Sistemas de coordenadas

Transcripción

1 Electicidad Magnetismo - Gpo. Cso / Tema : Intodcción Concepto de campo Repaso de álgeba vectoial Sistemas de coodenadas Catesiano Cvilíneas genealiadas: cilíndico esféico. Opeadoes vectoiales. Gadiente Divegencia Rotacional Deivada tempoal Combinación de opeadoes: Laplaciana Epesiones con opeadoes Teoema de Helmholt: fentes de los campos. J.L. Fenánde Jambina EM a- Sistemas de coodenadas Hacen falta paa descibi los pntos del espacio. El más simple es el catesiano: Al deci qe n pnto tiene coodenadas,, se qiee deci qe está contenido en los planos: Los vectoes nitaios llevan la diección sentido en qe se desplaa el pnto al incementa la coodenada coespondiente. d lim d Los vectoes nitaios se odenan de foma qe el podcto vectoial del pimeo po el segndo da el teceo:» Sistema detógio o a deechas J.L. Fenánde Jambina EM a- $ $ $ Sistemas de Coodenadas

2 Electicidad Magnetismo - Gpo. Cso / Sistema catesiano () El vecto de posición del pnto es el vecto qe ne el oigen de coodenadas con el pnto: Un desplaamiento a lo lago de na cva se pede defini po n vecto: l Si el desplaamiento es de magnitd m peqeña (infinitesimal) se pede epesenta po: dl d d d» esto qe na cva está definida po dos ecaciones, los tes difeenciales se peden edci a no. La longitd del desplaamiento infinitesimal seá: dl dl dl dl d d d l l O J.L. Fenánde Jambina EM a- Sistemas catesiano, cilíndico esféico $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ Catesiano Cilíndico Esféico (,, ) (,, ) (,,) J.L. Fenánde Jambina EM a-4 Sistemas de Coodenadas

3 Electicidad Magnetismo - Gpo. Cso / Coodenadas cvilíneas genealiadas otogonales En geneal, calqie tíada de familias de speficies pede sevi paa defini n sistema de coodenadas: U (,, ) U(,, ) U(,, ) Estas ecaciones pemiten el paso de catesianas al nevo sistema. Despejando, se ealia el paso inveso. cte La tíada (,, ) son las coodenadas del pnto: û cte Calqie tíada debe defini n û único pnto. Calqie pnto debe esta definido po na única tíada. û cte Se admiten ecepciones. El vecto de posición se pede obtene a pati de catesianas: J.L. Fenánde Jambina EM a-5 Cvilíneas () En geneal las coodenadas no son distancias: Un incemento infinitesimal de na coodenada el desplaamiento coespondiente se elacionan a tavés de n facto de escala: hi i dli hidi i i i» La epesión cental pemite obtene los vectoes nitaios ss factoes de escala. Si las speficies son otogonales el sistema seá cvilíneo otogonal. Un desplaamiento infinitesimal se pede descibi como: dl h d h d h d dl h d h d J.L. Fenánde Jambina EM a-6 h d Sistemas de Coodenadas

4 Electicidad Magnetismo - Gpo. Cso / Sistemas de Coodenadas 4 J.L. Fenánde Jambina EM a-7 Cvilíneas () opiedad inteesante: Es evidente qe: es deci, todos los coeficientes de tansfomación de los vectoes nitaios de n sistema de coodenadas otogonal en oto también otogonal se epiten en la tansfomación invesa en posición taspesta. Se pede defini na mati de otación [R] qe es otogonal (s invesa es s taspesta). [ ] [ ] [ ] [ ] T R R R R J.L. Fenánde Jambina EM a-8 También se pede calcla el difeencial de volmen: En catesianas: En cvilíneas genealiadas otogonales: A pesa del aspecto del dibjo, al se las dimensiones m peqeñas, los lados son son ectos otogonales. Cvilíneas (4) d d d dv ddd h d h d h d d h d d dv h h

5 Electicidad Magnetismo - Gpo. Cso / Sistema de coodenadas Cilíndicas Las speficies coodenadas del sistema son: Cilindos de eje adio. Semiplanos qe contienen al eje foman n ánglo con el semiplano qe se toma como efeencia. lanos cte. Las coodenadas del sistema seán tenas de valoes,,. aa descibi nívocamente todos los pntos del espacio las coodenadas debeán vaia en los mágenes: <, < π, - < <. actg Eiste na ambigüedad: Los pntos del eje qedan definidos po s : pede se calqiea. Relaciones invesas: cos sen EM a-9 J.L. Fenánde Jambina $ $ $ Cilíndicas () Vectoes nitaios factoes de escala De momento el vecto de posición es: Tabajando n poco: : cos sen h : ( sen cos ) h : h cos sen cos sen h sen cos h cos sen sen cos cos sen sen cos h h h J.L. Fenánde Jambina EM a- Sistemas de Coodenadas 5

6 Electicidad Magnetismo - Gpo. Cso / Cilíndicas () Vecto de posición difeenciales Vecto de posición: cos ( cos sen ) sen( sen cos ) La dependencia con está implícita dento de $ : (,, ) ( ) Difeencial de longitd (vecto): dl d d d Difeencial de longitd (escala): dl d d d Difeencial de volmen: dv ddd EM a- J.L. Fenánde Jambina Sistema de coodenadas Esféicas Las speficies coodenadas del sistema son: Esfeas de adio : Conos ca geneati foma n ánglo con el eje positivo: Semiplanos limitados po el eje qe foman n ánglo con el eje: aa descibi nívocamente todos los pntos del espacio las coodenadas debeán vaia en los mágenes: <, π, < π Eisten dos ambigüedades: actg actg Los pntos del ejeqedan definidos po s ó π, pede se calqiea. El oigen qeda definido po, con independencia de los valoes de. $ $ $ $ Relaciones invesas: sencos sensen cos EM a- J.L. Fenánde Jambina Sistemas de Coodenadas 6

7 Electicidad Magnetismo - Gpo. Cso / Esféicas () Vectoes nitaios factoes de escala De momento el vecto de posición es: sen cos sensen cos Tabajando n poco: : sen ( cos sen ) cos h sen ( cos sen ) cos : [ cos ( cos sen ) sen ] h cos ( cos sen ) sen : sen ( sen cos ) h sen sen cos sencos coscos sen sensen cossen cos cos sen sencos sensen cos coscos cossen sen sen cos h h h sen J.L. Fenánde Jambina EM a- Esféicas () Vecto de posición difeenciales Vecto de posición: [ sen( cos sen ) cos ] La dependencia con está implícita dento de Difeencial de longitd (vecto): Difeencial de longitd (escala): d l d d send $ Difeencial de volmen: dv dl d d senddd sen d J.L. Fenánde Jambina EM a-4 Sistemas de Coodenadas 7

8 Electicidad Magnetismo - Gpo. Cso / Cilíndicas - Esféicas Es posible elaciona diectamente ente sí cilíndicas esféicas: Relación ente coodenadas: actg $ sen cos Relación ente vectoes nitaios: $ sen cos $ $ cos sen $ $ $ $ sen cos $ $ $ $ cos sen $ $ $ $ $ J.L. Fenánde Jambina EM a-5 Sistemas de Coodenadas 8