ÁREAS Y VOLÚMENES I. Ejercicio nº 1.- Ejercicio nº 2.- a) determinen un paralelepípedo de volumen 10. b) sean linealmente dependientes.

Transcripción

1 Ejecicio nº.- Halla elvalo de m y v, m, sea. ÁREAS Y VOLÚMENES I paa qe el áea del paalelogamo deteminado po,, Ejecicio nº.- Dados los vectoes,,, v,, y w,, 5 ; halla elvalo de paa qe: a) deteminen n paalelepípedo de volmen. b) sean linealmente dependientes. Ejecicio nº.- Dados los vectoes,, y v,, : a) Halla n vecto, w, de módlo, qe sea pependicla a y a v. b) Cál es el áea del paalelogamo deteminado po y v? Ejecicio nº 4.- a) Halla los valoes de m paa qe los vectoes, sean linealmente independientes.,, v,, y wm, m,,, depende linealmente de, v y w paaelcaso m. b) Estdia si el vecto Ejecicio nº 5.- Halla el áea de n paalelogamo deteminado po los vectoes v y w, siendo:,,, v,, y w,, Ejecicio nº.- a) Demesta qe los vectoes independientes, calqiea qe sea el valo de k. k,,, v k,, y w,, son linealment e b) Cál es el volmen del paalelepípedo deteminado po, v y w?

2 SOLUCIONES Solción nº : El áeadelpaalelogamodeteminad o po y v esigala v. Calclamos v y hallamos s módlo: v,,, m, m,, m v Igalamos a : Áea m m m 4 4m 5m 4 5m 4 5m 4 4 5m Solción nº: a) El volmen del paalelepí pedo deteminad o po, v y w de s podcto mixto:, v, w 5 m es igal al valo absolto Volmen 8 Hay dos solciones : 4 8, b) S podcto mixto ha de se ceo:, v, w Solción nº : a) Un vecto pependic la a y a v es: v,,,,,, 5 Dividimos po s módlo paa consegi qe tenga módlo : v 5 w,, Hay dos solciones :, v b) Áea v 5 5,9, y 5,, Solción nº 4: a) Paa qe sean linealmente independientes, s podcto mixto debe se distinto de ceo:, v, w 4 m m 4 Ha de se m 4. m m b) Paa m, los vectoes, v y w sonlinealment e independientes,y fomanna base de R. Po tanto, calqie vecto de R, en paticla (,, ), depende linealmente de ellos. Solción nº 5: Calclamos v y w: a v,, El áeadel paalelogamodeteminado po a y a b,,,, 4,, Áea ,9 b b w,, esigal almódlo de s podcto vectoial: Solción nº : a) Tenemos qe poba qe s podcto mixto es distinto de ceo, sea cal sea el valo de k. k, v, w k paa todo k. b) El volmen es igal al valo absolto de s podcto mixto. Po tanto: Volmen

3 ÁREAS Y VOLÚMENES II Ejecicio nº.- Los pntos P(,, ) y Q(,, ) son dos vétices de n tiánglo, y el teceo, S, x petenece a la ecta : y z La ectaqe contiene a P y a S espependicla a la ecta. a) Detemina las coodenadas de S. b) Calcla el áea del tiánglo PQS. Ejecicio nº.- Calcla el volmen del tetaedo deteminado po los ejes de coodenadas y el plano: x y z 4 Ejecicio nº.- Considea el plano x y z 4. a) Halla los pntos de cote del plano con los ejes de coodenadas. b) Calcla el áea del tiánglo fomado po estos tes pntos. Ejecicio nº 4.- Calcla el volmen de n cbo qe tiene no de ss lados sobe la ecta x y z x y z : y oto sobe la ecta s :. 4 Ejecicio nº 5.- a) Halla la ecación del plano qe pasa po el pnto P(,, ) y es pependicla a v,,. b) Calcla el volmen del tetaedo deteminado po los ejes de coodenadas y el plano anteio. Ejecicio nº.- Considea los pntos A(,, ), B(4,, ) y C(,, ). a) Peba qe son los vétices de n tiánglo. b) Calcla el áea de dicho tiánglo. Ejecicio nº 7.- A(,, ), B(,, ) y C(,, 5) son tes vétices de n tetaedo. El cato vétice, D, está sobe la ecta: x y z : Halla las coodenadas de D paa qe el volmen del otoedo sea nidades cúbicas.

4 Solción nº : SOLUCIONES a) PS d PS d (,, ) (,, ) S (,, ) b) PS,, PQ,, Áea PS PQ PQS,, 45,5 Solción nº : Bscamos los pntos de cote con los ejes: Si y, z x A(,, ) Si x, z y 4 B(, 4, ) Si x, y z 4 C(,, 4) El cato vétice del tetaedo es el pnto D(,, ). DA,, DB, 4, DC,, 4 Volmen de ABCD DA, DB, DC 4 Solción nº : a) Si y, z x A(,, ) Si x, z y 4 B(, 4, ) Si x, y z 4 C(,, 4) b) AB, 4, AC, 4 Áea ABC AB AC, 8, ,8 Solción nº 4: d,, // ds 4,,. Po tanto lasdosectasson El lado del cadado es la distancia ente y s. paalelas.

5 dist Áea RS ds 4,,, 5 aista delcbo Base d s dist R, s Po tanto, Volmen s Solción nº 5: a) La ecación del plano es: (x ) (y ) (z ), es deci: x y z b) Obtenemos los pntos de cote del plano con los ejes de coodenadas: Con el eje X y z x Pnto A(,, ). Con el eje Y x z y Pnto B(,, ). Con el eje Z x y z Pnto C(,, ). El cato vétice del tetaedo es el oigen D(,, ). DA,, DB,, DC,, DA, DB, DC Volmen Solción nº : a) Hay qe poba qe A, B y C no están alineados. AB,, AC,, Ss coodenadas no son popocionales, lego los pntos no están alineados y son los vétices de n tiánglo.,, AB AC b) Áea ABC,7 Solción nº 7: D es n pnto de D(,, ) V ABCD AB, AC, AD AB,, AC,, AD,, Hay dos solciones: D(, 4, ) y D(, 8, 9)

6 ÁREAS Y VOLÚMENES III Ejecicio nº.- a) Obtén la ecacióndel plano qe pasapo elpnto medio del segmento PQ P(,, ) y Q(,, 4) y es pependicla a dicho segmento. siendo b) El plano del apatado anteio cota a los ejes de coodenadas en los pntos A, B y C. Calcla el áea del tiánglo ABC. Ejecicio nº.- Considea los pntos P(,, ) y Q(4, 5, ). a) Obténla ecacióndelplano qe pasapo elpnto medio de PQ a este. y espependicla b) Calcla el volmen del tetaedo limitado po los ejes de coodenadas y el plano. Ejecicio nº.- Los pntos P(,, ) y Q(,, ) son dos vétices de n tiánglo, y el teceo, S, x petenece a la ecta : y z La ectaqe contiene a P y a S espependicla a la ecta. a) Detemina las coodenadas de S. b) Calcla el áea del tiánglo PQS.

7 SOLUCIONES Solción nº : a) Calclamoselpntomediode PQ : M (,, ) El vecto nomala esel vecto PQ (x ) (y ) 4(z ) x y 4z x y 4z b) Calclamos los pntos A, B y C : Si z, y x 5 A(5,, ) Si x, z y 5 B(, 5, ) Si x, y 5 5 z C,, Solción nº : Áea ABC 5 5 AB AC,, 5 a) Hallamoselpntomediode PQ M El vecto nomalalplanoes PQ,,, 4, po tanto, elplanoes:,, 4,, así: 75 5, 4 : (x ) 4(y ) (z ) : x 4y z : x y z b) Pntos de cote con los ejes: Si y, z x A(,, ) Si x, z y B,, Si x, y z C(,, ) D(,, ) DA,, DB,, DC,, Volmen de ABCD DA, DB, DC,9 Solción nº : a) PS d PS d (,, ) (,, ) ; ; S (,, ),, b) PS PQ,, Áea PQS PS PQ,, 45,5