CINEMÁTICA DE LA PARTICULA

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1 CAPITULO I CINEMÁTICA DE LA PARTICULA "La natualeza es una esfea infinita cuyo cento está en todas pates y su cicunfeencia en ninguna" Blas Pascal Pensamientos. "No definié tiempo, espacio y movimiento ya que estos conceptos son bien conocidos po todos" Isaac Newton Pincipia (1686). "Tiempo Más tiempo Solo tiempo?" Joge Guillen Homenaje. Cuso 1999

2 INSTITUTO DE FÍSICA FACULTAD DE INGENIERÍA Cuso 1999

3 MECÁNICA NEWTONIANA - Cinemática de la Patícula. 3 CINEMÁTICA DE LA PARTICULA I-1. Intoducción La Mecánica es la ama de la Física que estudia el movimiento de los cuepos mateiales. Históicamente es la pimea de las ciencias exactas de la natualeza y po lo tanto es un paadigma de toda actividad científica. Más aún, la Tecnología modena y sus inmensas posibilidades de tansfomación del mundo esultan de la aplicación sistemática del método científico. Po esta azón, más allá del inteés que sin duda tiene el tansmiti un conjunto de conocimientos útiles paa la actividad pofesional del ingenieo, este cuso de Física, como todos los estantes, tiene el objetivo fundamental de loga que los estudiantes adquiean la capacidad de analiza y esolve los poblemas que enfenten en su actividad pofesional con esa mezcla de igo e imaginación popia de la ciencia. El pime obstáculo que debe supea toda ciencia empíica paa su desaollo es el de pone oden en nuestas sensaciones extaodinaiamente icas y fugaces. Platón fue el pimeo en obseva que nada podíamos deci aceca de las pecepciones fluidas de nuestos sentidos si no pudiéamos capta en ellas elaciones pemanentes poyectadas po nuesta azón. El pensamiento debe i eliminando factoes accesoios o accidentales y con la ayuda de objetos geométicos y matemáticos debe intenta descibi los fenómenos que ante nosotos fluyen sin cesa. Platón se limitó a enuncia el pogama de las ciencias empíicas. Había que espea hasta la llegada de la época modena, paa que hombes como Keple, Galileo y Newton lo llevaan a cabo. El pime poblema al que se ve enfentada la Física al busca una descipción pecisa del movimiento es po consiguiente el de elimina todos aquellos factoes que son accesoios y el de enconta el lenguaje matemático más apopiado. La máxima ealización de este pogama alcanzada en la antigüedad es la descipción de Ptolomeo del movimiento planetaio. Resulta natual que la pimea descipción con cieto gado de exactitud de un fenómeno se efiea al movimiento planetaio. En efecto, los datos de la obsevación son sumamente simples (debido a la distancia ente los objetos celestes y la Tiea, es fácil tata a los pimeos como objetos puntuales). Po ota pate, sus movimientos son muy egulaes y peiódicos. Basándose en las nociones de la geometía de Euclides y en la idea platónica de la pefección de la cicunfeencia, Ptolomeo llega a una descipción del movimiento planetaio en téminos de patículas puntuales que ocupan posiciones sucesivas en el espacio a medida que el tiempo tanscue. Los elementos esenciales de la descipción cinemática del movimiento de las patículas mateiales ya están pesentes en el esquema de Ptolomeo. Sólo faltaba incopoa la idea de la Relatividad del Espacio que apaeceía con Copénico y seía enunciada en foma explícita po Galileo. En efecto, paa Ptolomeo todo Cuso 1999

4 4 INSTITUTO DE FÍSICA FACULTAD DE INGENIERÍA movimiento debe descibiese con efeencia a la Tiea que se encuenta en eposo en el cento del Univeso. Al mosta la enome simplificación conceptual que esultaba al efei el movimiento de los planetas en tono al Sol, Copénico estaba implícitamente mostando que el sistema de efeencia especto al cual se descibe el movimiento depende en definitiva de nuesta conveniencia y que po lo tanto no existe un sistema pivilegiado. En este Capítulo intoduciemos los elementos matemáticos básicos paa la descipción del movimiento de una patícula. La pate de una teoía física que intoduce el lenguaje necesaio paa la descipción de los fenómenos que estudia se llama la Cinemática. Todo fenómeno que se encuenta dento del ango de aplicación de la Teoía debe se expesable en dicho lenguaje. Así, la Cinemática de las Patículas Mateiales debe se capaz de descibi cualquie movimiento posible de una patícula en el espacio tidimensional. El segundo elemento básico pesente en cualquie teoía física es la Dinámica. Ella establece las leyes que obedecen los fenómenos físicos. En paticula, la Dinámica de las patículas Mateiales nos pemitiá detemina, en una situación dada, cuál de todos los movimientos cinemáticamente posibles seguiá la patícula en cuestión. Cuso 1999

5 MECÁNICA NEWTONIANA - Cinemática de la Patícula. 5 I-. Cinemática en una dimensión. I-a. Movimiento sobe una ecta. Como hemos obsevado, los movimientos eales son muy complejos. En geneal las distintas pates de un objeto tendán movimientos difeentes, lo que puede da luga a otaciones o vibaciones intenas. En muchos casos esos movimientos intenos pueden despeciase cuando sólo inteesa detemina el movimiento pomedio del cuepo En geneal, cuando las dimensiones del objeto en cuestión son mucho menoes que las de su tayectoia, podemos considea al objeto como un punto matemático. Los objetos de este tipo se denominan patículas. Po ejemplo cuando deseamos descibi el movimiento de la Tiea alededo del Sol podemos despecia los movimientos intenos de la atmósfea y los maes e incluso su movimientos de otación y tatalo como un objeto puntual. Cómo podemos descibi el movimiento de una patícula que se mueve sobe una ecta? FIG. 1 Una pimea descipción es establece la hoa en la cual la patícula pasa po cada uno de los puntos. Tiempo Posición Día 9/7/89 14 h. 7 m. 3 s. A " " 14 h. 7 m. 34 s. B " " 14 h. 8 m. 36 s. C " " 14 h. 8 m. 38 s. D Tabla 1 En esta pimea descipción sólo hemos podido asigna un valo numéico al tiempo, mientas que nos hemos limitado a distingui las distintas posiciones con una leta. Paa asigna Cuso 1999

6 6 INSTITUTO DE FÍSICA FACULTAD DE INGENIERÍA valoes numéicos es necesaio un oigen, ya que solo somos capaces de medi intevalos, no posiciones o tiempos absolutos. Como existe un oigen convencional de tiempo hemos podido asigna valoes numéicos a dichas vaiables. Si deseamos hace lo mismo con el espacio es necesaio defini un oigen. FIG. Constuyamos ahoa un sistema coodenado oientando la ecta. A cualquie punto de la ecta le asignaemos un númeo x que indique su distancia al oigen. El valo x es la posición con especto a O. Seá positivo si el punto sigue a O y negativo si lo pecede. Podemos entonces descibi el movimiento po Tiempo Posición s. -4 m. 4 s. 8 m. 6 s. 1 m. 8 s. 4 m. donde hemos tomado el oigen de tiempos en el instante en que la patícula pasaba po A. Tabla Si epesentamos este movimiento gáficamente poniendo en la abscisa los tiempos y en las odenadas la posición esulta Cuso 1999

7 MECÁNICA NEWTONIANA - Cinemática de la Patícula. 7 FIG. 3 La descipción que hemos obtenido del movimiento es sin duda incompleta ya que obviamente no nos da infomación alguna sobe qué posiciones ocupa la patícula paa otos valoes del tiempo. Nuesta descipción mejoa po consiguiente en la medida que disminuyen los intevalos de tiempo paa los cuales se detemina la posición. Una descipción completa del movimiento en una dimensión consistiá entonces en dase una función x( t) que asigne a cada valo del tiempo la coespondiente posición de la patícula. Toda la infomación elacionada con el movimiento de la patícula está contenida en la función x ( t) llamada ley hoaia. Sin embago aunque la posición en función del tiempo contiene toda la infomación elevante no la contiene en la foma más útil. La infomación FIG. 4 del velocímeto de un auto es edundante si este último tiene cuenta kilómetos y eloj, peo pocos discutiían su utilidad. Ello se debe a que las leyes de la dinámica involucan los conceptos de aceleación y velocidad y no a la posición diectamente. Pasemos a defini estos conceptos. Cuso 1999

8 8 INSTITUTO DE FÍSICA FACULTAD DE INGENIERÍA Supongamos que una patícula se encuenta en la posición x 1 en un instante t 1 y en x en el instante t. La vaiación de la posición de la patícula se denomina desplazamiento. x x x1 Se define la velocidad media de la patícula v m en el intevalo de tiempo t1, t po x x x1 vm t t t1 Consideemos po ejemplo el movimiento definido po la tabla y gaficado en la figua 3. Del mismo esulta la siguiente tabla de velocidades medias y el gáfico v m Intevalos [ s.,4 s.] 3 m/s [4 s.,6 s.] m/s [6 s.,8 s.] -4 m/s Tabla 3 FIG. 5 El desplazamiento y la velocidad pueden se positivos o negativos, un valo positivo indica un desplazamiento en el sentido del eje de coodenadas y uno negativo en el sentido Cuso 1999

9 MECÁNICA NEWTONIANA - Cinemática de la Patícula. 9 opuesto. Obsévese que la velocidad media se puede lee diectamente del gáfico del movimiento (fig. 3) calculando la pendiente de la ecta que une dos puntos sucesivos en el movimiento. Si se tiene una descipción del movimiento más detallada que incluya las posiciones paa instantes intemedios de tiempo, se podá constui una tabla de velocidades donde cada velocidad media coespondeía a intevalos más pequeños. En el límite tendemos una descipción completa x () t y una velocidad asociada al instante t x d x v() t lim t t La velocidad instantánea v () t es, po consiguiente, la deivada de la posición. Gáficamente estaá dada po la pendiente de la cuva x ( t) en el instante t. Pasemos ahoa al cálculo de la aceleación, concepto fundamental que está elacionado diectamente con las fuezas que actúan sobe la patícula, como veemos en capítulos subsiguientes. Cuando la velocidad instantánea de una patícula esté vaiando con el tiempo, se dice que la patícula se está aceleando. La aceleación media poducida en el intevalo t t t1 define como el cociente v a m t donde v es la vaiación de la velocidad instantánea en dicho intevalo. La aceleación instantánea es el límite de la aceleación media cuando el intevalo tiende a ceo v dv d x a() t lim t t Como la velocidad es a su vez la deivada de la posición especto del tiempo, la aceleación esulta se la deivada segunda de la posición especto del tiempo. Como habíamos señalado al comienzo, una vez deteminada la posición en función del tiempo se posee toda la infomación elevante paa la evaluación de cualquie ota magnitud cinemática. Usualmente el poblema más inteesante es el poblema inveso: dada la aceleación instantánea a () t, detemina la posición de la patícula en función del tiempo x ( t). En efecto la aceleación es la magnitud que apaece en la ecuación de Newton y po lo tanto cuando las fuezas dependen explícitamente del tiempo, se puede detemina diectamente. Paa calcula la posición Cuso 1999

10 1 INSTITUTO DE FÍSICA FACULTAD DE INGENIERÍA debemos inveti el poceso anteio pasando de la aceleación a la velocidad y de ésta a la posición. Obviamente dada a () t la velocidad seá una función tal que su deivada es igual a la v seá po lo tanto una pimitiva de a ( t). da () () ( t) v t A t + C, a(). t aceleación: () t Po consiguiente dada la aceleación, la función velocidad queda deteminada a menos de una constante. En otas palabas, la aceleación no tiene infomación suficiente paa detemina a la velocidad en foma única. Sin embago veemos que basta conoce la velocidad en cualquie v t. Supongamos que en t t instante de tiempo paa elimina toda ambigüedad en la función ( ) la velocidad es v entonces y ( t ) v ( t ) C v + v A ( t ) v C A + () t v + A( t) ( t ) A lo que detemina completamente a v () t. Recodando el Teoema Fundamental del Cálculo Integal esulta y po lo tanto A () t A( t ) a() t t t v v + a() t t t Cuso 1999

11 MECÁNICA NEWTONIANA - Cinemática de la Patícula. 11 Ejemplo: v Sea () t tm / s m/ s. 3 a. Detemina ( t) v v sabiendo que en t s la velocidad vale ( t) t C v C () t ( t 7) m / s. Una vez que ha sido deteminado v ( t), el poblema de calcula ( t) foma totalmente análoga dv x () t V () t + C', v() t x se esuelve en donde la constante C' se detemina a pati de la posición de la patícula en algún instante t y ( t ) x ( t ) ' x + x V C () t x v() t. t + t Podemos conclui po lo tanto que la aceleación instantánea pemite econstui la ley hoaia x () t a menos de constantes. Gáficamente, dada la cuva de velocidades, el desplazamiento poducido en el intevalo t, t x x 1 ( t ) x( t ) v( t) 1 t t 1 es igual al áea enceada bajo la cuva de velocidades. Análogamente, el áea enceada bajo la cuva de aceleaciones a () t es igual a la vaiación total de velocidad a lo lago del intevalo de tiempo consideado. FIG. 6 Cuso 1999

12 1 INSTITUTO DE FÍSICA FACULTAD DE INGENIERÍA Concluiemos esta sección consideando el ejemplo del movimiento con aceleación constante, supongamos conocida la velocidad y la posición en t. a t x v () a t + () t v a() t v + at t () t x + ( v + at) at x + vt+ Un caso paticula impotante de este tipo de movimientos es la caída libe de una patícula en pesencia del campo gavitacional en las poximidades de la supeficie teeste. Si oientamos el eje de coodenadas según la vetical ascendente y nos limitamos al estudio de la caída vetical de una patícula, se cumple: a g, donde g epesenta el valo de la aceleación de la gavedad que es apoximadamente igual a 9, 8m/ s. Cuso 1999

13 MECÁNICA NEWTONIANA - Cinemática de la Patícula. 13 I-3. Cinemática en 3 dimensiones. I-3a. Movimiento geneal de una patícula en 3 dimensiones En el caso unidimensional ea necesaio paa descibi el movimiento en foma única fija un oigen y una oientación de la ecta. En el caso geneal, la posición de una patícula en un instante de tiempo t se descibiá po un vecto ( t ) que va del oigen de coodenadas al punto que ocupa la patícula en dicho instante. Deseamos asigna al vecto posición un conjunto de medidas que lo caacteizan únicamente. Una foma sencilla de consegui este objetivo es definiendo un sistema de ejes catesianos ectangulaes Oxyz. FIG. 8 Sean i, j, k los vectoes de la base otonomal diecta 1 asociada a dichos ejes. Es deci que se veifica que: La base es nomal, po lo que está fomada po vesoes: i j k 1. Son otogonales ente sí: i j i k i j. Y la base es diecta poque: i j k; j k i ; k i j. El vecto posición puede descibise pos sus componentes en dicha base, que de acuedo a la egla de suma vectoial cumpliá: x i + y j + z k Analizando el poblema en foma totalmente análoga al caso unidimensional concluiemos que una descipción completa del movimiento estaá dada po su ley hoaia 1 - Po algunos detalles adicionales ve la Sección.3.b.ii en el Capítulo Intoducción y Conceptos Peliminaes. Cuso 1999

14 14 INSTITUTO DE FÍSICA FACULTAD DE INGENIERÍA ( t) x( t) i + y( t) j + z( t)k Los valoes específicos de las componentes ( x, y, z) de la posición de una patícula dependeán obviamente del sistema de efeencia elegido. No existe ningún citeio absoluto paa pefei un sistema fente a oto, la elección es mateia de gusto o más bien conveniencia. Dice Newton en los Pincipia: "Peo a causa de que FIG. 9 las pates del espacio no pueden se vistas o distinguidas ente sí po nuestos sentidos, utilizamos en su luga medidas sensibles de él... y así en vez de posiciones y movimientos absolutos, los utilizamos elativos". I-3b. Desplazamiento, velocidad y aceleación Estamos ahoa en condiciones de intoduci los conceptos de desplazamiento, velocidad y aceleación en el caso de un movimiento geneal de 3 dimensiones. I-3b.i) Desplazamiento y Velocidad. El desplazamiento sufido po la patícula en el intevalo t1, t es el vecto asociado al segmento oientado que va del punto ocupado po la patícula en t 1 al punto ocupado en t Obviamente 1 FIG. 1 Se define la velocidad media de la patícula en el intevalo ( t,t 1 ) como el cociente del vecto desplazamiento y el intevalo t t t 1 Cuso 1999

15 MECÁNICA NEWTONIANA - Cinemática de la Patícula. 15 v m t La velocidad media no es po lo geneal una magnitud inteesante ya que el módulo del vecto desplazamiento no es en geneal igual a la distancia ecoida sobe la cuva. Sin embago si consideamos intevalos de tiempo cada vez más pequeños, el módulo del desplazamiento se apoxima a la distancia ecoida po la patícula y su diección tiende a coincidi con la diección del vecto tangente a la cuva en el punto P 1 ocupado po la patícula en el tiempo t 1. Se define el vecto velocidad instantánea como el límite de la velocidad media cuando el intevalo de tiempo t tiende a ceo d v lim, t t dicho límite es la deivada del vecto P especto de t. Paa calcula las componentes de la velocidad consideemos t x t i + y t j + () () ( ) z( t) k. FIG. 11 Si pasamos de t a t + t t+ t ( ) x( t+ t) i + y( t+ t) j + z( t+ t) k. El desplazamiento que se podujo en el intevalo [ t, t+ t] es ( t+ t) ( t) [ x( t+ t ) x( t) ] i + [ y( t+ t ) y( t) ] j + [ z( t+ t) z( t) ] k y po consiguiente xi + y j + zk x y z v lim lim i + j + k t t t t t t Cuso 1999

16 16 INSTITUTO DE FÍSICA FACULTAD DE INGENIERÍA d x d y d z d i + j + k que nos dice que las componentes de la deivada de un vecto son las deivadas de las componentes. I-3b.ii) Popiedades de la Deivada de un Vecto. La demostación anteio ealizada paa la deivada del vecto posición vale paa cualquie oto vecto, y po consiguiente dado A t A i + A j + A () k x y z su deivada es d A A t lim t ( + t) A( t) t d A da x y i + da z j + k Usando la popiedad que acabamos de establece, las siguientes expesiones, que nos dan las deivadas de opeaciones con vectoes, son de fácil demostación: d d A d B [ A() t + B() t ] () t + () t d( A. B) d A d B. B+ A. d( A B) d A d B B+ A d dλ [ () ()] ( t) d A λ t A t A+λ() t donde A, B son funciones vectoiales de t, y λ es una función escala odinaia de t. - Como veemos en beve, ésta es en ealidad la deivada de un vecto especto al sistema de efeencia elegido, dado po la base i, j, k. En este sistema de efeencia esos vectoes deben considease fijos, es deci, los mismos no dependen del tiempo, y sus deivadas son nulas. De lo contaio, había que deivalos como si fuesen ellos mismos vectoes dependientes del tiempo. Cuso 1999

17 MECÁNICA NEWTONIANA - Cinemática de la Patícula. 17 Las popiedades anteioes nos esultaán de gan utilidad y de aplicación muy fecuente en el esto del cuso. I-3b.iii) Aceleación. Pasemos ahoa a la definición de la aceleación instantánea. El vecto aceleación instantánea se define como la deivada del vecto velocidad instantánea especto del tiempo v dv a lim t o t en componentes dv dv y dv x z a i + j + k d x d y d z i + j + k I-3b.iv: Notación paa la Deivada Tempoal. Como vemos, en la definición de las cantidades Cinemáticas Velocidad y Aceleación, el concepto de deivada especto al tiempo es de suma impotancia. Es po eso, y po lo fecuente del uso que les daemos, que intoduciemos ahoa una notación que nos simplificaá mucho las expesiones que usaemos todo a lo lago de este cuso. Utilizaemos puntos paa indica la deivación especto al tiempo, escibiendo el punto encima de la función que debe se deivada, y el númeo de puntos indica del númeo de veces que estamos deivando, o sea, si se tata de una deivada pimea, segunda, etc. Así: da & d A d A da x y A i + x A& x da z j + k A& x i + A& y j + A& z k. Aplicándolas a las cantidades de nuesto inteés tenemos: Cuso 1999

18 18 INSTITUTO DE FÍSICA FACULTAD DE INGENIERÍA v & xi & + y& j zk a v& v& i v& j v& k & + & + + && xi + && y j + && zk x y z Estas expesiones son paticulamente útiles paa el cálculo diecto de la velocidad y la aceleación. Ejemplo: Sea donde R y ω son dos constantes, () t FIG. 1 Rcos ωt i + Rsenωt j descibe el movimiento de una patícula en el plano Oxy. Como x ( t) + y ( t) R la patícula se mueve en una cicunfeencia. Entonces v Rωsen ωt i + Rωcosωt j y a ω Rcosωt i ω Rsenωt j Obsévese que v Rω es constante y su diección es tangente a la cicunfeencia, mientas que a ω tiene la diección del adio. I-3b.v: Tayectoia. Ley Hoaia e Integación de Ecuaciones. Al luga geomético de los puntos ocupados po una patícula en su evolución tempoal lo llamamos tayectoia. En el ejemplo pecedente la tayectoia de la patícula es una cicunfeencia de adio R. Siempe es posible detemina a pati de la ley hoaia ( t) la tayectoia de la patícula. En efecto las componentes del vecto posición ( x ( t), y( t), z( t) ) son po sí mismos una descipción paamética de la cuva seguida po la patícula. Cuso 1999

19 MECÁNICA NEWTONIANA - Cinemática de la Patícula. 19 Consideemos ahoa el poblema inveso. Dado el vecto aceleación ( t) poponemos detemina el vecto posición ( t) llamado ley hoaia. Sea a () t a () t i + a ( t) j + a ( t)k x a nos en función del tiempo, es deci, lo que hemoa Las componentes de la velocidad v ( t) deben se tales que sus deivadas coincidan con las componentes espectivas de la aceleación. Es deci con v () t v () t i + v ( t) j + v ( t)k x y y z z y po lo tanto dv dv x y dvz ax, ay, az x ( t) A x ( t) + Cx, vy ( t) A y ( t) + C y, vz ( t) A z ( t) Cz v + donde A x,a y, A z son espectivamente pimitivas de a x, a y, az ; y C x, Cy, Cz, son tes constantes. En notación vectoial podemos escibi con: A v () t a() t A () t () t A ( t) + C ( ) i + ( A ( t) ) j ( A ( t) ) k x y + Si se conoce el valo de la velocidad en algún instante de tiempo t. se puede detemina el vecto constante C : po lo tanto: v ( t ) v A ( ) + C t z Cuso 1999

20 INSTITUTO DE FÍSICA FACULTAD DE INGENIERÍA v + () t v + A() t A( ) v a() t t Po consiguiente, dada la aceleación en función del tiempo y la velocidad inicial v( t ) v, hemos podido detemina la velocidad en función del tiempo; es deci, la velocidad paa cualquie instante t. Un azonamiento análogo nos pemite detemina la posición ( t) velocidad v () t, y la posición inicial ( ) donde () t v() t t t t () t + V() t ( t ) v() t V v V es una pimitiva de la velocidad. t v + t, una vez conocida la Ejemplo: (caso con aceleación constante) Sea a ak con a constante, y donde hemos elegido los ejes de modo que el vecto aceleación solo tenga componente según Oz. Se desea detemina la posición sabiendo que en t, v v i + v k y z k + x. y po lo tanto Una pimitiva de la aceleación es v ox oz, i () t v + atk A a ( t) tk A su vez, una pimitiva de la velocidad es v i + ( v + at )k ox oz Cuso 1999

21 MECÁNICA NEWTONIANA - Cinemática de la Patícula. 1 y po consiguiente V at () t v t k + at () t + v t k + () t ( x + v t) i + z + v t+ k ox oz at Obsevamos que la patícula en su movimiento pemanece en el plano Oxz. I-3c. Movimiento de un poyectil FIG. 14 Un ejemplo de movimiento con aceleación constante es el de un poyectil lanzado ceca de la supeficie de la Tiea cuando puede despeciase el ozamiento del aie. En ese caso, el poyectil posee una aceleación constante diigida veticalmente hacia abajo. Si escogemos el eje Oz vetical y con su sentido positivo hacia aiba, el eje Ox hoizontal en el sentido de la componente hoizontal de la velocidad cumpliá: a gk v vcos θ i + ( vsenθ gt)k ( x + v cos θ t) i + z + v senθ t gt k La tayectoia del poyectil es una paábola con concavidad negativa. Paa pobalo, calculemos z en función de x. 1 Cuso 1999

22 INSTITUTO DE FÍSICA FACULTAD DE INGENIERÍA v z z + v oz ox x x t v ox ( x x ) ( x x ) Supongamos que el poyectil se lanza desde un punto de la supeficie teeste que hacemos coincidi con el oigen de coodenadas. En ese caso la tayectoia del poyectil estaá dada po: voz g z x. v v x ox El alcance D del poyectil estaá dado po la intesección de la tayectoia con la supeficie teeste. En otas palabas, seá el valo de x paa el cual z vuelve a anulase. g v ox ox FIG. 14 alcance máximo se obtiene paa dicho ángulo y vale ox v vz v senθ D g g Como el máximo valo de sen θ o es 1 paa θ 9 o sea θ 45 o, el Conviene ecoda que paa obtene este esultado, hemos despeciado una seie de fenómenos que intevienen en el movimiento eal de poyectiles: v 1) No hemos tomado en cuenta la esistencia del aie, que ejece una fueza opuesta al movimiento, dependiente de la velocidad y de la densidad del aie. ) Hemos ignoado las vaiaciones de la gavedad con la altua, debidas a la dependencia de la fueza de gavitación del cuadado de la distancia al cento de la Tiea. 3) Hemos ignoado el movimiento de la Tiea que hace que la tayectoia se desvíe levemente del plano Oxz, debido a las fuezas de Coiolis que analizaemos más adelante. g. Cuso 1999

23 MECÁNICA NEWTONIANA - Cinemática de la Patícula. 3 Esta situación es típica de toda descipción física de un fenómeno: uno modela el fenómeno teniendo en cuenta únicamente los elementos que paecen se más elevantes y si desea gana en pecisión se incluyen nuevos factoes en el modelo. El oden en que debemos inclui cada uno de los efectos dependeá de la impotancia elativa que cada uno tenga, y la intoducción sucesiva de los mismos nos iá dando esultados más pecisión. Hasta donde conviene complica el modelo dependeá de con cuanto eo queamos estima el esultado. Ejecicio: Discuta, a pioi 3, la impotancia elativa de los factoes antes mencionados, y en qué oden debeían se intoducidos en un modelo según estemos descibiendo el movimiento de los siguientes poyectiles, y en qué casos no tendía sentido intoduci alguno de los efectos: 1) Un poyectil o cohete lanzado en diección vetical intentando queda en óbita. ) Una pelota de papel que es lanzada desde la ventana de un edificio. 3) Un misil intecontinental que es lanzado en foma asante a la supeficie teeste. 4) Una pieda luna que un astonauta lanza a oto mientas exploan la supeficie de la Luna I-3d. Sistemas de coodenadas Aunque el método más simple paa localiza una patícula en el espacio es dase las componentes catesianas del vecto posición, existen muchos poblemas en que esulta conveniente tabaja con sistemas de coodenadas no catesianas. Estudiaemos algunos de los sistemas de coodenadas más usados, evaluando en cada caso las vaiables cinemáticas, posición, velocidad y aceleación. I-3d.i) Coodenadas polaes planas. 3 - Es deci, sin intenta modela matemáticamente los mismos. La esolución en foma exacta de uno u oto poblema seía un inteesante ejecicio paa plantease en el póximo capítulo. Cuso 1999

24 4 INSTITUTO DE FÍSICA FACULTAD DE INGENIERÍA Consideemos una patícula obligada a movese en un plano. Sea Oxy dicho plano, las componentes catesianas de la posición, velocidad y aceleación se obtienen imponiendo la condición z. Po ejemplo: xi + y j Las coodenadas polaes, θ están elacionadas con x, y po las siguientes ecuaciones ó x cosθ y senθ y x + y θ A tg x Al vecto unitaio en la diección definida al incementa dejando θ fijo, le llamaemos e FIG. 15 y al vecto unitaio de la diección definida al incementa θ dejando fijo, le llamaemos e θ. Dichos vectoes se pueden expesa en la base catesiana po: e cos θi + senθ j eθ senθi + cosθ j Obsévese que la diección de estos vectoes cambia con θ, en paticula de senθi + cosθ j eθ dθ de θ cos θi senθ j e dθ En coodenadas polaes, el vecto posición del punto P está dado po e Paa descibi el movimiento de una patícula en coodenadas polaes habá que da () t y θ () t lo que pemite detemina Cuso 1999

25 MECÁNICA NEWTONIANA - Cinemática de la Patícula. 5 θ () t ( t) e ( ( t) ) El vecto velocidad esulta se d d de dθ v e + e & + θ& e dθ Po consiguiente la velocidad tendá en geneal, componentes según v & v θ &, θ El vecto aceleación es dv de dθ deθ dθ a && e + & + && θe + && θe θ θ + θ& dθ dθ θ& & e + && θ+ && θ e ( ) ( ) θ y po lo tanto sus componentes según e y e θ son θ& a && & a θ+ && θ θ θ. e y e θ dadas po Ejemplo: Sin duda la aplicación más simple de estas coodenadas es al estudio del movimiento cicula. En ese caso () t R y po consiguiente v Rθ& eθ. La velocidad está diigida según la tangente a la cicunfeencia. Po ota pate: a Rθ& e + R&& θe θ El centípeta y R θ & se denomina aceleación témino R & θ la aceleación tangencial. FIG. 16 Cuso 1999

26 6 INSTITUTO DE FÍSICA FACULTAD DE INGENIERÍA dθ La cantidad ω se denomina la velocidad angula, se mide en adianes po segundo (ad/s ) o simplemente, s 1. Cuando la velocidad angula es constante ω cicula unifome: t R, θ & ω La velocidad v Rωe tiene componente centípeta ya que ω θ θ () ω, se dice que el movimiento es tiene módulo constante y la aceleación. a Rω e sólo θ tiempo. La aceleación centípeta se debe al cambio de diección del vecto velocidad en el El movimiento cicula unifome es un ejemplo de movimiento peiódico, la patícula pasa po cada punto de la cicunfeencia a intevalos iguales de tiempo. En efecto θ & ω o sea θωt+ C. Si en t,, θ θ esulta que C θ θ( t) ω t+. y θ y El peíodo T es el tiempo equeido paa da una vuelta completa, es deci θ( t + T ) θ( t) + π, o sea ω. ( t + T ) ωt+ π T π ω La fecuencia ν es el númeo de vueltas que da la patícula en una cantidad de tiempo 1 ν. T Cuando el peíodo se expesa en segundos, la fecuencia debe expesase en s 1, también llamados Hetz (Hz). Cuso 1999

27 MECÁNICA NEWTONIANA - Cinemática de la Patícula. 7 La velocidad angula, el peíodo y la fecuencia están elacionados po π ω π v. T I-3d.ii) Coodenadas cilíndicas. y ϕ actg x z z, Las coodenadas cilíndicas ρ,ϕ, z están definidas po las ecuaciones: ( ) o a la invesa x ρcosϕ, y ρsenϕ, ρ z z, Como en el caso de las coodenadas polaes planas definimos e ρ dejando z y ϕ fijos; FIG. 17 y ϕ fijos. Los vectoes e ρ, catesianas son: e ϕ incementando ϕ y dejando ρ y z fijos; e ϕ, e z e z x + y incementando ρ y incementando z y dejando ρ foman una base otonomal diecta. Sus componentes eρ cos ϕi + senϕ j eϕ sen ϕi + cosϕ j k El vecto posición de un punto P en coodenadas cilíndicas se expesa e z ρe + ze z ρ Cuso 1999

28 8 INSTITUTO DE FÍSICA FACULTAD DE INGENIERÍA El movimiento queda deteminado al dase ( t),ϕ( t) y z( t) ρ. En paticula la velocidad d deρ v ρ& e & ρ +ρ ϕ+ ze & z dϕ ρ& e & ρ +ρϕ eϕ+ ze & z y la aceleación dv deρ deϕ a ρ&& e & & & & e && e & ρ +ρ ϕ+ρϕ ϕ +ρϕ ϕ +ρϕ + && ze z dϕ dϕ & ρ ρϕ& e + ρϕ&& + & ρ & ϕ e + && ze ( ) ρ ( ) z ϕ Cuando el movimiento está estingido al plano z la pesente descipción coincide exactamente con la obtenida en coodenadas polaes planas. Po ota pate, si la patícula se mueve sobe la supeficie de un cilindo de adio R. a ( t ) R ρ v Rϕ& eϕ + z& e z Rϕ& e + Rϕ&& e + && z e z ρ ϕ I-3d.iii) Coodenadas polaes esféicas Las coodenadas polaes esféicas (,θ,ϕ) están definidas po las siguientes ecuaciones x senθcosϕ y senθsenϕ z cosθ FIG. 18 ρ Las coodenadas x e y se obtienen obsevando que la poyección de OP sobe el plano Oxy es OP ' senθ. Cuso 1999

29 MECÁNICA NEWTONIANA - Cinemática de la Patícula. 9 Los vectoes unitaios e, e θ, eϕ están definidos, como en los casos anteioes, incementando espectivamente, θ y ϕ. Esa tíada así odenada foma una base otonomal diecta 4. Sus expesiones en coodenadas catesianas seán: e sen θcosϕi + senθsenϕ j + cosθk eθ cos θcosϕi + cosθsenϕ j senθk e sen ϕi + cos ϕ j ϕ Se pueden obtene estas expesiones poyectando los vectoes e, e θ y eϕ sobe los ejes catesianos a pati de la figua 18; haciendo uso del vecto auxilia e ρ de coodenadas esféicas, obsevando que: e senθeρ + cosθk eθ cosθeρ senθk y usando las expesiones de coodenadas cilíndicas. Sin embago existe un método sistemático paa obtene esta descomposición en cualquie sistema de coodenadas. Se comienza expesando el vecto posición en la base catesiana. senθcosϕi + senθsenϕ j + cosθk. Los vectoes unitaios se obtienen deivando especto a la coodenada que es incementada y luego nomalizando el esultado. Es deci senθcosϕi + senθsenϕ j + cosθk. Como 1, entonces 4 - Es impotante acota que paa que esto sea así, el ángulo θ debe esta oientado como en la Figua, de manea que baemos todo el espacio cuando θ va de a π, asumiendo que ϕ va de a π. Es usual defini θ de foma que se mida a pati del plano Oxy, y en sentido contaio al de la Figua. En este θ vaía de - π/ π/ y e θ queda oientado en sentido contaio, po lo que la tena e, e θ, e ϕ es otonomal indiecta, y debemos intecambia e θ con e ϕ paa que se tone diecta. Cuso 1999

30 3 INSTITUTO DE FÍSICA FACULTAD DE INGENIERÍA Finalmente e senθcosϕi + senθsenϕ j + cosθk. cos θcosϕi + cosθsenϕ j senθk θ, entonces θ 1 eθ cosθcosϕi + cosθsenϕ j senθk θ sen θsenϕi + senθcosϕ j ϕ senθ, entonces ϕ e sen ϕi + cosϕ j ϕ Paa calcula la velocidad y la aceleación de una patícula es necesaio toma en cuenta que los vectoes unitaios vaían con el tiempo y po consiguiente nos esultaá útil evalua. e e e θ e ϕ senθ θ ϕ e θ eθ e eϕ cosθ θ ϕ e ϕ eϕ e senθ eθ cosθ θ ϕ y que, θ, Tomando en cuenta que el vecto posición se expesa e ( θ, ϕ) ϕ son funciones del tiempo, esulta que Cuso 1999

31 MECÁNICA NEWTONIANA - Cinemática de la Patícula. 31 d e & + θ+ & e v e ϕ& θ ϕ & e + θ& e + ϕ& sen θe θ ϕ y que + dv e && + & θ+ & e a e & ϕ& θ ϕ ( θ+ && θ) + θ& eθ θ θ+ & θ& e && e ϕ& θ ϕ + θ ( ϕ θ+ ϕ θ+ ϕθ& eϕ & & sen && sen & cosθ) e + ϕ& senθ θ& e + ϕ& sen θ ϕ ϕ& ϕ ϕ θ Sustituyendo las deivadas de los vectoes unitaios obtenemos a ( θ& && ϕ& sen θ) e + + ( & θ+ & θ & ϕ& senθcosθ) eθ + + ϕ& senθ+ & ϕ& senθ+ ϕθ & & cosθ e ( ). Cuando el movimiento está estingido al plano Oxy se cumple π θ, θθ & & y se ecupean una vez más las expesiones de la velocidad y la aceleación en coodenadas polaes planas. ϕ I-3d.iv: Coodenadas Cuvilíneas o Intínsecas Oto sistema de coodenadas que nos seá de gan utilidad duante el cuso, seá el sistema de coodenadas intínsecas. El mismo descibe el movimiento de una patícula a tavés de una única coodenada, llamada abscisa cuvilínea y que la notaemos con la leta s; y una base otonomal diecta denominada el tiedo de Fenet, fomada po los vesoes tangencial t, Cuso 1999

32 3 INSTITUTO DE FÍSICA FACULTAD DE INGENIERÍA nomal n y binomal b. Esta descipción es altamente conveniente cuando, po alguna azón, se conoce a pioi, la tayectoia específica que sigue la patícula en estudio. Efectivamente, en muchos poblemas a estudia, la patícula estaá obligada a movese sobe una cuva pedeteminada, sea poque se tata de una agolla andando po un alambe con una foma dada, un cao en una montaña usa, o un poducto manufactuado moviéndose sobe una cinta tanspotadoa. En uno u oto caso existe cieta imposición al movimiento del cuepo en estudio que es lo que llamaemos vínculos. A continuación pasaemos a defini cada uno de los elementos antes mencionados y deci cómo quedan escitas las cantidades cinemática velocidad y aceleación, en estas coodenadas. Abscisa Cuvilínea. Como dijimos anteiomente, la ley hoaia () t tes ecuaciones escalaes x x() t, y y( t), z z( t), que en coodenadas catesianas es equivalente a da, nos da la tayectoia de la patícula. Efectivamente, estas ecuaciones dan la posición de una patícula en función del tiempo y a medida que vaía el tiempo ián descibiendo una cuva en el espacio. En foma genéica, no es necesaio que t FIG. 19 sea el tiempo, sino que la cuva puede se descita en función de un paámeto abitaio ξ; es deci, en coodenadas catesianas una cuva viene deteminada dando tes funciones escala x x( ξ), y y( ξ), z z( ξ). Un paámeto usual conveniente es la longitud de la cuva medida a pati de algún oigen O. Esta es la coodenada intínseca s. La misma está definida consideando un incemento difeencial en el paámeto ξ que desciba la cuva, de foma que: x y z d d ξ ξ ξ ( dx) i + ( dy) j + ( dz) k i + j + k ξ La distancia ecoida po el punto (difeencial de longitud de aco) es: 5 x y z ds d d ξ ξ ξ ( d ) ( dx) + ( dy) + ( dz) + + ξ 5 - Hay un pequeño detalle de que s puede cece en el mismo sentido de ξ o en sentido inveso. En el caso que oientemos s en sentido debeíamos agega un signo de menos ( ) antes de la aíz. O b s n P t Cuso 1999

33 MECÁNICA NEWTONIANA - Cinemática de la Patícula. 33 po lo que la distancia total, o longitud de aco, ecoida desde el punto O (siendo que este coesponde a la posición en la cuva en que el paámeto ξ ξ ) es: s ξ ( ξ) ξ dξ x ξ y + ξ z + ξ, entonces tendemos que, si la patícula pasa po el punto O en el instante t. En el caso paticula que tengamos las leyes hoaias x x( t), y y( t), z z( t) s t () t x& + y& + z& v() t t donde v () t x& + y& + z& es el módulo de la velocidad de la patícula. De esta manea podemos ubica la patícula en su movimiento sobe la cuva, ya que ella se encontaá a una distancia s(t) del punto O. Obsevemos que con la definición anteio s(t), siempe cece con el tiempo; o sea, así s(t) es la distancia ecoida po la patícula sobe la cuva. Sin embago, en algunas aplicaciones, puede se inteesante considea a la coodenada cuvilínea s como una distancia con signo, medida sobe la cuva que ecoe la patícula, desde un punto O de la cuva. El signo tendía elevancia paa decinos si la patícula se encuenta a un lado u oto de O. Paa tene en cuenta esto, en la definición anteio de s en función del tiempo, alcanzaía que estemos atentos a cuándo la velocidad cambia de signo 6 ; y cuando lo haga, cambiemos el signo de la aíz, ya que el movimiento seía en sentido contaio. Es deci, consideaíamos el módulo de la velocidad v () t con signo: v () t ± x& + y& + z& según la patícula se mueva en un sentido u oto sobe la t t 6 - Paa tene en cuenta esto debemos estudia los cuces po ceo de la velocidad, ya que nosotos consideaemos solo funciones continuas de velocidad y posición. No consideaemos casos en que la velocidad o la posición pesenten discontinuidades. Cuando la velocidad cambia buscamente y tiene una discontinuidad se dice que el movimiento es impulsivo, y no lo estudiaemos en este cuso. Si la posición cambiase buscamente de valo y pesentase una discontinuidad, estaíamos en pesencia de velocidad infinitas, que no son aceptables físicamente. Recodemos que paa velocidades cecanas a la velocidad de la luz la Mecánica Newtoniana deja de se conveniente paa el estudio de los fenómenos involucados en el poblema. Cuso 1999

34 34 INSTITUTO DE FÍSICA FACULTAD DE INGENIERÍA cuva. 7 La conveniencia de una u ota definición vendá dada po el poblema paticula en estudio. Vecto Tangente y Velocidad. Ya dijimos en la sección I-3b, que a medida que el incemento de tiempo ente dos instantes se tona infinitesimal, el desplazamiento coespondiente tiende a se tangente a la cuva, como muesta la Figua 11. Así que podemos defini el siguiente vecto que es tangente a la cuva: d t lim ds s s Es fácil ve que, po la definición de coodenada cuvilínea s, este vecto tangente es un veso o vecto unitaio, ya que: t d ds ( d ) ( ds) ( ds) ( ds) 1 Es inmediata la demostación de que la velocidad siempe está diigida según la tangente: d d ds v & st & ds ds Obseva que esto es coheente con que s & v() t sea el módulo con signo de la velocidad. El signo dependeá de cómo oientemos el veso tangente t. Nomal, Binomal y Aceleación. Ahoa obsevemos que este veso tangente, si bien siempe mantiene su módulo constante e igual a uno, cambia de diección con el tiempo, a medida que la patícula va 7 - Esta discusión suge debido a que, paa una descipción conveniente paa una cuva en el espacio en la foma x x( ξ), y y( ξ), z z( ξ), el paámeto ξ debe detemina unívocamente un punto sobe la cuva. Mientas que en la descipción a tavés del tiempo t, la patícula puede pasa po el mismo punto paa difeentes instantes. Cuso 1999

35 MECÁNICA NEWTONIANA - Cinemática de la Patícula. 35 ecoiendo la cuva (salvo que esta sea una ecta, caso paticula que no nos inteesa estudia po este método). Po lo tanto podemos intenta deiva especto al tiempo la siguiente igualdad: t t t 1 o sea: ( t ) t t + t t t t t t & & & Esta es una popiedad geneal de los vesoes que vaían en el tiempo, su deivada especto al tiempo es pependicula al popio vecto. En este caso en paticula se cumpliá también que: t & ds ds s& ds po lo que como t & es paalelo a, y este vecto es también pependicula al vecto tangente. ds Definiemos un veso que tenga la diección de este último, y, como es pependicula a la tangente le llamaemos veso nomal: n ρ ds siendo ρ ds 1 paa que n sea veso. A ρ se le llama adio de cuvatua de la tayectoia, y la diección de n la elegiemos de foma que ρ sea siempe positivo. Esto haá que po convención, n esté diigido hacia el inteio de la cuva, o sea, en la diección en que ella se dobla. El adio de cuvatua seá mayo cuanto más chico el módulo de la deivada ds t d, es deci cuanto meno el cambio en la tangente especto a la longitud de la cuva, o sea, más abieta sea la cuva. En el caso extemo de que, el adio de cuvatua ρ tendeá a infinito y la nomal ds no estaá definida. Salvo en algún punto singula de poco inteés paa nosotos, esto solo ocue en el caso de una ecta, en la que obviamente todas las diecciones pependiculaes a la tangente pueden definise como vesoes nomales sin pede genealidad. & Cuso 1999

36 36 INSTITUTO DE FÍSICA FACULTAD DE INGENIERÍA Finalmente, paa detemina completamente el tiedo de Fenet, definiemos oto veso, también nomal a la cuva peo al que llamaemos binomal, poque a pati de su definición, seá pependicula tanto a la tangente como a la diección hacia la que se dobla la cuva: b t n Y con este veso binomal, b, la tíada t, n, b seá una base otonomal diecta. Finalmente, veemos como queda la aceleación de una patícula en este sistema de coodenadas: o sea: a v& ( st & ) ds && st + st & & && st + s& && st + s& ds n s& a && st + ρ Como vimos antes, la expesión de velocidad de una patícula escita en coodenadas intínsecas, nos dice que la misma es tangente a la cuva. Ahoa vemos que su aceleación tiene una componente tangencial, que depende de la apidez con que aumenta el módulo de la velocidad & s () s&, y ota componente según la nomal, que es popocional al módulo de la velocidad al cuadado y al inveso del adio de cuvatua ρ. La aceleación no tiene componente según la binomal. n ρ Cuso 1999

37 MECÁNICA NEWTONIANA - Cinemática de la Patícula. 37 Ejecicio: Demosta que en una cuva plana cualquiea x x( ξ), y y( ξ), z contenida en el plano Oxy, la tangente y la nomal están contenidas en dicho plano mientas que la binomal es b ± k. pependicula al mismo ( ) Ejemplo: Consideemos nuevamente el ejemplo del movimiento cicula estudiado anteiomente. Como vimos, paa el mismo se cumple que: j k i y R e t ϕ n ϕ(t) R ( t) e o sea, en coodenadas cilíndicas: ( t) R ϕ() t ϕ() t, que en catesianas es: () z t x( t) R cos( ϕ( t) ) y() t R sen( ϕ() t ). () z t Donde la velocidad es: v Rϕ& sen cos lo que vimos es: v Rϕ& e ( ϕ( t) ) i + Rϕ& ( ϕ( t) ) j FIG. Queemos el tiedo de Fenet y la coodenada cuvilínea s en función de ϕ(t). Tendemos que, asumiendo que ϕ(t ), y medimos s desde el punto Ri, debemos hace: s e n t () t x& + t x y& ϕ Cuso 1999

38 38 INSTITUTO DE FÍSICA FACULTAD DE INGENIERÍA donde x& e y& son las coodenadas catesianas de la velocidad, que nos dan: s t () t R ( ϕ& cos ( ϕ() t )) + ( ϕ& sen( ϕ( t) )) t Si le damos a s&, que es el integando de la ecuación anteio, el mismo signo que a ϕ&, de manea que s y ϕ cezcan en el mismo sentido: s t () t ϕ& R ( cos ( ϕ() t )) + ( sen( ϕ( t) )) R ϕ & R dϕ Rϕ t t ϕ esultado que ya es bien conocido de geometía que es que la longitud de aco de la cicunfeencia es el ángulo del mismo po el adio. Luego, como ya sabemos: v Rϕ& e ϕ st & po lo que también deducimos que t eϕ. Usando lo que ya sabemos de las coodenadas cilíndicas el veso nomal vendá deteminada po: n de donde deducimos que: t & 1 ρ ρ ρ ρ e& ds ds s& s& ϕ ρ ϕ& e s& n ρ R. e t ρ ϕ& e Rϕ& ϕ ( t ) ρ e R Obseva que el veso nomal es según e y no según e poque debe se entante y no saliente, po aquello de que se diige hacia donde la cuva se ciea, paa que el adio de cuvatua así definido sea positivo. Finalmente paa tene el tiedo de Fenet completo debemos halla la binomal, que viene definida po: Cuso 1999

39 MECÁNICA NEWTONIANA - Cinemática de la Patícula. 39 Cuso 1999 ( ) k e e e e n t b ϕ ϕ po lo que el tiedo de Fenet es la base k e e,, ϕ, y la aceleación se escibe como: ( ) ( ) e R e R e R R e R n s st a & && & && & && ϕ ϕ ϕ + ϕ ρ + ϕ ϕ o sea, el mismo esultado que teníamos paa coodenadas polaes.

40 4 INSTITUTO DE FÍSICA FACULTAD DE INGENIERÍA I-4. Movimiento Relativo "Así, supongamos el conjunto de piezas que pemanecen sobe los cuados de un tableo de ajedez. Decimos que están en el mismo luga, que no se han movido, aunque quizás el tableo haya sido movido, entetanto, de una habitación a ota." Jhon Locke Ensayos sobe el entendimiento humano. I-4a Intoducción. En el numeal anteio obsevamos que esulta imposible detemina las posiciones absolutas de los objetos y sólo podemos medi distancias o intevalos ente puntos. Efectivamente, cada vez que nos efeimos a la posición de un punto P, la expesamos en una deteminado sistema de coodenadas a tavés de un vecto posición: P. Este vecto da la posición elativa del punto especto al oigen O del sistema de coodenadas, lo que es clao si hacemos uso de la notación de un vecto como difeencia ente dos puntos: P O 8. El vecto al que hacemos P PO FIG. 1 efeencia nos daá la posición del punto P, si medimos el mismo a pati del oigen de coodenadas O. Como veemos en las secciones siguientes, el movimiento del punto P no seía el mismo, si consideásemos que el punto O está fijo que si está en movimiento especto a oto punto; o la descipción en coodenadas no seía la misma si la base i, j, k está fija que si se está moviendo. Es más, anteiomente ya vimos difeentes sistemas de coodenadas, en algunos casos los vesoes que fomaban la base de los mismos ean fijos, en otos ean móviles. Uno puede pensa entonces x z O P P y 8 - Ve Sección.4.a.ii en Capítulo. Cuso 1999

41 MECÁNICA NEWTONIANA - Cinemática de la Patícula. 41 que pensa en sistemas de coodenadas moviéndose ente sí suge natualmente de nuesto estudio anteio de los sistemas de coodenadas. Esto lleva a un concepto más amplio que es el de Sistema de Refeencia. 9 Po esta azón el movimiento es un concepto elativo y depende siempe del sistema de efeencia escogido. Como es posible escoge difeentes sistemas de efeencia, es impotante detemina como están elacionadas las descipciones hechas desde difeentes sistemas. Po ejemplo compaemos obsevaciones del movimiento de la Luna hechas desde dos sistemas, uno situado en el Sol, al que llamaemos sistema S, y oto situado en la Tiea, al que llamaemos T. El obsevado teeste que usa el sistema T obsevaá que la Luna sigue una tayectoia apoximadamente cicula alededo de la Tiea, mientas que vista desde el sistema S, la óbita de la Luna apaeceá como una línea ondulada muy póxima a la tayectoia elíptica de la Tiea. Resulta obvio que ambos movimientos están elacionados y que seía posible pasa de uno al oto si tomáamos en cuenta el movimiento de la Tiea en tono al Sol; o sea, el movimiento de T especto de S. Como ya indicamos anteiomente la elección del sistema de efeencia es cuestión de conveniencia.se escoge el sistema de modo que la descipción del movimiento esulte más sencilla. El movimiento de la Luna po ejemplo se descibiá más fácilmente especto a la Tiea y el del Sol especto al cento de la Galaxia. I-4b Sistemas de efeencia con movimiento de taslación elativa. Consideemos dos sistemas de efeencia S Oxyz y S O'x'y'z' cuyos ejes tienen la misma oientación peo tales que el oigen O' del segundo tiene un movimiento dado especto de O del pimeo. Nos inteesa compaa las descipciones del movimiento de cieto objeto A vistas desde ambos sistemas. En el ejemplo anteio, A seía la Luna, S un sistema situado en el Sol y S' un sistema situado en la Tiea. 9 - La natualeza e impotancia de los sistemas de efeencia quedaá claa en el póximo Capítulo de Dinámica de la Patícula. Po ahoa aclaemos que un sistema de efeencia es algo más que simplemente da un sistema de coodenadas, como lo haemos a lo lago de este Capítulo. Po ejemplo, en la Figua, si el punto O no se moviese especto a O, entonces el movimiento de cualquie patícula seía el mismo especto a los sistemas S y S. Ambos sistemas S y S seían equivalentes desde este punto de vista, y peteneceían al mismo sistema de efeencia, aunque aún seguiían siendo difeentes como sistemas de coodenadas. El concepto de sistemas de efeencia está asociado también al de movimiento de cuepo ígido, que estudiaemos en la segunda pate del cuso. Si quisiésemos una definición esticta de sistemas de efeencia, po ahoa podíamos deci que un sistema de efeencia es una clase de equivalencia de todos los sistemas de coodenadas que no están en movimiento especto a los demás sistemas de la clase. Cuso 1999

42 4 INSTITUTO DE FÍSICA FACULTAD DE INGENIERÍA S Los vectoes posición del punto A vistos desde O y O' están elacionados po ( t) oo '( t) + '( t) S donde paa simplifica la notación le hemos A llamado al vecto OA A O y al vecto O A A O, peo mantenemos explícita la notación paa el vecto O O O O, que es la posición del oigen de coodenadas del sistema S especto al S. Supondemos que el tiempo usado en ambos sistemas paa descibi el movimiento es el FIG. mismo. Este es un postulado básico de la Mecánica Newtoniana que implica, en otas palabas, que las mediciones del tiempo no dependen del movimiento del obsevado y que dos elojes situados en O y O' una vez sinconizados seguián macando lo mismo. Como ya hemos obsevado esto es cieto sólo si las velocidades involucadas en el poblema son mucho menoes que la de la luz. La velocidad v de A especto al sistema S se define d d x d y d z v i + j + k y la velocidad de A especto de S' es d ' d x' d y' d z' v' i + j + k. Hacemos nota que paa ambos sistemas la base i, j, k que detemina los ejes de los sistemas, es la misma, y como hicimos anteiomente podemos consideala fija especto a los mismos. Finalmente v d d x d y i + j oo' oo' oo' oo' + d z oo' k es la velocidad del oigen del sistema S especto de S. Cuso 1999

43 MECÁNICA NEWTONIANA - Cinemática de la Patícula. 43 Deivando especto de t la elación ente los vectoes de posición esulta v () t v ( t) + v' ( t). oo' La velocidad de una patícula especto del sistema S es igual a la velocidad especto del sistema S' más la velocidad con que el sistema S' se mueve especto de S; que es pecisamente la velocidad de su oigen de coodenadas O especto del sistema S. Deivando nuevamente esta expesión obtenemos una elación análoga paa las aceleaciones dv dvoo' dv' a() t + aoo' () t + a' (). t Po lo geneal se le suele llama al sistema S Oxyz sistema fijo, al S O'x'y'z' sistema móvil. A la velocidad v de la patícula especto al sistema llamado fijo se la denomina velocidad v ; a la velocidad v ' especto al sistema móvil se la llama velocidad absoluta, o simplemente A elativa, o v R ; y a la velocidad del sistema móvil especto del fijo v oo' se la denomina velocidad de tanspote o de aaste, y se la suele nota como v T. Los mismos nombes se aplican a las aceleaciones espectivas. Las elaciones anteioes establecen entonces que: la velocidad (aceleación) absoluta es igual a la velocidad (aceleación) elativa más la velocidad (aceleación) de tanspote. 1 Un impotante caso paticula de la última elación obtenida ocue cuando el sistema móvil se desplaza con velocidad constante especto del fijo En este caso dv oo ' y a t a' t ( ) ( ). La aceleación con especto a sistemas de efeencia con movimiento elativo de taslación unifome es la misma 1 - Obsevemos que esta nomenclatua es poco adecuada, ya que toda velocidad o aceleación es elativa a algún sistema y no conviene po lo tanto habla de velocidades o aceleaciones absolutas. Igual la utilizaemos po se muy común. Hay que tene en cuenta que estos son solo nombes, y siempe debe especificase bien especto a qué sistemas las mismas están siendo medidas, o sea, cuál es el sistema absoluto y cuál el elativo. Cuso 1999

44 44 INSTITUTO DE FÍSICA FACULTAD DE INGENIERÍA Ejemplo. Cuentan los conistas que Cistóbal Colón descubió tiea siguiendo el vuelo de cietas aves mainas que egesaban a tiea al atadece. Si suponemos que la naves se movían hacia el oeste con una velocidad de 15 km/h y que vistas desde las naves las aves se diigían hacia el su con una velocidad de 3 km/h. En qué diección debió via paa enconta tiea?. El poblema consiste en detemina la diección que debe tene la velocidad del baco con elación al sistema M del ma. FIG. 3 Paa enconta tiea esta debe se colineal con la velocidad de las aves especto del ma ( Sistema M). La velocidad de las aves especto de las naves es v' 3 j km/ h. La velocidad de la nave es 15i km / h. v NM y po consiguiente la velocidad de las aves especto al ma es v 15i + 3 j km / h. y po consiguiente la nave debe via al su un ángulo 3 α A tg A tg. 15 Obviamente Colón se las aegló paa llega a tiea sin conoce las eglas del movimiento elativo, y no existía en su época la Mecánica Newtoniana, peo no conviene segui su ejemplo si se petende apoba este cuso. Cuso 1999

45 MECÁNICA NEWTONIANA - Cinemática de la Patícula. 45 I-4c. Sistemas de efeencia con movimiento elativo de otación. Consideemos ahoa dos sistemas de efeencia S Oxyz y S O'x'y'z', con oigen de coodenadas común O O, cuyos ejes otan uno especto del oto. En otas palabas, la oientación de los ejes del sistema S especto de los de S va cambiando en el tiempo. Si intoducimos los vectoes otonomales de las bases asociadas a cada sistema, y les llamamos i, j, k a los de S, e i, j, k a los de S, el vecto posición se puede expesa como: xi + y j + z k o bien x'i' + y' j' + z' k'. En este caso, ya que O y O' coinciden, FIG. 4 el vecto posición es el mismo, o sea: sólo cambian sus componentes, poque en uno y oto sistemas de coodenadas lo expesamos en una base difeente. 11 I-4c.i) Deivada de un Vecto Respecto a Sistemas de Refeencia en Movimiento. Obsévese que expesiones análogas valen paa las componentes de un vecto cualquiea A. En efecto según el sistema de efeencia elegido A Ax i + Ay j + Az k A Ax ' i ' + Ay ' j' + Az ' k ' Esta situación es típica de los sistemas en otación elativa. En el caso anteio de sistemas en taslación, si bien cambiaban los vectoes posición de una patícula, las componentes de un vecto libe ean las mismas en ambos sistemas. La deivada de cualquie vecto estaba definida po 11 - Po los detalles del concepto de un vecto y su expesión en coodenadas, y de cómo deben de cambia estas al cambia de base, efeise a la Sección.3.b del Capítulo. Cuso 1999

46 46 INSTITUTO DE FÍSICA FACULTAD DE INGENIERÍA d A A t lim ( + t) A( t). t t Cuando los sistemas de coodenadas otan uno especto al oto nos encontamos con una dificultad. Un vecto puede esta fijo especto a uno de los sistemas y ota especto del oto. Es deci que la foma en que cambian sus componentes depende del sistema de coodenadas. Po ejemplo, los sistemas de la base i, j, k están fijos especto a S, poque foman pate de dicho sistema, mientas que po la popia definición otan en tono a S. Po consiguiente, la deivada de un vecto especto del tiempo depende del sistema de efeencia, es deci, depende de la base de vectoes que se considee como fija. Definimos la deivada d especto al sistema S Oxyz po d A A& x i + A& y j + A& z k y la deivada d' especto al sistema S O'x'y'z' es d' A A& x ' i ' + A& y ' j' + A& z ' k ' Ambas deivadas se pueden elaciona ecodando que el cambio de las componentes especto a Oxyz se debe a dos factoes. En pime luga cambian las componentes del vecto especto a O'x'y'z' y en segundo luga los vectoes i ', j', k ' se mueven especto al sistema Oxyz. Po lo tanto d A d( A i ) d( A j ) x ' ' y ' ' d ( Az ' k ') + + d A di ' d j' dk ' A& x ' i ' + A& y ' j' + A& z ' k ' + Ax ' + Ay ' + Az ' A continuación veemos que siempe es posible calcula explícitamente las deivadas de la base móvil i ', j', k ' en téminos de un vecto que caacteiza la otación del sistema O'x'y'z' especto del Oxyz, llamado velocidad angula. Velocidad Angula Cuso 1999

47 MECÁNICA NEWTONIANA - Cinemática de la Patícula. 47 Comencemos expesando las deivadas de los vectoes i ', j', k ' en la misma base móvil. di ' a1 i ' + a1 j' + a13 k ' d j' a 1 i ' + a j' + a3 k ' dk ' a3 1 i ' + a3 j' + a33 k ' Los vectoes móviles i '() t, j' () t, k '( t) otonomalidad siguientes: i '. i ' 1 j'. j' 1 k '. k ' 1 i '. j' j'. k ' k '. i ' po lo tanto deivando la pimea de estas ecuaciones tenemos que di ' di '. i ' + i '. di ' es deci. i ' de las elaciones análogas paa j' y k ' esulta d j' dk '. j'. k ' o sea que a11 a a33. Po ota pate deivando la ecuación i '. j' obtenemos: d i ' d j'. j' i '. satisfacen en todo instante t las elaciones de Cuso 1999

48 48 INSTITUTO DE FÍSICA FACULTAD DE INGENIERÍA pocediendo análogamente con las otas dos elaciones de otogonalidad se obtiene que: d j' dk ' d k ' di '. k ' j'. y. i ' k '. elaciones que implican a a a a, a. 1 1, a1 3 Si intoducimos ahoa el vecto velocidad angula ω siendo ω ω x ' i ' +ω y ' j' +ω z ' k ' donde ωx ' a 3, ωy ' a31, ωz ' a1. Se cumple: di ' ωz ' j' ωy ' k ' ω i ' d j' ωz ' i ' +ωx ' k ' ω j' dk ' ωy ' i ' ωx ' j' ω k '. Dada la impotancia que tiene el concepto de velocidad angula en este cuso, no solamente en el estudio de sistemas en movimiento sino en toda la segunda pate del cuso, efeente a Sistemas Rígidos, se da en el Apéndice de este Capítulo ota deducción levemente difeente y menos diecta, peo más elegante de la deducción de estas expesiones; peo que nos dan una fómula geneal de la velocidad angula de un sistema en movimiento. Relación Fundamental ente Deivadas de un Vecto. o sea: Volviendo a la foma de la deivada de un vecto, podemos escibi: d A d' A + A x' ω i + Ay' ω j + A z' ω k Cuso 1999

49 MECÁNICA NEWTONIANA - Cinemática de la Patícula. 49 d A d' A +ω A Esta es la elación fundamental ente las deivadas asociadas a distintos sistemas de coodenadas. Obsévese que si las coodenadas de un vecto B en el sistema móvil S O'x'y'z' no vaían, es deci si dicha ecta está en eposo en el sistema móvil, se cumple: d B ω B. d La deivada especto del sistema Oxyz, también es llamada deivada especto al sistema fijo o deivada absoluta, poque deja fijos los vectoes del sistema S, al que podemos llama sistema absoluto, en el abuso de la nomenclatua intoducida anteiomente y se la suele nota como d A. La deivada d ' es llamada deivada especto al sistema móvil o deivada elativa, notándosela como d R d t. La elación fundamental establece que: la deivada absoluta de un vecto es igual a la deivada elativa más la deivada absoluta que tendía dicho vecto si se encontaa en eposo en el sistema móvil. cumple En el caso paticula que el vecto que deseamos deiva es la popia velocidad angula se dω d' ω poque el poducto vectoial de cualquie vecto po sí mismo da ceo. Po se la deivada de la velocidad angula de un sistema especto al oto, la misma especto a cualquiea de los dos, podemos usa sin ambigüedades la notación ω. Intepetación de la Velocidad Angula. Cuso 1999

50 5 INSTITUTO DE FÍSICA FACULTAD DE INGENIERÍA Analicemos más detalladamente el significado del vecto velocidad angula ω. Sea B un vecto fijo en el sistema móvil, es deci que d B ω B. B Entonces se cumple paa t suficientemente pequeño : B () t B( t+ t) B() t ω() t B( t) t. Usando la definición del poducto vectoial esulta que B () t es tangente a una cicunfeencia de cento C, poyección de B sobe ω y adio B senθ. Su magnitud vale B Bsenθ ω t ( )( ) FIG. 5 Po ese motivo los vectoes en eposo especto de un sistema móvil se compotan como si en el instante t otasen alededo de un eje que pasa po O en la diección de ω. En geneal la diección de ω vaía a medida que el tiempo tanscue po lo que la diección del eje también lo hace. I-4c.ii) Fómula de Cambio de Velocidad. Volvamos ahoa a la descipción del movimiento de una patícula situada en P vista desde dos sistemas de efeencia en otación elativa. Como los oígenes O y O' coinciden, ya habíamos visto que el vecto posición de P es el mismo en ambos sistemas y sólo difieen sus componentes. Estamos ahoa en condiciones de elaciona las velocidades especto de ambos sistemas de coodenadas. La velocidad especto del sistema S Oxyz es: Cuso 1999

51 MECÁNICA NEWTONIANA - Cinemática de la Patícula. 51 d d x d y d z v i + j + k mientas que la velocidad vista po un obsevado situado en el sistema móvil es: d' d x' d y' d z' v' i ' + j' + k ' Ambas expesan la vaiación del mismo vecto visto en dos sistemas distintos de coodenadas y están elacionadas po: d d ' +ω o sea v v' +ω Esta ecuación pemite elaciona la velocidad especto al sistema fijo S Oxyz, también llamado sistema absoluto ( v es la velocidad absoluta, po lo que también se la suele escibi como v A ), con la velocidad v ' especto al sistema móvil S O x y z, también llamado sistema elativo ( v ' es la velocidad elativa o v R ). I-4c.iii) Fómula de Cambio de Aceleación. Paa calcula la elación ente las aceleaciones obsevemos que la aceleación especto al sistema fijo Oxyz o aceleación absoluta está dada po: dv d a && xi + && y j + && z k y la aceleación especto al sistema móvil o aceleación elativa po: d' v' d' a' && x' i ' + && y' j' + && z' k ' y utilizando una vez más la elación fundamental paa la deivación de un vecto esulta: d v d( v' +ω ) d v' dω d a + + ω Cuso 1999

52 5 INSTITUTO DE FÍSICA FACULTAD DE INGENIERÍA d' v' dω d' + ω v' + + ω + ω ( ω ) d' v d' d' Obsevando que a' y que v', poque tenemos los oígenes O y O coincidentes de foma que ' ; y agupando en téminos, la ecuación anteio toma la siguiente foma: dω a a' + ω ( ω ) + + ω v'. Esta elación ente la aceleación absoluta ( a a A ) ( a ) y la aceleación elativa a R es llamada Teoema de Coiolis. 1 Obsévese que una patícula en eposo en el sistema O'x'y'z', tendía una aceleación dω a T ω ( ω ) + llamada aceleación de aaste o tanspote poque coesponde a la aceleación con que una patícula es tanspotada al movese junto con el sistema móvil. El último sumando es a C ω v'. Este sumando se denomina aceleación de Coiolis y es no nulo sólo si la patícula se mueve especto al sistema móvil. Además esta velocidad no tiene que se colineal con la velocidad angula. Así entonces, paa este caso paticula de la otación del sistema móvil en tono al sistema absoluto tenemos que: Ejemplo 1: a a' + a T + a C 1 - La anteio es en ealidad una foma simplificada del mismo paa cuando se tata de dos sistemas cuyo oigen de coodenadas se mantiene coincidente (no hay movimiento de taslación). Cuso 1999

53 MECÁNICA NEWTONIANA - Cinemática de la Patícula. 53 k k FIG. 6 Se considean dos sistemas de efeencia con movimiento de otación elativo y oigen común Oz coincide con Oz' y una otación de ángulo ϕ lleva Ox a O'x'. Detemina la velocidad angula ω. Se cumple: i ' cosϕi + senϕ j j' senϕi + cosϕ j k k' i & ' senϕϕ& i + cosϕϕ& j ϕ& j' & j' cosϕϕ& i senϕϕ& j ϕ& i ' Obseva la semejanza que existe ente estas elaciones con las que elacionan las deivadas de los vesoes de coodenadas cilíndicas. De estas: ω ϕ& z a 1 po lo que esulta ω x ω y ω ϕ& k Esta elación es de suma impotancia en la intepetación conceptual de qué es la velocidad angula, y de la foma en que calculaemos ella en la páctica. Obsevemos, antes que nada que se tata de un movimiento plano, así llamado poque, aunque sea en tono del instante consideado, todos los puntos se moveán en un plano pependicula al eje Oz, que se mantiene fijo. O sea, la nomal k al plano del movimiento de todos los puntos del sistema O x y z se mantiene constante. En este tipo de movimiento extemadamente paticula, la velocidad angula queda oientada pecisamente en la diección de esa nomal; o sea: ω ωk con ω ϕ Cuso 1999

54 54 INSTITUTO DE FÍSICA FACULTAD DE INGENIERÍA Es inmediato ve que el nombe de velocidad angula está elacionado con que esta ecuación nos dice que el módulo (con signo) de ese vecto es igual a la deivada del ángulo ϕ; o sea, la apidez con que ϕ cece: ϕ ω ϕ lim t t Haciendo una compaación con el concepto de velocidad como la deivada de la posición, definido anteiomente, suge natualmente la idea de velocidad angula. Desde un punto de vista páctico, este esultado nos sive poque cada vez que tengamos un movimiento plano, la velocidad angula podá escibise de esta foma. Donde es impotante aclaa que ϕ es aquí simplemente el ángulo ente uno de los ejes del sistema fijo y uno de los ejes del sistema móvil, medido a pati del pimeo de ellos hacia el segundo 13 y de esta manea, dado que k es saliente de la hoja, el ángulo ϕ cece en sentido antihoaio, visto desde el extemo de k. Ejemplo : Una patícula está situada a una distancia d del oigen medida sobe el eje Ox' de la Fig. anteio, y pemanece en eposo especto al sistema móvil. Detemina la velocidad y aceleación vista desde el sistema fijo Oxyz. Se cumple que v ' y que a ' ya que las coodenadas de la patícula especto del sistema móvil no vaían. Po lo tanto: v ω ϕ& k d i ' dϕ& k i ' dϕ& j'. La magnitud de la velocidad es d ϕ& y la diección es pependicula a la del vecto posición. Este esultado ea espeable ya que en este caso la patícula se mueve sobe una cicunfeencia de adio d descibiendo un movimiento cicula. Recodando las definiciones de los vectoes unitaios en coodenadas polaes esulta que: i ' e j' e ϕ y po tanto paa un movimiento cicula se tiene que v dϕ& e dϕ& ϕ j' en cuanto a la aceleación: 13 - La diección en que medimos ϕ es impotante poque si el sistema gia hacia un lado u oto su deivada tendá difeente signo. Cuso 1999

55 MECÁNICA NEWTONIANA - Cinemática de la Patícula. 55 dω a at ω ϕ& k ϕ& k di ' +ϕ&& k di ' ( ω ) + ( ) ϕ& k dϕ& j' + dϕ&& j' dϕ& i ' + dϕ&& j'. que no es ota cosa que la expesión de la aceleación de un punto con movimiento cicula. Ejemplo 3. Consideemos ahoa que una patícula que se mueve con velocidad constante a lo lago del eje O'x' dada po: v' v '. En t la patícula se encuenta en la posición ' di '. i Detemina la velocidad y la aceleación de la patícula especto al sistema fijo. La posición de la patícula en el sistema que ota es ' d v t ( ) i' FIG. 7 y en el sistema fijo el vecto posición estaá dado po d v t cosϕi + senϕ j ( )[ ]. Es deci que, vista desde el sistema fijo, la patícula no sólo se aceca al cento sino que va otando y descibe una tayectoia espial. La velocidad especto al sistema fijo estaá dada po v v' +ω Cuso 1999

56 56 INSTITUTO DE FÍSICA FACULTAD DE INGENIERÍA v' i ' +ϕ& i v i ' + k ' ( d v ' t ) ' ( d v ' t ) ϕ& '. ' j Paa calcula la aceleación especto al sistema fijo ecodemos que y evaluemos cada uno de los sumandos. a a' + a T + a C La aceleación elativa es dv ' a' i '. la aceleación de tanspote vale a T ϕ& k ϕ& k ( d v t ) i ' +ϕ&& k d v d v t ϕ& i ' + d v ' t ϕ&& ( ) ( ' t ) ' ' i ' j ( ) ( ) ' y la de Coiolis a c & ( v ' i ') v ' ϕ& '. ϕk j La aceleación elativa a ' es nula ya que la patícula se mueve con velocidad elativa constante. La aceleación de tanspote coesponde a la que tendía una patícula que en el instante t se encontaa en eposo, especto al sistema móvil, a una distancia d v ' t del oigen. En cuanto a la aceleación de Coiolis su significado se puede detemina obsevando los téminos del vecto velocidad que han sido deivados paa su obtención: po una lado la magnitud de la velocidad tangencial ( d v ' t )&ϕ j' disminuye a medida que nos acecamos al oigen y po oto la componente adial de la velocidad v ' i ' cambia de diección a medida que el eje i ' ota. También se puede compaa cada uno con su oigen en la deducción teóica de la aceleación de Coiolis. Obsévese que la velocidad absoluta y la aceleación absoluta podían habese obtenido diectamente deivando d v Cuso 1999

57 MECÁNICA NEWTONIANA - Cinemática de la Patícula. 57 d a y veifique que el esultado es el mismo que el obtenido usando el Teoema de Coiolis. Este es un pocedimiento común paa veifica los esultados del teoema de Coiolis. La conveniencia de usa uno u oto método estaá dada po el poblema paticula en estudio. Ejemplo 4. Una homiga (con conocimientos de física) puede movese con una velocidad máxima V M y desea ecoe la distancia ABR ente puntos diametalmente opuestos de un disco que ota con velocidad angula ω constante, en línea ecta especto al sistema fijo. Calcula el tiempo mínimo necesaio paa ealiza dicho ecoido. Discuti paa que valoes de V M, ω, R no es posible egista dicha tayectoia. V VR + VT VR + ω el movimiento debe se según la diección y, po lo tanto: V AX. Poyectando según los ejes, y haciendo uso de cual es el movimiento deseado en el sistema absoluto es X : V M senϕ ωy V AY VM cos ϕ Y de la pimea se deduce que: Y V M sen ϕ ω y deivando: V ϕϕ M cos Y ϕ ω ω El hecho de que en este caso la velocidad angula del disco sea igual y opuesta a la deivada del ángulo ϕ no es coincidencia, sino sale del hecho de que, paa la homiga solidaia al disco, la ecta que ella desea segui, se mueve con velocidad angula opuesta a la que el disco tiene especto al sistema fijo. Esto lo veemos en geneal al final de este Capítulo. Cuso 1999

58 58 INSTITUTO DE FÍSICA FACULTAD DE INGENIERÍA Luego: ϕ ϕ ωt Obsevemos que ϕ decece a medida que la homiga avanza, así que el ángulo máximo es el inicial en que: ωr VM sen ϕ ωr senϕ VM ωr de aquí se deduce que paa que la tayectoia sea posible, se debe cumpli: 1. Si esto no fuese así, la velocidad angula del disco seía muy gande y la homiga no podía i lo suficientemente ápido como paa compensa el movimiento de aaste del disco y mantenese sobe la ecta deseada. Paa calcula el tiempo que le lleva hace el viaje: T T V R Y VM cos sen ω V M M ( ωt + ϕ ) ( ϕ t) T ω sen Rω V ( ϕ ωt ) + senϕ sen( ωt ϕ ) senϕ Esta ecuación tiene múltiples soluciones, ya que podemos deci que: M con n enteo. ωt ϕ ϕ + πn Es deci, la homiga llega al punto B en menos de una vuelta del disco, o en vueltas sucesivas. Como queemos halla el mínimo tiempo posible paa ello, esto seá así cuando n : ωt ϕ T ωr Asen ω V M I-4d. Caso geneal Cuso 1999

59 MECÁNICA NEWTONIANA - Cinemática de la Patícula. 59 Nos efeiemos ahoa al caso geneal de un sistema S'O'x'y'z' cuyo oigen se mueve y cuyos ejes otan especto al sistema fijo SOxyz. Los vectoes posición de P especto a los sistemas O y O' están elacionados po oo' + ' FIG. 8 Obseva que ahoa, a difeencia del caso anteio, debemos distingui claamente los vectoes y ' poque el oigen de coodenadas de los sistemas S y S' ya no es el mismo: OP P O O OO' ' P P O' O' O como indicados en la Figua 8. I-4d.i) Teoema de Rovebal. La velocidad de P especto al sistema fijo S seá: d d' d d oo' oo' d'' v + + +ω ' + v' +ω '. v oo ' Si la patícula está en eposo en el sistema S' O'x'y'z', v ' y la velocidad absoluta de la patícula coincide con la velocidad con que es tanspotada po el sistema móvil, así que ahoa la velocidad de aaste o tanspote es. v T v oo ' + ω ' Cuso 1999

60 6 INSTITUTO DE FÍSICA FACULTAD DE INGENIERÍA apaece Nota que debido a la difeencia ente los vectoes y ', y no como antes. ', ahoa en esta ecuación Con esa definición el Teoema de Rovebal queda expesado como: v v' + v T I-4d.ii) Teoema de Coiolis. En cuanto a la aceleación que agupando téminos conduce a dv d a v' d v oo' d'v dω d + +ω v' + ' +ω d v oo' d'v dω d' + +ω v' + ' +ω +ω ω ' a a ( v' + v ) T d'v d( voo ' +ω ' ) +ω + oo' dω + ' + ω ( ω ') + a' + ω v'. ( ) Como siempe la aceleación de tanspote se puede econoce suponiendo que P no se mueve especto al sistema móvil, en ese caso: a T a oo' dω + ' + ω ( ω ' ) y si consideamos la definición anteio de la aceleación de Coiolis: a C ω v' y con las definiciones anteioes ecupeamos el Teoema de Coiolis: Cuso 1999

61 MECÁNICA NEWTONIANA - Cinemática de la Patícula. 61 a a' + a T + a C donde, paa que sea la foma más geneal del mismo tenemos que usa la definición coecta de aceleación de tanspote anteio, donde esaltamos nuevamente que el vecto posición que apaece en ella es P O. I-4e. Adición de velocidades angulaes. Consideemos ahoa que queemos estudia el movimiento elativo ente vaios sistemas de efeencia. Dado que hemos estudiado detalladamente el movimiento de una patícula especto a dos sistemas con movimiento elativo, consideemos una patícula P, moviéndose abitaiamente en el espacio. Y consideemos tes sistemas de efeencia difeentes, a los que llamaemos: S : Sistema Absoluto. S 1 : Sistema de Aaste. S : Sistema Móvil. Solidaio a cada uno de estos sistemas de efeencia consideaemos un sistema de coodenadas solidaio a ellos con oígenes de coodenadas O, O 1 y O, espectivamente. A la velocidad angula del sistema S j especto al sistema S i le llamaemos ω. O sea: ji Cuso 1999

62 6 INSTITUTO DE FÍSICA FACULTAD DE INGENIERÍA ω 1 es la velocidad angula del sistema S 1 especto al S. ω 1 la del sistema S especto al S 1. ω la del sistema S especto al S. También utilizaemos un supeíndice i paa deci que estamos consideando la velocidad ( i ) de un punto especto a uno u oto sistema; o sea, v A es la velocidad de un punto A especto a un sistema S i. Consideando, paa simplifica, que ahoa P es solidaio al sistema S, es deci que su velocidad elativa especto a S es nula: 1) La velocidad de P especto a S es igual a la velocidad de tanspote de P especto a este sistema: v v + ω P ( ) ( ) ( ) P O O ) La velocidad de P especto a S 1 es ahoa la velocidad de tanspote especto a S : 1 1 v v + ω P () () ( ) P O 1 O 3) Y finalmente escibimos la velocidad de P especto al sistema S, peo haciendo uso de que la anteio es la velocidad elativa de P especto al sistema de aaste: 1 v v + v + ω P ( ) ( ) ( ) ( ) P P O 1 O 1 1 Sustituyendo la penúltima en la anteio y opeando se obtiene: v ( ) ( 1) ( ) v + ω ( P O ) + v + ω ( P O + O ) P O 1 O 1 O 1 1 () 1 ( ) + ω ( P O ) + v + ω ( P O ) + ω ( O ) vo 1 O1 1 1 O1 v () 1 ( ) + v + ω ( O O ) + ( ω + ω ) ( P ) O O O 1 Obsevemos que si P coincide con O tenemos, de la ecuación que daba la velocidad de P especto a S tendemos: 1 v v + v + ω O ( ) ( ) ( ) ( ) O O O 1 O 1 1 Cuso 1999

63 MECÁNICA NEWTONIANA - Cinemática de la Patícula. 63 Así: v ( ) ( ) v + ( ω + ω ) ( P ) P O 1 1 O Compaando esta ecuación con la pimea de todas, podemos escibi que: ( ω + ω ) ( P O ) ω ( P ) 1 1 O que: Como P es un punto abitaio, y esta igualdad debe vale paa todo punto P tendemos ω ω1 + ω1 Que es el denominado Teoema de Adición de Velocidades Angulaes, que nos dice que la velocidad angula de un sistema móvil S especto a oto S, consideado como absoluto, puede expesase como la suma de la velocidad angula de ese sistema especto a oto intemediaio o de aaste S 1, más la velocidad angula de este especto al absoluto. Esta elación es muy útil cuando queemos calcula la velocidad angula de un sistema cualquiea moviéndose en el espacio. Es conocido que un movimiento cualquiea en el espacio se puede descompone en una taslación y gios elementales. La solución al Ejecicio 1 anteio, nos enseña como calcula la velocidad angula de un movimiento plano; esto es, en definitiva uno de estos movimientos elementales. Consideando sistemas intemediaios se puede descompone cualquie otación en el espacio en tes gios elementales que tendán una expesión simila paa la velocidad angula (deivada del ángulo de gio coespondiente). Luego, utilizando este teoema en foma consecutiva podemos halla cuál es la velocidad angula del movimiento compuesto. 14 Entaemos en los detalles de esto en el último capítulo, cuando estudiemos los Ángulos de Eule, peo de aquí hasta allá nos queda un lago camino po ecoe. Ejemplo: Consideemos un sistema S, absoluto, y dos sistemas S 1 y S, que gian especto al anteio, peo que ente ellos solo se tasladan. Po ejemplo, en el Ejemplo 3 anteio S es el sistema fijo O i jk, S 1 es el O i j k y S es un sistema P i j k, siendo P la patícula que se 14 - Acotemos, antes de temina, que a pesa de que la velocidad angula siempe se puede escibi como ω ω i +ω j +ω k en alguna base i, j, k, esto no implica que cada una de x las componentes esté asociada a un gio elemental. y z Cuso 1999

64 64 INSTITUTO DE FÍSICA FACULTAD DE INGENIERÍA mueve con velocidad constante especto a S 1. Como el movimiento de S especto a S 1, es sólo de taslación, tendemos que: ω 1 Y aplicando el teoema de Adición de Velocidades Angulaes tenemos que: ω ω 1 ϕ k Hagamos ahoa un cambio de nombe ente los sistemas, basicamente intecambiando el oden ente S y S 1 : S S S 1 S 1 S S Y escibiendo las nuevas velocidades angulaes con pimas, tendemos: ω Po lo que: ω + ω ω ω1 con ω 1 ω ω1 ω + ω1 ω 1 ω1 1 1 ω 1 ω ϕ k ω1 lo que demuesta po qué la homiga del ejemplo 4 tiene que mantenese moviéndose con una velocidad que fome un ángulo cuya deivada sea igual y opuesta a la velocidad angula del disco; y que en foma más geneal, quiee deci que si un sistema se mueve especto a oto con velocidad angula ω, este último se mueve especto al pimeo con velocidad angula ω. Un azonamiento simila nos pemite demosta a tavés del Teoema de Rovebal aplicado a la taslación, que si un sistema se taslada especto a oto con velocidad v, este último lo haá especto al pimeo con velocidad v. Cuso 1999

65 MECÁNICA NEWTONIANA - Cinemática de la Patícula. 65 Apéndice: Velocidad Angula En la Sección I-4c.i vimos que la deivada de los vesoes de una base móvil i ', j', k ' especto a una fija, i, j, k podían escibise en dicha base móvil como: di' a1 i' + a1 j' + a13 k' d j' a 1 i ' + a j' + a3 k ' dk ' a3 1 i ' + a3 j' + a33 k ' Luego, usando las popiedades de que i ', j', k ' cualquie vecto que vaía en el tiempo manteniendo su módulo constante es pependicula a sí mismo esto se educía a: di' a1 j' + a13 k' d j' a 1i' + a3 k' dk' a3 1i' + a3 j' Y po se cada uno de los vectoes de la base nomal a los demás: di' d j' a 1. j' i'. a 1 d j' dk' a 3.k' j'. a 3 d k' di' a31.i' k'. a 13 Luego podemos escibi, po ejemplo, solo paa el pimeo de los vesoes de la base: Cuso 1999

66 66 INSTITUTO DE FÍSICA FACULTAD DE INGENIERÍA di' di' d k'. j' j' +.i' k' Usando las popiedades de que la base es otonomal diecta: j k i y k i j j i podemos escibi: di' di' d k'. j' k' i +.i' j' i y agegando el siguiente témino, que es ceo poque todo vecto multiplicado vectoialmente po sí mismo es nulo: d j'.k' i' i podemos escibi: di' di' d k' d j'. j' k' +.i' j' +.k' i' i di' y llegamos nuevamente a que: ω i si hacemos: di' d k' d j' ω. j' k' +.i' j' +.k' i' Esta es una expesión que nos detemina, en foma única, la velocidad angula, y que podemos ve es exactamente la misma que hallada anteiomente. Obseva que la misma es completamente simética en los vectoes de la base, y si hacemos una pemutación cicula de los mismos se mantiene incambiada. Po lo que a pesa de que la demostación la hicimos solamente Cuso 1999

67 paa paa di' d j' MECÁNICA NEWTONIANA - Cinemática de la Patícula. 67 solamente, tendemos un esultado equivalente paa exactamente el mismo esultado y dk', es deci: siendo ω el mismo de antes. d j' ω j' dk' ω k' Cuso 1999