TEMA 1. CINEMÁTICA DEL PUNTO MATERIAL

Transcripción

1 TEM 1. CINEMÁTIC DEL PUNTO MTERIL 1. Intodcción.. Sistema de efeencia. Taectoia, espacio ecoido vecto de posición de n pnto 3. Velocidad aceleación. Ejemplos de movimientos. 4. celeación nomal tangencial. Tiedo de Fenet. 5. Posición, velocidad aceleación de n pnto en coodenadas no catesianas: cilíndicas esféicas. 6. Tansfomaciones galileanas. 7. Pincipio de Relatividad de Galileo. PÉNDICE : Coodenadas cvilíneas Bibliogafía: [Maion], [Finn], [Mec-Bek], [Rañada], [Giffiths] Chantal Fee Roca 8

2 TEM 1. CINEMÁTIC DEL PUNTO MTERIL Chantal Fee Roca 8 NOT IMPORTNTE: Los contenidos de este docmento epesentan n esqema de los conceptos fndamentales del tema, po lo qe en ningún caso se tata de apntes completos. Este esqema se complementa con eplicaciones, aonamientos, ejemplos poblemas qe se desaollan dante las clases, así como con algno(s) de los libos qe se inclen en la bibliogafía. Bibliogafía: [Maion], [Finn], [Mec-Bek], [Rañada], [Giffiths]

3 1. Intodcción Chantal Fee Roca 8 Mecánica estdio del movimiento Cinemática (espacio tiempo) Dinámica feas movimiento Pedicción de posiciones Movimiento cambio de posición de n objeto Objeto modelo de patícla pntal

4 . Taectoia, espacio ecoido vecto de posición de n pnto i k ( j t ) d(t) d ( t + ) tangente a la taectoia en cada pnto taectoia espacio ecoido: Chantal Fee Roca 8 Elemento de aco e ds Γ TRYECTORI: conjnto de posiciones scesivas qe constiten na cva contína Γ en el espacio Vecto de posición (t) d(t) (t)i + (t) j + (t)k Desplaamiento infinitesimal o elemento de taectoia d(t)i + d(t) j + d(t)k ds d(t) d(t) + d(t) + d(t) d(t) d ds ds ds τ

5 velocidad: 3. Velocidad aceleación. Ejemplos de movimientos aceleación: dv(t) v d Módlo: celeidad d v (t) v(t) e ds Γ d (t) a & ds t & (t) v(t) d v & + & + conocida a t (t) t a t 1 Chantal Fee Roca 8 d(t) d(t) d(t) i + j + k (t)i & + (t) & j + (t) & k Diección?: demosta t t 1 & d ds ds && (t) i + && (t) j + && (t)k v t t v (t) v(t) τ (t) Cestiones 1(a), (a,b),7(a,b) vecto tangente a la taectoia en cada pnto v (t + ) (t + ) v a (t) (t) Ejecicio 1: Considéese la taectoia de n móvil (t) (t, t, t 3 ). Obtene la velocidad, la celeidad, el elemento de taectoia, el elemento de aco, el espacio ecoido ente t t1 (indica), la aceleación.

6 3. Velocidad aceleación. Ejemplos de movimientos MOVIMIENTOS 1D movimiento ectilíneo nifome Chantal Fee Roca 8 &(t) v cte movimiento ectilíneo nifomemente aceleado && (t) a cte movimiento oscilatoio (oscilado amónico) (t) + a movimiento cicla nifome de adio constante D? (EJERCICIO ) && MOVIMIENTOS D: Dos coodenadas independientes. Po ejemplo, composiciones de los anteioes (igales o distintos) Movimiento paabólico: mov. ho. nifome, mov. vet. nif. acel. (EJEMPLO 1) Oscilado en D MOVIMIENTOS 3D: Tes coodenadas independientes. composiciones de los anteioes (o de otos casos) paa las tes diecciones del espacio. tención: no confndi el númeo de vaiables independientes del poblema con la foma de la taectoia

7 cons tan te ( t + ) EJERCICIO 1 Movimiento cicla nifome. Calcla vecto de posición, velocidad aceleación cos ω cte sin d d (t) (t) (i + j cosi + sin j) d (t) [ di + dj ( sin i + cos j) ] d(t) d d v(t) (t) & & En geneal (mov. a(t) v(t) & cicla) & (t) && Chantal Fee Roca 8 + & & && & Mov. cicla nifome (ωcte) a(t) v(t) & & (t) & 1 D (sólo cambia el ánglo con el tiempo) (t) + ωt (t) 1 + ωt + αt

8 3. Velocidad aceleación. Tipos de movimiento Chantal Fee Roca 8 Domingo Matíne 6 EJEMPLO 1 Movimiento paabólico (de cepos sobe la speficie teeste) a gj cte dimensiones nifomemente aceleado (despeciando esistencia aie) v v v v cosθ senθ composición de movimientos Ejecicio: Integando: t vetical: caída libe hoiontal: movimiento nifome dv t t t a(t) t d t t t v(t) a a g v v v v cosθ senθ gt + (v + (v cosθ)t senθ)t 1 gt

9 3. Velocidad aceleación. Tipos de movimiento Chantal Fee Roca 8 Domingo Matíne 6 ecación de la taectoia: Obtene: si eliminando t () + (v + (v cosθ)t senθ)t g (tgθ) v cos (paábola) θ 1 gt Fig del libo Física de P..Tiple G. Mosca, Ed. Reveté alcance hoiontal (t): Poblema 1.7 boletín Cestión 3(a), 1 R v senθ g R ma si θ 45º Ojo!, sólo si elevación inicial final

10 3. Velocidad aceleación. Tipos de movimiento Movimiento hoiontal vetical independientes Chantal Fee Roca 8 Fig. 3.1 del libo Física de P..Tiple G. Mosca, Ed. Reveté, 5 alcance hoiontal paa distintos ánglos Fig. 4.8 del libo Phsics fo scientists and enginees de R.. Sewa, Ed. Sandes Golden, DEMO en clase: impacto simltáneo de dos bolas qe caen, na lanada con na velocidad hoiontal inicial la ota sin ella (como en fotogafía estoboscópica)

11 n sistema de efeencia 4. celeación nomal tangencial. Tiedo de Fenet. Chantal Fee Roca ( t + ) n 8 O v(t+) (t) -v(t) v(t) a taectoia n a n τ τ a dv τ a t a d(vτ) v& τ + v τ& n a C d τ& (cos i + sin j) ( & sin i + cos j) n & t adio de sin i + cvata tención: cambian con el cento de pnto cvata de la taectoia τ + a v n n n a t v& cel. tangencial a + ; a t a a n τ Poblema 1.4 del boletín Cestiones 1,, 3, 8 n v (cos i + sin j) v cos j n v cel. Nomal (centípeta) O

12 Un sistema qe se meve con el pnto 4. celeación nomal tangencial.tiedo de Fenet b Tiedo de Fenet τ n τ n a) b) c) b n C τ adio de cvata Relaciones de Fenet Chantal Fee Roca 8 Taectoia 3D dτ n τ v(t) ds τ& d n ds db n σ adiode tosión ds σ dn 1 1 b τ ds σ b n 1 σ Ejecicio: Demosta n τ tosión C Geometía difeencial-paametiación de spefícies

13 4. celeación nomal tangencial.tiedo de Fenet Chantal Fee Roca 8 Taectoia cicla de adio a n dτ ds dn ds n n a 1 τ a 1 db σ,, σ ds τ b tosión

14 PÉNDICE : COORDENDS CURVILÍNES Chantal Fee Roca 8 Las coodenadas esféicas se tiliaban en el siglo IV-III a.c., tanto paa la deteminación de posiciones estelaes (po ejemplo, catalogación estela de Hipaco) como de longitd latitd sobe la speficie teeste (po ejemplo, Geogafía Física de Eatóstenes)

15 INTRODUCCIÓN LS COORDENDS CURVILÍNES: POLRES coodenadas catesianas P(,) coodenadas polaes P(,) + vectoes nitaios + base a las líneas de cte. sentido: incemento de cte a las lineas de cte. sentido: incemento de cte En todos los pntos los vectoes nitaios tienen la misma diección Chantal Fee Roca 8? Q a las líneas de cte. sentido: incemento de cte cos sin + tg 1 a las líneas de cte. sentido: incemento de cte En cada pnto los vectoes nitaios tienen diección difeente

16 INTRODUCCIÓN LS COORDENDS CURVILÍNES: POLRES Chantal Fee Roca 8 coodenadas catesianas coodenadas polaes Q P(,) P(,) En todos los pntos los vectoes nitaios tienen la misma diección En cada pnto los vectoes nitaios tienen diección difeente Ejemplos (, ) En el pnto (1,) en catesianas (1, 1) En el pnto (1,1) en catesianas (, ) En el pnto (1,π ) en polaes (1,) (,) En polaes (1,1) (, ) En polaes (1,π ) (,) j En catesianas

17 INTRODUCCIÓN LS COORDENDS CURVILÍNES: POLRES coodenadas polaes coodenadas catesianas sin + cos cos + sin ca + P(,) pol ( cos sin ) + ( sin + cos sin ca cos T -1 T T sin cos) cos T sin sin cos 1 T pol ca pol pol π + + cos + sin T sin + cos Chantal Fee Roca 8

18 INTRODUCCIÓN LS COORDENDS CURVILÍNES: POLRES Chantal Fee Roca 8 Ejemplo 3: (Poblema 1.1 b) boletín) El vecto (1,-1) está aplicado en el pnto (1,1), ambos en catesianas. Escibid el vecto en coodenadas polaes Geométicamente: es fácil ve qe en el pnto P (1,1) el vecto (1,-1) tiene diección ( sentido opesto), sin ealia na tansfomación de las coodenadas. P ( 1, 1) + tg 1 tg º (1,1) (1, 1) pol cos 45º sin 45º sin 45º cos 45º 1 1 1

19 INTRODUCCIÓN LS COORDENDS CURVILÍNES: POLRES vecto de posición del pnto P(,,) ca (, ) + cos + sin (, ) pol Obtención analítica de los vectoes nitaios vaiación de d cos + sin d d 1 d d d d d elemento de taectoia (geométicamente) d + d d + d d ca h Chantal Fee Roca 8 d pol vaiación de la distancia adial vaiación del elemento de aco vaiación de d ( sin + cos d 1 d 1 d d d d d mismos esltados sando la mati T h d d d )

20 COORDENDS CURVILÍNES- GENERLIZCIÓN Chantal Fee Roca 8 sistema de coodenadas vectoes nitaios mati de tansfomación cat-cv elemento de línea Cvilíneas q 1, q, q 3 f f f 1 3 ( q ( q ( q 1 1 1,q,q,q 1 i ; h i h q 1 T 3 d h dq i i,q,q,q ) ) ) q h dq + h3dq33 i ; Ejemplo: coodenadas polaes cos q 1 sin q 1 d d d d d d T d 1 d d h cos sin 1 d d d d h sin cos d + d Si la coodenada q i es na distancia, h i 1 Si la coodenada q i es n ánglo, h i es la cantidad qe lo tansfoma en na distancia de aco h i dq i.

21 COORDENDS CILÍNDRICS vectoes nitaios 1 cos sin sin cos T cil d ) ( ) d ( ) d ( ; d d d ds d d d d + sin cos P tg h h h P Chantal Fee Roca 8 Poblema 1.1, 1.3 boletín Cestiones 1.4, 1.9

22 sinθ θ ds ( d ) hacia "aiba" P + ( dθ ) hacia el "este" θ hacia el "s" COORDENDS ESFÉRICS + ( sinθd ) sinθ cos + + h sinθ sinθ sin 1 1 θ cos ; tg θ [, π ], [, π ] cosθ vectoes nitaios sp. cte d d + dθθ + sinθ d ; Poblema 1., 1.3 boletín Cestiones 5, 6 ; Chantal Fee Roca 8 T esf sinθ cos cosθ cos sin θ sp.θ cte sinθ sin cosθ sin cos h 1 hθ cosθ sinθ θ P sp. cte d sinθ d dθ

23 5. Posición, velocidad aceleación de n pnto en coodenadas cilíndicas esféicas. cilíndicas Chantal Fee Roca 8 + v & & & & + a && +& & & & + & +& & d (cos i + sin j) & d ( sin i + cos j) & & +& +& & + + && (&& & ) + ( + && & &) + && esféicas & & & θ d (sin θcos i + sin θsin j + cosθk) θ& θ + & sin θ d (cosθcos i + cosθsin j sin θk) θ& + & cosθ d ( sin i + cos j) & & (sin θ + cosθ ) θ v & & + & & + θ& θ + sin θ& ; a & && + && + && θ θ + && θ θ + θ& & θ + & sin θ& + cosθ θ & & ( && θ& & sin θ) + (&& θ + && θ & sin θcos θ) θ + (&& sin θ + && sin θ + θ & & cosθ) + sin θ& & θ Poblema 1.5 boletín

24 5. Posición, velocidad aceleación de n pnto en coodenadas cilíndicas esféicas. Chantal Fee Roca 8 TENCIÓN Los vectoes del tiedo de Fenet NO coinciden, en geneal, con los vectoes nitaios en cilíndicas o esféicas, si lo hacen, se tata de taectoias especiales (po ejemplo, taectoia cicla). n τ

25 6. Tansfomaciones galileanas Chantal Fee Roca 8 Movimiento de n pnto especto a n sistema con movimiento ectilíneo Posición, velocidad aceleación los hemos spesto efeidos a n sistema de efeencia qe consideamos fijo. Qé elación tienen con los valoes qe adoptan en n sistema qe se meva especto al anteio? Sistema de efeencia S se meve especto al sistema fijo S sigiendo na linea ecta Taectoia paa S S (t) v (t) v '(t) S R (t) '(t) V (t) Tansfomaciones: '(t) (t) R(t) d' d dr v'(t) v(t) V(t) dv' dv dv a'(t) a(t) (t) Implícito: t es el mismo en S S (tiempo absolto) En el tema 8 se veán con detalle los sistemas aceleados en mov. ectilíneo o qe gian (SISTEMS NO INERCILES).

26 S 6. Tansfomaciones galileanas. V cte (t) '(t) Implícito: t es el mismo en S S (tiempo absolto) S S (t) Chantal Fee Roca 8 Tansfomaciones ente sistemas ineciales o galileanas '(t) S R t ' t '(t) (t) R(t) ' ' v'(t) v(t) a'(t) a(t) v v v ' v ' v ' v R ' (t) '(t) R'(t) '(t) + R(t) s v(t) v'(t) + a'(t) a(t) La aceleación de na patícla es la misma paa todos los obsevadoes en movimiento elativo de taslación nifome (aceleación invaiante). Poblema 1.6 boletín

27 6. Tansfomaciones galileanas Ejemplos 1. Coedoa etena obsevada desde fea desde dento de n atobús. v' v Chantal Fee Roca 8. Una maiposa vela dento del atobús. Obsevada desde dento po oto obsevado eteno. v cte v Ejemplo clásico: el obsevado sobe la nave (S ) obseva na caída con aceleación g. El obsevado en el melle (S) obseva na caída con aceleación g + n desplaamiento hoiontal con velocidad constante. Las aceleaciones son igales en ambos sistemas v(t) v', v' s v v'(t) + a'(t) a(t) '(t) cte v (t) v +

28 7. Pincipio de Relatividad de Galileo Chantal Fee Roca 8 Una pesona qe se encente dento de n baco qe avana en línea ecta a na velocidad nifome no pede decidi, po ningún epeimento de mecánica, si el baco se meve o está en eposo. (Tendía qe asomase po na escotilla paa sabelo) (Litealmente en el Diálogo sobe los dos máimos sistemas del mndo (163) : movimiento de moscas, maiposas, pe, lanamiento de objetos, saltos sobe cbieta, movimiento de n péndlo). Lecta ecomendada Las lees de la mecánica son las mismas paa calqie obsevado inecial Pincipio de Relatividad Galileana No es posible conoce la velocidad de n sistema qe se meve con velocidad constante en línea ecta a pati de epeimentos mecánicos ealiados en él. Sólo se pede detemina el estado de movimiento si se tiene na efeencia eteio al sistema, en elación a la cal se pede medi la velocidad (velocidad elativa). Los sistemas ineciales son sistemas pivilegiados desde el pnto de vista de la dinámica

29 7. Pincipio de Relatividad de Galileo Chantal Fee Roca 8 Modelo heliocéntico: se pesentaba na objeción fndamental basada en el sentido común : si la Tiea se meve especto al sol, cómo es qe no sentimos s movimiento?. Po oto lado, na pieda lanada desde lo alto de na toe debeía cae en n pnto del selo desplaado especto al pie de la toe (la Tiea se meve dante la caída). Peo, de hecho, n objeto lanado desde el mástil de n baco (sistema inecial) cae eactamente al pie del mástil. Si la Tiea se meve como n sistema inecial, debe scede lo mismo con la pieda la toe. En la actalidad sabemos qe: La Tiea se meve especto al Sol a nos 1. km/h El sol se meve especto al cento de la Galaia a 8. km/h La Galaia se meve jnto a s Gpo Local a.. km/h especto a la adiación cósmica de fondo. Y no lo notamos!!!! (Peo lo sabemos po datos etenos a nesto sistema, la Tiea, no po epeimentos mecánicos ealiados en ella). Nota: los efectos no ineciales de esos sistemas en movimiento son despeciables La idea de qe Galileo tiaa piedas desde la toe de pisa es apócifa