PROBLEMAS MÉTRICOS. 2º Bachillerato ÁNGULOS ENTRE RECTAS Y PLANOS ÁNGULOS ENTRE RECTAS Y PLANOS ÁNGULOS ENTRE RECTAS Y PLANOS. u v. u v.

Transcripción

1 ÁNGULOS ENTRE RECTAS Y LANOS ROBLEMAS MÉTRICOS EN EL ESACIO 2º Bachilleato Ángulo ente do vectoe. u v = u v co(u, v) u u v α co(u, v) = v u v co α = u v u v ÁNGULOS ENTRE RECTAS Y LANOS Ángulo ente do ecta que e cotan. ÁNGULOS ENTRE RECTAS Y LANOS Ángulo ente do ecta que e cuzan. Se define como el ángulo fomado po la ecta ecante paalela a la dada. u u α u u co α = u u co α = u u u u

2 ÁNGULOS ENTRE RECTAS Y LANOS Ejemplo: Halla el ángulo fomado po la ecta de ecuacione: ÁNGULOS ENTRE RECTAS Y LANOS Ángulo ente do plano. n α n n α n n co α = n n ÁNGULOS ENTRE RECTAS Y LANOS Ejemplo: Halla el ángulo fomado po lo plano de ecuacione: ÁNGULOS ENTRE RECTAS Y LANOS Ángulo ente una ecta y un plano. n 90º α α ( ) co 90º α = en α = d n d n d n d n

3 ÁNGULOS ENTRE RECTAS Y LANOS Ejemplo: Halla el ángulo fomado po la ecta y el plano de ecuacione: x + y + z = 2 : x + z = 1 : x + y = 3 ÁNGULOS ENTRE RECTAS Y LANOS Ejemplo: Detemina la ecta que e paalela al plano:x z=3, foma 30º con el plano : z = 2 y paa po el punto A(0, 3, 5). ROYECCIÓN ORTOGONAL DE UN UNTO oyección otogonal de un punto obe un plano. Se llama poyección otogonal de un punto obe un plano al punto que e obtiene como inteección de la ecta, pependicula a que paa po el punto, con el plano. ROYECCIÓN ORTOGONAL DE UN UNTO oyección otogonal de un punto obe un plano. Ejemplo: Detemina la poyección otogonal del punto A(0, 3, 5) con el plano : x z = 3. n 1, 0, 1 = ( ) A = ( 0,3,5) x = λ : y = 3 z = 5 λ λ ( 5 λ ) = 3 2λ 5 = 3 λ = 4 λ = 4 A ' = ( 4,3,1)

4 ROYECCIÓN ORTOGONAL DE UN UNTO oyección otogonal de una ecta obe un plano. Se puede obtene de do foma difeente: ROYECCIÓN ORTOGONAL DE UN UNTO oyección otogonal de una ecta obe un plano. Ejemplo: Halla la poyección otogonal de la ecta obe el plano: x 1 y + 2 z + 3 : = = : x + y z = d 4,1, 1 = A = 1, 2,3 n = 1,1, 1 ( ) ( ) ( ) La ecuación del plano e: o lo tanto e: x 1 y + 2 z = 0 y + z 1 = x + y z 4 = 0 : y + z 1 = 0 Ditancia ente do punto. Ejemplo: ( x 1, y 1,z1 ) Q( x 2, y 2,z2 ) d, Q Q x x y y z z ( ) = = ( ) + ( ) + ( ) ( 5, 1,7 ) Q( 4,5, 11) d, Q = Q = = 361 = 19 u ( ) ( ) ( ) ( ) Ditancia ente un punto y un plano. Método contuctivo. n 1. Halla la ecta pependicula a que paa po 2. La inteección de y e el punto. 3. La ditancia ente y e la ditancia entey.

5 Ditancia ente un punto y un plano. Expeión vectoial. Ditancia ente un punto y un plano. Expeión analítica. Ditancia ente un punto y un plano. Fómula. ( x 0, y 0,z0 ) Ejemplo: Calcula la ditancia de (3, 1, 7) a : x 3y + 5z 1 = 0 : ax + by + cz + d = 0 ( ) d, = ax + by + cz + d a + b + c d(, ) = = 5'75 u

6 Ditancia ente un punto y una ecta. Método contuctivo. Ditancia ente un punto y una ecta. Método del punto genéico. d n 1. Halla el planopependicula a que paa po 2. La inteección de y e el punto. 3. La ditancia ente y e la ditancia entey. d R 1. El punto R e un punto genéico de la ecta y u coodenada depende deλ. 2. Se obliga a que el vecto R ea pependicula a y po tanto a d. 3. El poducto ecala e 0 y e hallaλyel punto. Ditancia ente un punto y una ecta. Método del poducto vectoial. R h d Áea = Bae Altua R d = d h ( ) dit, = h = R d d x = 1 2λ Ejemplo: Calcula la ditancia del punto (5, 1, 6) a : y = λ z = 5 + λ

7 x = 1 2λ Ejemplo: Calcula la ditancia del punto (5, 1, 6) a : y = λ z = 5 + λ x = 1 2λ Ejemplo: Calcula la ditancia del punto (5, 1, 6) a : y = λ z = 5 + λ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = 3,1, 4 d, = d, = = 12 u Ditancia de una ecta a un plano. Ditancia ente do plano. 1. Si la ecta cota al plano la ditancia e Si e paalela al plano la ditancia e la de cualquie punto de la ecta al plano. 1. Si lo plano on ecante la ditancia e Si on paalelo la ditancia e la de cualquie punto de uno de lo plano al oto.

8 DISTANCIAS ENTRE DOS RECTAS. Ditancia de ente do ecta que e cotan o on paalela. DISTANCIAS ENTRE DOS RECTAS. Ditancia de ente do ecta que e cuzan. Método plano paalelo. 1. Si la ecta e cotan la ditancia e Si on paalela la ditancia e la de cualquie punto de una de la ecta a la ota. 1. Hallamo el planopaalelo a que contiene a. 2. La ditancia de un punto de a e la ditancia ente la do ecta. d(,) = d (, ) DISTANCIAS ENTRE DOS RECTAS. Ditancia de ente do ecta que e cuzan. Método vecto vaiable. S S 0 R 0 R 1. Un punto genéico de S. Depende deλ. 2. Un punto genéico de S. Depende deµ. 3. Se le impone que el vecto RS ea pependicula a y a. No da R 0 y S 0. d, = d R,S ( ) ( ) 0 0 DISTANCIAS ENTRE DOS RECTAS. Ditancia de ente do ecta que e cuzan. Método poducto mixto. Q v h v u Vol. paalelepípedo u, v,q d (,) = d( Q, ) = h = = Áea de la bae u v

9 DISTANCIAS ENTRE DOS RECTAS. Ejemplo: Calcula la ditancia ente la ecta: x = 5 + λ : y = 1 z = λ x = 4 + 3µ : y = 3 µ z = µ DISTANCIAS ENTRE DOS RECTAS. Ejemplo: Calcula la ditancia ente la ecta: x = 5 + λ : y = 1 z = λ x = 4 + 3µ : y = 3 µ z = µ DISTANCIAS ENTRE DOS RECTAS. Ejemplo: Calcula la ditancia ente la ecta: x = 5 + λ : y = 1 z = λ x = 4 + 3µ : y = 3 µ z = µ ERENDICULAR COMÚN A DOS RECTAS QUE SE CRUZAN. t d d d d d lano :,d,d d lano :,d,d d ( ) lano :,d,d d Recta t : lano :,d,d d ( ) ( ) ( )

10 ERENDICULAR COMÚN A DOS RECTAS QUE SE CRUZAN. Ejemplo: Calcula la pependicula común de la ecta cuzada: x = λ x = 2 2λ : y = 1 + λ : y = 0 z = 1 λ z = 1 + λ MEDIDA DE ÁREAS Y VOLÚMENES. Áea de un paalelogamo del que e conocen lo vétice. AB B C A AD D Áea paalelogamo ABCD = AB AD MEDIDA DE ÁREAS Y VOLÚMENES. Áea de un tiángulo del que e conocen lo vétice. A AB B AC Áea tiángulo ABC 1 = AB AC 2 C MEDIDA DE ÁREAS Y VOLÚMENES. Ejemplo: Halla el áea del tiángulo de vétice: A = ( 5, 2,1) B = ( 1,7,5 ) C = ( 1,0,4 ) AB = ( 6,5, 4) AB AC = 23, 2, 32 AC = ( 4, 2, 3 ) ( ) Áea tiángulo = AB AC = = , 73 u El áea del tiángulo e, apoximadamente, 19,73 unidade cuadada

11 MEDIDA DE ÁREAS Y VOLÚMENES. Volumen de un paalelepípedo del que e conocen lo vétice. AD AC AB Volumen del paalelepípedo = AB, AC, AD MEDIDA DE ÁREAS Y VOLÚMENES. Volumen de un tetaedo del que e conocen lo vétice. A AB B AD AC C D 1 Volumen del tetaedo AB,AC,AD 6 = MEDIDA DE ÁREAS Y VOLÚMENES. Ejemplo: Halla el volumen del tetaedo de vétice: A = ( 3,5,7 ) B = ( 1, 0, 1) C = ( 7, 1, 4) D = ( 11, 4, 6) LUGARES GEOMÉTRICOS EN EL ESACIO. lano mediado. BA = 2, 5,8 BC = 6, 1, 5 BD = 10, 4, 5 ( ) ( ) ( ) Volumen del tetaedo = BA, BC, BD u 6 = = = E el luga geomético de lo punto que equiditan de lo extemo del egmento AB. ( ) = d ( X,B) d X,A

12 LUGARES GEOMÉTRICOS EN EL ESACIO. lano mediado. LUGARES GEOMÉTRICOS EN EL ESACIO. lano biecto. E el luga geomético de lo punto que equiditan de lo emiplano que foman el ángulo. ( ) = ( ) d X, d X, LUGARES GEOMÉTRICOS EN EL ESACIO. lano biecto.