, adiku, M.: Elementos de Electomagnetismo. (4ta. Ed.), Ofod Univesit Pess, ande, K. F. Reed, G.: Tansmission and popagation of electomagnetic waves. (da. Ed.), Cambidge Univesit Pess (986). 7. che, H. M.: Div, gad, cul and all that. (3a. Ed.) W. W. Noton & Compan, chwaz, W. M.: Intemediate Electomagnetic Theo. John Wile & ons, hadowitz, Albet: The Electomagnetic Field. Dove Publications, Inc., tatton, J..: Electomagnetic Theo. McGaw Hill Book Compan, 94.. Tai, Chen-To: Dadic Geen s Functions in Electomagnetic Theo. Intet Educational Publishes, 97.. Ulab, F. T. Fundamentals of Applied Electomagnetics. (5ta. Ed.).Pentice Hall, 6.

359 Apéndice istema de Unidades A tavés de todo este capítulo se ha usado en foma implícita el sistema de unidades mksa (meto-kilogamo-segundo-ampeio), el cual es un subsistema del istema Intenacional de Unidades (I). Oiginalmente, el sistema de unidades más común usado paa las cantidades elécticas en la discusión de las lees físicas ea un sistema de unidades centímeto-gamosegundo, conocido como el sistema electostático de unidades (esu) el cual todavía tiene bastante uso en la liteatua de la física. Como es un sistema cgs, la unidad de fueza es la dina, la unidad de distancia es el centímeto el segundo es la unidad de tiempo. En la teoía electomagnética ha una cieta abitaiedad en lo efeente a dimensiones, abitaiedad que se intoduce con los factoes ε µ, los cuales conectan a los vectoes del campo D E, H B espectivamente, en el espacio libe. Como una consecuencia diecta de las ecuaciones del campo, la cantidad c = ε µ (.) tiene las dimensiones de velocidad (paa todos los efectos pácticos c = 3 8 m/s), toda selección abitaia de ε µ está sujeta a esta esticción. Oiginalmente, en el sistema cgs se seleccionó como cuata unidad a µ, abitaiamente se le dio el valo de uno se consideó adimensional. De esta manea, las dimensiones de ε ean deteminadas en foma única po la Ec. (.); entonces es posible demosta que las unidades dimensiones de cualquiea ota cantidad que enta en la teoía puede epesase en téminos de esas cuato unidades básicas. Desgaciadamente, este sistema falló en la páctica puesto que las unidades de algunas cantidades esultaban demasiado pequeñas (esistencia fueza electomotiz, po ejemplo). Paa emedia este defecto se intodujo un sistema páctico en el cual cada unidad tenía las dimensiones de la unidad electomagnética coespondiente difeía de ella po una potencia de diez, ésta, en algunos casos, ea completamente abitaia. in embago, como las unidades del sistema páctico se definieon como múltiplos abitaios de unidades fundamentales, ellas no constituen un sistema básico completo. En 9, Giogi encontó una solución a esta dificultad llamó la atención sobe el hecho de que el sistema páctico podía convetise en uno básico mediante una selección apopiada de las unidades fundamentales. Esta selección fue toma el meto intenacional como la unidad de longitud, el kilogamo como la unidad de masa, el segundo paa la unidad de tiempo como cuata unidad, cualquiea que peteneciese al sistema páctico, como el culombio, el ampeio o el ohmio. A pati de las ecuaciones del campo es entonces posible deduci las unidades dimensiones de las cuato unidades fundamentales. Es tadicional que se consideen como unidades básicas las de masa, longitud tiempo. in embago, paa las cantidades elécticas no eistía una tadición que impusiea la

360 35 necesidad. Considee, po ejemplo, la unidad de coiente. El ampeio intenacional (po mucho tiempo aceptado como la unidad páctica de coiente) se define en téminos de la masa de plata depositada po unidad de tiempo mediante electólisis en un voltámeto de plata estánda. A esta unidad se le considea apopiadamente como básica, independientemente de las unidades de masa, longitud tiempo, puesto que la cantidad de coiente que sive como unidad se encuenta a pati de un epeimento que supuestamente se puede epoduci. La unidad de coiente que se acepta actualmente, el ampeio absoluto, se define como aquella coiente que al flui po cada uno de dos alambes paalelos de longitud infinita sección tansvesal de áea despeciable, sepaados una distancia de meto en el vacío, hace que ente los alambes actúe una fueza tansvesal po unidad de longitud igual a 7 newton/meto. Esto significa que el ampeio absoluto es una unidad deivada, puesto que su definición se hace en téminos de la fueza mecánica ente alambes. En la discusión de las unidades dimensiones en el electomagnetismo, se tomaá como punto inicial la selección tadicional de longitud (meto), masa (kilogamo) tiempo (segundo) como las dimensiones básicas a la caga (culombio) como la unidad de electicidad básica. La unidad de coiente en este sistema es el ampeio la unidad de esistencia es el ohmio. Estas cantidades son tales que una coiente de ampeio pasando po una esistencia de ohmio, poduce una cantidad de tabajo po segundo igual a julio. i R es la esistencia en ohmios de un conducto po el que pasa una coiente igual a I ampeios, el tabajo disipado en calo en t segundos es W = I Rt (.) El ampeio se definiá con base en la ecuación de continuidad, Ec. (-5), como la coiente que tanspota culombio en segundo a tavés de cualquie supeficie. Entonces, el ohmio es una unidad deivada cua magnitud dimensiones las deteminan la Ec. (.): puesto que vatio = julio/segundo. julio vatio ohm = = (ampee) segundo (ampee) kilogamo(meto) = (culombio) segundo El voltio se definiá sencillamente como vatio/ampee, o (.3) vatio kilogamo(meto) voltio = ampeio = culombio segundo (.4) Como la unidad de la densidad de coiente es ampee/(meto), de la elación F = qe se deduce que

361 353 newton unidad de E = = culombio voltio = meto kilogamo(meto) culombio segundo meto (.5) De la elación J = σe, se deduce que la unidad de la conductividad σ es ampeio unidad de conductividad = voltio meto = ohmio meto (.6) El nombe del ecípoco del ohm, habitualmente llamado mho, es oficialmente el siemens. Po lo tanto, la unidad de conductividad es siemens/meto. El flujo del vecto B se mide en webes, po lo tanto, la densidad del campo B se mide en webes/(meto) o teslas. Ahoa bien, de acuedo con la Ec. (6.439, La integal de línea C dφm webes E dl =, (.7) d t segundo d E l C o fueza electomotiz (fem) se mide en voltios, así que la fem inducida en un contono ceado es igual a la tasa tempoal de dececimiento del flujo enlazado po el contono, de manea que ente las unidades eiste la elación webe voltio = (.8) segundo webe = voltio-segundo julio = ampeio = kilogamo (meto) culombio segundo (.9) ólo faltan las dimensiones de D E. Como D = εe, H = B, es necesaio suficiente µ que ε µ satisfagan la Ec. (.) que se mantenga la elación apopiada ente las unidades absolutas las pácticas. La masa, longitud, tiempo caga las epesentaemos po las letas M, L, T Q, espectivamente, el símbolo [A] significaá las dimensiones de A. Entonces, de la Ec. (6.3),, po tanto, d q culombios Di = (.)

362 354 coulombio Q [D] = (meto) = L (.) D culombio Q T [ε ] = 3 κe = = voltio-meto ML (.) El faadio, una unidad deivada paa la capacitancia se define como la capacidad de un cuepo conducto cuo potencial es aumentado en voltio po una caga de culombio. En otas palabas, es igual a culombio/voltio. En el sistema mks, el paámeto ε sí tiene dimensiones se mide en faadios/meto. Po analogía con el caso eléctico, la integal de línea b d Hi l a evaluada en una taectoia específica, comúnmente se denomina la fueza magnetomotiz (fmm). En un campo magnético estacionaio, d = I ( A) Hi l (.3) C De acuedo con esta ecuación, la fueza magnetomotiz tiene las dimensiones de coiente eléctica. in embago, en la páctica, la coiente fecuentemente flue po las vueltas de una bobina la cual es enlazada po el contono C. i ha n vueltas, la coiente total enlazada po H es ni, se acostumba epesa la fueza magnetomotiz en ampeiosvuelta, aunque n es adimensional, po tanto Paa el paámeto µ, encontamos fmm = ampeios-vueltas (.4) ampeios-vueltas Q [H] = meto = LT (.5) B voltio-segundo ML [µ ] = = = κmh ampeio-meto Q (.6) Igual que en el caso de ε, es conveniente epesa a µ en téminos de una unidad deivada, en este caso, el hen, definido como voltio-segundo/ampeio, el paámeto µ se mide en hens/meto.